Calentamiento 

Hallar el área de un trapecio curvo. El área de un trapezoide curvo es numéricamente igual a una integral definida

Tema: Calcular el área de una figura plana usando una integral definida

Tareas: aprender la definición y fórmulas para encontrar el área de un trapecio curvo;

considerar diferentes casos encontrar el área de un trapezoide curvo;

Ser capaz de calcular el área de un trapezoide curvo.

Plan:

Trapezoide curvo.

Fórmulas para calcular el área de un trapezoide curvo.

Trapezoide curvo es una figura delimitada por la gráfica de una función continua no negativa f (x) en el intervalo, por los segmentos de recta x \u003d ay x \u003d b, así como por el segmento del eje de abscisas entre los puntos ay b.

Imágenes de trapezoides curvos:

Ahora pasemos a posibles opciones la ubicación de las figuras cuya área necesita calcularse en el plano de coordenadas.

El primero será la opción más simple (primera figura), la habitual trapezoide curvocomo en la definición. No necesitas inventar nada aquí, solo toma la integral de una antes de segundo de la función f (x)... Si encontramos la integral, también conoceremos el área de este trapezoide.


En segundo variante, nuestra figura estará limitada no por el eje de abscisas, sino por otra función g (x)... Por lo tanto, para encontrar el área CEFD, primero debemos encontrar el área AEFB (usando la integral de f (x)), luego encuentra el área ACDB (usando la integral de g (x)). Y el área requerida de la figura. CEFD, habrá una diferencia entre la primera y la segunda áreas del trapezoide curvo. Dado que los límites de integración son los mismos aquí, todo esto se puede escribir en una integral (ver las fórmulas debajo de la figura), todo depende de la complejidad de las funciones, en cuyo caso será más fácil encontrar la integral.



Tercero muy similar al primero, pero solo nuestro trapezoide se coloca, no arriba abscisay debajo de él. Por lo tanto, aquí es necesario tomar la misma integral, solo con un signo menos, porque el valor de la integral será negativo y el valor del área debe ser positivo. Si en lugar de la función f (x) tomar función –F (x), entonces su gráfico será el mismo que se muestra simplemente simétricamente con respecto al eje de abscisas.


Y cuarto una variante cuando parte de nuestra figura está por encima del eje de abscisas y una parte por debajo de él. Por lo tanto, primero debemos encontrar el área de la figura AEFB, como en la primera versión, y luego el área de la figura A B C Dcomo en la tercera opción y luego dóblelos. Como resultado, obtenemos el área de la figura. DEFC... Dado que los límites de integración son los mismos aquí, todo esto se puede escribir en una integral (ver las fórmulas debajo de la figura), todo depende de la complejidad de las funciones, en cuyo caso será más fácil encontrar la integral.




Preguntas para la autocomprobación:

¿Qué forma se llama trapezoide curvo?

¿Cómo encontrar el área de un trapezoide curvo?

La figura delimitada por la gráfica de la función no negativa continua en el segmento $$ función $ f (x) $ y las líneas rectas $ y \u003d 0, \\ x \u003d a $ y $ x \u003d b $, se llama trapezoide curvilíneo.

El área del trapezoide curvo correspondiente se calcula mediante la fórmula:

$ S \u003d \\ int \\ límites_ (a) ^ (b) (f (x) dx). $ (*)

Dividiremos convencionalmente el problema de encontrar el área de un trapezoide curvilíneo en tipos de $ 4 $. Consideremos cada tipo con más detalle.

Tipo I: se especifica explícitamente un trapezoide curvo. Luego aplicamos inmediatamente la fórmula (*).

Por ejemplo, encuentre el área de un trapezoide curvilíneo delimitado por la gráfica de la función $ y \u003d 4- (x-2) ^ (2) $, y por las líneas rectas $ y \u003d 0, \\ x \u003d 1 $ y $ x \u003d 3 $.

Dibujemos este trapezoide curvo.

Usando la fórmula (*), encontramos el área de este trapezoide curvo.

$ S \u003d \\ int \\ limits_ (1) ^ (3) (\\ left (4- (x-2) ^ (2) \\ right) dx) \u003d \\ int \\ limits_ (1) ^ (3) (4dx) - \\ int \\ limits_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) \u003d 4x | _ (1) ^ (3) - \\ left. \\ frac ((x-2) ^ (3) ) (3) \\ derecha | _ (1) ^ (3) \u003d $

$ \u003d 4 (3-1) - \\ frac (1) (3) \\ left ((3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) \\ right) \u003d 4 \\ cdot 2 - \\ frac (1) (3) \\ izquierda ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) \\ derecha) \u003d 8 - \\ frac (1) (3) (1 + 1) \u003d $

$ \u003d 8- \\ frac (2) (3) \u003d 7 \\ frac (1) (3) $ (unidad $ ^ (2) $).

Tipo II: se especifica implícitamente un trapezoide curvo. En este caso, las líneas rectas $ x \u003d a, \\ x \u003d b $ generalmente no se especifican o se especifican parcialmente. En este caso, necesita encontrar los puntos de intersección de las funciones $ y \u003d f (x) $ y $ y \u003d 0 $. Estos puntos serán los puntos $ a $ y $ b $.

Por ejemplo, encuentre el área de una figura delimitada por las gráficas de las funciones $ y \u003d 1-x ^ (2) $ y $ y \u003d 0 $.

Busquemos los puntos de intersección. Para hacer esto, equiparamos los lados derechos de las funciones.

Entonces $ a \u003d -1 $ y $ b \u003d 1 $. Dibujemos este trapezoide curvo.

Encontremos el área de este trapezoide curvo.

$ S \u003d \\ int \\ límites _ (- 1) ^ (1) (\\ izquierda (1-x ^ (2) \\ derecha) dx) \u003d \\ int \\ límites _ (- 1) ^ (1) (1dx) - \\ int \\ límites _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) \u003d x | _ (- 1) ^ (1) - \\ izquierda. \\ frac (x ^ (3)) (3) \\ derecha | _ (-1) ^ (1) \u003d $

$ \u003d (1 - (- 1)) - \\ frac (1) (3) \\ left (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3) \\ right) \u003d 2 - \\ frac (1) (3) \\ left (1 + 1 \\ right) \u003d 2 - \\ frac (2) (3) \u003d 1 \\ frac (1) (3) $ (unidad $ ^ (2) $).

Tipo III: área de una figura limitada por la intersección de dos funciones continuas no negativas. Esta figura no será un trapezoide curvilíneo, lo que significa que usando la fórmula (*), su área no se puede calcular. ¿Cómo ser?Resulta que el área de esta figura se puede encontrar como la diferencia entre las áreas de trapecios curvilíneos delimitados por la función superior y $ y \u003d 0 $ ($ S_ (uf) $), y la función inferior y $ y \u003d 0 $ ($ S_ (lf) $), donde el papel de $ x \u003d a, \\ x \u003d b $ lo juegan las coordenadas $ x $ de los puntos de intersección de estas funciones, es decir

$ S \u003d S_ (uf) -S_ (lf) $. (**)

Lo más importante al calcular tales áreas es no excederse con la elección de las funciones superior e inferior.

Por ejemplo, encuentre el área de una figura limitada por las funciones $ y \u003d x ^ (2) $ y $ y \u003d x + 6 $.

Encontremos los puntos de intersección de estos gráficos:

Por el teorema de Vieta,

$ x_ (1) \u003d - 2, \\ x_ (2) \u003d 3. $

Es decir, $ a \u003d -2, \\ b \u003d 3 $. Dibujemos una figura:

Entonces, la función superior es $ y \u003d x + 6 $, y la inferior es $ y \u003d x ^ (2) $. A continuación, encontramos $ S_ (uf) $ y $ S_ (lf) $ por la fórmula (*).

$ S_ (uf) \u003d \\ int \\ límites _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) dx) \u003d \\ int \\ límites _ (- 2) ^ (3) (xdx) + \\ int \\ límites _ (- 2 ) ^ (3) (6dx) \u003d \\ izquierda. \\ Frac (x ^ (2)) (2) \\ derecha | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ (3) \u003d 32 , 5 $ (unidades $ ^ (2) $).

$ S_ (lf) \u003d \\ int \\ límites _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) \u003d \\ left. \\ Frac (x ^ (3)) (3) \\ right | _ (- 2) ^ (3) \u003d \\ frac (35) (3) $ (unidad $ ^ (2) $).

Sustituye lo encontrado en (**) y obtén:

$ S \u003d 32,5- \\ frac (35) (3) \u003d \\ frac (125) (6) $ (unidad $ ^ (2) $).

Tipo IV: área de una figura delimitada por una función (es) que no satisface la condición de no negatividad. Para encontrar el área de dicha figura, necesita simétricamente con respecto al eje $ Ox $ ( en otras palabras, poner “menos” delante de las funciones) visualizar el área y, utilizando los métodos descritos en los tipos I - III, encontrar el área del área visualizada. Esta área será el área requerida. De antemano, es posible que deba encontrar los puntos de intersección de los gráficos de funciones.

Por ejemplo, encuentre el área de una figura delimitada por las gráficas de las funciones $ y \u003d x ^ (2) -1 $ y $ y \u003d 0 $.

Encuentra los puntos de intersección de las gráficas de funciones:

aquellos. $ a \u003d -1 $ y $ b \u003d 1 $. Dibujemos el área.

Muestre el área simétricamente:

$ y \u003d 0 \\ \\ Flecha derecha \\ y \u003d -0 \u003d 0 $

$ y \u003d x ^ (2) -1 \\ \\ Flecha derecha \\ y \u003d - (x ^ (2) -1) \u003d 1-x ^ (2) $.

Obtienes un trapezoide curvo acotado por la gráfica de la función $ y \u003d 1-x ^ (2) $ y $ y \u003d 0 $. Este es el problema de encontrar un trapezoide curvilíneo del segundo tipo. Ya lo hemos solucionado. La respuesta fue: $ S \u003d 1 \\ frac (1) (3) $ (unidad $ ^ (2) $). Por lo tanto, el área del trapezoide curvilíneo requerido es igual a:

$ S \u003d 1 \\ frac (1) (3) $ (unidad $ ^ (2) $).

Problema 1 (al calcular el área de un trapezoide curvo).

En el sistema de coordenadas rectangulares cartesianas xOy, se da una cifra (ver figura), delimitada por el eje x, por las líneas rectas x \u003d a, x \u003d b (a por un trapezoide curvo. Se requiere para calcular el área de un trapezoide curvo.
Decisión. La geometría nos da recetas para calcular las áreas de polígonos y algunas partes de un círculo (sector, segmento). Usando consideraciones geométricas, podremos encontrar solo un valor aproximado del área requerida, argumentando lo siguiente.

Dividimos el segmento [a; b] (la base de un trapezoide curvo) en n partes iguales; esta partición es realizable usando los puntos x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Dibuja a través de estos puntos líneas rectas paralelas al eje y. Luego, el trapezoide curvilíneo dado se dividirá en n partes, en n columnas estrechas. El área de todo el trapezoide es igual a la suma de las áreas de las columnas.

Considere por separado la k-ésima columna, es decir un trapezoide curvilíneo, cuya base es un segmento. Reemplazémoslo con un rectángulo con la misma base y altura igual af (x k) (ver figura). El área del rectángulo es \\ (f (x_k) \\ cdot \\ Delta x_k \\), donde \\ (\\ Delta x_k \\) es la longitud del segmento; es natural considerar el producto compilado como un valor aproximado del área de la k-ésima columna.

Si ahora hacemos lo mismo con todas las demás columnas, llegaremos al siguiente resultado: el área S de un trapezoide curvilíneo dado es aproximadamente igual al área S n de una figura escalonada compuesta por n rectángulos (ver figura):
\\ (S_n \u003d f (x_0) \\ Delta x_0 + \\ dots + f (x_k) \\ Delta x_k + \\ dots + f (x_ (n-1)) \\ Delta x_ (n-1) \\)
Aquí, en aras de la uniformidad de la notación, asumimos que a \u003d x 0, b \u003d x n; \\ (\\ Delta x_0 \\) - longitud del segmento, \\ (\\ Delta x_1 \\) - longitud del segmento, etc. al mismo tiempo, como acordamos anteriormente, \\ (\\ Delta x_0 \u003d \\ dots \u003d \\ Delta x_ (n-1) \\)

Entonces, \\ (S \\ approx S_n \\), y esta igualdad aproximada es cuanto más precisa, mayor n.
Por definición, se supone que el área requerida de un trapezoide curvilíneo es igual al límite de la secuencia (S n):
$$ S \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) S_n $$

Problema 2 (sobre el punto en movimiento)
Un punto material se mueve en línea recta. La dependencia de la velocidad con el tiempo se expresa mediante la fórmula v \u003d v (t). Encuentre el desplazamiento de un punto durante un período de tiempo [a; segundo].
Decisión. Si el movimiento fuera uniforme, entonces el problema se resolvería de manera muy simple: s \u003d vt, es decir s \u003d v (b-a). Para movimientos irregulares, debe utilizar las mismas ideas en las que se basó la solución al problema anterior.
1) Divida el intervalo de tiempo [a; b] en n partes iguales.
2) Considere un intervalo de tiempo y suponga que durante este intervalo de tiempo la velocidad fue constante, como en el momento t k. Entonces, consideramos que v \u003d v (t k).
3) Encuentre el valor aproximado del desplazamiento del punto durante un período de tiempo, este valor aproximado será denotado por s k
\\ (s_k \u003d v (t_k) \\ Delta t_k \\)
4) Encuentre el valor aproximado del desplazamiento s:
\\ (s \\ approx S_n \\) donde
\\ (S_n \u003d s_0 + \\ dots + s_ (n-1) \u003d v (t_0) \\ Delta t_0 + \\ dots + v (t_ (n-1)) \\ Delta t_ (n-1) \\)
5) El desplazamiento deseado es igual al límite de secuencia (S n):
$$ s \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) S_n $$

Resumamos. Las soluciones a varios problemas se han reducido al mismo modelo matemático. Muchos problemas de diversos campos de la ciencia y la tecnología conducen al mismo modelo en el proceso de resolución. Esto significa que este modelo matemático debe estudiarse especialmente.

Concepto integral definitivo

Démosle una descripción matemática del modelo que se construyó en los tres problemas considerados para la función y \u003d f (x), continuo (pero no necesariamente no negativo, como se asumió en los problemas considerados) en el intervalo [a; segundo]:
1) dividimos el segmento [a; b] en n partes iguales;
2) haz la suma $$ S_n \u003d f (x_0) \\ Delta x_0 + f (x_1) \\ Delta x_1 + \\ dots + f (x_ (n-1)) \\ Delta x_ (n-1) $$
3) calcular $$ \\ lim_ (n \\ to \\ infty) S_n $$

En el curso del análisis matemático se demostró que este límite existe en el caso de una función continua (o continua por partes). El es llamado una integral definida de la función y \u003d f (x) a lo largo del segmento [a; segundo] y se denota de la siguiente manera:
\\ (\\ int \\ límites_a ^ b f (x) dx \\)
Los números ayb se denominan límites de integración (respectivamente, inferior y superior).

Regresemos a las tareas discutidas anteriormente. La definición de área dada en el problema 1 ahora se puede reescribir de la siguiente manera:
\\ (S \u003d \\ int \\ límites_a ^ b f (x) dx \\)
aquí S es el área del trapezoide curvilíneo que se muestra en la figura anterior. Esto es el significado geométrico de una integral definida.

La definición del desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una rapidez v \u003d v (t) durante el intervalo de tiempo de t \u003d a a t \u003d b, dada en el problema 2, se puede reescribir de la siguiente manera:

Fórmula de Newton-Leibniz

Primero, respondamos la pregunta: ¿cuál es la conexión entre una integral definida y una antiderivada?

La respuesta se puede encontrar en el problema 2, por un lado, el desplazamiento s de un punto que se mueve en línea recta con una rapidez v \u003d v (t) durante el intervalo de tiempo de t \u003d a a t \u003d by se calcula mediante la fórmula
\\ (S \u003d \\ int \\ límites_a ^ b v (t) dt \\)

Por otro lado, la coordenada del punto en movimiento es la antiderivada de la velocidad; denotémosla por s (t); por tanto, el desplazamiento s se expresa mediante la fórmula s \u003d s (b) - s (a). Como resultado, obtenemos:
\\ (S \u003d \\ int \\ límites_a ^ b v (t) dt \u003d s (b) -s (a) \\)
donde s (t) es la antiderivada de v (t).

El siguiente teorema se demuestra en el curso del análisis matemático.
Teorema. Si la función y \u003d f (x) es continua en el segmento [a; b], entonces la siguiente fórmula es válida
\\ (S \u003d \\ int \\ límites_a ^ b f (x) dx \u003d F (b) -F (a) \\)
donde F (x) es la antiderivada de f (x).

La fórmula anterior se suele llamar por la fórmula de Newton-Leibniz en honor al físico inglés Isaac Newton (1643-1727) y al filósofo alemán Gottfried Leibniz (1646-1716), quienes lo recibieron de forma independiente y casi simultánea.

En la práctica, en lugar de escribir F (b) - F (a), usa la notación \\ (\\ left. F (x) \\ right | _a ^ b \\) (a veces llamada doble sustitución) y, en consecuencia, reescriba la fórmula de Newton-Leibniz en la siguiente forma:
\\ (S \u003d \\ int \\ limits_a ^ b f (x) dx \u003d \\ left. F (x) \\ right | _a ^ b \\)

Al calcular una integral definida, primero encuentre la antiderivada y luego realice una doble sustitución.

Con base en la fórmula de Newton-Leibniz, se pueden obtener dos propiedades de una integral definida.

Propiedad 1. La integral de la suma de funciones es igual a la suma de integrales:
\\ (\\ int \\ límites_a ^ b (f (x) + g (x)) dx \u003d \\ int \\ límites_a ^ b f (x) dx + \\ int \\ límites_a ^ b g (x) dx \\)

Propiedad 2. El factor constante se puede sacar del signo integral:
\\ (\\ int \\ límites_a ^ b kf (x) dx \u003d k \\ int \\ límites_a ^ b f (x) dx \\)

Calcular las áreas de figuras planas usando una integral definida

Con la ayuda de la integral, es posible calcular las áreas no solo de trapezoides curvos, sino también de figuras planas de un tipo más complejo, por ejemplo, el que se muestra en la figura. La figura P está limitada por líneas rectas x \u003d a, x \u003d by gráficas de funciones continuas y \u003d f (x), y \u003d g (x), y en el intervalo [a; b] la desigualdad \\ (g (x) \\ leq f (x) \\) se cumple. Para calcular el área S de tal figura, procederemos de la siguiente manera:
\\ (S \u003d S_ (ABCD) \u003d S_ (aDCb) - S_ (aABb) \u003d \\ int \\ límites_a ^ b f (x) dx - \\ int \\ límites_a ^ b g (x) dx \u003d \\)
\\ (\u003d \\ int \\ límites_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \\)

Entonces, el área S de la figura delimitada por líneas rectas x \u003d a, x \u003d by gráficas de funciones y \u003d f (x), y \u003d g (x), continuas en el segmento y tal que para cualquier x del segmento [a; b] se cumple la desigualdad \\ (g (x) \\ leq f (x) \\), calculada por la fórmula
\\ (S \u003d \\ int \\ límites_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \\)

Tabla de integrales indefinidas (antiderivadas) de algunas funciones

$$ \\ int 0 \\ cdot dx \u003d C $$ $$ \\ int 1 \\ cdot dx \u003d x + C $$ $$ \\ int x ^ n dx \u003d \\ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \\; \\; (n \\ neq -1) $$ $$ \\ int \\ frac (1) (x) dx \u003d \\ ln | x | + C $$ $$ \\ int e ^ x dx \u003d e ^ x + C $$ $$ \\ int a ^ x dx \u003d \\ frac (a ^ x) (\\ ln a) + C \\; \\; (a\u003e 0, \\; \\; a \\ neq 1) $$ $$ \\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + C $$ $$ \\ int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + C $$ $ $ \\ int \\ frac (dx) (\\ cos ^ 2 x) \u003d \\ text (tg) x + C $$ $$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sin ^ 2 x) \u003d - \\ text (ctg) x + C $$ $$ \\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ text (arcsin) x + C $$ $$ \\ int \\ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) \u003d \\ text (arctg) x + C $$ $$ \\ int \\ text (ch) x dx \u003d \\ text (sh) x + C $$ $$ \\ int \\ text (sh) x dx \u003d \\ text (ch ) x + C $$









De vuelta atras

¡Atención! La vista previa de la diapositiva se utiliza solo con fines informativos y es posible que no represente todas las opciones de presentación. Si estás interesado este trabajodescargue la versión completa.

Palabras clave:integral, trapezoide curvilíneo, área de figuras delimitadas por lirios

Equipo: pizarra, computadora, proyector multimedia

Tipo de lección: lección-conferencia

Objetivos de la lección:

  • educativo:formar una cultura de trabajo mental, crear una situación de éxito para cada alumno, formar una motivación positiva para el aprendizaje; Desarrollar la capacidad de hablar y escuchar a los demás.
  • desarrollando: la formación de la independencia del estudiante en la aplicación del conocimiento en diversas situaciones, la capacidad de analizar y sacar conclusiones, el desarrollo de la lógica, el desarrollo de la capacidad para plantear preguntas correctamente y encontrar respuestas a ellas. Mejorar la formación de la informática, calcular las habilidades, desarrollar el pensamiento de los estudiantes en el transcurso de la realización de las tareas propuestas, desarrollar una cultura algorítmica.
  • educativo: para formar el concepto de un trapezoide curvilíneo, una integral, dominar las habilidades de calcular las áreas de figuras planas

Método de enseñanza:explicativo e ilustrativo.

Durante las clases

En las clases anteriores, aprendimos a calcular las áreas de formas cuyos límites son líneas discontinuas. Existen métodos en matemáticas que le permiten calcular las áreas de formas delimitadas por curvas. Estas figuras se denominan trapezoides curvos y su área se calcula utilizando antiderivadas.

Trapezoide curvo ( diapositiva 1)

Un trapezoide curvo es una figura limitada por la gráfica de una función, ( schm.), Derecho x \u003d a y x \u003d by la abscisa

Varios tipos de trapezoides curvos ( diapositiva 2)

Considerar diferentes tipos trapezoides curvilíneos y aviso: una de las líneas rectas degenera en un punto, el papel de la función limitante lo desempeña la línea recta

Área trapezoidal curvada (diapositiva 3)

Arregle el extremo izquierdo del espacio y,y a la derecha Xcambiará, es decir, movemos la pared derecha del trapezoide curvo y obtenemos una figura cambiante. El área de un trapezoide curvilíneo variable delimitada por la gráfica de la función es la antiderivada F para la función f

Y en el segmento [ una; segundo] el área del trapezoide curvo formado por la función f,es igual al incremento de la antiderivada de esta función:

Ejercicio 1:

Encuentre el área de un trapezoide curvo delimitado por la gráfica de la función: f (x) \u003d x 2 y directo y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2.

Decisión: ( según el algoritmo de la diapositiva 3)

Tracemos la función y las líneas.

Busquemos uno de antiderivadas f (x) \u003d x 2 :

Autoprueba por portaobjetos

Integral

Considere un trapezoide curvilíneo dado por la función f en el segmento [ una; segundo]. Dividamos este segmento en varias partes. El área de todo el trapezoide se divide en la suma de las áreas de trapezoides curvos más pequeños. ( diapositiva 5)... Cada uno de estos trapezoides puede considerarse aproximadamente un rectángulo. La suma de las áreas de estos rectángulos da una idea aproximada del área completa del trapecio curvo. Cuanto más pequeño dividimos el segmento [ una; segundo], calculamos con mayor precisión el área.

Escribamos este razonamiento en forma de fórmulas.

Divida el segmento [ una; segundo] en n partes por puntos x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Longitud k-th denotamos por xk \u003d xk - xk-1... Hagamos la cantidad

Geométricamente, esta suma es el área de la figura sombreada en la figura ( metro.)

Las sumas de la forma se llaman sumas integrales para la función f. (schm.)

Las sumas integrales dan un valor aproximado del área. El valor exacto se obtiene mediante una transición de límite. Imagina que refinamos la partición del segmento [ una; segundo] de modo que las longitudes de todos los segmentos pequeños tienden a cero. Entonces, el área de la figura compuesta se acercará al área del trapezoide curvo. Podemos decir que el área de un trapezoide curvilíneo es igual al límite de las sumas integrales, Sk.t. (schm.)o una integral, es decir,

Definición:

Integral de función f (x) desde una antes de segundo es el límite de las sumas integrales

= (schm.)

Fórmula de Newton-Leibniz.

Recuerda que el límite de las sumas integrales es igual al área de un trapezoide curvilíneo, entonces puedes escribir:

Sk.t. \u003d (schm.)

Por otro lado, el área de un trapezoide curvo se calcula mediante la fórmula

S K. t. (schm.)

Comparando estas fórmulas, obtenemos:

= (schm.)

Esta igualdad se llama fórmula de Newton-Leibniz.

Para la conveniencia de los cálculos, la fórmula se escribe en la forma:

= = (schm.)

Tareas: (schm.)

1. Calcule la integral mediante la fórmula de Newton-Leibniz: ( ver diapositiva 5)

2.Hacer integrales según el dibujo ( comprobar la diapositiva 6)

3. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Diapositiva 7)

Encontrar las áreas de figuras planas ( diapositiva 8)

¿Cómo encuentras el área de formas que no son trapezoides curvos?

Que se den dos funciones, cuyas gráficas se ven en la diapositiva ... (schm.) Necesitas encontrar el área de la figura llena ... (schm.)... ¿Es la figura en cuestión un trapezoide curvo? ¿Y cómo puede encontrar su área usando la propiedad de aditividad de área? Considere dos trapecios curvos y reste el área del otro del área de uno de ellos ( schm.)

Compongamos un algoritmo para encontrar el área por animación en una diapositiva:

  1. Trazar gráficas de funciones
  2. Proyecte los puntos de intersección de los gráficos en el eje de abscisas
  3. Sombrea la figura obtenida cuando las gráficas se cruzan
  4. Encuentre trapezoides curvos cuya intersección o unión sea la figura dada.
  5. Calcula el área de cada uno de ellos
  6. Encuentra la diferencia o suma de áreas

Tarea oral: Cómo obtener el área de una figura sombreada (contar con la ayuda de la animación, diapositiva 8 y 9)

Deberes:Elabore la sinopsis, No. 353 (a), No. 364 (a).

Lista de referencias

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  4. Kolmogorov A.N. Álgebra y el comienzo del análisis: un libro de texto para los grados 10-11. instituciones educativas / A.N. Kolmogorov. - M: Educación, 2010.
  5. Ostrovsky S.L. ¿Cómo hacer una presentación para una lección? / C.L. Ostrovsky. - M.: 1 de septiembre de 2010.

Sea la función no negativa y continua en un intervalo. Luego, de acuerdo con el significado geométrico de una integral definida, el área de un trapezoide curvilíneo acotado desde arriba por la gráfica de esta función, desde abajo por un eje, hacia la izquierda y derecha por líneas rectas y (ver Fig.2) se calcula mediante la fórmula

Ejemplo 9. Calcula el área de una forma delimitada por una línea y un eje.

Decisión... Gráfico de funciones es una parábola cuyas ramas se dirigen hacia abajo. Construyámoslo (fig. 3). Para determinar los límites de integración, encontramos los puntos de intersección de la línea (parábola) con el eje (línea recta). Para hacer esto, resolvemos el sistema de ecuaciones.

Obtenemos: , de donde ,; por tanto,.

Figura: 3

Encontramos el área de la figura por la fórmula (5):

Si una función no es positiva y es continua en un segmento, entonces el área de un trapecio curvilíneo delimitada desde abajo por la gráfica de esta función, desde arriba por un eje, hacia la izquierda y derecha por líneas rectas y se calcula mediante la fórmula

. (6)

Si la función es continua en un segmento y cambia de signo en un número finito de puntos, entonces el área de la figura sombreada (Fig.4) es igual a la suma algebraica de las integrales definidas correspondientes:

Figura: 4

Ejemplo 10. Calcula el área de la figura limitada por el eje y la gráfica de la función en.

Figura: cinco

Decisión... Hagamos un dibujo (fig. 5). El área requerida es la suma de áreas y. Busquemos cada una de estas áreas. Primero, determinemos los límites de integración resolviendo el sistema Obtenemos,. Por lo tanto:

;

.

Por tanto, el área de la figura sombreada es

(unidades cuadradas).

Figura: 6

Finalmente, dejemos que el trapezoide curvilíneo esté acotado desde arriba y desde abajo por las gráficas de funciones continuas en un intervalo y,
ya la izquierda y derecha - líneas rectas y (Fig. 6). Entonces su área se calcula mediante la fórmula



. (8)

Ejemplo 11. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas y.

Decisión. Esta figura se muestra en la Fig. 7. Su área se calcula mediante la fórmula (8). Resolviendo el sistema de ecuaciones encontramos; por tanto,. En el segmento tenemos :. Por tanto, en la fórmula (8), tomamos x, y como -. Obtenemos:

(unidades cuadradas).

Los problemas más complejos de cálculo de áreas se resuelven dividiendo una figura en partes que no se cruzan y calculando el área de toda la figura como la suma de las áreas de estas partes.

Figura: 7

Ejemplo 12. Halla el área de la figura delimitada por líneas ,,.

Decisión... Hagamos un dibujo (fig. 8). Esta figura se puede considerar como un trapezoide curvilíneo delimitado desde abajo por el eje, hacia la izquierda y hacia la derecha - por líneas rectas y, desde arriba - por las gráficas de las funciones y. Dado que la figura está delimitada desde arriba por los gráficos de dos funciones, para calcular su área, dividimos esta figura por una línea recta en dos partes (1 es la abscisa de la intersección de las líneas y). El área de cada una de estas partes se calcula mediante la fórmula (4):

(unidades cuadradas); (unidades cuadradas). Por lo tanto:

(unidades cuadradas).

Figura: ocho

x \u003d j ( a)

Figura: nueve

En conclusión, observamos que si un trapezoide curvilíneo está delimitado por líneas rectas y, el eje y es continuo en la curva (Fig.9), entonces su área se encuentra mediante la fórmula

El volumen del cuerpo de revolución

Sea un trapezoide curvilíneo limitado por la gráfica de una función continua en un segmento, por un eje, líneas rectas y, rotar alrededor de un eje (Fig. 10). Luego, el volumen del cuerpo de revolución resultante se calcula mediante la fórmula

. (9)

Ejemplo 13. Calcule el volumen de un cuerpo obtenido al girar alrededor del eje de un trapecio curvo limitado por una hipérbola, líneas rectas y un eje.

Decisión... Hagamos un dibujo (fig. 11).

Del planteamiento del problema se deduce que ,. Por la fórmula (9), obtenemos

.

Figura: diez

Figura: once

El volumen de un cuerpo obtenido por rotación alrededor de un eje. UNED trapezoide curvo delimitado por líneas rectas y \u003d c y y \u003d d, eje UNED y el gráfico de una función continua en un segmento (Fig.12), se determina mediante la fórmula

. (10)

x \u003d j ( a)

Figura: 12

Ejemplo 14... Calcular el volumen de un cuerpo obtenido por rotación sobre un eje UNED trapezoide curvo delimitado por líneas x 2 = 4a, y \u003d 4, x \u003d 0 (figura 13).

Decisión... De acuerdo con la condición del problema, encontramos los límites de integración:,. Por la fórmula (10) obtenemos:

Figura: 13

Longitud de arco de curva plana

Sea la curva dada por la ecuación, donde, se encuentra en el plano (Fig. 14).

Figura: catorce

Definición. La longitud de un arco se entiende como el límite al que tiende la longitud de una línea discontinua inscrita en este arco, cuando el número de eslabones de la línea discontinua tiende a infinito y la longitud del eslabón mayor tiende a cero.

Si una función y su derivada son continuas en un segmento, entonces la longitud del arco de la curva se calcula mediante la fórmula

. (11)

Ejemplo 15... Calcule la longitud del arco de la curva encerrada entre los puntos para los que .

Decisión... De la condición del problema tenemos ... Por la fórmula (11) obtenemos:

4. Integrales incorrectas
con infinitos límites de integración

Al introducir el concepto de integral definida, se asumió que se cumplen las siguientes dos condiciones:

a) límites de integración y y son finitos;

b) el integrando está acotado en el segmento.

Si al menos una de estas condiciones no se cumple, la integral se llama incorrecto.

Consideremos primero integrales impropias con límites infinitos de integración.

Definición. Sea la función definida y continua en el intervalo, entonces e ilimitado a la derecha (fig. 15).

Si la integral impropia converge, entonces esta área es finita; si la integral impropia diverge, entonces esta área es infinita.

Figura: quince

Una integral impropia con un límite inferior infinito de integración se define de manera similar:

. (13)

Esta integral converge si el límite del lado derecho de la igualdad (13) existe y es finito; de lo contrario, la integral se llama divergente.

Una integral impropia con dos límites infinitos de integración se define de la siguiente manera:

, (14)

donde c es cualquier punto del intervalo. La integral converge solo si ambas integrales del lado derecho de la igualdad (14) convergen.

;

re) \u003d [seleccione un cuadrado completo en el denominador:] \u003d [reemplazo:

] =

Por tanto, la integral impropia converge y su valor es igual a.