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Video lección “Axioma de líneas paralelas. ¿Cuál es el axioma de las líneas paralelas?

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Primero, considere la diferencia entre los conceptos de atributo, propiedad y axioma.

Definición 1

Una señal  Llaman a cierto hecho por el cual es posible determinar la verdad de un juicio sobre un objeto de interés.

Ejemplo 1

Las líneas son paralelas si sus formas secantes equivalen a ángulos angulares.

Definición 2

Propiedad  Se formula en el caso cuando hay confianza en la validez del juicio.

Ejemplo 2

Con líneas paralelas, su secante forma esquinas angulares iguales.

Definición 3

Axioma  llaman a una declaración que no requiere prueba y se acepta como verdad sin ella.

Cada ciencia tiene axiomas en los que se basan juicios posteriores y su evidencia.

  Axioma de rectas paralelas

A veces, el axioma de las líneas paralelas se toma como una de las propiedades de las líneas paralelas, pero al mismo tiempo otras pruebas geométricas se basan en su justicia.

Teorema 1

A través de un punto que no se encuentra en una línea dada, en el plano puede dibujar solo una línea que será paralela a la dada.

El axioma no requiere prueba.

  Propiedades de rectas paralelas

Teorema 2

Propiedad 1. La propiedad de transitividad del paralelismo de líneas:

Cuando una de las dos líneas paralelas es paralela a la tercera, entonces la segunda línea será paralela a ella.

Las propiedades requieren prueba.

Prueba:

Que haya dos líneas paralelas $ a $ y $ b $. La línea $ c $ es paralela a la línea $ a $. Verifiquemos si en este caso la línea $ c $ es paralela y la línea $ b $.

Como prueba, usamos la proposición opuesta:

Imagine que es posible una variante en la cual la línea $ c $ es paralela a una de las líneas, por ejemplo, la línea $ a $, y la otra, la línea $ b $, se cruza en algún punto $ K $.

Obtenemos una contradicción según el axioma de las líneas paralelas. Resulta una situación en la que dos líneas se cruzan en un punto, además de paralelas a la misma línea $ a $. Tal situación es imposible, por lo tanto, las líneas $ b $ y $ c $ no pueden cruzarse.

Por lo tanto, se demuestra que si una de las dos líneas paralelas es paralela a la tercera línea, entonces la segunda línea es paralela a la tercera línea.

Teorema 3

Propiedad 2.

Si una de las dos líneas paralelas se cruza con la tercera, entonces la segunda línea se cruzará con ella.

Prueba:

Que haya dos líneas paralelas $ a $ y $ b $. Además, deje que haya una línea $ c $ que interseque una de las líneas paralelas, por ejemplo, la línea $ a $. Es necesario mostrar que la línea $ s $ se cruza con la segunda línea, la línea $ b $.

Construimos la prueba por el método de contradicción.

Imagine que la línea $ c $ no se cruza con la línea $ b $. Luego, dos líneas $ a $ y $ c $ pasan por el punto $ K $, que no se cruzan con la línea $ b $, es decir, son paralelas a ella. Pero esta situación contradice el axioma de las líneas paralelas. Por lo tanto, la suposición era incorrecta y la línea $ s $ se cruza con la línea $ b $.

El teorema está probado.

Propiedades de esquinaque forman dos rectas paralelas y una secante:   las esquinas tumbadas son iguales  los ángulos correspondientes son iguales, * la suma de los ángulos unilaterales es $ 180 ^ (\\ circ) $.

Ejemplo 3

Dadas dos líneas paralelas y una tercera línea perpendicular a una de ellas. Probar que esta línea es perpendicular a la otra de las líneas paralelas.

Prueba.

Supongamos que tenemos las líneas $ a \\ parallel b $ y $ c \\ perp a $.

Como la línea $ c $ se cruza con la línea $ a $, de acuerdo con la propiedad de las líneas paralelas, también se intersecará con la línea $ b $.

Cortando $ c $, intersectando las líneas paralelas $ a $ y $ b $, forma esquinas angulares iguales con ellas.

Porque $ c \\ perp a $, entonces los ángulos serán $ 90 ^ (\\ circ) $.

Por lo tanto, $ c \\ perp b $.

La prueba está completa.

Al estudiar las propiedades de las figuras geométricas, hemos demostrado una serie de teoremas. Además, confiamos, por regla general, en los teoremas probados anteriormente. ¿Y en qué se basan las pruebas de los primeros teoremas de geometría? La respuesta a esta pregunta es esta: algunas afirmaciones sobre las propiedades de las figuras geométricas se aceptan como puntos de partida, sobre la base de las cuales se prueban más los teoremas y se construye la geometría completa. Estos puntos de partida se llaman axiomas.

Algunos axiomas se formularon en el primer capítulo (aunque no se llamaron axiomas allí). Por ejemplo, el axioma es la afirmación de que

Muchos otros axiomas, aunque no fueron enfatizados, en realidad fueron utilizados en nuestro razonamiento. Entonces, comparamos dos segmentos superponiendo un segmento sobre otro. La posibilidad de tal superposición se deriva del siguiente axioma:

Una comparación de los dos ángulos se basa en un axioma similar:

Todos estos axiomas son claramente obvios y no están en duda. La palabra "axioma" en sí proviene del griego "axios", que significa "valioso, digno". Una lista completa de los axiomas de la planimetría adoptada en nuestro curso de geometría, la proporcionamos al final del libro de texto.

Tal enfoque para la construcción de la geometría, cuando primero se formulan las posiciones iniciales: axiomas, y luego otras declaraciones se prueban sobre la base del razonamiento lógico, originado en la antigüedad y se presentó en el famoso trabajo "El comienzo" del antiguo erudito griego Euclides. Algunos de los axiomas de Euclides (algunos de ellos los llamó postulados) y ahora se usan en cursos de geometría, y la geometría misma, descrita en The Beginnings, se llama geometría euclidiana. En el siguiente párrafo nos familiarizaremos con uno de los axiomas más famosos de la geometría.

Axioma de rectas paralelas

Considere una línea arbitraria ay un punto M que no se encuentra sobre ella (Fig. 110, a). Probemos que a través del punto M podemos dibujar una línea paralela a la línea a. Para hacer esto, dibuje dos líneas a través del punto M: primero, la línea de perpendicular a la línea a, y luego la línea b perpendicular a la línea c (Fig. 110, (b). Como las líneas a y b son perpendiculares a la línea c, son paralelas.

Fig. 110

Entonces, a través del punto M pasa la línea b paralela a la línea a. Surge la siguiente pregunta: ¿es posible dibujar otra línea a través del punto M paralelo a la línea a?

Nos parece que si la línea b está "rotada" incluso por un ángulo muy pequeño alrededor del punto M, entonces intersecta la línea a (línea b "en la Figura 110.6). En otras palabras, nos parece que no se puede dibujar otra línea a través del punto M ( diferente de b) paralela a la línea A. ¿Se puede probar esta afirmación?

Esta pregunta tiene una gran historia. El "Comienzo" de Euclides contiene un postulado (el quinto postulado de Euclides), del cual se deduce que a través de un punto que no se encuentra en una línea dada, puede dibujar solo una línea paralela a esta. Muchos matemáticos, desde la antigüedad, han intentado probar el quinto postulado de Euclides, es decir, deducirlo de otros axiomas. Sin embargo, estos intentos no tuvieron éxito cada vez. Y solo en el siglo pasado finalmente se aclaró que la afirmación de la unicidad de una línea que pasa por un punto dado paralelo a esta línea no se puede probar sobre la base de los axiomas euclidianos restantes, sino que es en sí mismo un axioma.

El gran matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) jugó un papel muy importante en la solución de este difícil problema.

Entonces, como uno de los puntos de partida, aceptamos axioma de rectas paralelas.

Las declaraciones que se derivan directamente de axiomas o teoremas se llaman las consecuencias. Por ejemplo, las declaraciones 1 y 2 (ver pág. 35) son consecuencias del teorema en la bisectriz de un triángulo isósceles.

Consideramos algunos corolarios del axioma de líneas paralelas.

De hecho, suponga que las líneas ayb son paralelas y la línea c se cruza con la línea a en el punto M (Fig. 111, a). Probemos que la línea c se cruza con la línea b. Si la línea c no intersectara la línea b, entonces dos líneas (líneas ayc) paralelas a la línea b pasarían por el punto M (Fig. 111, b). Pero esto contradice el axioma de las líneas paralelas y, por lo tanto, la línea c se cruza con la línea b.


Fig. 111

De hecho, suponga que las líneas ayb son paralelas a la línea c (Fig. 112, a). Probemos que a || b. Suponga que las líneas ayb no son paralelas, es decir, se intersecan en algún punto M (figura 112.6). Luego, dos líneas (líneas ayb) paralelas a la línea c pasan por el punto M.


Fig. 112

Pero esto contradice el axioma de las líneas paralelas. Por lo tanto, nuestra suposición es incorrecta, lo que significa que las líneas ayb son paralelas.

Teoremas angulares formados por dos rectas paralelas y una secante.

En cualquier teorema, se distinguen dos partes: condicion  y conclusión. La condición del teorema es lo que se da, y la conclusión es lo que hay que demostrar.

Considere, por ejemplo, un teorema que expresa el signo del paralelismo de dos líneas: si, cuando dos líneas rectas se cruzan, los ángulos que se encuentran en forma transversal son iguales, entonces las líneas son paralelas.

En este teorema, la condición es la primera parte del enunciado: "cuando dos líneas rectas se cruzan, los ángulos de mentira son iguales" (esto se da), y la segunda parte es la conclusión: "las líneas son paralelas" (esto debe probarse).

Teorema inverso, se llama teorema en el que la condición es la conclusión de este teorema, y \u200b\u200bla conclusión es la condición de este teorema. Probemos los teoremas inversos de los tres teoremas del § 25.

El teorema

Prueba

Deje que las líneas paralelas a y b se crucen con la secante MN. Probemos que los ángulos de mentira, por ejemplo 1 y 2, son iguales (Fig. 113).


Fig. 113

Suponga que los ángulos 1 y 2 no son iguales. Supongamos que MN es el ángulo PMN igual al ángulo 2 del rayo MN, de modo que ∠PMN y ∠2 son esquinas rectas en la intersección de las líneas MP yb de la secante MN. Por construcción, estos ángulos de mentira son iguales, por lo tanto, MP || b. Hemos encontrado que dos líneas (líneas a y MP) pasan a través del punto M paralelo a la línea b. Pero esto contradice el axioma de las líneas paralelas. Por lo tanto, nuestra suposición es falsa y ∠1 \u003d ∠2. El teorema está probado.

Observación

En la prueba de este teorema, utilizamos un método de razonamiento llamado método contrario.

Presumimos que en la intersección de las líneas paralelas a y b de la secante MN, los ángulos de mentira 1 y 2 no son iguales, es decir, hemos sugerido lo contrario de lo que debe demostrarse. En base a esta suposición, al razonar, llegamos a una contradicción con el axioma de las líneas paralelas. Esto significa que nuestra suposición es falsa y, por lo tanto, ∠1 \u003d ∠2.

Este método de razonamiento se usa a menudo en matemáticas. Lo usamos anteriormente, por ejemplo, en el párrafo 12, cuando probamos que dos líneas, perpendiculares a la tercera, no se cruzan. Utilizamos el mismo método en la Sección 28 para probar los corolarios 1 0 y 2 0 del axioma de líneas paralelas.

Consecuencia

De hecho, deje a || b, с ⊥ a, es decir, ∠1 \u003d 90 ° (Fig.114). La línea c se cruza con la línea a, por lo que también se cruza con la línea b. Cuando las líneas paralelas ayb de la secante c se cruzan, se forman cruces angulares iguales: ∠1 \u003d ∠2. Como ∠1 \u003d 90 °, entonces ∠2 \u003d 90 °, es decir, con ⊥ b, según sea necesario.


Fig. 114

El teorema

Prueba

Deje que las líneas paralelas a y b se crucen con la secante c. Probemos que los ángulos correspondientes, por ejemplo, 1 y 2, son iguales (ver Fig. 102). Desde a || b, entonces los ángulos de mentira 1 y 3 son iguales.

Los ángulos 2 y 3 son iguales a los verticales. De las igualdades ∠1 \u003d ∠3 y ∠2 \u003d следует3 se deduce que ∠1 \u003d ∠2. El teorema está probado.

El teorema

Prueba

Deje que las líneas paralelas ayb se crucen con la secante c (vea la Fig. 102). Probemos, por ejemplo, que ∠1 + ∠4 \u003d 180 °. Desde a || b, entonces los ángulos correspondientes 1 y 2 son iguales. Los ángulos 2 y 4 son adyacentes, por lo tanto ∠2 + ∠4 \u003d 180 °. De las igualdades ∠1 \u003d ∠2 y ∠2 + ∠4 \u003d 180 ° se deduce que ∠1 + ∠4 \u003d 180 °. El teorema está probado.

Observación

Si se prueba un teorema, lo contrario no es cierto. Además, lo contrario no siempre es cierto. Damos un ejemplo simple. Sabemos que si los ángulos son verticales, entonces son iguales. La afirmación inversa: "si los ángulos son iguales, entonces son verticales", por supuesto, no es cierto.

Ángulos con lados paralelos o perpendiculares respectivamente

Probemos el teorema del ángulo con lados paralelos correspondientes.

El teorema

Prueba

Sean ∠AOB y ∠A 1 O 1 B 1 ángulos y OA || O 1 A 1, OB || Aproximadamente 1 en 1. Si el ángulo AOB se expande, entonces el ángulo A 1 O 1 B 1 también se gira (explique por qué), por lo tanto, estos ángulos son iguales. Deje ∠AOB ser un ángulo no desarrollado. Los posibles casos de la ubicación de los ángulos AOB y A 1 O 1 B 1 se muestran en la Figura 115, ay b. La línea О 1 В 1 intersecta la línea О 1 А 1 y, por lo tanto, intersecta la línea ОА paralela a ella en algún punto M. Las líneas paralelas ОВ y О 1 В 1 están intersectadas por la secante OM, por lo tanto, uno de los ángulos formados por la intersección de las líneas О 1 В 1 y OA (ángulo 1 en la Figura 115) es igual al ángulo de AOW (como esquinas rectas en sentido transversal). Las líneas rectas paralelas ОА y О 1 А 1 están intersectadas por la secante О 1 М, por lo tanto, ∠1 \u003d ∠A 1 O 1 B 1 (Fig. 115, a) o ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 \u003d 180 ° (Fig. 115, b). Se deduce de la igualdad ∠1 \u003d andAOB y las dos últimas igualdades que ∠AOB \u003d ∠A 1 O 1 B 1 (ver Fig. 115, a) o ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 \u003d 180 ° ( ver Fig. 115, b). El teorema está probado.


Fig. 115

Ahora demostramos el teorema en ángulos con lados correspondientemente perpendiculares.

El teorema

Prueba

Sean ∠AOB y ∠A 1 O 1 B 1 ángulos dados, OA ⊥ O 1 A 1, OB ⊥ O 1 B 1. Si el ángulo AOB está desplegado o recto, entonces el ángulo A 1 O 1 B 1 está desplegado o recto (explique por qué), por lo tanto, estos ángulos son iguales. Deje ∠AOB< 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).

Dos casos son posibles (Fig. 116).

1 0. ∠AOB< 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.

2 0. OBAOB\u003e 90 ° (ver Fig. 116, b). Dibujamos un rayo OS para que el ángulo AOS sea adyacente al ángulo AOB. El ángulo AOS es agudo, y sus lados son respectivamente perpendiculares a los lados del ángulo A 1 O 1 B 1. Por lo tanto, o .∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 \u003d 180 °, o ∠AOC \u003d ∠A 1 O 1 B 1. En el primer caso, ∠AOB \u003d ∠A 1 O 1 B 1, en el segundo caso, ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 \u003d 180 °. El teorema está probado.

Las tareas

196. Dan triángulo ABC. ¿Cuántas líneas paralelas al lado AB se pueden dibujar a través del vértice C?

197. Se dibujan cuatro puntos a través de un punto que no se encuentra en la línea p. ¿Cuántas de estas líneas se cruzan con la línea p? Considere todos los casos posibles.

198. Las líneas ayb son perpendiculares a la línea p, la línea c se cruza con la línea a. ¿La línea b se cruza con la línea b?

199. La línea recta p es paralela al lado AB del triángulo ABC. Probar que las líneas BC y AC cruzan la línea p.

200. En la figura 117 AD || p y PQ || Sol. Probar que la línea p interseca las líneas AB, AE, AC, BC y PQ.


Fig. 117

201. La suma de los ángulos que se encuentran en la intersección de dos líneas secantes rectas paralelas es 210 °. Encuentra estas esquinas.

202. En la Figura 118, las líneas a, byc están cruzadas por la línea d, ∠1 \u003d 42 °, ∠2 \u003d 140 °, ∠3 \u003d 138 °. ¿Cuál de las líneas a, byc son paralelas?


Fig. 118

203. Encuentre todos los ángulos formados en la intersección de dos rectas paralelas ayb de secante c si:

    a) uno de los ángulos es 150 °;
    b) uno de los ángulos es 70 ° más grande que el otro.

204. Los extremos del segmento AB se encuentran en las líneas paralelas ay b. Una línea que pasa por el punto medio O de este segmento intersecta las líneas ayb en los puntos C y D. Demuestre que CO \u003d OD.

205. De acuerdo con la figura 119, encuentre ∠1.


Fig. 119

206. ∠ABC \u003d 70 °, un ABCD \u003d 110 °. Puede dirigir AV y CD:

    a) paralelo;
    b) intersectando?

207. Responda las preguntas del problema 206 si ∠ABC \u003d 65 ° y ∠BCD \u003d 105 °.

208. La diferencia de dos ángulos unilaterales en la intersección de dos líneas secantes rectas paralelas es de 50 °. Encuentra estas esquinas.

209. En la figura 120 a || b, c || d, ∠4 \u003d 45 °. Encuentra los ángulos 1, 2 y 3.


Fig. 120

210. Dos cuerpos P 1 y P 2 están suspendidos en los extremos de un hilo lanzado sobre los bloques A y B (Fig. 121). El tercer cuerpo P 3 está suspendido del mismo hilo en el punto C y equilibra los cuerpos P 1 y P 2. (Además, AP 1 || BP 2 || CP 3.) Demuestre que ∠ACB \u003d ∠CAP 1 + ∠CBP 2.


Fig. 121

211. Dos líneas paralelas están cruzadas por una secante. Demuestre que: a) las bisectrices a lo largo de los ángulos de mentira son paralelas; b) las bisectrices de los ángulos unilaterales son perpendiculares.

212. Las líneas que contienen las alturas AA 1 y BB 1 del triángulo ABC se cruzan en el punto H, el ángulo B es obtuso, ∠C \u003d 20 °. Encuentra el ángulo ANB.

Respuestas a las tareas.

    196. Una línea recta.

    197. Tres o cuatro.

    201,105 °, 105 °.

    203. b) Cuatro ángulos de 55 °, otros cuatro ángulos de 125 °.

    206. a) Sí; b) si.

    207. a) No; b) si.

    208. 115 ° y 65 °.

    209. ∠1 \u003d 135 °, ∠2 \u003d 45 °, ∠3 \u003d 135 °.

    210. Indicación. Considere la continuación del haz CP 3.

La lección en video "El axioma de las líneas paralelas" implica un examen detallado de un axioma importante de la geometría: los axiomas de las líneas paralelas, sus características, las consecuencias de este axioma, que se utilizan ampliamente en la práctica de resolver problemas geométricos. El objetivo de este video tutorial es facilitar la memorización del axioma y sus consecuencias, formar una idea de sus características y su aplicación para resolver problemas.

La presentación de material en forma de video lección abre nuevas oportunidades para el maestro. La presentación a los estudiantes del bloque estándar de material educativo es automatizada. Al mismo tiempo, se mejora la calidad del suministro de material, ya que se enriquece con representación visual, efectos de animación, acercando la construcción a lo real, realizada en el tablero. La información histórica se sirve con dibujos y fotos, lo que genera interés en el tema que se estudia. El video también libera al maestro para profundizar el trabajo individual durante el entrenamiento.

Primero, el título del tema se muestra en este video. La consideración del axioma comienza con la construcción de su modelo. La pantalla muestra la línea que yace fuera de su punto M. A continuación se describe la prueba de la afirmación de que a través de un punto M dado podemos construir una línea paralela a la dada. Dibuja perpendicular a la línea a y la línea c, luego perpendicular a la línea c en el punto M dibuja la línea b. Basado en el enunciado sobre el paralelismo de dos líneas perpendiculares a la tercera, notamos que la línea b es paralela a la línea original a. Dado esto, indicamos que en el punto M se dibuja una línea recta paralela a esta. Sin embargo, aún es necesario verificar si es posible dibujar otra línea paralela a través de M. La pantalla muestra que cualquier rotación de la línea b en el punto M conducirá a la construcción de una línea que corta la línea a. Sin embargo, ¿es posible demostrar la imposibilidad de otra línea?

El tema de la prueba de la imposibilidad de otra línea recta paralela a esta tiene una larga historia. Se invita a los estudiantes a una breve excursión a la historia del problema. Se observa que en el trabajo de "Comienzos" euclidianos esta declaración se da en forma del quinto postulado. Los intentos de los científicos para probar la declaración no condujeron al éxito. Durante muchos siglos, los matemáticos han estado interesados \u200b\u200ben este problema. Sin embargo, solo en el siglo pasado finalmente se demostró que esta afirmación no es demostrable en la geometría euclidiana. Es un axioma. Los estudiantes son presentados por uno de los matemáticos famosos que han hecho una contribución significativa a la ciencia matemática: Nikolai Ivanovich Lobachevsky. Fue él quien jugó un papel importante en la resolución final del problema. Por lo tanto, la afirmación considerada en esta lección es un axioma que se encuentra en la base de la ciencia junto con otros axiomas.

Además, se propone considerar las consecuencias de este axioma. Para esto, es necesario aclarar el concepto de "consecuencia". La pantalla muestra la definición de consecuencias como declaraciones derivadas directamente de teoremas o axiomas. Esta definición se puede ofrecer a los estudiantes para escribir en un cuaderno. El concepto de consecuencias se demuestra mediante un ejemplo que ya se discutió en la lección de video 18, "Propiedades de un triángulo isósceles". En la pantalla se muestra un teorema sobre las propiedades de un triángulo isósceles. Se recuerda que después de la prueba de este teorema, no se consideraron consecuencias no menos importantes. Entonces, si el teorema principal afirmaba que la bisectriz de un triángulo isósceles es la mediana y la altura, entonces las consecuencias tenían un contenido cercano, argumentando que la altura del triángulo isósceles es la bisectriz y la mediana, y la mediana del triángulo isósceles es tanto una bisectriz como una altura.

Una vez aclarado el concepto de consecuencias, consideramos directamente las consecuencias que provienen de este axioma de paralelismo de líneas. La pantalla muestra el texto de la primera consecuencia del axioma, indicando que la intersección de una línea recta de una de las líneas paralelas significa la intersección de la misma y la segunda línea paralela. En la figura, debajo del texto de la investigación, se representan la línea by la línea a paralela. La segunda línea interseca la línea c en un punto M que pertenece a la línea a. Se da una prueba de la afirmación de que la línea c también se cruza con la línea b. La prueba es contradictoria, usando el axioma de líneas paralelas. Si suponemos que la línea c no se cruza con b, esto significa que a través de este punto podemos dibujar otra línea paralela a la especificada. Pero esto es imposible, dado el axioma de las líneas paralelas. En consecuencia, la línea b también se cruza con c. El corolario está probado.

A continuación, consideramos la segunda consecuencia de este axioma. El texto de la investigación se muestra en la pantalla, indicando que si dos líneas son paralelas a la tercera, entonces se puede argumentar su paralelismo. En la figura que demuestra esta afirmación, se trazan las líneas rectas a, b, c. En este caso, la línea tan paralela a ambas líneas se resalta en azul. Se propone probar esta afirmación. En el curso de la prueba, se supone que las líneas paralelas a la línea a, b no son paralelas entre sí. Esto significa que tienen un punto de intersección. Esto significa que al pasar por el punto M, ambas líneas son paralelas a la dada, lo que contradice el axioma de las líneas paralelas. Este corolario es cierto.

La lección en video "El axioma de las líneas paralelas" puede facilitar que un maestro explique a los alumnos las características del axioma, prueba de sus consecuencias, facilita a los alumnos memorizar material en una lección regular. Además, este material de video se puede utilizar para el aprendizaje a distancia, y se recomienda para un estudio independiente.

Figura 1-2

Por ejemplo, la tarea se da para dibujar dos líneas paralelas, de modo que a través de un punto dado   M   Al menos una de las líneas pasó. Así, a través de un punto dado   M   dibujar líneas perpendiculares entre sí MN   y CD . Y a traves del punto N   dibuja la segunda recta AB , debe ser perpendicular a una línea recta MN .

Concluimos: directo AB   perpendicular a la línea MN   y directo CD   también perpendicular en línea recta   MN , y dado que estas líneas son paralelas a una línea, entonces, como consecuencia, la línea CD   paralelo AB . Entonces a través del punto M   va derecho CD que es paralelo a la línea AB . Averigüe: ¿es posible dibujar otra línea a través del punto? M para que sea paralela a la línea AB ?

Esta afirmación es la respuesta a nuestra pregunta: a través de un punto en un plano que no se encuentra en una línea dada, puede dibujar solo una línea que será paralela a esta línea. Tal rechazo en una formulación diferente sin evidencia fue aceptado por el erudito euclidiano en la antigüedad. Se sabe que tales declaraciones, aceptadas sin prueba, se llaman axiomas.

La declaración anterior se llama axioma de línea paralela. Este axioma euclidiano es de gran importancia para la prueba de muchos teoremas.

Considere el teorema inverso. Si la línea intersecta líneas paralelas, entonces los ángulos que se encuentran en líneas paralelas en cruz son respectivamente iguales.

Fig. 3

Prueba: supongamos que AC   y BD   son líneas paralelas, entonces la línea AB   es su línea secante. Necesitamos demostrar que ÐСАВ \u003d Ð АВD .

Necesitamos dibujar tan directo AC1 a ÐС1АВ \u003d ÐАВD . De acuerdo con el axioma de paralelismo de líneas AC1 || BD , en la condición que tenemos AC || BD . Y esto significa que a través de este punto Un   pasan dos líneas y son paralelas a la línea   BD . Esto contradice el axioma de paralelismo de líneas, lo que significa que la línea AC1 retenido incorrectamente.

Será correcto si ÐСАВ \u003d ÐАВD . Concluimos: en el caso de que una de las líneas paralelas sea perpendicular a esta línea, entonces también será perpendicular a la segunda línea.

Resulta que si   (MN) ^ (CD)   y (CD) || (AB) entonces L1 \u003d l2 \u003d 90o . Y eso significa: (MN) ^ (AB)   (Fig. 1).

Probemos el teorema: si dos líneas son paralelas a la tercera, entonces serán paralelas a una a la segunda.

Fig. 4 4

Deja la linea un   paralela a recta con   y directo b   también paralelo a la línea con   (Fig. 4 a). Necesitamos demostrar que   a || b .

Supongamos que las líneas un   y b   no son paralelos, pero se cruzan en un punto M   (Fig. 4 b). Y esto significa que dos líneas un   y b que son paralelas a la línea c pasan a través de un punto, y esto es una contradicción completa con el axioma de las líneas paralelas. Entonces nuestro directo un   y   b   son paralelos