Derivada de una función de potencia. Derivada de logaritmo natural y logaritmo en base a

Derivación de la fórmula para la derivada de una función potencia (x elevado a a). Se consideran las derivadas de raíces de x. Fórmula para la derivada de una función potencia de orden superior. Ejemplos de cálculo de derivadas.

La derivada de x elevado a a es igual a a multiplicado por x elevado a a menos uno:
(1) .

La derivada de la raíz enésima de x elevada a la mésima es:
(2) .

Derivación de la fórmula para la derivada de una función de potencia.

Caso x > 0

Considere una función potencia de la variable x con exponente a:
(3) .
Aquí a es un número real arbitrario. Consideremos primero el caso.

Para encontrar la derivada de la función (3), usamos las propiedades de una función potencia y la transformamos a la siguiente forma:
.

Ahora encontramos la derivada usando:
;
.
Aquí .

La fórmula (1) ha sido probada.

Derivación de la fórmula para la derivada de una raíz de grado n de x al grado de m

Ahora considere una función que es la raíz de la siguiente forma:
(4) .

Para encontrar la derivada, transformamos la raíz a una función potencia:
.
Comparando con la fórmula (3) vemos que
.
Entonces
.

Usando la fórmula (1) encontramos la derivada:
(1) ;
;
(2) .

En la práctica, no es necesario memorizar la fórmula (2). Es mucho más conveniente transformar primero las raíces en funciones potencias y luego encontrar sus derivadas usando la fórmula (1) (ver ejemplos al final de la página).

Caso x = 0

Si , entonces la función potencia está definida para el valor de la variable x = 0 . Encontremos la derivada de la función (3) en x = 0 . Para hacer esto, utilizamos la definición de derivada:
.

Sustituyamos x = 0 :
.
En este caso, por derivada nos referimos al límite derecho para el cual .

Entonces encontramos:
.
De esto queda claro que para , .
En , .
En , .
Este resultado también se obtiene de la fórmula (1):
(1) .
Por lo tanto, la fórmula (1) también es válida para x = 0 .

Caso x< 0

Considere la función (3) nuevamente:
(3) .
Para determinados valores de la constante a, también se define para valores negativos de la variable x. Es decir, deja que a sea número racional. Entonces se puede representar como una fracción irreducible:
,
donde m y n son números enteros sin común divisor.

Si n es impar, entonces la función de potencia también se define para valores negativos de la variable x. Por ejemplo, cuando n = 3 y metro = 1 tenemos la raíz cúbica de x:
.
También se define para valores negativos de la variable x.

Encontremos la derivada de la función potencia (3) para y para valores racionales de la constante a para la que está definida. Para hacer esto, representemos x de la siguiente forma:
.
Entonces ,
.
Encontramos la derivada colocando la constante fuera del signo de la derivada y aplicando la regla para derivar una función compleja:

.
Aquí . Pero
.
Desde entonces
.
Entonces
.
Es decir, la fórmula (1) también es válida para:
(1) .

Derivados de orden superior

Ahora encontremos derivadas de orden superior de la función de potencia.
(3) .
Ya hemos encontrado la derivada de primer orden:
.

Tomando la constante a fuera del signo de la derivada, encontramos la derivada de segundo orden:
.
De manera similar, encontramos derivadas de tercer y cuarto orden:
;

.

De esto queda claro que derivada de enésimo orden arbitrario tiene la siguiente forma:
.

Darse cuenta de si a es un número natural, entonces la enésima derivada es constante:
.
Entonces todas las derivadas posteriores son iguales a cero:
,
en .

Ejemplos de cálculo de derivados.

Ejemplo

Encuentra la derivada de la función:
.

Solución

Convirtamos raíces en potencias:
;
.
Entonces la función original toma la forma:
.

Encontrar derivadas de potencias:
;
.
La derivada de la constante es cero:
.

Prueba y derivación de las fórmulas para la derivada de la función exponencial (e elevada a la potencia x) y la función exponencial (a elevada a la potencia x). Ejemplos de cálculo de derivadas de e^2x, e^3x y e^nx. Fórmulas para derivadas de órdenes superiores.

La derivada de un exponente es igual al exponente mismo (la derivada de e elevado a x es igual a e elevado a x):
(1) (e x )′ = e x.

La derivada de una función exponencial con base a es igual a la función misma multiplicada por el logaritmo neperiano de a:
(2) .

Derivación de la fórmula para la derivada de la exponencial, e elevada a la potencia x

Una exponencial es una función exponencial cuya base es igual al número e, que tiene el siguiente límite:
.
Aquí puede ser un número natural o un número real. A continuación, derivamos la fórmula (1) para la derivada de la exponencial.

Derivación de la fórmula de la derivada exponencial

Considere la exponencial, e elevada a la potencia x:
y = e x .
Esta función está definida para todos. Encontremos su derivada con respecto a la variable x. Por definición, la derivada es el siguiente límite:
(3) .

Transformemos esta expresión para reducirla a propiedades y reglas matemáticas conocidas. Para ello necesitamos los siguientes hechos:
A) Propiedad exponente:
(4) ;
B) Propiedad del logaritmo:
(5) ;
EN) Continuidad del logaritmo y propiedad de límites para una función continua:
(6) .
Aquí hay una función que tiene un límite y este límite es positivo.
GRAMO) El significado del segundo límite destacable:
(7) .

Apliquemos estos hechos a nuestro límite (3). Usamos la propiedad (4):
;
.

Hagamos una sustitución. Entonces ; .
Debido a la continuidad de la exponencial,
.
Por lo tanto, cuando , . Como resultado obtenemos:
.

Hagamos una sustitución. Entonces . En , . Y tenemos:
.

Apliquemos la propiedad del logaritmo (5):
. Entonces
.

Apliquemos la propiedad (6). Como existe un límite positivo y el logaritmo es continuo, entonces:
.
Aquí también utilizamos el segundo límite notable (7). Entonces
.

Así, obtuvimos la fórmula (1) para la derivada de la exponencial.

Derivación de la fórmula para la derivada de una función exponencial.

Ahora derivamos la fórmula (2) para la derivada de la función exponencial con una base de grado a. Nosotros creemos eso y. Entonces la función exponencial
(8)
Definido para todos.

Transformemos la fórmula (8). Para esto usaremos propiedades de la función exponencial y logaritmo.
;
.
Entonces, transformamos la fórmula (8) a la siguiente forma:
.

Derivadas de orden superior de e elevado a x

Ahora busquemos derivadas de órdenes superiores. Veamos primero el exponente:
(14) .
(1) .

Vemos que la derivada de la función (14) es igual a la propia función (14). Derivando (1), obtenemos derivadas de segundo y tercer orden:
;
.

Esto muestra que la derivada de enésimo orden también es igual a la función original:
.

Derivadas de orden superior de la función exponencial

Consideremos ahora una función exponencial con base de grado a:
.
Encontramos su derivada de primer orden:
(15) .

Derivando (15), obtenemos derivadas de segundo y tercer orden:
;
.

Vemos que cada diferenciación conduce a la multiplicación de la función original por . Por tanto, la derivada de enésimo orden tiene la siguiente forma:
.

En esta lección aprenderemos a aplicar fórmulas y reglas de diferenciación.

Ejemplos. Encuentra derivadas de funciones.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Aplicando la regla I, fórmulas 4, 2 y 1. Obtenemos:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6-2x+5. Resolvemos de manera similar, usando las mismas fórmulas y fórmula. 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Aplicando la regla I, fórmulas 3, 5 Y 6 Y 1.

Aplicando la regla IV, fórmulas 5 Y 1 .

En el quinto ejemplo, según la regla I la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas, y acabamos de encontrar la derivada del primer término (ejemplo 4 ), por lo tanto, encontraremos derivadas 2do Y 3er términos y para 1er suma podemos escribir inmediatamente el resultado.

vamos a diferenciar 2do Y 3er términos según la fórmula 4 . Para ello, transformamos las raíces de la tercera y cuarta potencias en los denominadores a potencias con exponentes negativos, y luego, según 4 fórmula, encontramos derivadas de potencias.

Mira a este ejemplo y el resultado obtenido. ¿Captaste el patrón? Bien. Esto significa que tenemos una nueva fórmula y podemos agregarla a nuestra tabla de derivadas.

Resolvamos el sexto ejemplo y derivemos otra fórmula.

usemos la regla IV y fórmula 4 . Reduzcamos las fracciones resultantes.

Veamos esta función y su derivada. Por supuesto, usted comprende el patrón y está listo para nombrar la fórmula:

¡Aprendiendo nuevas fórmulas!

Ejemplos.

1. Encuentre el incremento del argumento y el incremento de la función y= x2, si el valor inicial del argumento era igual a 4 , y nuevo - 4,01 .

Solución.

Nuevo valor de argumento x=x 0 +Δx. Sustituyamos los datos: 4.01=4+Δх, de ahí el incremento del argumento Δx=4,01-4=0,01. El incremento de una función, por definición, es igual a la diferencia entre los valores nuevos y anteriores de la función, es decir Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Ya que tenemos una función y=x2, Eso Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Respuesta: incremento de argumento Δx=0,01; incremento de función Δу=0,0801.

El incremento de la función se puede encontrar de otra manera: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. Encuentra el ángulo de inclinación de la tangente a la gráfica de la función. y=f(x) en el punto x0, Si f "(x 0) = 1.

Solución.

El valor de la derivada en el punto de tangencia. x0 y es el valor de la tangente del ángulo tangente (el significado geométrico de la derivada). Tenemos: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, porque tg45°=1.

Respuesta: la tangente a la gráfica de esta función forma un ángulo con la dirección positiva del eje Ox igual a 45°.

3. Deducir la fórmula para la derivada de la función. y=xn.

Diferenciación es la acción de encontrar la derivada de una función.

Al encontrar derivadas, use fórmulas que se derivaron en función de la definición de derivada, de la misma manera que derivamos la fórmula para el grado de derivada: (x n)" = nx n-1.

Estas son las fórmulas.

Tabla de derivadas Será más fácil de memorizar pronunciando formulaciones verbales:

1. La derivada de una cantidad constante es cero.

2. X primo es igual a uno.

3. El factor constante se puede quitar del signo de la derivada.

4. La derivada de un grado es igual al producto del exponente de ese grado por un grado de la misma base, pero el exponente es uno menos.

5. La derivada de una raíz es igual a uno dividido por dos raíces iguales.

6. La derivada de uno dividido por x es igual a menos uno dividido por x al cuadrado.

7. La derivada del seno es igual al coseno.

8. La derivada del coseno es igual a menos el seno.

9. La derivada de la tangente es igual a uno dividido por el cuadrado del coseno.

10. La derivada de la cotangente es igual a menos uno dividido por el cuadrado del seno.

Nosotros enseñamos reglas de diferenciación.

1. La derivada de una suma algebraica es igual a la suma algebraica de las derivadas de los términos.

2. La derivada de un producto es igual al producto de la derivada del primer factor y del segundo más el producto del primer factor y la derivada del segundo.

3. La derivada de “y” dividida por “ve” es igual a una fracción en la que el numerador es “y primo multiplicado por “ve” menos “y multiplicado por ve primo”, y el denominador es “ve al cuadrado”.

4. Caso especial fórmulas 3.

¡Aprendamos juntos!

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La operación de encontrar la derivada se llama diferenciación.

Como resultado de resolver los problemas de encontrar derivadas de las funciones más simples (y no muy simples), definiendo la derivada como el límite de la relación entre el incremento y el incremento del argumento, apareció una tabla de derivadas y reglas de diferenciación definidas con precisión. . Los primeros en trabajar en el campo de la búsqueda de derivadas fueron Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Por lo tanto, en nuestro tiempo, para encontrar la derivada de cualquier función, no es necesario calcular el límite antes mencionado de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento, solo es necesario utilizar la tabla de Derivadas y reglas de diferenciación. El siguiente algoritmo es adecuado para encontrar la derivada.

Para encontrar la derivada, necesitas una expresión debajo del signo primo dividir funciones simples en componentes y determinar qué acciones (producto, suma, cociente) estas funciones están relacionadas. Otros derivados funciones elementales las encontramos en la tabla de derivadas, y las fórmulas para las derivadas del producto, suma y cociente están en las reglas de derivación. La tabla de derivadas y las reglas de diferenciación se dan después de los dos primeros ejemplos.

Ejemplo 1. Encuentra la derivada de una función.

Solución. De las reglas de diferenciación aprendemos que la derivada de una suma de funciones es la suma de derivadas de funciones, es decir

De la tabla de derivadas aprendemos que la derivada de "x" es igual a uno y la derivada del seno es igual al coseno. Sustituimos estos valores en la suma de derivadas y encontramos la derivada requerida por la condición del problema:

Ejemplo 2. Encuentra la derivada de una función.

Solución. Diferenciamos como derivada de una suma en la que el segundo término tiene factor constante; se puede sacar del signo de la derivada:

Si aún surgen dudas sobre el origen de algo, normalmente se aclaran después de familiarizarse con la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación más simples. Estamos avanzando hacia ellos ahora mismo.

Tabla de derivadas de funciones simples.

1. Derivada de una constante (número). Cualquier número (1, 2, 5, 200...) que esté en la expresión de la función. Siempre igual a cero. Es muy importante recordar esto, ya que se requiere muy a menudo.
2. Derivada de la variable independiente. Muy a menudo "X". Siempre igual a uno. Esto también es importante recordarlo durante mucho tiempo.
3. Derivada de grado. Al resolver problemas, es necesario convertir raíces no cuadradas en potencias.
4. Derivada de una variable a la potencia -1
5. Derivado raíz cuadrada
6. Derivada del seno
7. Derivada del coseno
8. Derivada de tangente
9. Derivada de cotangente
10. Derivada del arcoseno
11. Derivada del arco coseno
12. Derivada de arcotangente
13. Derivada del arco cotangente
14. Derivada del logaritmo natural
15. Derivada de una función logarítmica
16. Derivada del exponente
17. Derivada de una función exponencial

Reglas de diferenciación

1. Derivada de una suma o diferencia
2. Derivado del producto
2a. Derivada de una expresión multiplicada por un factor constante
3. Derivada del cociente
4. Derivada de una función compleja

Regla 1.Si las funciones

son diferenciables en algún punto, entonces las funciones son diferenciables en el mismo punto

y

aquellos. la derivada de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de estas funciones.

Consecuencia. Si dos funciones diferenciables difieren en un término constante, entonces sus derivadas son iguales, es decir.

Regla 2.Si las funciones

son diferenciables en algún punto, entonces su producto es diferenciable en el mismo punto

y

aquellos. La derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada una de estas funciones y la derivada de la otra.

Corolario 1. El factor constante se puede sacar del signo de la derivada.:

Corolario 2. La derivada del producto de varias funciones diferenciables es igual a la suma de los productos de la derivada de cada factor y todos los demás.

Por ejemplo, para tres multiplicadores:

Regla 3.Si las funciones

diferenciable en algún momento Y , entonces en este punto su cociente también es derivableu/v, y

aquellos. la derivada del cociente de dos funciones es igual a una fracción, cuyo numerador es la diferencia entre los productos del denominador y la derivada del numerador y el numerador y la derivada del denominador, y el denominador es el cuadrado de el antiguo numerador.

Dónde buscar cosas en otras páginas.

Al encontrar la derivada de un producto y el cociente en problemas reales Siempre es necesario aplicar varias reglas de diferenciación a la vez, por eso hay más ejemplos sobre estas derivadas en el artículo."Derivada del producto y cociente de funciones".

Comentario.¡No debes confundir una constante (es decir, un número) con un término de una suma y con un factor constante! En el caso de un término, su derivada es igual a cero, y en el caso de un factor constante, se quita del signo de las derivadas. Este error típico, que ocurre en etapa inicial estudiar derivadas, pero a medida que resolvemos varios ejemplos de una y dos partes estudiante promedio Ya no comete este error.

Y si al diferenciar un producto o cociente se tiene un término tu"v, en el cual tu- un número, por ejemplo, 2 o 5, es decir, una constante, entonces la derivada de este número será igual a cero y, por tanto, todo el término será igual a cero (este caso se analiza en el ejemplo 10).

Otro Error común- solución mecánica de la derivada de una función compleja como derivada de una función simple. Es por eso derivada de una función compleja Se dedica un artículo aparte. Pero primero aprenderemos a encontrar derivadas de funciones simples.

En el camino, no puedes prescindir de transformar las expresiones. Para hacer esto, es posible que necesites abrir el manual en ventanas nuevas. Acciones con poderes y arraigo Y Operaciones con fracciones .

Si buscas soluciones a derivadas de fracciones con potencias y raíces, es decir, cuando la función se ve así , luego sigue la lección “Derivada de sumas de fracciones con potencias y raíces”.

Si tienes una tarea como , luego tomarás la lección “Derivadas de funciones trigonométricas simples”.

Ejemplos paso a paso: cómo encontrar la derivada

Ejemplo 3. Encuentra la derivada de una función.

Solución. Definimos las partes de la expresión de la función: la expresión completa representa un producto y sus factores son sumas, en la segunda de las cuales uno de los términos contiene un factor constante. Aplicamos la regla de diferenciación de productos: la derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada una de estas funciones por la derivada de la otra:

A continuación, aplicamos la regla de derivación de la suma: la derivada de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de estas funciones. En nuestro caso, en cada suma el segundo término tiene un signo menos. En cada suma vemos tanto una variable independiente, cuya derivada es igual a uno, como una constante (número), cuya derivada es igual a cero. Entonces, "X" se convierte en uno y menos 5 se convierte en cero. En la segunda expresión, "x" se multiplica por 2, por lo que multiplicamos dos por la misma unidad que la derivada de "x". Obtenemos los siguientes valores de derivada:

Sustituimos las derivadas encontradas en la suma de productos y obtenemos la derivada de toda la función requerida por la condición del problema:

Ejemplo 4. Encuentra la derivada de una función.

Solución. Estamos obligados a encontrar la derivada del cociente. Aplicamos la fórmula para derivar el cociente: la derivada del cociente de dos funciones es igual a una fracción, cuyo numerador es la diferencia entre los productos del denominador y la derivada del numerador y el numerador y la derivada del denominador, y el denominador es el cuadrado del numerador anterior. Obtenemos:

Ya hemos encontrado la derivada de los factores en el numerador en el ejemplo 2. No olvidemos tampoco que el producto, que es el segundo factor en el numerador en el ejemplo actual, se toma con un signo menos:

Si buscas soluciones a problemas en los que necesitas encontrar la derivada de una función, donde hay un montón continuo de raíces y potencias, como, por ejemplo, , entonces bienvenido a clase "Derivada de sumas de fracciones con potencias y raíces" .

Si necesita aprender más sobre las derivadas de senos, cosenos, tangentes y otras funciones trigonométricas, es decir, cuándo se ve la función , entonces una lección para ti "Derivadas de funciones trigonométricas simples" .

Ejemplo 5. Encuentra la derivada de una función.

Solución. En esta función vemos un producto, uno de cuyos factores es la raíz cuadrada de la variable independiente, cuya derivada conocemos en la tabla de derivadas. Usando la regla para derivar el producto y el valor tabular de la derivada de la raíz cuadrada, obtenemos:

Ejemplo 6. Encuentra la derivada de una función.

Solución. En esta función vemos un cociente cuyo dividendo es la raíz cuadrada de la variable independiente. Usando la regla de diferenciación de cocientes, que repetimos y aplicamos en el ejemplo 4, y el valor tabulado de la derivada de la raíz cuadrada, obtenemos:

Para eliminar una fracción en el numerador, multiplica el numerador y el denominador por.

Pruebe usted mismo las fórmulas 3 y 5.

REGLAS BÁSICAS DE DIFERENCIACIÓN

Usando el método general para encontrar la derivada usando el límite, se pueden obtener las fórmulas de diferenciación más simples. Dejar u=u(x),v=v(x)– dos funciones diferenciables de una variable X.

Pruebe usted mismo las fórmulas 1 y 2.

Prueba de Fórmula 3.

Dejar y = u(x) + v(x). Para el valor del argumento X+Δ X tenemos y(X+Δ X)=tu(X+Δ X) + v(X+Δ X).

Δ y=y(X+Δ X) – y(x) = tu(x+Δ X) + v(x+Δ X) – tu(x) – v(x) = Δ tu +Δ v.

Por eso,

Prueba de Fórmula 4.

Dejar y=u(x)·v(x). Entonces y(X+Δ X)=tu(X+Δ X)· v(X+Δ X), Es por eso

Δ y=tu(X+Δ X)· v(X+Δ X) – tu(X)· v(X).

Tenga en cuenta que dado que cada una de las funciones tu Y v diferenciable en el punto X, entonces son continuos en este punto, lo que significa tu(X+Δ X)→u(x),v(X+Δ X)→v(x), en Δ X→0.

Por lo tanto podemos escribir

Con base en esta propiedad, se puede obtener una regla para derivar el producto de cualquier número de funciones.

Dejemos, por ejemplo, y=u·v·w. Entonces,

y " = tu "·( v w) + tu·( v·w) " = tu "· v·w + tu·( v"·w+ v·w ") = tu "· v·w + tu· v"·w+ u·v·w".

Prueba de fórmula 5.

Dejar . Entonces

En la prueba utilizamos el hecho de que v(x+Δ X)→v(x) en Δ X→0.

Ejemplos.

TEOREMA DE LA DERIVADA DE FUNCIÓN COMPLEJA

Dejar y = f(tu), A tu= tu(X). Obtenemos la función y dependiendo del argumento X: y = f(u(x)). La última función se llama función de una función o función compleja.

Dominio de definición de funciones y = f(u(x)) es el dominio completo de definición de la función tu=tu(X) o aquella parte en la que se determinan los valores tu, sin salir del dominio de definición de la función y= f(u).

La operación función a función se puede realizar no sólo una vez, sino cualquier número de veces.

Establezcamos una regla para derivar una función compleja.

Teorema. Si la función tu= tu(X) ha en algún momento x0 derivada y toma el valor en este punto tu 0 = tu(x0), y la función y=f(u) tiene en el punto tu 0 derivado y" tu = F "(tu 0), entonces una función compleja y = f(u(x)) en el punto especificado x0 también tiene una derivada, que es igual a y" x = F "(tu 0)· tu "(x0), donde en lugar de tu la expresión debe ser sustituida tu= tu(X).

Por tanto, la derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de una función dada con respecto al argumento intermedio. tu a la derivada del argumento intermedio con respecto a X.

Prueba. Por un valor fijo X 0 tendremos tu 0 =tu(X 0), en 0 =f(t 0 ). Para un nuevo valor de argumento x0+Δ X:

Δ tu= tu(x0 + Δ X) – tu(X 0), Δ y=F(tu 0+Δ tu) – F(tu 0).

Porque tu– diferenciable en un punto x0, Eso tu– es continuo en este punto. Por lo tanto, en Δ X→0 Δ tu→0. De manera similar para Δ tu→0 Δ y→0.

Por condición . De esta relación, usando la definición del límite, obtenemos (en Δ tu→0)

donde α→0 en Δ tu→0, y, en consecuencia, en Δ X→0.

Reescribamos esta igualdad como:

Δ y=y" uΔ tu+α·Δ tu.

La igualdad resultante también es válida para Δ tu=0 para α arbitrario, ya que se convierte en la identidad 0=0. En Δ tu=0 asumiremos α=0. Dividamos todos los términos de la igualdad resultante por Δ X

.

Por condición . Por lo tanto, pasando al límite en Δ X→0, obtenemos y" x = y"u·u" x. El teorema ha sido demostrado.

Entonces, para diferenciar función compleja y = f(u(x)), necesitas tomar la derivada de la función "externa" F, tratando su argumento simplemente como una variable, y multiplicado por la derivada de la función "interna" con respecto a la variable independiente.

Si la función y=f(x) se puede representar en la forma y=f(u), u=u(v), v=v(x), luego encontrar la derivada y " x se realiza mediante aplicación secuencial del teorema anterior.

Según la regla probada, tenemos y" x = y"tú tu"x. Aplicando el mismo teorema para tu"x obtenemos, es decir

y" x = y" X tu"v v" x = F"tú( tu)· tu" v ( v)· v" X ( X).

Ejemplos.

CONCEPTO DE FUNCIÓN INVERSA

Comencemos con un ejemplo. Considere la función y=x3. Consideraremos la igualdad. y= x3 como una ecuación relativa X. Esta es la ecuación para cada valor. en define un solo valor X: . Geométricamente, esto significa que toda línea recta paralela al eje Buey interseca la gráfica de una función y=x3 sólo en un punto. Por lo tanto podemos considerar X como una función de y. Una función se llama inversa de una función. y=x3.

Antes de pasar al caso general, introducimos definiciones.

Función y = f(x) llamado creciente en un segmento determinado, si el valor mayor del argumento X de este segmento corresponde valor mas alto funciones, es decir Si X 2 >X 1, entonces f(x) 2 ) > f(x 1 ).

La función se llama de manera similar. decreciente, si un valor menor del argumento corresponde a un valor mayor de la función, es decir Si X 2 < X 1, entonces f(x) 2 ) > f(x 1 ).

Entonces, nos dan una función creciente o decreciente. y=f(x), definido en algún intervalo [ a; b]. Para mayor precisión, consideraremos una función creciente (para una decreciente todo es similar).

Considere dos valores diferentes X 1 y X 2. Dejar y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). De la definición de función creciente se deduce que si X 1 <X 2, entonces en 1 <en 2. Por lo tanto, dos valores diferentes X 1 y X 2 corresponde a dos valores de función diferentes en 1 y en 2. Lo contrario también es cierto, es decir Si en 1 <en 2, entonces de la definición de función creciente se deduce que X 1 <X 2. Aquellos. otra vez dos valores diferentes en 1 y en 2 corresponde a dos valores diferentes X 1 y X 2. Así, entre los valores X y sus valores correspondientes y se establece una correspondencia uno a uno, es decir la ecuacion y=f(x) para cada y(tomado del rango de la función y=f(x)) define un solo valor X, y podemos decir que X hay alguna función de argumento y: x= g(y).

Esta función se llama contrarrestar para función y=f(x). Obviamente, la función y=f(x) es la inversa de la función x=g(y).

Tenga en cuenta que la función inversa x=g(y) encontrado resolviendo la ecuación y=f(x) relativamente X.

Ejemplo. Sea dada la función y= e x . Esta función aumenta en –∞< X <+∞. Она имеет обратную функцию X= iniciar sesión y. Dominio de la función inversa 0< y < + ∞.

Hagamos algunos comentarios.

Nota 1. Si una función creciente (o decreciente) y=f(x) es continua en el intervalo [ a; b], y f(a)=c, f(b)=d, entonces la función inversa está definida y es continua en el intervalo [ C; d].

Nota 2. Si la función y=f(x) no aumenta ni disminuye en un intervalo determinado, entonces puede tener varias funciones inversas.

Ejemplo. Función y=x2 definido en –∞<X<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤X<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <X Función ≤ 0 – disminuye y su inversa.

Nota 3. Si las funciones y=f(x) Y x=g(y) son mutuamente inversas, entonces expresan la misma relación entre variables X Y y. Por tanto, la gráfica de ambas es la misma curva. Pero si denotamos nuevamente el argumento de la función inversa por X, y la función a través de y y trazarlos en el mismo sistema de coordenadas, obtendremos dos gráficas diferentes. Es fácil notar que las gráficas serán simétricas con respecto a la bisectriz del primer ángulo coordenado.

TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA DERIVADA

Demostremos un teorema que nos permita encontrar la derivada de la función. y=f(x), conociendo la derivada de la función inversa.

Teorema. Si para la función y=f(x) hay una función inversa x=g(y), que en algún momento en 0 tiene una derivada gramo "(v 0), distinto de cero, luego en el punto correspondiente x0=gramo(x0) función y=f(x) tiene una derivada F "(x0), igual a , es decir la fórmula es correcta.

Prueba. Porque x=g(y) diferenciable en el punto y 0, Eso x=g(y) es continua en este punto, por lo que la función y=f(x) continuo en un punto x0=gramo(y 0). Por lo tanto, en Δ X→0 Δ y→0.

demostremos que .

Dejar . Entonces, por la propiedad del límite . Pasemos en esta igualdad al límite en Δ y→0. Entonces Δ X→0 y α(Δx)→0, es decir .

Por eso,

,

Q.E.D.

Esta fórmula se puede escribir en la forma .

Veamos la aplicación de este teorema usando ejemplos.