Grietas en la casa 

Tabla de integrales indefinidas de funciones elementales. Fórmulas básicas y métodos de integración.

Fórmulas básicas y métodos de integración. La regla para integrar una suma o diferencia. Moviendo la constante fuera del signo integral. Método de reemplazo de variables. Fórmula de integración por partes. Un ejemplo de resolución de un problema.

Los cuatro métodos principales de integración se enumeran a continuación.

1) La regla para integrar una suma o diferencia.
.
Aquí y debajo u, v, w son funciones de la variable de integración x.

2) Moviendo la constante fuera del signo integral.
Sea c una constante independiente de x. Entonces se puede sacar del signo integral.

3) Método de reemplazo de variables.
Consideremos la integral indefinida.
Si podemos encontrar tal función φ (X) de x, entonces
,
entonces, reemplazando la variable t = φ(x), tenemos
.

4) Fórmula de integración por partes.
,
donde u y v son funciones de la variable de integración.

El objetivo final del cálculo. Integrales indefinidas- se trata de, mediante transformaciones, reducir una integral dada a las integrales más simples, que se denominan integrales tabulares. Las integrales de tabla se expresan mediante funciones elementales utilizando fórmulas conocidas.
Ver Tabla de Integrales >>>

Ejemplo

Calcular integral indefinida

Solución

Observamos que el integrando es la suma y diferencia de tres términos:
, Y .
Aplicando el método 1 .

A continuación, observamos que los integrandos de las nuevas integrales se multiplican por constantes 5, 4, Y 2 , respectivamente. Aplicando el método 2 .

En la tabla de integrales encontramos la fórmula.
.
Suponiendo n = 2 , encontramos la primera integral.

Reescribamos la segunda integral en la forma
.
Nos damos cuenta que . Entonces

Utilicemos el tercer método. Cambiamos la variable t = φ (x) = iniciar sesiónx.
.
En la tabla de integrales encontramos la fórmula.

Dado que la variable de integración se puede denotar con cualquier letra, entonces

Reescribamos la tercera integral en la forma
.
Aplicamos la fórmula de integración por partes.
Digámoslo.
Entonces
;
;

;
;
.

En esta página encontrará:

1. En realidad, la tabla de antiderivadas: se puede descargar en formato PDF e imprimir;

2. Vídeo sobre cómo utilizar esta mesa;

3. Un montón de ejemplos de cálculo de la antiderivada de varios libros de texto y pruebas.

En el video en sí, analizaremos muchos problemas en los que es necesario calcular antiderivadas de funciones, a menudo bastante complejas, pero lo más importante es que no son funciones de potencia. Todas las funciones resumidas en la tabla propuesta anteriormente deben saberse de memoria, al igual que las derivadas. Sin ellos, es imposible seguir estudiando las integrales y su aplicación para resolver problemas prácticos.

Hoy seguimos estudiando antiderivadas y pasamos a un poco más tema complejo. Si la última vez analizamos las antiderivadas de funciones de potencia y construcciones un poco más complejas, hoy veremos la trigonometría y mucho más.

Como dije en la última lección, las antiderivadas, a diferencia de las derivadas, nunca se resuelven "de inmediato" utilizando reglas estándar. Además, la mala noticia es que, a diferencia de la derivada, es posible que la antiderivada no se considere en absoluto. Si escribimos una función completamente aleatoria e intentamos encontrar su derivada, entonces con una probabilidad muy alta lo lograremos, pero la antiderivada casi nunca se calculará en este caso. Pero hay buenas noticias: existe una clase bastante grande de funciones llamadas funciones elementales, cuyas primitivas son muy fáciles de calcular. Y todas las demás estructuras más complejas que se dan en todo tipo de pruebas, pruebas independientes y exámenes, de hecho, se componen de estas funciones elementales mediante sumas, restas y otras acciones simples. Los prototipos de tales funciones se calculan y compilan desde hace mucho tiempo en tablas especiales. Son estas funciones y tablas con las que trabajaremos hoy.

Pero empezaremos, como siempre, con una repetición: recordemos qué es una antiderivada, por qué hay infinitas y cómo definirlas. forma general. Para hacer esto, elegí dos problemas simples.

Resolviendo ejemplos fáciles

Ejemplo 1

Notemos inmediatamente que $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ y en general la presencia de $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ inmediatamente nos insinúa que la antiderivada requerida de la función está relacionada con la trigonometría. Y, efectivamente, si miramos la tabla, encontraremos que $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ no es más que $\text(arctg)x$. Entonces vamos a escribirlo:

Para encontrarlo, debe anotar lo siguiente:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Ejemplo No. 2

Aquí también estamos hablando de funciones trigonométricas. Si miramos la tabla, entonces, efectivamente, esto es lo que sucede:

Necesitamos encontrar entre todo el conjunto de antiderivadas la que pasa por el punto indicado:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Finalmente escribámoslo:

Es así de simple. El único problema es que para calcular las antiderivadas de funciones simples, es necesario aprender una tabla de antiderivadas. Sin embargo, después de estudiar la tabla de derivadas, creo que esto no será un problema.

Resolver problemas que contienen una función exponencial.

Para empezar, escribamos las siguientes fórmulas:

\[((e)^(x))\a ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Veamos cómo funciona todo esto en la práctica.

Ejemplo 1

Si miramos el contenido de los corchetes, notaremos que en la tabla de antiderivadas no existe tal expresión para que $((e)^(x))$ esté en un cuadrado, por lo que este cuadrado debe expandirse. Para ello utilizamos las fórmulas de multiplicación abreviadas:

Encontremos la primitiva de cada uno de los términos:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Ahora juntemos todos los términos en una sola expresión y obtengamos la antiderivada general:

Ejemplo No. 2

Esta vez el grado es mayor, por lo que la fórmula de multiplicación abreviada será bastante compleja. Así que abramos los corchetes:

Ahora intentemos tomar la antiderivada de nuestra fórmula a partir de esta construcción:

Como puedes ver, en primitivas. funcion exponencial no hay nada complicado ni sobrenatural. Todos ellos se calculan mediante tablas, pero los estudiantes atentos probablemente notarán que la antiderivada $((e)^(2x))$ está mucho más cerca de simplemente $((e)^(x))$ que de $((a )^(x ))$. Entonces, ¿quizás exista alguna regla más especial que permita, conociendo la primitiva $((e)^(x))$, encontrar $((e)^(2x))$? Sí, existe tal regla. Y, además, es una parte integral del trabajo con la tabla de antiderivadas. Ahora lo analizaremos usando las mismas expresiones con las que acabamos de trabajar como ejemplo.

Reglas para trabajar con la tabla de antiderivadas.

Escribamos nuestra función nuevamente:

En el caso anterior utilizamos la siguiente fórmula para resolver:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Pero ahora hagámoslo un poco diferente: recordemos sobre qué base $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Como ya dije, debido a que la derivada $((e)^(x))$ no es más que $((e)^(x))$, por lo tanto su primitiva será igual a la misma $((e) ^ (x))$. Pero el problema es que tenemos $((e)^(2x))$ y $((e)^(-2x))$. Ahora intentemos encontrar la derivada de $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Reescribamos nuestra construcción nuevamente:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Esto significa que cuando encontramos la primitiva $((e)^(2x))$ obtenemos lo siguiente:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Como puede ver, obtuvimos el mismo resultado que antes, pero no usamos la fórmula para encontrar $((a)^(x))$. Ahora bien, esto puede parecer una estupidez: ¿por qué complicar los cálculos cuando existe una fórmula estándar? Sin embargo, en expresiones un poco más complejas encontrarás que esta técnica es muy efectiva, es decir. Usar derivadas para encontrar antiderivadas.

Como calentamiento, encontremos la antiderivada de $((e)^(2x))$ de manera similar:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Al calcular, nuestra construcción se escribirá de la siguiente manera:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Obtuvimos exactamente el mismo resultado, pero tomamos un camino diferente. Es este camino, que ahora nos parece un poco más complicado, el que en el futuro resultará más eficaz para calcular antiderivadas más complejas y utilizar tablas.

¡Nota! Esto es muy punto importante: las antiderivadas, al igual que las derivadas, pueden considerarse un conjunto de varias maneras. Sin embargo, si todos los cálculos y cálculos son iguales, entonces la respuesta será la misma. Acabamos de ver esto con el ejemplo de $((e)^(-2x))$ - por un lado, calculamos esta antiderivada "de principio a fin", usando la definición y calculándola usando transformaciones, por otro lado, Recordamos que $ ((e)^(-2x))$ se puede representar como $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ y solo entonces usamos la antiderivada de la función $( (a)^(x))$. Sin embargo, después de todas las transformaciones, el resultado fue el mismo, como se esperaba.

Y ahora que entendemos todo esto, es hora de pasar a algo más significativo. Ahora analizaremos dos construcciones simples, pero la técnica que se utilizará para resolverlas es una herramienta más poderosa y útil que simplemente "correr" entre antiderivadas vecinas de la tabla.

Resolución de problemas: encontrar la antiderivada de una función

Ejemplo 1

Dividamos la cantidad que está en los numeradores en tres fracciones separadas:

Esta es una transición bastante natural y comprensible: la mayoría de los estudiantes no tienen problemas con ella. Reescribamos nuestra expresión de la siguiente manera:

Ahora recordemos esta fórmula:

En nuestro caso obtendremos lo siguiente:

Para deshacerse de todas estas fracciones de tres pisos, sugiero hacer lo siguiente:

Ejemplo No. 2

A diferencia de la fracción anterior, el denominador no es un producto, sino una suma. En este caso, ya no podemos dividir nuestra fracción en la suma de varias fracciones simples, sino que debemos intentar de alguna manera asegurarnos de que el numerador contenga aproximadamente la misma expresión que el denominador. En este caso, es bastante sencillo hacerlo:

Esta notación, que en lenguaje matemático se llama “sumar un cero”, nos permitirá volver a dividir la fracción en dos partes:

Ahora encontremos lo que estábamos buscando:

Esos son todos los cálculos. A pesar de la aparente mayor complejidad que en el problema anterior, la cantidad de cálculos resultó ser aún menor.

Matices de la solución.

Y aquí es donde radica la principal dificultad de trabajar con antiderivadas tabulares, esto se nota especialmente en la segunda tarea. El caso es que para seleccionar algunos elementos que se calculan fácilmente a través de la tabla, necesitamos saber qué estamos buscando exactamente, y es en la búsqueda de estos elementos donde consiste todo el cálculo de antiderivadas.

En otras palabras, no basta con memorizar la tabla de antiderivadas; es necesario poder ver algo que aún no existe, sino lo que quiso decir el autor y compilador de este problema. Es por eso que muchos matemáticos, profesores y catedráticos discuten constantemente: "¿Qué es tomar antiderivadas o integración? ¿Es solo una herramienta o es un verdadero arte?" De hecho, en mi opinión personal, la integración no es un arte en absoluto; no hay nada sublime en ella, es sólo práctica y más práctica. Y para practicar, resolvamos tres ejemplos más serios.

Nos formamos en la integración en la práctica.

Tarea número 1

Escribamos las siguientes fórmulas:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Escribamos lo siguiente:

Problema número 2

Reescribámoslo de la siguiente manera:

La antiderivada total será igual a:

Problema número 3

La dificultad de esta tarea es que, a diferencia de las funciones anteriores, no existe ninguna variable $x$, es decir No nos queda claro qué sumar o restar para obtener al menos algo similar a lo que se muestra a continuación. Sin embargo, de hecho, esta expresión se considera incluso más simple que cualquiera de las expresiones anteriores, porque esta función se puede reescribir de la siguiente manera:

Ahora te preguntarás: ¿por qué estas funciones son iguales? Vamos a revisar:

Reescribámoslo de nuevo:

Transformemos un poco nuestra expresión:

Y cuando les explico todo esto a mis alumnos casi siempre surge el mismo problema: con la primera función todo está más o menos claro, con la segunda también puedes resolverlo con suerte o práctica, pero ¿qué tipo de conciencia alternativa tienes? ¿Necesitas tener para resolver el tercer ejemplo? En realidad, no te asustes. La técnica que utilizamos al calcular la última antiderivada se llama "descomposición de una función en su más simple", y esta es una técnica muy seria, y se le dedicará una lección en video separada.

Mientras tanto, propongo volver a lo que acabamos de estudiar, es decir, a las funciones exponenciales y complicar un poco los problemas con su contenido.

Problemas más complejos para resolver funciones exponenciales antiderivadas

Tarea número 1

Notemos lo siguiente:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Para encontrar la primitiva de esta expresión, simplemente use la fórmula estándar: $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

En nuestro caso, la antiderivada quedará así:

Por supuesto, en comparación con el diseño que acabamos de resolver, este parece más simple.

Problema número 2

Nuevamente, es fácil ver que esta función se puede dividir fácilmente en dos términos separados: dos fracciones separadas. Reescribamos:

Queda por encontrar la antiderivada de cada uno de estos términos usando la fórmula descrita anteriormente:

A pesar de la aparente mayor complejidad de las funciones exponenciales en comparación con las funciones de potencia, el volumen general de cálculos y cálculos resultó ser mucho más simple.

Por supuesto, para los estudiantes conocedores, lo que acabamos de discutir (especialmente en el contexto de lo que hemos discutido antes) puede parecer expresiones elementales. Sin embargo, al elegir estos dos problemas para la lección en video de hoy, no me propuse contarte otra técnica compleja y sofisticada; todo lo que quería mostrarte es que no debes tener miedo de usar técnicas de álgebra estándar para transformar funciones originales. .

Usando una técnica "secreta"

En conclusión, me gustaría ver otra técnica interesante que, por un lado, va más allá de lo que discutimos principalmente hoy, pero, por otro lado, en primer lugar, no es nada complicada, es decir. Incluso los estudiantes principiantes pueden dominarlo y, en segundo lugar, se encuentra con bastante frecuencia en todo tipo de exámenes y pruebas. Trabajo independiente, es decir. su conocimiento será de gran utilidad además del conocimiento de la tabla de antiderivadas.

Tarea número 1

Evidentemente, lo que tenemos ante nosotros es algo muy similar a función de potencia. ¿Qué debemos hacer en este caso? Pensemos en ello: $x-5$ no es muy diferente de $x$; simplemente agregaron $-5$. Escribámoslo así:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Intentemos encontrar la derivada de $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Esto implica:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ derecha))^(\prime ))\]

No existe tal valor en la tabla, por lo que ahora hemos obtenido esta fórmula nosotros mismos utilizando la fórmula antiderivada estándar para una función de potencia. Escribamos la respuesta así:

Problema número 2

Muchos estudiantes que observan la primera solución pueden pensar que todo es muy simple: simplemente reemplace $x$ en la función de potencia con una expresión lineal y todo encajará en su lugar. Lamentablemente, no todo es tan sencillo y ahora lo veremos.

Por analogía con la primera expresión, escribimos lo siguiente:

\[((x)^(9))\a \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Volviendo a nuestra derivada, podemos escribir:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \derecha))^(\prime ))\]

Esto sigue inmediatamente:

Matices de la solución.

Tenga en cuenta: si nada cambió esencialmente la última vez, entonces en el segundo caso, en lugar de $-10$, apareció $-30$. ¿Cuál es la diferencia entre $-10$ y $-30$? Obviamente, por un factor de $-3$. Pregunta: ¿de dónde vino? Si miras de cerca, puedes ver que se tomó como resultado del cálculo de la derivada de una función compleja: el coeficiente que era $x$ aparece en la primitiva a continuación. Esto es muy regla importante, que inicialmente no planeaba discutir en absoluto en el video tutorial de hoy, pero sin él la presentación de antiderivadas tabulares estaría incompleta.

Así que hagámoslo de nuevo. Sea nuestra principal función de poder:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Ahora, en lugar de $x$, sustituyamos la expresión $kx+b$. ¿Qué pasará entonces? Necesitamos encontrar lo siguiente:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]

¿Sobre qué base afirmamos esto? Muy simple. Encontremos la derivada de la construcción escrita arriba:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Esta es la misma expresión que existía originalmente. Por tanto, esta fórmula también es correcta y se puede utilizar para complementar la tabla de antiderivadas, o es mejor simplemente memorizar toda la tabla.

Conclusiones del “secreto: técnica:

  • De hecho, ambas funciones que acabamos de considerar se pueden reducir a las antiderivadas indicadas en la tabla expandiendo los grados, pero si podemos hacer frente más o menos de alguna manera al cuarto grado, entonces ni siquiera consideraría el noveno grado. se atrevió a revelar.
  • Si ampliáramos los grados, terminaríamos con tal volumen de cálculos que una tarea sencilla nos llevaría una cantidad de tiempo inadecuadamente grande.
  • Por eso no es necesario resolver "precipitadamente" problemas de este tipo que contienen expresiones lineales. Tan pronto como encuentre una antiderivada que difiere de la de la tabla solo por la presencia de la expresión $kx+b$ en su interior, recuerde inmediatamente la fórmula escrita arriba, sustitúyala en la antiderivada de su tabla y todo saldrá mucho mejor. más rápido y más fácil.

Naturalmente, debido a la complejidad y seriedad de esta técnica, volveremos a considerarla muchas veces en futuras lecciones en video, pero eso es todo por hoy. Espero que esta lección realmente ayude a aquellos estudiantes que quieran comprender las antiderivadas y la integración.

La integración no es difícil de aprender. Para hacer esto, solo necesita aprender un cierto conjunto de reglas bastante pequeño y desarrollar una especie de instinto. Por supuesto, es fácil aprender las reglas y fórmulas, pero es bastante difícil entender dónde y cuándo aplicar tal o cual regla de integración o diferenciación. Ésta, de hecho, es la capacidad de integrarse.

1. Antiderivada. Integral indefinida.

Se supone que al momento de leer este artículo el lector ya tiene algunas habilidades de diferenciación (es decir, encontrar derivadas).

Definición 1.1: Una función se llama primitiva de una función si se cumple la igualdad:

Comentarios:> El énfasis en la palabra “primordial” se puede poner de dos maneras: primero oh figurativo o prototipo A conocimiento.

Propiedad 1: Si una función es primitiva de una función, entonces la función también es primitiva de una función.

Prueba: Demostremos esto a partir de la definición de antiderivada. Encontremos la derivada de la función:

El primer término en definición 1.1 es igual a , y el segundo término es la derivada de la constante, que es igual a 0.

.

Resumir. Anotamos el principio y el final de la cadena de igualdades:

Por tanto, la derivada de una función es igual a y, por tanto, por definición, es su antiderivada. La propiedad ha sido probada.

Definición 1.2: La integral indefinida de una función es el conjunto completo de primitivas de esta función. Esto se indica de la siguiente manera:

.

Veamos en detalle los nombres de cada parte del registro:

— designación general de la integral,

— expresión integrando (integral), función integrable.

es un diferencial, y la expresión después de la letra , en este caso es , se llamará variable de integración.

Comentarios: Las palabras clave en esta definición son "el conjunto completo". Aquellos. Si en el futuro este mismo "más C" no se anota en la respuesta, entonces el examinador tiene todo el derecho a no contar esta tarea, porque es necesario encontrar el conjunto completo de antiderivadas, y si falta C, entonces solo se encuentra una.

Conclusión: Para comprobar si la integral se calcula correctamente, es necesario encontrar la derivada del resultado. Debe coincidir con el integrando.
Ejemplo:
Ejercicio: Calcula la integral indefinida y compruébala.

Solución:

La forma en que se calcula esta integral no importa en este caso. Supongamos que se trata de una revelación de arriba. Nuestra tarea es mostrar que la revelación no nos engañó, y esto se puede hacer mediante la verificación.

Examen:

Al derivar el resultado obtuvimos un integrando, lo que significa que la integral se calculó correctamente.

2. Comienzo. Tabla de integrales.

Para integrar, no es necesario recordar cada vez la función cuya derivada es igual al integrando dado (es decir, usar la definición de integral directamente). Cada colección de problemas o libro de texto sobre análisis matemático contiene una lista de propiedades de integrales y una tabla de las integrales más simples.

Enumeremos las propiedades.

Propiedades:
1.
La integral del diferencial es igual a la variable de integración.
2. , donde es una constante.
El multiplicador constante se puede sacar del signo integral.

3.
La integral de una suma es igual a la suma de integrales (si el número de términos es finito).
Tabla de integrales:

1. 10.
2. 11.
3. 12.
4. 13.
5. 14.
6. 15.
7. 16.
8. 17.
9. 18.

La mayoría de las veces, la tarea consiste en reducir la integral en estudio a una tabular utilizando propiedades y fórmulas.

Ejemplo:

[Usemos la tercera propiedad de las integrales y escríbala como una suma de tres integrales.]

[Usemos la segunda propiedad y muevamos las constantes más allá del signo de integración.]

[En la primera integral usaremos integral de mesa No. 1 (n=2), en el segundo - la misma fórmula, pero n=1, y para la tercera integral puedes usar la misma integral tabular, pero con n=0, o la primera propiedad.]
.
Comprobemos por diferenciación:

Se obtuvo el integrando original, por lo que la integración se realizó sin errores (y ni siquiera se olvidó la suma de una constante arbitraria C).

Las integrales de tabla deben aprenderse de memoria por una sencilla razón: para saber por qué luchar, es decir Conocer el propósito de transformar una expresión dada.

Aqui hay algunos ejemplos mas:
1)
2)
3)

Tareas para solución independiente:

Ejercicio 1. Calcula la integral indefinida:

+ Mostrar/ocultar pista n.º 1.

1) Usa la tercera propiedad y representa esta integral como la suma de tres integrales.

+ Mostrar/ocultar pista n.º 2.

+ Mostrar/ocultar pista n.º 3.

3) Para los dos primeros términos, use la primera integral tabular y para el tercero, use la segunda integral tabular.

+ Mostrar/ocultar solución y respuesta.

4) Solución:

Respuesta:

Integrales principales que todo estudiante debe conocer

Las integrales enumeradas son la base, la base de los fundamentos. Definitivamente debes recordar estas fórmulas. Al calcular integrales más complejas, tendrás que utilizarlas constantemente.

Por favor pague Atención especial a las fórmulas (5), (7), (9), (12), (13), (17) y (19). ¡No olvides agregar una constante C arbitraria a tu respuesta al integrar!

Integral de una constante

∫ A d x = A x + C (1)

Integración de una función de potencia

De hecho, fue posible limitarnos solo a las fórmulas (5) y (7), pero el resto de integrales de este grupo ocurren con tanta frecuencia que vale la pena prestarles un poco de atención.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1xdx = 2x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x norte re x = x norte + 1 norte + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrales de funciones exponenciales y funciones hiperbólicas.

Por supuesto, la fórmula (8) (quizás la más conveniente para la memorización) puede considerarse como caso especial fórmulas (9). Las fórmulas (10) y (11) para las integrales del seno hiperbólico y del coseno hiperbólico se derivan fácilmente de la fórmula (8), pero es mejor simplemente recordar estas relaciones.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Integrales básicas de funciones trigonométricas.

Un error que suelen cometer los estudiantes es confundir los signos de las fórmulas (12) y (13). Recordando que la derivada del seno es igual al coseno, por alguna razón mucha gente cree que la integral de la función sinx es igual a cosx. ¡Esto no es verdad! La integral de seno es igual a “menos coseno”, pero la integral de cosx es igual a “solo seno”:

∫ sen x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sen x + C (13)
∫ 1 porque 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sen 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrales que se reducen a funciones trigonométricas inversas.

La fórmula (16), que conduce al arcotangente, es naturalmente un caso especial de la fórmula (17) para a=1. De manera similar, (18) es un caso especial de (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcosen x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcosen x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Integrales más complejas

También es recomendable recordar estas fórmulas. También se utilizan con bastante frecuencia y su resultado es bastante tedioso.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − un 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcosen x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + una 2 d x = x 2 x 2 + una 2 + una 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − una 2 re x = x 2 x 2 − una 2 − una 2 2 ln | x + x 2 − un 2 | + C (a > 0) (24)

Reglas generales de integración

1) La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales correspondientes: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) La integral de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las integrales correspondientes: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) La constante se puede sacar del signo integral: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Es fácil ver que la propiedad (26) es simplemente una combinación de las propiedades (25) y (27).

4) Integral de una función compleja si la función interna es lineal: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Aquí F(x) es una antiderivada de la función f(x). Tenga en cuenta: esta fórmula solo funciona cuando la función interna es Ax + B.

Importante: no existe fórmula universal para la integral del producto de dos funciones, así como para la integral de una fracción:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (treinta)

Esto no significa, por supuesto, que una fracción o producto no pueda integrarse. Lo que pasa es que cada vez que veas una integral como (30), tendrás que inventar una manera de “combatirla”. En algunos casos la integración por partes te ayudará, en otros tendrás que hacer un cambio de variable, y en ocasiones incluso las fórmulas “escolares” de álgebra o trigonometría pueden ayudar.

Un ejemplo sencillo de cálculo de la integral indefinida.

Ejemplo 1. Encuentra la integral: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Usemos las fórmulas (25) y (26) (la integral de la suma o diferencia de funciones es igual a la suma o diferencia de las integrales correspondientes. Obtenemos: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12d x

Recordemos que la constante se puede sacar del signo integral (fórmula (27)). La expresión se convierte a la forma.

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sen x d x − 7 ∫ e ​​​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Ahora usemos la tabla de integrales básicas. Tendremos que aplicar las fórmulas (3), (12), (8) y (1). Integramos la función de potencia, seno, exponencial y constante 1. No olvides agregar una constante arbitraria C al final:

3 x 3 3 − 2 porque x − 7 e x + 12 x + C

Después de transformaciones elementales obtenemos la respuesta final:

X 3 − 2 porque x − 7 e x + 12 x + C

Ponte a prueba por derivación: toma la derivada de la función resultante y asegúrate de que sea igual al integrando original.

Tabla resumen de integrales

∫ A d x = A x + C
∫ x d x = x 2 2 + C
∫ x 2 d x = x 3 3 + C
∫ 1xdx = 2x + C
∫ 1 x d x = ln | x | +C
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C
∫ x norte re x = x norte + 1 norte + 1 + C ( norte ≠ − 1 )
∫ mi x re x = mi x + C
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)
∫ s h x d x = c h x + C
∫ c h x d x = s h x + C
∫ sen x d x = − cos x + C
∫ porque x d x = sen x + C
∫ 1 porque 2 x d x = t g x + C
∫ 1 pecado 2 x d x = − c t g x + C
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcosen x + C = − arccos x + C
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcosen x a + C = − arccos x a + C (a > 0)
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − un 2 | +C
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcosen x a + C (a > 0)
∫ x 2 + una 2 d x = x 2 x 2 + una 2 + una 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)
∫ x 2 − una 2 re x = x 2 x 2 − una 2 − una 2 2 ln | x + x 2 − un 2 | + C (a > 0)


Descarga la tabla de integrales (parte II) desde este enlace

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En un material anterior, se consideró la cuestión de encontrar la derivada y su varias aplicaciones: calcular el coeficiente angular de una tangente a una gráfica, resolver problemas de optimización, estudiar funciones de monotonicidad y extremos. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

Foto 1.

También se consideró el problema de encontrar la velocidad instantánea $v(t)$ usando la derivada a lo largo de un camino recorrido previamente conocido, expresado por la función $s(t)$.

Figura 2.

El problema inverso también es muy común, cuando necesitas encontrar el camino $s(t)$ recorrido por un punto en el tiempo $t$, conociendo la velocidad del punto $v(t)$. Si recordamos, la velocidad instantánea $v(t)$ se encuentra como la derivada de la función de trayectoria $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Esto significa que para resolver el problema inverso, es decir, calcular la trayectoria, es necesario encontrar una función cuya derivada sea igual a la función de velocidad. Pero sabemos que la derivada del camino es la velocidad, es decir: $s’(t) = v(t)$. La velocidad es igual a la aceleración por el tiempo: $v=at$. Es fácil determinar que la función de ruta deseada tendrá la forma: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Pero ésta no es una solución completa. La solución completa tendrá la forma: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, donde $C$ es una constante. Por qué esto es así se discutirá más a fondo. Por ahora, verifiquemos la exactitud de la solución encontrada: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =en=v(t)$.

Vale la pena señalar que encontrar un camino basado en la velocidad es el significado físico de una antiderivada.

La función resultante $s(t)$ se llama antiderivada de la función $v(t)$. bastante interesante y nombre inusual, No lo es. Contiene mucho significado que explica la esencia. este concepto y conduce a su comprensión. Notarás que contiene dos palabras "primero" e "imagen". Hablan por sí mismos. Es decir, esta es la función inicial de la derivada que tenemos. Y usando esta derivada buscamos la función que estaba al principio, era “primera”, “primera imagen”, es decir, antiderivada. A veces también se le llama función primitiva o antiderivada.

Como ya sabemos, el proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación. Y el proceso de encontrar la primitiva se llama integración. La operación de integración es la inversa de la operación de diferenciación. Lo contrario también es cierto.

Definición. Una antiderivada de una función $f(x)$ en un determinado intervalo es una función $F(x)$ cuya derivada es igual a esta función $f(x)$ para todo $x$ del intervalo especificado: $F' (x)=f(x)$.

Alguien puede tener una pregunta: ¿de dónde vienen $F(x)$ y $f(x)$ en la definición, si inicialmente estábamos hablando de $s(t)$ y $v(t)$? El hecho es que $s(t)$ y $v(t)$ son casos especiales de designación de funciones que tienen un significado específico en este caso, es decir, son una función del tiempo y una función de la velocidad, respectivamente. Lo mismo ocurre con la variable $t$: denota tiempo. Y $f$ y $x$ son la variante tradicional de la designación general de una función y una variable, respectivamente. Vale la pena prestar especial atención a la notación de la antiderivada $F(x)$. En primer lugar, $F$ es capital. Se designan antiderivadas. en letras mayúsculas. En segundo lugar, las letras son iguales: $F$ y $f$. Es decir, para la función $g(x)$ la antiderivada se denotará por $G(x)$, para $z(x)$ – por $Z(x)$. Independientemente de la notación, las reglas para encontrar una función antiderivada son siempre las mismas.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1. Demuestre que la función $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ es una antiderivada de la función $f(x)=\cos5x$.

Para probar esto, usaremos la definición, o más bien el hecho de que $F'(x)=f(x)$, y encontraremos la derivada de la función $F(x)$: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Esto significa que $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ es la antiderivada de $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.

Ejemplo 2. Encuentre qué funciones corresponden a las siguientes antiderivadas: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

Para encontrar las funciones requeridas, calculemos sus derivadas:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

Ejemplo 3.¿Cuál será la primitiva de $f(x)=0$?
Usemos la definición. Pensemos qué función puede tener una derivada igual a $0$. Recordando la tabla de derivadas, encontramos que cualquier constante tendrá dicha derivada. Encontramos que la antiderivada que buscamos es: $F(x)= C$.

La solución resultante se puede explicar geométrica y físicamente. Geométricamente, significa que la tangente a la gráfica $y=F(x)$ es horizontal en cada punto de esta gráfica y, por tanto, coincide con el eje $Ox$. Físicamente se explica por el hecho de que un punto con una velocidad igual a cero permanece en su lugar, es decir, el camino que ha recorrido no cambia. En base a esto, podemos formular el siguiente teorema.

Teorema. (Signo de constancia de funciones.). Si en algún intervalo $F’(x) = 0$, entonces la función $F(x)$ en este intervalo es constante.

Ejemplo 4. Determine qué funciones son antiderivadas de a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, donde $a$ es algún número.
Usando la definición de antiderivada, concluimos que para resolver este problema necesitamos calcular las derivadas de las funciones antiderivadas que se nos dan. A la hora de calcular recuerda que la derivada de una constante, es decir, de cualquier número, es igual a cero.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.

¿Qué vemos? Varias funciones diferentes son primitivas de la misma función. Esto sugiere que cualquier función tiene infinitas primitivas, y tienen la forma $F(x) + C$, donde $C$ es una constante arbitraria. Es decir, la operación de integración es multivaluada, a diferencia de la operación de diferenciación. Con base en esto, formulemos un teorema que describa la propiedad principal de las antiderivadas.

Teorema. (La principal propiedad de las antiderivadas.). Sean las funciones $F_1$ y $F_2$ funciones antiderivadas$f(x)$ en algún intervalo. Entonces, para todos los valores de este intervalo se cumple la siguiente igualdad: $F_2=F_1+C$, donde $C$ es una constante.

El hecho de la presencia de un número infinito de antiderivadas se puede interpretar geométricamente. Usando la traslación paralela a lo largo del eje $Oy$, se pueden obtener entre sí las gráficas de dos antiderivadas cualesquiera para $f(x)$. Éste es el significado geométrico de la antiderivada.

Es muy importante prestar atención al hecho de que al elegir la constante $C$ puedes asegurar que la gráfica de la antiderivada pase por un punto determinado.

Figura 3.

Ejemplo 5. Encuentra la primitiva de la función $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, cuya gráfica pasa por el punto $(3; 1)$.
Primero encontremos todas las antiderivadas para $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
A continuación, encontraremos un número C para el cual la gráfica $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ pasará por el punto $(3; 1)$. Para hacer esto, sustituimos las coordenadas del punto en la ecuación gráfica y la resolvemos para $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Obtuvimos una gráfica $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, que corresponde a la primitiva $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Tabla de antiderivadas

Se puede compilar una tabla de fórmulas para encontrar antiderivadas utilizando fórmulas para encontrar derivadas.

Tabla de antiderivadas
Funciones Antiderivadas
$0$ $C$
$1$ $x+C$
$a\en R$ $hacha+C$
$x^n, n\ne1$ $\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$ $\ln|x|+C$
$\pecado x$ $-\cos x+C$
$\cos x$ $\pecado x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$ $-\ctgx+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$ $\tgx+C$
$e^x$ $e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$ $\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ $\arcosen x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ $\arcos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$ $\arctgx+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$ $\arcctgx+C$

Puedes comprobar la exactitud de la tabla de la siguiente manera: para cada conjunto de antiderivadas ubicadas en la columna de la derecha, encuentra la derivada, lo que dará como resultado las funciones correspondientes en la columna de la izquierda.

Algunas reglas para encontrar antiderivadas

Como sabes, muchas funciones tienen una forma más compleja que las indicadas en la tabla de antiderivadas y pueden ser cualquier combinación arbitraria de sumas y productos de funciones de esta tabla. Y aquí surge la pregunta: cómo calcular las antiderivadas de tales funciones. Por ejemplo, de la tabla sabemos cómo calcular las antiderivadas de $x^3$, $\sin x$ y $10$. ¿Cómo, por ejemplo, se puede calcular la primitiva $x^3-10\sin x$? De cara al futuro, vale la pena señalar que será igual a $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Si $F(x)$ es antiderivada para $f(x)$, $G(x)$ para $g(x)$, entonces para $f(x)+g(x)$ la antiderivada será igual a $ F(x)+G(x)$.
2. Si $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ y $a$ es una constante, entonces para $af(x)$ la antiderivada es $aF(x)$.
3. Si para $f(x)$ la antiderivada es $F(x)$, $a$ y $b$ son constantes, entonces $\frac(1)(a) F(ax+b)$ es la antiderivada por $f (ax+b)$.
Usando las reglas obtenidas podemos ampliar la tabla de antiderivadas.

Funciones Antiderivadas
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ $\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ $\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$ $\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$ $\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$ $\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Ejemplo 5. Encuentre antiderivadas para:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.