வழித்தோன்றல் மற்றும் அதைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள் பற்றிய அறிவு இல்லாமல், கணிதத்தில் உடல் சிக்கல்கள் அல்லது எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது முற்றிலும் சாத்தியமற்றது. வழித்தோன்றல் என்பது கணித பகுப்பாய்வின் மிக முக்கியமான கருத்துக்களில் ஒன்றாகும். இன்றைய கட்டுரையை இந்த அடிப்படை தலைப்புக்கு அர்ப்பணிக்க முடிவு செய்தோம். ஒரு வழித்தோன்றல் என்றால் என்ன, அதன் உடல் மற்றும் வடிவியல் பொருள் என்ன, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கணக்கிடுவது? இந்த கேள்விகள் அனைத்தையும் ஒன்றாக இணைக்கலாம்: வழித்தோன்றலை எவ்வாறு புரிந்துகொள்வது?

வழித்தோன்றலின் வடிவியல் மற்றும் உடல் பொருள்

ஒரு செயல்பாடு இருக்கட்டும் f(x) , சில இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்டது (a,b) . x மற்றும் x0 புள்ளிகள் இந்த இடைவெளியைச் சேர்ந்தவை. x மாறும்போது, ​​செயல்பாடே மாறுகிறது. வாத மாற்றம் - அதன் மதிப்புகளின் வேறுபாடு x-x0 . இந்த வேறுபாடு என எழுதப்பட்டுள்ளது டெல்டா x மற்றும் வாதம் அதிகரிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாட்டின் மாற்றம் அல்லது அதிகரிப்பு என்பது இரண்டு புள்ளிகளில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு ஆகும். வழித்தோன்றல் வரையறை:

ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதத்தின் வரம்பாகும்.

இல்லையெனில், இதை இப்படி எழுதலாம்:

அத்தகைய வரம்பை கண்டுபிடிப்பதில் என்ன பயன்? ஆனால் எது:

ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல், OX அச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் தொடுகோடு மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோடு சமமாக இருக்கும்.

வழித்தோன்றலின் இயற்பியல் பொருள்: பாதையின் நேர வழித்தோன்றல் நேர்கோட்டு இயக்கத்தின் வேகத்திற்கு சமம்.

உண்மையில், பள்ளி நாட்களிலிருந்தே, வேகம் ஒரு தனிப்பட்ட பாதை என்பது அனைவருக்கும் தெரியும். x=f(t) மற்றும் நேரம் டி . ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்திற்கு சராசரி வேகம்:

ஒரு நேரத்தில் இயக்கத்தின் வேகத்தைக் கண்டறிய t0 நீங்கள் வரம்பை கணக்கிட வேண்டும்:

விதி ஒன்று: மாறிலியை அகற்றவும்

மாறிலியை வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம். மேலும், அது செய்யப்பட வேண்டும். கணிதத்தில் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​ஒரு விதியாக எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் - நீங்கள் வெளிப்பாட்டை எளிதாக்க முடிந்தால், எளிமைப்படுத்துவதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள் .

உதாரணமாக. வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவோம்:

விதி இரண்டு: செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையின் வழித்தோன்றல்

இரண்டு சார்புகளின் கூட்டுத்தொகையின் வழித்தோன்றல் இந்த சார்புகளின் வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். செயல்பாடுகளின் வேறுபாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கும் இதுவே உண்மை.

இந்த தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை நாங்கள் வழங்க மாட்டோம், மாறாக ஒரு நடைமுறை உதாரணத்தை கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

விதி மூன்று: செயல்பாடுகளின் விளைபொருளின் வழித்தோன்றல்

இரண்டு வேறுபட்ட செயல்பாடுகளின் உற்பத்தியின் வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு: ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு:

வழித்தோன்றல்களின் கணக்கீடு பற்றி இங்கே கூறுவது முக்கியம் சிக்கலான செயல்பாடுகள். ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல், சுயாதீன மாறியைப் பொறுத்து இடைநிலை வாதத்தின் வழித்தோன்றலால் இடைநிலை வாதத்தைப் பொறுத்து இந்தச் சார்பின் வழித்தோன்றலின் தயாரிப்புக்கு சமம்.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், வெளிப்பாட்டைக் காண்கிறோம்:

இந்த வழக்கில், இடைநிலை வாதம் ஐந்தாவது சக்திக்கு 8x ஆகும். அத்தகைய வெளிப்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட, நாம் முதலில் இடைநிலை வாதத்தைப் பொறுத்து வெளிப்புற செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கருதுகிறோம், பின்னர் சுயாதீன மாறியைப் பொறுத்து இடைநிலை வாதத்தின் வழித்தோன்றலால் பெருக்குகிறோம்.

விதி நான்கு: இரண்டு சார்புகளின் விகுதியின் வழித்தோன்றல்

இரண்டு செயல்பாடுகளின் ஒரு பகுதியின் வழித்தோன்றலை நிர்ணயிப்பதற்கான சூத்திரம்:

புதிதாக டம்மிகளுக்கான டெரிவேடிவ்களைப் பற்றி பேச முயற்சித்தோம். இந்த தலைப்பு தோன்றுவது போல் எளிதானது அல்ல, எனவே எச்சரிக்கையாக இருங்கள்: எடுத்துக்காட்டுகளில் அடிக்கடி குறைபாடுகள் உள்ளன, எனவே வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடும்போது கவனமாக இருங்கள்.

இது மற்றும் பிற தலைப்புகளில் ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால், நீங்கள் மாணவர் சேவையைத் தொடர்பு கொள்ளலாம். குறுகிய காலத்தில், டெரிவேடிவ்களின் கணக்கீட்டை நீங்கள் இதற்கு முன் கையாளவில்லை என்றாலும், மிகவும் கடினமான கட்டுப்பாட்டைத் தீர்க்கவும், பணிகளைச் சமாளிக்கவும் நாங்கள் உங்களுக்கு உதவுவோம்.

மனிதன் முதலில் படைத்தபோது சுயாதீனமான படிகள்கால்குலஸ் ஆய்வில் சங்கடமான கேள்விகளைக் கேட்கத் தொடங்குகிறது, "முட்டைக்கோஸில் வேறுபட்ட கால்குலஸ் காணப்படுகிறது" என்ற சொற்றொடரை அகற்றுவது இனி அவ்வளவு எளிதானது அல்ல. எனவே, பிறப்பின் மர்மத்தை தீர்மானிக்க மற்றும் தீர்க்க வேண்டிய நேரம் இது வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் வேறுபாடு விதிகளின் அட்டவணைகள். கட்டுரையில் தொடங்கியது வழித்தோன்றலின் பொருள் பற்றி, இது ஆய்வுக்கு நான் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறேன், ஏனென்றால் அங்கு நாங்கள் ஒரு வழித்தோன்றல் என்ற கருத்தை கருத்தில் கொண்டு தலைப்பில் பணிகளைக் கிளிக் செய்யத் தொடங்கினோம். அதே பாடம் ஒரு உச்சரிக்கப்படும் நடைமுறை நோக்குநிலையைக் கொண்டுள்ளது, மேலும்,

கீழே கருதப்படும் எடுத்துக்காட்டுகள், கொள்கையளவில், முற்றிலும் முறையாக தேர்ச்சி பெறலாம் (எடுத்துக்காட்டாக, வழித்தோன்றலின் சாரத்தை ஆராய நேரம் / விருப்பம் இல்லாதபோது). "வழக்கமான" முறையைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவது மிகவும் விரும்பத்தக்கது (ஆனால் மீண்டும் தேவையில்லை) - குறைந்தபட்சம் இரண்டு அடிப்படை வகுப்புகளின் மட்டத்திலாவது:ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மற்றும் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது.

ஆனால் இப்போது நிச்சயமாக இன்றியமையாத ஒன்று இல்லாமல், அது இல்லாமல் உள்ளது செயல்பாடு வரம்புகள். வரம்பு என்றால் என்ன என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் குறைந்தபட்சம் ஒரு இடைநிலை மட்டத்திலாவது அவற்றைத் தீர்க்க முடியும். மற்றும் அனைத்து ஏனெனில் வழித்தோன்றல்

ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாடு சூத்திரத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது:

பதவிகள் மற்றும் விதிமுறைகளை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: அவர்கள் அழைக்கிறார்கள் வாதம் அதிகரிப்பு;

- செயல்பாடு அதிகரிப்பு;

- இவை ஒற்றை குறியீடுகள் ("டெல்டா" "எக்ஸ்" அல்லது "ஒய்" இலிருந்து "கிழிக்க" முடியாது).

வெளிப்படையாக, ஒரு "டைனமிக்" மாறி, ஒரு மாறிலி மற்றும் வரம்பைக் கணக்கிடுவதன் விளைவாகும் - எண் (சில நேரங்களில் - "பிளஸ்" அல்லது "மைனஸ்" முடிவிலி).

ஒரு புள்ளியாக, எந்த மதிப்பையும் நீங்கள் கருத்தில் கொள்ளலாம் களங்கள்வழித்தோன்றலைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாடு.

குறிப்பு: பிரிவு "இதில் வழித்தோன்றல் உள்ளது" - பொதுவாக குறிப்பிடத்தக்கது.! எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளி, செயல்பாட்டின் டொமைனில் நுழைந்தாலும், ஆனால் வழித்தோன்றல்

அங்கு இல்லை. எனவே சூத்திரம்

புள்ளியில் பொருந்தாது

மற்றும் முன்பதிவு இல்லாமல் சுருக்கப்பட்ட வார்த்தைகள் தவறாக இருக்கும். இதே போன்ற உண்மைகள் வரைபடத்தில் "பிரேக்குகள்" உள்ள பிற செயல்பாடுகளுக்கும் செல்லுபடியாகும், குறிப்பாக, ஆர்க்சைன் மற்றும் ஆர்க்கோசின்.

எனவே, மாற்றியமைத்த பிறகு, இரண்டாவது வேலை சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

தேனீர் தொட்டியை குழப்பக்கூடிய ஒரு நயவஞ்சகமான சூழ்நிலையில் கவனம் செலுத்துங்கள்: இந்த வரம்பில், "x", ஒரு சுயாதீன மாறியாக இருப்பதால், கூடுதல் பாத்திரத்தை வகிக்கிறது, மேலும் "இயக்கவியல்" மீண்டும் அதிகரிப்பால் அமைக்கப்படுகிறது. வரம்பு கணக்கீட்டின் முடிவு

வழித்தோன்றல் செயல்பாடு ஆகும்.

மேற்கூறியவற்றின் அடிப்படையில், இரண்டு பொதுவான சிக்கல்களின் நிபந்தனைகளை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்:

- கண்டுபிடி ஒரு புள்ளியில் வழித்தோன்றல்ஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்துதல்.

- கண்டுபிடி வழித்தோன்றல் செயல்பாடுஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்துதல். இந்த பதிப்பு, எனது அவதானிப்புகளின்படி, அடிக்கடி நிகழ்கிறது மற்றும் முக்கிய கவனம் செலுத்தப்படும்.

பணிகளுக்கு இடையிலான அடிப்படை வேறுபாடு என்னவென்றால், முதல் வழக்கில் எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் (விரும்பினால் முடிவிலி), மற்றும் இரண்டாவது

செயல்பாடு . கூடுதலாக, வழித்தோன்றல் இல்லாமல் இருக்கலாம்.

எப்படி ?

ஒரு விகிதத்தை உருவாக்கி வரம்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

எங்கே செய்தார்வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் வேறுபாடு விதிகளின் அட்டவணை ? ஒற்றை வரம்புடன்

மந்திரம் போல் தெரிகிறது, ஆனால்

உண்மை - கையின் சாமர்த்தியம் மற்றும் மோசடி இல்லை. பாடத்தில் வழித்தோன்றல் என்றால் என்ன?நான் குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்ளத் தொடங்கினேன், அங்கு, வரையறையைப் பயன்படுத்தி, நேரியல் மற்றும் இருபடி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டேன். அறிவாற்றல் வெப்பமயமாதலின் நோக்கத்திற்காக, நாங்கள் தொடர்ந்து தொந்தரவு செய்வோம் வழித்தோன்றல் அட்டவணை, அல்காரிதம் மற்றும் தொழில்நுட்ப தீர்வுகளை மதிப்பாய்வு செய்தல்:

அடிப்படையில், நாம் நிரூபிக்க வேண்டும் சிறப்பு வழக்குவழித்தோன்றல் சக்தி செயல்பாடு, இது பொதுவாக அட்டவணையில் தோன்றும்: .

தீர்வு இரண்டு வழிகளில் தொழில்நுட்ப ரீதியாக முறைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. முதல், ஏற்கனவே பழக்கமான அணுகுமுறையுடன் தொடங்குவோம்: ஏணி ஒரு பலகையுடன் தொடங்குகிறது, மற்றும் வழித்தோன்றல் செயல்பாடு ஒரு கட்டத்தில் ஒரு வழித்தோன்றலுடன் தொடங்குகிறது.

சில (கான்கிரீட்) புள்ளியைக் கவனியுங்கள் களங்கள்வழித்தோன்றலைக் கொண்ட ஒரு செயல்பாடு. இந்த கட்டத்தில் அதிகரிப்பை அமைக்கவும் (நிச்சயமாக, அப்பால் இல்லை o / o - z) மற்றும் செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பை உருவாக்கவும்:

வரம்பை கணக்கிடுவோம்:

நிச்சயமற்ற தன்மை 0:0 என்பது கி.மு. முதல் நூற்றாண்டு வரை கருதப்பட்ட ஒரு நிலையான நுட்பத்தால் நீக்கப்பட்டது. பெருக்கி

ஒரு இணைந்த வெளிப்பாட்டிற்கு எண் மற்றும் வகுத்தல் :

அத்தகைய வரம்பை தீர்ப்பதற்கான நுட்பம் அறிமுக பாடத்தில் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகிறது. செயல்பாடுகளின் வரம்புகள் பற்றி.

இடைவெளியின் எந்தப் புள்ளியையும் இவ்வாறு தேர்வு செய்யலாம்

பின்னர், மாற்றுவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:

மீண்டும், மடக்கைகளில் மகிழ்ச்சியடைவோம்:

வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: அதே பணியை சுழற்றுவதற்கு ஒரு வித்தியாசமான அணுகுமுறையைக் கருத்தில் கொள்வோம். இது சரியாகவே உள்ளது, ஆனால் வடிவமைப்பின் அடிப்படையில் மிகவும் பகுத்தறிவு. அதிலிருந்து விடுபட வேண்டும் என்பதே எண்ணம்

சப்ஸ்கிரிப்ட் மற்றும் கடிதத்திற்கு பதிலாக ஒரு கடிதத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

சேர்ந்த ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியைக் கவனியுங்கள் களங்கள்செயல்பாடு (இடைவெளி), மற்றும் அதில் அதிகரிப்பை அமைக்கவும். இங்கே, பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் எந்த முன்பதிவும் இல்லாமல் செய்ய முடியும், ஏனெனில் மடக்கை செயல்பாடு வரையறையின் களத்தில் எந்த இடத்திலும் வேறுபடுகிறது.

பின்னர் தொடர்புடைய செயல்பாடு அதிகரிப்பு:

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

வடிவமைப்பின் எளிமை குழப்பத்தால் சமப்படுத்தப்படுகிறது, இது முடியும்

ஆரம்பநிலையில் எழுகின்றன (மற்றும் மட்டுமல்ல). எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, "எக்ஸ்" என்ற எழுத்து வரம்பில் மாறுகிறது என்பதற்கு நாங்கள் பழகிவிட்டோம்! ஆனால் இங்கே எல்லாம் வித்தியாசமானது: - ஒரு பழங்கால சிலை, மற்றும் - ஒரு வாழும் பார்வையாளர், அருங்காட்சியகத்தின் தாழ்வாரத்தில் விறுவிறுப்பாக நடந்து செல்கிறார். அதாவது, "x" என்பது "ஒரு மாறிலி போன்றது".

நிச்சயமற்ற தன்மையை படிப்படியாக நீக்குவது குறித்து நான் கருத்து தெரிவிக்கிறேன்:

(1) மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துதல்.

(2) அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வகுப்பால் எண்களை வகுக்கவும்.

(3) வகுப்பில் நாம் செயற்கையாகப் பெருக்கி "x" ஆல் வகுக்கிறோம்

அற்புதமானவற்றைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளுங்கள் , என போது எல்லையற்றநிகழ்த்துகிறது.

பதில்: வழித்தோன்றலின் வரையறையின்படி:

அல்லது சுருக்கமாக:

மேலும் இரண்டு அட்டவணை சூத்திரங்களை சுயாதீனமாக உருவாக்க நான் முன்மொழிகிறேன்:

வரையறையின்படி வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

இந்த வழக்கில், தொகுக்கப்பட்ட அதிகரிப்பு உடனடியாக ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு குறைக்க வசதியானது. பாடத்தின் முடிவில் பணியின் தோராயமான மாதிரி (முதல் முறை).

வரையறையின்படி வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

இங்கே எல்லாம் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க வரம்பிற்கு குறைக்கப்பட வேண்டும். தீர்வு இரண்டாவது வழியில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.

இதேபோல், வேறு பல அட்டவணை வழித்தோன்றல்கள். முழு பட்டியல்ஒரு பள்ளி பாடப்புத்தகத்தில் காணலாம் அல்லது, எடுத்துக்காட்டாக, Fichtenholtz இன் 1வது தொகுதி. புத்தகங்கள் மற்றும் வேறுபாட்டின் விதிகளின் சான்றுகள் ஆகியவற்றிலிருந்து மீண்டும் எழுதுவதில் எனக்கு அதிக அர்த்தமில்லை - அவையும் உருவாக்கப்படுகின்றன.

சூத்திரம் .

நிஜ வாழ்க்கைப் பணிகளுக்குச் செல்வோம்: எடுத்துக்காட்டு 5

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் , வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்துதல்

தீர்வு: முதல் பாணியைப் பயன்படுத்தவும். சில புள்ளிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், மேலும் அதில் உள்ள வாதத்தின் அதிகரிப்பை அமைப்போம். பின்னர் தொடர்புடைய செயல்பாடு அதிகரிப்பு:

ஒருவேளை சில வாசகர்கள் எந்தக் கொள்கையின் மூலம் அதிகரிப்பு செய்யப்பட வேண்டும் என்பதை இன்னும் முழுமையாகப் புரிந்து கொள்ளவில்லை. நாம் ஒரு புள்ளியை (எண்) எடுத்து அதில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறிகிறோம்: , அதாவது, செயல்பாட்டிற்குள்

"x" க்கு பதிலாக மாற்றப்பட வேண்டும். இப்போது நாம் எடுத்துக்கொள்கிறோம்

தொகுக்கப்பட்ட செயல்பாடு அதிகரிப்பு உடனடியாக எளிதாக்குவது நன்மை பயக்கும். எதற்காக? மேலும் வரம்பின் தீர்வை எளிதாக்கவும் சுருக்கவும்.

நாங்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம், அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கிறோம் மற்றும் குறைக்கக்கூடிய அனைத்தையும் குறைக்கிறோம்:

வான்கோழி வெட்டப்பட்டது, வறுத்ததில் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை:

இறுதியில்:

எந்த உண்மையான எண்ணையும் தரமாக தேர்வு செய்யலாம் என்பதால், மாற்றீடு செய்து பெறுகிறோம் .

பதில்: வரையறை மூலம்.

சரிபார்ப்பு நோக்கங்களுக்காக, விதிகளைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம்

வேறுபாடுகள் மற்றும் அட்டவணைகள்:

சரியான பதிலை முன்கூட்டியே தெரிந்துகொள்வது எப்போதும் பயனுள்ளதாகவும் இனிமையாகவும் இருக்கும், எனவே தீர்வின் ஆரம்பத்திலேயே முன்மொழியப்பட்ட செயல்பாட்டை "விரைவான" வழியில் வேறுபடுத்துவது மனரீதியாக அல்லது வரைவில் சிறந்தது.

வழித்தோன்றலின் வரையறையின் மூலம் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

நீங்களே செய்யக்கூடிய தீர்வுக்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. முடிவு மேற்பரப்பில் உள்ளது:

மீண்டும் நடை #2: எடுத்துக்காட்டு 7

என்ன நடக்க வேண்டும் என்பதை உடனடியாக கண்டுபிடிப்போம். மூலம் ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் விதி:

முடிவு: ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியைக் கருத்தில் கொண்டு, அதில் வாதத்தின் அதிகரிப்பை அமைத்து, அதிகரிப்பு செய்யுங்கள்

வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

(1) நாங்கள் முக்கோணவியல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

(2) சைனின் கீழ் நாம் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கிறோம், கோசைன் கீழ் நாம் விதிமுறைகளை வழங்குகிறோம்.

(3) சைனின் கீழ் நாம் சொற்களைக் குறைக்கிறோம், கோசைனின் கீழ் நாம் எண்களை வகுப்பின் காலத்தால் வகுக்கிறோம்.

(4) சைனின் வித்தியாசம் காரணமாக, "மைனஸ்" ஐ வெளியே எடுக்கிறோம். கொசைன் கீழ்

காலத்தை குறிக்கிறது.

(5) பயன்படுத்துவதற்கு நாம் வகுப்பினை செயற்கையாகப் பெருக்குகிறோம் முதல் அற்புதமான வரம்பு. இதனால், நிச்சயமற்ற தன்மை நீக்கப்பட்டு, முடிவை சீப்பு செய்கிறோம்.

பதில்: நீங்கள் பார்க்க முடியும் என வரையறையின்படி, பரிசீலனையில் உள்ள சிக்கலின் முக்கிய சிரமம் உள்ளது

வரம்பின் சிக்கலான தன்மை + பேக்கேஜிங்கின் சிறிய அசல் தன்மை. நடைமுறையில், வடிவமைப்பின் இரண்டு முறைகளும் சந்திக்கப்படுகின்றன, எனவே இரண்டு அணுகுமுறைகளையும் முடிந்தவரை விரிவாக விவரிக்கிறேன். அவை சமமானவை, ஆனால் இன்னும், எனது அகநிலை அபிப்ராயத்தில், டம்மீஸ் "X பூஜ்ஜியம்" உடன் 1 வது விருப்பத்தை ஒட்டிக்கொள்வது மிகவும் பொருத்தமானது.

வரையறையைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

இது சுயாதீனமான முடிவிற்கான பணியாகும். மாதிரி முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் உள்ள அதே உணர்வில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.

சிக்கலின் அரிதான பதிப்பை பகுப்பாய்வு செய்வோம்:

வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

முதலில், கீழே என்ன இருக்க வேண்டும்? எண் நிலையான முறையில் பதிலைக் கணக்கிடவும்:

முடிவு: தெளிவின் பார்வையில், இந்த பணி மிகவும் எளிமையானது, ஏனெனில் சூத்திரத்தில் பதிலாக

ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பாக கருதப்படுகிறது.

புள்ளியில் ஒரு அதிகரிப்பை அமைத்து, செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பை உருவாக்குகிறோம்:

ஒரு கட்டத்தில் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுங்கள்:

தொடுகோடுகளின் வேறுபாட்டிற்கு மிகவும் அரிதான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் மேலும் பதினாவது முறையாக தீர்வை முதலில் குறைக்கிறோம்

அற்புதமான வரம்பு:

பதில்: ஒரு கட்டத்தில் வழித்தோன்றலின் வரையறை.

பிரச்சனை தீர்க்க மிகவும் கடினம் அல்ல பொதுவான பார்வை”- வடிவமைப்பு முறையைப் பொறுத்து, ஆணி அல்லது எளிமையானதை மாற்றினால் போதும். இந்த வழக்கில், நிச்சயமாக, நீங்கள் ஒரு எண்ணைப் பெறவில்லை, ஆனால் ஒரு வழித்தோன்றல் செயல்பாட்டைப் பெறுவீர்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 10 வரையறையைப் பயன்படுத்தி, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் புள்ளியில்

நீங்களே செய்யக்கூடிய தீர்வுக்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு.

இறுதி போனஸ் பணியானது முதன்மையாக கணித பகுப்பாய்வின் ஆழமான படிப்பைக் கொண்ட மாணவர்களுக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் இது மற்ற அனைவரையும் பாதிக்காது:

செயல்பாடு வேறுபட்டதாக இருக்கும் புள்ளியில்?

தீர்வு: துண்டு துண்டாகக் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு ஒரு கட்டத்தில் தொடர்கிறது என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது, ஆனால் அது அங்கு வேறுபடுத்தப்படுமா?

தீர்வு அல்காரிதம், மற்றும் துண்டு துண்டான செயல்பாடுகளுக்கு மட்டுமல்ல, பின்வருமாறு:

1) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் இடது கை வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

2) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் வலது கை வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:

3) ஒருபக்க வழித்தோன்றல்கள் வரையறுக்கப்பட்டவை மற்றும் ஒத்துப்போகின்றன என்றால்:

, பின்னர் செயல்பாடு புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது மற்றும்

வடிவியல் ரீதியாக, இங்கே ஒரு பொதுவான தொடுகோடு உள்ளது (பாடத்தின் கோட்பாட்டுப் பகுதியைப் பார்க்கவும் வழித்தோன்றலின் வரையறை மற்றும் பொருள்).

பெற்றால் இரண்டு வெவ்வேறு அர்த்தங்கள்: (அதில் ஒன்று எல்லையற்றதாக இருக்கலாம்), பின்னர் செயல்பாடு ஒரு கட்டத்தில் வேறுபடுத்தப்படாது.

ஒருபக்க வழித்தோன்றல்கள் இரண்டும் முடிவிலிக்கு சமமாக இருந்தால்

(அவை வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்டிருந்தாலும்), பின்னர் செயல்பாடு இல்லை

ஒரு புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது, ஆனால் ஒரு எல்லையற்ற வழித்தோன்றல் மற்றும் வரைபடத்திற்கு பொதுவான செங்குத்து தொடுகோடு உள்ளது (பாடத்தின் எடுத்துக்காட்டு 5 ஐப் பார்க்கவும்இயல்பான சமன்பாடு) .

வடிவியல், இயக்கவியல், இயற்பியல் மற்றும் அறிவின் பிற கிளைகளின் பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது, ​​கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிலிருந்து அதே பகுப்பாய்வு செயல்முறையைப் பயன்படுத்துவது அவசியமானது. y=f(x)என்ற புதிய செயல்பாட்டைப் பெறுங்கள் வழித்தோன்றல் செயல்பாடு(அல்லது வெறுமனே இந்தச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் f(x)மற்றும் அடையாளப்படுத்தப்படுகின்றன

கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் செயல்முறை f(x)ஒரு புதிய செயல்பாடு கிடைக்கும் f"(x), அழைக்கப்பட்டது வேறுபாடுமேலும் இது பின்வரும் மூன்று படிகளைக் கொண்டுள்ளது: 1) நாங்கள் வாதத்தை வழங்குகிறோம் எக்ஸ்அதிகரிப்பு  எக்ஸ்மற்றும் செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பை தீர்மானிக்கவும்  y = f(x+ x)-f(x); 2) உறவை உருவாக்குதல்

3) எண்ணுதல் எக்ஸ்நிரந்தர, மற்றும்  எக்ஸ்0, நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்
, இது குறிக்கப்படுகிறது f"(x), விளைவாக செயல்பாடு மதிப்பை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது என்பதை வலியுறுத்துவது போல் எக்ஸ், இதில் நாம் வரம்பிற்கு செல்கிறோம். வரையறை: வழித்தோன்றல் y "=f" (x) கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு y=f(x) x கொடுக்கப்பட்டதுவாதத்தின் அதிகரிப்புக்கு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதத்தின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது, வாதத்தின் அதிகரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், நிச்சயமாக, இந்த வரம்பு இருந்தால், அதாவது. வரையறுக்கப்பட்ட. இந்த வழியில்,
, அல்லது

சில மதிப்பு இருந்தால் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் எக்ஸ், எடுத்துக்காட்டாக எப்போது x=a, உறவு
மணிக்கு  எக்ஸ்0 ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பில் இல்லை, இந்த விஷயத்தில் நாம் செயல்பாடு என்று கூறுகிறோம் f(x)மணிக்கு x=a(அல்லது புள்ளியில் x=a) வழித்தோன்றல் இல்லை அல்லது ஒரு கட்டத்தில் வேறுபடுத்த முடியாது x=a.

2. வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்.

y \u003d f (x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் கவனியுங்கள், x 0 புள்ளிக்கு அருகில் வேறுபடலாம்

f(x)

செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் புள்ளியின் வழியாக ஒரு தன்னிச்சையான நேர்கோடு கடந்து செல்வதைக் கருத்தில் கொள்வோம் - புள்ளி A (x 0, f (x 0)) மற்றும் சில புள்ளிகளில் B (x; f (x)) வரைபடத்தை வெட்டும். அத்தகைய நேர்கோடு (AB) ஒரு செகண்ட் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ∆ABC இலிருந்து: AC = ∆x; கிமு \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .

ஏசி முதல் || எருது, பின்னர் ALO = BAC = β (இணையாக தொடர்புடையது). ஆனால் ALO என்பது ஆக்ஸ் அச்சின் நேர்மறை திசைக்கு செகண்ட் ஏபியின் சாய்வின் கோணம். எனவே, tgβ = k என்பது AB நேர்க்கோட்டின் சாய்வாகும்.

இப்போது நாம் ∆x ஐ குறைப்போம், அதாவது. ∆x→ 0. இந்த நிலையில், புள்ளி B வரைபடத்தின்படி புள்ளி A ஐ அணுகும், மற்றும் AB ஆனது சுழலும். ∆x → 0 இல் உள்ள செக்கன்ட் AB இன் வரையறுக்கும் நிலை நேர் கோடாக (a) இருக்கும், இது A புள்ளியில் உள்ள y \u003d f (x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சமத்துவம் tgβ =∆y/∆x இல் ∆х → 0 என வரம்பிற்கு சென்றால், நமக்கு கிடைக்கும்
அல்லது tg \u003d f "(x 0), என்பதால்
-எருது அச்சின் நேர் திசைக்கு தொடுகோடு சாய்வின் கோணம்
, ஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறையின்படி. ஆனால் tg \u003d k என்பது தொடுகோட்டின் சாய்வாகும், அதாவது k \u003d tg \u003d f "(x 0).

எனவே, வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள் பின்வருமாறு:

x புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் 0 abscissa x புள்ளியில் வரையப்பட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோட்டின் சாய்வுக்கு சமம் 0 .

3. வழித்தோன்றலின் இயற்பியல் பொருள்.

ஒரு நேர் கோட்டில் ஒரு புள்ளியின் இயக்கத்தைக் கவனியுங்கள். புள்ளியை எந்த நேரத்திலும் ஒருங்கிணைக்க x(t) கொடுக்கப்பட வேண்டும். (இயற்பியலின் போக்கில் இருந்து) ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் சராசரி வேகம், இந்த காலகட்டத்தில் பயணித்த தூரத்தின் விகிதத்திற்கு சமம் என்று அறியப்படுகிறது, அதாவது.

வாவ் = ∆x/∆t. கடைசி சமத்துவத்தில் ∆t → 0 என வரம்பிற்கு செல்வோம்.

லிம் வாவ் (டி) = (டி 0) - t 0, ∆t → 0 நேரத்தில் உடனடி வேகம்.

மற்றும் லிம் = ∆x/∆t = x "(t 0) (வழித்தோன்றலின் வரையறையின்படி).

எனவே, (t) = x"(t).

வழித்தோன்றலின் இயற்பியல் பொருள் பின்வருமாறு: செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்ஒய் = f(எக்ஸ்) புள்ளியில்எக்ஸ் 0 செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதம்f(x) புள்ளியில்எக்ஸ் 0

இந்த வழித்தோன்றல் இயற்பியலில் காலத்திலிருந்து அறியப்பட்ட ஆயச் செயல்பாட்டிலிருந்து வேகத்தைக் கண்டறியப் பயன்படுகிறது, காலத்திலிருந்து அறியப்பட்ட வேக செயல்பாட்டிலிருந்து முடுக்கம்.

 (t) \u003d x "(t) - வேகம்,

a(f) = "(t) - முடுக்கம், அல்லது

ஒரு வட்டத்துடன் ஒரு பொருள் புள்ளியின் இயக்கத்தின் விதி அறியப்பட்டால், சுழற்சி இயக்கத்தின் போது கோண வேகம் மற்றும் கோண முடுக்கம் ஆகியவற்றைக் கண்டறிய முடியும்:

φ = φ(t) - நேரத்துடன் கோணத்தில் மாற்றம்,

ω \u003d φ "(t) - கோண வேகம்,

ε = φ"(t) - கோண முடுக்கம், அல்லது ε = φ"(t).

ஒரு ஒத்திசைவற்ற கம்பியின் வெகுஜனத்திற்கான விநியோக விதி அறியப்பட்டால், ஒத்திசைவற்ற கம்பியின் நேரியல் அடர்த்தியைக் காணலாம்:

மீ \u003d மீ (x) - நிறை,

x  , l - கம்பி நீளம்,

p \u003d m "(x) - நேரியல் அடர்த்தி.

வழித்தோன்றலின் உதவியுடன், நெகிழ்ச்சி மற்றும் இணக்கமான அதிர்வுகளின் கோட்பாட்டின் சிக்கல்கள் தீர்க்கப்படுகின்றன. ஆம், ஹூக்கின் சட்டத்தின்படி

F = -kx, x - மாறி ஒருங்கிணைப்பு, k - வசந்தத்தின் நெகிழ்ச்சியின் குணகம். ω 2 \u003d k / m ஐ வைத்து, ஸ்பிரிங் ஊசல் x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0 இன் வேறுபட்ட சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

இதில் ω = √k/√m என்பது அலைவு அதிர்வெண் (l/c), k என்பது வசந்த வீதம் (H/m).

y "+ ω 2 y \u003d 0 வடிவத்தின் சமன்பாடு ஹார்மோனிக் அலைவுகளின் சமன்பாடு (இயந்திர, மின், மின்காந்த) சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வு செயல்பாடு ஆகும்

y = Asin(ωt + φ 0) அல்லது y = Acos(ωt + φ 0), எங்கே

A - அலைவு வீச்சு, ω - சுழற்சி அதிர்வெண்,

φ 0 - ஆரம்ப கட்டம்.

வழித்தோன்றல் என்றால் என்ன?
ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் வரையறை மற்றும் பொருள்

ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மற்றும் அதன் பயன்பாடுகள் குறித்த எனது ஆசிரியரின் பாடத்திட்டத்தில் இந்த கட்டுரையின் எதிர்பாராத இடத்தைக் கண்டு பலர் ஆச்சரியப்படுவார்கள். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அது பள்ளியில் இருந்ததைப் போலவே: ஒரு நிலையான பாடநூல், முதலில், ஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறை, அதன் வடிவியல், இயந்திர அர்த்தத்தை அளிக்கிறது. அடுத்து, மாணவர்கள் வரையறையின்படி செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிந்து, உண்மையில், வேறுபடுத்தும் நுட்பத்தைப் பயன்படுத்தி முழுமையாக்கப்படுகிறது. வழித்தோன்றல் அட்டவணைகள்.

ஆனால் எனது பார்வையில், பின்வரும் அணுகுமுறை மிகவும் நடைமுறைக்குரியது: முதலில், நன்றாகப் புரிந்துகொள்வது நல்லது. செயல்பாட்டு வரம்பு, மற்றும் குறிப்பாக எல்லையற்றவை. உண்மை அதுதான் வழித்தோன்றலின் வரையறை ஒரு வரம்பு என்ற கருத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இது மோசமாக கருதப்படுகிறது பள்ளி படிப்பு. அதனால்தான் கிரானைட் அறிவின் இளம் நுகர்வோரில் குறிப்பிடத்தக்க பகுதியினர் வழித்தோன்றலின் சாராம்சத்தில் மோசமாக ஊடுருவுகிறார்கள். எனவே, நீங்கள் வேறுபட்ட கால்குலஸில் மோசமாக நோக்குநிலை அல்லது ஒரு புத்திசாலித்தனமான மூளை இருந்தால் நீண்ட ஆண்டுகள்இந்த சாமான்களை வெற்றிகரமாக அப்புறப்படுத்துங்கள், தயவுசெய்து தொடங்கவும் செயல்பாடு வரம்புகள். அதே நேரத்தில் மாஸ்டர் / அவர்களின் முடிவை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

அதே நடைமுறை உணர்வு முதலில் லாபகரமானது என்று கூறுகிறது வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிக்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள், உட்பட சிக்கலான செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள். கோட்பாடு ஒரு கோட்பாடு, ஆனால், அவர்கள் சொல்வது போல், நீங்கள் எப்போதும் வேறுபடுத்த விரும்புகிறீர்கள். இது சம்பந்தமாக, பட்டியலிடப்பட்ட அடிப்படை பாடங்களைச் செயல்படுத்துவது நல்லது, ஒருவேளை ஆகலாம் வேறுபாடு மாஸ்டர்அவர்களின் செயல்களின் சாரத்தை கூட உணராமல்.

கட்டுரையைப் படித்த பிறகு இந்தப் பக்கத்தில் உள்ள பொருட்களைத் தொடங்க பரிந்துரைக்கிறேன். வழித்தோன்றலுடன் கூடிய எளிய சிக்கல்கள், அங்கு, குறிப்பாக, ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் தொடுகோடு பிரச்சனை கருதப்படுகிறது. ஆனால் அது தாமதமாகலாம். உண்மை என்னவென்றால், வழித்தோன்றலின் பல பயன்பாடுகளுக்கு அதைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டிய அவசியமில்லை, மேலும் தத்துவார்த்த பாடம் மிகவும் தாமதமாகத் தோன்றியதில் ஆச்சரியமில்லை - நான் விளக்க வேண்டியிருக்கும் போது அதிகரிப்பு/குறைவு மற்றும் உச்சநிலைகளின் இடைவெளிகளைக் கண்டறிதல்செயல்பாடுகள். மேலும், அவர் நீண்ட காலமாக பாடத்தில் இருந்தார் " செயல்பாடுகள் மற்றும் வரைபடங்கள்”, நான் முன்பு வைக்க முடிவு செய்யும் வரை.

எனவே, அன்பான தேநீர்ப் பாத்திரங்களே, பசியுள்ள விலங்குகளைப் போல, வழித்தோன்றலின் சாரத்தை உறிஞ்சுவதற்கு அவசரப்பட வேண்டாம், ஏனெனில் செறிவு சுவையற்றதாகவும் முழுமையற்றதாகவும் இருக்கும்.

ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு, குறைதல், அதிகபட்சம், குறைந்தபட்சம் என்ற கருத்து

நிறைய ஆய்வு வழிகாட்டிகள்சில நடைமுறை சிக்கல்களின் உதவியுடன் ஒரு வழித்தோன்றல் கருத்துக்கு வழிவகுக்கும், மேலும் நான் ஒரு சுவாரஸ்யமான உதாரணத்தையும் கொண்டு வந்தேன். வெவ்வேறு வழிகளில் அடையக்கூடிய நகரத்திற்கு நாம் பயணிக்க வேண்டும் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். வளைந்த முறுக்கு பாதைகளை நாங்கள் உடனடியாக நிராகரிக்கிறோம், மேலும் நேர் கோடுகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம். இருப்பினும், நேர்கோட்டு திசைகளும் வேறுபட்டவை: நீங்கள் ஒரு தட்டையான ஆட்டோபான் வழியாக நகரத்திற்குச் செல்லலாம். அல்லது மலைப்பாங்கான நெடுஞ்சாலையில் - மேலும் கீழும், மேலும் கீழும். மற்றொரு சாலை மேல்நோக்கி மட்டுமே செல்கிறது, மற்றொன்று எப்போதும் கீழ்நோக்கி செல்கிறது. சிலிர்ப்பைத் தேடுபவர்கள் செங்குத்தான பாறை மற்றும் செங்குத்தான ஏற்றம் கொண்ட பள்ளத்தாக்கு வழியாக ஒரு பாதையைத் தேர்ந்தெடுப்பார்கள்.

ஆனால் உங்கள் விருப்பத்தேர்வுகள் எதுவாக இருந்தாலும், அந்தப் பகுதியைத் தெரிந்துகொள்வது அல்லது குறைந்தபட்சம் அதைக் கண்டறிவது நல்லது. நிலப்பரப்பு வரைபடம். அத்தகைய தகவல் இல்லை என்றால் என்ன செய்வது? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, நீங்கள் எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு தட்டையான பாதையைத் தேர்வு செய்யலாம், ஆனால் இதன் விளைவாக, வேடிக்கையான ஃபின்ஸுடன் ஒரு ஸ்கை சாய்வில் தடுமாறும். நேவிகேட்டர் மற்றும் செயற்கைக்கோள் படம் கூட நம்பகமான தரவை வழங்கும் என்பது உண்மை அல்ல. எனவே, கணிதத்தின் மூலம் பாதையின் நிவாரணத்தை முறைப்படுத்துவது நல்லது.

சில சாலைகளைக் கவனியுங்கள் (பக்கக் காட்சி):

ஒரு வேளை, ஒரு அடிப்படை உண்மையை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: பயணம் நடைபெறுகிறது இடமிருந்து வலம். எளிமைக்காக, செயல்பாடு என்று கருதுகிறோம் தொடர்ச்சியானபரிசீலனையில் உள்ள பகுதியில்.

இந்த விளக்கப்படத்தின் அம்சங்கள் என்ன?

இடைவெளியில் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது, அதாவது, அதன் ஒவ்வொரு அடுத்த மதிப்பு மேலும்முந்தையது. தோராயமாக, அட்டவணை செல்கிறது மேல்நோக்கி(நாங்கள் மலை ஏறுகிறோம்). மற்றும் இடைவெளியில் செயல்பாடு குறைகிறது- ஒவ்வொரு அடுத்த மதிப்பு குறைவாகமுந்தையது, மற்றும் எங்கள் அட்டவணை செல்கிறது மேலிருந்து கீழ்(சரிவில் கீழே செல்கிறது).

சிறப்பு புள்ளிகளுக்கும் கவனம் செலுத்துவோம். நாம் அடையும் புள்ளியில் அதிகபட்சம், அது உள்ளதுமதிப்பு மிகப்பெரியதாக இருக்கும் பாதையின் அத்தகைய பகுதி (அதிகமானது). அதே புள்ளியில், குறைந்தபட்சம், மற்றும் உள்ளதுஅதன் சுற்றுப்புறம், இதில் மதிப்பு சிறியது (குறைந்தது).

மேலும் கடுமையான சொற்கள் மற்றும் வரையறைகள் பாடத்தில் பரிசீலிக்கப்படும். செயல்பாட்டின் உச்சநிலை பற்றி, ஆனால் இப்போது இன்னும் ஒரு முக்கியமான அம்சத்தைப் படிப்போம்: இடைவெளிகளில் செயல்பாடு அதிகரித்து வருகிறது, ஆனால் அது அதிகரித்து வருகிறது வெவ்வேறு வேகத்தில். உங்கள் கண்களைக் கவரும் முதல் விஷயம் என்னவென்றால், விளக்கப்படம் இடைவெளியில் உயர்கிறது மிகவும் குளிர்இடைவெளியை விட. கணிதக் கருவிகளைப் பயன்படுத்தி சாலையின் செங்குத்தான தன்மையை அளவிட முடியுமா?

செயல்பாடு மாற்ற விகிதம்

யோசனை இதுதான்: சில மதிப்பை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் ("டெல்டா x" ஐப் படிக்கவும்), நாம் அழைப்போம் வாதம் அதிகரிப்பு, மற்றும் நமது பாதையின் பல்வேறு புள்ளிகளுக்கு "முயற்சி செய்ய" தொடங்குவோம்:

1) இடதுபுறத்தில் உள்ள புள்ளியைப் பார்ப்போம்: தூரத்தைக் கடந்து, சாய்வில் உயரத்திற்கு (பச்சைக் கோடு) ஏறுகிறோம். மதிப்பு அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடு அதிகரிப்பு, மற்றும் இந்த வழக்கில் இந்த அதிகரிப்பு நேர்மறையாக உள்ளது (அச்சு வழியாக மதிப்புகளின் வேறுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது). விகிதத்தை உருவாக்குவோம், இது நமது சாலையின் செங்குத்தான அளவைக் குறிக்கும். வெளிப்படையாக, ஒரு குறிப்பிட்ட எண், மற்றும் இரண்டு அதிகரிப்புகளும் நேர்மறையாக இருப்பதால், .

கவனம்! பதவி ஆகும் ஒன்றுசின்னம், அதாவது, நீங்கள் "x" இலிருந்து "டெல்டாவை" "கிழித்து" இந்த எழுத்துக்களை தனித்தனியாக கருத முடியாது. நிச்சயமாக, கருத்து செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு சின்னத்திற்கும் பொருந்தும்.

இதன் விளைவாக வரும் பின்னத்தின் தன்மையை இன்னும் அர்த்தமுள்ளதாக ஆராய்வோம். ஆரம்பத்தில் நாம் 20 மீட்டர் உயரத்தில் இருக்கிறோம் (இடது கருப்பு புள்ளியில்). மீட்டர் தூரத்தை (இடது சிவப்பு கோடு) கடந்து, நாங்கள் 60 மீட்டர் உயரத்தில் இருப்போம். பின்னர் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு இருக்கும் மீட்டர் (பச்சை கோடு) மற்றும்: . இந்த வழியில், ஒவ்வொரு மீட்டரிலும்சாலையின் இந்த பகுதி உயரம் அதிகரிக்கிறது சராசரி 4 மீட்டர்உங்கள் ஏறும் உபகரணங்களை மறந்துவிட்டீர்களா? =) வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கட்டமைக்கப்பட்ட விகிதம் செயல்பாட்டின் சராசரி மாற்ற விகிதத்தை (இந்த விஷயத்தில், வளர்ச்சி) வகைப்படுத்துகிறது.

குறிப்பு : கேள்விக்குரிய உதாரணத்தின் எண் மதிப்புகள் வரைபடத்தின் விகிதாச்சாரத்துடன் தோராயமாக மட்டுமே ஒத்திருக்கும்.

2) இப்போது வலதுபுறம் உள்ள கருப்பு புள்ளியில் இருந்து அதே தூரம் செல்லலாம். இங்கே எழுச்சி மிகவும் மென்மையானது, எனவே அதிகரிப்பு (கிரிம்சன் கோடு) ஒப்பீட்டளவில் சிறியது, முந்தைய வழக்கோடு ஒப்பிடும்போது விகிதம் மிகவும் மிதமானதாக இருக்கும். ஒப்பீட்டளவில், மீட்டர் மற்றும் செயல்பாடு வளர்ச்சி விகிதம்இருக்கிறது . அதாவது, சாலையின் ஒவ்வொரு மீட்டருக்கும் இங்கே உள்ளது சராசரிஅரை மீட்டர் மேலே.

3) மலைப்பகுதியில் ஒரு சிறிய சாகசம். y அச்சில் அமைந்துள்ள மேல் கருப்பு புள்ளியைப் பார்ப்போம். இது 50 மீட்டர் குறி என்று வைத்துக் கொள்வோம். மீண்டும் நாம் தூரத்தை கடக்கிறோம், இதன் விளைவாக நாம் குறைவாக இருப்பதைக் காண்கிறோம் - 30 மீட்டர் மட்டத்தில். இயக்கம் செய்யப்பட்டுள்ளதால் மேலிருந்து கீழ்(அச்சின் "எதிர்" திசையில்), பின்னர் இறுதி செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு (உயரம்) எதிர்மறையாக இருக்கும்: மீட்டர் (வரைபடத்தில் பழுப்பு கோடு). இந்த விஷயத்தில் நாம் பேசுகிறோம் சிதைவு விகிதம்அம்சங்கள்: , அதாவது, இந்த பிரிவின் பாதையின் ஒவ்வொரு மீட்டருக்கும், உயரம் குறைகிறது சராசரி 2 மீட்டர். ஐந்தாவது புள்ளியில் ஆடைகளை கவனித்துக் கொள்ளுங்கள்.

இப்போது கேள்வியைக் கேட்போம்: "அளவிடுதல் தரத்தின்" சிறந்த மதிப்பு என்ன? 10 மீட்டர் மிகவும் கரடுமுரடானது என்பது தெளிவாகிறது. ஒரு நல்ல டஜன் புடைப்புகள் அவற்றின் மீது எளிதில் பொருந்தும். ஏன் புடைப்புகள் உள்ளன, கீழே ஒரு ஆழமான பள்ளத்தாக்கு இருக்கலாம், சில மீட்டர்களுக்குப் பிறகு - அதன் மறுபக்கம் மேலும் செங்குத்தான ஏற்றத்துடன். எனவே, பத்து மீட்டர் ஒன்றுடன், விகிதத்தின் மூலம் பாதையின் அத்தகைய பிரிவுகளின் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய பண்புகளை நாம் பெற மாட்டோம்.

மேலே உள்ள விவாதத்திலிருந்து, பின்வரும் முடிவு பின்வருமாறு: சிறிய மதிப்பு, சாலையின் நிவாரணத்தை இன்னும் துல்லியமாக விவரிப்போம். மேலும், பின்வரும் உண்மைகள் உண்மை:

– எதற்கும்தூக்கும் புள்ளிகள் ஒன்று அல்லது மற்றொரு எழுச்சியின் எல்லைகளுக்குள் பொருந்தக்கூடிய மதிப்பை (மிகச் சிறியதாக இருந்தாலும்) நீங்கள் தேர்வு செய்யலாம். இதன் பொருள், தொடர்புடைய உயர அதிகரிப்பு நேர்மறையாக இருக்கும் என்று உத்தரவாதம் அளிக்கப்படும், மேலும் சமத்துவமின்மை இந்த இடைவெளிகளின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் செயல்பாட்டின் வளர்ச்சியை சரியாகக் குறிக்கும்.

- அதேபோல், எதற்கும்சாய்வு புள்ளி, இந்த சாய்வில் முழுமையாக பொருந்தும் ஒரு மதிப்பு உள்ளது. எனவே, உயரத்தின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பு சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி எதிர்மறையானது, மேலும் சமத்துவமின்மை கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் செயல்பாட்டின் குறைவை சரியாகக் காண்பிக்கும்.

- செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் போது குறிப்பாக ஆர்வமாக உள்ளது: . முதலில், பூஜ்ஜிய உயர அதிகரிப்பு () என்பது சமமான பாதையின் அடையாளம். இரண்டாவதாக, பிற ஆர்வமுள்ள சூழ்நிலைகள் உள்ளன, அதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளை நீங்கள் படத்தில் காணலாம். உயரும் கழுகுகளைக் கொண்ட ஒரு மலையின் உச்சிக்கு அல்லது வளைக்கும் தவளைகளைக் கொண்ட பள்ளத்தாக்கின் அடிப்பகுதிக்கு விதி நம்மை அழைத்துச் சென்றது என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். நீங்கள் எந்த திசையிலும் ஒரு சிறிய படி எடுத்தால், உயரத்தில் ஏற்படும் மாற்றம் மிகக் குறைவாக இருக்கும், மேலும் செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதம் உண்மையில் பூஜ்ஜியம் என்று நாம் கூறலாம். அதே மாதிரி புள்ளிகளிலும் காணப்படுகிறது.

எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதத்தை மிகச்சரியாக வகைப்படுத்துவதற்கான அற்புதமான வாய்ப்பை நாங்கள் அணுகியுள்ளோம். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, கணித பகுப்பாய்வு வாதத்தின் அதிகரிப்பை பூஜ்ஜியத்திற்கு இயக்க அனுமதிக்கிறது: அதாவது, அதை உருவாக்க எல்லையற்ற.

இதன் விளைவாக, மற்றொரு தர்க்கரீதியான கேள்வி எழுகிறது: சாலை மற்றும் அதன் அட்டவணையை கண்டுபிடிக்க முடியுமா? மற்றொரு செயல்பாடு, எந்த எங்களிடம் கூறுவார்அனைத்து அடுக்குமாடிகள், மலைகள், மலைகள், சிகரங்கள், தாழ்நிலங்கள் மற்றும் பாதையின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் அதிகரிப்பு / குறைப்பு விகிதம் பற்றி?

வழித்தோன்றல் என்றால் என்ன? ஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறை.
வழித்தோன்றல் மற்றும் வேறுபாட்டின் வடிவியல் பொருள்

தயவு செய்து கவனமாகப் படியுங்கள், மிக விரைவாக அல்ல - பொருள் எளிமையானது மற்றும் அனைவருக்கும் அணுகக்கூடியது! சில இடங்களில் ஏதாவது தெளிவாகத் தெரியவில்லை என்றால் பரவாயில்லை, பிறகு எப்போது வேண்டுமானாலும் கட்டுரைக்குத் திரும்பலாம். நான் மேலும் கூறுவேன், அனைத்து புள்ளிகளையும் தரமான முறையில் புரிந்து கொள்ள கோட்பாட்டை பல முறை படிப்பது பயனுள்ளதாக இருக்கும் (அறிவுரை குறிப்பாக "தொழில்நுட்ப" மாணவர்களுக்கு பொருத்தமானது. உயர் கணிதம்கல்வி செயல்பாட்டில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது).

இயற்கையாகவே, ஒரு கட்டத்தில் வழித்தோன்றலின் வரையறையில், நாம் அதை மாற்றுவோம்:

நாம் என்ன வந்தோம்? சட்டத்தின்படி ஒரு செயல்பாடு என்ற முடிவுக்கு வந்தோம் சீரமைக்கப்பட்டுள்ளது மற்ற செயல்பாடு, இது அழைக்கப்படுகிறது வழித்தோன்றல் செயல்பாடு(அல்லது வெறுமனே வழித்தோன்றல்).

வழித்தோன்றல் வகைப்படுத்துகிறது மாற்றம் விகிதம்செயல்பாடுகள். எப்படி? கட்டுரையின் தொடக்கத்திலிருந்தே சிந்தனை சிவப்பு நூல் போல செல்கிறது. சில புள்ளிகளைக் கவனியுங்கள் களங்கள்செயல்பாடுகள். கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் செயல்பாடு வேறுபட்டதாக இருக்கட்டும். பிறகு:

1) என்றால், செயல்பாடு புள்ளியில் அதிகரிக்கிறது. மற்றும் வெளிப்படையாக உள்ளது இடைவெளி(மிகச் சிறியதாக இருந்தாலும்) செயல்பாடு வளரும் புள்ளியைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அதன் வரைபடம் "கீழிருந்து மேல்" செல்கிறது.

2) என்றால், செயல்பாடு புள்ளியில் குறைகிறது. செயல்பாடு குறையும் ஒரு புள்ளியைக் கொண்ட ஒரு இடைவெளி உள்ளது (வரைபடம் "மேலிருந்து கீழாக" செல்கிறது).

3) என்றால், பின்னர் எல்லையற்ற நெருக்கமானபுள்ளிக்கு அருகில், செயல்பாடு அதன் வேகத்தை நிலையானதாக வைத்திருக்கிறது. இது, குறிப்பிட்டது போல், ஒரு செயல்பாடு-நிலையான மற்றும் செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளிகளில், குறிப்பாக குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகளில்.

சில சொற்பொருள்கள். "வேறுபடுத்து" என்ற வினை ஒரு பரந்த பொருளில் என்ன அர்த்தம்? வேறுபடுத்துவது என்பது ஒரு அம்சத்தை தனிமைப்படுத்துவதாகும். செயல்பாட்டை வேறுபடுத்தி, செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் வடிவத்தில் அதன் மாற்றத்தின் விகிதத்தை "தேர்வு" செய்கிறோம். மேலும், "வழித்தோன்றல்" என்ற வார்த்தையின் அர்த்தம் என்ன? செயல்பாடு நடந்ததுசெயல்பாட்டில் இருந்து.

இந்த சொற்கள் வழித்தோன்றலின் இயந்திர அர்த்தத்தை மிகவும் வெற்றிகரமாக விளக்குகின்றன :
உடலின் ஆயங்களை மாற்றுவதற்கான விதியைக் கருத்தில் கொள்வோம், இது நேரத்தைப் பொறுத்தது மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட உடலின் இயக்கத்தின் வேகத்தின் செயல்பாட்டைப் பொறுத்தது. செயல்பாடு உடல் ஒருங்கிணைப்பின் மாற்ற விகிதத்தை வகைப்படுத்துகிறது, எனவே இது நேரத்தைப் பொறுத்து செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றலாகும்: . "உடல் இயக்கம்" என்ற கருத்து இயற்கையில் இல்லை என்றால், அது இருக்காது வழித்தோன்றல்"வேகம்" என்ற கருத்து.

உடலின் முடுக்கம் என்பது வேக மாற்றத்தின் வீதமாகும், எனவே: . "உடல் இயக்கம்" மற்றும் "உடல் இயக்க வேகம்" ஆகியவற்றின் அசல் கருத்துக்கள் இயற்கையில் இல்லை என்றால், இல்லை வழித்தோன்றல்உடலின் முடுக்கம் பற்றிய கருத்து.