Simetría en el espacio El concepto de un poliedro regular Elementos de simetría de un poliedro regular. Lección en video "Elementos de simetría de poliedros regulares

30.09.2019

Elementos de simetría Se llaman imágenes geométricas auxiliares (un punto, una línea, un plano y sus combinaciones), con la ayuda de las cuales se pueden combinar mentalmente caras iguales de un cristal (poliedro) en el espacio. Además, bajo simetría el cristal se entiende como una repetición natural en el espacio de sus caras iguales, así como vértices y bordes.

Hay tres elementos principales de la simetría de los cristales: el centro de simetría, el plano de simetría y el eje de simetría.

Centro de simetría llamado un punto imaginario dentro del cristal, equidistante de sus elementos de restricción (es decir, vértices opuestos, puntos medios de bordes y caras). El centro de simetría es el punto de intersección de las diagonales de la figura correcta (cubo, caja) y se indica con la letra Con, y de acuerdo con el sistema internacional de Herman-Mogen - I.

Solo puede haber un centro de simetría en un cristal. Sin embargo, hay cristales en los que el centro de simetría está completamente ausente. Al decidir si hay un centro de simetría en su cristal, debe guiarse por la siguiente regla:

"Si hay un centro de simetría en el cristal, cada una de sus caras corresponde a una cara igual y opuesta".

En ejercicios prácticos con modelos de laboratorio, la presencia o ausencia de un centro de simetría en un cristal se establece de la siguiente manera. Ponemos el cristal con cualquiera de sus caras en el plano de la mesa. Compruebe si hay una cara igual y paralela en la parte superior. Repita la misma operación para cada cara del cristal. Si una cara igual y paralela corresponde a cada cara del cristal desde arriba, entonces el centro de simetría está presente en el cristal. Si para al menos una cara del cristal no hay una cara igual y paralela desde arriba, entonces no hay un centro de simetría en el cristal.

Plano de simetría (denotado por la letra P, según símbolos internacionales - m) es un plano imaginario que pasa por el centro geométrico del cristal y lo divide en dos mitades especulares. Los cristales que tienen un plano de simetría tienen dos propiedades. En primer lugar, sus dos mitades, separadas por un plano de simetría, son iguales en volumen; en segundo lugar, son iguales, como reflejos en un espejo.

Para verificar la igualdad de espejo de las mitades del cristal, es necesario dibujar una perpendicular imaginaria de cada uno de sus vértices al plano y continuarla a la misma distancia del plano. Si cada vértice corresponde en el lado opuesto del cristal a un vértice reflejado en él, entonces hay un plano de simetría en el cristal. Al determinar los planos de simetría en modelos de laboratorio, el cristal se coloca en una posición fija y luego se diseca mentalmente en mitades iguales. Se verifica la igualdad de espejo de las mitades obtenidas. Contamos cuántas veces podemos diseccionar mentalmente el cristal en dos partes iguales de espejo. ¡Recuerde que el cristal debe estar inmóvil!

El número de planos de simetría en los cristales varía de 0 a 9. Por ejemplo, en un paralelepípedo rectangular encontramos tres planos de simetría, es decir, 3P.

Eje de simetría Una línea imaginaria se llama pasar a través del centro geométrico del cristal, durante la rotación alrededor de la cual el cristal repite su apariencia en el espacio varias veces, es decir, se autoalinea. Esto significa que después de la rotación a través de cierto ángulo, una de las caras de cristal se reemplaza por otras caras iguales a ellas.

La característica principal del eje de simetría es el ángulo de rotación más pequeño en el que el cristal "se repite" en el espacio por primera vez. Este ángulo se llama rotación del eje elemental y denotado por α, por ejemplo:

El ángulo de rotación elemental de cualquier eje está necesariamente contenido en un número entero de 360 \u200b\u200b°, es decir (un número entero), donde n es el orden del eje.

De esta manera , orden de eje llamado un número entero que muestra cuántas veces el ángulo de rotación elemental de este eje es 360 °. De lo contrario, el orden del eje es el número de "repeticiones" del cristal en el espacio cuando se gira completamente alrededor de este eje.

El eje de simetría se indica con la letra L, el orden del eje se indica con un pequeño número en la esquina inferior derecha, por ejemplo, L 2.

En los cristales, son posibles los siguientes ejes de simetría y los ángulos de rotación elementales correspondientes.

Tabla 1

La relación de los ejes de simetría y los ángulos elementales de rotación.

En cualquier cristal, hay un número infinito de ejes de simetría de primer orden; por lo tanto, en la práctica no están determinados.

El eje de simetría del quinto y cualquier orden por encima del sexto en cristales no existe en absoluto. Esta característica de los cristales está formulada como la ley de simetría de los cristales. La ley de simetría de los cristales se explica por la especificidad de su estructura interna, a saber, la presencia de una red espacial, que no permite la existencia de ejes de los órdenes 5, 7, 8, etc.

Un cristal puede tener varios ejes del mismo orden. Por ejemplo, en un paralelepípedo rectangular hay tres ejes del segundo orden, es decir, 3L 2.

El cubo contiene 3 ejes del 4 ° orden, 4 ejes del 3 ° orden y 6 ejes del 2 ° orden. Los ejes de simetría de orden superior en un cristal se denominan los principales.

Encontrar el eje de simetría en los modelos durante los estudios de laboratorio se realiza en el siguiente orden. El cristal se toma con la punta de los dedos de una mano para sus puntos opuestos (vértices, puntos medios de bordes o caras). El eje imaginario se establece verticalmente delante de sí mismo; Se recuerda cualquier aspecto característico del cristal. Luego, el cristal gira con la otra mano alrededor de un eje imaginario hasta que su apariencia inicial se "repite" en el espacio. Consideramos cuántas veces el cristal "se repite" en el espacio con una rotación completa alrededor de este eje. Esta será su orden. De manera similar, se verifican todas las demás direcciones teóricamente posibles del paso del eje de simetría en el cristal. Los datos del eje de simetría se llaman simple

Además de ellos hay complejo eje de simetría, llamado espejo girado e inverso. Eje rotativo La simetría es una combinación mental de un eje simple y un plano de simetría perpendicular a él. Los ejes de rotación de espejo pueden ser del mismo orden que los simples, pero en la práctica solo se usa el eje de cuarto orden, que se denota con L 4 2 y siempre es igual a L 2, pero no al revés.

Eje de inversión La simetría es una combinación mental de un eje simple de simetría y un centro de simetría. En la práctica y en teoría, solo se utilizan ejes de inversión de 4to y 6to orden. Se designan Li 4 y Li 6.

La combinación de todos los elementos de simetría del cristal, escrita con la leyenda, se llama su fórmula de simetría . La fórmula de simetría enumera primero el eje de simetría, luego el plano de simetría y el último muestra la presencia de un centro de simetría. No hay puntos ni comas entre los símbolos. Por ejemplo, la fórmula de simetría de una caja rectangular: 3L 3 3PC; Cuba - 3L 4 4L 3 6L 2 9PC.

Tipos de simetría cristalina

Tipos de simetria Se llaman posibles combinaciones de elementos de simetría en cristales. Cada tipo de simetría corresponde a una determinada fórmula de simetría.

En total, 32 tipos de simetría han sido teóricamente probados para cristales. Por lo tanto, hay un total de 32 fórmulas de simetría de cristal.

Todos los tipos de simetría se combinan en 7 pasos simetría, teniendo en cuenta la presencia de elementos característicos de simetría.

1. Primitivo - los tipos de simetría están representados, representados solo por ejes únicos de simetría de diferentes órdenes: L 3, L 4, L 6.

2. Central - Además de los ejes individuales de simetría, hay un centro de simetría; Además, junto con la presencia de ejes de simetría uniforme, también aparece un plano de simetría: L 3 C, L 4 PC, L 6 PC.

3. Plano (plano - plano, griego.) - hay un solo eje y planos de simetría: L 2 2P, L 4 4P.

4. Axial (eje - eje, griego): solo están presentes el eje de simetría: 3L 2, L 3 3L 2, L 6 6L 2.

5. Planaxial - hay ejes, planos y un centro de simetría: 3L 2 3PC, L 4 4L 2 5PC.

6. Primitivo inverso - la presencia de un solo eje inverso de simetría: L i 4, L i 6.

7. Inversión-planar - la presencia, además del eje de inversión, de ejes simples y planos de simetría: L i 4 4L 2 2P, L i 6 3L 2 3P.

Cada nivel de simetría combina un número diferente de tipos de simetría: de 2 a 7.

Syngonia

Syngony Se llama un grupo de tipos de simetría que tienen el eje principal de simetría del mismo nombre y el mismo nivel general de simetría (syn - similar, goni - angle, literalmente: syngonia - ángulos similares, griego). La transición de una sinngonía a otra se acompaña de un aumento en el grado de simetría de los cristales.

Se secretan un total de 7 sinonias. Para aumentar gradualmente el grado de simetría de los cristales, se organizan de la siguiente manera.

1. Triclínico syngonia (cuña - ángulo, pendiente, griego) fue nombrado teniendo en cuenta la peculiaridad de los cristales, que entre todas las caras los ángulos son siempre oblicuos. No hay otros elementos de simetría excepto C.

2. Monoclínico (monos - uno, griego.) - en una dirección entre las caras de los cristales, el ángulo siempre es oblicuo. L 2, P y C pueden estar presentes en los cristales. Ninguno de los elementos de simetría se repite al menos dos veces.

3. Rómbico - obtuvo el nombre de acuerdo con la sección transversal característica de los cristales (recuerde los ángulos del rombo tipo 1).

4. Trigonal - Llamado así por su característica sección transversal (triángulo) y ángulos poliédricos (trigonal, ditrigonal). Asegúrese de presentar uno L 3.

5. Tetragonal - sección transversal característica en forma de ángulos cuadrados y poliédricos - tetragonal y ditetragonal. Asegúrese de presentar L 4 o L i4.

6. Hexagonal - una sección transversal en forma de hexágono regular, ángulos poliédricos - hexagonales y dihexagonales. necesariamente la presencia de un L 6 o L i 6.

7. Cúbico - forma cúbica típica de cristales. Una combinación de elementos de simetría 4L 3 es característica.

Syngonia se une en 3 categorías : inferior, medio y superior.

Información similar

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Fundamentación metodológica de la lección.

El uso del conocimiento de física, astronomía, MHC, biología en una lección de geometría al resumir la sistematización de la información sobre el tema “Simetría en el espacio. Poliedros correctos. Elementos de simetría de poliedros regulares.

Tipo de lección:una lección sobre la aplicación de conocimientos, habilidades de los estudiantes.

Objetivos de la lección:

Educacional:generalización y sistematización de información sobre poliedros regulares y sus elementos de simetría, el uso de simetría en el espacio.

Desarrollando:

El desarrollo de la capacidad de expresar lógicamente los pensamientos de uno usando un lenguaje literario;
El desarrollo de la capacidad de argumentar;
El desarrollo de habilidades de escucha y la distribución de la atención durante la escucha;
Desarrollo de la capacidad de hacer preguntas aclaratorias;
Desarrollo de habilidades adquiridas conocimiento en situaciones no estándar;
Para desarrollar la capacidad de resaltar lo principal, comparar, generalizar;
El desarrollo del pensamiento abstracto y visual-figurativo.

Educacional:La educación del amor por el tema, el cultivo de la disciplina consciente, la formación de habilidades de control y autocontrol, la activación de la actividad cognitiva en el equipo y la formación de habilidades de cooperación, comunicación entre sujetos. Inculcar sentimientos por la belleza, educación estética.

Principios de aprendizaje.

Didáctico:

Aprendizaje sistemático y consistente.
Accesibilidad (dependencia del conocimiento del alumno).
Individualización de la formación (teniendo en cuenta los tipos psicológicos de percepción del material por parte de los alumnos, diferenciación del material didáctico por tareas).
Ciencia.
La conexión entre teoría y práctica.

Equipo de la lección (herramientas de aprendizaje).

Pizarra magnética.
Modelos de poliedros, modelos de poliedros regulares. Mesa.
Tarjetas con tareas.
En el escritorio de los alumnos: libros de texto, cuadernos, bolígrafos y lápices, reglas. Notas de referencia

Estructura de la lección:

Etapa organizacional.
Fase de verificación de tareas.
Etapa de prueba de conocimiento integral.
La etapa de generalización y sistematización del conocimiento.
Resumiendo la lección.
Organice a los estudiantes con información sobre la tarea, información sobre su implementación

Métodos de monitoreo de actividades educativas en esta lección:

Oral y escrito.
Frontal, grupal, individual.
Control final

Leccion

1. La etapa organizacional.

Saludos mutuos de profesores y alumnos.

Informar sobre el tema de la lección, el plan de trabajo en la lección de generalización y sistematización de la información sobre el tema.

Establecimiento de objetivos.

2. La etapa de revisar la tarea. Preparaciones de modelos de poliedros.

3. La etapa de la prueba de conocimiento integral.

Dictado matemático con verificación mutua (el escrito y las tarjetas se reparten al profesor). Apéndice 1

Encuesta frontal:

Simetría en planimetría.
Tipos de simetría.
Propiedad de simetría.
Formas simétricas para ellos mismos.

4. Plan de lección.

Conocimiento del concepto de "simetría" y sus tipos, elementos de simetría de poliedros regulares;
El estudio de las manifestaciones de simetría en el mundo que nos rodea;
Perspectivas para el uso de la simetría en diversos campos de la actividad humana.
- Simetría en el espacio. La historia del profesor con una discusión.
- Simetría en la naturaleza. El desempeño del alumno. Respuestas a las preguntas de los alumnos.
- Simetría en el arte: arquitectura, escultura, pintura. El desempeño del alumno. Respuestas a las preguntas de los alumnos.
- Poliedros regulares. La historia del alumno sobre los modelos terminados.

Las preguntas se ofrecen a los estudiantes por adelantado.

Preguntas y tareas.

El concepto de poliedro.
El concepto de una pirámide. Hacer modelos
El concepto de prisma. Hacer modelos

Personalizado:

De la literatura de referencia, haga una selección de materiales sobre poliedros regulares.
Para preparar mensajes: "Simetría en el espacio", "Simetría en la naturaleza", "simetría en el arte".
Haz modelos de poliedros regulares.

Grupo:

Dar ejemplos de la aplicación de la simetría en el espacio, la naturaleza, el arte.
Prepare información sobre el antiguo erudito griego Platón.

Simetría en el espacio.

"La simetría ... es una idea con la que el hombre ha intentado durante siglos explicar y crear orden, belleza y perfección". Estas palabras pertenecen al famoso matemático Hermann Weil.

En planimetría, consideramos figuras relativas a un punto y una línea recta. En estereometría, la simetría se considera con respecto a un punto, una línea y un plano.

Los puntos A y A 1 se denominan simétricos con respecto al punto O (centro de simetría) si O es el punto medio del segmento AA 1. el punto O se considera simétrico a sí mismo. Dibujo

Los puntos A y A 1 se denominan simétricos con respecto a la línea. pero(eje de simetría) si la línea pasa por la mitad del segmento AA 1 y es perpendicular a este segmento. Cada punto de la linea peroconsiderado simétrico a sí mismo. Dibujo Hoja, copo de nieve, mariposa: ejemplos de simetría axial. Apéndice 2

Todos los días, cada uno de nosotros ve un reflejo en el espejo varias veces al día. Esto es tan habitual que no estamos sorprendidos, no hacemos preguntas, no hacemos descubrimientos. El filósofo alemán Immanuel Kant habló del reflejo del espejo de la siguiente manera: “¿Qué puede parecerse más a mi mano o mi oído que a su propio reflejo en el espejo? Y, sin embargo, la mano que veo en el espejo no se puede poner en lugar de una mano permanente ... "

Esta es la simetría con respecto al plano.

Los puntos A y A 1 se denominan simétricos con respecto al plano (plano de simetría) si el plano pasa a través del medio del segmento AA 1 y es perpendicular a este segmento. Cada punto del plano se considera simétrico a sí mismo. Dibujo

Introducimos los conceptos del centro, eje y plano de simetría de una figura.

Un punto (línea, plano) se llama el centro (eje, plano) de la simetría de la figura, si cada punto de la figura es simétrico con respecto a él en algún punto de la misma figura. Si la figura tiene un centro (eje, plano) de simetría, entonces dicen que tiene simetría central (axial, espejo).

Simetría en la naturaleza.

“Una vez, de pie frente a una pizarra y dibujando diferentes formas con tiza, de repente me llamó la atención: ¿por qué la simetría es agradable a la vista? ¿Qué es la simetría? Este es un sentimiento innato, me respondí. ¿En qué se basa? ¿Hay simetría en toda la vida? ", Preguntó Nikolenka Irtenyev de" La adolescencia "de L. Tolstoy.

¿Por qué reina la simetría en la naturaleza? ¿Por qué todo está viviendo simétricamente desde microorganismos hasta humanos?

El dominio de la simetría en la naturaleza se explica por la fuerza de la gravedad, que actúa en todo el universo. El efecto de la gravedad o su ausencia se explica por el hecho de que tanto los cuerpos cósmicos que flotan en el Universo como los microorganismos suspendidos en el agua tienen una forma de simetría más alta: esférica (coincide con sí misma en cualquier rotación relativa al centro de la figura). Todos los organismos que crecen en el estado adjunto (árboles) o que viven en el fondo del océano (estrella de mar), es decir Los organismos para los cuales la dirección de la gravedad es decisiva tienen un eje de simetría. Para los animales que pueden moverse en el agua, el aire o en el suelo, además de la dirección de la gravedad, la dirección del movimiento del animal también es importante. Tales animales tienen un plano de simetría. Los biólogos llaman a este plano bilateral, y el tipo de simetría - espejo.

Ejemplos de simetría en la vida silvestre son los insectos, a saber, las criaturas más bellas de la tierra: las mariposas, que es un ejemplo de simetría de espejo. Apéndice 2

Casi todos los cristales en la naturaleza son simétricos. Apéndice 3

Simetría en el arte (arquitectura, escultura, pintura, literatura, música, baile).

Observando el mundo que lo rodea, un hombre históricamente trató de mostrarlo de manera más o menos realista en diversas formas de arte, por lo que es muy interesante considerar la simetría en la pintura, la escultura, la arquitectura, la literatura, la música y el baile.

Ya podemos ver la simetría en la pintura en las pinturas rupestres de personas primitivas. En los siglos antiguos, una parte significativa del arte del dibujo eran iconos, en cuya creación los artistas usaban las propiedades de la simetría de espejo. Al mirarlos hoy, te sorprende la simetría asombrosa en forma de santos, aunque a veces sucede algo interesante: en las imágenes asimétricas sentimos la simetría como una norma, de la cual el artista evade bajo la influencia de factores externos.

Los elementos de simetría se pueden ver en los planos generales de los edificios. Apéndice 4. La escultura y la pintura también proporcionan muchos ejemplos sorprendentes del uso de la simetría para resolver problemas estéticos. Ejemplos son la tumba de Giuliano Medici del gran Miguel Ángel, un mosaico del ábside de la Catedral de Santa Sofía en Kiev, donde se representan dos figuras de Cristo, una en comuna con pan y la otra con vino.

La bifurcación simétrica del espejo de la figura de Cristo nos permitió representar simultáneamente los dos momentos más importantes de la Eucaristía: la comunión con el vino, que significaba la sangre de Cristo. La bifurcación en espejo de Cristo fue uno de los métodos favoritos de iconografía de la Última Cena. Apéndice 5

La simetría, suplantada de la pintura y la arquitectura, gradualmente ocupó nuevas esferas de la vida de las personas: música y baile. Entonces, en la música del siglo XV, se descubrió una nueva dirección: la polifonía de imitación, que es un análogo musical del adorno, apareció más tarde: fugas, versiones sonoras de un patrón complejo. En el género de la canción moderna, como creo, el estribillo es un ejemplo de la simetría figurativa más simple a lo largo del eje (letra). En los bailes que usan figuras y pa constantemente repetidos, también encontramos simetría, miramos la figura. Apéndice 6

La literatura tampoco ignoraba la simetría. Por lo tanto, los palíndromos pueden servir como ejemplo de simetría en la literatura, estas son partes del texto cuya secuencia inversa y directa de letras coinciden. Por ejemplo, "Una rosa cayó sobre la pata de Azora" (A.Fet), "Raramente sostengo la colilla de un cigarrillo con la mano". Como un caso especial de palíndromos, sabemos muchas palabras en ruso que son chanclas: coc, stomp, cossack y muchas otras. Sobre el uso de tales palabras, los acertijos a menudo se construyen: rebuses.

Poliedros regulares.

En geometría, una figura puede tener uno o más centros de simetría (ejes). Un poliedro convexo se llama regular si todas sus caras son poliedros regulares iguales y el mismo número de aristas converge en cada uno de sus vértices. Un ejemplo de un poliedro regular es un cubo.

Probemos que no existe un poliedro regular cuyas caras sean hexágonos regulares, heptagones, y generalmente a las 6.

A las 6, el ángulo de cada polígono es mayor o igual a 120. Por otro lado, en cada vértice del poliedro debe haber al menos tres ángulos planos. Pero 120

Por la misma razón, cada vértice de un poliedro regular puede ser un vértice de 3, 4, 5 triángulos regulares, 3 cuadrados o 3 pentágonos regulares. Por lo tanto, solo hay 5 poliedros regulares. Apéndice 7

El tetraedro es un tetraedro.
Hexaedro - hexágono (cubo).
El octaedro es un octaedro.
El icosaedro es de veinte lados.
El dodecaedro es un dodecaedro.

Los poliedros correctos de la antigüedad atrajeron la atención de científicos, arquitectos y artistas.

El antiguo erudito griego Platón describió en detalle las propiedades de los poliedros regulares. Por lo tanto, se llaman los cuerpos de Platón. El decimotercer libro "Los comienzos" de Euclides está dedicado a los poliedros correctos. Platón creía que los átomos de fuego están en forma de tetraedro, hexaedro de tierra, octaedro de aire, icosaedro de agua, todo el universo tiene la forma de un dodecaedro.

Los héroes de la pintura del pintor español S. Dali en "La última cena" están sentados en el fondo de un enorme dodecaedro. Apéndice 5. El artista A. Duder en el grabado "Melancolía" dio una imagen en perspectiva del dodecaedro. Apéndice 8.

En el Renacimiento, el temperamento melancólico se identificaba con la creatividad. En el grabado de Durero, Melancolía está rodeada de atributos de arquitectura y geometría, por lo que a los matemáticos les gusta considerar esta obra maestra del arte gráfico como la personificación del espíritu creativo de un matemático, y a la misma Melancolía como representante de las matemáticas en el mundo de la belleza.

La etapa de consolidación y generalización.

Se ofrecen modelos de poliedro:

1) caracterizar;

2) elige entre estos modelos de poliedros: los cuerpos de Platón.

6. La etapa de probar el conocimiento sobre el tema.

Realizar trabajos prácticos. Trabajo en grupo. Apéndice 9.

7. La conclusión de la lección la hacen los propios alumnos.

Entonces, ¿qué hemos aprendido hoy? ¿Qué recuerdas del tema de hoy?

Simetría en el espacio.
Simetría en la naturaleza.
Simetría en el arte: arquitectura, escultura, pintura.
Poliedros regulares.

Resumen de la leccion.

Grados para la lección, los estudiantes pasan folletos con trabajo práctico.

9. Información sobre la tarea.

1) Hacer manualidades o dibujar: formas geométricas, objetos, seres vivos que tengan un eje (centro) de simetría.

2) Una tarea creativa individual para estudiantes que recibieron buenas y excelentes calificaciones por lección. Escriba un ensayo sobre el tema: "Simetría en la vida cotidiana, la tecnología y la física".

3) Presentación "Simetría a nuestro alrededor"

10. Referencias.

Enciclopedia de los niños, 3ª edición, "Pedagogía", M., 1973.
L. Tarasov, Este mundo sorprendentemente simétrico, "Ilustración", M., 1980.
I.F. Sharygin, L.N. Yerganzhieva. Geometría visual, "MIROS", 1995.

Recursos de internet.

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Propósito del estudio

Introducir a los estudiantes a un nuevo tipo de poliedros convexos: los poliedros regulares.
Mostrar la influencia de los poliedros regulares en la aparición de teorías filosóficas e hipótesis fantásticas.
Mostrar la relación de geometría y naturaleza.
Estudiar los elementos de simetría de los poliedros regulares.

Resultado previsto

Conocer la definición de poliedros convexos regulares.
Para poder probar que solo hay cinco tipos de tales cuerpos.
Ser capaz de caracterizar cada tipo de poliedros regulares.
Conocer el teorema de Euler (sin prueba).
Tener un concepto de simetría en el espacio (central, axial, espejo).
Conocer ejemplos de simetrías en el mundo.
Conozca los elementos de simetría de cada poliedro regular.
Ser capaz de resolver problemas de encontrar elementos de poliedros regulares.

Plan de lección

Momento organizacional.
Actualización del conocimiento.
La introducción de un nuevo concepto, el estudio de los poliedros convexos regulares.
Los poliedros correctos en la imagen filosófica del mundo de Platón (mensaje del alumno).
Fórmula de Euler (trabajo de investigación de clase).
Poliedros correctos (mensaje del alumno).
Poliedros correctos en las pinturas de grandes artistas (mensajes de estudiantes).
Poliedros y naturaleza correctos (mensajes de los alumnos).
Elementos de simetría de poliedros regulares (mensajes de estudiantes).
Resolución de problemas
Resumiendo la lección.
Tarea

Equipo

Herramientas de dibujo.
Modelos de poliedros.
Una reproducción de La última cena de S. Dalí.
Computadora, proyector.
Ilustraciones de publicaciones de estudiantes:
- modelo del sistema solar I. Kepler;
- estructura icosaédrica del dodecaedro de la tierra;
- poliedros regulares en la naturaleza.

"Los poliedros correctos son definitivamente pocos, pero este es muy modesto
en términos de tamaño, el escuadrón logró entrar en las profundidades de varias ciencias ".
L. Carroll

Leccion

Por el momento, ya tienes una idea de poliedros como un prisma y una pirámide. En la lección de hoy, tiene la oportunidad de ampliar significativamente su conocimiento de los poliedros, aprenderá sobre los llamados poliedros convexos regulares. Ya está familiarizado con algunos conceptos: estos son poliedros y poliedros convexos. Recordarlos.

Define un poliedro.
¿Qué poliedro se llama convexo?

Ya hemos usado las frases "prismas regulares" y "pirámides regulares". Resulta que una nueva combinación de conceptos familiares forma un concepto completamente nuevo desde un punto de vista geométrico. ¿Qué poliedros convexos llamaremos regulares? Escucha atentamente la definición.

Un poliedro convexo se llama regular si sus caras son poliedros regulares con el mismo número de lados y el mismo número de aristas converge en cada vértice del poliedro.

Puede parecer que la segunda parte de la definición es superflua y es suficiente decir que un poliedro convexo se llama regular si sus caras son poliedros regulares con el mismo número de lados. ¿Es esto realmente suficiente?

Mira el poliedro. (Demuestra un modelo de un poliedro, que se obtiene de dos tetraedros regulares pegados entre sí por una cara). ¿Deja la impresión de un poliedro regular? ( No!) Veamos sus bordes: triángulos regulares. Cuente la cantidad de aristas que convergen en cada vértice. En algunos picos, tres bordes convergen, en algunos, cuatro. La segunda parte de la definición de un poliedro convexo regular no está satisfecha y el poliedro en cuestión no es, de hecho, correcto. Por lo tanto, cuando dé una definición, recuerde ambas partes.

Hay cinco tipos de poliedros convexos regulares en total. Sus caras son triángulos regulares, cuadrángulos regulares (cuadrados) y pentágonos regulares.

Probemos que no existe un poliedro regular cuyas caras son hexágonos regulares, heptagones y, en general, n son polígonos con n 6.

De hecho, el ángulo de un n-gon regular en n 6 es al menos 120 ° (explique por qué). Por otro lado, en cada vértice del poliedro debe haber al menos tres ángulos planos. Por lo tanto, si existiera un poliedro regular cuyas caras son n-gones regulares en n 6, entonces la suma de los ángulos planos en cada vértice de dicho poliedro no sería menor que 120 о * 3 \u003d 360 о . Pero esto es imposible, ya que la suma de todos los ángulos planos en cada vértice de un poliedro convexo es inferior a 360 °.

Por la misma razón, cada vértice de un poliedro regular puede ser un vértice de tres, cuatro o cinco triángulos equiláteros, o cuadrados, o tres pentágonos regulares. No hay otras posibilidades. De acuerdo con esto, obtenemos los siguientes poliedros regulares.

Los nombres de estos poliedros provienen de la antigua Grecia, y el número de caras se indica en ellos:

edra - el borde
tetra - 4
hexa - 6
octa - 8
Ikosa - 20
Dodeca - 12

Debe recordar los nombres de estos poliedros, poder caracterizar cada uno de ellos y demostrar que no hay otros tipos de poliedros regulares, excepto los cinco enumerados.

Llamo la atención sobre las palabras de L. Carroll, que son el epígrafe de la lección de hoy: "No hay tantos poliedros correctos, pero este escuadrón numérico muy modesto logró llegar a las profundidades de varias ciencias".

Sobre cómo los científicos usaron los poliedros correctos en sus fantasías científicas, se nos dirá:

Mensaje "Poliedros regulares en la imagen filosófica del mundo de Platón"

Los poliedros regulares a veces se llaman sólidos platónicos, porque ocupan un lugar destacado en la imagen filosófica del mundo, desarrollado por el gran pensador de la antigua Grecia, Platón (c. 428 - c. 348 a. C.).

Platón creía que el mundo está formado por cuatro "elementos": fuego, tierra, aire y agua, y los átomos de estos "elementos" tienen la forma de cuatro poliedros regulares. El tetraedro personificaba el fuego, ya que su parte superior está dirigida hacia arriba, como una llama ardiente; icosaedro - como el más aerodinámico - agua; el cubo es la figura más estable: la tierra y el octaedro, el aire. Hoy en día, este sistema se puede comparar con los cuatro estados de la materia: sólido, líquido, gaseoso y ardiente. El quinto poliedro: el dodecaedro simbolizaba el mundo entero y era venerado como el más importante.

Este fue uno de los primeros intentos de introducir la idea de sistematización en la ciencia.

Maestro Y ahora pasaremos de la Antigua Grecia a Europa de los siglos XVI al XVII, cuando el notable astrónomo alemán, matemático Johannes Kepler (1571-1630) vivió y trabajó.

Mensaje de la Copa Kepler

Fig.6. Modelo del Sistema Solar I. Kepler

Imagínese en el lugar de Kepler. Ante él hay varias tablas: columnas de números. Estos son los resultados de las observaciones del movimiento de los planetas del sistema solar, tanto los suyos como los grandes predecesores, los astrónomos. En este mundo de la informática, quiere encontrar algunos patrones. Johannes Kepler, para quien los poliedros regulares eran un tema de estudio favorito, sugirió que existe una conexión entre los cinco poliedros regulares y los seis planetas del sistema solar descubiertos para entonces. Según esta suposición, en la esfera de la órbita de Saturno, podemos colocar un cubo en el que

se ajusta a la esfera de la órbita de Júpiter. A su vez, el tetraedro descrito cerca de la esfera de la órbita de Marte encaja en él. El dodecaedro encaja en la esfera de la órbita de Marte, en la que encaja la esfera de la órbita de la Tierra. Y se describe cerca del icosaedro, en el que está inscrita la esfera de la órbita de Venus. La esfera de este planeta se describe cerca del octaedro, en el que encaja la esfera de Mercurio.

Tal modelo del sistema solar (Fig. 6) se llamó la "Copa Espacial Kepler". El científico publicó los resultados de sus cálculos en el libro "El secreto del universo". Él creía que el misterio del universo fue revelado.

Año tras año, el científico refinó sus observaciones, revisó los datos de sus colegas, pero finalmente encontró la fuerza para abandonar la hipótesis seductora. Sin embargo, sus huellas son visibles en la tercera ley de Kepler, que se refiere a cubos de distancias promedio del Sol.

Maestro Hoy, se puede afirmar con confianza que las distancias entre los planetas y su número no están relacionadas de ninguna manera con los poliedros. Por supuesto, la estructura del sistema solar no es aleatoria, pero todavía se desconocen las verdaderas razones por las que se organiza de esta manera y no de otra manera. Las ideas de Kepler resultaron ser erróneas, pero sin hipótesis, a veces la ciencia más inesperada, aparentemente delirante, no puede existir.

Mensaje "Estructura icosaedro-dodecaedro de la Tierra"

Fig. 7. Estructura icosaedro-dodecaedro de la Tierra.

Las ideas de Platón y Kepler sobre la conexión de los poliedros regulares con la estructura armoniosa del mundo se han continuado en nuestro tiempo en una hipótesis científica interesante, que a principios de los años 80. expresado por los ingenieros de Moscú V. Makarov y V. Morozov. Creen que el núcleo de la Tierra tiene la forma y las propiedades de un cristal en crecimiento, lo que afecta el desarrollo de todos los procesos naturales en el planeta. Los rayos de este cristal, o más bien, su campo de fuerza, determinan la estructura icosaédrica-dodecaedro de la Tierra (Fig. 7). Se manifiesta en el hecho de que, por así decirlo, aparecen proyecciones de poliedros regulares inscritos en el globo: en la corteza terrestre: el icosaedro y el dodecaedro.

Muchos depósitos minerales se extienden a lo largo de la red icosaédrica-dodecaedro; Los 62 vértices y puntos medios de los bordes de los poliedros, llamados nodos por los autores, tienen una serie de propiedades específicas que nos permiten explicar algunos fenómenos incomprensibles. Los centros de las culturas y civilizaciones más antiguas se encuentran aquí: Perú, el norte de Mongolia, Haití, la cultura Ob y otros. En estos puntos, los máximos y mínimos de la presión atmosférica, se observan las turbulencias gigantes de los océanos. En estos nodos se encuentran el lago Loch Ness, el Triángulo de las Bermudas. Otros estudios de la Tierra probablemente determinarán la relación con esta hipótesis científica, en la cual, como puede ver, los poliedros regulares ocupan un lugar importante.

Maestro Y ahora pasemos de las hipótesis científicas a los hechos científicos.

Trabajo de investigación "Fórmula Euler"

Al estudiar cualquier poliedro, lo más natural es calcular cuántas caras tienen, cuántos bordes y vértices. También calcularemos el número de elementos indicados de los sólidos platónicos e ingresaremos los resultados en la tabla No. 1.

Analizando la tabla No. 1, surge la pregunta: "¿Hay un patrón en números crecientes en cada columna?" Aparentemente no. Por ejemplo, en la columna "facetas", parecería que un patrón es visible (4 + 2 \u003d 6, 6 + 2 \u003d 8), pero luego se viola el patrón deseado (8 + 2 12, 12 + 2 20). En la columna "tops" ni siquiera hay un aumento constante.

El número de vértices aumenta (de 4 a 8, de 6 a 20), o incluso disminuye (de 8 a 6, de 20 a 12). En la columna "costillas", los patrones tampoco son visibles.

Pero puede considerar la suma de los números en dos columnas, al menos en las columnas "caras" y "picos" (G + B). Vamos a componer una nueva tabla de nuestros cálculos (ver tabla No. 2). Ahora, solo los "ciegos" no pueden notar los patrones. Lo formulamos de esta manera: "La suma de la cantidad de caras y vértices es igual a la cantidad de aristas aumentada en 2", es decir

G + B \u003d P + 2

Entonces, juntos "descubrimos" la fórmula, que ya fue notada por Descartes en 1640, y luego redescubierta por Euler (1752), cuyo nombre tiene desde entonces. La fórmula de Euler es válida para cualquier poliedro convexo.

Recuerde esta fórmula, será útil para resolver algunos problemas.

La última cena de S. Dali

Los escultores, arquitectos y artistas también mostraron gran interés en las formas de los poliedros regulares. Todos fueron golpeados por la perfección, la armonía de los poliedros. Leonardo da Vinci (1452-1519) era aficionado a la teoría de los poliedros y a menudo los representaba en sus lienzos. Salvador Dali en la pintura "La última cena" retrataba a I. Cristo con sus alumnos en el contexto de un enorme dodecaedro transparente.

Los científicos han estudiado bastante bien los poliedros convexos regulares, se ha demostrado que solo hay cinco tipos de tales poliedros, pero la persona misma los inventó. Lo más probable es que no, los "espió" en la naturaleza.

Escuchamos el mensaje: "Poliedros regulares y naturaleza".

Mensaje "Poliedros regulares y naturaleza"

Los poliedros regulares se encuentran en la vida silvestre. Por ejemplo, el esqueleto de un organismo unicelular de feudaria ( Circjgjnia icosahtdra ) se asemeja a un icosaedro en forma (Fig. 8).

¿Qué causó una geometrización tan natural del feudario? Aparentemente, debido a todos los poliedros con el mismo número de caras, es el icosaedro el que tiene el mayor volumen con el área de superficie más pequeña. Esta propiedad ayuda al cuerpo marino a superar la presión de la columna de agua.

Los poliedros correctos son las formas más rentables. Y la naturaleza lo usa ampliamente. Esto se confirma por la forma de algunos cristales. Tomemos sal, por ejemplo, sin la cual no podemos prescindir.

Se sabe que es soluble en agua, sirve como conductor de corriente eléctrica. Y los cristales de cloruro de sodio (NaCl) están en forma de cubo. En la producción de aluminio, se utiliza el cuarzo aluminio-potasio, cuyo cristal único tiene la forma de un octaedro regular. La obtención de ácido sulfúrico, hierro, tipos especiales de cemento no está completa sin sulfito pirita (FeS). Los cristales de este químico están en forma de dodecaedro.

En varias reacciones químicas, se usa sulfato de sodio y antimonio, una sustancia sintetizada por los científicos. El cristal de sulfato de sodio de antimonio tiene la forma de un tetraedro.

El último poliedro regular, el icosaedro, transfiere la forma de cristales de boro (B). Hubo un tiempo en que el boro se usaba para crear semiconductores de primera generación.

Maestro Entonces, gracias a los poliedros correctos, no solo se descubren las sorprendentes propiedades de las formas geométricas, sino también las formas de conocer la armonía natural. Escuchemos el mensaje de simetría de los poliedros regulares.

Sin embargo, volvemos a los cálculos nuevamente.

Resolveremos varios problemas.

Desafío Determine el número de caras, vértices y bordes del poliedro que se muestra en la Figura 9. Verifique que la fórmula de Euler para el poliedro dado sea satisfactoria.

Tarea: No. 28.

La lección está llegando a su fin, para resumir.

¿Qué nuevos cuerpos geométricos nos encontramos hoy?
¿Por qué L. Carroll valoraba tanto estos poliedros?

En casa: párrafo 3, párrafo 32, No. 274, 279. Fig. 9 9

Literatura

Azevich A.I. Veinte lecciones de armonía: un curso de humanidades y matemáticas. M .: School-Press, 1998. (Biblioteca de la revista "Matemáticas en la escuela". Número 7).
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Geometría: Libro de texto. para 10-11 células educación general instituciones / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kardomtsev et al., 5ª ed., Moscú: Educación, 1997.
Grosman S., Turner J. Matemáticas para biólogos. M., 1983.
Kovantsov N.I. Matemáticas y romance. Kiev, 1976.
Smirnova I.M. En el mundo de los poliedros. M., 1990.
Shafranovsky I.I. Simetría en la naturaleza. L., 1988.

DECODIFICACIÓN DE TEXTO DE LECCIÓN:

Nuestro conocimiento de los poliedros continúa.

Recuerde que un poliedro se llama regular si se cumplen las siguientes condiciones:

1. el poliedro es convexo;

2. todas sus caras son polígonos regulares iguales;

3. en cada uno de sus vértices converge el mismo número de caras;

4. todos sus ángulos diédricos son iguales.

En clases pasadas, aprendiste sobre la singularidad de la existencia de cinco tipos de poliedros regulares:

tetraedro, octaedro, icosaedro, hexaedro (cubo) y dodecaedro.

Hoy consideramos los elementos de simetría de los poliedros regulares estudiados.

Un tetraedro regular no tiene un centro de simetría.

Su eje de simetría es una línea recta que pasa por los puntos medios de los bordes opuestos.

El plano de simetría es el plano que pasa a través de cualquier borde perpendicular al borde opuesto.

Un tetraedro regular tiene tres ejes de simetría y seis planos de simetría.

El cubo tiene un centro de simetría; este es el punto de intersección de sus diagonales.

Los ejes de simetría son líneas rectas que pasan por los centros de caras opuestas y el medio de dos bordes opuestos que no pertenecen a la misma cara.

El cubo tiene nueve ejes de simetría que pasan por el centro de simetría.

Un plano que pasa a través de dos ejes de simetría es un plano de simetría.

El cubo tiene nueve planos de simetría.

El octaedro regular tiene un centro de simetría: el centro del octaedro, 9 ejes de simetría y 9 planos de simetría: tres ejes de simetría pasan a través de vértices opuestos, seis a través de los puntos medios de los bordes.

El centro de simetría del octaedro es el punto de intersección de sus ejes de simetría.

Tres de los 9 planos de simetría del tetraedro pasan a través de cada 4 vértices del octaedro que se encuentran en el mismo plano.

Seis planos de simetría pasan a través de dos vértices que no pertenecen a la misma cara y al medio de los bordes opuestos.

El icosaedro correcto tiene 12 vértices. El icosaedro tiene un centro de simetría: el centro del icosaedro, 15 ejes de simetría y 15 planos de simetría: cinco planos de simetría pasan a través del primer par de vértices opuestos (cada uno de ellos pasa a través de un borde que contiene el vértice, perpendicular a la esquina opuesta).

Para el tercer par obtenemos - 3 planos nuevos, y para el cuarto - dos planos y para el quinto par solo un plano nuevo.

Ningún nuevo plano de simetría pasará por el sexto par de vértices.

Un dodecaedro regular consta de doce pentágonos regulares. El dodecaedro tiene un centro de simetría: el centro del dodecaedro, 15 ejes de simetría y 15 planos de simetría: los planos de simetría pasan a través del borde que contiene el vértice, perpendicular al borde opuesto. Por lo tanto, 5 planos pasan por el primer par de pentágonos opuestos, 4 por el segundo par, 3 por el tercero, 2, el cuarto y 1 por el quinto.

Resolveremos varias tareas, aplicando los conocimientos adquiridos.

Demuestre que en el tetraedro regular los segmentos que conectan los centros de sus caras son iguales.

Como todas las caras de un tetraedro regular son iguales y cualquiera de ellas puede considerarse como la base, y las otras tres como caras laterales, será suficiente para demostrar la igualdad de los segmentos OM y ON.

Prueba:

1. Construcción adicional: dibujamos un DN recto a la intersección con el lado AC, obtenemos el punto F;

dibujamos una línea recta DM a la intersección con el lado AB, obtenemos el punto E.

Luego conectamos el vértice A con el punto F;

vértice C con punto E.

2. Considere los triángulos DEO y DOF que

rectangular, porque ANTES de la altura del tetraedro, entonces son iguales en hipotenusa y cateto: DO-total, DE \u003d DF (alturas de caras iguales del tetraedro)).

De la igualdad de estos triángulos, se deduce que OE \u003d OF, ME \u003d NF (lados medios iguales),

el ángulo DEO es igual al ángulo DFO.

3. De lo anterior se deduce que los triángulos OEM y OFN son iguales en dos lados y el ángulo entre ellos (ver punto 2).

Y de la igualdad de estos triángulos se deduce que OM \u003d ON.

Lo cual se requería para probar.

¿Hay una pirámide cuadrangular con lados opuestos perpendiculares a la base?

Probemos que tal pirámide no existe por el método contrario.

Prueba:

1. Suponga que el borde PA1 es perpendicular a la base de la pirámide y el borde PA2 también es perpendicular a la base.

2. Luego, según el teorema (dos líneas perpendiculares a la tercera son paralelas), obtenemos que el borde PA1 es paralelo al borde PA2.

3. Pero la pirámide tiene un punto común para todos los bordes laterales (y, por lo tanto, las caras): la parte superior de la pirámide.

Tenemos una contradicción, por lo que no hay una pirámide cuadrangular, cuyos lados opuestos son perpendiculares a la base.

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Subtítulos de diapositivas:

Elementos de simetría de poliedros regulares. 10mo grado.

Tetraedro - (del griego tetra - cuatro y hedra - cara) - un poliedro regular compuesto de 4 triángulos equiláteros. De la definición de un poliedro regular se deduce que todos los bordes del tetraedro son de igual longitud y las caras son de igual área. Elementos de simetría del tetraedro El tetraedro tiene tres ejes de simetría que pasan a través de los puntos medios de los bordes de intersección. El tetraedro tiene 6 planos de simetría, cada uno de los cuales pasa a través del borde del tetraedro perpendicular al borde que se cruza con él.

El octaedro - (del griego okto - ocho y hedra - cara) - un poliedro regular compuesto de 8 triángulos equiláteros. El octaedro tiene 6 vértices y 12 aristas. Cada vértice del octaedro es el vértice de 4 triángulos, por lo que la suma de los ángulos planos en el vértice del octaedro es 240 °. Elementos de simetría de octaedro Tres de los 9 ejes de simetría del octaedro pasan a través de vértices opuestos, seis a través de los puntos medios de los bordes. El centro de simetría del octaedro es el punto de intersección de sus ejes de simetría. Tres de los 9 planos de simetría del tetraedro pasan a través de cada 4 vértices del octaedro que se encuentran en el mismo plano. Seis planos de simetría pasan a través de dos vértices que no pertenecen a la misma cara y al medio de los bordes opuestos.

Icosahedron - (del griego ico - six y hedra - face) es un poliedro convexo regular compuesto de 20 triángulos regulares. Cada uno de los 12 vértices del icosaedro es el vértice de 5 triángulos equiláteros, por lo que la suma de los ángulos en el vértice es 300 °. Elementos de simetría y Kososaedro Un icosaedro regular tiene 15 ejes de simetría, cada uno de los cuales pasa a través de los puntos medios de bordes paralelos opuestos. El punto de intersección de todos los ejes de simetría del icosaedro es su centro de simetría. También hay 15 planos de simetría, que atraviesan cuatro vértices que se encuentran en el mismo plano y los puntos medios de bordes paralelos opuestos.

Un cubo o hexaedro (del griego hex - seis y hedra - cara) se compone de 6 cuadrados. Cada uno de los 8 vértices del cubo es el vértice de 3 cuadrados, por lo que la suma de los ángulos planos en cada vértice es 270 0. El cubo tiene 12 aristas de igual longitud. Elementos de la simetría del cubo El eje de simetría del cubo puede pasar a través de los puntos medios de bordes paralelos que no pertenecen a la misma cara, o a través del punto de intersección de las diagonales de caras opuestas. El centro de simetría del cubo es el punto de intersección de sus diagonales. 9 ejes de simetría pasan por el centro de simetría. También hay 9 planos de simetría en el cubo y pasan a través de bordes opuestos (tales planos-6) o a través de los puntos medios de bordes opuestos (tales-3).

El dodecaedro (del griego dodeka - doce y hedra - cara) es un poliedro regular compuesto por 12 pentágonos equiláteros. El dodecaedro tiene 20 vértices y 30 aristas. El vértice del dodecaedro es el vértice de tres pentágonos, por lo que la suma de los ángulos planos en cada vértice es 324 0. Elementos de simetría del dodecaedro El dodecaedro tiene un centro de simetría y 15 ejes de simetría. Cada uno de los ejes pasa a través de los puntos medios de costillas paralelas opuestas. El dodecaedro tiene 15 planos de simetría. Cualquiera de los planos de simetría pasa en cada cara a través de la parte superior y media del borde opuesto.

Barrer poliedros regulares El barrido es una forma de desplegar un poliedro en un plano después de hacer cortes a lo largo de varios bordes. Un escaneo es un polígono plano formado por polígonos más pequeños: las caras del poliedro original. El mismo poliedro puede tener varios barridos diferentes.