Triángulo rectángulo como. Triángulo rectángulo: concepto y propiedades
Lado a se puede identificar como adyacente a la esquina B Y esquina opuesta A, y el lado B- cómo adyacente a la esquina A Y esquina opuesta B.
Tipos de triángulos rectángulos
- Si las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo son números enteros, entonces el triángulo se llama triángulo pitagórico, y las longitudes de sus lados forman el llamado terna pitagórica.
Propiedades
Altura
Altura de un triángulo rectángulo.
Relaciones trigonométricas
Permitir h Y s (h>s) por los lados de dos cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo con una hipotenusa C. Luego:
El perímetro de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los radios de la circunferencia inscrita y de las tres circunferencias circunscritas.
notas
Enlaces
- WeissteinEric W. Right Triangle (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld.
- Wentworth GA Un libro de texto de geometría . -Ginn & Co., 1895.
Fundación Wikimedia. 2010 .
Vea qué es "Triángulo Rectángulo" en otros diccionarios:
triángulo rectángulo- — Temas industria del petróleo y el gas ES triángulo rectángulo … Manual del traductor técnico
Y (simple) triángulo, triángulo, marido. 1. Una figura geométrica delimitada por tres líneas rectas que se cortan entre sí y forman tres ángulos internos (mat.). Triángulo obtuso. Triángulo agudo. Triángulo rectángulo.… … Diccionario Ushakov
RECTANGULAR, rectangular, rectangular (geom.). Tener un ángulo recto (o ángulos rectos). Triángulo rectángulo. Figuras rectangulares. Diccionario explicativo de Ushakov. D.N. Ushakov. 1935 1940 ... Diccionario explicativo de Ushakov
Este término tiene otros significados, véase Triángulo (significados). Un triángulo (en el espacio euclidiano) es una figura geométrica formada por tres segmentos de línea que conectan tres puntos no lineales. Tres puntos, ... ... Wikipedia
triángulo- ▲ un polígono que tiene tres ángulos triangulares es el polígono más simple; viene dado por 3 puntos que no están sobre la misma recta. triangular. ángulo agudo. de ángulo agudo. triángulo rectángulo: cateto. hipotenusa. triángulo isósceles. ▼… … Diccionario ideográfico de la lengua rusa
TRIÁNGULO, a, esposo. 1. La figura geométrica es un polígono con tres esquinas, así como cualquier objeto, un dispositivo de esta forma. T. rectangular T. de madera (para dibujar). Camiseta de soldado (carta de soldado sin sobre, doblada en una esquina; coloquial). 2… Diccionario explicativo de Ozhegov
Triángulo (polígono)- Triángulos: 1 agudo, rectangular y obtuso; 2 regulares (equiláteros) e isósceles; 3 bisectrices; 4 medianas y centro de gravedad; 5 alturas; 6 ortocentro; 7 línea media. TRIÁNGULO, polígono de 3 lados. A veces bajo... Diccionario Enciclopédico Ilustrado
diccionario enciclopédico
triángulo- pero; m.1) a) Una figura geométrica delimitada por tres rectas que se cortan formando tres ángulos internos. Rectangular, triángulo isósceles/lino. Calcular el área del triángulo. b) resp. qué o con def. Una figura u objeto de tal forma. ... ... diccionario de muchas expresiones
PERO; M. 1. Una figura geométrica delimitada por tres líneas rectas que se cortan formando tres ángulos internos. Rectangular, isósceles m Calcula el área del triángulo. // que o con def. Una figura u objeto de tal forma. T techo. T.… … diccionario enciclopédico
Nivel promedio
Triángulo rectángulo. Guía ilustrada completa (2019)
TRIÁNGULO RECTÁNGULO. PRIMER NIVEL.
En los problemas, un ángulo recto no es necesario en absoluto: el inferior izquierdo, por lo que debe aprender a reconocer un triángulo rectángulo en esta forma,
y en tal
y en tal 
¿Qué tiene de bueno un triángulo rectángulo? Bueno... antes que nada, hay especiales hermosos nombres por sus lados.
¡Atención al dibujo!
Recuerda y no confundas: piernas - dos, y la hipotenusa - solo una(el único, único y más largo)!
Bueno, discutimos los nombres, ahora lo más importante: el teorema de Pitágoras.
Teorema de pitágoras.
Este teorema es la clave para resolver muchos problemas relacionados con un triángulo rectángulo. Fue probado por Pitágoras en tiempos completamente inmemoriales, y desde entonces ha traído muchos beneficios a quienes lo conocen. Y lo mejor de ella es que es sencilla.
Entonces, Teorema de pitágoras:
¿Recuerdas el chiste: “¡Los pantalones pitagóricos son iguales en todos los lados!”?
Dibujemos estos pantalones muy pitagóricos y mirémoslos. 
¿De verdad parece un pantalón corto? Bueno, ¿en qué lados y dónde son iguales? ¿Por qué y de dónde salió la broma? Y esta broma está relacionada precisamente con el teorema de Pitágoras, más precisamente con la forma en que el propio Pitágoras formuló su teorema. Y lo formuló así:
"Suma área de cuadrados, construido sobre las piernas, es igual a área cuadrada construida sobre la hipotenusa.
¿No suena un poco diferente, verdad? Y así, cuando Pitágoras dibujó el enunciado de su teorema, resultó tal imagen.
En esta imagen, la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande. Y para que los niños recuerden mejor que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, alguien ingenioso inventó este chiste sobre los pantalones pitagóricos.
¿Por qué ahora estamos formulando el teorema de Pitágoras?
¿Pitágoras sufrió y habló de cuadrados?
Verás, en la antigüedad no había... ¡álgebra! No había señales y así sucesivamente. No había inscripciones. ¡¿Te imaginas lo terrible que era para los pobres estudiantes antiguos memorizar todo con palabras?! Y podemos estar contentos de tener una formulación simple del teorema de Pitágoras. Vamos a repetirlo de nuevo para recordar mejor:
Ahora debería ser fácil:
| El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. |
Bueno, se discutió el teorema más importante sobre un triángulo rectángulo. Si está interesado en cómo se prueba, lea los siguientes niveles de la teoría y ahora sigamos... bosque oscuro... trigonometría! A las terribles palabras seno, coseno, tangente y cotangente.
Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.
De hecho, todo no es tan aterrador en absoluto. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debe verse en el artículo. Pero realmente no quieres, ¿verdad? Podemos regocijarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples:
¿Por qué se trata de la esquina? ¿Dónde está la esquina? Para entender esto, necesita saber cómo se escriben las declaraciones 1 - 4 en palabras. ¡Mira, comprende y recuerda!
1.
En realidad suena así:
¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay una pata que está opuesta a la esquina, es decir, la pata opuesta (para la esquina)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es un cateto!
Pero, ¿y el ángulo? Mira de cerca. ¿Qué pierna está adyacente a la esquina? Por supuesto, el gato. Entonces, para el ángulo, el cateto es adyacente, y
Y ahora, ¡atención! Mira lo que tenemos:
Mira lo genial que es:
Ahora pasemos a tangente y cotangente.
¿Cómo ponerlo en palabras ahora? ¿Cuál es la pierna en relación con la esquina? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Y el catéter? Contiguo a la esquina. Entonces que fue lo que recibimos?
¿Ves cómo se invierten el numerador y el denominador?
Y ahora de nuevo los córners e hizo el intercambio:
Resumen
Escribamos brevemente lo que hemos aprendido.
 |
Teorema de pitágoras: |
El principal teorema del triángulo rectángulo es el teorema de Pitágoras.
Teorema de pitágoras
Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no, mire la imagen: actualice sus conocimientos
Es posible que ya hayas usado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo lo probarías? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.
¡Ves con qué astucia dividimos sus lados en segmentos de longitudes y!
Ahora vamos a conectar los puntos marcados.
Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira la imagen y piensa por qué.
¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Derecha, . ¿Qué pasa con el área más pequeña? Ciertamente, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imagina que tomamos dos de ellos y los apoyamos uno contra el otro con hipotenusas. ¿Qué sucedió? Dos rectángulos. Entonces, el área de "esquejes" es igual.
Pongamos todo junto ahora.
Transformemos:
Entonces visitamos a Pitágoras, demostramos su teorema de una manera antigua.
Triángulo rectángulo y trigonometría
Para un triángulo rectángulo, se cumplen las siguientes relaciones:
Seno de un ángulo agudo es igual a la razón cateto opuesto a la hipotenusa
El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.
La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto al cateto adyacente.
La cotangente de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto adyacente al cateto opuesto.
Y una vez más, todo esto en forma de plato:
¡Es muy conveniente!
Signos de igualdad de triángulos rectángulos
I. En dos piernas
II. Por cateto e hipotenusa
tercero Por hipotenusa y ángulo agudo
IV. A lo largo de la pierna y el ángulo agudo
a) 
B) 
¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean "correspondientes". Por ejemplo, si va así:
ENTONCES LOS TRIANGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.
Necesitar en ambos triángulos, el cateto era adyacente, o en ambos, opuestos.
¿Has notado cómo los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Mira el tema “y presta atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, necesitas la igualdad de sus tres elementos: dos lados y un ángulo entre ellos, dos ángulos y un lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de los triángulos rectángulos, solo dos elementos correspondientes son suficientes. Es genial, ¿verdad?
Aproximadamente la misma situación con signos de semejanza de triángulos rectángulos.
Signos de semejanza de triángulos rectángulos
I. Esquina aguda
II. en dos piernas
tercero Por cateto e hipotenusa
Mediana en un triángulo rectángulo
¿Por que es esto entonces?
Considere un rectángulo completo en lugar de un triángulo rectángulo.
Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué sabes sobre las diagonales de un rectángulo?
¿Y qué se sigue de esto?
Entonces sucedió que
- - mediana:
¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!
Lo que es aún más sorprendente es que lo contrario también es cierto.
¿Qué bien se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hacia la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la imagen
Mira de cerca. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto hasta los tres vértices del triángulo resultaron ser iguales. Pero en un triángulo sólo hay un punto, las distancias desde las cuales los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO descrito. ¿Entonces qué pasó?
Así que empecemos con este "además...".
Miremos yo.
¡Pero en triángulos semejantes todos los ángulos son iguales!
Lo mismo puede decirse de y
Ahora vamos a dibujarlo juntos:
¿Qué uso se puede sacar de esta "triple" similitud?
Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.
Escribimos las relaciones de las partes correspondientes:
Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":
Entonces, apliquemos la similitud: .
¿Que pasará ahora?
Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula:
Ambas fórmulas hay que recordarlas muy bien y la que sea más cómoda de aplicar. Vamos a escribirlos de nuevo.
Teorema de pitágoras:
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:.
Signos de igualdad de triángulos rectángulos:
- en dos piernas:
- a lo largo del cateto y la hipotenusa: o
- a lo largo del cateto y el ángulo agudo adyacente: o
- a lo largo del cateto y el ángulo agudo opuesto: o
- por hipotenusa y ángulo agudo: o.
Signos de semejanza de triángulos rectángulos:
- una esquina afilada: o
- de la proporcionalidad de los dos catetos:
- de la proporcionalidad del cateto y la hipotenusa: o.
Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo
- El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:
- El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa:
- La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al contiguo:
- La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente al opuesto:.
Altura de un triángulo rectángulo: o.
En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice ángulo recto, es igual a la mitad de la hipotenusa: .
Área de un triángulo rectángulo:
- a través de los catéteres:
Nivel promedio
Triángulo rectángulo. Guía ilustrada completa (2019)
TRIÁNGULO RECTÁNGULO. PRIMER NIVEL.
En los problemas, un ángulo recto no es necesario en absoluto: el inferior izquierdo, por lo que debe aprender a reconocer un triángulo rectángulo en esta forma,
y en tal
y en tal
¿Qué tiene de bueno un triángulo rectángulo? Bueno... antes que nada, hay hermosos nombres especiales para sus fiestas.
¡Atención al dibujo!
Recuerda y no confundas: piernas - dos, y la hipotenusa - solo una(el único, único y más largo)!
Bueno, discutimos los nombres, ahora lo más importante: el teorema de Pitágoras.
Teorema de pitágoras.
Este teorema es la clave para resolver muchos problemas relacionados con un triángulo rectángulo. Fue probado por Pitágoras en tiempos completamente inmemoriales, y desde entonces ha traído muchos beneficios a quienes lo conocen. Y lo mejor de ella es que es sencilla.
Entonces, Teorema de pitágoras:
¿Recuerdas el chiste: “¡Los pantalones pitagóricos son iguales en todos los lados!”?
Dibujemos estos pantalones muy pitagóricos y mirémoslos.
¿De verdad parece un pantalón corto? Bueno, ¿en qué lados y dónde son iguales? ¿Por qué y de dónde salió la broma? Y esta broma está relacionada precisamente con el teorema de Pitágoras, más precisamente con la forma en que el propio Pitágoras formuló su teorema. Y lo formuló así:
"Suma área de cuadrados, construido sobre las piernas, es igual a área cuadrada construida sobre la hipotenusa.
¿No suena un poco diferente, verdad? Y así, cuando Pitágoras dibujó el enunciado de su teorema, resultó tal imagen.
En esta imagen, la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande. Y para que los niños recuerden mejor que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, alguien ingenioso inventó este chiste sobre los pantalones pitagóricos.
¿Por qué ahora estamos formulando el teorema de Pitágoras?
¿Pitágoras sufrió y habló de cuadrados?
Verás, en la antigüedad no había... ¡álgebra! No había señales y así sucesivamente. No había inscripciones. ¡¿Te imaginas lo terrible que era para los pobres estudiantes antiguos memorizar todo con palabras?! Y podemos estar contentos de tener una formulación simple del teorema de Pitágoras. Vamos a repetirlo de nuevo para recordar mejor:
Ahora debería ser fácil:
| El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. |
Bueno, se discutió el teorema más importante sobre un triángulo rectángulo. Si está interesado en cómo se prueba, lea los siguientes niveles de teoría, y ahora avancemos... hacia el bosque oscuro... ¡de la trigonometría! A las terribles palabras seno, coseno, tangente y cotangente.
Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.
De hecho, todo no es tan aterrador en absoluto. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debe verse en el artículo. Pero realmente no quieres, ¿verdad? Podemos regocijarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples:
¿Por qué se trata de la esquina? ¿Dónde está la esquina? Para entender esto, necesita saber cómo se escriben las declaraciones 1 - 4 en palabras. ¡Mira, comprende y recuerda!
1.
En realidad suena así:
¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay una pata que está opuesta a la esquina, es decir, la pata opuesta (para la esquina)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es un cateto!
Pero, ¿y el ángulo? Mira de cerca. ¿Qué pierna está adyacente a la esquina? Por supuesto, el gato. Entonces, para el ángulo, el cateto es adyacente, y
Y ahora, ¡atención! Mira lo que tenemos:
Mira lo genial que es:
Ahora pasemos a tangente y cotangente.
¿Cómo ponerlo en palabras ahora? ¿Cuál es la pierna en relación con la esquina? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Y el catéter? Contiguo a la esquina. Entonces que fue lo que recibimos?
¿Ves cómo se invierten el numerador y el denominador?
Y ahora de nuevo los córners e hizo el intercambio:
Resumen
Escribamos brevemente lo que hemos aprendido.
|
Teorema de pitágoras: |
El principal teorema del triángulo rectángulo es el teorema de Pitágoras.
Teorema de pitágoras
Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no, mire la imagen: actualice sus conocimientos
Es posible que ya hayas usado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo lo probarías? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.
¡Ves con qué astucia dividimos sus lados en segmentos de longitudes y!
Ahora vamos a conectar los puntos marcados.
Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira la imagen y piensa por qué.
¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Derecha, . ¿Qué pasa con el área más pequeña? Ciertamente, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imagina que tomamos dos de ellos y los apoyamos uno contra el otro con hipotenusas. ¿Qué sucedió? Dos rectángulos. Entonces, el área de "esquejes" es igual.
Pongamos todo junto ahora.
Transformemos:
Entonces visitamos a Pitágoras, demostramos su teorema de una manera antigua.
Triángulo rectángulo y trigonometría
Para un triángulo rectángulo, se cumplen las siguientes relaciones:
El seno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa
El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.
La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto al cateto adyacente.
La cotangente de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto adyacente al cateto opuesto.
Y una vez más, todo esto en forma de plato:
¡Es muy conveniente!
Signos de igualdad de triángulos rectángulos
I. En dos piernas
II. Por cateto e hipotenusa
tercero Por hipotenusa y ángulo agudo
IV. A lo largo de la pierna y el ángulo agudo
a)
B)
¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean "correspondientes". Por ejemplo, si va así:
ENTONCES LOS TRIANGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.
Necesitar en ambos triángulos, el cateto era adyacente, o en ambos, opuestos.
¿Has notado cómo los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Mira el tema “y presta atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, necesitas la igualdad de sus tres elementos: dos lados y un ángulo entre ellos, dos ángulos y un lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de los triángulos rectángulos, solo dos elementos correspondientes son suficientes. Es genial, ¿verdad?
Aproximadamente la misma situación con signos de semejanza de triángulos rectángulos.
Signos de semejanza de triángulos rectángulos
I. Esquina aguda
II. en dos piernas
tercero Por cateto e hipotenusa
Mediana en un triángulo rectángulo
¿Por que es esto entonces?
Considere un rectángulo completo en lugar de un triángulo rectángulo.
Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué sabes sobre las diagonales de un rectángulo?
¿Y qué se sigue de esto?
Entonces sucedió que
- - mediana:
¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!
Lo que es aún más sorprendente es que lo contrario también es cierto.
¿Qué bien se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hacia la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la imagen
Mira de cerca. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto hasta los tres vértices del triángulo resultaron ser iguales. Pero en un triángulo sólo hay un punto, las distancias desde las cuales los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO descrito. ¿Entonces qué pasó?
Así que empecemos con este "además...".
Miremos yo.
¡Pero en triángulos semejantes todos los ángulos son iguales!
Lo mismo puede decirse de y
Ahora vamos a dibujarlo juntos:
¿Qué uso se puede sacar de esta "triple" similitud?
Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.
Escribimos las relaciones de las partes correspondientes:
Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":
Entonces, apliquemos la similitud: .
¿Que pasará ahora?
Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula:
Ambas fórmulas hay que recordarlas muy bien y la que sea más cómoda de aplicar. Vamos a escribirlos de nuevo.
Teorema de pitágoras:
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:.
Signos de igualdad de triángulos rectángulos:
- en dos piernas:
- a lo largo del cateto y la hipotenusa: o
- a lo largo del cateto y el ángulo agudo adyacente: o
- a lo largo del cateto y el ángulo agudo opuesto: o
- por hipotenusa y ángulo agudo: o.
Signos de semejanza de triángulos rectángulos:
- una esquina afilada: o
- de la proporcionalidad de los dos catetos:
- de la proporcionalidad del cateto y la hipotenusa: o.
Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo
- El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:
- El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa:
- La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al contiguo:
- La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente al opuesto:.
Altura de un triángulo rectángulo: o.
En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa: .
Área de un triángulo rectángulo:
- a través de los catéteres:
Propiedades de un triángulo rectángulo
Estimados alumnos de séptimo grado, ya saben qué formas geométricas se llaman triángulos, saben cómo probar signos de su igualdad. También conoces casos especiales de triángulos: isósceles y rectangular. Las propiedades de los triángulos isósceles son bien conocidas por ti.
Pero incluso los triángulos rectángulos tienen muchas propiedades. Uno obvio está relacionado con el teorema de la suma. esquinas internas Triángulo: En un triángulo rectángulo, la suma de los ángulos agudos es 90°. Aprenderás la propiedad más sorprendente de un triángulo rectángulo en el grado 8 cuando estudies el famoso teorema de Pitágoras.
Y ahora hablaremos de dos propiedades más importantes. Uno de ellos se refiere a triángulos rectángulos con un ángulo de 30° y el otro a triángulos rectángulos arbitrarios. Formulemos y demostremos estas propiedades.
Bien sabes que en geometría se acostumbra formular afirmaciones inversas a las probadas, cuando la condición y la conclusión en la afirmación están invertidas. Las declaraciones inversas no siempre son verdaderas. En nuestro caso, ambas afirmaciones inversas son verdaderas.
Propiedad 1.1 En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto al ángulo de 30° es igual a la mitad de la hipotenusa.
Demostración: Considere un ∆ ABC rectangular, en el que ÐA=90°, ÐB=30°, luego ÐC=60°..gif" width="167" height="41">, por lo tanto, que era necesario probar.
Propiedad 1.2 (inversa a la propiedad 1.1) Si el cateto de un triángulo rectángulo es la mitad de la hipotenusa, entonces el ángulo opuesto mide 30°.
Propiedad 2.1 En un triángulo rectángulo, la mediana dibujada en la hipotenusa es la mitad de la hipotenusa.
Considere un ∆ ABC rectangular, en el que ÐB=90°.
BD-mediana, es decir, AD=DC. Probemos eso.
Para demostrarlo, hagamos una construcción adicional: sigamos BD más allá del punto D para que BD=DN y conectemos N con A y C..gif" width="616" height="372 src=">
Dado: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm
1. ÐEBC=30o, ya que en un ∆BCE rectangular la suma de los ángulos agudos es 90o
2.BE=14cm(propiedad 1)
3. ÐABE=30o, porque ÐA+ÐABE=ÐBEC (propiedad esquina exterior triángulo) por lo tanto ∆AEB es isósceles AE=EB=14cm.
BC=2AN=20 cm (propiedad 2).
Tarea 3. Demostrar que la altura y la mediana de un triángulo rectángulo dibujado con la hipotenusa forman un ángulo igual a la diferencia entre los ángulos agudos del triángulo.
Dado: ∆ ABC, РВАС=90°, AM-mediana, AH-altura.
Demostrar: РМАН=РС-РВ.
Prueba:
1) РМАС=РС (por propiedad 2 ∆ AMC-isosceles, AM=CM)
2) RMAN=RMAS-ARN=Rs-ARN.
Queda por demostrar que PNAS=PB. Esto se sigue del hecho de que РВ+РС=90° (en ∆ ABC) y РНАС+РС=90° (de ∆ ANS).
Entonces, РМАН=РС-РВ, que debía probarse.
https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Dado: ∆ABC, ÐBAC=90°, AH-altura, .
Buscar: РВ, РС.
Solución: Dibuje la mediana AM. Sea AH=x, luego BC=4x y
VM=MS=AM=2x.
En un ∆ AMN rectangular, la hipotenusa AM es 2 veces mayor que el cateto AH, por lo que ÐAMN=30°. Como VM=AM,
РВ=РВАМ100%">
Continuemos AC más allá del punto A para que AD=AC. Entonces ∆ABC=∆ABD (para 2 patas). BD=BC=2AC=CD, entonces ∆DBC es equilátero, ÐC=60o y RABC=30o.
Tarea 5
En un triangulo isosceles, uno de los angulos mide 120o, la base mide 10 cm, encuentra la altura dibujada hacia el lado.
Solución: para empezar, notamos que el ángulo de 120o solo puede estar en el vértice del triángulo y que la altura dibujada hacia el lado caerá sobre su continuación.
AB - escalera, K - gatito.
En cualquier posición de la escalera, hasta que finalmente cayó al suelo ∆ABC-rectangular. SC - mediana ∆ABC.
Por propiedad 2 SK=1/2AB. Es decir, en cualquier momento, la longitud del segmento SC es constante.
Respuesta: el punto K se moverá a lo largo de un arco de círculo con centro C y radio SK=1/2AB.
Tareas para solución independiente.
Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 60° y la diferencia entre la hipotenusa y el cateto menor es de 4 cm. encontrar la longitud de la hipotenusa. En un rectángulo ∆ ABC con hipotenusa BC y ángulo B igual a 60o, se dibuja la altura AD. Encuentra DC si DB=2cm. En ∆АВС РС=90о, СD - alturas, ВС=2ВD. Demuestre que AD=3BD. La altura de un triángulo rectángulo divide a la hipotenusa en partes de 3 cm y 9 cm. Encuentra los ángulos del triángulo y la distancia desde el punto medio de la hipotenusa hasta el cateto mayor. La bisectriz divide el triángulo en dos triángulos isósceles. Encuentra los ángulos del triángulo original. La mediana divide el triángulo en dos triángulos isósceles. ¿Es posible encontrar esquinas?
triangulo original?
Nivel promedio
Triángulo rectángulo. Guía ilustrada completa (2019)
TRIÁNGULO RECTÁNGULO. PRIMER NIVEL.
En los problemas, un ángulo recto no es necesario en absoluto: el inferior izquierdo, por lo que debe aprender a reconocer un triángulo rectángulo en esta forma,
y en tal
y en tal
¿Qué tiene de bueno un triángulo rectángulo? Bueno... antes que nada, hay hermosos nombres especiales para sus fiestas.
¡Atención al dibujo!
Recuerda y no confundas: piernas - dos, y la hipotenusa - solo una(el único, único y más largo)!
Bueno, discutimos los nombres, ahora lo más importante: el teorema de Pitágoras.
Teorema de pitágoras.
Este teorema es la clave para resolver muchos problemas relacionados con un triángulo rectángulo. Fue probado por Pitágoras en tiempos completamente inmemoriales, y desde entonces ha traído muchos beneficios a quienes lo conocen. Y lo mejor de ella es que es sencilla.
Entonces, Teorema de pitágoras:
¿Recuerdas el chiste: “¡Los pantalones pitagóricos son iguales en todos los lados!”?
Dibujemos estos pantalones muy pitagóricos y mirémoslos.
¿De verdad parece un pantalón corto? Bueno, ¿en qué lados y dónde son iguales? ¿Por qué y de dónde salió la broma? Y esta broma está relacionada precisamente con el teorema de Pitágoras, más precisamente con la forma en que el propio Pitágoras formuló su teorema. Y lo formuló así:
"Suma área de cuadrados, construido sobre las piernas, es igual a área cuadrada construida sobre la hipotenusa.
¿No suena un poco diferente, verdad? Y así, cuando Pitágoras dibujó el enunciado de su teorema, resultó tal imagen.
En esta imagen, la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande. Y para que los niños recuerden mejor que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, alguien ingenioso inventó este chiste sobre los pantalones pitagóricos.
¿Por qué ahora estamos formulando el teorema de Pitágoras?
¿Pitágoras sufrió y habló de cuadrados?
Verás, en la antigüedad no había... ¡álgebra! No había señales y así sucesivamente. No había inscripciones. ¡¿Te imaginas lo terrible que era para los pobres estudiantes antiguos memorizar todo con palabras?! Y podemos estar contentos de tener una formulación simple del teorema de Pitágoras. Vamos a repetirlo de nuevo para recordar mejor:
Ahora debería ser fácil:
| El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. |
Bueno, se discutió el teorema más importante sobre un triángulo rectángulo. Si está interesado en cómo se prueba, lea los siguientes niveles de teoría, y ahora avancemos... hacia el bosque oscuro... ¡de la trigonometría! A las terribles palabras seno, coseno, tangente y cotangente.
Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.
De hecho, todo no es tan aterrador en absoluto. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debe verse en el artículo. Pero realmente no quieres, ¿verdad? Podemos regocijarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples:
¿Por qué se trata de la esquina? ¿Dónde está la esquina? Para entender esto, necesita saber cómo se escriben las declaraciones 1 - 4 en palabras. ¡Mira, comprende y recuerda!
1.
En realidad suena así:
¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay una pata que está opuesta a la esquina, es decir, la pata opuesta (para la esquina)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es un cateto!
Pero, ¿y el ángulo? Mira de cerca. ¿Qué pierna está adyacente a la esquina? Por supuesto, el gato. Entonces, para el ángulo, el cateto es adyacente, y
Y ahora, ¡atención! Mira lo que tenemos:
Mira lo genial que es:
Ahora pasemos a tangente y cotangente.
¿Cómo ponerlo en palabras ahora? ¿Cuál es la pierna en relación con la esquina? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Y el catéter? Contiguo a la esquina. Entonces que fue lo que recibimos?
¿Ves cómo se invierten el numerador y el denominador?
Y ahora de nuevo los córners e hizo el intercambio:
Resumen
Escribamos brevemente lo que hemos aprendido.
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Teorema de pitágoras: |
El principal teorema del triángulo rectángulo es el teorema de Pitágoras.
Teorema de pitágoras
Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no, mire la imagen: actualice sus conocimientos
Es posible que ya hayas usado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo lo probarías? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.
¡Ves con qué astucia dividimos sus lados en segmentos de longitudes y!
Ahora vamos a conectar los puntos marcados.
Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira la imagen y piensa por qué.
¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Derecha, . ¿Qué pasa con el área más pequeña? Ciertamente, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imagina que tomamos dos de ellos y los apoyamos uno contra el otro con hipotenusas. ¿Qué sucedió? Dos rectángulos. Entonces, el área de "esquejes" es igual.
Pongamos todo junto ahora.
Transformemos:
Entonces visitamos a Pitágoras, demostramos su teorema de una manera antigua.
Triángulo rectángulo y trigonometría
Para un triángulo rectángulo, se cumplen las siguientes relaciones:
El seno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa
El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.
La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto al cateto adyacente.
La cotangente de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto adyacente al cateto opuesto.
Y una vez más, todo esto en forma de plato:
¡Es muy conveniente!
Signos de igualdad de triángulos rectángulos
I. En dos piernas
II. Por cateto e hipotenusa
tercero Por hipotenusa y ángulo agudo
IV. A lo largo de la pierna y el ángulo agudo
a)
B)
¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean "correspondientes". Por ejemplo, si va así:
ENTONCES LOS TRIANGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.
Necesitar en ambos triángulos, el cateto era adyacente, o en ambos, opuestos.
¿Has notado cómo los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Mira el tema “y presta atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, necesitas la igualdad de sus tres elementos: dos lados y un ángulo entre ellos, dos ángulos y un lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de los triángulos rectángulos, solo dos elementos correspondientes son suficientes. Es genial, ¿verdad?
Aproximadamente la misma situación con signos de semejanza de triángulos rectángulos.
Signos de semejanza de triángulos rectángulos
I. Esquina aguda
II. en dos piernas
tercero Por cateto e hipotenusa
Mediana en un triángulo rectángulo
¿Por que es esto entonces?
Considere un rectángulo completo en lugar de un triángulo rectángulo.
Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué sabes sobre las diagonales de un rectángulo?
¿Y qué se sigue de esto?
Entonces sucedió que
- - mediana:
¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!
Lo que es aún más sorprendente es que lo contrario también es cierto.
¿Qué bien se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hacia la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la imagen
Mira de cerca. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto hasta los tres vértices del triángulo resultaron ser iguales. Pero en un triángulo sólo hay un punto, las distancias desde las cuales los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO descrito. ¿Entonces qué pasó?
Así que empecemos con este "además...".
Miremos yo.
¡Pero en triángulos semejantes todos los ángulos son iguales!
Lo mismo puede decirse de y
Ahora vamos a dibujarlo juntos:
¿Qué uso se puede sacar de esta "triple" similitud?
Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.
Escribimos las relaciones de las partes correspondientes:
Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":
Entonces, apliquemos la similitud: .
¿Que pasará ahora?
Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula:
Ambas fórmulas hay que recordarlas muy bien y la que sea más cómoda de aplicar. Vamos a escribirlos de nuevo.
Teorema de pitágoras:
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:.
Signos de igualdad de triángulos rectángulos:
- en dos piernas:
- a lo largo del cateto y la hipotenusa: o
- a lo largo del cateto y el ángulo agudo adyacente: o
- a lo largo del cateto y el ángulo agudo opuesto: o
- por hipotenusa y ángulo agudo: o.
Signos de semejanza de triángulos rectángulos:
- una esquina afilada: o
- de la proporcionalidad de los dos catetos:
- de la proporcionalidad del cateto y la hipotenusa: o.
Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo
- El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:
- El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa:
- La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al contiguo:
- La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente al opuesto:.
Altura de un triángulo rectángulo: o.
En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa: .
Área de un triángulo rectángulo:
- a través de los catéteres: