Es absolutamente imposible resolver problemas físicos o ejemplos matemáticos sin conocimientos sobre la derivada y los métodos para calcularla. La derivada es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático. Decidimos dedicar el artículo de hoy a este tema fundamental. ¿Qué es una derivada, cuál es su significado físico y geométrico, cómo calcular la derivada de una función? Todas estas preguntas se pueden combinar en una: ¿cómo entender la derivada?

Significado geométrico y físico de la derivada

Sea una función f(x) , dado en algún intervalo (a,b) . Los puntos x y x0 pertenecen a este intervalo. Cuando x cambia, la función misma cambia. Cambio de argumento - diferencia de sus valores x-x0 . Esta diferencia se escribe como delta x y se llama incremento de argumento. El cambio o incremento de una función es la diferencia entre los valores de la función en dos puntos. Definición de derivada:

La derivada de una función en un punto es el límite de la razón del incremento de la función en un punto dado al incremento del argumento cuando este último tiende a cero.

De lo contrario, se puede escribir así:

¿Cuál es el punto de encontrar tal límite? Pero cual:

la derivada de una función en un punto es igual a la tangente del ángulo entre el eje OX y la tangente a la gráfica de la función en un punto dado.

El significado físico de la derivada: la derivada temporal de la trayectoria es igual a la velocidad del movimiento rectilíneo.

De hecho, desde la época escolar, todo el mundo sabe que la velocidad es un camino privado. x=f(t) y tiempo t . Velocidad media durante un cierto período de tiempo:

Para saber la velocidad de movimiento a la vez t0 necesitas calcular el límite:

Regla uno: sacar la constante

La constante se puede sacar del signo de la derivada. Además, hay que hacerlo. Al resolver ejemplos en matemáticas, tome como regla: si puedes simplificar la expresión, asegúrate de simplificar .

Ejemplo. Calculemos la derivada:

Regla dos: derivada de la suma de funciones

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de estas funciones. Lo mismo es cierto para la derivada de la diferencia de funciones.

No daremos una demostración de este teorema, sino que consideraremos un ejemplo práctico.

Encuentra la derivada de una función:

Regla tres: la derivada del producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones diferenciables se calcula mediante la fórmula:

Ejemplo: encontrar la derivada de una función:

Solución:

Aquí es importante decir sobre el cálculo de derivadas. funciones complejas. La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de esta función con respecto al argumento intermedio por la derivada del argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

En el ejemplo anterior, encontramos la expresión:

En este caso, el argumento intermedio es 8x elevado a la quinta potencia. Para calcular la derivada de tal expresión, primero consideramos la derivada de la función externa con respecto al argumento intermedio y luego multiplicamos por la derivada del propio argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

Regla Cuatro: La derivada del cociente de dos funciones

Fórmula para determinar la derivada de un cociente de dos funciones:

Intentamos hablar de derivados para tontos desde cero. Este tema no es tan simple como parece, así que ten cuidado: a menudo hay errores en los ejemplos, así que ten cuidado al calcular derivadas.

Ante cualquier duda sobre este y otros temas, puedes ponerte en contacto con el servicio de atención al estudiante. En poco tiempo, lo ayudaremos a resolver las tareas de control y manejo más difíciles, incluso si nunca antes se ha ocupado del cálculo de derivadas.

Cuando el hombre hizo la primera pasos independientes en el estudio del cálculo y comienza a hacer preguntas incómodas, ya no es tan fácil deshacerse de la frase de que "el cálculo diferencial se encuentra en el repollo". Por lo tanto, es hora de determinar y resolver el misterio del nacimiento de tablas de derivadas y reglas de diferenciación. Comenzó en el artículo sobre el significado de la derivada, que recomiendo encarecidamente para el estudio, porque allí solo consideramos el concepto de un derivado y comenzamos a hacer clic en tareas sobre el tema. La misma lección tiene una marcada orientación práctica, además,

los ejemplos considerados a continuación, en principio, se pueden dominar puramente formalmente (por ejemplo, cuando no hay tiempo/ganas de profundizar en la esencia de la derivada). También es muy deseable (pero no necesario) poder encontrar derivados utilizando el método "habitual", al menos al nivel de dos clases básicas:¿Cómo encontrar la derivada? y Derivada de una función compleja.

Pero sin algo, que ahora es definitivamente indispensable, es sin límites de función. Debes COMPRENDER qué es un límite y ser capaz de resolverlos, al menos en un nivel intermedio. Y todo porque la derivada

La función en un punto se define mediante la fórmula:

Les recuerdo las designaciones y los términos: llaman incremento de argumento;

– incremento de función;

- estos son símbolos INDIVIDUALES ("delta" no se puede "arrancar" de "X" o "Y").

Obviamente, es una variable "dinámica", es una constante y el resultado de calcular el límite - número (a veces - "más" o "menos" infinito).

Como punto, puede considerar CUALQUIER valor que pertenezca a dominios una función que tiene una derivada.

Nota: la cláusula "en la que existe la derivada" - generalmente significativo.! Así, por ejemplo, el punto, aunque entra en el dominio de la función, pero la derivada

no existe allí. Por lo tanto la fórmula

no aplicable en el punto

y una redacción abreviada sin reserva sería incorrecta. Hechos similares también son válidos para otras funciones con "cortes" en el gráfico, en particular, para el arcoseno y el arcocoseno.

Así, después de reemplazar , obtenemos la segunda fórmula de trabajo:

Preste atención a una circunstancia insidiosa que puede confundir a la tetera: en este límite, "x", siendo ella misma una variable independiente, juega el papel de un extra, y la "dinámica" se establece nuevamente por el incremento. El resultado del cálculo del límite.

es la función derivada.

Con base en lo anterior, formulamos las condiciones de dos problemas típicos:

- Encontrar derivada en un punto utilizando la definición de derivada.

- Encontrar función derivada utilizando la definición de derivada. Esta versión, según mis observaciones, ocurre con mucha más frecuencia y se le prestará la atención principal.

La diferencia fundamental entre las tareas es que en el primer caso se requiere encontrar el número (opcionalmente infinito), y en el segundo

función Además, el derivado puede no existir en absoluto.

Cómo ?

Haz una razón y calcula el límite.

donde lo hizo tabla de derivadas y reglas de diferenciación ? Con un solo límite

Parece magia, pero

realidad - juego de manos y sin fraude. en la lección ¿Qué es un derivado? Empecé a considerar ejemplos específicos, donde, usando la definición, encontré las derivadas de una función lineal y cuadrática. Con el propósito de calentamiento cognitivo, continuaremos perturbando tabla de derivadas, perfeccionando el algoritmo y las soluciones técnicas:

Esencialmente, necesitamos probar caso especial derivado función de potencia, que suele aparecer en la tabla: .

La solución se formaliza técnicamente de dos maneras. Comencemos con el primer enfoque, ya familiar: la escalera comienza con un tablón y la función derivada comienza con una derivada en un punto.

Considere algún punto (concreto) perteneciente a dominios una función que tiene una derivada. Establecer el incremento en este punto (por supuesto, no más allá o / o - z) y componer el incremento correspondiente de la función:

Calculemos el límite:

La incertidumbre 0:0 se elimina mediante una técnica estándar que data del siglo I a. multiplicar

numerador y denominador por expresión adjunta :

La técnica para resolver dicho límite se analiza en detalle en la lección introductoria. sobre los límites de las funciones.

Dado que CUALQUIER punto del intervalo se puede elegir como

Entonces, sustituyendo, obtenemos:

Una vez más, regocijémonos con los logaritmos:

Encuentra la derivada de la función usando la definición de la derivada

Solución: Consideremos un enfoque diferente para acelerar la misma tarea. Es exactamente lo mismo, pero más racional en cuanto a diseño. La idea es deshacerse de la

subíndice y use una letra en lugar de una letra.

Considere un punto arbitrario perteneciente a dominios función (intervalo) y establezca el incremento en ella. Y aquí, por cierto, como en la mayoría de los casos, puede hacerlo sin reservas, ya que la función logarítmica es diferenciable en cualquier punto del dominio de definición.

Entonces el incremento de la función correspondiente es:

Hallemos la derivada:

La simplicidad del diseño se equilibra con la confusión, que puede

surgen en principiantes (y no solo). ¡Después de todo, estamos acostumbrados al hecho de que la letra "X" cambia en el límite! Pero aquí todo es diferente: - una estatua antigua, y - un visitante vivo, caminando rápidamente por el pasillo del museo. Es decir, "x" es "como una constante".

Comentaré paso a paso la eliminación de la incertidumbre:

(1) Usando la propiedad del logaritmo.

(2) Divide el numerador por el denominador entre paréntesis.

(3) En el denominador multiplicamos y dividimos artificialmente por "x" para que

aprovecha lo maravilloso , mientras que infinitesimal realiza

Respuesta: Por definición de derivada:

O en resumen:

Propongo construir de forma independiente dos fórmulas tabulares más:

Encontrar derivada por definición

En este caso, el incremento compilado es inmediatamente conveniente para reducir a un denominador común. Una muestra aproximada de la tarea al final de la lección (el primer método).

Encontrar derivada por definición

Y aquí todo debe reducirse a un límite notable. La solución se enmarca en la segunda vía.

Del mismo modo, una serie de otros derivadas tabulares. Lista llena se puede encontrar en un libro de texto escolar o, por ejemplo, en el primer volumen de Fichtenholtz. No veo mucho sentido en reescribir a partir de libros y pruebas de las reglas de diferenciación: también se generan

fórmula

Pasemos a las tareas de la vida real: Ejemplo 5

Encontrar la derivada de una función , usando la definición de la derivada

Solución: usa el primer estilo. Consideremos algún punto al que pertenece y establezcamos el incremento del argumento en él. Entonces el incremento de la función correspondiente es:

Quizás algunos lectores aún no hayan entendido completamente el principio por el cual se debe hacer un incremento. Tomamos un punto (número) y encontramos el valor de la función en él: , es decir, en la función

en lugar de "x" debe ser sustituido. ahora tomamos

Incremento de función compuesta es beneficioso simplificar inmediatamente. ¿Para qué? Facilitar y acortar la solución del límite posterior.

Usamos fórmulas, abrimos paréntesis y reducimos todo lo que se puede reducir:

El pavo está eviscerado, no hay problema con el asado:

Finalmente:

Como se puede elegir cualquier número real como cualidad, hacemos la sustitución y obtenemos .

Responder : por definición.

Para propósitos de verificación, encontramos la derivada usando las reglas

diferenciaciones y tablas:

Siempre es útil y agradable saber la respuesta correcta de antemano, por lo que es mejor diferenciar mentalmente o en un borrador la función propuesta de una manera "rápida" al comienzo de la solución.

Encuentra la derivada de una función por la definición de la derivada

Este es un ejemplo de bricolaje. El resultado se encuentra en la superficie:

Volver al Estilo #2: Ejemplo 7

Averigüemos de inmediato qué debería suceder. Por la regla de diferenciación de una función compleja:

Decisión: considere un punto arbitrario perteneciente a, establezca el incremento del argumento en él y haga el incremento

Hallemos la derivada:

(1) Usamos la fórmula trigonométrica

(2) Debajo del seno abrimos los paréntesis, debajo del coseno damos términos similares.

(3) Bajo el seno reducimos los términos, bajo el coseno dividimos el numerador por el denominador término a término.

(4) Debido a la imparidad del seno, sacamos el "menos". bajo coseno

indicar que el término .

(5) Multiplicamos artificialmente el denominador para usar primer límite maravilloso. Así, se elimina la incertidumbre, peinamos el resultado.

Respuesta: por definición Como puede ver, la principal dificultad del problema en consideración radica en

la complejidad del propio límite + una ligera originalidad del packaging. En la práctica, se encuentran ambos métodos de diseño, por lo que describo ambos enfoques con el mayor detalle posible. Son equivalentes, pero aún así, en mi impresión subjetiva, es más conveniente para los maniquíes apegarse a la primera opción con "X cero".

Usando la definición, encuentre la derivada de la función

Esta es una tarea para una decisión independiente. La muestra tiene el mismo formato que el ejemplo anterior.

Analicemos una versión más rara del problema:

Encuentra la derivada de una función en un punto usando la definición de derivada.

Primero, ¿cuál debería ser el resultado final? Número Calcule la respuesta de la manera estándar:

Decisión: desde el punto de vista de la claridad, esta tarea es mucho más sencilla, ya que en la fórmula en lugar de

considerado un valor específico.

Establecemos un incremento en el punto y componemos el incremento correspondiente de la función:

Calcular la derivada en un punto:

Usamos una fórmula muy rara para la diferencia de tangentes y por enésima vez reducimos la solución a la primera

límite increíble:

Respuesta: por definición de la derivada en un punto.

El problema no es tan difícil de resolver y vista general”- es suficiente reemplazar la uña o simple, según el método de diseño. En este caso, por supuesto, no obtienes un número, sino una función derivada.

Ejemplo 10 Usando la definición, encuentre la derivada de una función en el punto

Este es un ejemplo de bricolaje.

La última tarea de bonificación está destinada principalmente a estudiantes con un estudio profundo del análisis matemático, pero tampoco perjudicará a los demás:

¿La función será diferenciable? ¿en el punto?

Solución: Es obvio que una función dada por tramos es continua en un punto, pero ¿será diferenciable allí?

El algoritmo de solución, y no solo para funciones por partes, es el siguiente:

1) Hallar la derivada por la izquierda en un punto dado: .

2) Encuentra la derivada por la derecha en el punto dado: .

3) Si las derivadas unilaterales son finitas y coinciden:

, entonces la función es diferenciable en el punto y

geométricamente, hay una tangente común aquí (ver la parte teórica de la lección Definición y Significado de derivada).

Si recibe dos diferentes significados: (uno de los cuales puede ser infinito), entonces la función no es diferenciable en un punto.

Si ambas derivadas unilaterales son iguales a infinito

(incluso si tienen signos diferentes), entonces la función no

es derivable en un punto, pero existe una derivada infinita y una tangente vertical común a la gráfica (ver Ejemplo 5 de la lecciónecuación normal) .

Al resolver diversos problemas de geometría, mecánica, física y otras ramas del conocimiento, se hizo necesario utilizar el mismo proceso analítico a partir de una función dada y=f(x) obtener una nueva función llamada función derivada(o simplemente derivada) de esta función f(x) y se simbolizan

El proceso por el cual una función dada f(x) obtener una nueva función f"(x), llamado diferenciación y consta de los siguientes tres pasos: 1) damos el argumento X incremento  X y determine el incremento correspondiente de la función  y = f(x+ x)-f(x); 2) componen la relación

3) contando X permanente, y  X0, encontramos
, que se denota por f"(x), como si enfatizara que la función resultante depende solo del valor X, en el que pasamos al límite. Definición: Derivada y "=f" (x) función dada y=f(x) dado x se llama límite de la razón del incremento de la función al incremento del argumento, siempre que el incremento del argumento tienda a cero, si, por supuesto, existe este límite, es decir finito. De este modo,
, o

Tenga en cuenta que si por algún valor X, por ejemplo cuando x=a, relación
en  X0 no tiende a un límite finito, entonces en este caso decimos que la función f(x) en x=a(o en el punto x=a) no tiene derivada o no es diferenciable en un punto x=a.

2. El significado geométrico de la derivada.

Considere el gráfico de la función y \u003d f (x), derivable en la vecindad del punto x 0

f(x)

Consideremos una línea recta arbitraria que pasa por el punto del gráfico de la función: el punto A (x 0, f (x 0)) y se cruza con el gráfico en algún punto B (x; f (x)). Tal línea recta (AB) se llama secante. De ∆ABC: ​​AC = ∆x; BC \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .

Desde AC || Ox, entonces ALO = BAC = β (como corresponde en paralelo). Pero ALO es el ángulo de inclinación de la secante AB a la dirección positiva del eje Ox. Por tanto, tgβ = k es la pendiente de la recta AB.

Ahora disminuiremos ∆x, es decir ∆x→ 0. En este caso, el punto B se aproximará al punto A según la gráfica, y la secante AB rotará. La posición límite de la secante AB en ∆x → 0 será la línea recta (a), llamada tangente al gráfico de la función y \u003d f (x) en el punto A.

Si pasamos al límite como ∆х → 0 en la igualdad tgβ =∆y/∆x, entonces obtenemos
o tg \u003d f "(x 0), ya que
-ángulo de inclinación de la tangente a la dirección positiva del eje Ox
, por definición de derivada. Pero tg \u003d k es la pendiente de la tangente, lo que significa que k \u003d tg \u003d f "(x 0).

Entonces, el significado geométrico de la derivada es el siguiente:

Derivada de una función en un punto x 0 igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la función dibujada en el punto con la abscisa x 0 .

3. Significado físico de la derivada.

Considere el movimiento de un punto a lo largo de una línea recta. Sea la coordenada del punto en cualquier momento x(t). Se sabe (a partir del curso de física) que la velocidad promedio durante un período de tiempo es igual a la relación entre la distancia recorrida durante este período de tiempo y el tiempo, es decir

Vav = ∆x/∆t. Pasemos al límite en la última igualdad como ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - velocidad instantánea en el tiempo t 0, ∆t → 0.

y lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (por la definición de derivada).

Entonces, (t) = x"(t).

El significado físico de la derivada es el siguiente: la derivada de la funcióny = F(X) en el puntoX 0 es la tasa de cambio de la funciónF(x) en el puntoX 0

La derivada se usa en física para encontrar la velocidad a partir de una función conocida de coordenadas a partir del tiempo, la aceleración a partir de una función conocida de velocidad a partir del tiempo.

 (t) \u003d x "(t) - velocidad,

a(f) = "(t) - aceleración, o

Si se conoce la ley de movimiento de un punto material a lo largo de un círculo, entonces es posible encontrar la velocidad angular y la aceleración angular durante el movimiento de rotación:

φ = φ(t) - cambio de ángulo con el tiempo,

ω \u003d φ "(t) - velocidad angular,

ε = φ"(t) - aceleración angular, o ε = φ"(t).

Si se conoce la ley de distribución de la masa de una barra no homogénea, entonces se puede encontrar la densidad lineal de la barra no homogénea:

m \u003d m (x) - masa,

x  , l - longitud de la varilla,

p \u003d m "(x) - densidad lineal.

Con la ayuda de la derivada se resuelven problemas de la teoría de la elasticidad y vibraciones armónicas. Sí, según la ley de Hooke.

F = -kx, x – coordenada variable, k – coeficiente de elasticidad del resorte. Poniendo ω 2 \u003d k / m, obtenemos la ecuación diferencial del péndulo de resorte x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0,

donde ω = √k/√m es la frecuencia de oscilación (l/c), k es la tasa de resorte (H/m).

Una ecuación de la forma y "+ ω 2 y \u003d 0 se llama ecuación de oscilaciones armónicas (mecánicas, eléctricas, electromagnéticas). La solución a tales ecuaciones es la función

y = Asin(ωt + φ 0) o y = Acos(ωt + φ 0), donde

A - amplitud de oscilación, ω - frecuencia cíclica,

φ 0 - fase inicial.

¿Qué es un derivado?
Definición y significado de la derivada de una función

Muchos se sorprenderán de la ubicación inesperada de este artículo en el curso de mi autor sobre la derivada de una función de una variable y sus aplicaciones. Después de todo, como era de la escuela: un libro de texto estándar, en primer lugar, da una definición de un derivado, su significado geométrico y mecánico. Luego, los estudiantes encuentran derivadas de funciones por definición y, de hecho, solo entonces se perfecciona la técnica de diferenciación usando tablas de derivadas.

Pero desde mi punto de vista, el siguiente enfoque es más pragmático: en primer lugar, es recomendable ENTENDER BIEN límite de función, y especialmente infinitesimales. El hecho es que la definición de la derivada se basa en el concepto de límite, que está mal considerado en curso escolar. Es por eso que una parte significativa de los jóvenes consumidores de granito de conocimiento penetran mal en la esencia misma del derivado. Por lo tanto, si está mal orientado en cálculo diferencial, o es un cerebro sabio para largos años eliminado con éxito este equipaje, comience desde límites de función. Al mismo tiempo dominar/recordar su decisión.

El mismo sentido práctico sugiere que es rentable primero aprender a encontrar derivadas, incluyendo derivadas de funciones complejas. La teoría es una teoría, pero, como dicen, siempre quieres diferenciar. En este sentido, es mejor resolver las lecciones básicas enumeradas y tal vez convertirse en maestro de diferenciación sin siquiera darse cuenta de la esencia de sus acciones.

Recomiendo comenzar los materiales en esta página después de leer el artículo. Los problemas más simples con una derivada., donde, en particular, se considera el problema de la tangente a la gráfica de una función. Pero se puede retrasar. El hecho es que muchas aplicaciones de la derivada no requieren entenderla, y no es de extrañar que la lección teórica apareciera bastante tarde, cuando necesitaba explicar encontrar intervalos de aumento/disminución y extremos funciones Es más, estuvo bastante tiempo en el tema” Funciones y Gráficos”, hasta que decidí ponerlo antes.

Por lo tanto, queridas teteras, no se apresuren a absorber la esencia del derivado, como animales hambrientos, porque la saturación será insípida e incompleta.

El concepto de creciente, decreciente, máximo, mínimo de una función

Muchos guías de estudio condujo al concepto de derivada con la ayuda de algunos problemas prácticos, y también se me ocurrió un ejemplo interesante. Imagina que tenemos que viajar a una ciudad a la que se puede llegar de diferentes maneras. Inmediatamente descartamos los caminos sinuosos curvos, y consideraremos solo líneas rectas. Sin embargo, las direcciones en línea recta también son diferentes: puede llegar a la ciudad a lo largo de una autopista plana. O en una carretera montañosa: arriba y abajo, arriba y abajo. Otro camino solo va cuesta arriba, y otro va cuesta abajo todo el tiempo. Los buscadores de emociones elegirán una ruta a través del desfiladero con un acantilado empinado y un ascenso empinado.

Pero sean cuales sean tus preferencias, lo recomendable es conocer la zona, o al menos localizarla. mapa topográfico. ¿Qué pasa si no hay tal información? Después de todo, puede elegir, por ejemplo, un camino plano, pero como resultado, tropezar con una pista de esquí con divertidos finlandeses. No es el hecho de que el navegador e incluso una imagen satelital proporcionen datos confiables. Por lo tanto, sería bueno formalizar el relieve del camino por medio de las matemáticas.

Considere algún camino (vista lateral):

Por si acaso, les recuerdo un dato elemental: el viaje se realiza de izquierda a derecha. Por simplicidad, supongamos que la función continuo en el área bajo consideración.

¿Cuáles son las características de este gráfico?

A intervalos función aumenta, es decir, cada uno de sus siguientes valores más El anterior. En términos generales, el horario va hacia arriba(subimos la colina). Y en el intervalo la función disminuye- cada siguiente valor menos el anterior, y nuestro horario va De arriba hacia abajo(bajando la pendiente).

También prestemos atención a los puntos especiales. En el punto al que llegamos máximo, es decir existe tal sección de la ruta en la que el valor será el más grande (el más alto). En el mismo punto, mínimo, Y existe tal su vecindario, en el que el valor es el más pequeño (más bajo).

En la lección se considerará una terminología y definiciones más rigurosas. sobre los extremos de la función, pero por ahora estudiemos una característica más importante: en los intervalos la función es creciente, pero es creciente a diferentes velocidades. Y lo primero que llama la atención es que el gráfico se dispara en el intervalo mucho más genial que en el intervalo. ¿Es posible medir la inclinación del camino usando herramientas matemáticas?

Tasa de cambio de función

La idea es esta: tomar algún valor (léase "delta x"), que llamaremos incremento de argumento, y comencemos a "probarlo" en varios puntos de nuestro camino:

1) Veamos el punto más a la izquierda: salteando la distancia, subimos la pendiente hasta una altura (línea verde). El valor se llama incremento de función, y en este caso este incremento es positivo (la diferencia de valores a lo largo del eje es mayor que cero). Hagamos la razón, que será la medida de la pendiente de nuestro camino. Obviamente, es un número muy específico, y dado que ambos incrementos son positivos, entonces .

¡Atención! Las designaciones son UNA símbolo, es decir, no puede "arrancar" el "delta" de la "x" y considerar estas letras por separado. Por supuesto, el comentario también se aplica al símbolo de incremento de la función.

Exploremos la naturaleza de la fracción resultante más significativa. Supongamos inicialmente que estamos a una altura de 20 metros (en el punto negro izquierdo). Superada la distancia de metros (línea roja izquierda), estaremos a una altura de 60 metros. Entonces el incremento de la función será metros (línea verde) y: . De este modo, en cada metro este tramo del camino aumenta la altura promedio por 4 metros…¿olvidaste tu equipo de escalada? =) En otras palabras, la relación construida caracteriza la TASA DE CAMBIO PROMEDIO (en este caso, el crecimiento) de la función.

Nota : Los valores numéricos del ejemplo en cuestión corresponden a las proporciones del dibujo solo aproximadamente.

2) Ahora vayamos a la misma distancia desde el punto negro más a la derecha. Aquí el aumento es más suave, por lo que el incremento (línea carmesí) es relativamente pequeño y la proporción en comparación con el caso anterior será bastante modesta. Hablando relativamente, metros y tasa de crecimiento de la función es . Es decir, aquí por cada metro de camino hay promedio medio metro de altura.

3) Una pequeña aventura en la ladera de la montaña. Miremos el punto negro superior ubicado en el eje y. Supongamos que esta es una marca de 50 metros. Nuevamente superamos la distancia, como resultado de lo cual nos encontramos más bajos, al nivel de 30 metros. Desde que se hizo el movimiento De arriba hacia abajo(en la dirección "opuesta" del eje), luego el final el incremento de la función (altura) será negativo: metros (línea marrón en el dibujo). Y en este caso estamos hablando de tasa de descomposición caracteristicas: , es decir, por cada metro de recorrido de este tramo, la altura disminuye promedio por 2 metros. Cuida la ropa en el quinto punto.

Ahora hagamos la pregunta: ¿cuál es el mejor valor de "estándar de medición" para usar? Está claro que 10 metros es muy duro. Una buena docena de golpes pueden caber fácilmente en ellos. ¿Por qué hay baches? Puede haber un desfiladero profundo debajo y, después de unos pocos metros, su otro lado con un ascenso más empinado. Por lo tanto, con uno de diez metros, no obtendremos una característica inteligible de tales secciones del camino a través de la relación.

De la discusión anterior se desprende la siguiente conclusión: cuanto menor sea el valor, con mayor precisión describiremos el relieve del camino. Además, los siguientes hechos son ciertos:

– Para cualquier puntos de elevación puede elegir un valor (aunque sea muy pequeño) que se ajuste a los límites de una u otra elevación. Y esto significa que se garantizará que el incremento de altura correspondiente sea positivo, y la desigualdad indicará correctamente el crecimiento de la función en cada punto de estos intervalos.

- Igualmente, para cualquier punto de pendiente, hay un valor que encajará completamente en esta pendiente. Por lo tanto, el aumento de altura correspondiente es inequívocamente negativo, y la desigualdad mostrará correctamente la disminución de la función en cada punto del intervalo dado.

– De particular interés es el caso cuando la tasa de cambio de la función es cero: . Primero, un incremento de altura cero () es un signo de un camino uniforme. Y en segundo lugar, hay otras situaciones curiosas, cuyos ejemplos ves en la figura. Imagina que el destino nos ha llevado a la cima de una colina con águilas volando o al fondo de un barranco con ranas croando. Si das un pequeño paso en cualquier dirección, entonces el cambio de altura será insignificante y podemos decir que la tasa de cambio de la función es en realidad cero. El mismo patrón se observa en los puntos.

Por lo tanto, nos hemos acercado a una oportunidad increíble para caracterizar perfectamente con precisión la tasa de cambio de una función. Después de todo, el análisis matemático nos permite dirigir el incremento del argumento a cero: es decir, hacerlo infinitesimal.

Como resultado, surge otra pregunta lógica: ¿es posible encontrar el camino y su horario? otra función, cual nos diría sobre todos los llanos, subidas, bajadas, picos, tierras bajas, así como la tasa de aumento/disminución en cada punto de la ruta?

¿Qué es un derivado? Definición de derivada.
El significado geométrico de la derivada y diferencial.

Lea atentamente y no demasiado rápido: ¡el material es simple y accesible para todos! Está bien si en algunos lugares algo no parece muy claro, siempre puedes volver al artículo más tarde. Diré más, es útil estudiar la teoría varias veces para comprender cualitativamente todos los puntos (el consejo es especialmente relevante para los estudiantes "técnicos" que tienen Matemáticas avanzadas juega un papel importante en el proceso educativo).

Naturalmente, en la propia definición de la derivada en el punto, la sustituiremos por:

¿A qué hemos llegado? Y llegamos a la conclusión de que para una función conforme a la ley está alineado otra función, Lo que es llamado función derivada(o simplemente derivado).

La derivada caracteriza tasa de cambio funciones ¿Cómo? El pensamiento va como un hilo rojo desde el principio del artículo. Considere algún punto dominios funciones Sea la función diferenciable en un punto dado. Luego:

1) Si , entonces la función crece en el punto . Y obviamente hay intervalo(aunque sea muy pequeño) que contiene el punto en el que crece la función, y su gráfico va "de abajo hacia arriba".

2) Si , entonces la función decrece en el punto . Y hay un intervalo que contiene un punto en el que la función decrece (la gráfica va “de arriba hacia abajo”).

3) Si , entonces infinitamente cerca cerca del punto, la función mantiene su velocidad constante. Esto sucede, como se señaló, para una función constante y en los puntos críticos de la función, En particular en los puntos mínimo y máximo.

Algunas semánticas. ¿Qué significa el verbo "diferenciar" en un sentido amplio? Diferenciar significa destacar una característica. Derivando la función , "seleccionamos" la tasa de su cambio en forma de derivada de la función . Y, por cierto, ¿qué significa la palabra "derivado"? Función sucedió de la función.

Los términos interpretan con mucho éxito el significado mecánico de la derivada. :
Consideremos la ley de cambio de la coordenada del cuerpo, dependiendo del tiempo, y la función de la velocidad del movimiento del cuerpo dado. La función caracteriza la tasa de cambio de la coordenada del cuerpo, por lo tanto es la primera derivada de la función con respecto al tiempo: . Si el concepto de “movimiento del cuerpo” no existiera en la naturaleza, entonces no existiría derivado concepto de "velocidad".

La aceleración de un cuerpo es la razón de cambio de la velocidad, por lo tanto: . Si en la naturaleza no existieran conceptos iniciales de "movimiento del cuerpo" y "velocidad de movimiento del cuerpo", entonces no existiría y derivado el concepto de aceleración de un cuerpo.