Ampliaciones y superestructuras. 

Y raíz de x al cuadrado. Raíz cuadrada. La guía completa (2019)

Considere la función y=√x. La gráfica de esta función se muestra en la siguiente figura.

Gráfica de la función y=√x

Como puede ver, el gráfico se parece a una parábola rotada, o más bien a una de sus ramas. Obtenemos una rama de la parábola x=y^2. Se puede ver en la figura que el gráfico toca el eje Oy solo una vez, en el punto con coordenadas (0;0).
Ahora vale la pena señalar las principales propiedades de esta función.

Propiedades de la función y=√x

1. El dominio de definición de una función es un rayo.

Respuesta. D(f) = [-1,4].

A.G. Álgebra de Mordkovich décimo grado

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Gráfico de funciones y propiedades. en = │Oh│ (módulo)

Considere la función en = │Oh│, donde A- un cierto número.

Dominio de definición funciones en = │Oh│, es el conjunto de todos los números reales. La figura muestra respectivamente gráficas de funciones en = │X│, en = │ 2x │, en = │X/2│.

Puedes notar que la gráfica de la función en = | Oh| obtenido de la gráfica de la función en = Oh, si la parte negativa de la gráfica de la función en = Oh(está ubicado debajo del eje O X), reflejar simétricamente este eje.

Es fácil de ver en el gráfico. propiedades funciones en = │ Oh │.

En X= 0, obtenemos en= 0, es decir, la gráfica de la función pertenece al origen; en X= 0, obtenemos en> 0, es decir, todos los demás puntos del gráfico se encuentran por encima del eje O X.

Para valores opuestos X, valores en será lo mismo; eje O en este es el eje de simetría de la gráfica.

Por ejemplo, puedes trazar la función en = │X 3│. Para comparar características en = │X 3 │i en = X 3, hagamos una tabla de sus valores con los mismos valores de los argumentos.

De la tabla vemos que para trazar una gráfica de función en = │X 3 │, puedes comenzar trazando la función en = X 3. Después de esto se sitúa simétricamente con respecto al eje O. X mostrar la parte que está debajo de este eje. Como resultado, obtenemos el gráfico que se muestra en la figura.

Gráfico de funciones y propiedades. en = X 1/2 (raíz)

Considere la función en = X 1/2 .

Dominio de definición esta función es el conjunto de números reales no negativos, ya que la expresión X 1/2 solo importa cuando X > 0.

Construyamos un gráfico. Para elaborar una tabla de sus valores utilizamos una microcalculadora, redondeando los valores de la función a décimas.

Después de dibujar puntos en el plano de coordenadas y conectarlos suavemente, obtenemos gráfica de una función en = X 1/2 .

El gráfico construido nos permite formular algunas propiedades funciones en = X 1/2 .

En X= 0, obtenemos en= 0; en X> 0, obtenemos en> 0; la gráfica pasa por el origen; los puntos restantes del gráfico se ubican en el primer cuarto de coordenadas.

Teorema. Gráfica de una función en = X 1/2 es simétrico a la gráfica de la función. en = X 2 donde X> 0, relativamente recto en = X.

Prueba. Gráfico de funciones en = X 2 donde X> 0, es la rama de la parábola ubicada en el primer cuadrante de coordenadas. deja el punto R (A; b) es un punto arbitrario de esta gráfica. Entonces la igualdad es verdadera. b = A 2. Ya que por condición el número A no negativo, entonces la igualdad también es cierta A= b 1/2. Esto significa que las coordenadas del punto q (b; A) transformar la fórmula en = X 1/2 a verdadera igualdad, o en caso contrario, punto q (b; A en= X 1/2 .

También se demuestra que si el punto METRO (Con; d) pertenece a la gráfica de la función en = X 1/2 luego punto norte (d; Con) pertenece al gráfico en = X 2 donde X > 0.

Resulta que cada punto R(A; b) gráfico de funciones en = X 2 donde X> 0, corresponde a un solo punto q (b; A) gráfico de funciones en = X 1/2 y viceversa.

Queda por demostrar que los puntos R (A; b) Y q (b; A) son simétricos con respecto a una línea recta en = X. Dejar perpendiculares a los ejes de coordenadas de los puntos. R Y q, obtenemos puntos en estos ejes mi(A; 0), D (0; b), F (b; 0), CON (0; A). Punto R intersecciones de perpendiculares RE Y control de calidad tiene coordenadas ( A; A) y por lo tanto pertenece a la línea en = X. Triángulo PRQ es isósceles, ya que sus lados RP Y RQ igual │ b – A│ cada uno. Derecho en = X se biseca como un ángulo DOF, y el ángulo PRQ y corta el segmento PQ en un cierto punto S. Por lo tanto el segmento R.S. es la bisectriz del triangulo PRQ. Como la bisectriz de un triángulo isósceles es su altura y su mediana, entonces PQ ┴ R.S. Y PD = QS. Y esto significa que los puntos R (A; b) Y q (b; A) simétrico con respecto a una línea recta en = X.

Dado que la gráfica de la función en = X 1/2 es simétrico a la gráfica de la función. en = X 2 donde X> 0, relativamente recto en= X, entonces la gráfica de la función en = X 1/2 es la rama de la parábola.

Lección y presentación sobre el tema: "Funciones de potencia. Raíz cúbica. Propiedades de la raíz cúbica"

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Definición de función de potencia: raíz cúbica

Chicos, seguimos estudiando. funciones de potencia. Hoy hablaremos de la función "Raíz cúbica de x".
¿Qué es una raíz cúbica?
El número y se llama raíz cúbica de x (raíz de tercer grado) si se cumple la igualdad $y^3=x$.
Denotado como $\sqrt(x)$, donde x es un número radical, 3 es un exponente.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=$27.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Como vemos, la raíz cúbica también se puede extraer de números negativos. Resulta que nuestra raíz existe para todos los números.
La tercera raíz de un número negativo es igual a un número negativo. Cuando se eleva a una potencia impar, el signo se conserva; la tercera potencia es impar.

Comprobemos la igualdad: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Sean $\sqrt((-x))=a$ y $\sqrt(x)=b$. Elevemos ambas expresiones a la tercera potencia. $–x=a^3$ y $x=b^3$. Entonces $a^3=-b^3$ o $a=-b$. Usando la notación para raíces obtenemos la identidad deseada.

Propiedades de las raíces cúbicas

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Demostremos la segunda propiedad. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Encontramos que el número $\sqrt(\frac(a)(b))$ al cubo es igual a $\frac(a)(b)$ y luego es igual a $\sqrt(\frac(a)(b))$ , que y necesitaba ser probado.

Chicos, construyamos una gráfica de nuestra función.
1) Dominio de definición es el conjunto de los números reales.
2) La función es impar, ya que $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. A continuación, considere nuestra función para $x≥0$, luego muestre la gráfica relativa al origen.
3) La función aumenta cuando $x≥0$. Para nuestra función, un valor mayor del argumento corresponde a un valor mayor de la función, lo que significa aumento.
4) La función no está limitada desde arriba. De hecho, desde cualquier gran número podemos calcular la raíz tercera y podemos llegar hasta el infinito, encontrando todo valores grandes argumento.
5) Para $x≥0$ el valor más pequeño es 0. Esta propiedad es obvia.
Construyamos una gráfica de la función por puntos en x≥0.




Construyamos nuestra gráfica de la función en todo el dominio de definición. Recuerda que nuestra función es impar.

Propiedades de la función:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Función impar.
3) Aumenta en (-∞;+∞).
4) Ilimitado.
5) No existe un valor mínimo ni máximo.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Convexo hacia abajo por (-∞;0), convexo hacia arriba por (0;+∞).

Ejemplos de resolución de funciones de potencia.

Ejemplos
1. Resuelve la ecuación $\sqrt(x)=x$.
Solución. Construyamos dos gráficas en el mismo plano de coordenadas $y=\sqrt(x)$ y $y=x$.

Como puede ver, nuestras gráficas se cruzan en tres puntos.
Respuesta: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Construya una gráfica de la función. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Solución. Nuestra gráfica se obtiene de la gráfica de la función $y=\sqrt(x)$, por traslación paralela dos unidades hacia la derecha y tres unidades hacia abajo.

3. Grafica la función y léela. $\begin(casos)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(casos)$.
Solución. Construyamos dos gráficas de funciones en el mismo plano de coordenadas, teniendo en cuenta nuestras condiciones. Para $x≥-1$ construimos una gráfica de la raíz cúbica, para $x≤-1$ construimos una gráfica función lineal.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) La función no es par ni impar.
3) Disminuye en (-∞;-1), aumenta en (-1;+∞).
4) Ilimitado desde arriba, limitado desde abajo.
5) Mayor valor No. El valor más pequeño es menos uno.
6) La función es continua en toda la recta numérica.
7) E(y)= (-1;+∞).

Problemas para resolver de forma independiente.

1. Resuelve la ecuación $\sqrt(x)=2-x$.
2. Construya una gráfica de la función $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Traza una gráfica de la función y léela. $\begin(casos)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(casos)$.