Ecuaciones cuadráticas usando ejemplos del teorema de Vieta. Solución oral de ecuaciones cuadráticas y teorema de Vieta.
Al estudiar métodos para resolver ecuaciones de segundo orden en curso escolarálgebras, considere las propiedades de las raíces resultantes. Actualmente se les conoce como teorema de Vieta. En este artículo se dan ejemplos de su uso.
Ecuación cuadrática
La ecuación de segundo orden es la igualdad que se muestra en la foto de abajo.
Aquí los símbolos a, b, c son algunos números llamados coeficientes de la ecuación en consideración. Para resolver una igualdad, es necesario encontrar valores de x que la hagan verdadera.
Tenga en cuenta que desde valor máximo la potencia a la que se eleva x es igual a dos, entonces el número de raíces en el caso general también es igual a dos.
Hay varias formas de resolver este tipo de igualdades. En este artículo consideraremos uno de ellos, que implica el uso del llamado teorema de Vieta.
Formulación del teorema de Vieta.
A finales del siglo XVI, el famoso matemático Francois Viète (francés) observó, al analizar las propiedades de las raíces de varias ecuaciones cuadráticas, que ciertas combinaciones de ellas satisfacen relaciones específicas. En particular, estas combinaciones son su producto y suma.
El teorema de Vieta establece lo siguiente: las raíces de una ecuación cuadrática, al sumarlas, dan la razón de los coeficientes lineales a los cuadráticos tomados con el signo opuesto, y cuando se multiplican, dan como resultado la razón del término libre al coeficiente cuadrático. .
Si la forma general de la ecuación se escribe como se muestra en la foto de la sección anterior del artículo, entonces matemáticamente este teorema se puede escribir en forma de dos igualdades:
- r 2 + r 1 = -b / a;
- r 1 x r 2 = c / a.
Donde r 1, r 2 es el valor de las raíces de la ecuación en cuestión.
Las dos igualdades anteriores se pueden utilizar para resolver varios problemas matemáticos diferentes. El uso del teorema de Vieta en ejemplos con soluciones se proporciona en las siguientes secciones del artículo.
Con este programa de matemáticas puedes resolver ecuación cuadrática.
El programa no sólo da la respuesta al problema, sino que también muestra el proceso de solución de dos maneras:
- usando un discriminante
- utilizando el teorema de Vieta (si es posible).
Además, la respuesta se muestra como exacta, no aproximada.
Por ejemplo, para la ecuación \(81x^2-16x-1=0\) la respuesta se muestra de la siguiente forma:
Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria escuelas secundarias en preparación para pruebas y exámenes, al evaluar conocimientos antes del Examen Estatal Unificado, para que los padres controlen la solución de muchos problemas en matemáticas y álgebra. ¿O tal vez le resulte demasiado caro contratar un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quieres hacerlo lo más rápido posible? tarea¿En matemáticas o álgebra? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con soluciones detalladas.
De esta forma, podrás realizar tu propia formación y/o la formación de tus hermanos o hermanas menores, mientras aumenta el nivel de formación en el campo de la resolución de problemas.
Si no está familiarizado con las reglas para ingresar un polinomio cuadrático, le recomendamos que se familiarice con ellas.
Reglas para ingresar un polinomio cuadrático
Cualquier letra latina puede actuar como variable.
Por ejemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Los números se pueden ingresar como números enteros o fraccionarios.
Además, los números fraccionarios se pueden ingresar no solo como decimal, sino también como fracción ordinaria.
Reglas para ingresar fracciones decimales.
En fracciones decimales, la parte fraccionaria se puede separar de la parte entera mediante un punto o una coma.
Por ejemplo, puedes ingresar decimales así: 2,5x - 3,5x^2
Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Sólo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.
El denominador no puede ser negativo.
Al ingresar una fracción numérica, el numerador se separa del denominador mediante un signo de división: /
Toda una parte separado de la fracción por un signo comercial: &
Entrada: 3 y 1/3 - 5 y 6/5z +1/7z^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)
Al ingresar una expresión puedes usar paréntesis. En este caso, al resolver una ecuación cuadrática, primero se simplifica la expresión introducida.
Por ejemplo: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Decidir
Se descubrió que algunos scripts necesarios para resolver este problema no estaban cargados y es posible que el programa no funcione.
Es posible que tengas habilitado AdBlock.
En este caso, desactívelo y actualice la página.
Para que aparezca la solución, debe habilitar JavaScript.
Aquí hay instrucciones sobre cómo habilitar JavaScript en su navegador.
Porque Hay mucha gente dispuesta a solucionar el problema, tu solicitud ha quedado en cola.
En unos segundos la solución aparecerá a continuación.
Espere por favor segundo...
Si usted Noté un error en la solución., entonces puedes escribir sobre esto en el formulario de comentarios.
No lo olvide indicar que tarea tu decides que entrar en los campos.
Nuestros juegos, rompecabezas, emuladores:
Un poco de teoría.
Ecuación cuadrática y sus raíces. Ecuaciones cuadráticas incompletas
Cada una de las ecuaciones
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
parece
\(ax^2+bx+c=0, \)
donde x es una variable, a, byc son números.
En la primera ecuación a = -1, b = 6 y c = 1,4, en la segunda a = 8, b = -7 y c = 0, en la tercera a = 1, b = 0 y c = 4/9. Este tipo de ecuaciones se llaman ecuaciones cuadráticas.
Definición.
Ecuación cuadrática se llama ecuación de la forma ax 2 +bx+c=0, donde x es una variable, a, byc son algunos números y \(a \neq 0 \).
Los números a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática. El número a se llama primer coeficiente, el número b es el segundo coeficiente y el número c es el término libre.
En cada una de las ecuaciones de la forma ax 2 +bx+c=0, donde \(a\neq 0\), la potencia más grande de la variable x es un cuadrado. De ahí el nombre: ecuación cuadrática.
Tenga en cuenta que una ecuación cuadrática también se llama ecuación de segundo grado, ya que su lado izquierdo es un polinomio de segundo grado.
Una ecuación cuadrática en la que el coeficiente de x 2 es igual a 1 se llama dada la ecuación cuadrática. Por ejemplo, las ecuaciones cuadráticas dadas son las ecuaciones
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Si en una ecuación cuadrática ax 2 +bx+c=0 al menos uno de los coeficientes b o c es igual a cero, entonces dicha ecuación se llama ecuación cuadrática incompleta. Por tanto, las ecuaciones -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 son ecuaciones cuadráticas incompletas. En el primero de ellos b=0, en el segundo c=0, en el tercero b=0 y c=0.
Hay tres tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:
1) ax 2 +c=0, donde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, donde \(b \neq 0 \);
3) hacha 2 =0.
Consideremos resolver ecuaciones de cada uno de estos tipos.
Para resolver una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +c=0 para \(c \neq 0 \), mueve su término libre hacia el lado derecho y divide ambos lados de la ecuación por a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Dado que \(c \neq 0 \), entonces \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Si \(-\frac(c)(a)>0\), entonces la ecuación tiene dos raíces.
Si \(-\frac(c)(a) Resolver una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +bx=0 con \(b \neq 0 \) factoriza su lado izquierdo y obtiene la ecuación
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matriz)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(matriz) \right. \)
Esto significa que una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 +bx=0 para \(b \neq 0 \) siempre tiene dos raíces.
Una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 =0 es equivalente a la ecuación x 2 =0 y por lo tanto tiene una raíz única 0.
Fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.
Consideremos ahora cómo resolver ecuaciones cuadráticas en las que tanto los coeficientes de las incógnitas como el término libre son distintos de cero.
Resolvamos la ecuación cuadrática en vista general y como resultado obtenemos la fórmula de las raíces. Luego, esta fórmula se puede utilizar para resolver cualquier ecuación cuadrática.
Resuelve la ecuación cuadrática ax 2 +bx+c=0
Dividiendo ambos lados por a, obtenemos la ecuación cuadrática reducida equivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Transformemos esta ecuación seleccionando el cuadrado del binomio:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Flecha derecha \)
La expresión radical se llama discriminante de una ecuación cuadrática ax 2 +bx+c=0 (“discriminante” en latín - discriminador). Se designa con la letra D, es decir.
\(D = b^2-4ac\)
Ahora, usando la notación discriminante, reescribimos la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), donde \(D= b^2-4ac \)
Es obvio que:
1) Si D>0, entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces.
2) Si D=0, entonces la ecuación cuadrática tiene una raíz \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Si D Por lo tanto, dependiendo del valor del discriminante, una ecuación cuadrática puede tener dos raíces (para D > 0), una raíz (para D = 0) o no tener raíces (para D Al resolver una ecuación cuadrática usando esto fórmula, es recomendable hacerlo de la siguiente manera:
1) calcular el discriminante y compararlo con cero;
2) si el discriminante es positivo o igual a cero, entonces use la fórmula de la raíz; si el discriminante es negativo, escriba que no hay raíces.
teorema de vieta
La ecuación cuadrática dada ax 2 -7x+10=0 tiene raíces 2 y 5. La suma de las raíces es 7 y el producto es 10. Vemos que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente tomado con el opuesto signo, y el producto de las raíces es igual al término libre. Cualquier ecuación cuadrática reducida que tenga raíces tiene esta propiedad.
La suma de las raíces de la ecuación cuadrática anterior es igual al segundo coeficiente tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre.
Aquellos. El teorema de Vieta establece que las raíces x 1 y x 2 de la ecuación cuadrática reducida x 2 +px+q=0 tienen la propiedad:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)
Antes de pasar al teorema de Vieta, introducimos una definición. Ecuación cuadrática de la forma X² + píxeles + q= 0 se llama reducido. En esta ecuación, el coeficiente principal es igual a uno. Por ejemplo, la ecuación X² - 3 X- 4 = 0 se reduce. Cualquier ecuación cuadrática de la forma hacha² + b X + C= 0 se puede reducir dividiendo ambos lados de la ecuación por A≠ 0. Por ejemplo, ecuación 4 X² + 4 X— 3 = 0 al dividir por 4 se reduce a la forma: X² + X— 3/4 = 0. Derivemos la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática reducida, para ello usamos la fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática general: hacha² + bx + C = 0
Ecuación reducida X² + píxeles + q= 0 coincide con una ecuación general en la que A = 1, b = pag, C = q. Por lo tanto, para la ecuación cuadrática dada la fórmula toma la forma: 
la última expresión se llama fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática reducida, es especialmente conveniente usar esta fórmula cuando R- número par. Por ejemplo, resolvamos la ecuación. X² — 14 X — 15 = 0
En respuesta, escribimos que la ecuación tiene dos raíces.
Para la ecuación cuadrática reducida con positivo, se cumple el siguiente teorema.
teorema de vieta
Si X 1 y X 2 - raíces de la ecuación X² + píxeles + q= 0, entonces las fórmulas son válidas:
X 1 + X 2 = — R
x 1 * x 2 = q, es decir, la suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida es igual al segundo coeficiente tomado con signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre.
Según la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática anterior, tenemos:
Sumando estas igualdades obtenemos: X 1 + X 2 = —r.
Multiplicando estas igualdades, utilizando la fórmula de diferencia de cuadrados obtenemos:
Nótese que el teorema de Vieta también es válido cuando el discriminante es igual a cero, si asumimos que en este caso la ecuación cuadrática tiene dos raíces idénticas: X 1 = X 2 = — R/2.
Sin resolver ecuaciones X² — 13 X+ 30 = 0 encuentra la suma y el producto de sus raíces X 1 y X 2. esta ecuación D= 169 – 120 = 49 > 0, por lo que se puede aplicar el teorema de Vieta: X 1 + X 2 = 13, x1 * x2 = 30. Veamos algunos ejemplos más. Una de las raíces de la ecuación. X² — píxeles- 12 = 0 es igual X 1 = 4. encontrar coeficiente R y la segunda raíz X 2 de esta ecuación. Por el teorema de Vieta x1 * x2 =— 12, X 1 + X 2 = — r. Porque X 1 = 4, luego 4 X 2 = - 12, de donde X 2 = — 3, R = — (X 1 + X 2) = - (4 - 3) = - 1. En respuesta escribimos la segunda raíz X 2 = - 3, coeficiente pag = — 1.
Sin resolver ecuaciones X² + 2 X- 4 = 0 encontremos la suma de los cuadrados de sus raíces. Dejar X 1 y X 2 - raíces de la ecuación. Por el teorema de Vieta X 1 + X 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. Porque X 1²+ X 2² = ( X 1 + X 2)² - 2 X 1 X 2 entonces X 1²+ X 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.
Encontremos la suma y el producto de las raíces de la ecuación 3. X² + 4 X- 5 = 0. Esta ecuación tiene dos raíces diferentes, ya que el discriminante D= 16 + 4*3*5 > 0. Para resolver la ecuación usamos el teorema de Vieta. Este teorema ha sido probado para la ecuación cuadrática dada. Entonces dividamos esta ecuación por 3.
Por tanto, la suma de las raíces es igual a -4/3 y su producto es igual a -5/3.
En general, las raíces de la ecuación. hacha² + b X + C= 0 están relacionados por las siguientes igualdades: X 1 + X 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Para obtener estas fórmulas basta con dividir ambos lados de esta ecuación cuadrática por A ≠ 0 y aplicar el teorema de Vieta a la ecuación cuadrática reducida resultante. Consideremos un ejemplo: necesitas crear una ecuación cuadrática reducida cuyas raíces X 1 = 3, X 2 = 4. Porque X 1 = 3, X 2 = 4 - raíces de ecuación cuadrática X² + píxeles + q= 0, entonces por el teorema de Vieta R = — (X 1 + X 2) = — 7, q = X 1 X 2 = 12. Escribimos la respuesta como X² — 7 X+ 12 = 0. Al resolver algunos problemas, se utiliza el siguiente teorema.
Teorema inverso al teorema de Vieta
si los numeros R, q, X 1 , X 2 son tales que X 1 + X 2 = — pag, x 1 * x 2 = q, Eso x1 Y x2- raíces de la ecuación X² + píxeles + q= 0. Sustituir en el lado izquierdo X² + píxeles + q en lugar de R expresión - ( X 1 + X 2), y en su lugar q- trabajar x 1 * x 2 . Obtenemos: X² + píxeles + q = X² — ( X 1 + X 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2). Así, si los números R, q, X 1 y X 2 están conectados por estas relaciones, entonces para todos X la igualdad se mantiene X² + píxeles + q = (x - x 1) (x - x 2), de lo cual se deduce que X 1 y X 2 - raíces de la ecuación X² + píxeles + q= 0. Usando el teorema inverso al teorema de Vieta, a veces puedes encontrar las raíces de una ecuación cuadrática mediante selección. Veamos un ejemplo, X² — 5 X+ 6 = 0. Aquí R = — 5, q= 6. Elijamos dos números X 1 y X 2 para que X 1 + X 2 = 5, x1 * x2 = 6. Observando que 6 = 2 * 3, y 2 + 3 = 5, por el teorema inverso al teorema de Vieta, obtenemos que X 1 = 2, X 2 = 3 - raíces de la ecuación X² — 5 X + 6 = 0.
Primer nivel
Ecuaciones cuadráticas. guía completa (2019)
En el término "ecuación cuadrática", la palabra clave es "cuadrática". Esto significa que la ecuación debe contener necesariamente una variable (esa misma x) al cuadrado, y no debe haber xes a la tercera (o mayor) potencia.
La solución de muchas ecuaciones se reduce a resolver ecuaciones cuadráticas.
Aprendamos a determinar que se trata de una ecuación cuadrática y no de otra ecuación.
Ejemplo 1.
Eliminemos el denominador y multipliquemos cada término de la ecuación por
Movamos todo hacia el lado izquierdo y ordenemos los términos en orden descendente de potencias de X.
¡Ahora podemos decir con confianza que esta ecuación es cuadrática!
Ejemplo 2.
Multiplica los lados izquierdo y derecho por:
¡Esta ecuación, aunque estaba originalmente en ella, no es cuadrática!
Ejemplo 3.
Multipliquemos todo por:
¿Aterrador? El cuarto y segundo grado... Sin embargo, si hacemos una sustitución, veremos que tenemos una ecuación cuadrática simple:
Ejemplo 4.
Parece estar ahí, pero echemos un vistazo más de cerca. Movamos todo hacia el lado izquierdo:
Mira, se ha reducido y ¡ahora es una ecuación lineal simple!
Ahora intenta determinar por ti mismo cuáles de las siguientes ecuaciones son cuadráticas y cuáles no:
Ejemplos:
Respuestas:
- cuadrado;
- cuadrado;
- no cuadrado;
- no cuadrado;
- no cuadrado;
- cuadrado;
- no cuadrado;
- cuadrado.
Los matemáticos convencionalmente dividen todas las ecuaciones cuadráticas en los siguientes tipos:
- Completar ecuaciones cuadráticas- ecuaciones en las que los coeficientes y, así como el término libre c, no son iguales a cero (como en el ejemplo). Además, entre las ecuaciones cuadráticas completas hay dado- estas son ecuaciones en las que el coeficiente (la ecuación del ejemplo uno no solo es completa, ¡sino también reducida!)
- Ecuaciones cuadráticas incompletas- ecuaciones en las que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:
Están incompletos porque les falta algún elemento. ¡¡¡Pero la ecuación siempre debe contener x al cuadrado!!! De lo contrario, ya no será una ecuación cuadrática, sino alguna otra ecuación.
¿Por qué se les ocurrió tal división? Parecería que hay una X al cuadrado, y está bien. Esta división está determinada por los métodos de solución. Veamos cada uno de ellos con más detalle.
Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas
Primero, centrémonos en resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: ¡son mucho más simples!
Hay tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:
- , en esta ecuación el coeficiente es igual.
- , en esta ecuación el término libre es igual a.
- , en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.
1. yo. Como sabemos sacar la raíz cuadrada, expresemos a partir de esta ecuación
La expresión puede ser negativa o positiva. Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo, entonces: si, entonces la ecuación no tiene soluciones.
Y si, entonces obtenemos dos raíces. No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal es que debes saber y recordar siempre que no puede ser menos.
Intentemos resolver algunos ejemplos.
Ejemplo 5:
Resuelve la ecuación
Ahora solo queda extraer la raíz de los lados izquierdo y derecho. Después de todo, ¿recuerdas cómo extraer las raíces?
Respuesta:
¡¡¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!!!
Ejemplo 6:
Resuelve la ecuación
Respuesta:
Ejemplo 7:
Resuelve la ecuación
¡Oh! El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación
¡sin raíces!
Para este tipo de ecuaciones que no tienen raíces, los matemáticos crearon un icono especial: (conjunto vacío). Y la respuesta se puede escribir así:
Respuesta:
Por tanto, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces. Aquí no hay restricciones, ya que no extrajimos la raíz.
Ejemplo 8:
Resuelve la ecuación
Saquemos el factor común de paréntesis:
De este modo,
Esta ecuación tiene dos raíces.
Respuesta:
El tipo más simple de ecuaciones cuadráticas incompletas (aunque todas son simples, ¿verdad?). Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:
Aquí prescindiremos de ejemplos.
Resolver ecuaciones cuadráticas completas
Te recordamos que una ecuación cuadrática completa es una ecuación de la forma ecuación donde
Resolver ecuaciones cuadráticas completas es un poco más difícil (sólo un poco) que éstas.
Recordar, ¡Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando un discriminante! Incluso incompleto.
Los otros métodos te ayudarán a hacerlo más rápido, pero si tienes problemas con ecuaciones cuadráticas, primero domina la solución usando el discriminante.
1. Resolver ecuaciones cuadráticas usando un discriminante.
Resolver ecuaciones cuadráticas con este método es muy sencillo, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas.
Si, entonces la ecuación tiene raíz. Atención especial Da un paso. Discriminante () nos dice el número de raíces de la ecuación.
- Si, entonces la fórmula del paso se reducirá a. Por tanto, la ecuación sólo tendrá raíz.
- Si es así, no podremos extraer la raíz del discriminante en el paso. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.
Volvamos a nuestras ecuaciones y veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 9:
Resuelve la ecuación
Paso 1 saltamos.
Paso 2.
Hallamos el discriminante:
Esto significa que la ecuación tiene dos raíces.
Paso 3.
Respuesta:
Ejemplo 10:
Resuelve la ecuación
La ecuación se presenta en forma estándar, por lo que Paso 1 saltamos.
Paso 2.
Hallamos el discriminante:
Esto significa que la ecuación tiene una raíz.
Respuesta:
Ejemplo 11:
Resuelve la ecuación
La ecuación se presenta en forma estándar, por lo que Paso 1 saltamos.
Paso 2.
Hallamos el discriminante:
Esto significa que no podremos extraer la raíz del discriminante. No hay raíces de la ecuación.
Ahora sabemos cómo escribir correctamente esas respuestas.
Respuesta: sin raíces
2. Resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta.
Si recuerdas, existe un tipo de ecuación que se llama reducida (cuando el coeficiente a es igual a):
Estas ecuaciones son muy fáciles de resolver utilizando el teorema de Vieta:
suma de raices dado la ecuación cuadrática es igual y el producto de las raíces es igual.
Ejemplo 12:
Resuelve la ecuación
Esta ecuación se puede resolver usando el teorema de Vieta porque .
La suma de las raíces de la ecuación es igual, es decir. obtenemos la primera ecuación:
Y el producto es igual a:
Compongamos y resolvamos el sistema:
- Y. La cantidad es igual a;
- Y. La cantidad es igual a;
- Y. La cantidad es igual.
y son la solución al sistema:
Respuesta: ; .
Ejemplo 13:
Resuelve la ecuación
Respuesta:
Ejemplo 14:
Resuelve la ecuación
Se da la ecuación, lo que significa:
Respuesta:
ECUACIONES CUADRÁTICAS. NIVEL PROMEDIO
¿Qué es una ecuación cuadrática?
En otras palabras, una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma donde - la incógnita, - algunos números y.
El número se llama el más alto o primer coeficiente ecuación cuadrática, - segundo coeficiente, A - miembro gratuito.
¿Por qué? Porque si la ecuación se vuelve inmediatamente lineal, porque desaparecerá.
En este caso, y puede ser igual a cero. En esta silla la ecuación se llama incompleta. Si todos los términos están en su lugar, es decir, la ecuación está completa.
Soluciones a varios tipos de ecuaciones cuadráticas.
Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas:
Primero, veamos los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: son más simples.
Podemos distinguir los siguientes tipos de ecuaciones:
I., en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.
II. , en esta ecuación el coeficiente es igual.
III. , en esta ecuación el término libre es igual a.
Ahora veamos la solución para cada uno de estos subtipos.
Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:
Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo. Es por eso:
si, entonces la ecuación no tiene soluciones;
si tenemos dos raíces
No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal a recordar es que no puede ser menos.
Ejemplos:
Soluciones:
Respuesta:
¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!
El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación
sin raíces.
Para anotar brevemente que un problema no tiene solución utilizamos el icono de conjunto vacío.
Respuesta:
Entonces, esta ecuación tiene dos raíces: y.
Respuesta:
Saquemos el factor común de paréntesis:
El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Esto significa que la ecuación tiene solución cuando:
Entonces, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces: y.
Ejemplo:
Resuelve la ecuación.
Solución:
Factoricemos el lado izquierdo de la ecuación y encontremos las raíces:
Respuesta:
Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas:
1. Discriminante
Resolver ecuaciones cuadráticas de esta forma es fácil, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas. Recuerde, ¡cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando un discriminante! Incluso incompleto.
¿Notaste la raíz del discriminante en la fórmula de raíces? Pero el discriminante puede ser negativo. ¿Qué hacer? Necesitamos prestar especial atención al paso 2. El discriminante nos dice el número de raíces de la ecuación.
- Si, entonces la ecuación tiene raíces:
- Si, entonces la ecuación tiene las mismas raíces y, de hecho, una raíz:
Estas raíces se llaman raíces dobles.
- Si, entonces no se extrae la raíz del discriminante. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.
¿Por qué es posible? diferentes cantidades¿raíces? Pasemos al significado geométrico de la ecuación cuadrática. La gráfica de la función es una parábola:
En un caso especial, que es una ecuación cuadrática, . Esto significa que las raíces de una ecuación cuadrática son los puntos de intersección con el eje de abscisas (eje). Una parábola puede no cruzar el eje en absoluto, o puede cruzarlo en uno (cuando el vértice de la parábola se encuentra en el eje) o dos puntos.
Además, el coeficiente es responsable de la dirección de las ramas de la parábola. Si, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, y si, hacia abajo.
Ejemplos:
Soluciones:
Respuesta:
Respuesta: .
Respuesta:
Esto significa que no hay soluciones.
Respuesta: .
2. Teorema de Vieta
Es muy fácil utilizar el teorema de Vieta: basta con elegir un par de números cuyo producto sea igual al término libre de la ecuación, y la suma sea igual al segundo coeficiente tomado con el signo opuesto.
Es importante recordar que el teorema de Vieta sólo se puede aplicar en ecuaciones cuadráticas reducidas ().
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1:
Resuelve la ecuación.
Solución:
Esta ecuación se puede resolver usando el teorema de Vieta porque . Otros coeficientes: ; .
La suma de las raíces de la ecuación es:
Y el producto es igual a:
Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual y comprobemos si su suma es igual:
- Y. La cantidad es igual a;
- Y. La cantidad es igual a;
- Y. La cantidad es igual.
y son la solución al sistema:
Por tanto, y son las raíces de nuestra ecuación.
Respuesta: ; .
Ejemplo #2:
Solución:
Seleccionemos pares de números que dan el producto y luego verifiquemos si su suma es igual:
y: dan en total.
y: dan en total. Para obtenerlo, basta con cambiar los signos de las supuestas raíces: y, al fin y al cabo, el producto.
Respuesta:
Ejemplo #3:
Solución:
El término libre de la ecuación es negativo y, por tanto, el producto de las raíces es un número negativo. Esto sólo es posible si una de las raíces es negativa y la otra es positiva. Por lo tanto la suma de las raíces es igual a diferencias de sus módulos.
Seleccionemos pares de números que dan en el producto, y cuya diferencia es igual a:
y: su diferencia es igual - no encaja;
y: - no apto;
y: - no apto;
y: - adecuado. Sólo queda recordar que una de las raíces es negativa. Como su suma debe ser igual, la raíz con el módulo menor debe ser negativa: . Verificamos:
Respuesta:
Ejemplo #4:
Resuelve la ecuación.
Solución:
Se da la ecuación, lo que significa:
El término libre es negativo y, por tanto, el producto de las raíces es negativo. Y esto sólo es posible cuando una raíz de la ecuación es negativa y la otra es positiva.
Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual y luego determinemos qué raíces deben tener un signo negativo:
Evidentemente, sólo las raíces y son aptas para la primera condición:
Respuesta:
Ejemplo #5:
Resuelve la ecuación.
Solución:
Se da la ecuación, lo que significa:
La suma de las raíces es negativa, lo que significa que al menos una de las raíces es negativa. Pero como su producto es positivo, significa que ambas raíces tienen un signo menos.
Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual a:
Obviamente, las raíces son los números y.
Respuesta:
De acuerdo, es muy conveniente encontrar raíces oralmente, en lugar de contar este desagradable discriminante. Intente utilizar el teorema de Vieta con la mayor frecuencia posible.
Pero el teorema de Vieta es necesario para facilitar y acelerar la búsqueda de las raíces. Para que puedas beneficiarte de su uso, debes llevar las acciones al automatismo. Y para ello, resuelve cinco ejemplos más. Pero no hagas trampa: ¡no puedes utilizar un discriminante! Sólo el teorema de Vieta:
Soluciones a tareas para el trabajo independiente:
Tarea 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Según el teorema de Vieta:
Como es habitual, comenzamos la selección con la pieza:
No apto por la cantidad;
: la cantidad es justo lo que necesitas.
Respuesta: ; .
Tarea 2.
Y nuevamente nuestro teorema favorito de Vieta: la suma debe ser igual y el producto debe ser igual.
Pero como no debe ser, pero, cambiamos los signos de las raíces: y (en total).
Respuesta: ; .
Tarea 3.
Mmmm... ¿Dónde es eso?
Debes mover todos los términos en una sola parte:
La suma de las raíces es igual al producto.
¡Está bien, detente! La ecuación no está dada. Pero el teorema de Vieta sólo es aplicable en las ecuaciones dadas. Entonces primero necesitas dar una ecuación. Si no puedes liderar, abandona esta idea y resuélvela de otra manera (por ejemplo, a través de un discriminante). Permítanme recordarles que dar una ecuación cuadrática significa igualar el coeficiente principal:
Excelente. Entonces la suma de las raíces es igual a y el producto.
Aquí elegir es muy fácil: después de todo, es un número primo (perdón por la tautología).
Respuesta: ; .
Tarea 4.
El miembro gratuito es negativo. ¿Qué tiene de especial esto? Y es que las raíces tendrán signos diferentes. Y ahora, durante la selección, comprobamos no la suma de las raíces, sino la diferencia en sus módulos: esta diferencia es igual, pero es un producto.
Entonces, las raíces son iguales a y, pero una de ellas es menos. El teorema de Vieta nos dice que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con signo opuesto, es decir. Esto significa que la raíz más pequeña tendrá un signo menos: y desde entonces.
Respuesta: ; .
Tarea 5.
¿Qué deberías hacer primero? Así es, da la ecuación:
Nuevamente: seleccionamos los factores del número y su diferencia debe ser igual a:
Las raíces son iguales a y, pero una de ellas es menos. ¿Cual? Su suma debe ser igual, lo que significa que el menos tendrá una raíz mayor.
Respuesta: ; .
Déjame resumir:
- El teorema de Vieta se utiliza sólo en las ecuaciones cuadráticas dadas.
- Usando el teorema de Vieta, puedes encontrar las raíces por selección, de forma oral.
- Si no se da la ecuación o no se encuentra un par adecuado de factores del término libre, entonces no hay raíces enteras y es necesario resolverla de otra manera (por ejemplo, mediante un discriminante).
3. Método para seleccionar un cuadrado completo
Si todos los términos que contienen la incógnita se representan en forma de términos de fórmulas de multiplicación abreviadas (el cuadrado de la suma o la diferencia), luego de reemplazar las variables, la ecuación se puede presentar en forma de una ecuación cuadrática incompleta del tipo.
Por ejemplo:
Ejemplo 1:
Resuelve la ecuación: .
Solución:
Respuesta:
Ejemplo 2:
Resuelve la ecuación: .
Solución:
Respuesta:
En general, la transformación se verá así:
Esto implica: .
¿No te recuerda a nada? ¡Esto es algo discriminatorio! Así es exactamente como obtuvimos la fórmula discriminante.
ECUACIONES CUADRÁTICAS. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES
Ecuación cuadrática- esta es una ecuación de la forma donde - la incógnita, - los coeficientes de la ecuación cuadrática, - el término libre.
Ecuación cuadrática completa- una ecuación en la que los coeficientes no son iguales a cero.
Ecuación cuadrática reducida- una ecuación en la que el coeficiente, es decir: .
Ecuación cuadrática incompleta- una ecuación en la que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:
- si el coeficiente, la ecuación se ve así: ,
- si hay un término libre, la ecuación tiene la forma: ,
- si y, la ecuación se ve así: .
1. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.
1.1. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:
1) Expresemos la incógnita: ,
2) Verifique el signo de la expresión:
- si, entonces la ecuación no tiene soluciones,
- si, entonces la ecuación tiene dos raíces.
1.2. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:
1) Saquemos el factor común de paréntesis: ,
2) El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Por tanto, la ecuación tiene dos raíces:
1.3. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:
Esta ecuación siempre tiene una sola raíz: .
2. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas completas de la forma donde
2.1. Solución usando discriminante
1) Llevemos la ecuación a la forma estándar: ,
2) Calculemos el discriminante usando la fórmula: , que indica el número de raíces de la ecuación:
3) Encuentra las raíces de la ecuación:
- si, entonces la ecuación tiene raíces, que se encuentran mediante la fórmula:
- si, entonces la ecuación tiene una raíz, que se encuentra mediante la fórmula:
- si, entonces la ecuación no tiene raíces.
2.2. Solución usando el teorema de Vieta
La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida (ecuación de la forma donde) es igual y el producto de las raíces es igual, es decir , A.
2.3. Solución por el método de selección de un cuadrado completo.
Formulación y demostración del teorema de Vieta para ecuaciones cuadráticas. Teorema inverso de Vieta. Teorema de Vieta para ecuaciones cúbicas y ecuaciones de orden arbitrario.
Ecuaciones cuadráticas
teorema de vieta
Sean y denotan las raíces de la ecuación cuadrática reducida.
(1)
.
Entonces la suma de las raíces es igual al coeficiente de , tomado con el signo opuesto. El producto de las raíces es igual al término libre:
;
.
Una nota sobre múltiples raíces
Si el discriminante de la ecuación (1) es cero, entonces esta ecuación tiene una raíz. Pero, para evitar formulaciones engorrosas, generalmente se acepta que en este caso la ecuación (1) tiene dos raíces múltiples o iguales:
.
Prueba uno
Encontremos las raíces de la ecuación (1). Para ello, aplica la fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática:
;
;
.
Encuentra la suma de las raíces:
.
Para encontrar el producto, aplique la fórmula:
.
Entonces
.
El teorema ha sido demostrado.
Prueba dos
Si los números son las raíces de la ecuación cuadrática (1), entonces
.
Abriendo los paréntesis.
.
Por tanto, la ecuación (1) tomará la forma:
.
Comparando con (1) encontramos:
;
.
El teorema ha sido demostrado.
Teorema inverso de Vieta
Que haya números arbitrarios. Entonces y son las raíces de la ecuación cuadrática.
,
Dónde
(2)
;
(3)
.
Prueba del teorema inverso de Vieta
Considere la ecuación cuadrática
(1)
.
Necesitamos demostrar que si y , entonces y son las raíces de la ecuación (1).
Sustituyamos (2) y (3) en (1):
.
Agrupamos los términos del lado izquierdo de la ecuación:
;
;
(4)
.
Sustituyamos en (4):
;
.
Sustituyamos en (4):
;
.
La ecuación se mantiene. Es decir, el número es la raíz de la ecuación (1).
El teorema ha sido demostrado.
Teorema de Vieta para una ecuación cuadrática completa
Ahora considere la ecuación cuadrática completa.
(5)
,
donde y son algunos números. Además.
Dividamos la ecuación (5) por:
.
Es decir, tenemos la ecuación dada.
,
Dónde ; .
Entonces el teorema de Vieta para una ecuación cuadrática completa tiene la siguiente forma.
Sea y denote las raíces de la ecuación cuadrática completa.
.
Luego, la suma y el producto de las raíces están determinados por las fórmulas:
;
.
Teorema de Vieta para la ecuación cúbica
De manera similar, podemos establecer conexiones entre las raíces de una ecuación cúbica. Considere la ecuación cúbica
(6)
,
donde , , , son algunos números. Además.
Dividamos esta ecuación por:
(7)
,
Dónde , , .
Sean , , las raíces de la ecuación (7) (y la ecuación (6)). Entonces
.
Comparando con la ecuación (7) encontramos:
;
;
.
Teorema de Vieta para una ecuación de enésimo grado
De la misma manera, puedes encontrar conexiones entre las raíces , , ... , , para enésima ecuaciones grados
.
Teorema de Vieta para la ecuación. enésimo grado tiene la siguiente forma:
;
;
;
.
Para obtener estas fórmulas, escribimos la ecuación de la siguiente manera:
.
Luego igualamos los coeficientes de , , , ... y comparamos el término libre.
Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Álgebra: libro de texto para octavo grado en instituciones de educación general, Moscú, Educación, 2006.