Video lección “Axioma de líneas paralelas. Propiedades de rectas paralelas

La lección en video "El axioma de las líneas paralelas" implica un examen detallado de un axioma importante de la geometría: los axiomas de las líneas paralelas, sus características, las consecuencias de este axioma, que se utilizan ampliamente en la práctica de resolver problemas geométricos. El objetivo de este video tutorial es facilitar la memorización del axioma y sus consecuencias, formar una idea de sus características y su aplicación para resolver problemas.

La presentación de material en forma de video lección abre nuevas oportunidades para el maestro. La presentación a los estudiantes del bloque estándar de material educativo es automatizada. Al mismo tiempo, se mejora la calidad del suministro de material, ya que se enriquece con representación visual, efectos de animación, acercando la construcción a lo real, realizada en el tablero. La información histórica se sirve con dibujos y fotos, lo que genera interés en el tema que se estudia. El video también libera al maestro para profundizar el trabajo individual durante el entrenamiento.

Primero, el título del tema se muestra en este video. La consideración del axioma comienza con la construcción de su modelo. La pantalla muestra la línea que yace fuera de su punto M. A continuación se describe la prueba de la afirmación de que a través de un punto M dado podemos construir una línea paralela a la dada. Dibuja perpendicular a la línea a y la línea c, luego perpendicular a la línea c en el punto M dibuja la línea b. Basado en el enunciado sobre el paralelismo de dos líneas perpendiculares a la tercera, notamos que la línea b es paralela a la línea original a. Dado esto, indicamos que en el punto M se dibuja una línea recta paralela a esta. Sin embargo, aún es necesario verificar si es posible dibujar otra línea paralela a través de M. La pantalla muestra que cualquier rotación de la línea b en el punto M conducirá a la construcción de una línea que corta la línea a. Sin embargo, ¿es posible demostrar la imposibilidad de otra línea?

El tema de la prueba de la imposibilidad de otra línea recta paralela a esta tiene una larga historia. Se invita a los estudiantes a una breve excursión a la historia del problema. Se observa que en el trabajo de "Comienzos" euclidianos esta declaración se da en forma del quinto postulado. Los intentos de los científicos para probar la declaración no condujeron al éxito. Durante muchos siglos, los matemáticos han estado interesados \u200b\u200ben este problema. Sin embargo, solo en el siglo pasado finalmente se demostró que esta afirmación no es demostrable en la geometría euclidiana. Es un axioma. Los estudiantes son presentados por uno de los matemáticos famosos que han hecho una contribución significativa a la ciencia matemática: Nikolai Ivanovich Lobachevsky. Fue él quien jugó un papel importante en la resolución final del problema. Por lo tanto, la afirmación considerada en esta lección es un axioma que se encuentra en la base de la ciencia junto con otros axiomas.

Además, se propone considerar las consecuencias de este axioma. Para esto, es necesario aclarar el concepto de "consecuencia". La pantalla muestra la definición de consecuencias como declaraciones derivadas directamente de teoremas o axiomas. Esta definición se puede ofrecer a los estudiantes para escribir en un cuaderno. El concepto de consecuencias se demuestra mediante un ejemplo que ya se discutió en la lección de video 18, "Propiedades de un triángulo isósceles". En la pantalla se muestra un teorema sobre las propiedades de un triángulo isósceles. Se recuerda que después de la prueba de este teorema, no se consideraron consecuencias no menos importantes. Entonces, si el teorema principal afirmaba que la bisectriz de un triángulo isósceles es la mediana y la altura, entonces las consecuencias tenían un contenido cercano, argumentando que la altura del triángulo isósceles es la bisectriz y la mediana, y la mediana del triángulo isósceles es una bisectriz y una altura.

Una vez aclarado el concepto de consecuencias, consideramos directamente las consecuencias que provienen de este axioma de paralelismo de líneas. La pantalla muestra el texto de la primera consecuencia del axioma, indicando que la intersección de una línea recta de una de las líneas paralelas significa la intersección de la misma y la segunda línea paralela. En la figura, debajo del texto de la investigación, se representan la línea by la línea a paralela. La segunda línea interseca la línea c en un punto M que pertenece a la línea a. Se da una prueba de la afirmación de que la línea c también se cruza con la línea b. La prueba es contradictoria, usando el axioma de líneas paralelas. Si suponemos que la línea c no se cruza con b, esto significa que a través de este punto podemos dibujar otra línea paralela a la especificada. Pero esto es imposible, dado el axioma de las líneas paralelas. En consecuencia, la línea b también se cruza con c. El corolario está probado.

A continuación, consideramos la segunda consecuencia de este axioma. El texto de la investigación se muestra en la pantalla, indicando que si dos líneas son paralelas a la tercera, entonces podemos afirmar que son paralelas entre sí. En la figura que demuestra esta afirmación, se trazan las líneas rectas a, b, c. En este caso, la línea tan paralela a ambas líneas se resalta en azul. Se propone probar esta afirmación. En el curso de la prueba, se supone que las líneas paralelas a la línea a, b no son paralelas entre sí. Esto significa que tienen un punto de intersección. Esto significa que al pasar por el punto M, ambas líneas son paralelas a la dada, lo que contradice el axioma de las líneas paralelas. Este corolario es cierto.

La lección en video "El axioma de las líneas paralelas" puede facilitar que un maestro explique a los alumnos las características del axioma, prueba de sus consecuencias, facilita a los alumnos memorizar material en una lección regular. Además, este material de video se puede utilizar para el aprendizaje a distancia, y se recomienda para un estudio independiente.

El físico alemán Albert Einstein, utilizando métodos matemáticos, desarrolló la teoría de la relatividad, habiendo hecho una revolución en la física del siglo XX.

Se cree que las bases de las matemáticas modernas fueron establecidas por Euclides en su obra de 13 volúmenes "Elementos" alrededor del año 300 antes de Cristo. e. A diferencia de sus predecesores, Euclides no explica la geometría aquí con la ayuda de innumerables dibujos, sino que es puramente lógico. Primero, describe una serie de hechos que considera verdaderos e inmutables. Estos hechos se llaman postulados. Uno de estos postulados de Euclides, por ejemplo, dice: "Desde cada punto puedes dibujar una línea recta a cualquier otro punto". Luego, basándose en estos postulados, deduce todo lo demás. Por lo tanto, Euclides fue el primero en demostrar el pensamiento matemático moderno: sobre la base de ciertas suposiciones, una vez hechas y no sometidas a una revisión adicional, demostró muchas otras declaraciones.

Durante siglos, se ha debatido sobre el quinto postulado de Euclides, el llamado axioma de líneas paralelas: a través de cualquier punto P que se encuentre fuera de la línea g, puede dibujar solo una línea que no se cruce con g. Dicha línea se llama paralela a la línea g que pasa por el punto P. Muchos científicos han tratado no solo de aceptar esta posición, sino de deducirla de las cuatro primeras. Pero eso resultó ser imposible. Los matemáticos comenzaron a crear geometría, que se basó en los primeros cuatro axiomas de Euclides y rechazaron el quinto. Lo que al principio parecía un juego matemático, a principios del siglo XX. resultó tener demanda. Albert Einstein vio en estos modelos de geometría la base de su teoría general de la relatividad.

Utilizamos otros axiomas, aunque no los destacamos particularmente. Entonces, comparamos los 2 segmentos usando superposición. La posibilidad de tal superposición se deriva del axioma "En cualquier rayo desde su comienzo, puede posponer un segmento igual a este, y además, solo uno"

Estos axiomas no están en duda y con la ayuda de ellos se prueban otras declaraciones. Este método se originó hace mucho tiempo y se describió en la composición de los "Principios" del científico Euclides. Algunos de los axiomas euclidianos: los postulados ahora se usan en geometría, y la geometría misma, descrita en los Principios, se llama geometría euclidiana.

Teoremas angulares formados por dos paralelos y secantes. Una condición es lo que se da. La conclusión es lo que necesita ser probado. Un teorema inverso es un teorema en el que la condición es la conclusión de este teorema, y \u200b\u200bla conclusión es la condición de este teorema.

Observación Si se prueba un cierto teorema, entonces la declaración inversa no se sigue de esto. Además, lo contrario no siempre es cierto. Por ejemplo, "los ángulos verticales son iguales". La afirmación inversa: "si los ángulos son iguales, entonces son verticales", por supuesto, no es cierto.

Realizado por un estudiante de grado 7 "G" MBOU "OK" Liceo №3 "Dmitry Gavrilov

Axioma
Proviene del griego "axios", que significa "valioso, digno". La posición adoptada sin prueba lógica por convincente directo, el verdadero punto de partida de la teoría. (Diccionario enciclopédico soviético)

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Subtítulos de diapositivas:

Axioma de líneas paralelas Realizado por un estudiante de grado 7 "G" MBOU "OK" Liceo № 3 "Dmitry Gavrilov año académico 2015-2016 (profesor T. Konareva)

Definiciones y hechos conocidos. Termina la oración. 1. La línea recta x se llama secante con respecto a las líneas rectas ayb, si ... 2. Cuando dos líneas rectas se cruzan, ... se forman ángulos no expandidos. 3. Si las líneas AB y C D se intersecan con la línea B D, entonces la línea B D se llama ... 4. Si los puntos B y D se encuentran en diferentes semiplanos en relación con la secante AC, entonces los ángulos BAC y DCA se llaman ... 5. Si los puntos B y D se encuentran en un semiplano con respecto a la secante AC, entonces los ángulos de BAC y DCA se denominan ... 6. Si los ángulos internos de una pareja son iguales, entonces los ángulos internos de la otra pareja ... DC A C B DAB

Verificación de la tarea. 1) ... si los cruza en dos puntos 2. 8 3. ... secante 4. ... en cruz 5. ... unilateral 6. ... son iguales

Encuentre la correspondencia a) a b m 1) a | El | b, ya que los ángulos internos de mentira son b) 2) a | El | b, ya que los ángulos correspondientes son iguales a c) a b 3) a | El | b, ya que la suma de los ángulos unilaterales internos es 180 ° 50 º 130 º 45 º 45 º m a b m a 150 º 150º

Sobre los axiomas de la geometría

Axioma proviene del griego "axios", que significa "valioso, digno". La posición adoptada sin prueba lógica en virtud de la persuasión directa es el verdadero punto de partida de la teoría. Diccionario Enciclopédico Soviético

Una línea pasa a través de dos puntos, y además, solo uno. ¿Cuántas líneas se pueden dibujar a través de dos puntos que yacen en un plano?

En cualquier rayo desde su comienzo es posible posponer un segmento igual a este, y además, solo uno. ¿Cuántos segmentos de una longitud dada pueden retrasarse desde el comienzo de un rayo?

Se puede separar un ángulo igual a un ángulo no expandido dado de cualquier rayo en una dirección dada y, además, solo uno. ¿Cuántos ángulos iguales a este se pueden apartar de un rayo dado en un semiplano dado?

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Axioma de rectas paralelas

Probemos que a través del punto M es posible dibujar una línea paralela a la línea a con b a ┴ s con ┴ s a ІІ en

¿Es posible dibujar otra línea a través del punto M paralelo a la línea a? y M en 1 ¿Y se puede probar esto?

Muchos matemáticos, desde la antigüedad, intentaron probar esta afirmación, y en los "Principios" de Euclides, esta afirmación se llama el quinto postulado. Los intentos de probar el quinto postulado de Euclides no tuvieron éxito, y fue solo en el siglo XIX que finalmente quedó claro que la afirmación de la unicidad de una línea que pasa por un punto dado paralelo a una línea dada no se puede probar sobre la base de los axiomas euclidianos restantes, sino que es en sí mismo un axioma. El matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky desempeñó un papel importante en la solución de este problema.

El quinto postulado de Euclides 1792-1856 Nikolai Ivanovich

"A través de un punto que no se encuentra en una línea dada, solo una línea corre paralela a esta". "A través de un punto que no se encuentra en una línea dada, puede dibujar una línea paralela a esta". ¿Cuál de estas afirmaciones es un axioma? ¿Cuál es la diferencia entre las declaraciones anteriores?

A través de un punto que no se encuentra en una línea dada, solo una línea corre paralela a esta. Los enunciados que se deducen de axiomas o teoremas se denominan corolarios Corolario 1. Si una línea intersecta una de dos líneas paralelas, entonces intersecta la otra. a II b, c b ⇒ c a Axioma de paralelismo y sus consecuencias. a A Corolario 2. Si dos líneas son paralelas a la tercera línea, entonces son paralelas. a II c, b II c a II b a b c c b

Consolidación del conocimiento. Pruebe la marca “+” con declaraciones correctas y “-” con falso. Opción 1 1. Un axioma es una declaración matemática sobre las propiedades de figuras geométricas que requiere prueba. 2. Una línea pasa por cualquiera de los dos puntos. 3. En cualquier rayo desde el principio, puede posponer segmentos iguales a este y tantos como desee. 4. A través de un punto que no se encuentra en una línea dada, solo una línea corre paralela a esta. 5. Si dos líneas son paralelas a la tercera, entonces son paralelas entre sí. Opción 2 1. Un axioma es un enunciado matemático sobre las propiedades de las figuras geométricas, aceptado sin prueba. 2. Una línea pasa a través de dos puntos, y además, solo uno. 3. A través de un punto que no se encuentra en una línea dada, solo pasan dos líneas paralelas a esta línea. 4. Si una línea interseca una de dos líneas paralelas, entonces es perpendicular a la otra línea. 5. Si una línea se cruza con una de dos líneas paralelas, se cruza con la otra.

Respuestas de la prueba Opción 1 1. "-" 2. "-" 3. "-" 4. "+" 5. "+" Opción 2 "+" "+" "-" "-" "+"

“La geometría está llena de aventuras, porque detrás de cada tarea hay una aventura de pensamiento. Resolver un problema significa sobrevivir a una aventura ". (V. Arbitrariedad)