La figura delimitada por la gráfica de la función continua no negativa en el segmento $$ función $ f (x) $ y las líneas rectas $ y = 0, \ x = a $ y $ x = b $, se llama trapezoide curvilíneo .

El área de la correspondiente trapezoide curvo calculado por la fórmula:

$ S = \ int \ límites_ (a) ^ (b) (f (x) dx). $ (*)

Dividiremos convencionalmente el problema de encontrar el área de un trapezoide curvilíneo en tipos de $ 4 $. Consideremos cada tipo con más detalle.

Tipo I: se especifica explícitamente un trapezoide curvo. Luego aplicamos inmediatamente la fórmula (*).

Por ejemplo, encuentre el área de un trapecio curvo delimitado por la gráfica de la función $ y = 4- (x-2) ^ (2) $, y por las líneas rectas $ y = 0, \ x = 1 $ y $ x = 3 $.

Dibujemos este trapezoide curvo.

Aplicando la fórmula (*), encontramos el área de este trapezoide curvo.

$ S = \ int \ limits_ (1) ^ (3) (\ left (4- (x-2) ^ (2) \ right) dx) = \ int \ limits_ (1) ^ (3) (4dx) - \ int \ límites_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) = 4x | _ (1) ^ (3) - \ izquierda. \ frac ((x-2) ^ (3) ) (3) \ derecha | _ (1) ^ (3) = $

$ = 4 (3-1) - \ frac (1) (3) \ left ((3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) \ right) = 4 \ cdot 2 - \ frac (1) (3) \ izquierda ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ derecha) = 8 - \ frac (1) (3) (1 + 1) = $

$ = 8- \ frac (2) (3) = 7 \ frac (1) (3) $ (unidad $ ^ (2) $).

Tipo II: se especifica implícitamente un trapezoide curvo. En este caso, las líneas rectas $ x = a, \ x = b $ generalmente no se especifican o se especifican parcialmente. En este caso, necesita encontrar los puntos de intersección de las funciones $ y = f (x) $ y $ y = 0 $. Estos puntos serán los puntos $ a $ y $ b $.

Por ejemplo, encuentre el área de una figura delimitada por las gráficas de las funciones $ y = 1-x ^ (2) $ y $ y = 0 $.

Busquemos los puntos de intersección. Para hacer esto, equiparamos los lados derechos de las funciones.

Entonces $ a = -1 $ y $ b = 1 $. Dibujemos este trapezoide curvo.

Encontremos el área de este trapezoide curvo.

$ S = \ int \ límites _ (- 1) ^ (1) (\ izquierda (1-x ^ (2) \ derecha) dx) = \ int \ límites _ (- 1) ^ (1) (1dx) - \ int \ límites _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) = x | _ (- 1) ^ (1) - \ izquierda. \ frac (x ^ (3)) (3) \ derecha | _ (-1) ^ (1) = $

$ = (1 - (- 1)) - \ frac (1) (3) \ left (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ right) = 2 - \ frac (1) (3) \ left (1 + 1 \ right) = 2 - \ frac (2) (3) = 1 \ frac (1) (3) $ (unidad $ ^ (2) $).

Tipo III: área de una figura delimitada por la intersección de dos funciones continuas no negativas. Esta figura no será un trapezoide curvilíneo, lo que significa que no puede calcular su área usando la fórmula (*). ¿Cómo ser? Resulta que el área de esta figura se puede encontrar como la diferencia entre las áreas de trapecios curvos delimitados por la función superior y $ y = 0 $ ($ S_ (uf) $), y la función inferior y $ y = 0 $ ($ S_ (lf) $), donde el papel de $ x = a, \ x = b $ lo juegan las coordenadas $ x $ de los puntos de intersección de estas funciones, es decir

$ S = S_ (uf) -S_ (lf) $. (**)

Lo más importante al calcular tales áreas es no excederse con la elección de las funciones superior e inferior.

Por ejemplo, encuentre el área de una figura limitada por las funciones $ y = x ^ (2) $ y $ y = x + 6 $.

Encontremos los puntos de intersección de estos gráficos:

Por el teorema de Vieta,

$ x_ (1) = - 2, \ x_ (2) = 3. $

Es decir, $ a = -2, \ b = 3 $. Dibujemos una figura:

Por tanto, la función superior es $ y = x + 6 $, y la inferior es $ y = x ^ (2) $. A continuación, encontramos $ S_ (uf) $ y $ S_ (lf) $ por la fórmula (*).

$ S_ (uf) = \ int \ límites _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) dx) = \ int \ límites _ (- 2) ^ (3) (xdx) + \ int \ límites _ (- 2) ^ (3) (6dx) = \ izquierda. \ Frac (x ^ (2)) (2) \ derecha | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ (3 ) = 32, 5 $ (unidades $ ^ (2) $).

$ S_ (lf) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) = \ left. \ Frac (x ^ (3)) (3) \ right | _ (- 2 ) ^ (3) = \ frac (35) (3) $ (unidad $ ^ (2) $).

Sustituye lo encontrado en (**) y obtén:

$ S = 32,5- \ frac (35) (3) = \ frac (125) (6) $ (unidad $ ^ (2) $).

Tipo IV: área de una figura delimitada por una función (es) que no satisface la condición de no negatividad. Para encontrar el área de dicha figura, necesita simétricamente alrededor de $ Ox $ ( en otras palabras, poner “menos” delante de las funciones) visualizar el área y, utilizando los métodos descritos en los tipos I - III, encontrar el área del área visualizada. Esta área será el área requerida. Anteriormente, es posible que deba encontrar los puntos de intersección de los gráficos de funciones.

Por ejemplo, encuentre el área de una figura delimitada por las gráficas de las funciones $ y = x ^ (2) -1 $ y $ y = 0 $.

Encontremos los puntos de intersección de las gráficas de las funciones:

esos. $ a = -1 $ y $ b = 1 $. Dibujemos el área.

Visualice el área simétricamente:

$ y = 0 \ \ Flecha derecha \ y = -0 = 0 $

$ y = x ^ (2) -1 \ \ Flecha derecha \ y = - (x ^ (2) -1) = 1-x ^ (2) $.

Obtienes un trapezoide curvilíneo acotado por la gráfica de la función $ y = 1-x ^ (2) $ y $ y = 0 $. Este es el problema de encontrar un trapezoide curvilíneo del segundo tipo. Ya lo hemos solucionado. La respuesta fue: $ S = 1 \ frac (1) (3) $ (unidad $ ^ (2) $). Por lo tanto, el área del trapezoide curvilíneo requerido es igual a:

$ S = 1 \ frac (1) (3) $ (unidad $ ^ (2) $).

Considere un trapezoide curvo limitado por el eje Ox, la curva y = f (x) y dos líneas rectas: x = ayx = b (Fig. 85). Tomemos un valor arbitrario de x (pero no a ni b). Démosle un incremento h = dx y consideremos una franja delimitada por las rectas AB y CD, el eje Ox y el arco BD pertenecientes a la curva considerada. Esta tira se llamará tira elemental. El área de una franja elemental se diferencia del área del rectángulo ACQB por un triángulo curvilíneo BQD, y el área de este último es menor que el área del rectángulo BQDM con lados BQ = h = dx ) QD = Ay y un área igual a hAy = Ay dx. A medida que el lado h disminuye, el lado Du también disminuye y simultáneamente con h tiende a cero. Por lo tanto, el área del BQDM es infinitesimal de segundo orden. El área de una franja elemental es el incremento del área, y el área del rectángulo ACQB igual a AB-AC == / (x) dx> es el diferencial de área. Por tanto, encontramos el área en sí integrando su diferencial. Dentro de la figura considerada, la variable independiente l: varía de a a b, por lo que el área requerida 5 será igual a 5 = \ f (x) dx. (I) Ejemplo 1. Calculemos el área delimitada por la parábola y - 1 -x *, las rectas X = - Fj-, x = 1 y el eje O * (Fig. 86). Higo. 87. Fig. 86. 1 Aquí f (x) = 1 - n ?, Los límites de integración son a = - y t = 1, por lo tanto 3) | _ 2 3V 2 / J 3 24 24 * Ejemplo 2. Calcula el área delimitada por el sinusoide y = sinXy por el eje Ox y la línea recta (Fig. 87). Aplicando la fórmula (I), obtenemos Л 2 S = J sinxdx = [-cos x] Q = 0 - (- 1) = lf Ejemplo 3. Calcule el área delimitada por el arco de la sinusoide ^ y = sin jc, incluido entre dos puntos de intersección adyacentes con el eje Ox (por ejemplo, entre el origen y el punto con la abscisa i). Tenga en cuenta que, a partir de consideraciones geométricas, se desprende claramente que esta área será el doble del área del ejemplo anterior. Sin embargo, hagamos los cálculos: i 5 = | s \ nxdx = [- cosx) * - - cos i - (- cos 0) = 1 + 1 = 2. o De hecho, nuestra suposición resultó ser cierta. Ejemplo 4. Calcule el área delimitada por una sinusoide y ^ por el eje Ox en un período pe-x (Fig. 88). Las consideraciones preliminares nos permiten suponer que el área será cuatro veces mayor que en pr. 2. Sin embargo, después de hacer los cálculos, obtenemos "i G, * i S - \ sin x dx = [- cos x] 0 = = - cos 2l - (- cos 0) = - 1 + 1 = 0. Este resultado requiere una aclaración. Para aclarar la esencia del asunto, también calculamos el área delimitada por la misma sinusoide y = sen l: y el eje Ox en el rango de 1 a 2i. Aplicando la fórmula (I), obtenemos 2l $ 2l sen xdx = [- cosx] l = -cos 2ya ~) -c05ya = - 1-1 = -2. Así, vemos que esta área resultó ser negativa. Comparándolo con el área calculada en el pr.3, encontramos que sus valores absolutos son los mismos, pero los signos son diferentes. Si aplicamos la propiedad V (ver Capítulo XI, § 4), entonces obtenemos 2l I 2l J sen xdx = J sen * dx [sen x dx = 2 + (- 2) = 0 Lo que sucedió en este ejemplo no es por casualidad . Siempre el área debajo del eje Ox, siempre que la variable independiente cambie de izquierda a derecha, se obtiene calculando integrales negativas. En este curso, siempre consideraremos cuadrados sin marcar. Por tanto, la respuesta en el ejemplo recién analizado será la siguiente: el área requerida es igual a 2 + | -2 | = 4. Ejemplo 5. Calculemos el área de OAB que se muestra en la fig. 89. Esta área está limitada por el eje Ox, la parábola y = - xr y la línea recta y - = -x + \. Área trapezoidal curvilínea El área de búsqueda OAV consta de dos partes: OAM y MAV. Dado que el punto A es el punto de intersección de la parábola y la línea recta, encontraremos sus coordenadas resolviendo el sistema de ecuaciones 3 2 Y = mx. (solo necesitamos encontrar la abscisa del punto A). Resolviendo el sistema, encontramos l; = ~. Por lo tanto, el área debe calcularse en partes, primer cuadrado. OAM y luego pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM- ^ x sq. unidades 2 = 2 pies cuadrados unidades

Ejemplo 5. Calcula el área de una forma delimitada por líneas: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Aquí se requiere calcular el área del trapezoide curvilíneo delimitada por la rama superior de la parábola y 2 = x, el eje del Buey y las líneas rectas x = 1 yx = 4 (ver Fig.)

Por la fórmula (1), donde f (x) = a = 1 y b = 4 tenemos = (= Unidades cuadradas.

Ejemplo 6 . Calcula el área de la figura delimitada por las líneas: y = sinx, y = 0, x = 0, x =.

El área requerida está limitada por la media onda de la sinusoide y el eje Ox (ver Fig.).

Tenemos - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. unidades

Ejemplo 7. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas: y = - 6x, y = 0 y x = 4.

La figura se encuentra debajo del eje del Buey (ver figura).

Por lo tanto, encontramos su área por la fórmula (3)

= =

Ejemplo 8. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas: y = y x = 2. Dibujamos la curva y = por puntos (ver Fig.). Por lo tanto, encontramos el área de la figura por la fórmula (4)

Ejemplo 9 .

NS 2 + y 2 = r 2 .

Aquí necesitas calcular el área delimitada por el círculo x 2 + y 2 = r 2 , es decir, el área de un círculo de radio r centrado en el origen. Encontremos la cuarta parte de esta área, tomando los límites de integración de 0

insecto; tenemos: 1 = = [

Como consecuencia, 1 =

Ejemplo 10. Calcula el área de la figura delimitada por líneas: y = x 2 y y = 2x

Esta cifra está limitada por la parábola y = x 2 y la línea recta y = 2x (ver Fig.) Para determinar los puntos de intersección de las líneas dadas, resolvemos el sistema de ecuaciones: x 2 - 2x = 0 x = 0 y x = 2

Usando la fórmula (5) para encontrar el área, obtenemos

= (base de un trapezoide curvo) en n partes iguales; esta partición es realizable usando los puntos x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Dibujemos líneas rectas a través de estos puntos paralelas al eje y. Luego, el trapezoide curvilíneo dado se dividirá en n partes, en n columnas estrechas. El área de todo el trapezoide es igual a la suma de las áreas de las columnas.

Considere la columna k-ésima por separado, es decir, un trapezoide curvilíneo, cuya base es un segmento. Reemplazémoslo con un rectángulo con la misma base y altura igual af (x k) (ver figura). El área del rectángulo es \ (f (x_k) \ cdot \ Delta x_k \), donde \ (\ Delta x_k \) es la longitud del segmento; es natural considerar el producto compilado como un valor aproximado del área de la k-ésima columna.

Si ahora hacemos lo mismo con todas las demás columnas, llegaremos al siguiente resultado: el área S de un trapezoide curvilíneo dado es aproximadamente igual al área S n de una figura escalonada compuesta por n rectángulos (ver figura):
\ (S_n = f (x_0) \ Delta x_0 + \ dots + f (x_k) \ Delta x_k + \ dots + f (x_ (n-1)) \ Delta x_ (n-1) \)
Aquí, en aras de la uniformidad de la notación, asumimos que a = x 0, b = x n; \ (\ Delta x_0 \) - longitud del segmento, \ (\ Delta x_1 \) - longitud del segmento, etc. al mismo tiempo, como acordamos anteriormente, \ (\ Delta x_0 = \ dots = \ Delta x_ (n-1) \)

Entonces, \ (S \ approx S_n \), y esta igualdad aproximada es la más precisa, la n más grande.
Por definición, se supone que el área requerida de un trapezoide curvilíneo es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ S = \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $$

Problema 2(sobre el punto en movimiento)
Un punto material se mueve en línea recta. La dependencia de la velocidad con el tiempo se expresa mediante la fórmula v = v (t). Encuentre el desplazamiento de un punto durante un período de tiempo [a; B].
Solución. Si el movimiento fuera uniforme, entonces el problema se resolvería de manera muy simple: s = vt, es decir, s = v (b-a). Para movimientos desiguales, debe utilizar las mismas ideas en las que se basó la solución al problema anterior.
1) Divida el intervalo de tiempo [a; b] en n partes iguales.
2) Considere un intervalo de tiempo y suponga que durante este intervalo de tiempo la velocidad fue constante, como en el momento t k. Entonces, consideramos que v = v (t k).
3) Encuentre el valor aproximado del desplazamiento del punto durante un período de tiempo, este valor aproximado será denotado por s k
\ (s_k = v (t_k) \ Delta t_k \)
4) Encuentre el valor aproximado del desplazamiento s:
\ (s \ approx S_n \) donde
\ (S_n = s_0 + \ dots + s_ (n-1) = v (t_0) \ Delta t_0 + \ dots + v (t_ (n-1)) \ Delta t_ (n-1) \)
5) El desplazamiento deseado es igual al límite de secuencia (S n):
$$ s = \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $$

Resumamos. Las soluciones a varios problemas se han reducido al mismo modelo matemático. Muchos problemas de diversos campos de la ciencia y la tecnología conducen en el proceso de resolución al mismo modelo. Esto significa que este modelo matemático debe estudiarse especialmente.

Concepto integral definitivo

Démosle una descripción matemática del modelo que se construyó en los tres problemas considerados para la función y = f (x), continuo (pero no necesariamente no negativo, como se asumió en los problemas considerados) en el intervalo [a; B]:
1) dividimos el segmento [a; b] en n partes iguales;
2) haz la suma $$ S_n = f (x_0) \ Delta x_0 + f (x_1) \ Delta x_1 + \ dots + f (x_ (n-1)) \ Delta x_ (n-1) $$
3) calcular $$ \ lim_ (n \ to \ infty) S_n $$

En el curso del análisis matemático, se demostró que este límite existe en el caso de una función continua (o continua por partes). El es llamado una integral definida de la función y = f (x) a lo largo del segmento [a; B] y se denota de la siguiente manera:
\ (\ int \ límites_a ^ b f (x) dx \)
Los números ayb se denominan límites de integración (respectivamente, inferior y superior).

Regresemos a las tareas discutidas anteriormente. La definición del área dada en el problema 1 ahora se puede reescribir de la siguiente manera:
\ (S = \ int \ límites_a ^ b f (x) dx \)
aquí S es el área del trapezoide curvo que se muestra en la figura anterior. Esto es significado geométrico de una integral definida.

La definición del desplazamiento s de un punto que se mueve a lo largo de una línea recta con una rapidez v = v (t) durante el intervalo de tiempo desde t = a hasta t = b, dada en el problema 2, se puede reescribir de la siguiente manera:

Fórmula de Newton - Leibniz

Para empezar, respondamos la pregunta: ¿cuál es la conexión entre una integral definida y una antiderivada?

La respuesta se puede encontrar en el problema 2, por un lado, el desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una rapidez v = v (t) en el intervalo de tiempo de t = a a t = b y se calcula mediante la formula
\ (S = \ int \ límites_a ^ b v (t) dt \)

Por otro lado, la coordenada del punto en movimiento es la antiderivada de la velocidad; denotémosla por s (t); por tanto, el desplazamiento s se expresa mediante la fórmula s = s (b) - s (a). Como resultado, obtenemos:
\ (S = \ int \ límites_a ^ b v (t) dt = s (b) -s (a) \)
donde s (t) es la antiderivada de v (t).

El siguiente teorema se demostró en el curso de análisis matemático.
Teorema. Si la función y = f (x) es continua en el segmento [a; b], entonces la siguiente fórmula es válida
\ (S = \ int \ límites_a ^ b f (x) dx = F (b) -F (a) \)
donde F (x) es la antiderivada de f (x).

La fórmula anterior generalmente se llama por la fórmula de Newton-Leibniz en honor al físico inglés Isaac Newton (1643-1727) y al filósofo alemán Gottfried Leibniz (1646-1716), quienes lo recibieron de forma independiente y casi simultánea.

En la práctica, en lugar de escribir F (b) - F (a), usa la notación \ (\ left. F (x) \ right | _a ^ b \) (a veces llamada doble sustitución) y, en consecuencia, reescriba la fórmula de Newton-Leibniz en la siguiente forma:
\ (S = \ int \ limits_a ^ b f (x) dx = \ left. F (x) \ right | _a ^ b \)

Para calcular una integral definida, primero encuentre la antiderivada y luego realice una doble sustitución.

Con base en la fórmula de Newton-Leibniz, se pueden obtener dos propiedades de una integral definida.

Propiedad 1. La integral de la suma de funciones es igual a la suma de integrales:
\ (\ int \ límites_a ^ b (f (x) + g (x)) dx = \ int \ límites_a ^ b f (x) dx + \ int \ límites_a ^ b g (x) dx \)

Propiedad 2. El factor constante se puede sacar del signo integral:
\ (\ int \ límites_a ^ b kf (x) dx = k \ int \ límites_a ^ b f (x) dx \)

Calcular las áreas de figuras planas usando una integral definida

Usando la integral, puede calcular las áreas no solo de trapezoides curvos, sino también de figuras planas más complejas, por ejemplo, la que se muestra en la figura. La figura P está limitada por líneas rectas x = a, x = by gráficas de funciones continuas y = f (x), y = g (x), y en el segmento [a; b] se cumple la desigualdad \ (g (x) \ leq f (x) \). Para calcular el área S de tal figura, procederemos de la siguiente manera:
\ (S = S_ (ABCD) = S_ (aDCb) - S_ (aABb) = \ int \ límites_a ^ b f (x) dx - \ int \ límites_a ^ b g (x) dx = \)
\ (= \ int \ límites_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \)

Entonces, el área S de la figura delimitada por las líneas rectas x = a, x = by las gráficas de las funciones y = f (x), y = g (x), continuas en el segmento y tal que para cualquier x del segmento [a; b] se cumple la desigualdad \ (g (x) \ leq f (x) \), calculada por la fórmula
\ (S = \ int \ límites_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \)

Tabla de integrales indefinidas (antiderivadas) de algunas funciones

$$ \ int 0 \ cdot dx = C $$ $$ \ int 1 \ cdot dx = x + C $$ $$ \ int x ^ n dx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \; \; (n \ neq -1) $$ $$ \ int \ frac (1) (x) dx = \ ln | x | + C $$ $$ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $$ $$ \ int a ^ x dx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C \; \; (a> 0, \; \; a \ neq 1) $$ $$ \ int \ cos x dx = \ sin x + C $$ $$ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $$ $ $ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2 x) = \ text (tg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2 x) = - \ text (ctg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ text (arcsin) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) = \ text (arctg) x + C $$ $$ \ int \ text (ch) x dx = \ text (sh) x + C $$ $$ \ int \ text (sh) x dx = \ text (ch ) x + C $$

El área de un trapezoide curvo es numéricamente igual a la integral definida

Cualquier integral definida (que exista) tiene un muy buen significado geométrico. En la lección, dije que una integral definida es un número. Y ahora es el momento de exponer otro hecho útil. Desde el punto de vista de la geometría, la integral definida es el AREA.

Es decir, una integral definida (si existe) corresponde geométricamente al área de alguna figura... Por ejemplo, considere una integral definida. El integrando define una cierta curva en el plano (siempre se puede dibujar si se desea), y la integral definida en sí misma numéricamente igual al área correspondiente trapezoide curvo.

Ejemplo 1

Ésta es una formulación típica de la tarea. Primero y el momento mas importante soluciones - dibujo edificio... Además, el dibujo debe construirse DERECHO.

Al construir un dibujo, recomiendo el siguiente orden: en primer lugar es mejor construir todas las líneas rectas (si las hay) y solo Luego- parábolas, hipérbolas, gráficos de otras funciones. Es más rentable construir gráficos de funciones. puntual, la técnica de construcción punto por punto se puede encontrar en el material de referencia.

Allí también puede encontrar material muy útil en relación con nuestra lección: cómo construir rápidamente una parábola.

En este problema, la solución podría verse así.
Dibujemos un dibujo (tenga en cuenta que la ecuación define el eje):

No incubaré un trapezoide curvo, aquí es obvio de qué zona estamos hablando. La solución continúa así:

En el segmento, se ubica la gráfica de la función por encima del eje, asi que:

Respuesta:

Quién tiene dificultad para calcular una integral definida y aplicar la fórmula de Newton-Leibniz , consulte la conferencia Integral definida... Ejemplos de soluciones.

Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el plano y estimar si la respuesta es real. En este caso, "a ojo" contamos el número de celdas en el dibujo; bueno, se escribirán alrededor de 9, parece la verdad. Está bastante claro que si obtenemos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces, obviamente, se ha cometido un error en alguna parte: la cifra en consideración claramente no se ajusta a 20 celdas, como máximo a diez. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Ejemplo 2

Calcular el área de una figura delimitada por líneas y un eje

Este es un ejemplo de una solución "hágalo usted mismo". Solución completa y respuesta al final del tutorial.

Qué hacer si se encuentra el trapezoide curvo bajo el eje?

Ejemplo 3

Calcula el área de una forma delimitada por líneas y ejes de coordenadas.

Solución: Ejecutemos el dibujo:

Si el trapezoide curvo completamente ubicado debajo del eje, entonces su área se puede encontrar mediante la fórmula:
En este caso:

¡Atención! Los dos tipos de tareas no deben confundirse:

1) Si se le pide que resuelva solo una integral definida sin ningún significado geométrico, entonces puede ser negativa.

2) Si se le pide que encuentre el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área siempre es positiva! Por eso aparece menos en la fórmula que acabamos de considerar.

En la práctica, la figura se ubica con mayor frecuencia en los semiplanos superior e inferior y, por lo tanto, de los problemas escolares más simples, pasamos a ejemplos más significativos.

Ejemplo 4

Calcula el área de una figura plana delimitada por líneas.

Solución: Primero debe completar el dibujo. En términos generales, cuando construimos un dibujo en problemas en un área, lo que más nos interesan son los puntos de intersección de las líneas. Encuentra los puntos de intersección de la parábola y la recta. Esto se puede hacer de dos formas. La primera forma es analítica. Resolvemos la ecuación:

Por tanto, el límite inferior de integración, el límite superior de integración.
Es mejor no utilizar este método, si es posible.

Es mucho más rentable y rápido construir las líneas punto por punto, mientras que los límites de la integración se aclaran, por así decirlo, "por sí mismos". La técnica de trazado punto por punto para varios gráficos se analiza en detalle en la ayuda. Gráficos y propiedades funciones elementales ... Sin embargo, el método analítico para encontrar los límites todavía tiene que usarse a veces si, por ejemplo, el gráfico es lo suficientemente grande o la construcción precisa no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales). Y también consideraremos un ejemplo de este tipo.

Volvamos a nuestro problema: es más racional construir primero una línea recta y solo luego una parábola. Ejecutemos el dibujo:

Repito que, en el caso de una construcción puntual, los límites de la integración son más a menudo descubiertos por un “autómata”.

Y ahora la fórmula de trabajo: Si en un segmento alguna función continua mayor que o igual de alguna función continua, entonces el área de la figura correspondiente se puede encontrar mediante la fórmula:

Aquí ya no es necesario pensar en dónde se encuentra la figura: encima del eje o debajo del eje, y, en términos generales, es importante qué horario está ARRIBA(relativo a otro gráfico), y cual esta DEBAJO.

En el ejemplo en consideración, es obvio que en el segmento la parábola se ubica por encima de la línea recta, por lo que es necesario restar de

La finalización de la solución podría verse así:

La cifra requerida está delimitada por una parábola en la parte superior y una línea recta en la parte inferior.
En el segmento, según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

De hecho, la fórmula de la escuela para el área de un trapezoide curvilíneo en el semiplano inferior (ver ejemplo simple No. 3) - caso especial fórmulas ... Dado que el eje está dado por la ecuación y la gráfica de la función está ubicada debajo del eje, entonces

Y ahora un par de ejemplos para una solución independiente.

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Calcula el área de la figura delimitada por líneas.

En el curso de la resolución de problemas para calcular el área usando una integral definida, a veces ocurre un incidente gracioso. El dibujo se hace correctamente, los cálculos son correctos, pero sin querer ... se encuentra el área de la figura incorrecta, así es como tu humilde servidor la cagó varias veces. Aquí caso real de vida:

Ejemplo 7

Calcula el área de la figura delimitada por las líneas ,,,.

Primero, ejecutemos el dibujo:

La figura cuya área necesitamos encontrar está sombreada en azul.(observe cuidadosamente la condición - ¡a qué se limita la figura!). Pero en la práctica, debido a la falta de atención, a menudo surge que necesitas encontrar el área de la figura, ¡que está sombreada en verde!

Este ejemplo también es útil porque calcula el área de una figura usando dos integrales definidas. En realidad:

1) Un gráfico de líneas se encuentra en el segmento sobre el eje;

2) El gráfico de hipérbola se encuentra en el segmento sobre el eje.

Es bastante obvio que las áreas pueden (y deben) agregarse, por lo tanto:

Respuesta:

Ejemplo 8

Calcula el área de una forma delimitada por líneas,
Representemos las ecuaciones en forma de "escuela" y ejecutemos un dibujo punto por punto:

Puede verse en el dibujo que nuestro límite superior es "bueno" :.
Pero, ¿cuál es el límite inferior? Está claro que este no es un número entero, pero ¿cuál? Quizás ? Pero, ¿dónde está la garantía de que el dibujo está hecho con perfecta precisión? Bien puede ser eso. O root. ¿Qué pasa si trazamos la gráfica de manera incorrecta?

En tales casos, debe dedicar tiempo adicional y refinar analíticamente los límites de la integración.

Encuentra los puntos de intersección de la recta y la parábola.
Para hacer esto, resolvemos la ecuación:

Como consecuencia, .

La solución adicional es trivial, lo principal es no confundirse en sustituciones y signos, los cálculos aquí no son los más fáciles.

En el segmento , según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Bueno, como conclusión de la lección, consideraremos dos tareas más difíciles.

Ejemplo 9

Calcula el área de una figura delimitada por líneas,

Solución: Dibuja esta figura en el dibujo.

Para construir un dibujo punto por punto, necesita saber apariencia sinusoides (y en general es útil saber gráficos de todas las funciones elementales), así como algunos valores de seno, se pueden encontrar en tabla trigonométrica... En varios casos (como en este), se permite construir un dibujo esquemático, en el que los gráficos y los límites de integración deben mostrarse correctamente en principio.

No hay problemas con los límites de integración, se derivan directamente de la condición: - "x" cambia de cero a "pi". Tomamos una decisión adicional:

En el segmento, la gráfica de la función se ubica sobre el eje, por lo tanto:

(1) Cómo integrar senos y cosenos en potencias impares se puede ver en la lección Integrales de funciones trigonométricas... Esta es una técnica típica, pellizcamos un seno.

(2) Usamos la identidad trigonométrica básica en la forma

(3) Cambiemos la variable, luego:

Nuevas redistribuciones de integración:

Quién es realmente malo con las sustituciones, vaya a la lección. Método de reemplazo en la integral indefinida... Para quien el algoritmo de reemplazo en una integral definida no sea muy claro, visite la página Integral definida. Ejemplos de soluciones.