அடிப்படை செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளின் பட்டியல். எதிர் வழிவகை
அடிப்படை செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளை நாங்கள் பட்டியலிடுகிறோம், அவை சில நேரங்களில் அட்டவணை என்று அழைக்கப்படுகின்றன:
மேலே உள்ள எந்தவொரு சூத்திரத்தையும் வலது பக்கத்தின் வழித்தோன்றல் மூலம் நிரூபிக்க முடியும் (இதன் விளைவாக, ஒருங்கிணைப்பு பெறப்படும்).
ஒருங்கிணைப்பு முறைகள்
சில அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். இவற்றில் அடங்கும்:
1. சிதைவு முறை(நேரடி ஒருங்கிணைப்பு).
இந்த முறை அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகளின் நேரடி பயன்பாட்டின் அடிப்படையிலும், காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் 4 மற்றும் 5 பண்புகளின் பயன்பாட்டின் அடிப்படையிலும் உள்ளது (அதாவது, அடைப்புக்குறியிலிருந்து நிலையான காரணியை எடுத்துக்கொள்வது மற்றும் / அல்லது ஒருங்கிணைப்பை செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிக்கிறது - ஒருங்கிணைப்பை விதிமுறைகளாக விரிவுபடுத்துதல்).
எடுத்துக்காட்டு 1எடுத்துக்காட்டாக, (dx/x 4) ஐக் கண்டறிய, x n dxக்கான அட்டவணையை நேரடியாகப் பயன்படுத்தலாம். உண்மையில், (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
இன்னும் சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு 2கண்டுபிடிக்க, நாங்கள் அதே ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
உதாரணம் 3கண்டுபிடிக்க நீங்கள் எடுக்க வேண்டும்
எடுத்துக்காட்டு 4கண்டுபிடிக்க, படிவத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கிறோம் 
மற்றும் அதிவேக செயல்பாட்டிற்கு அட்டவணை ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தவும்:
நிலையான காரணி அடைப்புக்குறியின் பயன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.
எடுத்துக்காட்டு 5
உதாரணமாக, கண்டுபிடிப்போம் 
. அதைக் கருத்தில் கொண்டு, நாம் பெறுகிறோம்
எடுத்துக்காட்டு 6கண்டுபிடிப்போம். இது வரையில் 
, டேபிள் இன்டெகிராலைப் பயன்படுத்துகிறோம் 
பெறு
பின்வரும் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளில் அடைப்புக்குறிகள் மற்றும் அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகளையும் நீங்கள் பயன்படுத்தலாம்:
எடுத்துக்காட்டு 7
(நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் 
);
எடுத்துக்காட்டு 8
(நாம் பயன்படுத்த 
மற்றும் 
).
கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்தும் மிகவும் சிக்கலான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு 9உதாரணமாக, கண்டுபிடிப்போம் 
. எண்கணிதத்தில் விரிவாக்க முறையைப் பயன்படுத்த, நாம் சம் க்யூப் ஃபார்முலா ஐப் பயன்படுத்துகிறோம், அதன் விளைவாக வரும் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சொல்லை காலத்தால் வகுப்பால் வகுக்கிறோம்.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
தீர்வு முடிவில் ஒரு பொதுவான மாறிலி C எழுதப்பட்டுள்ளது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் (ஒவ்வொரு காலத்தையும் ஒருங்கிணைக்கும் போது தனித்தனியாக இல்லை). எதிர்காலத்தில், தீர்வு செயல்பாட்டில் தனிப்பட்ட சொற்களின் ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து மாறிலிகளை தவிர்க்கவும் முன்மொழியப்பட்டது, வெளிப்பாடு குறைந்தபட்சம் ஒன்றைக் கொண்டிருக்கும் வரை காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு(தீர்வின் முடிவில் ஒரு மாறிலியை எழுதுவோம்).
எடுத்துக்காட்டு 10கண்டுபிடிப்போம் 
. இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்க, நாம் எண்ணிக்கையை காரணியாக்குகிறோம் (அதன் பிறகு, வகுப்பைக் குறைக்கலாம்).
எடுத்துக்காட்டு 11.கண்டுபிடிப்போம். முக்கோணவியல் அடையாளங்களை இங்கே பயன்படுத்தலாம்.
சில நேரங்களில், ஒரு வெளிப்பாட்டை சொற்களாக சிதைக்க, நீங்கள் மிகவும் சிக்கலான நுட்பங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டு 12.கண்டுபிடிப்போம் 
. ஒருங்கிணைப்பில், பின்னத்தின் முழு எண் பகுதியைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம் 
. பிறகு
எடுத்துக்காட்டு 13கண்டுபிடிப்போம்
2. மாறி மாற்று முறை (மாற்று முறை)
இந்த முறை பின்வரும் சூத்திரத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது: f(x)dx=f((t))`(t)dt, இதில் x =(t) என்பது கருதப்படும் இடைவெளியில் வேறுபடக்கூடிய ஒரு சார்பாகும்.
ஆதாரம். சூத்திரத்தின் இடது மற்றும் வலது பகுதிகளிலிருந்து டி மாறியைப் பொறுத்து வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்.
இடது பக்கத்தில் ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு உள்ளது, அதன் இடைநிலை வாதம் x = (t) ஆகும். எனவே, t ஐப் பொறுத்து அதை வேறுபடுத்துவதற்கு, முதலில் x ஐப் பொறுத்து ஒருங்கிணைப்பை வேறுபடுத்துகிறோம், பின்னர் t ஐப் பொறுத்து இடைநிலை வாதத்தின் வழித்தோன்றலை எடுத்துக்கொள்கிறோம்.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
வலது பக்கத்தின் வழித்தோன்றல்:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
இந்த வழித்தோன்றல்கள் சமமாக இருப்பதால், லாக்ரேஞ்ச் தேற்றத்தின் ஒரு இணைப்பால், நிரூபிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தின் இடது மற்றும் வலது பகுதிகள் சில மாறிலிகளால் வேறுபடுகின்றன. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள் ஒரு காலவரையற்ற நிலையான சொல் வரை வரையறுக்கப்படுவதால், இந்த மாறிலியை இறுதிக் குறிப்பில் தவிர்க்கலாம். நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.
மாறியின் வெற்றிகரமான மாற்றம், அசல் ஒருங்கிணைப்பை எளிதாக்க அனுமதிக்கிறது, மேலும் எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில் அதை அட்டவணையாகக் குறைக்கிறது. இந்த முறையின் பயன்பாட்டில், நேரியல் மற்றும் நேரியல் அல்லாத மாற்று முறைகள் வேறுபடுகின்றன.
a) நேரியல் மாற்று முறைஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு 1
. Lett= 1 – 2x, பிறகு
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
புதிய மாறி வெளிப்படையாக எழுதப்பட வேண்டியதில்லை என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், வேற்றுமையின் அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு செயல்பாட்டின் மாற்றம் அல்லது வேறுபாட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் மாறிலிகள் மற்றும் மாறிகளின் அறிமுகம் பற்றி ஒருவர் பேசுகிறார், அதாவது. பற்றி மறைமுக மாறி மாற்று.
எடுத்துக்காட்டு 2எடுத்துக்காட்டாக, cos(3x + 2)dx ஐக் கண்டுபிடிப்போம். வேறுபாடு dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), பின்னர்cos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
கருதப்பட்ட இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளிலும், நேர்கோட்டு மாற்று t=kx+b(k0) ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறிய பயன்படுத்தப்பட்டது.
பொது வழக்கில், பின்வரும் தேற்றம் உள்ளது.
நேரியல் மாற்று தேற்றம். F(x) செயல்பாட்டிற்கு F(x) சில எதிர்வழியாக இருக்கட்டும். பிறகுf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, இதில் k மற்றும் b சில மாறிலிகள்,k0.
ஆதாரம்.
f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C இன் வரையறையின்படி. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. ஒருங்கிணைந்த குறிக்கான நிலையான காரணி k ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம்: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. இப்போது நாம் சமத்துவத்தின் இடது மற்றும் வலது பகுதிகளை k ஆல் வகுத்து, நிலையான காலத்தின் குறியீடாக நிரூபிக்கப்பட வேண்டிய உறுதிமொழியைப் பெறலாம்.
ஒருங்கிணைந்த f(x)dx= F(x) + C இன் வரையறையில் வெளிப்பாடு (kx+b) மாற்றியமைக்கப்பட்டால், இது முன்னால் 1/k என்ற கூடுதல் காரணி தோன்றுவதற்கு வழிவகுக்கும் என்று இந்த தேற்றம் கூறுகிறது. ஆண்டிடெரிவேட்டிவ்.
நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கிறோம்.
உதாரணம் 3
கண்டுபிடிப்போம் 
. இங்கே kx+b= 3 –x, அதாவது k= -1,b= 3. பிறகு
எடுத்துக்காட்டு 4
கண்டுபிடிப்போம். இங்கே kx+b= 4x+ 3, அதாவது k= 4,b= 3. பிறகு
எடுத்துக்காட்டு 5
கண்டுபிடிப்போம் 
. இங்கே kx+b= -2x+ 7, அதாவது k= -2,b= 7. பிறகு
.
எடுத்துக்காட்டு 6கண்டுபிடிப்போம் 
. இங்கே kx+b= 2x+ 0, அதாவது k= 2,b= 0.
.
பெறப்பட்ட முடிவை எடுத்துக்காட்டு 8 உடன் ஒப்பிடுவோம், இது சிதைவு முறையால் தீர்க்கப்பட்டது. அதே சிக்கலை மற்றொரு முறை மூலம் தீர்த்து, பதில் கிடைத்தது 
. முடிவுகளை ஒப்பிடுவோம்: எனவே, இந்த வெளிப்பாடுகள் ஒரு நிலையான காலத்தால் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன 
, அதாவது பெறப்பட்ட பதில்கள் ஒன்றுக்கொன்று முரணாக இல்லை.
எடுத்துக்காட்டு 7கண்டுபிடிப்போம் 
. வகுப்பில் முழு சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்.
சில சந்தர்ப்பங்களில், மாறியின் மாற்றம் ஒரு அட்டவணைக்கு நேரடியாக ஒருங்கிணைப்பைக் குறைக்காது, ஆனால் அடுத்த கட்டத்தில் சிதைவு முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் தீர்வை எளிதாக்கலாம்.
எடுத்துக்காட்டு 8உதாரணமாக, கண்டுபிடிப்போம் 
. t=x+ 2 ஐ மாற்றவும், பின்னர் dt=d(x+ 2) =dx. பிறகு
,
C \u003d C 1 - 6 (t க்கு பதிலாக (x + 2) வெளிப்பாட்டிற்கு பதிலாக, முதல் இரண்டு சொற்களுக்கு பதிலாக, நாம் ½x 2 -2x - 6 ஐப் பெறுகிறோம்).
எடுத்துக்காட்டு 9கண்டுபிடிப்போம் 
. t= 2x+ 1, பிறகு dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2 என்று விடுங்கள்.
t க்குப் பதிலாக (2x + 1) வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறோம், அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து ஒத்தவற்றைக் கொடுக்கிறோம்.
மாற்றங்களின் செயல்பாட்டில் நாம் மற்றொரு நிலையான காலத்திற்கு சென்றோம், ஏனெனில் மாற்றங்களின் செயல்பாட்டில் நிலையான சொற்களின் குழு தவிர்க்கப்படலாம்.
ஆ) நேரியல் அல்லாத மாற்று முறைஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு 1
. t= -x 2 ஆக இருக்கட்டும். மேலும், ஒருவர் t இன் அடிப்படையில் x ஐ வெளிப்படுத்தலாம், பின்னர் dx க்கான வெளிப்பாட்டைக் கண்டுபிடித்து, விரும்பிய ஒருங்கிணைப்பில் மாறியின் மாற்றத்தை செயல்படுத்தலாம். ஆனால் இந்த விஷயத்தில் வேறுவிதமாக செய்வது எளிது. dt=d(-x 2) = -2xdxஐக் கண்டறியவும். xdx என்ற வெளிப்பாடு, விரும்பிய ஒருங்கிணைப்பின் ஒருங்கிணைப்பின் காரணியாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க. xdx= - ½dt என்ற சமநிலையிலிருந்து அதை வெளிப்படுத்துகிறோம். பிறகு
ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடு மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு
உண்மை 1. ஒருங்கிணைப்பு என்பது வேறுபாட்டின் எதிர்ச் செயலாகும், அதாவது, இந்தச் செயல்பாட்டின் அறியப்பட்ட வழித்தோன்றலில் இருந்து ஒரு செயல்பாட்டை மீட்டமைத்தல். செயல்பாடு இந்த வழியில் மீட்டமைக்கப்பட்டது எஃப்(எக்ஸ்) என்று அழைக்கப்படுகிறது பழமையானசெயல்பாட்டிற்கு f(எக்ஸ்).
வரையறை 1. செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ் f(எக்ஸ்) சில இடைவெளியில் எக்ஸ், அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் என்றால் எக்ஸ்இந்த இடைவெளியில் இருந்து சமத்துவம் எஃப் "(எக்ஸ்)=f(எக்ஸ்), அதாவது, இந்த செயல்பாடு f(எக்ஸ்) என்பது ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகும் எஃப்(எக்ஸ்). .
உதாரணமாக, செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) = பாவம் எக்ஸ் செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும் f(எக்ஸ்) = cos எக்ஸ் முழு எண் வரிசையில், x இன் எந்த மதிப்பிற்கும் (பாவம் எக்ஸ்)" = (காஸ் எக்ஸ்) .
வரையறை 2. ஒரு செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு f(எக்ஸ்) என்பது அதன் அனைத்து ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பாகும். இது குறிப்பைப் பயன்படுத்துகிறது
∫
f(எக்ஸ்)dx
,அடையாளம் எங்கே ∫ ஒருங்கிணைந்த அடையாளம், செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது f(எக்ஸ்) ஒரு ஒருங்கிணைந்த, மற்றும் f(எக்ஸ்)dx ஒருங்கிணைப்பு ஆகும்.
இவ்வாறு, என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) என்பது சில ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும் f(எக்ஸ்) , பிறகு
∫
f(எக்ஸ்)dx = எஃப்(எக்ஸ்) +சி
எங்கே சி - தன்னிச்சையான மாறிலி (நிலையான).
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பாக செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பின் பொருளைப் புரிந்து கொள்ள, பின்வரும் ஒப்புமை பொருத்தமானது. ஒரு கதவு இருக்கட்டும் (பாரம்பரியமானது மரக்கதவு) அதன் செயல்பாடு "கதவாக இருப்பது". கதவு எதனால் ஆனது? ஒரு மரத்திலிருந்து. இதன் பொருள், "ஒரு கதவாக இருத்தல்", அதாவது, அதன் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு, "ஒரு மரமாக இருத்தல் + C" என்ற செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பாகும், இதில் C என்பது ஒரு மாறிலி, இது இந்த சூழலில் குறிக்கலாம். உதாரணமாக, ஒரு மர இனம். சில கருவிகளைக் கொண்டு ஒரு கதவு மரத்தால் ஆனது போல, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல், எதிர்வழிச் செயல்பாட்டின் "உருவாக்கப்பட்டது" வழித்தோன்றலைப் படிப்பதன் மூலம் நாம் கற்றுக்கொண்ட சூத்திரம் .
பின்னர் பொதுவான பொருட்களின் செயல்பாடுகளின் அட்டவணை மற்றும் அவற்றுடன் தொடர்புடைய ஆதிநிலைகள் ("கதவாக இருப்பது" - "ஒரு மரமாக இருக்க வேண்டும்", "ஒரு கரண்டியாக இருக்க வேண்டும்" - "ஒரு உலோகமாக இருக்க வேண்டும்" போன்றவை) அட்டவணைக்கு ஒத்ததாக இருக்கும். அடிப்படை காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள், அவை கீழே கொடுக்கப்படும். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை பொதுவான செயல்பாடுகளை பட்டியலிடுகிறது, இந்த செயல்பாடுகள் "உருவாக்கப்பட்ட" ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் குறிக்கிறது. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிவதற்கான பணிகளின் ஒரு பகுதியாக, அத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகள் வழங்கப்படுகின்றன, அவை சிறப்பு முயற்சிகள் இல்லாமல் நேரடியாக ஒருங்கிணைக்கப்படலாம், அதாவது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையின்படி. மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்களில், ஒருங்கிணைப்பு முதலில் மாற்றப்பட வேண்டும், இதனால் அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தலாம்.
உண்மை 2. ஆண்டிடெரிவேடிவ் என ஒரு செயல்பாட்டை மீட்டமைக்க, நாம் தன்னிச்சையான மாறிலியை (நிலையான) கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். சி, மற்றும் 1 முதல் முடிவிலி வரையிலான பல்வேறு மாறிலிகள் கொண்ட ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் பட்டியலை எழுதாமல் இருக்க, நீங்கள் தன்னிச்சையான மாறிலியுடன் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பை எழுத வேண்டும். சி, இது போல்: 5 எக்ஸ்³+C. எனவே, ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி (நிலையானது) ஆண்டிடெரிவேடிவ் வெளிப்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, ஏனெனில் ஆண்டிடெரிவேடிவ் ஒரு செயல்பாடாக இருக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, 5 எக்ஸ்³+4 அல்லது 5 எக்ஸ்³+3 மற்றும் வேறுபடுத்தும் போது 4 அல்லது 3 அல்லது வேறு ஏதேனும் மாறிலி மறைந்துவிடும்.
ஒருங்கிணைப்பு சிக்கலை அமைத்துள்ளோம்: கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு f(எக்ஸ்) அத்தகைய செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் எஃப்(எக்ஸ்), யாருடைய வழித்தோன்றல்சமமாக உள்ளது f(எக்ஸ்).
எடுத்துக்காட்டு 1ஒரு செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பைக் கண்டறியவும்
தீர்வு. இந்தச் செயல்பாட்டிற்கு, ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என்பது செயல்பாடாகும்
செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் என்று அழைக்கப்படுகிறது f(எக்ஸ்) வழித்தோன்றல் என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) சமமாக உள்ளது f(எக்ஸ்), அல்லது, இது ஒன்றே, வேறுபாடு எஃப்(எக்ஸ்) சமமாக உள்ளது f(எக்ஸ்) dx, அதாவது
(2)
எனவே, செயல்பாடு செயல்பாட்டிற்கு எதிர் வழிவகை ஆகும். இருப்பினும், இது மட்டும் ஆண்டிடெரிவேடிவ் அல்ல. அவை செயல்பாடுகளும் கூட
எங்கே இருந்துஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி. இதை வேறுபாட்டின் மூலம் சரிபார்க்கலாம்.
எனவே, ஒரு செயல்பாட்டிற்கு ஒரு ஆன்டிடெரிவேடிவ் இருந்தால், அதற்கு ஒரு நிலையான கூட்டுத்தொகையால் வேறுபடும் எண்ணற்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் உள்ளன. ஒரு செயல்பாட்டிற்கான அனைத்து ஆன்டிடெரிவேடிவ்களும் மேலே உள்ள வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளன. இது பின்வரும் தேற்றத்திலிருந்து பின்வருமாறு.
தேற்றம் (உண்மை 2 இன் முறையான அறிக்கை).என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) என்பது செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும் f(எக்ஸ்) சில இடைவெளியில் எக்ஸ், பிறகு வேறு ஏதேனும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் f(எக்ஸ்) அதே இடைவெளியில் என குறிப்பிடலாம் எஃப்(எக்ஸ்) + சி, எங்கே இருந்துஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி.
பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில், காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகளுக்குப் பிறகு, பத்தி 3 இல் கொடுக்கப்படும் ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணைக்கு நாங்கள் ஏற்கனவே திரும்புகிறோம். முழு அட்டவணையுடன் நம்மைப் பழக்கப்படுத்துவதற்கு முன்பு இதைச் செய்கிறோம், இதனால் மேலே உள்ளவற்றின் சாராம்சம் தெளிவாக இருக்கும். அட்டவணை மற்றும் பண்புகளுக்குப் பிறகு, ஒருங்கிணைக்கும்போது அவற்றை முழுமையாகப் பயன்படுத்துவோம்.
எடுத்துக்காட்டு 2ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்புகளைக் கண்டறியவும்:
தீர்வு. இந்த செயல்பாடுகள் "உருவாக்கப்பட்ட" ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகளின் தொகுப்புகளை நாங்கள் காண்கிறோம். ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரங்களைக் குறிப்பிடும்போது, தற்போதைக்கு, அத்தகைய சூத்திரங்கள் உள்ளன என்பதை ஏற்றுக்கொள்ளுங்கள், மேலும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையை இன்னும் கொஞ்சம் விரிவாகப் படிப்போம்.
1) ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரத்தை (7) பயன்படுத்துதல் n= 3, நாம் பெறுகிறோம்
2) ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரம் (10) ஐப் பயன்படுத்துதல் n= 1/3, எங்களிடம் உள்ளது
3) முதல்
பின்னர் சூத்திரத்தின் படி (7) மணிக்கு n= -1/4 கண்டுபிடி
ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ், அவை செயல்பாட்டையே எழுதுவதில்லை f, மற்றும் வேறுபாட்டின் மூலம் அதன் தயாரிப்பு dx. ஆண்டிடெரிவேடிவ் எந்த மாறியைத் தேடுகிறது என்பதைக் குறிக்க இது முதன்மையாக செய்யப்படுகிறது. உதாரணத்திற்கு,
,
;
இங்கே இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் ஒருங்கிணைப்பு சமமாக இருக்கும், ஆனால் கருதப்படும் நிகழ்வுகளில் அதன் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள் வேறுபட்டதாக மாறிவிடும். முதல் வழக்கில், இந்த செயல்பாடு ஒரு மாறியின் செயல்பாடாக கருதப்படுகிறது எக்ஸ், மற்றும் இரண்டாவது - ஒரு செயல்பாடாக z .
ஒரு செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியும் செயல்முறை அந்த செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்
ஒரு வளைவைக் கண்டுபிடிக்க இது தேவையாக இருக்கட்டும் y=F(x)மற்றும் அதன் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடுகோடு சாய்வின் தொடுகோடு என்பது கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிவோம். f(x)இந்த புள்ளியின் abscissa.
வழித்தோன்றலின் வடிவியல் அர்த்தத்தின்படி, வளைவில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் தொடுகோடு சாய்வின் தொடுகோடு y=F(x)வழித்தோன்றலின் மதிப்புக்கு சமம் F"(x). எனவே, அத்தகைய செயல்பாட்டை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் F(x), எதற்காக F"(x)=f(x). பணியில் தேவையான செயல்பாடு F(x)இருந்து பெறப்படுகிறது f(x). பிரச்சனையின் நிலை ஒரு வளைவால் அல்ல, ஆனால் வளைவுகளின் குடும்பத்தால் திருப்தி அடைகிறது. y=F(x)- இந்த வளைவுகளில் ஒன்று மற்றும் வேறு எந்த வளைவையும் அச்சில் இணையான மொழிபெயர்ப்பு மூலம் பெறலாம் ஓ.
இன் ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை அழைப்போம் f(x)ஒருங்கிணைந்த வளைவு. என்றால் F"(x)=f(x), பின்னர் செயல்பாட்டின் வரைபடம் y=F(x)ஒரு ஒருங்கிணைந்த வளைவு ஆகும்.
உண்மை 3. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது அனைத்து ஒருங்கிணைந்த வளைவுகளின் குடும்பத்தால் வடிவியல் ரீதியாக குறிப்பிடப்படுகிறது கீழே உள்ள படத்தில் உள்ளது போல. தோற்றத்திலிருந்து ஒவ்வொரு வளைவின் தூரமும் தன்னிச்சையான மாறிலி (நிலையான) ஒருங்கிணைப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. சி.
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகள்
உண்மை 4. தேற்றம் 1. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் ஒருங்கிணைப்புக்குச் சமம், அதன் வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்புக்குச் சமம்.
உண்மை 5. தேற்றம் 2. ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு f(எக்ஸ்) செயல்பாட்டிற்கு சமம் f(எக்ஸ்) ஒரு நிலையான காலம் வரை , அதாவது
(3)
1 மற்றும் 2 கோட்பாடுகள் வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு ஆகியவை பரஸ்பர தலைகீழ் செயல்பாடுகள் என்பதைக் காட்டுகின்றன.
உண்மை 6. தேற்றம் 3. ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள நிலையான காரணி காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம் , அதாவது
முந்தைய பொருளில், வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான கேள்வி கருதப்பட்டது பல்வேறு பயன்பாடுகள்: வரைபடத்திற்கான தொடுகோட்டின் சாய்வைக் கணக்கிடுதல், தேர்வுமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது, மோனோடோனிசிட்டி மற்றும் எக்ஸ்ட்ரீமாவுக்கான செயல்பாடுகளைப் படிப்பது. $\nnewcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\nnewcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(ctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$
படம் 1.
$s(t)$ செயல்பாட்டின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்பட்ட, முன்னர் அறியப்பட்ட தூரம் பயணித்ததைப் பொறுத்து, வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி உடனடி வேகமான $v(t)$ ஐக் கண்டறிவதில் சிக்கல் கருதப்பட்டது.
படம் 2.
$v(t)$ புள்ளியின் வேகத்தை அறிந்து, $t$ நேரத்தில் ஒரு புள்ளியில் $s(t)$ பயணித்த பாதையை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டியிருக்கும் போது, தலைகீழ் பிரச்சனையும் மிகவும் பொதுவானது. நீங்கள் நினைவில் வைத்திருந்தால், உடனடி வேகமான $v(t)$ $s(t)$: $v(t)=s’(t)$ என்பதன் வழித்தோன்றலாகக் காணப்படுகிறது. இதன் பொருள், தலைகீழ் சிக்கலைத் தீர்க்க, அதாவது பாதையைக் கணக்கிட, நீங்கள் ஒரு செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதன் வழித்தோன்றல் வேக செயல்பாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும். ஆனால் பாதையின் வழித்தோன்றல் வேகம் என்பதை நாம் அறிவோம், அதாவது: $s'(t) = v(t)$. வேகம் முடுக்கம் மற்றும் நேரத்தின் தயாரிப்புக்கு சமம்: $v=at$. விரும்பிய பாதை செயல்பாடு படிவத்தைக் கொண்டிருக்கும் என்பதைத் தீர்மானிப்பது எளிது: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. ஆனால் இது ஒரு முழுமையான தீர்வு அல்ல. முழுமையான தீர்வு இப்படி இருக்கும்: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, இங்கு $C$ என்பது நிலையானது. இது ஏன் பின்னர் விவாதிக்கப்படும். இதற்கிடையில், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வின் சரியான தன்மையை சரிபார்ப்போம்: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+ 0=at=v(t)$.
வேகத்தின் மூலம் பாதையைக் கண்டறிவதே ஆண்டிடெரிவேடிவ் என்பதன் இயற்பியல் பொருள் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.
இதன் விளைவாக $s(t)$ ஆனது $v(t)$ இன் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் என அழைக்கப்படுகிறது. மிகவும் சுவாரஸ்யமான மற்றும் அசாதாரண பெயர், ஆமாம் தானே. அதில் நிறைய அர்த்தம் உள்ளது, இது சாரத்தை விளக்குகிறது இந்த கருத்துமற்றும் புரிதலுக்கு வழிவகுக்கிறது. அதில் "முதல்" மற்றும் "படம்" என்ற இரண்டு வார்த்தைகள் இருப்பதைக் காணலாம். அவர்களே பேசுகிறார்கள். அதாவது, நம்மிடம் உள்ள வழித்தோன்றலுக்கு மூலமான செயல்பாடு இதுவாகும். இந்த வழித்தோன்றல் மூலம், ஆரம்பத்தில் இருந்த செயல்பாட்டைத் தேடுகிறோம், அது "முதல்", "முதல் படம்", அதாவது ஆன்டிடெரிவேடிவ். இது சில சமயங்களில் பழமையான செயல்பாடு அல்லது எதிர்ப்பு வழித்தோன்றல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.
நாம் ஏற்கனவே அறிந்தபடி, வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்முறை வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. மற்றும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் கண்டுபிடிக்கும் செயல்முறை ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாடு என்பது வேறுபாடு செயல்பாட்டின் தலைகீழ் ஆகும். உரையாடலும் உண்மைதான்.
வரையறை.சில இடைவெளியில் $f(x)$ செயல்பாட்டிற்கான எதிர் வழித்தோன்றல் $F(x)$ ஆகும், அதன் வழித்தோன்றல் இந்தச் சார்பு $f(x)$ க்கு சமமாக இருக்கும் குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் இருந்து அனைத்து $x$: $F'( x)=f (x)$.
ஒருவருக்கு ஒரு கேள்வி இருக்கலாம்: ஆரம்பத்தில் $s(t)$ மற்றும் $v(t)$ என இருந்தால், வரையறையில் $F(x)$ மற்றும் $f(x)$ எங்கிருந்து வந்தது. உண்மை என்னவென்றால், $s(t)$ மற்றும் $v(t)$ ஆகியவை இந்த விஷயத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளைக் கொண்ட செயல்பாடுகளை நியமிப்பதற்கான சிறப்பு நிகழ்வுகள், அதாவது அவை முறையே நேரத்தின் செயல்பாடு மற்றும் வேகத்தின் செயல்பாடு. $t$ என்ற மாறிக்கும் இதுவே பொருந்தும் - இது நேரத்தைக் குறிக்கிறது. மேலும் $f$ மற்றும் $x$ ஆகியவை முறையே ஒரு செயல்பாடு மற்றும் மாறியின் பொதுவான பதவியின் பாரம்பரிய மாறுபாடு ஆகும். செலுத்தத் தகுந்தது சிறப்பு கவனம்$F(x)$ என்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ் குறிப்பிற்கு. முதலில், $F$ என்பது மூலதனம். ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் குறிக்கப்படுகின்றன மூலதன கடிதங்கள். இரண்டாவதாக, எழுத்துக்கள் ஒன்றே: $F$ மற்றும் $f$. அதாவது, $g(x)$ செயல்பாட்டிற்கு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் $G(x)$, $z(x)$ -க்கு $Z(x)$ என குறிக்கப்படும். குறிப்பீடு எதுவாக இருந்தாலும், ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டைக் கண்டறிவதற்கான விதிகள் எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.
ஒரு சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு 1$F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ சார்பு $f(x)=\cos5x$ செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் என்பதை நிரூபிக்கவும்.
இதை நிரூபிக்க, நாங்கள் $F'(x)=f(x)$ என்ற வரையறையைப் பயன்படுத்துகிறோம், மேலும் $F(x)$: $F'(x)=(\ செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும். frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. எனவே $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ என்பது $f(x)=\cos5x$ இன் எதிர்வழியாகும். கே.இ.டி.
எடுத்துக்காட்டு 2பின்வரும் ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் எந்தச் செயல்பாடுகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன என்பதைக் கண்டறியவும்: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.
விரும்பிய செயல்பாடுகளைக் கண்டறிய, அவற்றின் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடுகிறோம்:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.
உதாரணம் 3$f(x)=0$ க்கு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் என்னவாக இருக்கும்?
வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம். எந்த செயல்பாடு $0$ க்கு சமமான வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்கலாம் என்று சிந்திப்போம். வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையை நினைவில் வைத்துக் கொண்டால், எந்த மாறிலியும் அத்தகைய வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்கும். $F(x)= C$:
இதன் விளைவாக வரும் தீர்வு வடிவியல் மற்றும் உடல் ரீதியாக விளக்கப்படலாம். வடிவியல் ரீதியாக, இந்த வரைபடத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் $y=F(x)$ வரையிலான தொடுகோடு கிடைமட்டமாக உள்ளது, எனவே $Ox$ அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான வேகம் கொண்ட ஒரு புள்ளி இடத்தில் உள்ளது என்பதன் மூலம் உடல் ரீதியாக விளக்கப்பட்டது, அதாவது, அது பயணிக்கும் பாதை மாறாமல் உள்ளது. இதன் அடிப்படையில், நாம் பின்வரும் தேற்றத்தை உருவாக்கலாம்.
தேற்றம். (செயல்பாட்டு நிலைத்தன்மையின் அடையாளம்) சில இடைவெளியில் $F'(x) = 0$ எனில், $F(x)$ செயல்பாடு இந்த இடைவெளியில் நிலையானதாக இருக்கும்.
எடுத்துக்காட்டு 4எந்தச் செயல்பாடுகளின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் செயல்பாடுகள் என்பதைத் தீர்மானிக்கவும் a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; ஈ) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, இங்கு $a$ என்பது சில எண்.
ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, இந்தப் பணியைத் தீர்க்க, நமக்குக் கொடுக்கப்பட்ட ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிட வேண்டும் என்று முடிவு செய்கிறோம். கணக்கிடும் போது, ஒரு மாறிலியின் வழித்தோன்றல், அதாவது எந்த எண்ணும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
ஈ) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.
நாம் என்ன பார்க்கிறோம்? பல வேறுபட்ட செயல்பாடுகள் ஒரே செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள். இதன் பொருள், எந்தச் செயல்பாட்டிலும் எண்ணற்ற பல ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் உள்ளன, மேலும் அவை $F(x) + C$ வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன, இங்கு $C$ என்பது தன்னிச்சையான மாறிலி. அதாவது, வேறுபாட்டின் செயல்பாட்டிற்கு மாறாக, ஒருங்கிணைப்பின் செயல்பாடு பல மதிப்புடையது. இதன் அடிப்படையில், ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் முக்கிய பண்புகளை விவரிக்கும் ஒரு தேற்றத்தை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்.
தேற்றம். (ஆதிவாசிகளின் முக்கிய சொத்து) $F_1$ மற்றும் $F_2$ செயல்பாடுகள் சில இடைவெளியில் $f(x)$ செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களாக இருக்கட்டும். இந்த இடைவெளியில் இருந்து அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பின்வரும் சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்: $F_2=F_1+C$, இதில் $C$ என்பது நிலையானது.
முடிவில்லாத ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் இருப்பின் உண்மையை வடிவியல் ரீதியாக விளக்கலாம். $Oy$ என்ற அச்சில் இணையான மொழிபெயர்ப்பின் உதவியுடன், ஒன்றுடன் ஒன்று $f(x)$ க்கு ஏதேனும் இரண்டு ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் வரைபடங்களைப் பெறலாம். இது ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என்பதன் வடிவியல் பொருள்.
நிலையான $C$ ஐத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியின் வழியே ஆண்டிடெரிவேடிவ்வின் வரைபடத்தை அனுப்ப முடியும் என்பதில் கவனம் செலுத்துவது மிகவும் முக்கியம்.
படம் 3
எடுத்துக்காட்டு 5$f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் கண்டுபிடிக்கவும், அதன் வரைபடம் $(3; 1)$ வழியாக செல்கிறது.
முதலில் $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$க்கான அனைத்து ஆண்டிடெரிவேடிவ்களையும் கண்டுபிடிப்போம்.
அடுத்து, C என்ற எண்ணைக் காண்கிறோம், அதற்கான வரைபடம் $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ புள்ளி $(3; 1)$ வழியாக செல்லும். இதைச் செய்ய, புள்ளியின் ஆயங்களை வரைபடத்தின் சமன்பாட்டில் மாற்றி $C$ ஐப் பொறுத்து அதைத் தீர்க்கிறோம்:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
$y=\frac(x^3)(9)+x-5$ வரைப்படத்தைப் பெற்றுள்ளோம், இது $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ உடன் ஒத்திருக்கிறது.
ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணை
வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களின் அட்டவணையைத் தொகுக்கலாம்.
| செயல்பாடுகள் | ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\in R$ இல் | $ax+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\sinx$ | $-\cosx+C$ |
| $\cos x$ | $\sinx+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctgx+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tgx+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcsin x+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arccos x+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctgx+C$ |
| $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arctg x+C$ |
அட்டவணையின் சரியான தன்மையை நீங்கள் பின்வருமாறு சரிபார்க்கலாம்: வலது நெடுவரிசையில் உள்ள ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் ஒவ்வொரு தொகுப்பிற்கும், வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும், இதன் விளைவாக இடது நெடுவரிசையில் தொடர்புடைய செயல்பாடுகள் கிடைக்கும்.
ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறிவதற்கான சில விதிகள்
உங்களுக்குத் தெரியும், பல செயல்பாடுகள் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையில் சுட்டிக்காட்டப்பட்டதை விட மிகவும் சிக்கலான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன, மேலும் இந்த அட்டவணையில் இருந்து செயல்பாடுகளின் தொகைகள் மற்றும் தயாரிப்புகளின் தன்னிச்சையான கலவையாக இருக்கலாம். இங்கே கேள்வி எழுகிறது, ஒத்த செயல்பாடுகளின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களை எவ்வாறு கணக்கிடுவது. எடுத்துக்காட்டாக, $x^3$, $\sin x$ மற்றும் $10$ ஆகிய ஆன்டிடெரிவேடிவ்களை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பது அட்டவணையில் இருந்து நமக்குத் தெரியும். ஆனால், எடுத்துக்காட்டாக, $x^3-10\sin x$ ஐ எவ்வாறு கணக்கிடுவது? முன்னோக்கிப் பார்க்கும்போது, இது $\frac(x^4)(4)+10\cos x$க்கு சமமாக இருக்கும் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.
1. $f(x)$ என்றால் $f(x)$, $G(x)$ என்பது $g(x)$ க்கு, $f(x)+g(x)$ க்கு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் $ F(x)+G(x)$க்கு சமமாக இருக்கும்.
2. $f(x)$ என்பது $f(x)$ க்கு ஒரு எதிர்ப்பொருள் மற்றும் $a$ என்பது மாறிலி எனில், $af(x)$ க்கு, $aF(x)$ எனப்படும்.
3. $f(x)$க்கு $F(x)$, $a$ மற்றும் $b$ ஆகியவை மாறிலிகள் எனில், $\frac(1)(a) F(ax+b)$ என்பதற்கான எதிர்வழிவகை $f (ax+b)$.
பெறப்பட்ட விதிகளைப் பயன்படுத்தி, ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையை விரிவாக்கலாம்.
| செயல்பாடுகள் | ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
எடுத்துக்காட்டு 5இதற்கான ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறியவும்:
a) $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் 4x^3+10x^7$;
b) $\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
ஈ) $\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
ஈ) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.
அடிப்படை சூத்திரங்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு முறைகள். தொகை அல்லது வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்பு விதி. ஒருங்கிணைந்த குறியிலிருந்து மாறிலியை எடுத்துக்கொள்வது. மாறி மாற்று முறை. பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம். ஒரு பிரச்சனை தீர்வுக்கான உதாரணம்.
நான்கு முக்கிய ஒருங்கிணைப்பு முறைகள் கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன.
1)
தொகை அல்லது வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்பு விதி.
.
இங்கே மற்றும் கீழே, u, v, w ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பு மாறி x இன் செயல்பாடுகள்.
2)
ஒருங்கிணைந்த குறியிலிருந்து மாறிலியை எடுத்துக்கொள்வது.
c ஆனது x இலிருந்து ஒரு நிலையான சார்பற்றதாக இருக்கட்டும். பின்னர் அதை ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து வெளியே எடுக்கலாம்.
3)
மாறி மாற்று முறை.
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கவனியுங்கள்.
அத்தகைய செயல்பாட்டைத் தேர்வு செய்ய முடிந்தால் φ (எக்ஸ்) x இலிருந்து, அதனால்
,
பின்னர், t = φ(x) மாறியை மாற்றிய பின், நம்மிடம் உள்ளது
.
4)
பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம்.
,
இதில் u மற்றும் v ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பு மாறியின் செயல்பாடுகள்.
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான இறுதி இலக்கு, உருமாற்றங்கள் மூலம், கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பை அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள் என்று அழைக்கப்படும் எளிய ஒருங்கிணைப்புகளுக்குக் கொண்டுவருவதாகும். அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள்நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரங்களின்படி அடிப்படை செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன.
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை >>> பார்க்கவும்
உதாரணமாக
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்
தீர்வு
ஒருங்கிணைப்பு என்பது மூன்று சொற்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாடு என்பதை நினைவில் கொள்க:
, மற்றும் .
நாங்கள் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம் 1
.
மேலும், புதிய ஒருங்கிணைப்புகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் மாறிலிகளால் பெருக்கப்படுகின்றன என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். 5, 4,
மற்றும் 2
, முறையே. நாங்கள் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம் 2
.
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் நாம் சூத்திரத்தைக் காண்கிறோம்
.
அமைத்தல் n = 2
, முதல் ஒருங்கிணைப்பைக் காண்கிறோம்.
இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பை படிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்
.
என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். பிறகு
மூன்றாவது முறையைப் பயன்படுத்துவோம். t = φ மாறியை மாற்றுகிறோம் (x) = பதிவு x.
.
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் நாம் சூத்திரத்தைக் காண்கிறோம்
ஒருங்கிணைப்பு மாறியை எந்த எழுத்திலும் குறிக்கலாம் என்பதால், பிறகு
படிவத்தில் மூன்றாவது ஒருங்கிணைப்பை மீண்டும் எழுதுவோம்
.
பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
விடுங்கள் .
பிறகு
;
;
;
;
.
பள்ளியில், பலர் ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்க்கத் தவறிவிடுகிறார்கள் அல்லது அவற்றுடன் ஏதேனும் சிரமங்களை எதிர்கொள்கின்றனர். இந்த கட்டுரையில் நீங்கள் அனைத்தையும் கண்டுபிடிப்பதால், அதைக் கண்டுபிடிக்க உதவும். ஒருங்கிணைப்பு அட்டவணைகள்.
ஒருங்கிணைந்தகால்குலஸில் உள்ள முக்கிய கணக்கீடுகள் மற்றும் கருத்துக்களில் ஒன்றாகும். அவரது தோற்றம் இரண்டு நோக்கங்களுக்காக வந்தது:
முதல் இலக்கு- அதன் வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி செயல்பாட்டை மீட்டமைக்கவும்.
இரண்டாவது கோல்- a என்பது x ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் ஒரு நேர் கோட்டில் வரைபடத்திலிருந்து f (x) செயல்பாட்டிற்கு தொலைவில் அமைந்துள்ள பகுதியின் கணக்கீடு b மற்றும் abscissa அச்சுக்கு அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும்.
இந்த இலக்குகள் நம்மை திட்டவட்டமான மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு இட்டுச் செல்கின்றன. இந்த ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு இடையேயான தொடர்பு பண்புகள் மற்றும் கணக்கீடுகளுக்கான தேடலில் உள்ளது. ஆனால் எல்லாம் பாய்கிறது மற்றும் காலப்போக்கில் எல்லாம் மாறுகிறது, புதிய தீர்வுகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன, சேர்த்தல்கள் வெளிப்படுத்தப்பட்டன, இதன் மூலம் திட்டவட்டமான மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளை மற்ற வகையான ஒருங்கிணைப்புக்கு கொண்டு வருகின்றன.
என்ன நடந்தது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு நீங்கள் கேட்க. இது ஒரு மாறி x இன் ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடு F(x) இடைவெளியில் b ஐ விட x ஐ விட பெரியது. எந்தச் சார்பும் F(x) என்று அழைக்கப்படுகிறது, கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் x குறியீட்டிற்கு, வழித்தோன்றல் F(x) க்கு சமம். F(x) என்பது b ஐ விட x ஐ விட பெரிய இடைவெளியில் f(x) க்கு ஒரு எதிர்ப்பொருள் என்பது தெளிவாகிறது. எனவே F1(x) = F(x) + C. C - என்பது கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் f(x)க்கான ஏதேனும் மாறிலி மற்றும் எதிர்வழியாகும். இந்த அறிக்கை மீளக்கூடியது, f(x) - 2 செயல்பாட்டிற்கு ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் மாறிலியில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன. ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் தேற்றத்தின் அடிப்படையில், இடைவெளியில் ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியும் ஒரு
திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த ஒருங்கிணைந்த தொகையில் வரம்பாகப் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது, அல்லது கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் சூழ்நிலையில் f(x) சில வரியில் (a, b) வரையறுக்கப்பட்டிருக்கும் போது, அதன் மீது ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் F உள்ளது, அதாவது இந்த வரியின் முனைகளில் உள்ள அதன் வெளிப்பாடுகளின் வேறுபாடு. F(b) - F(a).
தெளிவுக்காக, இந்த தலைப்பின் ஆய்வு, நான் வீடியோவைப் பார்க்க பரிந்துரைக்கிறேன். இது விரிவாக விளக்குகிறது மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் காட்டுகிறது.
ஒருங்கிணைப்புகளின் ஒவ்வொரு அட்டவணையும் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், ஏனெனில் இது ஒரு குறிப்பிட்ட வகையான ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்க்க உதவுகிறது.
சாத்தியமான அனைத்து வகையான எழுதுபொருட்கள் மற்றும் பல. நீங்கள் ஆன்லைன் ஸ்டோர் v-kant.ru மூலம் வாங்கலாம். அல்லது ஸ்டேஷனரி சமாரா (http://v-kant.ru) என்ற இணைப்பைப் பின்தொடரவும் தரம் மற்றும் விலைகள் உங்களை மகிழ்ச்சியுடன் ஆச்சரியப்படுத்தும்.