கலப்பு எண்ணை ஒரு பகுதியால் பெருக்குவது எப்படி. பின்னம் செயல்கள்

20.10.2019

கடந்த முறை பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது மற்றும் கழிப்பது என்பதை கற்றுக்கொண்டோம் ("பின்னங்களைச் சேர்ப்பது மற்றும் கழித்தல்" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்). அந்த செயல்களில் மிகவும் கடினமான தருணம் பின்னங்களை பொதுவான வகுப்பாகக் குறைப்பதாகும்.

பெருக்கல் மற்றும் வகுப்பைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான நேரம் இது. நல்ல செய்தி என்னவென்றால், இந்த செயல்பாடுகள் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலை விட செய்ய எளிதானது. ஆரம்பத்தில், அர்ப்பணிக்கப்பட்ட முழு எண் பகுதி இல்லாமல் இரண்டு நேர்மறை பின்னங்கள் இருக்கும்போது எளிமையான வழக்கைக் கருதுங்கள்.

இரண்டு பின்னங்களை பெருக்க, நீங்கள் தனித்தனியாக அவற்றின் எண்களையும் வகுப்புகளையும் பெருக்க வேண்டும். முதல் எண் புதிய பின்னத்தின் எண்களாகவும், இரண்டாவது எண் வகுப்பாகவும் இருக்கும்.

இரண்டு பின்னங்களை பிரிக்க, முதல் பின்னத்தை "தலைகீழ்" இரண்டாவது பெருக்க வேண்டும்.

பதவி:

பின்னங்களின் பிரிவு பெருக்கத்திற்கு குறைக்கப்படுகிறது என்ற வரையறையிலிருந்து இது பின்பற்றப்படுகிறது. ஒரு பகுதியை "புரட்ட", எண் மற்றும் வகுப்பின் நிலைகளை மாற்றினால் போதும். எனவே, முழுப் பாடத்தையும் நாம் முக்கியமாகப் பெருக்குவதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

பெருக்கத்தின் விளைவாக, ரத்து செய்யக்கூடிய பின்னம் எழலாம் (மற்றும் அடிக்கடி எழுகிறது) - அது நிச்சயமாக ரத்து செய்யப்பட வேண்டும். அனைத்து சுருக்கங்களுக்கும் பிறகு, பின்னம் தவறாக மாறியிருந்தால், முழு பகுதியையும் அதில் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். ஆனால் பெருக்கத்தால் நிச்சயமாக நடக்காது என்பது ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு குறைப்பு ஆகும்: நெருக்கடி-குறுக்கு முறைகள் இல்லை, மிகப்பெரிய காரணிகள் மற்றும் குறைந்தபட்ச பொதுவான பெருக்கங்கள்.

வரையறையின்படி, எங்களிடம் உள்ளது:

முழு பின்னங்கள் மற்றும் எதிர்மறை பின்னங்களின் பெருக்கல்

பின்னங்கள் இருந்தால் முழு பகுதி, அவை தவறானவைகளாக மொழிபெயர்க்கப்பட வேண்டும் - பின்னர் மட்டுமே மேலே விவரிக்கப்பட்ட திட்டங்களின்படி பெருக்கப்படும்.

ஒரு பின்னத்தின் எண்ணில், வகுப்பில் அல்லது அதற்கு முன்னால் ஒரு கழித்தல் இருந்தால், அதை பெருக்கல் வரம்பிலிருந்து எடுக்கலாம் அல்லது பின்வரும் விதிகளின் படி அகற்றலாம்:

பிளஸ் மற்றும் மைனஸ் ஒரு கழித்தல் கொடுக்கிறது;
இரண்டு எதிர்மறைகள் உறுதிப்படுத்துகின்றன.

இப்போது வரை, இந்த விதிகள் எதிர்மறை பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போது மற்றும் கழிக்கும்போது மட்டுமே, முழுப் பகுதியிலிருந்து விடுபட வேண்டியிருந்தது. உற்பத்திக்கு, அவை ஒரே நேரத்தில் பல தீமைகளை "எரிக்க" பொதுமைப்படுத்தலாம்:

மைனஸ்கள் முற்றிலும் மறைந்து போகும் வரை ஜோடிகளாக கடந்து செல்லுங்கள். ஒரு தீவிர வழக்கில், ஒரு மைனஸ் உயிர்வாழ முடியும் - ஜோடி இல்லாத ஒன்று;
குறைபாடுகள் எதுவும் இல்லை என்றால், செயல்பாடு முடிந்தது - நீங்கள் பெருக்கத் தொடங்கலாம். கடைசி மைனஸ் கடக்கப்படாவிட்டால், அதற்கு ஜோடி இல்லாததால், அதை பெருக்கத்தின் வரம்பிலிருந்து நகர்த்துகிறோம். நீங்கள் ஒரு எதிர்மறை பின்னத்தைப் பெறுவீர்கள்.

பணி வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியவும்:

நாங்கள் அனைத்து பின்னங்களையும் தவறானவையாக மொழிபெயர்க்கிறோம், பின்னர் கழித்தல் பெருக்க வரம்புகளுக்கு வெளியே நகர்கிறோம். எஞ்சியிருப்பது, வழக்கமான விதிகளின்படி பெருகுகிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

முன்னிலைப்படுத்தப்பட்ட முழுப் பகுதியுடன் பின்னத்தின் முன் நிற்கும் கழித்தல் குறிப்பாக முழுப் பகுதியையும் குறிக்கிறது, அதன் முழுப் பகுதிக்கு மட்டும் அல்ல (இது கடைசி இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளுக்குப் பொருந்தும்) என்பதை மீண்டும் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்.

மேலும், எதிர்மறை எண்களுக்கு கவனம் செலுத்துங்கள்: பெருக்கும்போது, அவை அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. பெருக்கல் அறிகுறிகளிலிருந்து மைனஸ்களைப் பிரித்து முழு குறியீட்டை மிகவும் துல்லியமாக்குவதற்காக இது செய்யப்படுகிறது.

பறக்கும்போது பின்னங்களைக் குறைத்தல்

பெருக்கல் என்பது மிகவும் நேரத்தை எடுத்துக்கொள்ளும் செயலாகும். இங்குள்ள எண்கள் மிகப் பெரியதாக இருக்கும், மேலும் பணியை எளிமையாக்க, நீங்கள் பின்னத்தை இன்னும் குறைக்க முயற்சி செய்யலாம் பெருக்கத்திற்கு முன்... உண்மையில், சாராம்சத்தில், பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் வகுப்புகள் சாதாரண காரணிகளாகும், எனவே, ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படை சொத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றை ரத்து செய்யலாம். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள்:

பணி வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியவும்:

வரையறையின்படி, எங்களிடம் உள்ளது:

எல்லா எடுத்துக்காட்டுகளிலும், குறைக்கப்பட்ட எண்கள் மற்றும் அவற்றில் எஞ்சியவை சிவப்பு நிறத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன.

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: முதல் வழக்கில், பெருக்கிகள் முற்றிலும் குறைக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றின் இடத்தில், பொதுவாகச் சொல்வதானால், சிலவற்றை மட்டுமே தவிர்க்க முடியும். இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில், ஒரு முழுமையான குறைப்பை அடைய முடியவில்லை, ஆனால் கணக்கீட்டின் மொத்த அளவு இன்னும் குறைந்தது.

இருப்பினும், பின்னங்களைச் சேர்க்கும் மற்றும் கழிக்கும்போது எந்த சூழ்நிலையிலும் இந்த நுட்பத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டாம்! ஆமாம், சில நேரங்களில் இதே போன்ற எண்கள் உள்ளன, அதை நீங்கள் குறைக்க விரும்புகிறீர்கள். இங்கே, பாருங்கள்:

நீங்கள் அதை செய்ய முடியாது!

சேர்க்கும் போது, பின்னத்தின் எண்களில் ஒரு தொகை தோன்றும், எண்களின் தயாரிப்பு அல்ல. எனவே, இந்த சொத்து எண்களின் பெருக்கத்துடன் துல்லியமாக கையாளப்படுவதால், ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படை சொத்தைப் பயன்படுத்துவது சாத்தியமில்லை.

பின்னங்களைக் குறைப்பதற்கு வேறு எந்த காரணமும் இல்லை, எனவே முந்தைய பிரச்சனைக்கு சரியான தீர்வு இதுபோல் தெரிகிறது:

சரியான தீர்வு:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சரியான பதில் அவ்வளவு அழகாக இல்லை. பொதுவாக, கவனமாக இருங்கள்.

கி.மு. ஐந்தாம் நூற்றாண்டில், பண்டைய கிரேக்க தத்துவஞானி எலியாவின் ஜெனோ தனது புகழ்பெற்ற அப்போரியாக்களை உருவாக்கினார், அதில் மிகவும் புகழ்பெற்றது "அகில்லெஸ் மற்றும் ஆமை". இது எப்படி ஒலிக்கிறது:

அகில்லெஸ் ஒரு ஆமையை விட பத்து மடங்கு வேகமாக ஓடுகிறது, அதன் பின்னால் ஆயிரம் படிகள் பின்னால் இருக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த தூரம் ஓடுவதற்கு அகில்லெஸ் எடுக்கும் நேரத்தில், ஆமை அதே திசையில் நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். அகில்லெஸ் நூறு படிகள் ஓடும்போது, ஆமை இன்னும் பத்து படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். இந்த செயல்முறை காலவரையின்றி தொடரும், அகில்லெஸ் ஒருபோதும் ஆமையைப் பிடிக்க முடியாது.

இந்த பகுத்தறிவு அடுத்தடுத்த தலைமுறையினருக்கு ஒரு தர்க்கரீதியான அதிர்ச்சியாக இருந்தது. அரிஸ்டாட்டில், டையோஜெனீஸ், கான்ட், ஹெகல், ஹில்பர்ட் ... இவர்கள் அனைவரும், ஒரு வகையில் அல்லது இன்னொரு வகையில், ஜீனோவின் அப்போரியாக்களைக் கருதினர். அதிர்ச்சி மிகவும் வலுவானது " ... தற்போதைய நேரத்தில் விவாதங்கள் தொடர்கின்றன, அறிவியல் சமூகம் இன்னும் முரண்பாடுகளின் சாராம்சத்தைப் பற்றி ஒரு பொதுவான கருத்துக்கு வரவில்லை ... கணித பகுப்பாய்வு, தொகுப்புக் கோட்பாடு, புதிய இயற்பியல் மற்றும் தத்துவ அணுகுமுறைகள் சிக்கலின் ஆய்வில் ஈடுபட்டுள்ளன. ; அவை எதுவும் கேள்விக்கு பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட தீர்வாக மாறவில்லை ..."[விக்கிபீடியா, ஜீனோவின் அப்போரியா"]. எல்லோரும் முட்டாளாக்கப்படுகிறார்கள் என்பதை புரிந்துகொள்கிறார்கள், ஆனால் ஏமாற்றுவது என்னவென்று யாருக்கும் புரியவில்லை.

கணிதத்தின் பார்வையில், ஜெனோ தனது அப்போரியாவில் அளவிற்கு மாறுவதை தெளிவாக நிரூபித்தார். இந்த மாற்றம் மாறிலிகளுக்கு பதிலாக பயன்பாட்டைக் குறிக்கிறது. நான் புரிந்து கொண்ட வரையில், மாறுபட்ட அளவீட்டு அலகுகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான கணித கருவி ஒன்று இன்னும் உருவாக்கப்படவில்லை, அல்லது அது ஜீனோவின் அப்போரியாவுக்குப் பயன்படுத்தப்படவில்லை. நமது வழக்கமான தர்க்கத்தைப் பயன்படுத்துவது நம்மை ஒரு பொறியில் இட்டுச் செல்கிறது. நாங்கள், சிந்தனையின் மந்தநிலையால், நேர அளவீட்டின் நிலையான அலகுகளை பரஸ்பரத்திற்கு பயன்படுத்துகிறோம். இயற்பியல் பார்வையில், அகில்லெஸ் ஆமையுடன் சமமாக இருக்கும் தருணத்தில் அது முற்றிலும் நிறுத்தப்படும் வரை நேர விரிவாக்கம் போல் தெரிகிறது. நேரம் நிறுத்தப்பட்டால், அகில்லெஸ் இனி ஆமையை முந்த முடியாது.

நாம் பழகிய தர்க்கத்தை புரட்டிப் பார்த்தால் எல்லாம் சரியாகிவிடும். அகில்லெஸ் நிலையான வேகத்தில் ஓடுகிறது. அவரது பாதையின் ஒவ்வொரு அடுத்த பகுதியும் முந்தையதை விட பத்து மடங்கு குறைவாக உள்ளது. அதன்படி, அதை முறியடிக்க செலவழித்த நேரம் முந்தையதை விட பத்து மடங்கு குறைவு. இந்த சூழ்நிலையில் "முடிவிலி" என்ற கருத்தை நாம் பயன்படுத்தினால், "அகில்லெஸ் விரைவாக ஆமைக்கு பிடிக்கும்" என்று சொல்வது சரியாக இருக்கும்.

இந்த தர்க்கரீதியான வலையை நீங்கள் எவ்வாறு தவிர்க்கலாம்? நிலையான நேர அலகுகளில் இருங்கள் மற்றும் பின்னோக்கி செல்ல வேண்டாம். ஜெனோவின் மொழியில், இது போல் தெரிகிறது:

அக்கில்லெஸ் ஆயிரம் படிகள் ஓடும் நேரத்தில், ஆமை ஒரே திசையில் நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். காலத்தின் அடுத்த இடைவெளியில், முதல் சமமாக, அகில்லெஸ் மேலும் ஆயிரம் படிகள் ஓடும், மற்றும் ஆமை நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். இப்போது அகில்லெஸ் ஆமைக்கு எட்டு நூறு படிகள் முன்னால் உள்ளது.

இந்த அணுகுமுறை தர்க்கரீதியான முரண்பாடுகள் இல்லாமல் யதார்த்தத்தை போதுமானதாக விவரிக்கிறது. ஆனால் இது பிரச்சனைக்கு முழுமையான தீர்வு அல்ல. ஐன்ஸ்டீனின் ஒளியின் வேகம் தாங்கமுடியாதது பற்றிய அறிக்கை ஜெனோ அப்போரியா "அகில்லெஸ் மற்றும் ஆமை" போன்றது. நாம் இன்னும் படிக்க வேண்டும், மறுபரிசீலனை செய்து இந்த பிரச்சனையை தீர்க்க வேண்டும். தீர்வு எண்ணற்ற பெரிய எண்ணிக்கையில் அல்ல, அளவீட்டு அலகுகளில் தேடப்பட வேண்டும்.

மற்றொரு சுவாரஸ்யமான அப்போரியா ஜெனோ பறக்கும் அம்பு பற்றி சொல்கிறார்:

பறக்கும் அம்பு அசைவற்றது, ஏனென்றால் ஒவ்வொரு தருணத்திலும் அது ஓய்வில் உள்ளது, மேலும் அது ஒவ்வொரு நேரத்திலும் ஓய்வில் இருப்பதால், அது எப்போதும் ஓய்வில் இருக்கும்.

இந்த அப்போரியாவில், தர்க்கரீதியான முரண்பாடு மிகவும் எளிமையாக சமாளிக்கப்படுகிறது - ஒவ்வொரு தருணத்திலும் ஒரு பறக்கும் அம்பு விண்வெளியின் வெவ்வேறு புள்ளிகளில் நிற்கிறது என்பதை தெளிவுபடுத்த போதுமானது, இது உண்மையில் இயக்கமாகும். இன்னொரு விஷயத்தையும் இங்கே கவனிக்க வேண்டும். சாலையில் ஒரு காரின் ஒரு புகைப்படத்திலிருந்து, அதன் இயக்கத்தின் உண்மையையோ அல்லது அதற்கான தூரத்தையோ தீர்மானிக்க இயலாது. ஒரு காரின் இயக்கத்தின் உண்மையைத் தீர்மானிக்க, இரண்டு புள்ளிகள் தேவைப்படுகின்றன, அதே புள்ளியில் இருந்து வெவ்வேறு நேரங்களில் எடுக்கப்பட்டவை, ஆனால் தூரத்தை தீர்மானிக்க அவற்றைப் பயன்படுத்த முடியாது. காருக்கான தூரத்தை தீர்மானிக்க, ஒரே நேரத்தில் விண்வெளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட இரண்டு புகைப்படங்கள் உங்களுக்குத் தேவை, ஆனால் அவர்களிடமிருந்து நகரும் உண்மையை நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியாது (நிச்சயமாக, கணக்கீடுகளுக்கு உங்களுக்கு இன்னும் கூடுதல் தரவு தேவை, முக்கோணவியல் உங்களுக்கு உதவும்) . நான் எதை திருப்ப வேண்டும் சிறப்பு கவனம்எனவே, நேரத்தின் இரண்டு புள்ளிகள் மற்றும் விண்வெளியில் இரண்டு புள்ளிகள் என்பவை குழப்பமடையாத வெவ்வேறு விஷயங்கள், ஏனென்றால் அவை ஆராய்ச்சிக்கான வெவ்வேறு வாய்ப்புகளை வழங்குகின்றன.

புதன்கிழமை, 4 ஜூலை 2018

செட் மற்றும் மல்டிசெட் இடையே உள்ள வேறுபாடு விக்கிபீடியாவில் நன்றாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. நாங்கள் பார்க்கிறோம்.

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, "ஒரு தொகுப்பில் இரண்டு ஒத்த கூறுகள் இருக்க முடியாது", ஆனால் ஒரு தொகுப்பில் ஒரே மாதிரியான கூறுகள் இருந்தால், அத்தகைய தொகுப்பு "மல்டிசெட்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. அபத்தத்தின் இத்தகைய தர்க்கத்தை பகுத்தறிவுள்ள மனிதர்களால் புரிந்து கொள்ள முடியாது. பேசும் கிளிகள் மற்றும் பயிற்சி பெற்ற குரங்குகளின் நிலை, "முற்றிலும்" என்ற வார்த்தையிலிருந்து புத்திசாலித்தனம் இல்லாதது. கணிதவியலாளர்கள் சாதாரண பயிற்சியாளர்களாக செயல்படுகிறார்கள், அவர்களின் அபத்தமான யோசனைகளை எங்களுக்கு பிரசங்கிக்கிறார்கள்.

ஒருமுறை பாலத்தை உருவாக்கிய பொறியாளர்கள் பாலத்தின் சோதனைகளின் போது பாலத்தின் கீழ் ஒரு படகில் இருந்தனர். பாலம் இடிந்து விழுந்தால், திறமையற்ற பொறியாளர் தனது படைப்பின் இடிபாடுகளின் கீழ் இறந்தார். பாலம் சுமையை தாங்கினால், திறமையான பொறியாளர் மற்ற பாலங்களை உருவாக்குவார்.

"சுர், நான் வீட்டில் இருக்கிறேன்" என்ற சொற்றொடருக்குப் பின்னால் கணிதவியலாளர்கள் எப்படி மறைந்தாலும், அல்லது "கணிதமானது சுருக்கக் கருத்துக்களைப் படிக்கும்", அவர்களை ஒரு நிஜத்துடன் பிரிக்கமுடியாத வகையில் இணைக்கும் ஒரு தொப்புள் கொடி உள்ளது. இந்த தொப்புள் கொடி பணம். கணிதவியலாளர்களுக்கு கணித தொகுப்புக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்துவோம்.

நாங்கள் கணிதத்தை நன்றாகப் படித்தோம், இப்போது நாங்கள் பண மேசையில் உட்கார்ந்து சம்பளத்தை வழங்குகிறோம். அவரது பணத்திற்காக ஒரு கணிதவியலாளர் இங்கே வருகிறார். நாங்கள் முழுத் தொகையையும் அவரிடம் எண்ணி, எங்கள் மேஜையில் வெவ்வேறு குவியல்களாக இடுகிறோம், அதில் ஒரே மதிப்புள்ள பில்களை வைக்கிறோம். பின்னர் நாம் ஒவ்வொரு குவியலிலிருந்தும் ஒரு பில்லை எடுத்து கணிதவியலாளரின் "கணித சம்பள தொகுப்பை" ஒப்படைக்கிறோம். ஒரே மாதிரியான கூறுகள் இல்லாத தொகுப்பு ஒரே மாதிரியான உறுப்புகள் கொண்ட தொகுப்புக்கு சமமாக இல்லை என்பதை அவர் நிரூபிக்கும் போது மட்டுமே அவர் மீதமுள்ள பில்களைப் பெறுவார் என்று கணிதத்தை விளக்குவோம். இங்குதான் வேடிக்கை தொடங்குகிறது.

முதலில், பிரதிநிதிகளின் தர்க்கம் வேலை செய்யும்: "நீங்கள் அதை மற்றவர்களுக்குப் பயன்படுத்தலாம், நீங்கள் அதை எனக்குப் பயன்படுத்த முடியாது!" மேலும், உள்ளன என்று நாங்கள் உறுதியளிக்கத் தொடங்குவோம் வெவ்வேறு எண்கள்பில்கள், அதாவது அவை ஒரே கூறுகளாக கருதப்பட முடியாது. சரி, நாணயங்களில் சம்பளத்தை எண்ணுவோம் - நாணயங்களில் எண்கள் இல்லை. இங்கே கணிதவியலாளர் இயற்பியலை வெறித்தனமாக நினைவில் கொள்ளத் தொடங்குவார்: வெவ்வேறு நாணயங்களில் வெவ்வேறு அளவு அழுக்குகள் உள்ளன, ஒவ்வொரு நாணயத்திலும் உள்ள படிக அமைப்பு மற்றும் அணுக்களின் அமைப்பு தனித்துவமானது ...

இப்போது எனக்கு மிகவும் சுவாரஸ்யமான கேள்வி உள்ளது: ஒரு மல்டிசெட்டின் கூறுகள் ஒரு தொகுப்பின் கூறுகளாகவும் அதற்கு நேர்மாறாகவும் மாறும் கோடு எங்கே? அத்தகைய கோடு இல்லை - எல்லாம் ஷாமன்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, அறிவியல் இங்கே அருகில் எங்கும் இல்லை.

இங்கே பாருங்கள். நாங்கள் அதே ஆடுகளத்துடன் கால்பந்து மைதானங்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். வயல்களின் பரப்பளவு ஒன்றே, அதாவது எங்களிடம் ஒரு மல்டிசெட் கிடைத்துள்ளது. ஆனால் அதே ஸ்டேடியங்களின் பெயர்களை நாம் கருத்தில் கொண்டால், நமக்கு நிறைய கிடைக்கும், ஏனென்றால் பெயர்கள் வேறு. நீங்கள் பார்க்கிறபடி, ஒரே உறுப்புகளின் தொகுப்பு ஒரே நேரத்தில் ஒரு தொகுப்பு மற்றும் ஒரு மல்டிசெட் ஆகும். அது எப்படி சரியானது? மேலும் இங்கே கணிதவியலாளர்-ஷாமன்-ஷல்லர் தனது ஸ்லீவிலிருந்து ஒரு டிரம்ப் சீட்டை எடுத்து, செட் அல்லது மல்டிசெட் பற்றி எங்களிடம் சொல்லத் தொடங்குகிறார். எப்படியிருந்தாலும், அவர் சொல்வது சரிதான் என்று நம்மை நம்ப வைப்பார்.

நவீன ஷாமன்கள் செட் கோட்பாட்டுடன் எவ்வாறு செயல்படுகிறார்கள் என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, அதை யதார்த்தத்துடன் பிணைக்க, ஒரு கேள்விக்கு பதிலளித்தால் போதும்: ஒரு தொகுப்பின் கூறுகள் மற்றொரு தொகுப்பின் கூறுகளிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன? "ஒரு சிந்தனை முழுமையும் இல்லை" அல்லது "ஒட்டுமொத்தமாக சிந்திக்க முடியாதது" இல்லாமல் நான் உங்களுக்குக் காண்பிப்பேன்.

ஞாயிறு, 18 மார்ச் 2018

எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டு என்பது தம்பூருடன் கூடிய ஷாமன்களின் நடனம் ஆகும், இது கணிதத்திற்கு எந்த தொடர்பும் இல்லை. ஆமாம், கணித பாடங்களில் ஒரு இலக்கத்தின் எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடித்து அதைப் பயன்படுத்த கற்றுக்கொடுக்கிறோம், ஆனால் அதனால்தான் அவர்கள் தங்கள் சந்ததியினருக்கு தங்கள் திறமைகளையும் ஞானத்தையும் கற்பிப்பதற்காக ஷாமன்கள், இல்லையெனில் ஷாமன்கள் வெறுமனே இறந்துவிடுவார்கள்.

ஆதாரம் வேண்டுமா? விக்கிபீடியாவைத் திறந்து எண் பக்கத்தின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும். அது இல்லை. கணிதத்தில் எந்த எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையையும் நீங்கள் காணக்கூடிய எந்த சூத்திரமும் இல்லை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, எண்கள் நாம் எண்களை எழுதும் உதவியுடன் கிராஃபிக் குறியீடுகள் மற்றும் கணித மொழியில் பணி இதுபோல் தெரிகிறது: "எந்த எண்ணையும் குறிக்கும் கிராஃபிக் குறியீடுகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்." கணிதவியலாளர்கள் இந்த சிக்கலை தீர்க்க முடியாது, ஆனால் ஷாமன்கள் - இது அடிப்படை.

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க நாம் என்ன, எப்படி செய்கிறோம் என்று பார்ப்போம். எனவே, நமக்கு 12345 என்ற எண் இருக்கட்டும். இந்த எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க என்ன செய்ய வேண்டும்? அனைத்து படிகளையும் ஒழுங்காகப் பார்ப்போம்.

1. ஒரு துண்டு காகிதத்தில் எண்ணை எழுதுகிறோம். நாம் என்ன செய்தோம்? எண்ணின் கிராஃபிக் சின்னமாக எண்ணை மாற்றியுள்ளோம். இது ஒரு கணித செயல்பாடு அல்ல.

2. ஒரு விளைவாக வரும் படத்தை தனி எண்கள் கொண்ட பல படங்களாக வெட்டினோம். ஒரு படத்தை வெட்டுவது ஒரு கணித செயல்பாடு அல்ல.

3. தனிப்பட்ட கிராஃபிக் சின்னங்களை எண்களாக மாற்றவும். இது ஒரு கணித செயல்பாடு அல்ல.

4. இதன் விளைவாக வரும் எண்களைச் சேர்க்கவும். இப்போது அது கணிதம்.

12345 இன் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 15. இவை கணிதவியலாளர்களால் பயன்படுத்தப்படும் ஷாமன்களிடமிருந்து "வெட்டும் மற்றும் தையல் படிப்புகள்" ஆகும். ஆனால் அது மட்டுமல்ல.

கணிதத்தின் பார்வையில், நாம் எந்த எண் அமைப்பில் எண்ணை எழுதுகிறோம் என்பது முக்கியமல்ல. எனவே, இல் வெவ்வேறு அமைப்புகள்ஒரே எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை வித்தியாசமாக இருக்கும். கணிதத்தில், எண் அமைப்பு எண்ணின் வலதுபுறத்தில் ஒரு துணைக்குறிப்பாகக் குறிக்கப்படுகிறது. ஒரு பெரிய எண் 12345 உடன், நான் என் தலையை முட்டாளாக்க விரும்பவில்லை, கட்டுரையிலிருந்து எண் 26 ஐக் கருதுங்கள். இந்த எண்ணை பைனரி, ஆக்டல், தசம மற்றும் அறுகோண எண் அமைப்புகளில் எழுதுவோம். ஒவ்வொரு அடியையும் நாம் நுண்ணோக்கின் கீழ் பார்க்க மாட்டோம், நாங்கள் அதை ஏற்கனவே செய்துள்ளோம். முடிவைப் பார்ப்போம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வெவ்வேறு எண் அமைப்புகளில், ஒரே எண்ணின் இலக்கங்களின் தொகை வேறுபட்டது. இந்த முடிவுக்கும் கணிதத்துக்கும் எந்த சம்பந்தமும் இல்லை. ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவை மீட்டர் மற்றும் சென்டிமீட்டரில் நீங்கள் தீர்மானிக்கும் போது நீங்கள் முற்றிலும் மாறுபட்ட முடிவுகளைப் பெறுவீர்கள்.

எல்லா எண் அமைப்புகளிலும் பூஜ்ஜியம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கிறது மற்றும் இலக்கங்களின் தொகை இல்லை. இது உண்மையின் மற்றொரு வாதம். கணிதவியலாளர்களுக்கு ஒரு கேள்வி: கணிதத்தில் குறிப்பிடப்படாத எண் எப்படி உள்ளது? கணிதவியலாளர்களுக்கு, எண்களைத் தவிர வேறு எதுவும் இல்லை? ஷாமன்களுக்கு, நான் இதை அனுமதிக்க முடியும், ஆனால் விஞ்ஞானிகளுக்கு - இல்லை. யதார்த்தம் என்பது எண்களைப் பற்றியது அல்ல.

பெறப்பட்ட முடிவு எண் அமைப்புகள் எண்களுக்கான அளவீட்டு அலகுகள் என்பதற்கான சான்றாக கருதப்பட வேண்டும். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, எண்களை வெவ்வேறு அளவீடுகளுடன் ஒப்பிட முடியாது. ஒரே அளவின் வெவ்வேறு அலகுகளைக் கொண்ட அதே செயல்கள் அவற்றின் ஒப்பீட்டிற்குப் பிறகு வெவ்வேறு முடிவுகளுக்கு வழிவகுத்தால், இதற்கும் கணிதத்திற்கும் எந்த தொடர்பும் இல்லை.

உண்மையான கணிதம் என்றால் என்ன? ஒரு கணித செயலின் முடிவு எண்ணின் அளவு, பயன்படுத்தப்படும் அளவீட்டு அலகு மற்றும் இந்த செயலை யார் செய்கிறார்கள் என்பதைப் பொறுத்தது அல்ல.

கதவில் கையொப்பமிடுங்கள் கதவைத் திறந்து கூறுகிறார்:

அச்சச்சோ! இது பெண்கள் கழிப்பறை இல்லையா?
- இளம்பெண்! சொர்க்கத்திற்கு ஏறும் போது ஆன்மாக்களின் பாகுபாடற்ற புனிதத்தை ஆய்வு செய்வதற்கான ஆய்வகம் இது! மேல் மற்றும் மேல் அம்புக்குறி. வேறு என்ன கழிப்பறை?

பெண் ... மேலே உள்ள நிம்பஸ் மற்றும் கீழ் அம்பு ஆண்.

உங்கள் கண்களுக்கு ஒரு நாளைக்கு பல முறை இதுபோன்ற வேலை இருந்தால் வடிவமைப்பு கலை,

உங்கள் காரில் திடீரென்று ஒரு விசித்திரமான ஐகானைக் கண்டதில் ஆச்சரியமில்லை:

தனிப்பட்ட முறையில், நானே ஒரு முயற்சியை மேற்கொள்கிறேன், அதனால் ஒரு மலம் கழிக்கும் நபரில் (ஒரு படம்), நான் மைனஸ் நான்கு டிகிரி பார்க்க முடியும் (பல படங்களின் கலவை: ஒரு மைனஸ் அடையாளம், எண் நான்கு, பட்டங்களின் பதவி). மேலும் இந்த பெண் இயற்பியல் தெரியாத முட்டாள் என்று நான் நினைக்கவில்லை. கிராஃபிக் படங்களைப் பற்றிய ஒரு ஸ்டீரியோடைப் அவளிடம் உள்ளது. கணிதவியலாளர்கள் இதை நமக்கு தொடர்ந்து கற்பிக்கிறார்கள். இங்கே ஒரு உதாரணம்.

1A என்பது "மைனஸ் நான்கு டிகிரி" அல்லது "ஒரு ஏ" அல்ல. இது "பூப்பிங் மேன்" அல்லது ஹெக்ஸாடெசிமல் குறியீட்டில் "இருபத்தி ஆறு" எண். இந்த எண் அமைப்பில் தொடர்ந்து வேலை செய்பவர்கள் தானாகவே எண்ணையும் எழுத்தையும் ஒரே கிராஃபிக் குறியீடாக உணர்கிறார்கள்.

ஒரு பகுதியை ஒரு பகுதியால் அல்லது ஒரு பகுதியை ஒரு எண்ணால் சரியாகப் பெருக்க, நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் எளிய விதிகள்... இந்த விதிகளை இப்போது விரிவாக ஆராய்வோம்.

ஒரு சாதாரண பின்னத்தை ஒரு பகுதியால் பெருக்கல்.

ஒரு பின்னத்தை ஒரு பகுதியால் பெருக்க, நீங்கள் எண்களின் உற்பத்தியையும் இந்த பின்னங்களின் வகுப்புகளின் உற்பத்தியையும் கணக்கிட வேண்டும்.

\ (\ bf \ frac (a) (b) \ times \ frac (c) (d) = \ frac (a \ times c) (b \ times d) \\\)

ஒரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்:
முதல் பின்னத்தின் எண்களை இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்களுடன் பெருக்கிறோம், மேலும் முதல் பின்னத்தின் வகுப்பையும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்போடு பெருக்கிறோம்.

\ (\ frac (6) (7) \ times \ frac (2) (3) = \ frac (6 \ times 2) (7 \ times 3) = \ frac (12) (21) = \ frac (4 \ முறை 3) (7 \ முறை 3) = \ frac (4) (7) \\\)

பின்னம் \ (\ frac (12) (21) = \ frac (4 \ times 3) (7 \ times 3) = \ frac (4) (7) \\\) 3 ஆல் குறைக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒரு பகுதியை ஒரு எண்ணால் பெருக்கல்.

முதலில், விதியை நினைவில் கொள்வோம் எந்த எண்ணையும் பின்னமாக குறிப்பிடலாம் \ (\ bf n = \ frac (n) (1) \).

பெருக்கும்போது இந்த விதியைப் பயன்படுத்துவோம்.

\ (5 \ முறை \ frac (4) (7) = \ frac (5) (1) \ times \ frac (4) (7) = \ frac (5 \ times 4) (1 \ times 7) = \ frac (20) (7) = 2 \ frac (6) (7) \\\)

ஒழுங்கற்ற பின்னம் \ (\ frac (20) (7) = \ frac (14 + 6) (7) = \ frac (14) (7) + \ frac (6) (7) = 2 + \ frac (6) ( 7) = 2 \ frac (6) (7) \\\) கலப்பு பின்னமாக மாற்றப்பட்டது.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கும்போது, எண் எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது, மேலும் வகுத்தல் மாறாமல் இருக்கும்.உதாரணமாக:

\ (\ frac (2) (5) \ times 3 = \ frac (2 \ times 3) (5) = \ frac (6) (5) = 1 \ frac (1) (5) \\\\\) \ (\ bf \ frac (a) (b) \ times c = \ frac (a \ times c) (b) \\\)

கலப்பு பின்னங்களின் பெருக்கல்.

கலப்பு பின்னங்களைப் பெருக்க, நீங்கள் முதலில் ஒவ்வொரு கலப்பு பின்னத்தையும் தவறான பின்னமாகப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த வேண்டும், பின்னர் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும். எண்கணிதம் எண்களுடன் பெருக்கப்படுகிறது, வகுத்தல் வகுக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக:
\ (2 \ frac (1) (4) \ times 3 \ frac (5) (6) = \ frac (9) (4) \ times \ frac (23) (6) = \ frac (9 \ times 23) (4 \ முறை 6) = \ frac (3 \ times \ color (red) (3) \ times 23) (4 \ times 2 \ times \ color (red) (3)) = \ frac (69) (8) = 8 \ frac (5) (8) \\\)

பரஸ்பர பின்னங்கள் மற்றும் எண்களின் பெருக்கல்.

பின்னம் \ (\ bf \ frac (a) (b) \) \ (\ bf \ frac (b) (a) \) இன் தலைகீழ், ≠ 0, b ≠ 0.
பின்னங்கள் \ (\ bf \ frac (a) (b) \) மற்றும் \ (\ bf \ frac (b) (a) \) பரஸ்பர பின்னங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. பரஸ்பர பின்னங்களின் தயாரிப்பு 1 ஆகும்.
\ (\ bf \ frac (a) (b) \ times \ frac (b) (a) = 1 \\\)

உதாரணமாக:
\ (\ frac (5) (9) \ times \ frac (9) (5) = \ frac (45) (45) = 1 \\\)

தலைப்பில் கேள்விகள்:
ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் எப்படிப் பெருக்குவது?
பதில்: சாதாரண பின்னங்களின் தயாரிப்பு என்பது எண்களுடன் எண்களின் பெருக்கல் ஆகும். கலப்பு பின்னங்களின் உற்பத்தியைப் பெற, நீங்கள் அவற்றை முறையற்ற பின்னமாக மாற்றி விதிகளின் படி பெருக்க வேண்டும்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை நான் எவ்வாறு பெருக்குவது?
பதில்: அது அதே அல்லது முக்கியமல்ல வெவ்வேறு வகுப்புகள்பின்னங்களுக்கு, எண்களுடன் எண்களின் உற்பத்தியைக் கண்டுபிடிக்கும் விதியின் படி பெருக்கல் ஏற்படுகிறது.

கலப்பு பின்னங்களை எவ்வாறு பெருக்குவது?
பதில்: முதலில், நீங்கள் கலப்பு பின்னத்தை தவறான பின்னமாக மொழிபெயர்க்க வேண்டும், பின்னர் பெருக்க விதிகளின்படி தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

ஒரு எண்ணை ஒரு பகுதியால் பெருக்குவது எப்படி?
பதில்: எண் எண்ணுடன் பெருக்கப்படுகிறது, மேலும் வகுத்தல் அப்படியே உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு # 1:
தயாரிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்: a) \ (\ frac (8) (9) \ times \ frac (7) (11) \) b) \ (\ frac (2) (15) \ times \ frac (10) (13) \)

தீர்வு:
a) \ (\ frac (8) (9) \ times \ frac (7) (11) = \ frac (8 \ times 7) (9 \ times 11) = \ frac (56) (99) \\\\ \)
b) \ (\ frac (2) (15) \ times \ frac (10) (13) = \ frac (2 \ times 10) (15 \ times 13) = \ frac (2 \ times 2 \ times \ color ( சிகப்பு) (5)

எடுத்துக்காட்டு # 2:
ஒரு எண் மற்றும் ஒரு பகுதியின் தயாரிப்புகளை கணக்கிடுங்கள்: a) \ (3 \ times \ frac (17) (23) \) b) \ (\ frac (2) (3) \ times 11 \)

தீர்வு:
a) \ (3 \ times \ frac (17) (23) = \ frac (3) (1) \ times \ frac (17) (23) = \ frac (3 \ times 17) (1 \ times 23) = \ frac (51) (23) = 2 \ frac (5) (23) \\\\\)
b) \ (\ frac (2) (3) \ times 11 = \ frac (2) (3) \ times \ frac (11) (1) = \ frac (2 \ times 11) (3 \ times 1) = \ frac (22) (3) = 7 \ frac (1) (3) \)

எடுத்துக்காட்டு # 3:
பின்னத்தின் பரஸ்பரத்தை எழுதுங்கள் \ (\ frac (1) (3) \)?
பதில்: \ (\ frac (3) (1) = 3 \)

எடுத்துக்காட்டு # 4:
இரண்டு பரஸ்பர பின்னங்களின் உற்பத்தியைக் கணக்கிடுங்கள்: a) \ (\ frac (104) (215) \ times \ frac (215) (104) \)

தீர்வு:
a) \ (\ frac (104) (215) \ times \ frac (215) (104) = 1 \)

எடுத்துக்காட்டு # 5:
பரஸ்பர பின்னங்கள் இருக்கலாம்:
a) அதே நேரத்தில் வழக்கமான பின்னங்களுடன்;
b) அதே நேரத்தில் தவறான பின்னங்களுடன்;
c) ஒரே நேரத்தில் இயற்கை எண்கள்?

தீர்வு:
அ) முதல் கேள்விக்கு பதிலளிக்க, ஒரு உதாரணம் கொடுக்கலாம். பின்னம் \ (\ frac (2) (3) \) சரியானது, அதன் பரஸ்பரம் \ (\ frac (3) (2) \) என்பது ஒரு தவறான பின்னமாகும். பதில் இல்லை.

ஆ) பின்னங்களின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து கணக்கீடுகளுக்கும், இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படவில்லை, ஆனால் சில எண்கள் ஒரே நேரத்தில் தவறான பின்னமாக இருப்பதற்கு நிபந்தனை அளிக்கிறது. உதாரணமாக, முறையற்ற பின்னம் \ (\ frac (3) (3) \), அதன் பரஸ்பரம் \ (\ frac (3) (3) \). நாம் இரண்டு ஒழுங்கற்ற பின்னங்களைப் பெறுகிறோம். பதில்: எண்களும் வகுப்பும் சமமாக இருக்கும்போது சில நிபந்தனைகளின் கீழ் எப்போதும் இல்லை.

c) இயற்கை எண்கள் எண்ணும்போது நாம் பயன்படுத்தும் எண்கள், எடுத்துக்காட்டாக, 1, 2, 3, .... நாம் \ (3 = \ frac (3) (1) \) என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொண்டால், அதன் பரஸ்பரம் \ (\ frac (1) (3) \). பின்னம் \ (\ frac (1) (3) \) இயற்கையான எண் அல்ல. நாம் எல்லா எண்களையும் திரும்ப திரும்பச் சொன்னால், பரஸ்பரம் பெறுவது எப்போதுமே ஒரு பின்னமாகும், தவிர 1. நாம் எண் 1 ஐ எடுத்துக் கொண்டால் அதன் பரஸ்பரம் \ = 1 \). எண் 1 என்பது இயற்கையான எண். பதில்: இந்த எண் 1 ஆக இருந்தால் ஒரே சமயத்தில் மட்டுமே அவை இயற்கையான எண்களாக இருக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு # 6:
கலப்பு பின்னங்களின் தயாரிப்பைச் செய்யவும்: a) \ (4 \ முறை 2 \ frac (4) (5) \) b) \ (1 \ frac (1) (4) \ times 3 \ frac (2) (7) \ )

தீர்வு:
a) \ (4 \ முறை 2 \ frac (4) (5) = \ frac (4) (1) \ முறை \ frac (14) (5) = \ frac (56) (5) = 11 \ frac (1 ) (5) \\\\ \)
b) \ (1 \ frac (1) (4) \ times 3 \ frac (2) (7) = \ frac (5) (4) \ times \ frac (23) (7) = \ frac (115) ( 28) = 4 \ frac (3) (7) \)

எடுத்துக்காட்டு # 7:
இரண்டு பரஸ்பர தலைகீழ் எண்கள் ஒரே நேரத்தில் கலப்பு எண்களாக இருக்க முடியுமா?

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். கலப்புப் பகுதியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் \ (1 \ ஃப்ராக் (1) (2) \) ) \). அதன் தலைகீழ் பின்னம் \ (\ frac (2) (3) \). பின்னம் \ (\ frac (2) (3) \) ஒரு வழக்கமான பின்னமாகும். பதில்: இரண்டு பரஸ்பர தலைகீழ் பின்னங்கள் ஒரே நேரத்தில் கலப்பு எண்களாக இருக்க முடியாது.

பொதுவான பின்னங்களின் பெருக்கல்

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

$ \ Frac (1) (3) $ தட்டில் ஒரு ஆப்பிளின் ஒரு பகுதியாக இருக்கட்டும். அதன் $ \ frac (1) (2) $ பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். தேவையான பகுதி $ \ frac (1) (3) $ மற்றும் $ \ frac (1) (2) $ ஆகியவற்றின் பின்னங்களின் விளைவாகும். இரண்டு பின்னங்களைப் பெருக்குவதன் விளைவு ஒரு சாதாரண பின்னமாகும்.

இரண்டு பின்னங்களின் பெருக்கல்

சாதாரண பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான விதி:

ஒரு பின்னத்தை ஒரு பகுதியால் பெருக்குவதன் விளைவு ஒரு பின்னமாகும், இதன் எண் பெருக்கப்பட்ட பின்னங்களின் எண்களின் தயாரிப்புக்கு சமம், மற்றும் வகுத்தல் வகுப்புகளின் விளைவுக்கு சமம்:

உதாரணம் 1

சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கத்தை $ \ frac (3) (7) $ மற்றும் $ \ frac (5) (11) $.

தீர்வு

சாதாரண பின்னங்களைப் பெருக்க விதியைப் பயன்படுத்துவோம்:

\ [\ frac (3) (7) \ cdot \ frac (5) (11) = \ frac (3 \ cdot 5) (7 \ cdot 11) = \ frac (15) (77) \]

பதில்:$ \ frac (15) (77) $

பின்னங்களைப் பெருக்குவதன் விளைவாக, ரத்து செய்யக்கூடிய அல்லது ஒழுங்கற்ற பின்னம் பெறப்பட்டால், நீங்கள் அதை எளிமைப்படுத்த வேண்டும்.

உதாரணம் 2

பின்னங்களை $ \ frac (3) (8) $ மற்றும் $ \ frac (1) (9) $ பெருக்கவும்.

தீர்வு

சாதாரண பின்னங்களைப் பெருக்க நாங்கள் விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

\ [\ frac (3) (8) \ cdot \ frac (1) (9) = \ frac (3 \ cdot 1) (8 \ cdot 9) = \ frac (3) (72) \]

இதன் விளைவாக, ரத்து செய்யக்கூடிய பின்னம் எங்களுக்கு கிடைத்தது (பிரிவின் மூலம் $ 3 $. பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பை $ 3 $ ஆல் வகுக்கிறோம், நமக்கு கிடைக்கும்:

\ [\ frac (3) (72) = \ frac (3: 3) (72: 3) = \ frac (1) (24) \]

குறுகிய தீர்வு:

\ [\ frac (3) (8) \ cdot \ frac (1) (9) = \ frac (3 \ cdot 1) (8 \ cdot 9) = \ frac (3) (72) = \ frac (1) (24) \]

பதில்:$ \ frac (1) (24). $

பின்னங்களைப் பெருக்கும்போது, அவற்றின் தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிக்கும் வரை நீங்கள் எண்கள் மற்றும் வகுப்புகளைக் குறைக்கலாம். இந்த வழக்கில், பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுத்தல் முக்கிய காரணிகளாக சிதைக்கப்படுகின்றன, அதன் பிறகு மீண்டும் மீண்டும் வரும் காரணிகள் ரத்து செய்யப்பட்டு முடிவு காணப்படுகிறது.

உதாரணம் 3

$ \ Frac (6) (75) $ மற்றும் $ \ frac (15) (24) $ பின்னங்களின் உற்பத்தியைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு

சாதாரண பின்னங்களைப் பெருக்க சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

\ [\ frac (6) (75) \ cdot \ frac (15) (24) = \ frac (6 \ cdot 15) (75 \ cdot 24) \]

வெளிப்படையாக, எண் மற்றும் வகுப்பில் எண்கள் உள்ளன, அவை ஜோடிகளாக $ 2 $, $ 3 $ மற்றும் $ 5 $ ஆகிய எண்களால் ரத்து செய்யப்படலாம். எண்களையும் வகுப்பையும் முக்கிய காரணிகளாக விரிவுபடுத்தி ரத்து செய்வோம்:

\ [\ frac (6 \ cdot 15) (75 \ cdot 24) = \ frac (2 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 5) (3 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 3) = \ frac (1) (5 \ cdot 2 \ cdot 2) = \ frac (1) (20) \]

பதில்:$ \ frac (1) (20). $

பின்னங்களைப் பெருக்கும்போது, நீங்கள் இடப்பெயர்ச்சி சட்டத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:

ஒரு சாதாரண பின்னத்தை இயற்கையான எண்ணால் பெருக்கல்

பெருக்கல் விதி பொதுவான பின்னம்இயற்கை எண்ணுக்கு:

ஒரு இயற்கையான எண்ணால் ஒரு பகுதியை பெருக்குவதன் விளைவாக, பின்னத்தின் எண்கணிதத்தின் தயாரிப்புக்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு பின்னமானது இயற்கையான எண்ணால் பெருக்கப்படும்.

$ \ frac (a) (b) $ என்பது ஒரு சாதாரண பின்னமாகும், $ n $ என்பது இயற்கையான எண்.

உதாரணம் 4

$ \ Frac (3) (17) $ ஐ $ 4 $ ஆல் பெருக்கவும்.

தீர்வு

ஒரு சாதாரண பின்னத்தை இயற்கையான எண்ணால் பெருக்கும் விதியைப் பயன்படுத்துவோம்:

\ [\ frac (3) (17) \ cdot 4 = \ frac (3 \ cdot 4) (17) = \ frac (12) (17) \]

பதில்:$ \ frac (12) (17). $

ஒரு பகுதியை ரத்து செய்வதன் மூலம் அல்லது முறையற்ற பின்னம் மூலம் பெருக்கத்தின் முடிவை சரிபார்க்க மறக்காதீர்கள்.

உதாரணம் 5

பின்னம் $ \ frac (7) (15) $ 3 $ மூலம் பெருக்கவும்.

தீர்வு

ஒரு பகுதியை இயற்கையான எண்ணால் பெருக்க சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (21) (15) \]

$ 3 $ என்ற எண்ணால் வகுப்பதன் மூலம், இதன் பின்னம் குறைக்கப்படலாம் என்பதை நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியும்:

\ [\ frac (21) (15) = \ frac (21: 3) (15: 3) = \ frac (7) (5) \]

இதன் விளைவாக, எங்களுக்கு ஒரு தவறான பின்னம் கிடைத்தது. முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுப்போம்:

\ [\ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (5) \]

குறுகிய தீர்வு:

\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (21) (15) = \ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (5) \]

எண் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள எண்களை முதன்மை காரணிகளாக சிதைப்பதன் மூலம் மாற்றுவதன் மூலம் பின்னங்களைக் குறைக்க முடியும். இந்த வழக்கில், தீர்வு பின்வருமாறு எழுதப்படலாம்:

\ [\ frac (7) (15) \ cdot 3 = \ frac (7 \ cdot 3) (15) = \ frac (7 \ cdot 3) (3 \ cdot 5) = \ frac (7) (5) = 1 \ frac (2) (5) \]

பதில்:$ 1 \ frac (2) (5). $

ஒரு பகுதியை இயற்கையான எண்ணால் பெருக்கும்போது, நீங்கள் இடப்பெயர்ச்சி சட்டத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:

சாதாரண பின்னங்களின் பிரிவு

பிரிவு செயல்பாடு என்பது பெருக்கத்தின் தலைகீழ் மற்றும் அதன் விளைவாக ஒரு பின்னம் ஆகும், இதன் மூலம் நீங்கள் இரண்டு பின்னங்களின் அறியப்பட்ட தயாரிப்பைப் பெற அறியப்பட்ட பின்னத்தை பெருக்க வேண்டும்.

இரண்டு பின்னங்களின் பிரிவு

சாதாரண பின்னங்களைப் பிரிப்பதற்கான விதி:வெளிப்படையாக, இதன் விளைவாக வரும் பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுத்தல் முக்கிய காரணிகளாக விரிவடைந்து குறைக்கப்படலாம்:

\ [\ frac (8 \ cdot 35) (15 \ cdot 12) = \ frac (2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 5 \ cdot 7) (3 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 3) = \ frac (2 \ cdot 7) (3 \ cdot 3) = \ frac (14) (9) \]

இதன் விளைவாக, ஒரு தவறான பின்னம் கிடைத்தது, அதில் இருந்து முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்:

\ [\ frac (14) (9) = 1 \ frac (5) (9) \]

பதில்:$ 1 \ frac (5) (9). $

இந்த கட்டுரையில், நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம் கலப்பு எண் பெருக்கல்... முதலில், கலப்பு எண்களைப் பெருக்குவதற்கான விதியை நாங்கள் குரல் கொடுப்போம் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கும்போது இந்த விதியின் பயன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். அடுத்து, கலப்பு எண் மற்றும் இயற்கை எண்ணைப் பெருக்குவது பற்றி பேசலாம். இறுதியாக, ஒரு கலப்பு எண் மற்றும் ஒரு சாதாரண பின்னத்தின் பெருக்கத்தை எவ்வாறு செய்வது என்று கற்றுக்கொள்வோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

கலப்பு எண்களின் பெருக்கல்.

கலப்பு எண்களின் பெருக்கல்சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கத்திற்கு குறைக்க முடியும். இதைச் செய்ய, கலப்பு எண்களை தவறான பின்னங்களாக மொழிபெயர்க்க போதுமானது.

எழுதுவோம் கலப்பு எண் பெருக்கல் விதி:

முதலில், பெருக்கப்பட வேண்டிய கலப்பு எண்கள் தவறான பின்னங்களுடன் மாற்றப்பட வேண்டும்;
இரண்டாவதாக, ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கும் விதியை நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும்.

ஒரு கலப்பு எண்ணை ஒரு கலப்பு எண்ணால் பெருக்கும்போது இந்த விதியைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

கலப்பு எண்களை பெருக்கவும்.

முதலில், கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாகப் பெருக்க வேண்டும்: மற்றும் ... இப்போது கலப்பு எண்களின் பெருக்கத்தை சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கத்துடன் மாற்றலாம்: ... பின்னங்களின் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்தினால், நமக்கு கிடைக்கும் ... விளைந்த பின்னம் மீளமுடியாதது (ரத்துசெய்யக்கூடிய மற்றும் ரத்துசெய்ய முடியாத பின்னங்களைப் பார்க்கவும்), ஆனால் அது தவறானது (சரியான மற்றும் தவறான பின்னங்களைப் பார்க்கவும்), எனவே இறுதி பதிலைப் பெற, முழுப் பகுதியைப் பொருத்தமற்ற பின்னத்திலிருந்து பிரிக்க வேண்டும்:

முழு தீர்வையும் ஒரே வரியில் எழுதுவோம்:

கலப்பு எண்களை பெருக்கும் திறன்களை ஒருங்கிணைக்க, மற்றொரு உதாரணத்தின் தீர்வைக் கவனியுங்கள்.

பெருக்கல் செய்யவும்.

வேடிக்கையான எண்கள் மற்றும் 13/5 மற்றும் 10/9 பின்னங்களுக்கு சமமாக இருக்கும். பிறகு ... இந்த கட்டத்தில், பின்னத்தைக் குறைப்பது பற்றி நினைவில் கொள்ள வேண்டிய நேரம் இது: பின்னத்தில் உள்ள அனைத்து எண்களையும் அவற்றின் சிதைவுகளுடன் முக்கிய காரணிகளாக மாற்றுவோம், அதே காரணிகளைக் குறைப்போம்.

கலப்பு எண் மற்றும் இயற்கை எண்ணின் பெருக்கல்

கலப்பு எண்ணை தவறான பின்னத்துடன் மாற்றிய பின், கலப்பு எண் மற்றும் இயற்கை எண்ணின் பெருக்கல்ஒரு சாதாரண பின்னம் மற்றும் இயற்கை எண்ணின் பெருக்கத்திற்கு குறைக்கப்பட்டது.

கலப்பு எண் மற்றும் இயற்கை எண் 45 ஐ பெருக்கவும்.

கலப்பு எண் பின்னம் சமம் ... இதன் விளைவாக வரும் பின்னத்தில் உள்ள எண்களை முதன்மை காரணிகளாக சிதைப்பதன் மூலம் மாற்றுவோம், குறைப்பைச் செய்வோம், பின்னர் முழு பகுதியைத் தேர்ந்தெடுப்போம்.

கூட்டல் தொடர்பாக பெருக்கலின் விநியோகச் சொத்தைப் பயன்படுத்தி கலப்பு எண்ணையும் இயற்கையான எண்ணையும் பெருக்க சில நேரங்களில் வசதியாக இருக்கும். இந்த வழக்கில், கலப்பு எண் மற்றும் இயற்கை எண்ணின் தயாரிப்பு கொடுக்கப்பட்ட இயற்கை எண்ணால் முழு எண் பகுதியின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும். .

தயாரிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

நாம் கலப்பு எண்ணை முழு எண் மற்றும் பின் பாகங்களின் கூட்டுத்தொகையுடன் மாற்றுவோம், அதன் பிறகு பெருக்கத்தின் விநியோகச் சொத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

கலப்பு எண் மற்றும் பின்னத்தின் பெருக்கல்சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கத்திற்கு அதை குறைப்பது மிகவும் வசதியானது, பெருக்கப்பட்ட கலப்பு எண்ணை தவறான பின்னமாக முன்வைக்கிறது.

கலப்பு எண்ணை பின்னம் 4/15 ஆல் பெருக்கவும்.

கலப்பு எண்ணை ஒரு பின்னத்துடன் மாற்றினால், நமக்கு கிடைக்கும் .

www.cleverstudents.ru

பின்னப் பெருக்கல்

பிரிவு 140. வரையறைகள்... 1) ஒரு முழு எண்ணால் பின்ன எண்ணைப் பெருக்குவது முழு எண்களின் பெருக்கத்தைப் போலவே வரையறுக்கப்படுகிறது, அதாவது: ஒரு முழு எண்ணால் (பெருக்கல்) சில எண்ணை (பெருக்கல்) பெருக்குவது என்பது ஒரே சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை உருவாக்குவதாகும், இதில் ஒவ்வொரு காலமும் பெருக்கிக்கு சமம், மற்றும் சொற்களின் எண்ணிக்கை பெருக்கிக்கு சமம்.

எனவே 5 ஆல் பெருக்குவது என்பது தொகையைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்.
2) சில எண்ணை (பெருக்கல்) ஒரு பகுதியால் (பெருக்கி) பெருக்கினால், பெருக்கத்தின் இந்த பகுதியை கண்டுபிடிப்பது என்று பொருள்.

இவ்வாறு, கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் ஒரு பகுதியைக் கண்டறிந்து, நாம் முன்பு கருத்தில் கொண்டதை, இப்போது நாம் ஒரு பகுதியால் பெருக்கல் என்று அழைப்போம்.

3) சில எண்ணை (பெருக்கல்) ஒரு கலப்பு எண்ணால் (பெருக்கி) பெருக்கினால் முதலில் பெருக்கின் முழு எண்ணால் பெருக்கி, பின்னர் பெருக்கத்தின் பின்னத்தால் பெருக்கப்பட்டு, இந்த இரண்டு பெருக்கங்களின் முடிவுகளை ஒன்றாக சேர்க்கவும்.

உதாரணத்திற்கு:

பெருக்கத்திற்குப் பிறகு பெறப்பட்ட எண் இந்த எல்லா நிகழ்வுகளிலும் அழைக்கப்படுகிறது தயாரிப்புஅதாவது, முழு எண்களை பெருக்கும்போது அதே வழியில்.

இந்த வரையறைகளிலிருந்து பின்ன எண்களின் பெருக்கல் என்பது எப்போதும் சாத்தியமான மற்றும் எப்போதும் தெளிவற்ற செயலாகும் என்பது தெளிவாகிறது.

1 141. இந்த வரையறைகளின் பயன்.பெருக்கத்தின் கடைசி இரண்டு வரையறைகளை எண்கணிதத்தில் அறிமுகப்படுத்துவதற்கான ஆலோசனையை புரிந்து கொள்ள, நாங்கள் பின்வரும் சிக்கலை எடுத்துக்கொள்கிறோம்:

பணி ரயில், சீராக நகர்ந்து, மணிக்கு 40 கி.மீ. இந்த ரயில் எத்தனை மணி நேரத்தில் எத்தனை கிலோமீட்டர் கடந்து செல்லும் என்பதை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?

முழு பெருக்கத்தின் எண்கணிதத்தில் (சம சொற்களைச் சேர்ப்பது) சுட்டிக்காட்டப்பட்ட அதே பெருக்கலின் வரையறையுடன் நாங்கள் இருந்திருந்தால், எங்கள் பிரச்சனைக்கு மூன்று வெவ்வேறு தீர்வுகள் இருக்கும், அதாவது:

கொடுக்கப்பட்ட மணிநேரங்கள் ஒரு முழு எண் (உதாரணமாக, 5 மணிநேரம்) என்றால், சிக்கலைத் தீர்க்க, இந்த மணிநேர எண்ணிக்கையால் 40 கிமீ பெருக்க வேண்டும்.

கொடுக்கப்பட்ட மணிநேரங்கள் ஒரு பின்னமாக வெளிப்படுத்தப்பட்டால் (உதாரணமாக, மணிநேரம்), பின்னர் நீங்கள் இந்த பின்னத்தின் மதிப்பை 40 கிமீ இருந்து கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

இறுதியாக, கொடுக்கப்பட்ட மணிநேரங்கள் கலந்தால் (எடுத்துக்காட்டாக, மணிநேரங்கள்), கலப்பு எண்ணில் உள்ள ஒரு முழு எண்ணால் 40 கிமீ பெருக்க வேண்டியது அவசியம், மேலும் இதன் விளைவாக 40 கிமீ ஒரு பகுதியை சேர்க்கவும் கலப்பு எண்.

நாங்கள் வழங்கிய வரையறைகள் இந்த சாத்தியமான எல்லா நிகழ்வுகளுக்கும் ஒரு பொதுவான பதிலைக் கொடுக்க அனுமதிக்கின்றன:

கொடுக்கப்பட்ட மணிநேரங்களால் 40 கிமீ பெருக்க வேண்டியது அவசியம்.

எனவே, பிரச்சனை வழங்கப்பட்டால் பொதுவான பார்வைஅதனால்:

ரயில், சீராக நகர்ந்து, ஒரு மணி நேரத்திற்கு கிமீ பயணம் செய்கிறது. டி மணி நேரத்தில் ரயில் எத்தனை கிலோமீட்டர் பயணிக்கும்?

பிறகு, v மற்றும் t எண்கள் எதுவாக இருந்தாலும், நாம் ஒரு பதிலைக் கூறலாம்: தேவையான எண் v · t என்ற சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

குறிப்பு. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் ஒரு பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க, எங்கள் வரையறையின்படி, இந்த பின்னத்தால் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணைப் பெருக்குவதைப் போன்றது; எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் 5% (அதாவது ஐநூறில் ஒரு பங்கு) ஐக் கண்டறிவது என்பது கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை பெருக்கினால் அல்லது அதே போல்; கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் 125% ஐக் கண்டறிவது அந்த எண்ணை பெருக்குவது போன்றது.

§ 142. பெருக்கலில் இருந்து எண்ணிக்கை எப்போது அதிகரிக்கும், எப்போது குறைகிறது என்பது பற்றிய குறிப்பு.

ஒரு வழக்கமான பின்னத்தால் பெருக்குவதால், எண்ணிக்கை குறைகிறது, மேலும் ஒரு முறையற்ற பின்னத்தால் பெருக்கினால், இந்த முறையற்ற பின்னம் ஒன்றுக்கு மேல் இருந்தால் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கிறது, மேலும் அது ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால் மாறாமல் இருக்கும்.
கருத்து பின்ன எண்களையும், முழு எண்களையும் பெருக்கும் போது, ஏதேனும் காரணிகள் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாக எடுக்கப்படும்.

§ 143. பெருக்கல் விதிகளின் வழித்தோன்றல்.

1) ஒரு முழு எண்ணால் ஒரு பகுதியை பெருக்குதல். பின்னம் 5 ஆல் பெருக்கப்படட்டும். இதன் பொருள் 5 மடங்கு அதிகரிக்கும். ஒரு பகுதியை 5 மடங்கு அதிகரிக்க, அதன் எண்களை அதிகரிக்க அல்லது அதன் வகுப்பை 5 மடங்கு குறைக்க போதுமானது (§ 127).

அதனால் தான்:
விதி 1. ஒரு முழு எண்ணால் ஒரு பகுதியை பெருக்க, நீங்கள் இந்த முழு எண்ணால் எண்ணை பெருக்க வேண்டும், மேலும் வகுப்பை அப்படியே விட்டுவிட வேண்டும்; அதற்கு பதிலாக, நீங்கள் கொடுக்கப்பட்ட முழு எண்ணால் (முடிந்தால்) பின்னத்தின் வகுப்பையும் பிரித்து எண்ணை அப்படியே விட்டுவிடலாம்.

கருத்து அதன் வகுப்பால் ஒரு பகுதியின் தயாரிப்பு அதன் எண்ணுக்கு சமம்.

அதனால்:
விதி 2. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் முழு எண்ணையும் பின்னத்தின் எண்களால் பெருக்க வேண்டும் மற்றும் இந்த தயாரிப்பை எண்கணிதமாக்க வேண்டும், மேலும் இந்த பின்னத்தின் வகுப்பைக் குறியாக கையொப்பமிட வேண்டும்.
விதி 3. ஒரு பின்னத்தை ஒரு பகுதியால் பெருக்க, நீங்கள் எண்ணை எண்களாலும், வகுப்பைக் குறிப்பாலும் பெருக்கி, முதல் தயாரிப்பை எண்ணாகவும், இரண்டாவது பொருளை உற்பத்தியாகவும் மாற்ற வேண்டும்.

கருத்து ஒரு முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணாகவும், ஒரு முழு எண்ணையும் ஒரு பகுதியால் பெருக்கவும் இந்த விதி பயன்படுத்தப்படலாம். அதனால்:

எனவே, இப்போது விவரிக்கப்பட்டுள்ள மூன்று விதிகள் ஒன்றில் உள்ளன, அவை பொது வடிவத்தில் பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படலாம்:
4) கலப்பு எண்களின் பெருக்கல்.

விதி 4. கலப்பு எண்களைப் பெருக்க, நீங்கள் அவற்றை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான விதிகளின்படி பெருக்க வேண்டும். உதாரணத்திற்கு:
4 144. பெருக்கத்தில் குறைப்பு... பின்னங்களைப் பெருக்கும்போது, முடிந்தால், பின்வரும் உதாரணங்களிலிருந்து பார்க்க முடியும் என, ஒரு ஆரம்பக் குறைப்பைச் செய்வது அவசியம்:

இத்தகைய குறைப்பு சாத்தியம், ஏனெனில் அதன் எண் மற்றும் வகுத்தல் அதே எண்ணிக்கையால் குறைக்கப்பட்டால் பின்னத்தின் மதிப்பு மாறாது.

5 145. காரணிகளின் மாற்றத்துடன் ஒரு வேலையின் மாற்றம்.பின்ன எண்களின் தயாரிப்பு, காரணிகள் மாறும்போது, முழு எண்ணின் (§ 53) உற்பத்தியைப் போலவே மாறும் ) அதே அளவு ...

எனவே, எடுத்துக்காட்டில் இருந்தால்:
பல பின்னங்களைப் பெருக்க, அவற்றின் எண்களை தங்களுக்குள்ளும் வகுத்து, தங்களுக்குள் உள்ள வகுப்புகளைப் பெருக்கி, முதல் தயாரிப்பை எண்கணிதமாகவும், இரண்டாவதை உற்பத்தியின் வகுப்பாகவும் ஆக்குவது அவசியம்.

கருத்து இந்த விதி அத்தகைய தயாரிப்புகளுக்கும் பயன்படுத்தப்படலாம், இதில் எண்ணின் சில காரணிகள் முழு எண்கள் அல்லது கலப்பு ஆகும், முழு எண்ணும் ஒரு வகுப்பாக இருக்கும் ஒரு பின்னமாக கருதப்பட்டால், கலப்பு எண்கள் தவறான பின்னங்களாக மாற்றப்படும் . உதாரணத்திற்கு:
7 147. பெருக்கத்தின் அடிப்படை பண்புகள்.முழு எண்களுக்கு (§ 56, 57, 59) நாங்கள் சுட்டிக்காட்டிய பெருக்கத்தின் பண்புகளும் பின்ன எண்களின் பெருக்கத்திற்கு சொந்தமானது. இந்த பண்புகளை குறிப்பிடுவோம்.

1) காரணிகளின் இடங்களை மாற்றுவதில் இருந்து வேலை மாறாது.

உதாரணத்திற்கு:

உண்மையில், முந்தைய பத்தியின் விதியின் படி, முதல் தயாரிப்பு ஒரு பின்னத்திற்கு சமம், மற்றும் இரண்டாவது ஒரு பின்னத்திற்கு சமம். ஆனால் இந்த பின்னங்கள் ஒன்றே, ஏனென்றால் அவற்றின் உறுப்பினர்கள் முழு காரணிகளின் வரிசையில் மட்டுமே வேறுபடுகிறார்கள், மேலும் காரணிகளின் இடங்கள் மாறும்போது முழு எண்களின் தயாரிப்பு மாறாது.

2) எந்தவொரு குழு காரணிகளும் ஒரு பொருளால் மாற்றப்பட்டால் தயாரிப்பு மாறாது.

உதாரணத்திற்கு:

முடிவுகள் ஒன்றே.

பெருக்கத்தின் இந்த சொத்திலிருந்து, ஒருவர் பின்வரும் முடிவை ஊகிக்க முடியும்:

தயாரிப்பு மூலம் சில எண்ணைப் பெருக்க, நீங்கள் இந்த எண்ணை முதல் காரணி மூலம் பெருக்கலாம், இதன் விளைவாக வரும் எண்ணை இரண்டாவது பெருக்கலாம்.

உதாரணத்திற்கு:
3) பெருக்கல் விநியோக சட்டம் (சேர்த்தல் தொடர்பாக). தொகையை சில எண்ணால் பெருக்க, நீங்கள் ஒவ்வொரு காலையும் தனித்தனியாக இந்த எண்ணால் பெருக்கி முடிவுகளைச் சேர்க்கலாம்.

இந்த சட்டத்தை (§ 59) முழு எண்களுக்கும் பொருந்தும் என நாங்கள் விளக்கியுள்ளோம். எந்த மாற்றமும் இல்லாமல் மற்றும் பின்ன எண்களுக்கு இது உண்மையாக உள்ளது.

உண்மையில், சமத்துவத்தைக் காண்பிப்போம்

(a + b + c +.) m = am + bm + cm +.

(கூட்டல் தொடர்பாக பெருக்கல் விநியோக சட்டம்) கடிதங்கள் பின்ன எண்களைக் குறிக்கும்போது கூட உண்மையாகவே இருக்கும். மூன்று நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

1) காரணி m என்பது ஒரு முழு எண் என்று முதலில் வைத்துக்கொள்வோம், எடுத்துக்காட்டாக, m = 3 (a, b, c - நீங்கள் விரும்பும் எண்கள்). ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்கல் வரையறையின் படி, நாம் எழுதலாம் (எளிமைக்காக மூன்று சொற்களுக்கு நம்மை கட்டுப்படுத்துதல்):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

கூட்டல் சேர்க்கை சட்டத்தின் அடிப்படையில், வலது பக்கத்தில் உள்ள அனைத்து அடைப்புகளையும் நாம் தவிர்க்கலாம்; சேர்த்தல் இடப்பெயர்ச்சி சட்டத்தைப் பயன்படுத்துதல், பின்னர் மீண்டும் கூட்டுச் சட்டம், நாம் வலது பக்கத்தை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

இதன் பொருள் இந்த வழக்கில் விநியோக சட்டம் உறுதி செய்யப்பட்டது.

பின்னங்களின் பெருக்கல் மற்றும் பிரிவு

இரண்டு பின்னங்களை பெருக்க, நீங்கள் தனித்தனியாக அவற்றின் எண்களையும் வகுப்புகளையும் பெருக்க வேண்டும். முதல் எண் புதிய பின்னத்தின் எண்களாகவும், இரண்டாவது எண் வகுப்பாகவும் இருக்கும்.

இரண்டு பின்னங்களை பிரிக்க, முதல் பின்னத்தை "தலைகீழ்" இரண்டாவது பெருக்க வேண்டும்.

வரையறையின்படி, எங்களிடம் உள்ளது:

முழு பின்னங்கள் மற்றும் எதிர்மறை பின்னங்களின் பெருக்கல்

பின்னங்களில் ஒரு முழு எண் பகுதி இருந்தால், அவை தவறானவையாக மாற்றப்பட வேண்டும் - பின்னர் மட்டுமே மேலே குறிப்பிடப்பட்டுள்ள திட்டங்களின்படி பெருக்கப்படும்.

பிளஸ் மற்றும் மைனஸ் ஒரு கழித்தல் கொடுக்கிறது;
இரண்டு எதிர்மறைகள் உறுதிப்படுத்துகின்றன.

மைனஸ்கள் முற்றிலும் மறைந்து போகும் வரை ஜோடிகளாக கடந்து செல்லுங்கள். ஒரு தீவிர வழக்கில், ஒரு மைனஸ் உயிர்வாழ முடியும் - ஜோடி இல்லாத ஒன்று;
குறைபாடுகள் எதுவும் இல்லை என்றால், செயல்பாடு முடிந்தது - நீங்கள் பெருக்கத் தொடங்கலாம். கடைசி மைனஸ் கடக்கப்படாவிட்டால், அதற்கு ஜோடி இல்லாததால், அதை பெருக்கத்தின் வரம்பிலிருந்து நகர்த்துகிறோம். நீங்கள் ஒரு எதிர்மறை பின்னத்தைப் பெறுவீர்கள்.

பணி வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியவும்:

பறக்கும்போது பின்னங்களைக் குறைத்தல்

பணி வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியவும்:

வரையறையின்படி, எங்களிடம் உள்ளது:

நீங்கள் அதை செய்ய முடியாது!

பின்னங்களின் பெருக்கல்.

ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் அல்லது ஒரு பகுதியை ஒரு எண்ணால் சரியாகப் பெருக்க, நீங்கள் எளிய விதிகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இந்த விதிகளை இப்போது விரிவாக ஆராய்வோம்.

ஒரு சாதாரண பின்னத்தை ஒரு பகுதியால் பெருக்கல்.

ஒரு பகுதியை ஒரு எண்ணால் பெருக்கல்.

முதலில், விதியை நினைவில் கொள்வோம் எந்த எண்ணையும் பின்னமாக குறிப்பிடலாம் \ (\ bf n = \ frac \).

பெருக்கும்போது இந்த விதியைப் பயன்படுத்துவோம்.

தவறான பின்னல் \ (\ frac = \ frac = \ frac + \ frac = 2 + \ frac = 2 \ frac \\\) கலப்பு பின்னமாக மாற்றப்பட்டது.

கலப்பு பின்னங்களின் பெருக்கல்.

பரஸ்பர பின்னங்கள் மற்றும் எண்களின் பெருக்கல்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை நான் எவ்வாறு பெருக்குவது?
பதில்: பின்னங்கள் ஒரே மாதிரியான அல்லது வேறுபட்ட வகுப்புகளைக் கொண்டிருந்தாலும் பரவாயில்லை, எண்ணின் உற்பத்தியை எண்களுடன், வகுப்பைக் கொண்ட வகுப்பைக் கண்டுபிடிக்கும் விதியின் படி பெருக்கல் ஏற்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு # 1:
தயாரிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்: a) \ (\ frac \ times \ frac \) b) \ (\ frac \ times \ frac \)

எடுத்துக்காட்டு # 2:
ஒரு எண் மற்றும் ஒரு பகுதியின் தயாரிப்புகளை கணக்கிடுங்கள்: a) \ (3 \ times \ frac \) b) \ (\ frac \ times 11 \)

எடுத்துக்காட்டு # 3:
பின்னத்தின் பரஸ்பரத்தை எழுதுங்கள் \ (\ frac \)?
பதில்: \ (\ frac = 3 \)

எடுத்துக்காட்டு # 4:
இரண்டு பரஸ்பர பின்னங்களின் உற்பத்தியைக் கணக்கிடுங்கள்: a) \ (\ frac \ times \ frac \)

தீர்வு:
அ) முதல் கேள்விக்கு பதிலளிக்க, ஒரு உதாரணம் கொடுக்கலாம். பின்னம் \ (\ frac \) ஒரு வழக்கமான பின்னமாகும், அதன் பரஸ்பரம் \ (\ frac \) - தவறான பின்னமாக இருக்கும். பதில் இல்லை.

ஆ) பின்னங்களின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து கணக்கீடுகளுக்கும், இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படவில்லை, ஆனால் சில எண்கள் ஒரே நேரத்தில் தவறான பின்னமாக இருப்பதற்கு நிபந்தனை அளிக்கிறது. உதாரணமாக, முறையற்ற பின்னம் \ (\ frac \), அதன் பரஸ்பரம் \ (\ frac \). நாம் இரண்டு ஒழுங்கற்ற பின்னங்களைப் பெறுகிறோம். பதில்: எண்களும் வகுப்பும் சமமாக இருக்கும்போது சில நிபந்தனைகளின் கீழ் எப்போதும் இல்லை.

c) இயற்கை எண்கள் எண்ணும்போது நாம் பயன்படுத்தும் எண்கள், எடுத்துக்காட்டாக, 1, 2, 3, .... நாம் \ (3 = \ frac \) என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொண்டால், அதன் பரஸ்பரம் \ (\ frac \). பின்னம் \ (\ frac \) இயற்கையான எண் அல்ல. நாம் எல்லா எண்களிலும் திரும்ப திரும்பச் சொன்னால், பரஸ்பரம் பெறுவது எப்போதுமே ஒரு பின்னமாகும், தவிர 1. நாம் எண் 1 ஐ எடுத்துக் கொண்டால், அதன் பரஸ்பரம் \ (\ frac = \ frac = 1 \). எண் 1 என்பது இயற்கையான எண். பதில்: இந்த எண் 1 ஆக இருந்தால் ஒரே சமயத்தில் மட்டுமே அவை இயற்கையான எண்களாக இருக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு # 6:
கலப்பு பின்னங்களின் தயாரிப்பைச் செய்யவும்: a) \ (4 \ முறை 2 \ frac \) b) \ (1 \ frac \ times 3 \ frac \)

தீர்வு:
a) \ (4 \ முறை 2 \ frac = \ frac \ times \ frac = \ frac = 11 \ frac \\\\ \)
b) \ (1 \ frac \ times 3 \ frac = \ frac \ times \ frac = \ frac = 4 \ frac \)

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். கலப்பு பின்னத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் \ (1 \ frac \), அதன் தலைகீழ் பின்னத்தைக் கண்டறியவும், இதற்காக நாம் அதை முறையற்ற பின்னமாக மாற்றுகிறோம் \ (1 \ frac = \ frac \). அதன் தலைகீழ் பின்னம் \ (\ frac \). பின்னம் \ (\ frac \) ஒரு வழக்கமான பின்னமாகும். பதில்: இரண்டு பரஸ்பர தலைகீழ் பின்னங்கள் ஒரே நேரத்தில் கலப்பு எண்களாக இருக்க முடியாது.

இயற்கையான எண்ணால் தசம பெருக்கல்

பாடம் வழங்கல்

கவனம்! ஸ்லைடு முன்னோட்டங்கள் தகவல் நோக்கங்களுக்காக மட்டுமே மற்றும் அனைத்து விளக்கக்காட்சி விருப்பங்களையும் குறிக்காது. நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால் இந்த வேலைதயவுசெய்து முழு பதிப்பையும் பதிவிறக்கவும்.

ஒரு தசம பகுதியை இயற்கையான எண், ஒரு இலக்க அலகு மற்றும் ஒரு தசம பகுதியை ஒரு சதவீதமாக வெளிப்படுத்தும் விதியை மாணவர்களுக்கு ஒரு வேடிக்கையான வடிவத்தில் அறிமுகப்படுத்துங்கள். எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது பெறப்பட்ட அறிவைப் பயன்படுத்துவதற்கான திறனை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்.
மாணவர்களின் தர்க்கரீதியான சிந்தனையை வளர்த்தல் மற்றும் செயல்படுத்துதல், வடிவங்களை அடையாளம் கண்டு அவற்றை பொதுமைப்படுத்துதல், நினைவாற்றலை வலுப்படுத்துதல், ஒத்துழைக்கும் திறன், உதவி வழங்குதல், அவர்களின் வேலை மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் வேலை ஆகியவற்றை மதிப்பீடு செய்தல்.
கணிதம், செயல்பாடு, இயக்கம், தகவல் தொடர்பு திறன் ஆகியவற்றில் ஆர்வத்தை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்.

உபகரணங்கள்:ஊடாடும் ஒயிட்போர்டு, சைபர்கிராம் கொண்ட சுவரொட்டி, கணிதவியலாளர்களின் அறிக்கைகள் கொண்ட சுவரொட்டிகள்.

நேரத்தை ஒழுங்கமைத்தல்.
வாய்வழி எண்ணுதல் என்பது முன்னர் படித்த பொருளின் ஒரு பொதுமைப்படுத்தல், புதிய பொருள் ஆய்வுக்கான தயாரிப்பு.
புதிய பொருளின் விளக்கம்.
வீட்டு ஒதுக்கீடு.
கணித உடல் கல்வி நிமிடம்.
கணினியைப் பயன்படுத்தி விளையாட்டு வடிவத்தில் வாங்கிய அறிவை பொதுமைப்படுத்துதல் மற்றும் முறைப்படுத்தல்.
தரப்படுத்தல்

2. நண்பர்களே, இன்று எங்கள் பாடம் ஓரளவு அசாதாரணமாக இருக்கும், ஏனென்றால் நான் அதை தனியாக கற்பிக்க மாட்டேன், ஆனால் என் நண்பருடன். என் நண்பரும் அசாதாரணமானவர், இப்போது நீங்கள் அவரைப் பார்ப்பீர்கள். (ஒரு கார்ட்டூன் கணினி திரையில் தோன்றும்.) என் நண்பருக்கு ஒரு பெயர் இருக்கிறது, பேச முடியும். நண்பா, உன் பெயர் என்ன? கொம்போஷா பதிலளிக்கிறார்: "என் பெயர் கொம்போஷா." இன்று எனக்கு உதவ நீங்கள் தயாரா? ஆம்! சரி, பாடத்தைத் தொடங்குவோம்.

இன்று நான் ஒரு மறைகுறியாக்கப்பட்ட சைபர்கிராம் பெற்றுள்ளேன், நண்பர்களே, நாங்கள் ஒன்றாக தீர்க்க வேண்டும் மற்றும் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். (தசம பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் வாய்வழி எண்ணுடன் பலகையில் ஒரு சுவரொட்டி ஒட்டப்பட்டுள்ளது, இதன் விளைவாக தோழர்களுக்கு பின்வரும் குறியீடு கிடைக்கும் 523914687. )

பெறப்பட்ட குறியீட்டை புரிந்துகொள்ள கம்போஷா உதவுகிறது. டிகோடிங்கின் விளைவாக, MULTIPLICATION என்ற வார்த்தை பெறப்பட்டது. இன்றைய பாடத்திற்கு பெருக்கல் முக்கிய வார்த்தை. பாடத்தின் தலைப்பு மானிட்டரில் காட்டப்படும்: "ஒரு தசம பின்னத்தை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குதல்"

நண்பர்களே, பெருக்கல் எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பது எங்களுக்குத் தெரியும் இயற்கை எண்கள்... இன்று நாம் தசம எண்களை இயற்கையான எண்ணால் பெருக்குவதைப் பார்ப்போம். ஒரு தசம பின்னத்தை இயற்கையான எண்ணால் பெருக்குவது என்பது சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் கருதப்படலாம், ஒவ்வொன்றும் இந்த தசம பின்னத்திற்கு சமம், மற்றும் சொற்களின் எண்ணிக்கை இந்த இயற்கை எண்ணுக்கு சமம். உதாரணமாக: 5.21 · 3 = 5.21 + 5.11 + 5.21 = 15.63 எனவே, 5.21 · 3 = 15.63. இயற்கையான எண்ணால் 5.21 ஐ ஒரு சாதாரண பின்னமாகப் பிரதிநிதித்துவம் செய்தால், நமக்கு கிடைக்கும்

இந்த வழக்கில் நாங்கள் அதே முடிவைப் பெற்றோம் 15.63. இப்போது, கமாவைப் பொருட்படுத்தாமல், நாம் 5.21 என்ற எண்ணுக்குப் பதிலாக 521 என்ற எண்ணை எடுத்து இந்த இயற்கை எண்ணால் பெருக்கலாம். ஒரு காரணியில், கமா இரண்டு இடங்களை வலது பக்கம் நகர்த்தியதை இங்கே நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். 5, 21 மற்றும் 3 எண்களைப் பெருக்கும்போது, தயாரிப்பு 15.63 க்கு சமம். இப்போது, இந்த எடுத்துக்காட்டில், கமாவை இடதுபுறமாக இரண்டு இடங்களுக்கு நகர்த்துவோம். இவ்வாறு, ஒரு காரணி எத்தனை முறை அதிகரிக்கப்பட்டது, தயாரிப்பு பல மடங்கு குறைக்கப்பட்டது. இந்த முறைகளின் ஒற்றுமையின் அடிப்படையில், நாங்கள் ஒரு முடிவுக்கு வருகிறோம்.

பெருக்க தசமஇயற்கையான எண்ணுக்கு, உங்களுக்குத் தேவை:
1) கமாவைப் புறக்கணித்து, இயற்கை எண்களின் பெருக்கத்தைச் செய்யுங்கள்;
2) விளைந்த தயாரிப்பில், தசமப் பகுதியிலுள்ள பல இலக்கங்களைப் போல வலதுபுறத்தில் கமாவால் பிரிக்கவும்.

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகள் மானிட்டரில் காட்டப்படும், நாங்கள் கொம்போச் மற்றும் தோழர்களுடன் சேர்ந்து பகுப்பாய்வு செய்கிறோம்: 5.21 · 3 = 15.63 மற்றும் 7.624 · 15 = 114.34. சுற்று எண் 12.6 50 = 630 ஆல் பெருக்கத்தைக் காட்டுகிறேன். அடுத்து, தசம பின்னத்தை இலக்க அலகு மூலம் பெருக்க நான் திரும்புகிறேன். நான் பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளைக் காட்டுகிறேன்: 7.423 · 100 = 742.3 மற்றும் 5.2 · 1000 = 5200. எனவே, ஒரு தசம பகுதியை ஒரு இலக்க அலகு மூலம் பெருக்குவதற்கான விதியை நான் அறிமுகப்படுத்துகிறேன்:

ஒரு தசமத்தை பெருக்க பிட் அலகுகள் 10, 100, 1000, முதலியன, பிட் யூனிட்டின் பதிவில் பூஜ்ஜியங்கள் இருப்பதைப் போல இந்த பின்னத்தில் கமாவை வலப்புறம் நகர்த்துவது அவசியம்.

தசம சதவீதத்துடன் விளக்கத்தை முடிக்கிறேன். நான் விதியை அறிமுகப்படுத்துகிறேன்:

ஒரு தசம பகுதியை ஒரு சதவீதமாக வெளிப்படுத்த, நீங்கள் அதை 100 ஆல் பெருக்க வேண்டும் மற்றும்% குறியீட்டை ஒதுக்க வேண்டும்.

நான் கம்ப்யூட்டரில் 0.5 · 100 = 50 அல்லது 0.5 = 50%ஒரு உதாரணம் தருகிறேன்.

4. விளக்கத்தின் முடிவில், நான் தோழர்களுக்கு கொடுக்கிறேன் வீட்டு பாடம், இது கணினி மானிட்டரிலும் காட்டப்படும்: № 1030, № 1034, № 1032.

5. தோழர்கள் சிறிது ஓய்வெடுக்க, தலைப்பை ஒருங்கிணைக்க, நாங்கள் கோமோஷாவுடன் ஒரு கணித உடற்கல்வியைச் செய்கிறோம். எல்லோரும் எழுந்து நிற்கிறார்கள், வகுப்பில் தீர்க்கப்பட்ட உதாரணங்களை நான் காட்டுகிறேன், உதாரணம் சரியாக தீர்க்கப்பட்டதா இல்லையா என்பதை அவர்கள் பதிலளிக்க வேண்டும். உதாரணம் சரியாக இருந்தால், அவர்கள் கைகளைத் தலைக்கு மேல் உயர்த்தி, உள்ளங்கைகளைத் தட்டுகிறார்கள். உதாரணம் சரியாக தீர்க்கப்படாவிட்டால், தோழர்கள் தங்கள் கைகளை பக்கங்களுக்கு நீட்டி விரல்களை பிசையவும்.

6. இப்போது உங்களுக்கு கொஞ்சம் ஓய்வு உள்ளது, நீங்கள் பணிகளை தீர்க்க முடியும். பக்கம் 205 டுடோரியலைத் திறக்கவும், № 1029. இந்த பணியில், வெளிப்பாடுகளின் மதிப்பை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும்:

பணிகள் கணினியில் தோன்றும். அவை தீர்க்கப்படும்போது, படகின் உருவத்துடன் ஒரு படம் தோன்றுகிறது, அது முழுமையாக கூடியதும், மிதக்கிறது.

கணினியில் இந்த பணியை தீர்க்க, ராக்கெட் படிப்படியாக உருவாகிறது, கடைசி உதாரணத்தை தீர்க்கிறது, ராக்கெட் பறக்கிறது. ஆசிரியர் மாணவர்களுக்கு ஒரு சிறிய தகவலைத் தருகிறார்: “ஒவ்வொரு வருடமும் கஜாக் நிலத்திலிருந்து பைக்கோனூர் காஸ்மோட்ரோமில் இருந்து அவர்கள் நட்சத்திரங்களுக்கு எடுத்துச் செல்கிறார்கள். விண்கலங்கள்... கஜகஸ்தான் தனது புதிய பைடெரெக் காஸ்மோட்ரோம் பைக்கோனூர் அருகே கட்டுகிறது.

ஒரு பயணிகள் காரின் வேகம் 74.8 கிமீ / மணி என்றால் 4 மணி நேரத்தில் ஒரு பயணி கார் கடக்கும் தூரம் என்ன?

பரிசு சான்றிதழ் உங்கள் ஆத்மார்த்தி, நண்பர்கள், ஊழியர்கள், உறவினர்களுக்கு என்ன வழங்குவது என்று தெரியவில்லையா? எங்கள் சிறப்பு சலுகையைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்: "கன்ட்ரி ஹோட்டலின் பரிசு சான்றிதழ்" ப்ளூ ஒசோகா ". சான்றிதழ் கொடுக்கிறது [...]

எரிவாயு மீட்டர் மாற்று: செலவு மற்றும் மாற்று விதிகள், சேவை வாழ்க்கை, ஆவணங்களின் பட்டியல் ஒவ்வொரு ரியல் எஸ்டேட் உரிமையாளரும் ஒரு எரிவாயு மீட்டரின் உயர்தர செயல்திறனில் ஆர்வமாக உள்ளனர். அது சரியான நேரத்தில் மாற்றப்படாவிட்டால், [...]

2018 ஆம் ஆண்டில் கிராஸ்னோடர் மற்றும் கிராஸ்னோடர் பிரதேசத்தில் குழந்தைகளின் நன்மைகள் குபனின் குடியேற்றம் மற்றும் பிறப்பு விகிதத்தின் அதிகரிப்பு காரணமாக சூடான மக்கள் தொகை (ரஷ்யாவின் பல பகுதிகளுடன் ஒப்பிடுகையில்) தொடர்ந்து வளர்ந்து வருகிறது. இருப்பினும், பொருளின் அதிகாரம் [...]

2018 இல் இராணுவ ஊழியர்களுக்கான ஊனமுற்ற ஓய்வூதியம் என்பது இராணுவ சேவையானது ஆரோக்கியத்திற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட ஆபத்தால் வகைப்படுத்தப்படும் ஒரு செயலாகும். எனவே, சட்டத்தில் இரஷ்ய கூட்டமைப்புமாற்றுத்திறனாளிகளை பராமரிக்க சிறப்பு நிபந்தனைகள் உள்ளன, [...]

2018 ஆம் ஆண்டில் சமாரா மற்றும் சமாரா பிராந்தியத்தில் குழந்தைகளுக்கான கொடுப்பனவுகள் சமாரா பிராந்தியத்தில் உள்ள இளம் குடியிருப்பாளர்களுக்கான நன்மைகள் பாலர் மற்றும் மாணவர்களை வளர்க்கும் குடிமக்களுக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன. நிதி ஒதுக்கும்போது, மட்டுமல்ல [...]

2018 ஆம் ஆண்டில் கிராஸ்னோடர் மற்றும் கிராஸ்னோடர் பிரதேசத்தில் வசிப்பவர்களுக்கு ஓய்வூதிய வழங்கல் சட்டத்தால் அங்கீகரிக்கப்பட்ட ஊனமுற்ற நபர்கள் மாநிலத்திலிருந்து பொருள் ஆதரவைப் பெறுகிறார்கள். பட்ஜெட் நிதிக்கு விண்ணப்பிக்கவும் [...]

2018 ஆம் ஆண்டில் செல்லியாபின்ஸ்க் மற்றும் செல்லியாபின்ஸ்க் பிராந்தியத்தில் வசிப்பவர்களுக்கு ஓய்வூதிய வழங்கல் சட்டத்தால் குறிப்பிடப்பட்ட வயதில், குடிமக்களுக்கு ஓய்வூதிய சலுகைகளுக்கு உரிமை உண்டு. இது வித்தியாசமாக இருக்கலாம் மற்றும் நியமனத்தின் நிபந்தனைகள் வேறுபட்டிருக்கலாம். உதாரணத்திற்கு, […]

2018 இல் மாஸ்கோ பிராந்தியத்தில் குழந்தைகளுக்கான கொடுப்பனவுகள் மாஸ்கோ பிராந்தியத்தின் சமூகக் கொள்கை கருவூலத்திலிருந்து கூடுதல் ஆதரவு தேவைப்படும் குடும்பங்களை அடையாளம் காண்பதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது. 2018 இல் குழந்தைகளைக் கொண்ட குடும்பங்களுக்கான கூட்டாட்சி ஆதரவு நடவடிக்கைகள் [...]