Cómo resolver ecuaciones con dos módulos. Resolver ecuaciones con módulo

20.10.2019

Uno de los temas más difíciles para los estudiantes es la resolución de ecuaciones que contienen una variable bajo el signo del módulo. Primero, averigüemos con qué está conectado esto. ¿Por qué, por ejemplo, la mayoría de los niños descifran ecuaciones cuadráticas como nueces, pero tienen tantos problemas con un concepto tan poco complejo como el de módulo?

En mi opinión, todas estas dificultades están asociadas con la falta de reglas claramente formuladas para resolver ecuaciones con módulo. Entonces, decidiendo ecuación cuadrática, el estudiante sabe con certeza que primero debe aplicar la fórmula discriminante y luego las fórmulas de las raíces de la ecuación cuadrática. ¿Qué hacer si se encuentra un módulo en la ecuación? Intentaremos describir claramente el plan de acción necesario para el caso en que la ecuación contenga una incógnita bajo el signo del módulo. Daremos varios ejemplos para cada caso.

Pero primero recordemos definición del módulo. Entonces, módulo el número a este número en sí se llama si a no negativo y -a, si número a menos que cero. Puedes escribirlo así:

|un| = a si a ≥ 0 y |a| = -a si a< 0

Hablando del significado geométrico del módulo, conviene recordar que cada número real corresponde a un determinado punto en el eje numérico: su coordinar. Entonces, el módulo o valor absoluto de un número es la distancia desde este punto hasta el origen del eje numérico. La distancia siempre se especifica como un número positivo. Por tanto, el módulo de cualquier número negativo es un número positivo. Por cierto, incluso en esta etapa, muchos estudiantes comienzan a confundirse. El módulo puede contener cualquier número, pero el resultado de utilizar el módulo siempre es un número positivo.

Ahora pasemos directamente a resolver las ecuaciones.

1. Considere una ecuación de la forma |x| = c, donde c es un número real. Esta ecuación se puede resolver usando la definición del módulo.

Dividimos todos los números reales en tres grupos: los que son mayores que cero, los que son menores que cero y el tercer grupo es el número 0. Escribimos la solución en forma de diagrama:

(±c, si c > 0

Si |x| = c, entonces x = (0, si c = 0

(sin raíces si con< 0

1) |x| = 5, porque 5 > 0, entonces x = ±5;

2) |x| = -5, porque -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, entonces x = 0.

2. Ecuación de la forma |f(x)| = b, donde b > 0. Para resolver esta ecuación es necesario deshacerse del módulo. Lo hacemos de esta manera: f(x) = b o f(x) = -b. Ahora necesitas resolver cada una de las ecuaciones resultantes por separado. Si en la ecuación original b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, porque 4 > 0, entonces

x + 2 = 4 o x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, porque 11 > 0, entonces

x 2 – 5 = 11 o x 2 – 5 = -11

x2 = 16x2 = -6

x = ± 4 sin raíces

3) |x 2 – 5x| = -8, porque -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Una ecuación de la forma |f(x)| = gramo(x). Según el significado del módulo, dicha ecuación tendrá soluciones si su lado derecho es mayor o igual a cero, es decir g(x) ≥ 0. Entonces tendremos:

f(x) = g(x) o f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Esta ecuación tendrá raíces si 5x – 10 ≥ 0. Aquí es donde comienza la solución de dichas ecuaciones.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Solución:

2x – 1 = 5x – 10 o 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Combinamos O.D.Z. y la solución, obtenemos:

La raíz x = 11/7 no se ajusta a la O.D.Z., es menor que 2, pero x = 3 satisface esta condición.

Respuesta: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Resolvamos esta desigualdad usando el método del intervalo:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Solución:

x – 1 = 1 – x 2 o x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 o x = 1 x = 0 o x = 1

3. Combinamos la solución y O.D.Z.:

Sólo las raíces x = 1 y x = 0 son adecuadas.

Respuesta: x = 0, x = 1.

4. Ecuación de la forma |f(x)| = |g(x)|. Tal ecuación es equivalente a las dos ecuaciones siguientes f(x) = g(x) o f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Esta ecuación es equivalente a las dos siguientes:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 o x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x2 – 7x + 12 = 0x2 – 3x + 2 = 0

x = 3 o x = 4 x = 2 o x = 1

Respuesta: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Ecuaciones resueltas por el método de sustitución (reemplazo de variables). Este método de solución se explica más fácilmente en ejemplo específico. Entonces, nos dan una ecuación cuadrática con módulo:

x2 – 6|x| + 5 = 0. Por la propiedad del módulo x 2 = |x| 2, por lo que la ecuación se puede reescribir de la siguiente manera:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Hagamos el reemplazo |x| = t ≥ 0, entonces tendremos:

t 2 – 6t + 5 = 0. Resolviendo esta ecuación, encontramos que t = 1 o t = 5. Volvamos al reemplazo:

|x| = 1 o |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Respuesta: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Veamos otro ejemplo:

x 2 + |x| – 2 = 0. Por la propiedad del módulo x 2 = |x| 2, por lo tanto

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Hagamos el reemplazo |x| = t ≥ 0, entonces:

t 2 + t – 2 = 0. Resolviendo esta ecuación, obtenemos t = -2 o t = 1. Volvamos al reemplazo:

|x| = -2 o |x| = 1

Sin raíces x = ± 1

Respuesta: x = -1, x = 1.

6. Otro tipo de ecuaciones son las ecuaciones con módulo “complejo”. Estas ecuaciones incluyen ecuaciones que tienen "módulos dentro de un módulo". Las ecuaciones de este tipo se pueden resolver utilizando las propiedades del módulo.

1) |3 – |x|| = 4. Actuaremos de la misma forma que en las ecuaciones del segundo tipo. Porque 4 > 0, entonces obtenemos dos ecuaciones:

3 – |x| = 4 o 3 – |x| = -4.

Ahora expresemos el módulo x en cada ecuación, entonces |x| = -1 o |x| = 7.

Resolvemos cada una de las ecuaciones resultantes. No hay raíces en la primera ecuación, porque -1< 0, а во втором x = ±7.

Responda x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Resolvemos esta ecuación de forma similar:

3 + |x + 1| = 5 o 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 o x + 1 = -2. Sin raíces.

Respuesta: x = -3, x = 1.

También existe un método universal para resolver ecuaciones con módulo. Este es el método del intervalo. Pero lo veremos más adelante.

sitio web, al copiar material total o parcialmente, se requiere un enlace a la fuente.

No elegimos las matemáticas su profesión y ella nos elige.

El matemático ruso Yu.I. Manín

Ecuaciones con módulo

Los problemas más difíciles de resolver en matemáticas escolares son las ecuaciones que contienen variables bajo el signo del módulo. Para resolver con éxito este tipo de ecuaciones, es necesario conocer la definición y las propiedades básicas del módulo. Naturalmente, los estudiantes deben tener las habilidades para resolver ecuaciones de este tipo.

Conceptos y propiedades básicos.

Módulo (valor absoluto) de un número real denotado por y se define de la siguiente manera:

A propiedades simples El módulo incluye las siguientes relaciones:

Nota, que las dos últimas propiedades son válidas para cualquier grado par.

Además, si, dónde, entonces y

Propiedades de módulo más complejas, que se puede utilizar eficazmente al resolver ecuaciones con módulos, se formulan a través de los siguientes teoremas:

Teorema 1.Para cualquier función analítica Y la desigualdad es cierta

Teorema 2. La igualdad es equivalente a la desigualdad.

Teorema 3. Igualdad equivale a desigualdad.

Veamos ejemplos típicos de resolución de problemas sobre el tema "Ecuaciones, que contiene variables bajo el signo del módulo."

Resolver ecuaciones con módulo

El método más común en matemáticas escolares para resolver ecuaciones con módulo es el método, basado en la expansión del módulo. Este método es universal., sin embargo, en el caso general, su uso puede dar lugar a cálculos muy engorrosos. En este sentido, los estudiantes deben conocer otros, más métodos efectivos y técnicas para resolver dichas ecuaciones. En particular, es necesario tener habilidades en la aplicación de teoremas, dado en este artículo.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación. (1)

Solución. Resolveremos la ecuación (1) usando el método "clásico": el método de revelar módulos. Para hacer esto, dividamos el eje numérico. puntos y en intervalos y considere tres casos.

1. Si , entonces , , y la ecuación (1) toma la forma . De esto se desprende. Sin embargo, aquí, por lo tanto, el valor encontrado no es la raíz de la ecuación (1).

2. Si, entonces de la ecuación (1) obtenemos o .

Desde entonces raíz de la ecuación (1).

3. Si, entonces la ecuación (1) toma la forma o . Notemos eso.

Respuesta: , .

Al resolver ecuaciones posteriores con un módulo, utilizaremos activamente las propiedades de los módulos para aumentar la eficiencia de resolver dichas ecuaciones.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación.

Solución. Desde y entonces de la ecuación se sigue. A este respecto, , , y la ecuación toma la forma. De aquí obtenemos. Sin embargo , por lo tanto la ecuación original no tiene raíces.

Respuesta: sin raíces.

Ejemplo 3. Resuelve la ecuación.

Solución. Desde entonces. Si entonces y la ecuación toma la forma.

De aquí obtenemos.

Ejemplo 4. Resuelve la ecuación.

Solución.Reescribamos la ecuación en forma equivalente.. (2)

La ecuación resultante pertenece a ecuaciones de tipo .

Teniendo en cuenta el Teorema 2, se puede argumentar que la ecuación (2) es equivalente a la desigualdad. De aquí obtenemos.

Respuesta: .

Ejemplo 5. Resuelve la ecuación.

Solución. Esta ecuación tiene la forma. Es por eso , según el teorema 3, aquí tenemos desigualdad o .

Ejemplo 6. Resuelve la ecuación.

Solución. Supongamos eso. Porque , entonces la ecuación dada toma la forma de una ecuación cuadrática, (3)

Dónde . Dado que la ecuación (3) tiene una única raíz positiva y luego . De aquí obtenemos dos raíces de la ecuación original: Y .

Ejemplo 7. Resuelve la ecuación. (4)

Solución. Desde la ecuaciónes equivalente a la combinación de dos ecuaciones: Y , entonces al resolver la ecuación (4) es necesario considerar dos casos.

1. Si, entonces o.

De aquí obtenemos , y .

2. Si, entonces o.

Desde entonces.

Respuesta: , , , .

Ejemplo 8.Resuelve la ecuación . (5)

Solución. Desde y, entonces. De aquí y de la ecuación (5) se deduce que y , es decir Aquí tenemos un sistema de ecuaciones.

Sin embargo, este sistema de ecuaciones es inconsistente.

Respuesta: sin raíces.

Ejemplo 9. Resuelve la ecuación. (6)

Solución. Si denotamos , entonces y de la ecuación (6) obtenemos

O . (7)

Dado que la ecuación (7) tiene la forma , esta ecuación es equivalente a la desigualdad . De aquí obtenemos. Desde entonces o .

Respuesta: .

Ejemplo 10.Resuelve la ecuación. (8)

Solución.Según el teorema 1, podemos escribir

(9)

Teniendo en cuenta la ecuación (8), concluimos que ambas desigualdades (9) se convierten en igualdades, es decir hay un sistema de ecuaciones

Sin embargo, según el teorema 3, el sistema de ecuaciones anterior es equivalente al sistema de desigualdades.

(10)

Resolviendo el sistema de desigualdades (10) obtenemos . Dado que el sistema de desigualdades (10) es equivalente a la ecuación (8), la ecuación original tiene una raíz única.

Respuesta: .

Ejemplo 11. Resuelve la ecuación. (11)

Solución. Sea y , entonces la igualdad se deriva de la ecuación (11).

De ello se deduce que y . Por lo tanto, aquí tenemos un sistema de desigualdades.

La solución a este sistema de desigualdades es Y .

Respuesta: , .

Ejemplo 12.Resuelve la ecuación. (12)

Solución. La ecuación (12) se resolverá mediante el método de expansión secuencial de módulos. Para ello, consideremos varios casos.

1. Si, entonces.

1.1. Si , entonces y , .

1.2. Si entonces. Sin embargo , por lo tanto, en este caso, la ecuación (12) no tiene raíces.

2. Si, entonces.

2.1. Si , entonces y , .

2.2. Si, entonces y.

Respuesta: , , , , .

Ejemplo 13.Resuelve la ecuación. (13)

Solución. Dado que el lado izquierdo de la ecuación (13) no es negativo, entonces. En este sentido, y la ecuación (13)

toma la forma o .

Se sabe que la ecuación es equivalente a la combinación de dos ecuaciones Y , resolviendo lo cual obtenemos, . Porque , entonces la ecuación (13) tiene una raíz.

Respuesta: .

Ejemplo 14. Resolver sistema de ecuaciones. (14)

Solución. Desde y , entonces y . En consecuencia, del sistema de ecuaciones (14) obtenemos cuatro sistemas de ecuaciones:

Las raíces de los sistemas de ecuaciones anteriores son las raíces del sistema de ecuaciones (14).

Respuesta: ,, , , , , , .

Ejemplo 15. Resolver sistema de ecuaciones. (15)

Solución. Desde entonces. En este sentido, del sistema de ecuaciones (15) obtenemos dos sistemas de ecuaciones

Las raíces del primer sistema de ecuaciones son y , y del segundo sistema de ecuaciones obtenemos y .

Respuesta: , , , .

Ejemplo 16. Resolver sistema de ecuaciones. (16)

Solución. De la primera ecuación del sistema (16) se deduce que .

Desde entonces . Consideremos la segunda ecuación del sistema. Porque el, Eso , y la ecuación toma la forma, , o .

Si sustituyes el valoren la primera ecuación del sistema (16), entonces , o .

Respuesta: , .

Para un estudio más profundo de los métodos de resolución de problemas., relacionado con la resolución de ecuaciones, que contiene variables bajo el signo del módulo, ¿puedes aconsejar? material didáctico de la lista de literatura recomendada.

1. Colección de problemas de matemáticas para aspirantes a universidades / Ed. MI. Scanavi. – M.: Paz y Educación, 2013. – 608 p.

2. Suprimir V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: tareas de mayor complejidad. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 200 p.

3. Suprimir V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: métodos no estándar para la resolución de problemas. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 p.

¿Aún tienes preguntas?

Para obtener ayuda de un tutor -.

blog.site, al copiar material total o parcialmente, se requiere un enlace a la fuente original.

Mantener su privacidad es importante para nosotros. Por este motivo, hemos desarrollado una Política de Privacidad que describe cómo usamos y almacenamos su información. Revise nuestras prácticas de privacidad y háganos saber si tiene alguna pregunta.

Recopilación y uso de información personal.

La información personal se refiere a datos que pueden usarse para identificar o contactar a una persona específica.

Es posible que se le solicite que proporcione su información personal en cualquier momento cuando se comunique con nosotros.

A continuación se muestran algunos ejemplos de los tipos de información personal que podemos recopilar y cómo podemos usar dicha información.

Qué información personal recopilamos:

Cuando envía una solicitud en el sitio, podemos recopilar diversa información, incluido su nombre, número de teléfono, dirección. Correo electrónico etc.

Cómo usamos tu información personal:

Recogido por nosotros informacion personal nos permite comunicarnos con usted e informarle sobre ofertas únicas, promociones y otros eventos y próximos eventos.
De vez en cuando, podemos utilizar su información personal para enviar avisos y comunicaciones importantes.
También podemos utilizar información personal para fines internos, como realizar auditorías, análisis de datos e investigaciones diversas para mejorar los servicios que brindamos y brindarle recomendaciones sobre nuestros servicios.
Si participa en un sorteo de premios, concurso o promoción similar, podremos utilizar la información que proporcione para administrar dichos programas.

Divulgación de información a terceros

No revelamos la información que recibimos de usted a terceros.

Excepciones:

Si es necesario, de conformidad con la ley, un procedimiento judicial, en procedimientos legales y/o en base a solicitudes públicas o solicitudes de autoridades gubernamentales en el territorio de la Federación de Rusia, revelar su información personal. También podemos divulgar información sobre usted si determinamos que dicha divulgación es necesaria o apropiada para fines de seguridad, cumplimiento de la ley u otros fines de importancia pública.
En caso de una reorganización, fusión o venta, podemos transferir la información personal que recopilamos al tercero sucesor correspondiente.

Protección de información personal

Tomamos precauciones, incluidas las administrativas, técnicas y físicas, para proteger su información personal contra pérdida, robo y uso indebido, así como contra acceso no autorizado, divulgación, alteración y destrucción.

Respetando su privacidad a nivel de empresa

Para garantizar que su información personal esté segura, comunicamos estándares de privacidad y seguridad a nuestros empleados y aplicamos estrictamente las prácticas de privacidad.

El módulo es el valor absoluto de la expresión. Para indicar de alguna manera un módulo, se acostumbra utilizar corchetes rectos. El valor que está encerrado entre corchetes pares es el valor que se toma módulo. El proceso de resolución de cualquier módulo consiste en abrir esos paréntesis muy rectos, que en lenguaje matemático se llaman paréntesis modulares. Su divulgación se produce de acuerdo con una serie de reglas. Además, en el orden de resolución de los módulos, se encuentran los conjuntos de valores de aquellas expresiones que estaban entre paréntesis modulares. En la mayoría de los casos, el módulo se expande de tal manera que la expresión que era submodular recibe valores tanto positivos como negativos, incluido el valor cero. Si partimos de las propiedades establecidas del módulo, en el proceso se compilan varias ecuaciones o desigualdades de la expresión original, que luego deben resolverse. Averigüemos cómo resolver módulos.

Proceso de solución

La resolución de un módulo comienza escribiendo la ecuación original con el módulo. Para responder a la pregunta de cómo resolver ecuaciones con módulo, debes abrirlo por completo. Para resolver dicha ecuación, se amplía el módulo. Se deben considerar todas las expresiones modulares. Es necesario determinar en qué valores de las cantidades desconocidas incluidas en su composición la expresión modular entre paréntesis se vuelve cero. Para hacer esto, basta con igualar la expresión entre paréntesis modulares a cero y luego calcular la solución a la ecuación resultante. Se deben registrar los valores encontrados. De la misma manera, también necesitas determinar el valor de todas las variables desconocidas para todos los módulos en esta ecuación. A continuación, debe comenzar a definir y considerar todos los casos de existencia de variables en expresiones cuando son diferentes del valor cero. Para hacer esto, es necesario escribir algún sistema de desigualdades correspondiente a todos los módulos de la desigualdad original. Las desigualdades deben escribirse de manera que cubran todos los valores disponibles y posibles para una variable que se encuentran en la recta numérica. Luego es necesario dibujar esta misma recta numérica para su visualización, en la que luego trazar todos los valores obtenidos.

Ahora casi todo se puede hacer en Internet. El módulo no es una excepción a la regla. Puede resolverlo en línea en uno de los muchos recursos modernos. Todos aquellos valores de la variable que se encuentren en el módulo cero serán una restricción especial que se utilizará en el proceso de resolución de la ecuación modular. En la ecuación original, debe abrir todos los corchetes modulares disponibles, mientras cambia el signo de la expresión para que los valores de la variable deseada coincidan con los valores que son visibles en la recta numérica. La ecuación resultante debe resolverse. El valor de la variable que se obtendrá al resolver la ecuación debe compararse con la limitación especificada por el propio módulo. Si el valor de la variable satisface completamente la condición, entonces es correcta. Todas las raíces que se obtendrán durante la solución de la ecuación, pero que no se ajustarán a las restricciones, deben descartarse.

En mi opinión, todas estas dificultades están asociadas con la falta de reglas claramente formuladas para resolver ecuaciones con módulo. Entonces, al resolver una ecuación cuadrática, el estudiante sabe con certeza que primero debe aplicar la fórmula discriminante y luego las fórmulas de las raíces de la ecuación cuadrática. ¿Qué hacer si se encuentra un módulo en la ecuación? Intentaremos describir claramente el plan de acción necesario para el caso en que la ecuación contenga una incógnita bajo el signo del módulo. Daremos varios ejemplos para cada caso.

Pero primero recordemos definición del módulo. Entonces, módulo el número a este número en sí se llama si a no negativo y -a, si número a menos que cero. Puedes escribirlo así:

|un| = a si a ≥ 0 y |a| = -a si a< 0

Ahora pasemos directamente a resolver las ecuaciones.

1. Considere una ecuación de la forma |x| = c, donde c es un número real. Esta ecuación se puede resolver usando la definición del módulo.

Dividimos todos los números reales en tres grupos: los que son mayores que cero, los que son menores que cero y el tercer grupo es el número 0. Escribimos la solución en forma de diagrama:

(±c, si c > 0

Si |x| = c, entonces x = (0, si c = 0

(sin raíces si con< 0

1) |x| = 5, porque 5 > 0, entonces x = ±5;

2) |x| = -5, porque -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, entonces x = 0.

1) |x + 2| = 4, porque 4 > 0, entonces

x + 2 = 4 o x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, porque 11 > 0, entonces

x 2 – 5 = 11 o x 2 – 5 = -11

x2 = 16x2 = -6

x = ± 4 sin raíces

3) |x 2 – 5x| = -8, porque -8< 0, то уравнение не имеет корней.

f(x) = g(x) o f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Esta ecuación tendrá raíces si 5x – 10 ≥ 0. Aquí es donde comienza la solución de dichas ecuaciones.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Solución:

2x – 1 = 5x – 10 o 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Combinamos O.D.Z. y la solución, obtenemos:

La raíz x = 11/7 no se ajusta a la O.D.Z., es menor que 2, pero x = 3 satisface esta condición.

Respuesta: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Resolvamos esta desigualdad usando el método del intervalo:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Solución:

x – 1 = 1 – x 2 o x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 o x = 1 x = 0 o x = 1

3. Combinamos la solución y O.D.Z.:

Sólo las raíces x = 1 y x = 0 son adecuadas.

Respuesta: x = 0, x = 1.

4. Ecuación de la forma |f(x)| = |g(x)|. Tal ecuación es equivalente a las dos ecuaciones siguientes f(x) = g(x) o f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Esta ecuación es equivalente a las dos siguientes:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 o x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x2 – 7x + 12 = 0x2 – 3x + 2 = 0

x = 3 o x = 4 x = 2 o x = 1

Respuesta: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Ecuaciones resueltas por el método de sustitución (reemplazo de variables). Este método de solución es más fácil de explicar con un ejemplo específico. Entonces, nos dan una ecuación cuadrática con módulo:

x2 – 6|x| + 5 = 0. Por la propiedad del módulo x 2 = |x| 2, por lo que la ecuación se puede reescribir de la siguiente manera:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Hagamos el reemplazo |x| = t ≥ 0, entonces tendremos:

t 2 – 6t + 5 = 0. Resolviendo esta ecuación, encontramos que t = 1 o t = 5. Volvamos al reemplazo:

|x| = 1 o |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Respuesta: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Veamos otro ejemplo:

x 2 + |x| – 2 = 0. Por la propiedad del módulo x 2 = |x| 2, por lo tanto

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Hagamos el reemplazo |x| = t ≥ 0, entonces:

t 2 + t – 2 = 0. Resolviendo esta ecuación, obtenemos t = -2 o t = 1. Volvamos al reemplazo:

|x| = -2 o |x| = 1

Sin raíces x = ± 1

Respuesta: x = -1, x = 1.

1) |3 – |x|| = 4. Actuaremos de la misma forma que en las ecuaciones del segundo tipo. Porque 4 > 0, entonces obtenemos dos ecuaciones:

3 – |x| = 4 o 3 – |x| = -4.

Ahora expresemos el módulo x en cada ecuación, entonces |x| = -1 o |x| = 7.

Resolvemos cada una de las ecuaciones resultantes. No hay raíces en la primera ecuación, porque -1< 0, а во втором x = ±7.

Responda x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Resolvemos esta ecuación de forma similar:

3 + |x + 1| = 5 o 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 o x + 1 = -2. Sin raíces.

Respuesta: x = -3, x = 1.

También existe un método universal para resolver ecuaciones con módulo. Este es el método del intervalo. Pero lo veremos más adelante.

blog.site, al copiar material total o parcialmente, se requiere un enlace a la fuente original.