Lista de integrales de funciones elementales. Antiderivada
Enumeramos las integrales de funciones elementales, que a veces se denominan tabulares:
Cualquiera de las fórmulas anteriores se puede probar tomando la derivada del lado derecho (como resultado, se obtendrá el integrando).
Métodos de integración
Veamos algunos de los principales métodos de integración. Éstas incluyen:
1. Método de descomposición(integración directa).
Este método se basa en la aplicación directa de integrales tabulares, así como en la aplicación de las propiedades 4 y 5 de la integral indefinida (es decir, sacar el factor constante y / o representar el integrando como una suma de funciones - la expansión de el integrando en términos).
Ejemplo 1. Por ejemplo, para encontrar (dx / x 4), puede usar directamente la integral tabular para x n dx. De hecho, (dx / x 4) = x -4 dx = x -3 / (- 3) + C = -1 / 3x 3 + C.
Veamos algunos ejemplos más.
Ejemplo 2. Para encontrar, usamos la misma integral:
Ejemplo 3. Para encontrar, debes tomar
Ejemplo 4. Para encontrar, representamos el integrando en la forma 
y use la integral tabular para la función exponencial:
Considere usar un factor constante fuera del paréntesis.
Ejemplo 5.
Busquemos, por ejemplo 
... Considerando eso, obtenemos
Ejemplo 6. Lo encontraremos. En la medida en 
, usamos la integral de tabla 
Obtenemos
También puede usar paréntesis e integrales de tabla en los dos ejemplos siguientes:
Ejemplo 7.
(usar y 
);
Ejemplo 8.
(usar 
y 
).
Veamos ejemplos más complejos usando la integral de la suma.
Ejemplo 9. Por ejemplo, busquemos 
... Para aplicar el método de expansión en el numerador, usamos la fórmula para el cubo de la suma , y luego dividimos el polinomio resultante por el denominador.
= ((8x 3/2 + 12x + 6x 1/2 + 1) / (x 3/2)) dx = (8 + 12x -1/2 + 6 / x + x -3/2) dx = 8 dx + 12x -1/2 dx + + 6dx / x + x -3/2 dx = 
Cabe señalar que al final de la solución se escribe una constante común C (y no se separa al integrar cada término). En lo que sigue, también se propone omitir en el proceso de solución las constantes de la integración de términos individuales siempre que la expresión contenga al menos una integral indefinida(escribiremos una constante al final de la solución).
Ejemplo 10. Encontrar 
... Para resolver este problema, factorizamos el numerador (después de eso, podremos reducir el denominador).
Ejemplo 11. Lo encontraremos. Aquí se pueden utilizar identidades trigonométricas.
A veces, para descomponer una expresión en términos, es necesario utilizar técnicas más complejas.
Ejemplo 12. Encontrar 
... En el integrando, seleccione la parte entera de la fracción 
... Entonces
Ejemplo 13. Encontrar
2. Método de sustitución de variables (método de sustitución)
El método se basa en la siguiente fórmula: f (x) dx = f ( (t)) ` (t) dt, donde x = (t) es una función diferenciable en el intervalo considerado.
Prueba. Encontremos las derivadas con respecto a la variable t de los lados izquierdo y derecho de la fórmula.
Tenga en cuenta que en el lado izquierdo hay una función compleja, cuyo argumento intermedio es x = (t). Por lo tanto, para diferenciarlo con respecto a t, primero diferenciamos la integral con respecto a x, y luego tomamos la derivada del argumento intermedio con respecto a t.
( f (x) dx) `t = ( f (x) dx)` x * x` t = f (x) ` (t)
Derivado del lado derecho:
(f ( (t)) ` (t) dt) `t = f ( (t)) ` (t) = f (x) ` (t)
Dado que estas derivadas son iguales, por el corolario del teorema de Lagrange, los lados izquierdo y derecho de la fórmula que se prueban difieren por alguna constante. Dado que las integrales indefinidas en sí mismas se definen hasta un término constante indefinido, la constante especificada en la notación final se puede omitir. Probado.
Un cambio exitoso de la variable permite simplificar la integral original y, en los casos más simples, reducirla a una tabular. En la aplicación de este método, se hace una distinción entre métodos de sustitución lineales y no lineales.
a) Método de sustitución lineal Consideremos un ejemplo.
Ejemplo 1.
... Sea t = 1 - 2x, entonces
dx = d (½ - ½t) = - ½dt
Cabe señalar que la nueva variable no necesita escribirse explícitamente. En tales casos, se habla de transformar una función bajo el signo diferencial o de introducir constantes y variables bajo el signo diferencial, es decir. O reemplazo de variable implícita.
Ejemplo 2. Por ejemplo, encuentre cos (3x + 2) dx. Por las propiedades del diferencial dx = (1/3) d (3x) = (1/3) d (3x + 2), entonces cos (3x + 2) dx = (1/3) cos (3x + 2 ) d (3x + + 2) = (1/3) cos (3x + 2) d (3x + 2) = (1/3) sin (3x + 2) + C.
En ambos ejemplos considerados, se utilizó la sustitución lineal t = kx + b (k0) para encontrar las integrales.
En el caso general, el siguiente teorema es cierto.
Teorema de sustitución lineal... Sea F (x) alguna antiderivada para la función f (x). Entonces f (kx + b) dx = (1 / k) F (kx + b) + C, donde k y b son algunas constantes, k0.
Prueba.
Según la definición de la integral, f (kx + b) d (kx + b) = F (kx + b) + C. Hod (kx + b) = (kx + b) `dx = kdx. Saque el factor constante k para el signo integral: kf (kx + b) dx = F (kx + b) + C. Ahora podemos dividir los lados izquierdo y derecho de la igualdad en k y obtener la afirmación probada hasta la notación de un término constante.
Este teorema afirma que si la expresión (kx + b) se sustituye en la definición de la integral f (x) dx = F (x) + C en lugar del argumento x, entonces esto conducirá a la aparición de un factor adicional. 1 / k delante de la antiderivada.
Usando el teorema probado, resolvemos los siguientes ejemplos.
Ejemplo 3.
Encontrar 
... Aquí kx + b = 3 –x, es decir, k = -1, b = 3. Entonces
Ejemplo 4.
Lo encontraremos. Aquí kx + b = 4x + 3, es decir, k = 4, b = 3. Entonces
Ejemplo 5.
Encontrar 
... Aquí kx + b = -2x + 7, es decir, k = -2, b = 7. Entonces
.
Ejemplo 6. Encontrar 
... Aquí kx + b = 2x + 0, es decir, k = 2, b = 0.
.
Comparemos este resultado con el ejemplo 8, que se resolvió mediante el método de descomposición. Resolviendo el mismo problema con un método diferente, obtuvimos la respuesta 
... Comparemos los resultados obtenidos: Por lo tanto, estas expresiones se diferencian entre sí por un término constante 
, es decir. las respuestas recibidas no se contradicen entre sí.
Ejemplo 7. Encontrar 
... Seleccionemos un cuadrado completo en el denominador.
En algunos casos, cambiar una variable no reduce la integral directamente a una tabular, pero puede simplificar la solución, haciendo posible utilizar el método de descomposición en el siguiente paso.
Ejemplo 8. Por ejemplo, busquemos 
... Reemplace t = x + 2, luego dt = d (x + 2) = dx. Entonces
,
donde С = С 1 - 6 (al sustituir la expresión (x + 2) en lugar de los dos primeros términos, obtenemos ½x 2 -2x– 6).
Ejemplo 9. Encontrar 
... Sea t = 2x + 1, luego dt = 2dx; dx = ½dt; x = (t– 1) / 2.
Sustituye la expresión (2x + 1) en lugar de t, expande los paréntesis y da otros similares.
Tenga en cuenta que en el proceso de transformaciones cambiamos a otro término constante, ya que el grupo de términos constantes en el proceso de transformaciones podría omitirse.
b) Método de sustitución no lineal Consideremos un ejemplo.
Ejemplo 1.
... Sea t = -x 2. Además, se podría expresar de x a t, luego encontrar una expresión para dx e implementar el cambio de variable en la integral requerida. Pero en este caso, es más fácil hacerlo de otra manera. Encuentre dt = d (-x 2) = -2xdx. Tenga en cuenta que la expresión xdx es un factor del integrando de la integral requerida. Expresémoslo a partir de la igualdad obtenida xdx = - ½dt. Entonces
Función antiderivada e integral indefinida
Hecho 1. La integración es lo opuesto a la diferenciación, es decir, la restauración de una función a partir de una derivada conocida de esta función. La función así restaurada F(X) se llama antiderivada para la función F(X).
Definición 1. Función F(X F(X) en algún intervalo X si para todos los valores X de este intervalo, la igualdad F "(X)=F(X), es decir, esta función F(X) es la derivada de la función antiderivada F(X). .
Por ejemplo, la función F(X) = pecado X es la antiderivada de la función F(X) = cos X en la recta numérica entera, ya que para cualquier valor de x (pecado X) "= (cos X) .
Definición 2. La integral indefinida de una función F(X) es el conjunto de todas sus antiderivadas... En este caso, se utiliza el registro
∫
F(X)dx
,donde esta la señal ∫ se llama signo integral, la función F(X) Es el integrando, y F(X)dx - un integrando.
Así que si F(X) Es una especie de antiderivada para F(X) , entonces
∫
F(X)dx = F(X) +C
donde C - una constante arbitraria (constante).
Para entender el significado del conjunto de antiderivadas de una función como una integral indefinida, la siguiente analogía es apropiada. Que haya una puerta (tradicional puerta de madera). Su función es "ser la puerta". ¿De qué está hecha la puerta? Hecho de madera. Esto significa que el conjunto de antiderivadas del integrando "ser una puerta", es decir, su integral indefinida, es la función "ser un árbol + C", donde C es una constante, que en este contexto puede significar, por ejemplo, una especie de árbol. Al igual que una puerta se hace de madera con algunas herramientas, la derivada de una función se "hace" a partir de una función antiderivada usando la fórmula que aprendimos al estudiar la derivada .
Entonces la tabla de funciones de los objetos comunes y sus correspondientes antiderivadas ("ser una puerta" - "ser un árbol", "ser una cuchara" - "ser metal", etc.) es similar a la tabla de integrales indefinidas, que se darán a continuación. La tabla de integrales indefinidas enumera funciones comunes con una indicación de las antiderivadas a partir de las cuales se "hacen" estas funciones. En la parte de los problemas de hallar la integral indefinida, se dan tales integrandos que, sin consideraciones especiales, pueden integrarse directamente, es decir, según la tabla de integrales indefinidas. En problemas más complicados, primero se debe transformar el integrando para que se puedan usar integrales tabulares.
Hecho 2. Al restaurar una función como antiderivada, debemos tener en cuenta una constante arbitraria (constante) C, y para no escribir una lista de antiderivadas con varias constantes de 1 a infinito, necesita escribir un conjunto de antiderivadas con una constante arbitraria C por ejemplo así: 5 X³ + С. Entonces, una constante arbitraria (constante) se incluye en la expresión de la antiderivada, ya que la antiderivada puede ser una función, por ejemplo, 5 X³ + 4 o 5 X³ + 3 y diferenciación 4 o 3, o cualquier otra desvanecimiento constante.
Planteemos el problema de la integración: para esta función F(X) encontrar tal función F(X), cuya derivada es igual a F(X).
Ejemplo 1. Encuentra el conjunto de antiderivadas de una función
Solución. Para esta función, la antiderivada es la función
Función F(X) se llama antiderivada para la función F(X) si la derivada F(X) es igual a F(X), o lo que es lo mismo, el diferencial F(X) es igual a F(X) dx, es decir.
(2)
Por tanto, una función es una antiderivada de una función. Sin embargo, no es la única antiderivada de. También sirven como funciones
donde CON Es una constante arbitraria. Esto se puede verificar mediante diferenciación.
Por lo tanto, si hay una antiderivada para una función, entonces para ella hay un número infinito de antiderivadas que se diferencian por un término constante. Todas las antiderivadas de una función se escriben en la forma anterior. Esto se sigue del siguiente teorema.
Teorema (declaración formal del hecho 2). Si F(X) Es la antiderivada de la función F(X) en algún intervalo X, luego cualquier otra antiderivada para F(X) en el mismo intervalo se puede representar como F(X) + C, donde CON Es una constante arbitraria.
En el siguiente ejemplo, ya nos referimos a la tabla de integrales, que se dará en la Sección 3, después de las propiedades de la integral indefinida. Hacemos esto antes de leer toda la tabla para que quede clara la esencia de lo anterior. Y después de la tabla y las propiedades, las usaremos en la integración en su totalidad.
Ejemplo 2. Encuentra conjuntos de antiderivadas:
Solución. Encontramos un conjunto de funciones antiderivadas a partir de las cuales estas funciones están "hechas". Al mencionar fórmulas de la tabla de integrales, por ahora, simplemente acepte que existen tales fórmulas, y estudiaremos la tabla completa de integrales indefinidas un poco más.
1) Aplicando la fórmula (7) de la tabla de integrales para norte= 3, obtenemos
2) Usando la fórmula (10) de la tabla de integrales para norte= 1/3, tenemos
3) Desde
luego por la fórmula (7) en norte= -1/4 encontrar
La integral no es la función en sí F, y su producto por el diferencial dx... Esto se hace principalmente para indicar en qué variable se busca la antiderivada. Por ejemplo,
,
;
aquí en ambos casos el integrando es igual, pero sus integrales indefinidas en los casos considerados resultan ser diferentes. En el primer caso, esta función se considera una función de la variable X, y en el segundo - en función de z .
El proceso de encontrar la integral indefinida de una función se llama integración de esta función.
El significado geométrico de la integral indefinida
Deje que se requiera encontrar una curva. y = F (x) y ya sabemos que la tangente del ángulo de inclinación de la tangente en cada uno de sus puntos es una función dada f (x) abscisa de este punto.
Según el significado geométrico de la derivada, la tangente de la pendiente de la tangente en un punto dado de la curva y = F (x) es igual al valor de la derivada F "(x)... Por lo tanto, necesitamos encontrar tal función F (x), para cual F "(x) = f (x)... Función requerida en la tarea F (x) es la antiderivada de f (x)... La condición del problema no se satisface con una curva, sino con una familia de curvas. y = F (x) es una de estas curvas, y cualquier otra curva se puede obtener a partir de ella mediante traslación paralela a lo largo del eje Oy.
Llamemos a la gráfica de la función antiderivada de f (x) curva integral. Si F "(x) = f (x), luego la gráfica de la función y = F (x) hay una curva integral.
Hecho 3. La integral indefinida está representada geométricamente por la familia de todas las curvas integrales. como en la imagen de abajo. La distancia de cada curva desde el origen está determinada por una constante arbitraria (constante) de integración C.
Propiedades integrales indefinidas
Hecho 4. Teorema 1. La derivada de una integral indefinida es igual al integrando y su diferencial es igual al integrando.
Hecho 5. Teorema 2. Integral indefinida de la diferencial de una función F(X) es igual a la función F(X) hasta un término constante , es decir.
(3)
Los teoremas 1 y 2 muestran que la diferenciación y la integración son operaciones recíprocas.
Hecho 6. Teorema 3. El factor constante en el integrando se puede sacar del signo integral indefinido , es decir.
En un material anterior, se consideró la cuestión de encontrar la derivada y su varias aplicaciones: cálculo de la pendiente de la tangente al gráfico, resolución de problemas de optimización, examen de funciones en busca de monotonicidad y extremos. $ \ newcommand (\ tg) (\ mathop (\ mathrm (tg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ ctg) (\ mathop (\ mathrm (ctg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ arctg) ( \ mathop (\ mathrm (arctg)) \ nolimits) $ $ \ newcommand (\ arcctg) (\ mathop (\ mathrm (arcctg)) \ nolimits) $
Foto 1.
También se consideró el problema de encontrar la velocidad instantánea $ v (t) $ usando la derivada a lo largo de la trayectoria recorrida previamente conocida, expresada por la función $ s (t) $.
Figura 2.
El problema inverso se encuentra muy a menudo, cuando necesita encontrar el camino $ s (t) $ atravesado por un punto en el tiempo $ t $, conociendo la velocidad del punto $ v (t) $. Si recordamos, la velocidad instantánea $ v (t) $ se encuentra como una derivada de la función de trayectoria $ s (t) $: $ v (t) = s '(t) $. Esto significa que para resolver el problema inverso, es decir, para calcular la ruta, necesitas encontrar una función cuya derivada sea igual a la función de velocidad. Pero sabemos que la derivada de la ruta es la velocidad, es decir: $ s ’(t) = v (t) $. La velocidad es igual al producto de la aceleración y el tiempo: $ v = en $. Es fácil determinar que la función de ruta requerida tendrá la forma: $ s (t) = \ frac (at ^ 2) (2) $. Pero esta no es una solución completa. La solución completa tendrá la forma: $ s (t) = \ frac (at ^ 2) (2) + C $, donde $ C $ es una constante. Por qué esto es así, se discutirá más adelante. Por ahora, verifiquemos la exactitud de la solución encontrada: $ s "(t) = \ left (\ frac (at ^ 2) (2) + C \ right)" = 2 \ frac (at) (2) + 0 = en = v (t) $.
Vale la pena señalar que encontrar un camino mediante la velocidad es el significado físico de la antiderivada.
La función resultante $ s (t) $ se denomina antiderivada de la función $ v (t) $. Bastante interesante y nombre inusual, no es. Tiene un gran significado que explica la esencia. de este concepto y conduce a su entendimiento. Puede ver que contiene dos palabras "primero" e "imagen". Hablan por si mismos. Es decir, esta es la función que es la inicial de la derivada que tenemos. Y buscamos esta derivada para la función que estaba al principio, era “primera”, “primera imagen”, es decir, la antiderivada. A veces también se le llama función primitiva o antiderivada.
Como ya sabemos, el proceso de encontrar una derivada se llama diferenciación. Y el proceso de encontrar la antiderivada se llama integración. La operación de integración es la inversa de la operación de diferenciación. Lo contrario también es cierto.
Definición. Una antiderivada para una función $ f (x) $ en algún intervalo es una función $ F (x) $ cuya derivada es igual a esta función $ f (x) $ para todos $ x $ del intervalo especificado: $ F '( x) = f (x) $.
Alguien puede tener una pregunta: ¿de dónde vienen $ F (x) $ y $ f (x) $ en la definición, si inicialmente eran alrededor de $ s (t) $ y $ v (t) $? El caso es que $ s (t) $ y $ v (t) $ son casos especiales de notación de funciones que tienen un significado específico en este caso, es decir, son función del tiempo y función de la velocidad, respectivamente. Lo mismo ocurre con la variable $ t $: significa tiempo. Y $ f $ y $ x $ son las versiones tradicionales de la notación general para una función y una variable, respectivamente. Vale la pena girar Atención especial a la notación de la antiderivada $ F (x) $. Primero, $ F $ se capitaliza. Las antiderivadas se indican en letras mayúsculas... En segundo lugar, las letras coinciden: $ F $ y $ f $. Es decir, para la función $ g (x) $, la antiderivada se indicará con $ G (x) $, para $ z (x) $ - $ Z (x) $. Independientemente de la notación, las reglas para encontrar la función antiderivada son siempre las mismas.
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1. Demuestre que la función $ F (x) = \ frac (1) (5) \ sin5x $ es la antiderivada de la función $ f (x) = \ cos5x $.
Para la prueba, usamos la definición, o más bien el hecho de que $ F '(x) = f (x) $, y hallamos la derivada de la función $ F (x) $: $ F' (x) = (\ frac (1) (5) \ sin5x) '= \ frac (1) (5) \ cdot 5 \ cos5x = \ cos5x $. Entonces $ F (x) = \ frac (1) (5) \ sin5x $ es la antiderivada de $ f (x) = \ cos5x $. Q.E.D.
Ejemplo 2. Encuentre a qué funciones corresponden las siguientes antiderivadas: a) $ F (z) = \ tg z $; b) $ G (l) = \ sin l $.
Para encontrar las funciones requeridas, calculemos sus derivadas:
a) $ F ’(z) = (\ tg z)’ = \ frac (1) (\ cos ^ 2 z) $;
b) $ G (l) = (\ sin l) ’= \ cos l $.
Ejemplo 3.¿Cuál es la antiderivada de $ f (x) = 0 $?
Usemos la definición. Pensemos en qué función puede tener una derivada igual a $ 0 $. Recordando la tabla de derivadas, encontramos que cualquier constante tendrá tal derivada. Obtenemos que la antiderivada que estamos buscando: $ F (x) = C $.
La solución resultante se puede explicar geométrica y físicamente. Geométricamente, significa que la tangente al gráfico $ y = F (x) $ es horizontal en cada punto de este gráfico y, por lo tanto, coincide con el eje $ Ox $. Físicamente, se explica por el hecho de que un punto con velocidad igual a cero permanece en su lugar, es decir, el camino recorrido por él permanece sin cambios. Con base en esto, podemos formular el siguiente teorema.
Teorema. (El signo de la constancia de funciones.). Si en algún intervalo $ F '(x) = 0 $, entonces la función $ F (x) $ es constante en este intervalo.
Ejemplo 4. Determine qué funciones son antiderivadas a) $ F_1 = \ frac (x ^ 7) (7) $; b) $ F_2 = \ frac (x ^ 7) (7) - 3 $; c) $ F_3 = \ frac (x ^ 7) (7) + 9 $; d) $ F_4 = \ frac (x ^ 7) (7) + a $, donde $ a $ es un número.
Usando la definición de una antiderivada, llegamos a la conclusión de que para resolver este problema necesitamos calcular las derivadas de los datos de las antiderivadas para nosotros. Al calcular, recuerde que la derivada de una constante, es decir, cualquier número, es igual a cero.
a) $ F_1 = (\ frac (x ^ 7) (7)) "= 7 \ cdot \ frac (x ^ 6) (7) = x ^ 6 $;
b) $ F_2 = \ left (\ frac (x ^ 7) (7) - 3 \ right) "= 7 \ cdot \ frac (x ^ 6) (7) = x ^ 6 $;
c) $ F_3 = (\ frac (x ^ 7) (7) + 9) ’= x ^ 6 $;
d) $ F_4 = (\ frac (x ^ 7) (7) + a) ’= x ^ 6 $.
¿Qué vemos? Varias funciones diferentes son antiderivadas de la misma función. Esto significa que cualquier función tiene infinitas antiderivadas, y tienen la forma $ F (x) + C $, donde $ C $ es una constante arbitraria. Es decir, la operación de integración tiene varios valores, en contraste con la operación de diferenciación. Con base en esto, formulemos un teorema que describa la propiedad principal de las antiderivadas.
Teorema. (La principal propiedad de las antiderivadas.). Deje que las funciones $ F_1 $ y $ F_2 $ sean las antiderivadas de la función $ f (x) $ en algún intervalo. Entonces, para todos los valores de este intervalo, la siguiente igualdad es verdadera: $ F_2 = F_1 + C $, donde $ C $ es una constante.
El hecho de que haya un número infinito de antiderivadas se puede interpretar geométricamente. Usando la traslación paralela a lo largo del eje $ Oy $, pueden obtener las gráficas de dos antiderivadas cualesquiera para $ f (x) $. Este es el significado geométrico de la antiderivada.
Es muy importante prestar atención al hecho de que eligiendo la constante $ C $ es posible lograr el paso de la gráfica antiderivada por un determinado punto.
Figura 3.
Ejemplo 5. Encuentre la antiderivada para la función $ f (x) = \ frac (x ^ 2) (3) + 1 $, cuya gráfica pasa por el punto $ (3; 1) $.
Primero, encuentre todas las antiderivadas para $ f (x) $: $ F (x) = \ frac (x ^ 3) (9) + x + C $.
A continuación, encontramos un número C para el cual la gráfica $ y = \ frac (x ^ 3) (9) + x + C $ pasará por el punto $ (3; 1) $. Para hacer esto, sustituimos las coordenadas del punto en la ecuación de la gráfica y la resolvemos con respecto a $ C $:
$ 1 = \ frac (3 ^ 3) (9) +3 + C $, $ C = -5 $.
Obtuvimos la gráfica $ y = \ frac (x ^ 3) (9) + x-5 $, que corresponde a la antiderivada $ F (x) = \ frac (x ^ 3) (9) + x-5 $.
Tabla de antiderivadas
Se puede compilar una tabla de fórmulas para encontrar antiderivadas usando fórmulas de derivadas.
| Funciones | Antiderivadas |
| $0$ | $ C $ |
| $1$ | $ x + C $ |
| $ a \ en R $ | $ ax + C $ |
| $ x ^ n, n \ ne1 $ | $ \ Displaystyle \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1) + C $ |
| $ \ Displaystyle \ frac (1) (x) $ | $ \ ln | x | + C $ |
| $ \ sin x $ | $ - \ cos x + C $ |
| $ \ cos x $ | $ \ sin x + C $ |
| $ \ Displaystyle \ frac (1) (\ sin ^ 2 x) $ | $ - \ ctg x + C $ |
| $ \ Displaystyle \ frac (1) (\ cos ^ 2 x) $ | $ \ tg x + C $ |
| $ e ^ x $ | $ e ^ x + C $ |
| $ a ^ x, a> 0, a \ ne1 $ | $ \ Displaystyle \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C $ |
| $ \ Displaystyle \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $ | $ \ arcsin x + C $ |
| $ \ Displaystyle - \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $ | $ \ arccos x + C $ |
| $ \ Displaystyle \ frac (1) (1 + x ^ 2) $ | $ \ arctg x + C $ |
| $ \ Displaystyle - \ frac (1) (1 + x ^ 2) $ | $ \ arcctg x + C $ |
Puede verificar la exactitud de la tabla de la siguiente manera: para cada conjunto de antiderivadas ubicadas en la columna de la derecha, encuentre la derivada, como resultado de lo cual se obtendrán las funciones correspondientes en la columna de la izquierda.
Algunas reglas para encontrar antiderivadas
Como sabes, muchas funciones tienen una forma más compleja que las indicadas en la tabla de antiderivadas, y pueden ser cualquier combinación arbitraria de sumas y productos de funciones de esta tabla. Y luego surge la pregunta de cómo calcular las antiderivadas de tales funciones. Por ejemplo, de la tabla sabemos cómo calcular las antiderivadas $ x ^ 3 $, $ \ sin x $ y $ 10 $. ¿Y cómo, por ejemplo, calcular la antiderivada $ x ^ 3-10 \ sin x $? De cara al futuro, vale la pena señalar que será igual a $ \ frac (x ^ 4) (4) +10 \ cos x $.
1. Si $ F (x) $ es una antiderivada para $ f (x) $, $ G (x) $ es para $ g (x) $, entonces para $ f (x) + g (x) $ la antiderivada será igual a $ F (x) + G (x) $.
2. Si $ F (x) $ es una antiderivada de $ f (x) $ y $ a $ es una constante, entonces $ aF (x) $ será una antiderivada de $ af (x) $.
3. Si para $ f (x) $ la antiderivada es $ F (x) $, $ a $ y $ b $ son constantes, entonces $ \ frac (1) (a) F (ax + b) $ es la antiderivada por $ f (ax + b) $.
Usando las reglas obtenidas, podemos expandir la tabla de antiderivadas.
| Funciones | Antiderivadas |
| $ (ax + b) ^ n, n \ ne1, a \ ne0 $ | $ \ Displaystyle \ frac ((ax + b) ^ n) (a (n + 1)) + C $ |
| $ \ Displaystyle \ frac (1) (ax + b), a \ ne0 $ | $ \ estilo de visualización \ frac (1) (a) \ ln | ax + b | + C $ |
| $ e ^ (ax + b), a \ ne0 $ | $ \ Displaystyle \ frac (1) (a) e ^ (ax + b) + C $ |
| $ \ sin (ax + b), a \ ne0 $ | $ \ Displaystyle - \ frac (1) (a) \ cos (ax + b) + C $ |
| $ \ cos (ax + b), a \ ne0 $ | $ \ Displaystyle \ frac (1) (a) \ sin (ax + b) + C $ |
Ejemplo 5. Encuentre antiderivadas para:
a) $ \ Displaystyle 4x ^ 3 + 10x ^ 7 $;
b) $ \ estilo de visualización \ frac (6) (x ^ 5) - \ frac (2) (x) $;
c) $ \ Displaystyle 5 \ cos x + \ sin (3x + 15) $;
d) $ \ Displaystyle \ sqrt (x) -2 \ sqrt (x) $.
a) $ 4 \ frac (x ^ (3 + 1)) (3 + 1) +10 \ frac (x ^ (7 + 1)) (7 + 1) + C = x ^ 4 + \ frac (5) (4) x ^ 8 + C $;
b) $ - \ frac (3) (2x ^ 4) -2 \ ln | x | + C $;
c) $ 5 \ sin x - \ frac (1) (3) \ cos (3x + 15) + C $;
d) $ \ frac (2) (3) x \ sqrt (x) - \ frac (3) (2) x \ sqrt (x) + C $.
Fórmulas básicas y métodos de integración. Regla de integración para suma o diferencia. Sacando la constante del signo integral. Método de sustitución variable. Fórmula de integración por partes. Un ejemplo de solución del problema.
Los cuatro métodos principales de integración se enumeran a continuación.
1)
Regla de integración para suma o diferencia.
.
Aquí y abajo, u, v, w son funciones de la variable de integración x.
2)
Sacando la constante del signo integral.
Sea c una constante independiente de x. Entonces puede tomarse fuera del signo integral.
3)
Método de sustitución variable.
Considere una integral indefinida.
Si podemos encontrar tal función φ (X) de x, de modo que
,
entonces, después de cambiar la variable t = φ (x), tenemos
.
4)
Fórmula de integración por partes.
,
donde uyv son funciones de la variable de integración.
El objetivo final de calcular integrales indefinidas es, mediante transformaciones, reducir la integral dada a las integrales más simples, que se denominan integrales de tabla. Integrales de mesa se expresan en términos de funciones elementales según fórmulas conocidas.
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Ejemplo
Calcular integral indefinida
Solución
Tenga en cuenta que el integrando es la suma y la diferencia de tres términos:
, y .
Aplicamos el método 1
.
Además, notamos que los integrandos de las nuevas integrales se multiplican por las constantes 5, 4,
y 2
, respectivamente. Aplicamos el método 2
.
En la tabla de integrales encontramos la fórmula
.
Poniendo n = 2
, encontramos la primera integral.
Reescribimos la segunda integral como
.
Tenga en cuenta que. Entonces
Aplicamos el tercer método. Cambiar la variable t = φ (x) = ln x.
.
En la tabla de integrales encontramos la fórmula
Dado que la variable de integración se puede denotar con cualquier letra, entonces
Reescribimos la tercera integral como
.
Aplicamos la fórmula de integración por partes.
Pongamos.
Entonces
;
;
;
;
.
En la escuela, muchos no pueden resolver integrales o tienen dificultades con ellas. Este artículo te ayudará a resolverlo, ya que en él encontrarás todo. tablas integrales.
Integral es uno de los principales cálculos y conceptos del análisis matemático. Su aparición vino de dos goles:
Primer objetivo- para restaurar la función usando su derivada.
Segundo gol- cálculo del área ubicada a una distancia de la gráfica a la función f (x) en línea recta donde, y es mayor o igual que x, es mayor o igual que by el eje de abscisas.
Estos objetivos nos llevan a integrales definidas e indefinidas. La conexión entre estas integrales radica en la búsqueda de propiedades y el cálculo. Pero todo fluye y todo cambia con el tiempo, se encontraron nuevas soluciones, se identificaron adiciones, trayendo así integrales definidas e indefinidas a otras formas de integración.
Qué ha pasado integral indefinida usted pregunta. Esta es la función antiderivada F (x) de una variable x en el intervalo a mayor que x mayor que b. se llama cualquier función F (x), en este intervalo para cualquier notación x, la derivada es igual a F (x). Está claro que F (x) es la antiderivada de f (x) en el intervalo a es mayor que x es mayor que b. Por tanto, F1 (x) = F (x) + C. С -es cualquier constante y antiderivada para f (x) en un intervalo dado. Esta afirmación es reversible, para la función f (x) - 2 las antiderivadas difieren solo por una constante. Basado en el teorema del cálculo integral, resulta que cada continuo en el intervalo a
Integral definida se entiende como el límite en sumas integrales, o en la situación de una función dada f (x) definida en alguna línea recta (a, b) que tiene una antiderivada F, es decir, la diferencia de sus expresiones en los extremos de una determinada línea recta F (b) - F (a).
Para mayor claridad del estudio de este tema, sugiero ver el video. Explica en detalle y muestra cómo encontrar integrales.
Cada tabla de integrales es muy útil en sí misma, ya que ayuda a resolver un tipo específico de integrales.
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