Tabla de integrales indefinidas de funciones elementales. Fórmulas básicas y métodos de integración.
Fórmulas básicas y métodos de integración. Regla de integración de suma o diferencia. Sacando la constante del signo integral. Método de sustitución de variables. La fórmula de integración por partes. Un ejemplo de solución de un problema.
Los cuatro principales métodos de integración se enumeran a continuación.
1)
Regla de integración de suma o diferencia.
.
Aquí ya continuación, u, v, w son funciones de la variable de integración x.
2)
Sacando la constante del signo integral.
Sea c una constante independiente de x. Entonces se puede sacar del signo integral.
3)
Método de sustitución de variables.
Considere la integral indefinida.
Si es posible elegir tal función φ (X) de x, entonces
,
entonces, después de cambiar la variable t = φ(x), tenemos
.
4)
La fórmula de integración por partes.
,
donde u y v son funciones de la variable de integración.
El objetivo final del cálculo. Integrales indefinidas- esto, por transformación, para llevar la integral dada a las integrales más simples, que se llaman tabulares. Las integrales de tabla se expresan en términos de funciones elementales utilizando fórmulas bien conocidas.
Ver Tabla de integrales >>>
Ejemplo
Calcular integral indefinida
Solución
Tenga en cuenta que el integrando es la suma y la diferencia de tres términos:
, Y .
Aplicamos el método 1
.
Además, notamos que los integrandos de las nuevas integrales se multiplican por las constantes 5, 4,
Y 2
, respectivamente. Aplicamos el método 2
.
En la tabla de integrales encontramos la fórmula
.
Ajuste n = 2
, encontramos la primera integral.
Reescribamos la segunda integral en la forma
.
Notamos que . Luego
Usemos el tercer método. Hacemos el cambio de variable t = φ (x) = registro x.
.
En la tabla de integrales encontramos la fórmula
Como la variable de integración se puede denotar con cualquier letra, entonces
Reescribamos la tercera integral en la forma
.
Aplicamos la fórmula de integración por partes.
Dejar .
Luego
;
;
;
;
.
En esta página encontrará:
1. En realidad, la tabla de antiderivadas: se puede descargar en formato PDF e imprimir;
2. Video sobre cómo usar esta tabla;
3. Un montón de ejemplos de cálculo de la antiderivada de varios libros de texto y pruebas.
En el video en sí, analizaremos muchas tareas en las que se requiere calcular funciones antiderivadas, a menudo bastante complejas, pero lo más importante, no son leyes de potencia. Todas las funciones resumidas en la tabla propuesta arriba deben ser conocidas de memoria, como derivadas. Sin ellos, es imposible seguir estudiando las integrales y su aplicación para resolver problemas prácticos.
Hoy seguimos tratando con primitivos y pasamos a un poco más tema dificil. Si la última vez consideramos antiderivadas solo de funciones de potencia y estructuras un poco más complejas, hoy analizaremos trigonometría y mucho más.
Como dije en la última lección, las antiderivadas, a diferencia de las derivadas, nunca se resuelven "en blanco" usando reglas estándar. Además, la mala noticia es que, a diferencia de la derivada, es posible que la antiderivada no se considere en absoluto. Si escribimos una función completamente aleatoria e intentamos encontrar su derivada, lo lograremos con una probabilidad muy alta, pero la antiderivada casi nunca se calculará en este caso. Pero también hay buenas noticias: existe una clase bastante grande de funciones llamadas funciones elementales, cuyas antiderivadas son muy fáciles de calcular. Y todas las demás construcciones más complejas que se dan en varios controles, independientes y exámenes, de hecho, se componen de estas funciones elementales sumando, restando y otras acciones simples. Las antiderivadas de tales funciones se han calculado y resumido durante mucho tiempo en tablas especiales. Es con tales funciones y tablas que trabajaremos hoy.
Pero comenzaremos, como siempre, con una repetición: recuerda qué es una antiderivada, por qué hay infinitas y cómo determinarlas. forma general. Para hacer esto, tomé dos tareas simples.
Resolver ejemplos fáciles
Ejemplo 1
Nótese de inmediato que $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ y la presencia de $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ inmediatamente nos sugiere que la antiderivada requerida de la función está relacionada con la trigonometría. Y, de hecho, si miramos la tabla, encontramos que $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ no es más que $\text(arctg)x$. Así que escribamos:
Para encontrarlo, debes escribir lo siguiente:
\[\frac(\pi)(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\texto( )\!\!\pi\!\!\texto( ))(6)=\frac(\texto( )\!\!\pi\!\!\texto( )) (3)+C\]
Ejemplo #2
Aquí también estamos hablando de funciones trigonométricas. Si miramos la tabla, entonces, de hecho, resultará así:
Necesitamos encontrar entre todo el conjunto de antiderivadas la que pasa por el punto especificado:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsen \frac(1)(2)+C\]
\[\texto( )\!\!\pi\!\!\texto( )=\frac(\texto( )\!\!\pi\!\!\texto( ))(6)+C\]
Escribámoslo finalmente:
Es así de simple. El único problema es que para contar las antiderivadas de funciones simples, necesitas aprender la tabla de antiderivadas. Sin embargo, después de aprender la tabla de derivadas, supongo que esto no será un problema.
Resolver problemas que contienen una función exponencial
Comencemos escribiendo las siguientes fórmulas:
\[((e)^(x))\a ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Veamos cómo funciona todo esto en la práctica.
Ejemplo 1
Si observamos el contenido de los corchetes, notaremos que en la tabla de antiderivadas no existe tal expresión que $((e)^(x))$ esté en un cuadrado, por lo que este cuadrado debe abrirse. Para hacer esto, usamos las fórmulas de multiplicación abreviadas:
Encontremos la antiderivada de cada uno de los términos:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
Y ahora reunimos todos los términos en una sola expresión y obtenemos una antiderivada común:
Ejemplo #2
Esta vez, el exponente ya es mayor, por lo que la fórmula de multiplicación abreviada será bastante complicada. Expandamos los paréntesis:
Ahora intentemos sacar la antiderivada de nuestra fórmula a partir de esta construcción:
Como se puede ver, en primitivo funcion exponencial no hay nada complicado y sobrenatural. Todo uno se calcula a través de tablas, sin embargo, los estudiantes atentos seguramente notarán que la antiderivada $((e)^(2x))$ está mucho más cerca de $((e)^(x))$ que de $((a )^(x))$. Entonces, tal vez haya alguna regla más especial que permita, conociendo la antiderivada $((e)^(x))$, encontrar $((e)^(2x))$? Sí, existe tal regla. Y, además, es parte integral del trabajo con la tabla de antiderivadas. Ahora lo analizaremos utilizando las mismas expresiones con las que acabamos de trabajar como ejemplo.
Reglas para trabajar con la tabla de antiderivadas
Reescribamos nuestra función:
En el caso anterior, usamos la siguiente fórmula para resolver:
\[((a)^(x))\a \frac(((a)^(x)))(\nombre del operador(lna))\]
Pero ahora hagámoslo un poco diferente: recuerda sobre qué base $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Como ya se dijo, debido a que la derivada de $((e)^(x))$ no es más que $((e)^(x))$, entonces su antiderivada será igual a la misma $((e) ^( x))$. Pero el problema es que tenemos $((e)^(2x))$ y $((e)^(-2x))$. Ahora tratemos de encontrar la derivada $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Reescribamos nuestra construcción de nuevo:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
Y esto significa que al encontrar la antiderivada $((e)^(2x))$, obtenemos lo siguiente:
\[((e)^(2x))\a \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Como puede ver, obtuvimos el mismo resultado que antes, pero no usamos la fórmula para encontrar $((a)^(x))$. Ahora bien, esto puede parecer estúpido: ¿por qué complicar los cálculos cuando hay una fórmula estándar? Sin embargo, en expresiones un poco más complejas, verá que esta técnica es muy efectiva, es decir, usando derivadas para encontrar antiderivadas.
Como calentamiento, encontremos la antiderivada de $((e)^(2x))$ de manera similar:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
Al calcular, nuestra construcción se escribirá de la siguiente manera:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Obtuvimos exactamente el mismo resultado, pero fuimos al revés. Es así que, que ahora nos parece un poco más complicado, en el futuro será más eficiente para calcular antiderivadas más complejas y usar tablas.
¡Nota! Esto es muy punto importante: las antiderivadas, así como las derivadas, se pueden contar como un conjunto varias maneras. Sin embargo, si todos los cálculos y cálculos son iguales, la respuesta será la misma. Acabamos de asegurarnos de esto en el ejemplo de $((e)^(-2x))$ - por un lado, calculamos esta antiderivada "totalmente", usando la definición y calculándola con la ayuda de transformaciones, por el otro Por otro lado, recordamos que $ ((e)^(-2x))$ se puede representar como $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ y luego usa la antiderivada para la función $( (a)^(x))$. Sin embargo, después de todas las transformaciones, el resultado es el mismo que se esperaba.
Y ahora que entendemos todo esto, es hora de pasar a algo más sustancial. Ahora analizaremos dos construcciones simples, sin embargo, la técnica que se establecerá al resolverlas es una herramienta más poderosa y útil que un simple "correr" entre las antiderivadas vecinas de la tabla.
Resolución de problemas: encontrar la antiderivada de una función
Ejemplo 1
Da la cantidad que está en los numeradores, descompón en tres fracciones separadas:
Esta es una transición bastante natural y comprensible: la mayoría de los estudiantes no tienen problemas con ella. Reescribamos nuestra expresión de la siguiente manera:
Ahora recordemos esta fórmula:
En nuestro caso, obtendremos lo siguiente:
Para deshacerse de todas estas fracciones de tres pisos, sugiero hacer lo siguiente:
Ejemplo #2
A diferencia de la fracción anterior, el denominador no es el producto, sino la suma. En este caso, ya no podemos dividir nuestra fracción por la suma de varias fracciones simples, pero de alguna manera debemos tratar de asegurarnos de que el numerador contenga aproximadamente la misma expresión que el denominador. En este caso, es bastante fácil de hacer:
Tal notación, que en el lenguaje de las matemáticas se llama "sumar cero", nos permitirá dividir nuevamente la fracción en dos partes:
Ahora vamos a encontrar lo que estábamos buscando:
Esos son todos los cálculos. A pesar de la aparente mayor complejidad que en el problema anterior, la cantidad de cálculos resultó ser aún menor.
Matices de la solución.
Y aquí es donde radica la principal dificultad de trabajar con primitivas tabulares, esto se nota especialmente en la segunda tarea. El hecho es que para seleccionar algunos elementos que se cuentan fácilmente a través de la tabla, necesitamos saber qué es exactamente lo que estamos buscando, y es en la búsqueda de estos elementos en lo que consiste todo el cálculo de antiderivadas.
En otras palabras, no es suficiente simplemente memorizar la tabla de antiderivadas: debe poder ver algo que aún no está allí, pero lo que quiso decir el autor y compilador de este problema. Es por eso que muchos matemáticos, maestros y profesores argumentan constantemente: "¿Qué es tomar antiderivadas o integración? ¿Es solo una herramienta o es un arte real?" De hecho, en mi opinión personal, la integración no es un arte en absoluto, no hay nada sublime en ello, es solo práctica y práctica de nuevo. Y para practicar, resolvamos tres ejemplos más serios.
Practicar la integración en la práctica
Tarea 1
Escribamos las siguientes fórmulas:
\[((x)^(n))\a \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\a \text(arctg)x\]
Escribamos lo siguiente:
Tarea 2
Reescribámoslo de la siguiente manera:
La antiderivada total será igual a:
Tarea #3
La complejidad de esta tarea radica en que, a diferencia de las funciones anteriores, no existe una variable $x$ arriba, es decir, no nos queda claro qué sumar, restar para obtener al menos algo similar a lo que se muestra a continuación. Sin embargo, de hecho, esta expresión se considera incluso más simple que cualquier expresión de las construcciones anteriores, porque esta función se puede reescribir de la siguiente manera:
Ahora puede preguntar: ¿por qué estas funciones son iguales? Vamos a revisar:
Reescribamos de nuevo:
Cambiemos un poco nuestra expresión:
Y cuando les explico todo esto a mis alumnos, casi siempre surge el mismo problema: con la primera función todo queda más o menos claro, con la segunda también puedes resolverlo con suerte o práctica, pero qué tipo de conciencia alternativa hacer. necesitas tener para resolver el tercer ejemplo? En realidad, no tengas miedo. La técnica que usamos al calcular la última antiderivada se llama "descomponer una función en la más simple", y esta es una técnica muy seria, y se le dedicará una lección de video por separado.
Mientras tanto, propongo volver a lo que acabamos de estudiar, es decir, a las funciones exponenciales y complicar un poco las tareas con su contenido.
Problemas más complejos para resolver funciones exponenciales antiderivadas
Tarea 1
Tenga en cuenta lo siguiente:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
Para encontrar la antiderivada de esta expresión, simplemente usa la fórmula estándar $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
En nuestro caso, la primitiva será así:
Por supuesto, en el contexto de la construcción que acabamos de resolver, esta parece más simple.
Tarea 2
Nuevamente, es fácil ver que esta función es fácil de dividir en dos términos separados: dos fracciones separadas. Reescribamos:
Queda por encontrar la antiderivada de cada uno de estos términos según la fórmula anterior:
A pesar de la aparente mayor complejidad de las funciones exponenciales en comparación con las funciones de potencia, la cantidad total de cálculos y cálculos resultó ser mucho más simple.
Por supuesto, para los estudiantes informados, lo que acabamos de tratar (especialmente en el contexto de lo que hemos tratado antes) puede parecer expresiones elementales. Sin embargo, al elegir estas dos tareas para el video tutorial de hoy, no me propuse contarles otro truco complejo y elegante; todo lo que quería mostrarles es que no deben tener miedo de usar trucos de álgebra estándar para transformar las funciones originales. .
Usando la técnica "secreta"
Para terminar, me gustaría analizar otra técnica interesante, que por un lado va más allá de lo que hemos analizado principalmente hoy, pero por otro lado, en primer lugar, no es nada complicada, es decir, incluso los estudiantes novatos pueden dominarlo y, en segundo lugar, se encuentra con bastante frecuencia en todo tipo de control y Trabajo independiente, es decir. saberlo te será de mucha utilidad además de conocer la tabla de antiderivadas.
Tarea 1
Obviamente, tenemos algo muy similar a función de potencia. ¿Cómo debemos proceder en este caso? Pensemos en ello: $x-5$ difiere de $x$ no tanto, solo agrega $-5$. Escribámoslo así:
\[((x)^(4))\a \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Intentemos encontrar la derivada de $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
Esto implica:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ derecha))^(\principal))\]
No existe tal valor en la tabla, por lo que ahora hemos derivado esta fórmula nosotros mismos, utilizando la fórmula antiderivada estándar para una función de potencia. Escribamos la respuesta así:
Tarea 2
Para muchos estudiantes que miran la primera solución, puede parecer que todo es muy simple: basta con reemplazar $x$ en la función de potencia con una expresión lineal, y todo encajará. Desafortunadamente, no todo es tan simple, y ahora veremos esto.
Por analogía con la primera expresión, escribimos lo siguiente:
\[((x)^(9))\a \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
Volviendo a nuestra derivada, podemos escribir:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \derecha))^(\principal))\]
De aquí sigue inmediatamente:
Matices de la solución.
Tenga en cuenta: si la última vez nada cambió esencialmente, entonces en el segundo caso apareció $-30$ en lugar de $-10$. ¿Cuál es la diferencia entre $-10$ y $-30$? Obviamente, por un factor de $-3$. Pregunta: ¿De dónde vino? Mirando de cerca, puede ver que se tomó como resultado de calcular la derivada de una función compleja: el coeficiente que estaba en $x$ aparece en la antiderivada a continuación. Esto es muy regla importante, que inicialmente no planeé analizar en absoluto en el video tutorial de hoy, pero sin él, la presentación de las antiderivadas tabulares estaría incompleta.
Así que hagámoslo de nuevo. Sea nuestra principal función de poder:
\[((x)^(n))\a \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Y ahora, en lugar de $x$, sustituyamos la expresión $kx+b$. ¿Qué pasará entonces? Necesitamos encontrar lo siguiente:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]
¿Sobre qué base afirmamos esto? Muy simple. Encontremos la derivada de la construcción escrita arriba:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
Esta es la misma expresión que era originalmente. Por lo tanto, esta fórmula también es correcta y se puede usar para complementar la tabla de antiderivadas, pero es mejor recordar la tabla completa.
Conclusiones del "secreto: recepción:
- Ambas funciones que acabamos de considerar, de hecho, se pueden reducir a las antiderivadas indicadas en la tabla abriendo los grados, pero si podemos más o menos de alguna manera hacer frente al cuarto grado, entonces no haría el noveno grado en absoluto. se atrevió a revelar.
- Si abriésemos los grados, obtendríamos tal volumen de cálculos que una tarea sencilla nos llevaría un tiempo inadecuado.
- Es por eso que tales tareas, dentro de las cuales hay expresiones lineales, no necesitan resolverse "en blanco". Tan pronto como encuentre una antiderivada, que difiere de la de la tabla solo por la presencia de la expresión $kx+b$ adentro, recuerde inmediatamente la fórmula escrita arriba, sustitúyala en su antiderivada tabular, y todo resultará mucho más más rápido y más fácil.
Naturalmente, debido a la complejidad y seriedad de esta técnica, volveremos repetidamente a su consideración en futuros tutoriales en video, pero por hoy tengo todo. Espero que esta lección realmente ayude a aquellos estudiantes que quieren entender las antiderivadas y la integración.
Aprender a integrar no es difícil. Para hacer esto, solo necesita aprender un cierto conjunto de reglas, bastante pequeño, y desarrollar una especie de estilo. Por supuesto, es fácil aprender las reglas y fórmulas, pero es bastante difícil entender dónde y cuándo aplicar esta o aquella regla de integración o diferenciación. Esto, de hecho, es la capacidad de integración.
1. Antiderivada. Integral indefinida.
Se supone que al momento de leer este artículo, el lector ya tiene algunas habilidades de diferenciación (es decir, encontrar derivadas).
Definición 1.1: Una función se llama antiderivada si se cumple la igualdad:
Comentarios:> El acento en la palabra “primordial” se puede colocar de dos maneras: sobre trastornado u original pero conocimiento.
Propiedad 1: Si una función es una antiderivada de una función, entonces la función también es una antiderivada de una función.
Prueba: Probemos esto a partir de la definición de antiderivada. Encontremos la derivada de la función:
El primer término en definición 1.1 es igual a , y el segundo término es la derivada de la constante, que es igual a 0.
.
Resumir. Escribamos el principio y el final de la cadena de igualdades: 
Así, la derivada de la función es igual, y por tanto, por definición, es su antiderivada. La propiedad ha sido probada.
Definición 1.2: La integral indefinida de una función es el conjunto completo de antiderivadas de esta función. Se denota así: 
.
Considere los nombres de cada parte del registro en detalle:
es la notación general para la integral,
es una expresión integrando (integrando), una función integrable.
es la diferencial, y la expresión después de la letra , en este caso , se llamará variable de integración.
Comentarios: Las palabras clave en esta definición son “el conjunto completo”. Esos. si en el futuro este "más C" no está escrito en la respuesta, entonces el inspector tiene todo el derecho de no acreditar esta tarea, porque es necesario encontrar todo el conjunto de antiderivadas, y si C está ausente, entonces solo se encuentra uno.
Producción: Para comprobar si la integral se calcula correctamente, es necesario encontrar la derivada del resultado. Debe coincidir con el integrando.
Ejemplo:
La tarea: Calcula la integral indefinida y comprueba.
Solución:
La forma en que se calcula esta integral no importa en este caso. Supongamos que es una revelación de arriba. Nuestra tarea es mostrar que la revelación no nos engañó, y esto se puede hacer con la ayuda de la verificación.
Examen:
Al diferenciar el resultado se obtuvo un integrando, lo que significa que la integral se calculó correctamente.
2. Empezar. Tabla de integrales.
Para la integración, no es necesario recordar cada vez la función cuya derivada es igual al integrando dado (es decir, usar la definición de la integral directamente). Cada colección de problemas o un libro de texto sobre análisis matemático contiene una lista de propiedades de las integrales y una tabla de las integrales más simples.
Vamos a enumerar las propiedades.
Propiedades:
1.
La integral de la diferencial es igual a la variable de integración.
2. , donde es una constante.
El multiplicador constante se puede sacar del signo integral.
3.
La integral de la suma es igual a la suma de las integrales (si el número de términos es finito).
tabla de integrales:
1.  |
10. |
| 2. | 11.  |
| 3. | 12.  |
4.  |
13.  |
5.  |
14.  |
| 6. | 15. |
7.  |
16. |
| 8. | 17.  |
| 9. | 18.  |
La mayoría de las veces, la tarea es reducir la integral investigada a una tabular usando propiedades y fórmulas.
Ejemplo:
[Usemos la tercera propiedad de las integrales y escribámosla como una suma de tres integrales.]
[Usemos la segunda propiedad y saquemos las constantes del signo de integración.]
[ En la primera integral usamos integral de tabla№1 (n=2), en el segundo, la misma fórmula, pero n=1, y para la tercera integral, puede usar la misma integral de tabla, pero con n=0, o la primera propiedad.]
.
Comprobemos por diferenciación:
Se obtuvo el integrando original, por lo tanto, la integración se realizó sin errores (e incluso no se olvidó la adición de una constante arbitraria C).
Las integrales tabulares deben aprenderse de memoria por una simple razón: para saber por qué luchar, es decir, saber el propósito de la transformación de la expresión dada.
Aqui hay algunos ejemplos mas:
1) 
2) 
3) 
Tareas para solución independiente:
Ejercicio 1. Calcular la integral indefinida:
+ Mostrar/ocultar pista #1.
1) Usa la tercera propiedad y presenta esta integral como la suma de tres integrales.
+ Mostrar/ocultar pista #2.
+ Mostrar/ocultar pista #3.
3) Para los dos primeros términos, use la primera integral tabular, y para el tercero, la segunda integral tabular.
+ Mostrar/ocultar solución y respuesta.
4) Solución: 
Responder: 
Integrales principales que todo estudiante debe saber
Las integrales enumeradas son la base, la base de los cimientos. Estas fórmulas, por supuesto, deben recordarse. Al calcular integrales más complejas, deberá usarlas constantemente.
Pagar Atención especial a las fórmulas (5), (7), (9), (12), (13), (17) y (19). ¡No olvide agregar una constante C arbitraria a la respuesta al integrar!
Integral de una constante
∫ UN re X = UN X + C (1)Integración de la función de potencia
De hecho, uno podría limitarse a las fórmulas (5) y (7), pero el resto de las integrales de este grupo son tan comunes que merece la pena prestarles un poco de atención.
∫ X re X = X 2 2 + C (2)
∫ X 2 re X = X 3 3 + C (3)
∫ 1 X re X = 2 X + C (4)
∫ 1 X re X = iniciar sesión | x | +C(5)
∫ 1 X 2 re X = − 1 X + C (6)
∫ X norte re X = X norte + 1 norte + 1 + C (norte ≠ − 1) (7)
Integrales de la función exponencial y de las funciones hiperbólicas
Por supuesto, la fórmula (8) (quizás la más conveniente de recordar) puede considerarse como caso especial fórmulas (9). Las fórmulas (10) y (11) para las integrales del seno hiperbólico y el coseno hiperbólico se derivan fácilmente de la fórmula (8), pero es mejor recordar simplemente estas relaciones.
∫ mi X re X = mi X + C (8)
∫ un x re x = un x log un + C (un > 0, un ≠ 1) (9)
∫ s h x re x = c h x + C (10)
∫ do h x re x = s h x + do (11)
Integrales básicas de funciones trigonométricas
Un error que suelen cometer los estudiantes: confunden los signos en las fórmulas (12) y (13). Recordando que la derivada del seno es igual al coseno, por alguna razón mucha gente cree que la integral de la función senx es igual a cosx. ¡Esto no es verdad! La integral de seno es "menos coseno", pero la integral de cosx es "solo seno":
∫ sen x re x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sen x + C (13)
∫ 1 porque 2 x re x = t gramo x + C (14)
∫ 1 pecado 2 X re X = − C t gramo X + C (15)
Integrales que se reducen a funciones trigonométricas inversas
La fórmula (16), que conduce al arco tangente, es naturalmente un caso especial de la fórmula (17) para a=1. De manera similar, (18) es un caso especial de (19).
∫ 1 1 + X 2 re X = una r C t gramo X + C = - una r C C t gramo X + C (16)
∫ 1 X 2 + un 2 = 1 un un r C t gramo X un + C (un ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 re x = arcsen x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsen x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Integrales más complejas
Estas fórmulas también son deseables de recordar. También se usan con bastante frecuencia y su producción es bastante tediosa.
∫ 1 X 2 + un 2 re X = en | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 X 2 - un 2 re X = en | x + x 2 - un 2 | +C(21)
∫ un 2 − x 2 re x = x 2 un 2 − x 2 + un 2 2 arcsen x un + C (un > 0) (22)
∫ X 2 + un 2 re X = X 2 X 2 + un 2 + un 2 2 en | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ X 2 - un 2 re X = X 2 X 2 - un 2 - un 2 2 en | x + x 2 - un 2 | + C (a > 0) (24)
Reglas generales de integración
1) La integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales correspondientes: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) La integral de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las integrales correspondientes: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) La constante se puede sacar del signo integral: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Es fácil ver que la propiedad (26) es simplemente una combinación de las propiedades (25) y (27).
4) Integral de una función compleja si la función interna es lineal: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Aquí F(x) es la antiderivada de la función f(x). Tenga en cuenta que esta fórmula solo funciona cuando la función interna es Ax + B.
Importante: no existe una fórmula universal para la integral del producto de dos funciones, así como para la integral de una fracción:
∫ f (x) gramo (x) re x = ? ∫ f (x) gramo (x) re x = ? (treinta)
Esto no significa, por supuesto, que no se pueda integrar una fracción o un producto. Es solo que cada vez que ves una integral como (30), tienes que inventar una forma de "luchar" con ella. En algunos casos, la integración por partes lo ayudará, en algún lugar tendrá que hacer un cambio de variable y, a veces, incluso las fórmulas "escolares" de álgebra o trigonometría pueden ayudar.
Un ejemplo simple para calcular la integral indefinida
Ejemplo 1. Encuentra la integral: ∫ (3 x 2 + 2 sen x − 7 e x + 12) d xUsamos las fórmulas (25) y (26) (la integral de la suma o diferencia de funciones es igual a la suma o diferencia de las integrales correspondientes. Obtenemos: ∫ 3 x 2 dx + ∫ 2 sen xdx − ∫ 7 exdx + ∫ 12 dx
Recuerde que la constante se puede sacar del signo integral (fórmula (27)). La expresión se convierte a la forma
3 ∫ x 2 re x + 2 ∫ pecado x re x − 7 ∫ e x re x + 12 ∫ 1 re x
Ahora usemos la tabla de integrales básicas. Necesitaremos aplicar las fórmulas (3), (12), (8) y (1). Integremos la función potencia, seno, exponente y constante 1. No olvides agregar una constante arbitraria C al final:
3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C
Después de transformaciones elementales, obtenemos la respuesta final:
X 3 − 2 porque X − 7 e x + 12 x + C
Ponte a prueba con la diferenciación: toma la derivada de la función resultante y asegúrate de que sea igual al integrando original.
Tabla resumen de integrales
| ∫ UN re X = UN X + C |
| ∫ X re X = X 2 2 + C |
| ∫ X 2 re X = X 3 3 + C |
| ∫ 1 X re X = 2 X + C |
| ∫ 1 X re X = iniciar sesión | x | + C |
| ∫ 1 X 2 re X = - 1 X + C |
| ∫ X norte re X = X norte + 1 norte + 1 + C (norte ≠ − 1) |
| ∫ mi X re X = mi X + C |
| ∫ un x re x = un x en un + C (un > 0, un ≠ 1) |
| ∫ s h X re X = C h X + C |
| ∫ C h X re X = s h X + C |
| ∫ sen x re x = − cos x + C |
| ∫ porque x re x = sen x + C |
| ∫ 1 porque 2 X re X = t gramo X + C |
| ∫ 1 pecado 2 X re X = − C t gramo X + C |
| ∫ 1 1 + X 2 re X = una r C t gramo X + C = - una r C C t gramo X + C |
| ∫ 1 X 2 + un 2 = 1 un un r C t gramo X un + C (un ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 re x = arcsen x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 re x = arcsen x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 X 2 + un 2 re X = en | x + x2 + a2 | + C |
| ∫ 1 X 2 - un 2 re X = en | x + x 2 - un 2 | + C |
| ∫ un 2 − x 2 re x = x 2 un 2 − x 2 + un 2 2 arcsen x un + C (un > 0) |
| ∫ X 2 + un 2 re X = X 2 X 2 + un 2 + un 2 2 en | x + x2 + a2 | + C (a > 0) |
| ∫ X 2 - un 2 re X = X 2 X 2 - un 2 - un 2 2 en | x + x 2 - un 2 | + C (a > 0) |
Descarga la tabla de integrales (parte II) desde este enlace
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En un material anterior, se consideró la cuestión de encontrar el derivado y su varias aplicaciones: calcular la pendiente de la tangente a la gráfica, resolver problemas de optimización, estudiar funciones de monotonicidad y extremos. $\nuevocomando(\tg)(\mahop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\nuevocomando(\ctg)(\mahop(\mathrm(ctg))\nolimits)$ $\nuevocomando(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\nuevocomando(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$
Foto 1.
También se consideró el problema de encontrar la velocidad instantánea $v(t)$ con la ayuda de la derivada con respecto a una distancia recorrida previamente conocida, expresada por la función $s(t)$.
Figura 2.
El problema inverso también es muy común, cuando necesitas encontrar el camino $s(t)$ recorrido por un punto en el tiempo $t$, conociendo la velocidad del punto $v(t)$. Si recuerdas, la velocidad instantánea $v(t)$ se encuentra como una derivada de la función de trayectoria $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Esto significa que para resolver el problema inverso, es decir, para calcular la ruta, necesitas encontrar una función cuya derivada sea igual a la función de velocidad. Pero sabemos que la derivada del camino es la velocidad, es decir: $s'(t) = v(t)$. La velocidad es igual al producto de la aceleración y el tiempo: $v=at$. Es fácil determinar que la función de ruta deseada tendrá la forma: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Pero esto no es una solución completa. La solución completa se verá así: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, donde $C$ es una constante. Por qué esto es así se discutirá más adelante. Mientras tanto, comprobemos la corrección de la solución encontrada: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+ 0=a=v(t)$.
Vale la pena señalar que encontrar el camino por la velocidad es el significado físico de la antiderivada.
La función resultante $s(t)$ se llama antiderivada de $v(t)$. bastante interesante y nombre inusual, no es. Tiene mucho significado, lo que explica la esencia. este concepto y conduce a la comprensión. Puede ver que contiene dos palabras "primero" e "imagen". Hablan por sí mismos. Es decir, esta es la función que es la original de la derivada que tenemos. Y por esta derivada estamos buscando la función que estaba al principio, era la “primera”, “primera imagen”, es decir, la antiderivada. A veces también se le llama función primitiva o antiderivada.
Como ya sabemos, el proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación. Y el proceso de encontrar la antiderivada se llama integración. La operación de integración es la inversa de la operación de diferenciación. Lo contrario también es cierto.
Definición. Una antiderivada de una función $f(x)$ en algún intervalo es una función $F(x)$ cuya derivada es igual a esta función $f(x)$ para todos los $x$ del intervalo especificado: $F'( x)=f(x)$.
Alguien puede tener una pregunta: de dónde vienen $F(x)$ y $f(x)$ en la definición, si inicialmente se trataba de $s(t)$ y $v(t)$. El hecho es que $s(t)$ y $v(t)$ son casos especiales de designación de funciones que tienen un significado específico en este caso, es decir, son una función del tiempo y una función de la velocidad, respectivamente. Lo mismo ocurre con la variable $t$: representa el tiempo. Y $f$ y $x$ son la variante tradicional de la designación general de una función y una variable, respectivamente. Vale la pena prestar especial atención a la notación de la antiderivada $F(x)$. Primero, $F$ es capital. Las antiderivadas se denotan letras mayúsculas. En segundo lugar, las letras son las mismas: $F$ y $f$. Es decir, para la función $g(x)$ la antiderivada se denotará por $G(x)$, para $z(x)$ - por $Z(x)$. Independientemente de la notación, las reglas para encontrar la función antiderivada son siempre las mismas.
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1 Demuestra que la función $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ es la antiderivada de la función $f(x)=\cos5x$.
Para probar esto, usamos la definición, o más bien el hecho de que $F'(x)=f(x)$, y encontramos la derivada de la función $F(x)$: $F'(x)=(\ frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Entonces $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ es la antiderivada de $f(x)=\cos5x$. QED
Ejemplo 2 Encuentre a qué funciones corresponden las siguientes antiderivadas: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.
Para encontrar las funciones deseadas, calculamos sus derivadas:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.
Ejemplo 3¿Cuál será la antiderivada de $f(x)=0$?
Usemos la definición. Pensemos qué función puede tener una derivada igual a $0$. Recordando la tabla de derivadas, obtenemos que cualquier constante tendrá tal derivada. Obtenemos que la antiderivada que buscamos: $F(x)= C$.
La solución resultante se puede explicar geométrica y físicamente. Geométricamente, significa que la tangente a la gráfica $y=F(x)$ es horizontal en cada punto de esta gráfica y, por tanto, coincide con el eje $Ox$. Físicamente explicado por el hecho de que un punto con una velocidad igual a cero permanece en su lugar, es decir, el camino recorrido por él no cambia. En base a esto, podemos formular el siguiente teorema.
Teorema. (Signo de constancia de función). Si $F'(x) = 0$ en algún intervalo, entonces la función $F(x)$ es constante en este intervalo.
Ejemplo 4 Determinar las antiderivadas de cuyas funciones son las funciones a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, donde $a$ es un número.
Usando la definición de una antiderivada, concluimos que para resolver esta tarea, necesitamos calcular las derivadas de las funciones antiderivadas que se nos dan. Al calcular, recuerde que la derivada de una constante, es decir, cualquier número, es igual a cero.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.
¿Qué vemos? Varias funciones diferentes son antiderivadas de la misma función. Esto significa que cualquier función tiene infinitas antiderivadas, y tienen la forma $F(x) + C$, donde $C$ es una constante arbitraria. Es decir, la operación de integración tiene múltiples valores, en contraste con la operación de diferenciación. Con base en esto, formulamos un teorema que describe la principal propiedad de las antiderivadas.
Teorema. (La principal propiedad de las primitivas.). Sean las funciones $F_1$ y $F_2$ funciones antiderivadas$f(x)$ en algún intervalo. Entonces la siguiente igualdad se cumple para todos los valores de este intervalo: $F_2=F_1+C$, donde $C$ es una constante.
El hecho de la existencia de un conjunto infinito de antiderivadas puede interpretarse geométricamente. Con la ayuda de la traslación paralela a lo largo del eje $Oy$, se pueden obtener gráficos de dos antiderivadas cualesquiera para $f(x)$ entre sí. Este es el significado geométrico de la antiderivada.
Es muy importante prestar atención al hecho de que eligiendo la constante $C$ es posible hacer que la gráfica de la antiderivada pase por un punto determinado.
figura 3
Ejemplo 5 Encuentra la antiderivada de la función $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ cuya gráfica pasa por el punto $(3; 1)$.
Primero encontremos todas las antiderivadas para $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
A continuación, encontramos un número C para el cual la gráfica $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ pasará por el punto $(3; 1)$. Para ello, sustituimos las coordenadas del punto en la ecuación de la gráfica y la resolvemos con respecto a $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Obtuvimos la gráfica $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, que corresponde a la antiderivada $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.
Tabla de antiderivadas
Se puede compilar una tabla de fórmulas para encontrar antiderivadas usando fórmulas para encontrar derivadas.
| Funciones | antiderivadas |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\en R$ | $hacha+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\displaystyle\frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\sinx$ | $-\cosx+C$ |
| $\cosx$ | $\sinx+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctgx+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tgx+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcsen x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcos x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctgx+C$ |
| $\estilo de visualización -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arctg x+C$ |
Puede verificar la corrección de la tabla de la siguiente manera: para cada conjunto de antiderivadas en la columna de la derecha, encuentre la derivada, lo que resulta en las funciones correspondientes en la columna de la izquierda.
Algunas reglas para encontrar antiderivadas
Como sabes, muchas funciones tienen una forma más compleja que las indicadas en la tabla de antiderivadas, y pueden ser cualquier combinación arbitraria de sumas y productos de funciones de esta tabla. Y aquí surge la pregunta, cómo calcular las antiderivadas de funciones similares. Por ejemplo, de la tabla sabemos cómo calcular las antiderivadas $x^3$, $\sin x$ y $10$. Pero, ¿cómo, por ejemplo, calcular la antiderivada $x^3-10\sen x$? De cara al futuro, cabe señalar que será igual a $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Si $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$, $G(x)$ es de $g(x)$, entonces para $f(x)+g(x)$ la antiderivada será igual a $ F(x)+G(x)$.
2. Si $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ y $a$ es una constante, entonces para $af(x)$ la antiderivada es $aF(x)$.
3. Si para $f(x)$ la antiderivada es $F(x)$, $a$ y $b$ son constantes, entonces $\frac(1)(a) F(ax+b)$ es antiderivada para $f (ax+b)$.
Usando las reglas obtenidas, podemos expandir la tabla de antiderivadas.
| Funciones | antiderivadas |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
Ejemplo 5 Encuentre antiderivadas para:
a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;
b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
d) $\displaystyle\sqrt(x)-2\sqrt(x)$.
a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
c) $5 \sen x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.