Integral definida. Cómo calcular el área de una figura

Pasemos a considerar las aplicaciones del cálculo integral. En esta lección analizaremos la tarea típica y más común. – cómo utilizar una integral definida para calcular el área de una figura plana. Finalmente buscando significado en Matemáticas avanzadas- que lo encuentren. Nunca sabes. Tendremos que acercarlo en la vida. zona de casa de campo funciones elementales y encontrar su área usando una integral definida.

Para dominar con éxito el material, debe:

1) Comprender la integral indefinida al menos a un nivel intermedio. Por lo tanto, los tontos deberían leer primero la lección. No.

2) Ser capaz de aplicar la fórmula de Newton-Leibniz y calcular integral definida. Puede establecer cálidas relaciones amistosas con ciertos integrales en la página. Integral definida. Ejemplos de soluciones.

De hecho, para encontrar el área de una figura no necesitas tanto conocimiento de la integral indefinida y definida. La tarea "calcular el área usando una integral definida" siempre implica construir un dibujo, por lo que tus conocimientos y habilidades de dibujo serán un tema mucho más apremiante. En este sentido, resulta útil refrescar la memoria de las gráficas de los principales funciones elementales y, como mínimo, ser capaz de construir una línea recta, una parábola y una hipérbola. Esto se puede hacer (para muchos, es necesario) usando material metodológico y artículos sobre transformaciones geométricas de gráficas.

En realidad, todos estamos familiarizados con la tarea de encontrar el área usando una integral definida desde la escuela, y no iremos mucho más allá del plan de estudios escolar. Puede que este artículo no existiera en absoluto, pero lo cierto es que el problema se produce en 99 de cada 100 casos, cuando un estudiante sufre por una escuela odiada y domina con entusiasmo un curso de matemáticas superiores.

Los materiales de este taller se presentan de forma sencilla, detallada y con un mínimo de teoría.

Empecemos con un trapezoide curvo.

trapezoide curvilíneo es una figura plana delimitada por un eje, rectas y la gráfica de una función continua en un intervalo que no cambia de signo en este intervalo. Localicemos esta figura no menos eje x:

Entonces el área de un trapecio curvilíneo es numéricamente igual a una integral definida. Cualquier integral definida (que exista) tiene un muy buen significado geométrico. En la lección Integral definida. Ejemplos de soluciones Dije que una integral definida es un número. Y ahora ha llegado el momento de exponer otro hecho útil. Desde el punto de vista de la geometría, la integral definida es AREA.

Eso es, la integral definida (si existe) corresponde geométricamente al área de una determinada figura. Por ejemplo, considere la integral definida. El integrando define una curva en el plano ubicado sobre el eje (quien lo desee puede hacer un dibujo), y la integral definida en sí es numéricamente igual al área correspondiente trapecio curvo.

Ejemplo 1

Esta es una declaración de asignación típica. Primero y el momento más importante soluciones - dibujo. Además, el dibujo debe construirse. BIEN.

Al construir un dibujo, recomiendo el siguiente orden: en primer lugar es mejor construir todas las líneas rectas (si existen) y solo Entonces– parábolas, hipérbolas, gráficas de otras funciones. Es más rentable construir gráficas de funciones. punto por punto, la técnica de construcción punto por punto se puede encontrar en el material de referencia Gráficas y propiedades de funciones elementales.. Allí también podrá encontrar material muy útil para nuestra lección: cómo construir rápidamente una parábola.

En este problema, la solución podría verse así.
Dibujemos el dibujo (tenga en cuenta que la ecuación define el eje):

No sombrearé el trapecio curvo; aquí es obvio de qué área estamos hablando. La solución continúa así:

En el segmento se ubica la gráfica de la función. por encima del eje, Es por eso:

Respuesta:

¿Quién tiene dificultades para calcular la integral definida y aplicar la fórmula de Newton-Leibniz? , consulte la conferencia Integral definida. Ejemplos de soluciones.

Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el dibujo y averiguar si la respuesta es real. En este caso, contamos el número de celdas en el dibujo "a ojo"; bueno, habrá alrededor de 9, parece ser cierto. Está completamente claro que si obtuviéramos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces es obvio que se cometió un error en alguna parte: 20 celdas claramente no encajan en la figura en cuestión, como máximo una docena. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Ejemplo 2

Calcular el área de una figura delimitada por rectas, y eje

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Qué hacer si se localiza el trapezoide curvo. debajo del eje?

Ejemplo 3

Calcula el área de la figura delimitada por líneas y ejes de coordenadas.

Solución: Hagamos un dibujo:

Si se ubica un trapezoide curvo debajo del eje(o al menos no más alto eje dado), entonces su área se puede encontrar usando la fórmula:
En este caso:

¡Atención! No deben confundirse los dos tipos de tareas.:

1) Si te piden que resuelvas simplemente una integral definida sin ningún significado geométrico, entonces puede ser negativa.

2) Si te piden encontrar el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área siempre es positiva! Es por eso que el menos aparece en la fórmula que acabamos de comentar.

En la práctica, la mayoría de las veces la figura se ubica tanto en el semiplano superior como en el inferior y, por lo tanto, de los problemas escolares más simples pasamos a ejemplos más significativos.

Ejemplo 4

Encuentra el área de una figura plana delimitada por las rectas , .

Solución: Primero debes completar el dibujo. En términos generales, al construir un dibujo en problemas de área, lo que más nos interesa son los puntos de intersección de las líneas. Encontremos los puntos de intersección de la parábola y la recta. Esto se puede hacer de dos formas. El primer método es analítico. Resolvemos la ecuación:

Esto significa que el límite inferior de integración es , el límite superior de integración es .
Si es posible, es mejor no utilizar este método..

Es mucho más rentable y rápido construir líneas punto por punto, y los límites de la integración se aclaran "por sí solos". La técnica de construcción punto por punto para varios gráficos se analiza en detalle en la ayuda. Gráficas y propiedades de funciones elementales.. Sin embargo, a veces todavía es necesario utilizar el método analítico de encontrar límites si, por ejemplo, el gráfico es lo suficientemente grande o la construcción detallada no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales). Y también consideraremos un ejemplo de este tipo.

Volvamos a nuestra tarea: es más racional construir primero una línea recta y solo luego una parábola. Hagamos el dibujo:

Repito que cuando se construye puntualmente, los límites de integración suelen descubrirse "automáticamente".

Y ahora la fórmula de trabajo.: Si hay alguna función continua en el segmento Mayor qué o igual a alguna función continua , entonces el área de la figura delimitada por las gráficas de estas funciones y las rectas , , se puede encontrar usando la fórmula:

Aquí ya no es necesario pensar en dónde se encuentra la figura: encima o debajo del eje y, en términos generales, importa qué gráfico es MÁS ALTO(en relación con otro gráfico), y cual esta ABAJO.

En el ejemplo considerado, es obvio que en el segmento la parábola está ubicada por encima de la línea recta y, por lo tanto, es necesario restar de

La solución completa podría verse así:

La figura deseada está limitada por una parábola arriba y una línea recta abajo.
Sobre el segmento, según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

De hecho, la fórmula escolar para el área de un trapecio curvilíneo en el semiplano inferior (ver ejemplo simple No. 3) es caso especial fórmulas . Dado que el eje está especificado por la ecuación y la gráfica de la función se encuentra no más alto ejes, entonces

Y ahora un par de ejemplos para su propia solución.

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Encuentra el área de la figura delimitada por las líneas , .

Al resolver problemas que implican calcular el área usando una integral definida, a veces ocurre un incidente divertido. El dibujo se hizo correctamente, los cálculos fueron correctos, pero por descuido... se encontró el área de la figura incorrecta, así es exactamente como su humilde servidor la cagó varias veces. Aquí caso real de vida:

Ejemplo 7

Calcula el área de la figura delimitada por las rectas , , , .

Solución: Primero, hagamos un dibujo:

...Eh, el dibujo salió una mierda, pero todo parece legible.

La figura cuyo área necesitamos encontrar está sombreada en azul.(Mire atentamente el estado: ¡cómo es limitada la figura!). Pero en la práctica, debido a la falta de atención, a menudo surge el "fallo técnico" de que es necesario encontrar el área de una figura que está sombreada. verde!

Este ejemplo también es útil porque calcula el área de una figura usando dos integrales definidas. En realidad:

1) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una línea recta;

2) En el segmento sobre el eje hay una gráfica de una hipérbola.

Es bastante obvio que las áreas pueden (y deben) agregarse, por lo tanto:

Respuesta:

Pasemos a otra tarea significativa.

Ejemplo 8

Calcula el área de una figura delimitada por líneas,
Presentemos las ecuaciones en forma “escolar” y hagamos un dibujo punto por punto:

Del dibujo queda claro que nuestro límite superior es "bueno": .
¿Pero cuál es el límite inferior? Está claro que esto no es un número entero, pero ¿qué es? Tal vez ? Pero ¿dónde está la garantía de que el dibujo está hecho con perfecta precisión? Bien puede resultar que... O la raíz. ¿Qué pasa si construimos el gráfico incorrectamente?

En tales casos, hay que dedicar más tiempo y aclarar analíticamente los límites de la integración.

Encontremos los puntos de intersección de una recta y una parábola.
Para ello resolvemos la ecuación:


,

En realidad, .

La solución adicional es trivial, lo principal es no confundirse con sustituciones y signos, los cálculos aquí no son los más simples.

en el segmento , según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Bueno, para concluir la lección, veamos dos tareas más difíciles.

Ejemplo 9

Calcula el área de la figura delimitada por las rectas , ,

Solución: Representemos esta figura en el dibujo.

Maldita sea, olvidé firmar el horario y, lo siento, no quería rehacer la foto. No es día de sorteo, en fin, hoy es el día =)

Para la construcción punto por punto necesita saber apariencia sinusoides (y generalmente útil saber gráficas de todas las funciones elementales), así como algunos valores de seno, se pueden encontrar en tabla trigonométrica. En algunos casos (como en este caso), es posible construir un dibujo esquemático en el que, en principio, se deben representar correctamente las gráficas y los límites de integración.

Aquí no hay problemas con los límites de integración; se derivan directamente de la condición: "x" cambia de cero a "pi". Tomemos una decisión adicional:

En el segmento, la gráfica de la función se ubica encima del eje, por lo tanto:

Sea la función no negativa y continua en el intervalo. Luego, de acuerdo con el significado geométrico de una integral definida, el área de un trapecio curvilíneo delimitada arriba por la gráfica de esta función, abajo por el eje, a la izquierda y a la derecha por líneas rectas y (ver Fig. 2) es calculado por la fórmula

Ejemplo 9. Encuentra el área de la figura delimitada por la recta y el eje.

Solución. Gráfico de funciones es una parábola cuyas ramas se dirigen hacia abajo. Vamos a construirlo (Fig. 3). Para determinar los límites de integración, encontramos los puntos de intersección de la recta (parábola) con el eje (recta). Para ello resolvemos el sistema de ecuaciones.

Obtenemos: , dónde , ; por eso, , .

Arroz. 3

Encontramos el área de la figura usando la fórmula (5):

Si la función no es positiva y es continua en el segmento , entonces el área del trapezoide curvilíneo delimitada abajo por la gráfica de esta función, arriba por el eje, a la izquierda y a la derecha por líneas rectas y , se calcula mediante el fórmula

. (6)

Si la función es continua en un segmento y cambia de signo en un número finito de puntos, entonces el área de la figura sombreada (Fig.4) es igual a la suma algebraica de las integrales definidas correspondientes:

Arroz. 4

Ejemplo 10. Calcula el área de la figura delimitada por el eje y la gráfica de la función en .

Arroz. 5

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 5). El área requerida es la suma de las áreas y . Encontremos cada una de estas áreas. Primero, determinamos los límites de integración resolviendo el sistema. Obtenemos , . Por eso:

;

.

Por tanto, el área de la figura sombreada es

(unidades cuadradas).

Arroz. 6

Finalmente, dejemos que el trapecio curvilíneo esté acotado arriba y abajo por las gráficas de funciones continuas en el segmento y ,
ya la izquierda y a la derecha, líneas rectas y (Fig. 6). Entonces su área se calcula mediante la fórmula

. (8)

Ejemplo 11. Encuentra el área de la figura delimitada por las rectas y.

Solución. Esta figura se muestra en la Fig. 7. Calculemos su área usando la fórmula (8). Resolviendo el sistema de ecuaciones encontramos, ; por eso, , . En el segmento tenemos: . Esto significa que en la fórmula (8) tomamos como X, y como cualidad – . Obtenemos:

(unidades cuadradas).

Los problemas más complejos de cálculo de áreas se resuelven dividiendo la figura en partes que no se superponen y calculando el área de toda la figura como la suma de las áreas de estas partes.

Arroz. 7

Ejemplo 12. Encuentra el área de la figura delimitada por las líneas , , .

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 8). Esta figura se puede considerar como un trapezoide curvilíneo, delimitado desde abajo por el eje, hacia la izquierda y hacia la derecha, por líneas rectas y, desde arriba, por gráficas de funciones y. Dado que la figura está limitada desde arriba por las gráficas de dos funciones, para calcular su área dividimos esta figura recta en dos partes (1 es la abscisa del punto de intersección de las rectas y ). El área de cada una de estas partes se encuentra mediante la fórmula (4):

(unidades cuadradas); (unidades cuadradas). Por eso:

(unidades cuadradas).

Arroz. 8

X=j( en)

Arroz. 9

En conclusión, observamos que si un trapezoide curvilíneo está limitado por líneas rectas y , eje y continuo en la curva (Fig.9), entonces su área se encuentra mediante la fórmula

Volumen de un cuerpo de revolución.

Dejemos que un trapezoide curvilíneo, delimitado por la gráfica de una función continua en un segmento, por un eje, por líneas rectas y , gire alrededor del eje (Fig. 10). Luego, el volumen del cuerpo de rotación resultante se calcula mediante la fórmula

. (9)

Ejemplo 13. Calcula el volumen de un cuerpo obtenido al girar alrededor del eje de un trapezoide curvilíneo delimitado por una hipérbola, rectas y un eje.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 11).

De las condiciones del problema se deduce que , . De la fórmula (9) obtenemos

.

Arroz. 10

Arroz. once

Volumen de un cuerpo obtenido por rotación alrededor de un eje. UNED trapezoide curvilíneo delimitado por líneas rectas y = c Y y = d, eje UNED y una gráfica de una función continua en un segmento (Fig.12), determinada por la fórmula

. (10)

X=j( en)

Arroz. 12

Ejemplo 14. Calcular el volumen de un cuerpo obtenido al girar alrededor de un eje. UNED trapezoide curvilíneo delimitado por líneas X 2 = 4en, y = 4, x = 0 (Figura 13).

Solución. De acuerdo con las condiciones del problema, encontramos los límites de integración: , . Usando la fórmula (10) obtenemos:

Arroz. 13

Longitud de arco de una curva plana.

Sea la curva dada por la ecuación , donde , se encuentra en el plano (Fig. 14).

Arroz. 14

Definición. Se entiende por longitud de un arco el límite al que tiende la longitud de una línea discontinua inscrita en este arco, cuando el número de eslabones de la línea discontinua tiende a infinito, y la longitud del eslabón más grande tiende a cero.

Si una función y su derivada son continuas en el segmento, entonces la longitud del arco de la curva se calcula mediante la fórmula

. (11)

Ejemplo 15. Calcule la longitud del arco de la curva encerrada entre los puntos para los cuales .

Solución. De las condiciones problemáticas que tenemos . Usando la fórmula (11) obtenemos:

4. Integrales impropias
con infinitos límites de integración

Al introducir el concepto de integral definida, se supuso que se cumplían las dos condiciones siguientes:

a) límites de integración A y son finitos;

b) el integrando está acotado en el intervalo.

Si al menos una de estas condiciones no se cumple, entonces la integral se llama no tuyo.

Consideremos primero integrales impropias con límites infinitos de integración.

Definición. Sea la función definida y continua en el intervalo, entonces e ilimitado a la derecha (Fig. 15).

Si la integral impropia converge, entonces esta área es finita; si la integral impropia diverge, entonces esta área es infinita.

Arroz. 15

Una integral impropia con un límite inferior de integración infinito se define de manera similar:

. (13)

Esta integral converge si el límite en el lado derecho de la igualdad (13) existe y es finito; en caso contrario se dice que la integral es divergente.

Una integral impropia con dos límites infinitos de integración se define de la siguiente manera:

, (14)

donde с es cualquier punto del intervalo. La integral converge solo si ambas integrales del lado derecho de la igualdad (14) convergen.

;

GRAMO) = [seleccione un cuadrado completo en el denominador: ] = [reemplazo:

] =

Esto significa que la integral impropia converge y su valor es igual a .

Tema: Calcular el área de una figura plana usando una integral definida

Objetivos: aprender la definición y fórmulas para encontrar el área de un trapecio curvilíneo;

considerar varios casos encontrar el área de un trapecio curvilíneo;

Ser capaz de calcular el área de un trapecio curvo.

Plan:

Trapezoide curvilíneo.

Fórmulas para calcular el área de un trapecio curvo.

trapezoide curvilíneo es una figura que está limitada por la gráfica de una función continua y no negativa f(x) en el intervalo, los segmentos de recta x=a y x=b, así como un segmento del eje x entre los puntos a y b .

Imágenes de trapecios curvos:

Ahora pasemos a opciones posibles la ubicación de figuras cuya área debe calcularse en el plano de coordenadas.

Primero Habrá la opción más sencilla (la primera imagen), la habitual. trapecio curvo, como en la definición. No hay necesidad de inventar nada aquí, sólo toma la integral de a antes b de la función f(x). Si encontramos la integral, también sabremos el área de este trapezoide.


En segundo opción, nuestra figura estará limitada no por el eje x, sino por otra función gramo(x). Por lo tanto, para encontrar el área CEFD, primero necesitamos encontrar el área AEFB(usando la integral de f(x)), luego encuentre el área ACDB(usando la integral de gramo(x)). Y el área requerida de la figura. CEFD, habrá una diferencia entre la primera y la segunda área del trapecio curvo. Dado que aquí los límites de integración son los mismos, todo esto se puede escribir bajo una integral (ver fórmulas debajo de la figura), todo depende de la complejidad de las funciones, en cuyo caso será más fácil encontrar la integral.



Tercero muy similar al primero, pero solo se coloca nuestro trapezoide, no arriba eje x y debajo de él. Por lo tanto, aquí debemos tomar la misma integral, solo que con un signo menos, porque el valor de la integral será negativo y el valor del área debería ser positivo. Si en lugar de una función f(x) tomar función –f(x), entonces su gráfica será la misma, simplemente mostrada simétricamente con respecto al eje x.


Y cuatro opción cuando parte de nuestra figura está por encima del eje x y parte por debajo de él. Por lo tanto, primero necesitamos encontrar el área de la figura. AEFB, como en la primera opción, y luego el área de la figura. A B C D, como en la tercera opción y luego doblarlos. Como resultado, obtenemos el área de la figura. DEFC. Dado que aquí los límites de integración son los mismos, todo esto se puede escribir bajo una integral (ver fórmulas debajo de la figura), todo depende de la complejidad de las funciones, en cuyo caso será más fácil encontrar la integral.

Preguntas de autoevaluación:

¿Qué figura se llama trapecio curvo?

¿Cómo encontrar el área de un trapecio curvo?

De vuelta atras

¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si estás interesado este trabajo, descargue la versión completa.

Palabras clave: trapecio integral, curvilíneo, área de figuras delimitadas por lirios

Equipo: pizarra, ordenador, proyector multimedia

tipo de lección: lección-conferencia

Objetivos de la lección:

• educativo: crear una cultura de trabajo mental, crear una situación de éxito para cada estudiante y crear motivación positiva para el aprendizaje; Desarrollar la capacidad de hablar y escuchar a los demás.
• desarrollando: formación del pensamiento independiente del estudiante en la aplicación de conocimientos en diversas situaciones, la capacidad de analizar y sacar conclusiones, desarrollo de la lógica, desarrollo de la capacidad de plantear correctamente preguntas y encontrar respuestas. Mejorar la formación de habilidades computacionales y computacionales, desarrollar el pensamiento de los estudiantes en el proceso de completar las tareas propuestas, desarrollar una cultura algorítmica.
• educativo: formar conceptos sobre un trapezoide curvilíneo, sobre una integral, dominar las habilidades de calcular las áreas de figuras planas

Método de enseñanza: explicativo e ilustrativo.

durante las clases

En clases anteriores aprendimos a calcular las áreas de figuras cuyos límites son líneas quebradas. En matemáticas existen métodos que permiten calcular las áreas de figuras delimitadas por curvas. Estas figuras se denominan trapecios curvilíneos y su área se calcula mediante antiderivadas.

Trapecio curvilíneo ( diapositiva 1)

Un trapezoide curvo es una figura delimitada por la gráfica de una función, ( sh.m.), derecho x = un Y x = segundo y eje x

Varios tipos de trapecios curvos ( diapositiva 2)

Estamos considerando diferentes tipos trapecios curvilíneos y aviso: una de las líneas degenera en un punto, el papel de función limitante lo desempeña la línea

Área de un trapecio curvo (diapositiva 3)

Arreglar el extremo izquierdo del intervalo. A, y el correcto X cambiaremos, es decir, moveremos la pared derecha del trapezoide curvilíneo y obtendremos una figura cambiante. El área de un trapecio curvilíneo variable delimitada por la gráfica de la función es una primitiva F para función F

Y en el segmento [ a; b] área de un trapezoide curvilíneo formado por la función F, es igual al incremento de la primitiva de esta función:

Ejercicio 1:

Encuentra el área de un trapecio curvilíneo delimitado por la gráfica de la función: f(x) = x 2 y recto y = 0, x = 1, x = 2.

Solución: ( según el algoritmo diapositiva 3)

Dibujemos una gráfica de la función y las líneas.

Busquemos uno de funciones antiderivadas f(x) = x 2 :

Autoprueba en diapositiva

Integral

Considere un trapecio curvilíneo definido por la función F en el segmento [ a; b]. Dividamos este segmento en varias partes. El área de todo el trapecio se dividirá por la suma de las áreas de trapecios curvos más pequeños. ( diapositiva 5). Cada uno de estos trapecio puede considerarse aproximadamente un rectángulo. La suma de las áreas de estos rectángulos da una idea aproximada del área total del trapecio curvo. Cuanto más pequeño dividimos el segmento [ a; b], con mayor precisión calculamos el área.

Escribamos estos argumentos en forma de fórmulas.

Divida el segmento [ a; b] en n partes por puntos x 0 =a, x1,...,xn = b. Longitud k- th denotamos por xk = xk – xk-1. hagamos una suma

Geométricamente, esta suma representa el área de la figura sombreada en la figura ( sh.m.)

Las sumas de la forma se llaman sumas integrales de la función. F. (sh.m.)

Las sumas integrales dan un valor aproximado del área. El valor exacto se obtiene pasando al límite. Imaginemos que estamos refinando la partición del segmento [ a; b] de modo que las longitudes de todos los segmentos pequeños tiendan a cero. Entonces el área de la figura compuesta se acercará al área del trapecio curvo. Podemos decir que el área de un trapecio curvo es igual al límite de sumas integrales, sc.t. (sh.m.) o integral, es decir,

Definición:

Integral de una función f(x) de a antes b llamado límite de sumas integrales

= (sh.m.)

Fórmula de Newton-Leibniz.

Recordamos que el límite de las sumas integrales es igual al área de un trapecio curvilíneo, lo que significa que podemos escribir:

sc.t. = (sh.m.)

Por otro lado, el área de un trapecio curvo se calcula mediante la fórmula

S k.t. (sh.m.)

Comparando estas fórmulas, obtenemos:

= (sh.m.)

Esta igualdad se llama fórmula de Newton-Leibniz.

Para facilitar el cálculo, la fórmula se escribe como:

= = (sh.m.)

Tareas: (sh.m.)

1. Calcule la integral usando la fórmula de Newton-Leibniz: ( consulte la diapositiva 5)

2. Redacte integrales según el dibujo ( consulte la diapositiva 6)

3. Encuentra el área de la figura delimitada por las líneas: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Diapositiva 7)

Encontrar las áreas de figuras planas ( diapositiva 8)

¿Cómo encontrar el área de figuras que no son trapecios curvos?

Dejemos que se den dos funciones, cuyas gráficas ves en la diapositiva. . (sh.m.) Encuentra el área de la figura sombreada. . (sh.m.). ¿Es la figura en cuestión un trapecio curvo? ¿Cómo puedes encontrar su área usando la propiedad de aditividad del área? Considere dos trapecios curvos y reste el área del otro del área de uno de ellos ( sh.m.)

Creemos un algoritmo para encontrar el área usando animación en una diapositiva:

1. Funciones gráficas
2. Proyecta los puntos de intersección de las gráficas en el eje x.
3. Sombrea la figura obtenida cuando las gráficas se cruzan.
4. Encuentra trapecios curvilíneos cuya intersección o unión sea la figura dada.
5. Calcula el área de cada uno de ellos.
6. Encuentra la diferencia o suma de áreas.

Tarea oral: Cómo obtener el área de una figura sombreada (decir usando animación, diapositiva 8 y 9)

Tarea: Analice las notas, núm. 353 (a), núm. 364 (a).

Bibliografía

1. Álgebra y los inicios del análisis: un libro de texto para los grados 9-11 de la escuela nocturna (turno) / ed. G.D. Glaser. - M: Ilustración, 1983.
2. Bashmakov M.I. Álgebra y los inicios del análisis: un libro de texto para los grados 10-11 de la escuela secundaria / Bashmakov M.I. - M: Ilustración, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matemáticas: libro de texto para instituciones que comienzan. y miércoles profe. educación / M.I. Bashmákov. - M: Academia, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Álgebra y principios del análisis: libro de texto para los grados 10-11. instituciones educativas / A.N. Kolmogorov. - M: Educación, 2010.
5. Ostrovsky S.L. ¿Cómo hacer una presentación para una lección?/ S.L. Ostrovsky. – M.: 1 de septiembre de 2010.

Consideremos un trapecio curvo delimitado por el eje Ox, la curva y=f(x) y dos rectas: x=a y x=b (Fig. 85). Tomemos un valor arbitrario de x (pero no a ni b). Démosle un incremento h = dx y consideremos una franja delimitada por las rectas AB y CD, pertenecientes al eje Ox y al arco BD de la curva considerada. A esta franja la llamaremos franja elemental. El área de una franja elemental se diferencia del área del rectángulo ACQB por el triángulo curvilíneo BQD, y el área de este último es menor que el área del rectángulo BQDM de lados BQ = =h= dx) QD=Ay y área igual a hAy = Ay dx. A medida que el lado h disminuye, el lado Du también disminuye y simultáneamente con h tiende a cero. Por tanto, el área del BQDM es infinitesimal de segundo orden. El área de una franja elemental es el incremento del área, y el área del rectángulo ACQB, igual a AB-AC ==/(x) dx> es el diferencial del área. En consecuencia, encontramos el área misma integrando su diferencial. Dentro de la figura considerada, la variable independiente l: cambia de a a b, por lo que el área requerida 5 será igual a 5= \f(x) dx. (I) Ejemplo 1. Calculemos el área delimitada por la parábola y - 1 -x*, las rectas X =--Fj-, x = 1 y el eje O* (Fig. 86). en la Fig. 87. Fig. 86. 1 Aquí f(x) = 1 - l?, los límites de integración son a = - y £ = 1, por lo tanto J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Ejemplo 2. Calculemos el área limitada por la sinusoide y = sinXy, el eje Ox y la recta (Fig. 87). Aplicando la fórmula (I), obtenemos A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Ejemplo 3. Calcular el área limitada por el arco de la sinusoide ^у = sen jc, encerrado entre dos puntos de intersección adyacentes con el eje Ox (por ejemplo, entre el origen y el punto con la abscisa i). Tenga en cuenta que por consideraciones geométricas queda claro que esta área será el doble del área del ejemplo anterior. Sin embargo, hagamos los cálculos: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o De hecho, nuestra suposición resultó ser correcta. Ejemplo 4. Calcule el área delimitada por la sinusoide y el eje Ox en un período (Fig. 88). Los cálculos preliminares sugieren que el área será cuatro veces mayor que en el Ejemplo 2. Sin embargo, después de hacer los cálculos, obtenemos “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Este resultado requiere aclaración. Para aclarar la esencia del asunto, también calculamos el área limitada por la misma sinusoide y = sin l: y el eje Ox en el rango de l a 2i. Aplicando la fórmula (I), obtenemos 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Así, vemos que esta zona resultó negativa. Comparándola con el área calculada en el ejercicio 3, encontramos que sus valores absolutos son iguales, pero los signos son diferentes. Si aplicamos la propiedad V (ver Capítulo XI, § 4), obtenemos 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Lo que sucedió en este ejemplo no es un accidente. Siempre el área ubicada debajo del eje Ox, siempre que la variable independiente cambie de izquierda a derecha, se obtiene cuando se calcula mediante integrales. En este curso siempre consideraremos zonas sin señalización. Por lo tanto, la respuesta en el ejemplo que acabamos de comentar será: el área requerida es 2 + |-2| = 4. Ejemplo 5. Calculemos el área del BAB que se muestra en la Fig. 89. Esta área está limitada por el eje Ox, la parábola y = - xr y la recta y - = -x+\. Área de un trapecio curvilíneo El área requerida OAB consta de dos partes: OAM y MAV. Como el punto A es el punto de intersección de una parábola y una recta, encontraremos sus coordenadas resolviendo el sistema de ecuaciones 3 2 Y = mx. (solo necesitamos encontrar la abscisa del punto A). Resolviendo el sistema, encontramos l; = ~. Por lo tanto, el área debe calcularse en partes, el primer cuadrado. OAM y luego pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)