Resumen de la lección de matemáticas "ecuaciones racionales". Resolver ecuaciones en dos variables ¿Qué significa resolver una ecuación racional?

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
En una ecuación elegida arbitrariamente (del sistema), inserte el número 11 en lugar del "juego" ya encontrado y calcule la segunda incógnita:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
La respuesta a este sistema de ecuaciones es x=116, y=11.

Método gráfico.
Consiste prácticamente en encontrar las coordenadas del punto en el que se cortan rectas, escritas matemáticamente en un sistema de ecuaciones. Las gráficas de ambas rectas deben dibujarse por separado en el mismo sistema de coordenadas. Forma general de la ecuación de una recta: – у=khх+b. Para construir una línea recta, basta con encontrar las coordenadas de dos puntos y elegir x arbitrariamente.
Sea el sistema dado: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Se construye una línea recta usando la primera ecuación, por conveniencia es necesario escribirla: y = 2x-4. Calcula valores (más fáciles) para x, sustituyéndolos en la ecuación, resolviéndolos y encontrando y. Obtenemos dos puntos a lo largo de los cuales se construye una línea recta. (ver imagen)
x 0 1

y -4 -2
Se construye una línea recta usando la segunda ecuación: y=-3x+1.
También construye una línea recta. (ver imagen)

años 1-5
Encuentre las coordenadas del punto de intersección de dos rectas construidas en la gráfica (si las rectas no se cruzan, entonces el sistema de ecuaciones no tiene solución; esto sucede).

Vídeo sobre el tema.

Consejo útil

Si resuelves el mismo sistema de ecuaciones de tres formas diferentes, la respuesta será la misma (si la solución es correcta).

Fuentes:

• álgebra de octavo grado
• resolver una ecuación con dos incógnitas en línea
• Ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos.

Resolver un sistema de ecuaciones es desafiante y emocionante. Cuanto más complejo es el sistema, más interesante es resolverlo. La mayoría de las veces en matemáticas de secundaria hay sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, pero en matemáticas superiores puede haber más variables. Los sistemas se pueden resolver utilizando varios métodos.

Instrucciones

El método más común para resolver un sistema de ecuaciones es la sustitución. Para hacer esto, es necesario expresar una variable en términos de otra y sustituirla en la segunda ecuación del sistema, reduciendo así la ecuación a una variable. Por ejemplo, dadas las siguientes ecuaciones: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

A partir de la segunda expresión conviene expresar una de las variables, moviendo todo lo demás hacia el lado derecho de la expresión, sin olvidar cambiar el signo del coeficiente: x = 3-y.

Abrimos los corchetes: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Sustituimos el valor resultante y en la expresión: x=3-y;x=3-1;x=2 .

En la primera expresión todos los términos son 2, puedes poner 2 entre paréntesis

notas de la lección de matemáticas

sobre el tema de:

« Ecuaciones racionales con dos variables.

Conceptos básicos».

Preparado por:

profesor de matematicas

Escuela secundaria número 2 de MBOU

Borschova E. S.

Pávlovski Posad

tipo de lección: aprender material nuevo.

Tema de la lección: ecuaciones racionales con dos variables. Conceptos básicos.

Objetivos:

introducir conceptos y términos básicos del tema;

Desarrollar el habla y el pensamiento matemático de los estudiantes.

Equipo: tablero para notas, proyector, pantalla, presentación.

Organizar el tiempo. (2 – 3 minutos)

(1 diapositiva)

¡Hola chicos, tomen asiento! Hoy veremos un tema nuevo y bastante interesante que será la clave para dominar con éxito el material futuro. Abrimos nuestros cuadernos, anotamos la fecha, hoy es 16 de octubre, trabajo de clase y tema de la lección: “Ecuaciones racionales con dos variables. Conceptos básicos". (la maestra escribe lo mismo en la pizarra)

II . Actualización de conocimientos. (5 minutos.)

(2 diapositivas)

Para comenzar a estudiar un tema nuevo, necesitamos recordar algún material que ya conoce. Entonces, recordemos las funciones elementales y sus gráficas:

1. Gráfica de una función lineal

2. Parábola. Gráfica de una función cuadrática , (un ≠ 0)

Consideremos el caso canónico:

3. parábola cúbica

Una parábola cúbica está dada por la función

4. Gráfico de hipérbola

De nuevo recordamos la trivial hipérbole

¡Muy bien!

III . Estudio de material nuevo (acompañado de presentación). (35 minutos)

(3 diapositivas)

En lecciones anteriores aprendiste la definición de una ecuación racional en una variable, y ahora decimos que es muy similar a la definición de una ecuación racional en dos variables:

No es necesario que lo escribas, está en tus libros de texto, ¡léelo nuevamente en casa y apréndelo!

Anota ejemplos en tu cuaderno:

Además, podemos decir que una ecuación racional de la forma h(x; y) = g(x; y) siempre se puede transformar a la forma p(x; y) = 0, donde p(x; y) = 0 es una expresión racional. Para hacer esto, necesitas reescribir la expresión así: h (x; y) - g (x; y) = 0, es decir p (x; y) = 0. ¡Escribe las dos últimas igualdades en tu cuaderno!

(4 diapositivas)

Escuchamos atentamente y recordamos la siguiente definición, ¡no es necesario que la escribamos!

Y en tu cuaderno anota sólo ejemplos:

(5 diapositivas)

Resolvamos la siguiente ecuación (los estudiantes escriben la solución en sus cuadernos, el maestro comenta cada paso de la solución, mientras simultáneamente responde las preguntas de los niños):

(6 diapositivas)

La siguiente definición es la definición de la equivalencia de dos ecuaciones, esto también lo sabes por los párrafos anteriores, así que solo mira y escucha:

Ahora recordemos qué transformaciones equivalentes conoces:

Transferir términos de una ecuación de una parte a otra con signos opuestos (ejemplos en la pizarra, no es necesario que los escribas, si quieres, escríbelos);

Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por el mismo número distinto de cero o (también lo sabemos) por una expresión que es distinta de cero en todas partes (¡atención a esto!); (Anota ejemplos para quien los necesite).

¿Qué transformaciones desiguales conoces?

1) exención de denominadores que contengan variables;

2) elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación.

¡Maravilloso!

(7 diapositivas)

El siguiente concepto que consideraremos hoy es la fórmula para la distancia entre dos puntos.

Escribir:

(los estudiantes escriben ambos teoremas en sus cuadernos)

Volvemos a dibujar este dibujo en un cuaderno, etiquetamos los ejes de coordenadas, el centro del círculo y marcamos el radio.

¿Tiene usted alguna pregunta? (si no hay dudas seguimos trabajando)

(8 diapositivas)

Veamos ejemplos, anotemos:

(Fig. a P1)
(Fig. a P2)

Los niños gradualmente, basándose en el teorema escrito anteriormente, respondiendo las preguntas del maestro, deciden de forma independiente, anotan la solución en un cuaderno y vuelven a dibujar los dibujos.

¡Bien hecho! Ahora, vuelva a dibujar esa tabla usted mismo; en el futuro se convertirá en un buen asistente para resolver problemas.

(9 diapositivas)

Los estudiantes dibujan cuidadosamente esta tabla en sus cuadernos e ingresan los datos en ella.

v. Tarea (2 – 3 min.).

(10 diapositivas)

Quedan 2 minutos para el final de la lección, abre los diarios, anota tu tarea:

1) Capítulo 2, §5;

2) Pág. 71 preguntas de autoevaluación;

3) n° 5.1; N° 5.3 (a, b); N° 5.7.

Introspección.

El comienzo de la lección fue bastante amigable, sincero, abierto y organizado. La clase estaba preparada para la lección. Los niños mostraron un buen desempeño durante toda la lección.

Inmediatamente anuncié los objetivos de la lección. Los objetivos propuestos para los niños para la lección correspondieron a los requisitos del programa y al contenido del material.

Al comienzo de la lección, como forma de intensificar la actividad cognitiva, se pidió a los niños que recordaran algún material de material previamente estudiado, que afrontaron sin dificultades especiales.

El contenido de la lección cumplió con los requisitos del estándar educativo.

La estructura de la lección se sugiere arriba. En mi opinión, corresponde a los objetivos y al tipo de lección. Las etapas de la lección estaban conectadas lógicamente y se transicionaban suavemente entre sí. En cada etapa se resumieron los resultados. El tiempo se asignó de forma diferente a las distintas etapas dependiendo de cuál de ellas era la principal. En mi opinión, se distribuyó racionalmente. Se organizaron el inicio y el final de la lección. El ritmo de la lección fue óptimo.

Después de la primera etapa de actualización de conocimientos, llegó la etapa principal de la lección: la explicación del nuevo material. Esta etapa fue la principal, por lo que se le dedicó la mayor parte del tiempo.

La presentación del nuevo material fue lógica, competente, de alto nivel teórico y al mismo tiempo accesible a los niños. Siempre resalté los pensamientos principales sobre el tema y los anoté en sus cuadernos de trabajo.

El estudio del nuevo material se realizó en forma de una breve conferencia con la realización de tareas prácticas básicas, para la más rápida y correcta asimilación del material.

Hice una presentación en PowerPoint. La presentación tuvo una función principalmente auxiliar.

Para controlar la asimilación de conocimientos, a lo largo de la lección, los estudiantes resolvieron problemas, a partir de cuyos resultados se pudo juzgar el grado de asimilación del material teórico por parte de cada uno de los niños. Luego del seguimiento de los conocimientos, la docente realizó un trabajo de corrección. Se volvieron a considerar aquellas preguntas que causaron mayor dificultad a los estudiantes.

Después de esto, se resumió la lección y se les dio tarea a los estudiantes. La tarea tenía un carácter de refuerzo y desarrollo. En mi opinión, era factible para todos los niños.

El contenido de la lección fue óptimo, los métodos de enseñanza fueron orales, visuales y prácticos. La forma de trabajo es la conversación. Utilicé técnicas para activar la actividad cognitiva: plantear preguntas problemáticas, generalizar según planes de carácter general.

Los estudiantes estuvieron activos en la lección. Mostraron capacidad para trabajar productivamente, sacar conclusiones de lo que vieron y capacidad para analizar y generalizar sus conocimientos. Los niños también mostraron la presencia de habilidades de autocontrol, pero sólo unos pocos estaban inquietos y fueron los que recibieron la mayor atención de mi parte.

La clase estaba preparada para la lección.

Creo que se han logrado los objetivos marcados al inicio de la lección.

Instrucciones

Método de sustituciónExpresa una variable y sustitúyela en otra ecuación. Puede expresar cualquier variable a su discreción. Por ejemplo, expresa y a partir de la segunda ecuación:
x-y=2 => y=x-2Luego sustituye todo en la primera ecuación:
2x+(x-2)=10 Mueve todo sin “x” hacia el lado derecho y calcula:
2x+x=10+2
3x=12 Luego, para obtener x, divide ambos lados de la ecuación por 3:
x = 4. Entonces, encontraste “x. Encuentra "y. Para hacer esto, sustituya "x" en la ecuación a partir de la cual expresó "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.

Haz un control. Para hacer esto, sustituya los valores resultantes en las ecuaciones:
2*4+2=10
4-2=2
¡Las incógnitas se han encontrado correctamente!

Una forma de sumar o restar ecuaciones. Deshazte de cualquier variable de inmediato. En nuestro caso, esto es más fácil de hacer con “y.
Dado que en la ecuación “y” tiene un signo “+”, y en la segunda “-”, entonces puedes realizar la operación de suma, es decir dobla el lado izquierdo con el izquierdo y el derecho con el derecho:
2x+y+(x-y)=10+2Convertir:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Sustituye “x” en cualquier ecuación y encuentra “y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 Utilizando el primer método, puedes comprobar que las raíces se encuentran correctamente.

Si no hay variables claramente definidas, entonces es necesario transformar ligeramente las ecuaciones.
En la primera ecuación tenemos “2x”, y en la segunda simplemente tenemos “x”. Para reducir x al sumar o restar, multiplica la segunda ecuación por 2:
xy=2
2x-2y=4Luego resta el segundo de la primera ecuación:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Tenga en cuenta que si hay un menos delante del paréntesis, luego de abrirlo, cambie los signos por los opuestos:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
encuentre y = 2x expresando a partir de cualquier ecuación, es decir,
x=4

Vídeo sobre el tema.

Al resolver ecuaciones diferenciales, el argumento x (o el tiempo t en problemas físicos) no siempre está disponible explícitamente. Sin embargo, éste es un caso especial simplificado de especificación de una ecuación diferencial, lo que a menudo ayuda a simplificar la búsqueda de su integral.

Instrucciones

Considere un problema de física que da como resultado una ecuación diferencial en la que falta el argumento t. Este es un problema sobre oscilaciones de una masa m suspendida de un hilo de longitud r ubicado en un plano vertical. La ecuación de movimiento del péndulo se requiere si inicialmente estaba inmóvil y inclinado desde el estado de equilibrio en un ángulo α. Las fuerzas deben despreciarse (ver Fig. 1a).

Solución. Un péndulo matemático es un punto material suspendido de un hilo ingrávido e inextensible en el punto O. Sobre el punto actúan dos fuerzas: la fuerza de gravedad G=mg y la fuerza de tensión del hilo N. Ambas fuerzas se encuentran en el plano vertical. . Por lo tanto, para resolver el problema, se puede aplicar la ecuación del movimiento de rotación de un punto alrededor de un eje horizontal que pasa por el punto O. La ecuación del movimiento de rotación de un cuerpo tiene la forma que se muestra en la Fig. 1b. En este caso, I es el momento de inercia del punto material; j es el ángulo de rotación del hilo junto con la punta, medido desde el eje vertical en sentido antihorario; M es el momento de las fuerzas aplicadas a un punto material.

Calcula estos valores. I=señor^2, M=M(G)+M(N). Pero M(N)=0, ya que la línea de acción de la fuerza pasa por el punto O. M(G)=-mgrsinj. El signo "-" significa que el momento de fuerza se dirige en dirección opuesta al movimiento. Sustituya el momento de inercia y el momento de fuerza en la ecuación de movimiento y obtenga la ecuación que se muestra en la figura. 1 chelín. Al reducir la masa, surge una relación (ver Fig. 1d). No hay ningún argumento aquí.

§ 1 Ecuaciones racionales enteras y fraccionarias

En esta lección veremos conceptos como ecuación racional, expresión racional, expresión entera, expresión fraccionaria. Consideremos resolver ecuaciones racionales.

Una ecuación racional es una ecuación en la que los lados izquierdo y derecho son expresiones racionales.

Las expresiones racionales son:

Fraccionario.

Una expresión entera se compone de números, variables, potencias enteras utilizando las operaciones de suma, resta, multiplicación y división por un número distinto de cero.

Por ejemplo:

Las expresiones fraccionarias implican la división por una variable o una expresión con una variable. Por ejemplo:

Una expresión fraccionaria no tiene sentido para todos los valores de las variables incluidas en ella. Por ejemplo, la expresión

en x = -9 no tiene sentido, ya que en x = -9 el denominador llega a cero.

Esto significa que una ecuación racional puede ser entera o fraccionaria.

Una ecuación racional completa es una ecuación racional en la que los lados izquierdo y derecho son expresiones completas.

Por ejemplo:

Una ecuación racional fraccionaria es una ecuación racional en la que los lados izquierdo o derecho son expresiones fraccionarias.

Por ejemplo:

§ 2 Solución de una ecuación racional completa

Consideremos la solución de una ecuación racional completa.

Por ejemplo:

Multipliquemos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador de los denominadores de las fracciones incluidas en ella.

Para esto:

1. encuentre el denominador común para los denominadores 2, 3, 6. Es igual a 6;

2. encuentra un factor adicional para cada fracción. Para hacer esto, divide el denominador común 6 por cada denominador.

factor adicional para fracción

factor adicional para fracción

3. multiplicar los numeradores de las fracciones por sus correspondientes factores adicionales. Así, obtenemos la ecuación

que es equivalente a la ecuación dada

Abramos los corchetes de la izquierda, movamos la parte derecha hacia la izquierda, cambiando el signo del término al transferirlo al opuesto.

Traigamos términos similares del polinomio y obtengamos

Vemos que la ecuación es lineal.

Resuelto, encontramos que x = 0,5.

§ 3 Solución de una ecuación racional fraccionaria.

Consideremos resolver una ecuación racional fraccionaria.

Por ejemplo:

1.Multiplica ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador de los denominadores de las fracciones racionales incluidas en ella.

Encontremos el denominador común para los denominadores x + 7 y x - 1.

Es igual a su producto (x + 7)(x - 1).

2. Encontremos un factor adicional para cada fracción racional.

Para ello, divide el denominador común (x + 7)(x - 1) entre cada denominador. Factor adicional para fracciones

igual a x - 1,

factor adicional para fracción

es igual ax+7.

3.Multiplicar los numeradores de las fracciones por sus correspondientes factores adicionales.

Obtenemos la ecuación (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), que es equivalente a esta ecuación

4.Multiplica el binomio por el binomio de la izquierda y la derecha y obtiene la siguiente ecuación

5. Movemos el lado derecho hacia la izquierda, cambiando el signo de cada término al trasladarlo al opuesto:

6. Presentemos términos similares del polinomio:

7. Ambos lados se pueden dividir por -1. Obtenemos una ecuación cuadrática:

8. Resuelto, encontraremos las raíces.

Dado que en la Ec.

los lados izquierdo y derecho son expresiones fraccionarias, y en expresiones fraccionarias, para algunos valores de las variables, el denominador puede volverse cero, entonces es necesario verificar si el denominador común no llega a cero cuando se encuentran x1 y x2 .

En x = -27, el denominador común (x + 7)(x - 1) no desaparece; en x = -1, el denominador común tampoco es cero.

Por lo tanto, ambas raíces -27 y -1 son raíces de la ecuación.

Al resolver una ecuación racional fraccionaria, es mejor indicar inmediatamente el rango de valores aceptables. Elimina aquellos valores en los que el denominador común llega a cero.

Consideremos otro ejemplo de resolución de una ecuación racional fraccionaria.

Por ejemplo, resolvamos la ecuación.

Factorizamos el denominador de la fracción del lado derecho de la ecuación.

Obtenemos la ecuación

Encontremos el denominador común para los denominadores (x - 5), x, x(x - 5).

Será la expresión x(x - 5).

Ahora encontremos el rango de valores aceptables de la ecuación.

Para hacer esto, igualamos el denominador común a cero x(x - 5) = 0.

Obtenemos una ecuación, resolviendo la cual encontramos que en x = 0 o en x = 5 el denominador común llega a cero.

Esto significa que x = 0 o x = 5 no pueden ser las raíces de nuestra ecuación.

Ahora se pueden encontrar multiplicadores adicionales.

Factor adicional para fracciones racionales

factor adicional para la fracción

será (x - 5),

y el factor adicional de la fracción

Multiplicamos los numeradores por los factores adicionales correspondientes.

Obtenemos la ecuación x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Abramos los corchetes de izquierda y derecha, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Movamos los términos de derecha a izquierda, cambiando el signo de los términos transferidos:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Y después de acercar términos similares, obtenemos una ecuación cuadrática x2 - 3x - 10 = 0. Una vez resuelta, encontramos las raíces x1 = -2; x2 = 5.

Pero ya hemos descubierto que en x = 5 el denominador común x(x - 5) tiende a cero. Por lo tanto, la raíz de nuestra ecuación

será x = -2.

§ 4 Breve resumen de la lección

Importante recordar:

Al resolver ecuaciones racionales fraccionarias, proceda de la siguiente manera:

1. Encuentra el denominador común de las fracciones incluidas en la ecuación. Además, si los denominadores de las fracciones se pueden factorizar, entonces factorízalos y luego encuentra el denominador común.

2.Multiplica ambos lados de la ecuación por un denominador común: encuentra factores adicionales, multiplica los numeradores por factores adicionales.

3.Resuelve la ecuación completa resultante.

4. Eliminar de raíz aquellos que hacen desaparecer el denominador común.

Lista de literatura usada:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Editado por Telyakovsky S.A. Álgebra: libro de texto. para 8vo grado. educación general instituciones. - M.: Educación, 2013.
2. Mordkovich A.G. Álgebra. 8vo grado: En dos partes. Parte 1: Libro de texto. para educación general instituciones. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Desarrollo de lecciones de álgebra: grado 8. - M.: VAKO, 2010.
4. Álgebra octavo grado: planes de lecciones basados ​​​​en el libro de texto de Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Aut.-comp. TL Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgogrado: Profesor, 2005.

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