Integral definida. Cómo calcular el área de una forma

Pasamos ahora a la consideración de las aplicaciones del cálculo integral. En esta lección analizaremos una tarea típica y más común. - cómo calcular el área de una figura plana usando una integral definida... Finalmente buscando sentido en Matemáticas avanzadas- sí lo encontrarán. Nunca sabes. Tendremos que acercarlo a la vida área de casa de campo funciones elementales y encontrar su área usando una integral definida.

Para dominar con éxito el material, debe:

1) Comprender integral indefinida al menos a un nivel medio. Por lo tanto, los maniquíes deben familiarizarse primero con la lección. No.

2) Ser capaz de aplicar la fórmula de Newton-Leibniz y calcular una integral definida. Puede construir amistades cálidas con integrales definidas en la página Integral definida. Ejemplos de soluciones.

De hecho, para encontrar el área de una figura, no se necesita tanto conocimiento de la integral indefinida y definida. La tarea "calcular el área usando una integral definida" siempre implica construir un dibujo, por lo tanto, sus conocimientos y habilidades de dibujo serán un tema mucho más urgente. En este sentido, es útil refrescar la memoria de los gráficos de las funciones elementales básicas y, al menos, poder construir una recta, una parábola y una hipérbola. Esto se puede hacer (muchas personas necesitan) usando material metodológico y artículos sobre transformaciones geométricas de gráficos.

En realidad, todo el mundo está familiarizado con el problema de encontrar el área utilizando una integral definida desde la escuela, y no nos adelantaremos mucho al plan de estudios de la escuela. Puede que este artículo no exista en absoluto, pero lo cierto es que el problema se da en 99 de cada 100 casos, cuando un alumno sufre el odiado rig con entusiasmo al dominar el curso de matemáticas superiores.

Los materiales de este taller se presentan de forma sencilla, detallada y con un mínimo de teoría.

Empecemos con trapezoide curvo.

Trapezoide curvo se llama figura plana limitada por un eje, líneas rectas y una gráfica de una función continua en un segmento, que no cambia de signo en este intervalo. Deje que esta figura se ubique no menos eje de abscisas:

Luego el área de un trapezoide curvo es numéricamente igual a la integral definida... Cualquier integral definida (que exista) tiene un muy buen significado geométrico. En el aula Integral definida. Ejemplos de soluciones Dije que una integral definida es un número. Y ahora es el momento de exponer otro hecho útil. Desde el punto de vista de la geometría, la integral definida es el AREA.

Es decir, una integral definida (si existe) corresponde geométricamente al área de alguna figura... Por ejemplo, considere una integral definida. El integrando establece una curva en el plano que se encuentra por encima del eje (quienes lo deseen pueden hacer un dibujo), y la integral determinada en sí misma numéricamente igual al área correspondiente trapezoide curvo.

Ejemplo 1

Ésta es una formulación típica de la tarea. Primero y el momento mas importante soluciones - dibujo edificio... Además, el dibujo debe construirse DERECHO.

Al construir un dibujo, recomiendo el siguiente orden: en primer lugar es mejor construir todas las líneas (si las hay) y solo Luego- parábolas, hipérbolas, gráficos de otras funciones. Es más rentable construir gráficos de funciones. puntual, la técnica de construcción punto por punto se puede encontrar en el material de referencia Gráficos y propiedades de funciones elementales... Allí también puede encontrar material muy útil en relación con nuestra lección: cómo construir rápidamente una parábola.

En este problema, la solución podría verse así.
Dibujemos un dibujo (tenga en cuenta que la ecuación define el eje):

No incubaré un trapezoide curvo, aquí es obvio de qué zona estamos hablando. La solución continúa así:

En el segmento, se ubica la gráfica de la función por encima del eje, asi que:

Respuesta:

Quién tiene dificultad para calcular una integral definida y aplicar la fórmula de Newton-Leibniz , consulte la conferencia Integral definida. Ejemplos de soluciones.

Una vez completada la tarea, siempre es útil mirar el plano y estimar si la respuesta es real. En este caso, "a ojo" contamos el número de celdas en el dibujo; bueno, se escribirán alrededor de 9, parece la verdad. Está bastante claro que si obtenemos, digamos, la respuesta: 20 unidades cuadradas, entonces, obviamente, se ha cometido un error en alguna parte: la cifra en consideración obviamente no cabe en 20 celdas, como máximo diez. Si la respuesta es negativa, entonces la tarea también se resolvió incorrectamente.

Ejemplo 2

Calcular el área de una forma delimitada por líneas y un eje

Este es un ejemplo de una solución "hágalo usted mismo". Solución completa y respuesta al final del tutorial.

Qué hacer si se encuentra el trapezoide curvo bajo el eje?

Ejemplo 3

Calcula el área de una forma delimitada por líneas y ejes de coordenadas.

Solución: Ejecutemos el dibujo:

Si el trapezoide curvo se encuentra debajo del eje(o al menos no mas alto eje dado), entonces su área se puede encontrar mediante la fórmula:
En este caso:

¡Atención! Los dos tipos de tareas no deben confundirse:

1) Si se le pide que resuelva solo una integral definida sin ningún significado geométrico, entonces puede ser negativa.

2) Si se le pide que encuentre el área de una figura usando una integral definida, ¡entonces el área es siempre positiva! Por eso aparece menos en la fórmula que acabamos de considerar.

En la práctica, la figura se ubica con mayor frecuencia en los semiplanos superior e inferior y, por lo tanto, de los problemas escolares más simples, pasamos a ejemplos más significativos.

Ejemplo 4

Calcula el área de una figura plana delimitada por líneas.

Solución: Primero necesitas completar el dibujo. En términos generales, cuando construimos un dibujo en problemas sobre un área, lo que más nos interesa son los puntos de intersección de las líneas. Encuentra los puntos de intersección de la parábola y la recta. Esto se puede hacer de dos formas. La primera forma es analítica. Resolvemos la ecuación:

Por tanto, el límite inferior de integración, el límite superior de integración.
Es mejor no utilizar este método, si es posible..

Es mucho más rentable y rápido construir las líneas punto por punto, mientras que los límites de la integración se aclaran, por así decirlo, "por sí mismos". La técnica de trazado punto por punto para varios gráficos se analiza en detalle en la ayuda. Gráficos y propiedades de funciones elementales... Sin embargo, el método analítico para encontrar los límites todavía tiene que usarse a veces si, por ejemplo, el gráfico es lo suficientemente grande o la construcción precisa no reveló los límites de integración (pueden ser fraccionarios o irracionales). Y también consideraremos un ejemplo de este tipo.

Volvamos a nuestro problema: es más racional construir primero una línea recta y solo luego una parábola. Ejecutemos el dibujo:

Repito que en el caso de una construcción puntual, los límites de la integración los determina con mayor frecuencia un “autómata”.

Y ahora la fórmula de trabajo: Si en un segmento alguna función continua mayor que o igual de alguna función continua, entonces el área de la figura, delimitada por las gráficas de estas funciones y las líneas rectas, se puede encontrar mediante la fórmula:

Aquí ya no es necesario pensar dónde se encuentra la figura: por encima del eje o por debajo del eje y, en términos generales, es importante qué horario está ARRIBA(relativo a otro gráfico), y cual esta DEBAJO.

En el ejemplo en consideración, es obvio que en el segmento la parábola se ubica por encima de la línea recta, por lo que es necesario restar de

La finalización de la solución podría verse así:

La cifra requerida está delimitada por una parábola en la parte superior y una línea recta en la parte inferior.
En el segmento, según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

De hecho, la fórmula de la escuela para el área de un trapezoide curvilíneo en el semiplano inferior (ver ejemplo simple No. 3) - caso especial fórmulas ... Dado que el eje está dado por la ecuación y la gráfica de la función está ubicada no mas alto eje, entonces

Y ahora un par de ejemplos para una solución independiente.

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Calcula el área de la figura delimitada por líneas.

En el curso de la resolución de problemas para calcular el área usando una integral definida, a veces ocurre un incidente gracioso. El dibujo se hace correctamente, los cálculos son correctos, pero sin querer ... se encuentra el área de la figura incorrecta, así es como tu humilde servidor la cagó varias veces. Aquí caso real de vida:

Ejemplo 7

Calcula el área de la figura delimitada por las líneas ,,,.

Solución: Primero, ejecutemos el dibujo:

... Eh, salió un dibujo pésimo, pero todo parece legible.

La figura cuya área necesitamos encontrar está sombreada en azul.(observe atentamente la condición - ¡por qué está limitada la cifra!). Pero en la práctica, debido a la falta de atención, a menudo surge un "error", que necesita encontrar el área de la figura, que está sombreada en verde.

Este ejemplo también es útil porque calcula el área de una figura usando dos integrales definidas. En realidad:

1) Un gráfico de líneas se encuentra en el segmento sobre el eje;

2) El gráfico de hipérbola se encuentra en el segmento sobre el eje.

Es bastante obvio que las áreas pueden (y deben) agregarse, por lo tanto:

Respuesta:

Pasemos a una tarea más significativa.

Ejemplo 8

Calcula el área de una forma delimitada por líneas,
Representemos las ecuaciones en forma de "escuela" y ejecutemos un dibujo punto por punto:

Puede verse en el dibujo que nuestro límite superior es "bueno" :.
Pero, ¿cuál es el límite inferior? Está claro que este no es un número entero, pero ¿cuál? Quizás ? Pero, ¿dónde está la garantía de que el dibujo está hecho con perfecta precisión? Bien puede ser eso. O root. ¿Qué pasa si trazamos la gráfica de manera incorrecta?

En tales casos, debe dedicar tiempo adicional y refinar analíticamente los límites de la integración.

Encuentra los puntos de intersección de la recta y la parábola.
Para hacer esto, resolvemos la ecuación:


,

En realidad, .

La solución adicional es trivial, lo principal es no confundirse en sustituciones y signos, los cálculos aquí no son los más simples.

En el segmento , según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Bueno, como conclusión de la lección, consideraremos dos tareas más difíciles.

Ejemplo 9

Calcula el área de una figura delimitada por líneas,

Solución: Representemos esta figura en el dibujo.

Maldita sea, olvidé firmar el horario, pero para rehacer la foto, lo siento, no hotz. No dibujar, en fin, hoy es el día =)

Para una construcción punto por punto, necesita saber apariencia sinusoides (y en general es útil saber gráficos de todas las funciones elementales), así como algunos valores de seno, se pueden encontrar en tabla trigonométrica... En varios casos (como en este), se permite construir un dibujo esquemático, en el que los gráficos y los límites de integración deben mostrarse correctamente en principio.

No hay problemas con los límites de integración, se derivan directamente de la condición: - "x" cambia de cero a "pi". Tomamos una decisión adicional:

En el segmento, la gráfica de la función se ubica sobre el eje, por lo tanto:

Sea la función no negativa y continua en un intervalo. Luego, de acuerdo con el significado geométrico de una integral definida, el área de un trapezoide curvilíneo delimitada desde arriba por la gráfica de esta función, desde abajo por un eje, hacia la izquierda y hacia la derecha por líneas rectas y (ver Fig.2 ) se calcula mediante la fórmula

Ejemplo 9. Calcula el área de una forma delimitada por una línea y un eje.

Solución... Gráfico de funciones es una parábola cuyas ramas se dirigen hacia abajo. Construyémoslo (fig. 3). Para determinar los límites de integración, encontramos los puntos de intersección de la línea (parábola) con el eje (línea recta). Para hacer esto, resolvemos el sistema de ecuaciones.

Obtenemos: , donde , ; Como consecuencia, , .

Arroz. 3

Encontramos el área de la figura por la fórmula (5):

Si la función no es positiva y es continua en un segmento, entonces el área de un trapezoide curvilíneo delimitada desde abajo por la gráfica de esta función, desde arriba por un eje, hacia la izquierda y derecha por líneas rectas y se calcula por la formula

. (6)

Si la función es continua en un segmento y cambia de signo en un número finito de puntos, entonces el área de la figura sombreada (Fig.4) es igual a la suma algebraica de las integrales definidas correspondientes:

Arroz. 4

Ejemplo 10. Calcula el área de la figura delimitada por el eje y la gráfica de la función en.

Arroz. cinco

Solución... Hagamos un dibujo (fig. 5). El área requerida es la suma de áreas y. Busquemos cada una de estas áreas. Primero, determinamos los límites de integración resolviendo el sistema Obtenemos,. Como consecuencia:

;

.

Por tanto, el área de la figura sombreada es

(unidades cuadradas).

Arroz. 6

Finalmente, dejemos que el trapezoide curvilíneo esté acotado arriba y abajo por las gráficas de funciones continuas en un intervalo y,
ya la izquierda y derecha - líneas rectas y (Fig. 6). Entonces su área se calcula mediante la fórmula

. (8)

Ejemplo 11. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas y.

Solución. Esta figura se muestra en la Fig. 7. Calculamos su área mediante la fórmula (8). Resolviendo el sistema de ecuaciones encontramos; Como consecuencia, , . En el segmento tenemos :. Por lo tanto, en la fórmula (8) tomamos X, y como -. Obtenemos:

(unidades cuadradas).

Los problemas más complejos de cálculo de áreas se resuelven dividiendo una figura en partes que no se cruzan y calculando el área de toda la figura como la suma de las áreas de estas partes.

Arroz. 7

Ejemplo 12. Encuentra el área de la figura delimitada por líneas ,,.

Solución... Hagamos un dibujo (fig. 8). Esta figura puede considerarse como un trapezoide curvilíneo delimitado desde abajo por el eje, hacia la izquierda y hacia la derecha - por líneas rectas y, desde arriba - por las gráficas de las funciones y. Dado que la figura está delimitada desde arriba por las gráficas de dos funciones, para calcular su área, dividimos esta figura por una línea recta en dos partes (1 es la abscisa de la intersección de las líneas y). El área de cada una de estas partes se calcula mediante la fórmula (4):

(unidades cuadradas); (unidades cuadradas). Como consecuencia:

(unidades cuadradas).

Arroz. ocho

NS= j ( a)

Arroz. nueve

En conclusión, observamos que si un trapezoide curvilíneo está delimitado por líneas rectas y, el eje y continuo en la curva (Fig.9), entonces su área se encuentra mediante la fórmula

El volumen del cuerpo de revolución.

Sea un trapezoide curvilíneo acotado por la gráfica de una función continua en un segmento, por un eje, líneas rectas y, rotar alrededor de un eje (Fig. 10). Luego, el volumen del cuerpo de revolución resultante se calcula mediante la fórmula

. (9)

Ejemplo 13. Calcula el volumen de un cuerpo obtenido al girar alrededor del eje de un trapezoide curvo limitado por una hipérbola, líneas rectas y un eje.

Solución... Hagamos un dibujo (fig. 11).

Se deduce del enunciado del problema que,. Por la fórmula (9), obtenemos

.

Arroz. 10

Arroz. once

El volumen de un cuerpo obtenido por rotación alrededor de un eje. UNED trapecio curvo delimitado por líneas rectas y = c y y = d, eje UNED y el gráfico de una función continua en un segmento (Fig.12), se determina mediante la fórmula

. (10)

NS= j ( a)

Arroz. 12

Ejemplo 14... Calcular el volumen de un cuerpo obtenido por rotación alrededor de un eje UNED trapezoide curvo delimitado por líneas NS 2 = 4a, y = 4, x = 0 (figura 13).

Solución... De acuerdo con la condición del problema, encontramos los límites de integración:,. Por la fórmula (10) obtenemos:

Arroz. 13

Longitud de arco de curva plana

Sea la curva dada por la ecuación, donde, se encuentra en el plano (Fig. 14).

Arroz. catorce

Definición. Se entiende por longitud de arco el límite al que tiende la longitud de la línea discontinua inscrita en este arco, cuando el número de eslabones de la línea discontinua tiende a infinito y la longitud del eslabón mayor tiende a cero.

Si la función y su derivada son continuas en un segmento, entonces la longitud del arco de la curva se calcula mediante la fórmula

. (11)

Ejemplo 15... Calcule la longitud del arco de la curva encerrada entre los puntos para los que .

Solución... De la condición del problema tenemos ... Por la fórmula (11) obtenemos:

4. Integrales incorrectas
con infinitos límites de integración

Al introducir el concepto de integral definida, se asumió que se cumplen las siguientes dos condiciones:

a) límites de integración pero y son finitos;

b) el integrando está acotado en el segmento.

Si al menos una de estas condiciones no se cumple, entonces la integral se llama incorrecto.

Consideremos primero integrales impropias con límites infinitos de integración.

Definición. Sea la función definida y continua en el intervalo, entonces e ilimitado a la derecha (fig. 15).

Si la integral impropia converge, entonces esta área es finita; si la integral impropia diverge, entonces esta área es infinita.

Arroz. quince

Una integral impropia con un límite inferior infinito de integración se define de manera similar:

. (13)

Esta integral converge si el límite del lado derecho de la igualdad (13) existe y es finito; de lo contrario, la integral se llama divergente.

Una integral impropia con dos límites infinitos de integración se define de la siguiente manera:

, (14)

donde c es cualquier punto del intervalo. La integral converge solo si ambas integrales del lado derecho de la igualdad (14) convergen.

;

GRAMO) = [seleccione un cuadrado completo en el denominador:] = [reemplazo:

] =

Por tanto, la integral impropia converge y su valor es igual a.

Tema: Cálculo del área de una figura plana usando una integral definida

Tareas: aprender la definición y fórmulas para encontrar el área de un trapecio curvilíneo;

considerar varios casos encontrar el área de un trapecio curvo;

Ser capaz de calcular el área de un trapezoide curvo.

Plan:

Trapezoide curvo.

Fórmulas para calcular el área de un trapecio curvo.

Trapezoide curvo se llama una figura, que está limitada por la gráfica de una función continua no negativa f (x) en el intervalo, por los segmentos de recta x = ayx = b, así como por el segmento del eje de abscisas entre puntos ay b.

Imágenes de trapezoides curvos:

Ahora pasemos a posibles opciones la ubicación de las figuras, cuyo área debe calcularse en el plano de coordenadas.

El primero será la opción más simple (primera figura), la habitual trapezoide curvo como en la definición. No hay necesidad de inventar nada aquí, solo tomamos la integral de a antes de B de la función f (x)... Encontremos la integral; también conoceremos el área del trapezoide dado.


En segundo variante, nuestra figura estará limitada no por el eje de abscisas, sino por otra función g (x)... Por lo tanto, para encontrar el área CEFD, primero necesitamos encontrar el área AEFB(usando la integral de f (x)), luego encuentra el área ACDB(usando la integral de g (x)). Y el área requerida de la figura. CEFD, habrá una diferencia entre la primera y la segunda áreas del trapezoide curvo. Dado que los límites de integración son los mismos aquí, todo esto se puede escribir bajo una integral (ver las fórmulas debajo de la figura), todo depende de la complejidad de las funciones, en cuyo caso será más fácil encontrar la integral.



El tercero muy similar al primero, pero solo se coloca nuestro trapezoide, no arriba abscisa, y debajo de él. Por lo tanto, aquí es necesario tomar la misma integral, solo con un signo menos, porque el valor de la integral será negativo y el valor del área debe ser positivo. Si en lugar de la función f (x) tomar función –F (x), entonces su gráfico será el mismo simplemente mostrado simétricamente sobre el eje de abscisas.


Y cuatro una variante cuando parte de nuestra figura está por encima del eje de abscisas y una parte por debajo de él. Por lo tanto, primero necesitamos encontrar el área de la figura. AEFB, como en la primera versión, y luego el área de la figura A B C D como en la tercera opción y luego dóblelos. Como resultado, obtenemos el área de la figura. DEFC... Dado que los límites de integración son los mismos aquí, todo esto se puede escribir bajo una integral (ver las fórmulas debajo de la figura), todo depende de la complejidad de las funciones, en cuyo caso será más fácil encontrar la integral.

Preguntas para la autocomprobación:

¿Qué forma se llama trapezoide curvo?

¿Cómo encontrar el área de un trapezoide curvo?

De vuelta atras

¡Atención! Las vistas previas de diapositivas son solo para fines informativos y es posible que no representen todas las opciones de presentación. Si estás interesado este trabajo descargue la versión completa.

Palabras clave: integral, trapezoide curvilíneo, área de figuras delimitadas por lirios

Equipo: pizarra, computadora, proyector multimedia

Tipo de lección: lección-conferencia

Objetivos de la lección:

• educativo: formar una cultura de trabajo mental, crear una situación de éxito para cada alumno, formar una motivación positiva para el aprendizaje; Desarrollar la capacidad de hablar y escuchar a los demás.
• desarrollando: la formación de la independencia del estudiante en la aplicación del conocimiento en diversas situaciones, la capacidad de analizar y sacar conclusiones, el desarrollo de la lógica, el desarrollo de la capacidad para plantear preguntas correctamente y encontrar respuestas a ellas. Mejorar la formación de la informática, las habilidades de cálculo, el desarrollo del pensamiento de los estudiantes en el curso de la realización de las tareas propuestas, el desarrollo de la cultura algorítmica.
• educativo: para formar el concepto de un trapezoide curvilíneo, una integral, dominar las habilidades de calcular las áreas de figuras planas

Método de enseñanza: explicativo e ilustrativo.

Durante las clases

En las clases anteriores, aprendimos a calcular las áreas de formas, cuyos límites son líneas poligonales. Existen métodos en matemáticas que le permiten calcular las áreas de formas delimitadas por curvas. Estas figuras se denominan trapezoides curvilíneos y su área se calcula utilizando antiderivadas.

Trapezoide curvo ( diapositiva 1)

Un trapezoide curvilíneo es una figura limitada por la gráfica de una función, ( schm.), derecho x = a y x = b y la abscisa

Varios tipos de trapezoides curvos ( diapositiva 2)

Considerar diferentes tipos trapezoides curvilíneos y aviso: una de las líneas rectas degenera en un punto, el papel de la función limitante lo desempeña la línea recta

Área trapezoidal curvada (diapositiva 3)

Arregle el extremo izquierdo del espacio. pero, y a la derecha NS cambiaremos, es decir, movemos la pared derecha del trapezoide curvo y obtenemos una figura cambiante. El área de un trapezoide curvilíneo variable, limitada por la gráfica de la función, es la antiderivada F para la función F

Y en el segmento [ a; B] el área del trapezoide curvo formado por la función F, es igual al incremento de la antiderivada de esta función:

Ejercicio 1:

Encuentre el área de un trapezoide curvo delimitado por la gráfica de la función: f (x) = x 2 y directo y = 0, x = 1, x = 2.

Solución: ( según el algoritmo de la diapositiva 3)

Dibujemos una gráfica de la función y las líneas.

Busquemos uno de antiderivadas f (x) = x 2 :

Autoprueba por portaobjetos

Integral

Considere un trapezoide curvo dado por la función F en el segmento [ a; B]. Dividamos este segmento en varias partes. El área de todo el trapezoide se dividirá en la suma de las áreas de trapezoides curvos más pequeños. ( diapositiva 5)... Cada uno de estos trapezoides puede considerarse aproximadamente un rectángulo. La suma de las áreas de estos rectángulos da una idea aproximada del área completa del trapezoide curvo. Cuanto más pequeño dividimos el segmento [ a; B], calculamos con mayor precisión el área.

Escribamos este razonamiento en forma de fórmulas.

Divida el segmento [ a; B] en n partes por puntos x 0 = a, x1, ..., xn = b. Largo k- th denotamos por xk = xk - xk-1... Compongamos la cantidad

Geométricamente, esta suma es el área de la figura sombreada en la figura ( metro.)

Las sumas de la forma se llaman sumas integrales para la función F. (schm.)

Las sumas integrales dan un valor aproximado del área. El valor exacto se obtiene mediante una transición de límite. Imagine que refinamos la partición del segmento [ a; B] de modo que las longitudes de todos los segmentos pequeños tienden a cero. Entonces, el área de la figura compuesta se acercará al área del trapezoide curvo. Podemos decir que el área de un trapezoide curvilíneo es igual al límite de las sumas integrales, Sk.t. (schm.) o integral, es decir,

Definición:

La integral de la función f (x) desde a antes de B se llama el límite de las sumas integrales

= (schm.)

Fórmula de Newton-Leibniz.

Recuerda que el límite de las sumas integrales es igual al área de un trapezoide curvilíneo, lo que significa que puedes escribir:

Sk.t. = (schm.)

Por otro lado, el área de un trapezoide curvo se calcula mediante la fórmula

S K. t. (schm.)

Comparando estas fórmulas, obtenemos:

= (schm.)

Esta igualdad se llama fórmula de Newton-Leibniz.

Para la conveniencia de los cálculos, la fórmula se escribe en la forma:

= = (schm.)

Tareas: (schm.)

1. Calcule la integral mediante la fórmula de Newton-Leibniz: ( comprobar la diapositiva 5)

2.Informar las integrales según el dibujo ( comprobar la diapositiva 6)

3. Calcula el área de la figura delimitada por las líneas: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Diapositiva 7)

Encontrar las áreas de figuras planas ( diapositiva 8)

¿Cómo encuentras el área de las formas que no son trapezoides curvos?

Dejemos que se den dos funciones, cuyas gráficas se ven en la diapositiva. ... (schm.) Es necesario encontrar el área de la figura llena. ... (schm.)... ¿Es la figura en cuestión un trapezoide curvo? ¿Y cómo puede encontrar su área usando la propiedad de aditividad de área? Considere dos trapezoides curvos y reste el área del otro del área de uno de ellos ( schm.)

Compongamos un algoritmo para encontrar el área por animación en una diapositiva:

1. Trazar gráficas de funciones
2. Proyecte los puntos de intersección de los gráficos en el eje de abscisas
3. Sombrea la figura obtenida en la intersección de las gráficas
4. Encuentre trapezoides curvos cuya intersección o unión sea una figura dada.
5. Calcula el área de cada uno de ellos
6. Encuentra la diferencia o suma de áreas

Tarea oral: Cómo obtener el área de una figura sombreada (contar con la ayuda de la animación, diapositiva 8 y 9)

Tarea: Elabore la sinopsis, No. 353 (a), No. 364 (a).

Bibliografía

1. Álgebra y el comienzo del análisis: un libro de texto para los grados 9-11 de la escuela vespertina (turno) / ed. G. D. Glazer. - M: Educación, 1983.
2. Bashmakov M.I. Álgebra y el comienzo del análisis: un libro de texto para los grados 10-11 de la escuela secundaria / Bashmakov M.I. - M: Educación, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matemáticas: un libro de texto para instituciones tempranas. y miércoles profe. educación / M.I. Bashmakov. - M: Academia, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Álgebra y el comienzo del análisis: un libro de texto para los grados 10-11. instituciones educativas / A.N. Kolmogorov. - M: Educación, 2010.
5. S.L. Ostrovsky ¿Cómo hacer una presentación para una lección? / C.L. Ostrovsky. - M.: 1 de septiembre de 2010.

Considere un trapezoide curvo limitado por el eje Ox, la curva y = f (x) y dos líneas rectas: x = ayx = b (Fig. 85). Tomemos un valor arbitrario de x (pero no a ni b). Le damos un incremento h = dx y consideramos una franja delimitada por las rectas AB y CD, el eje Ox y el arco BD pertenecientes a la curva considerada. Esta tira se llamará tira elemental. El área de una franja elemental se diferencia del área del rectángulo ACQB por un triángulo curvilíneo BQD, y el área de este último es menor que el área del rectángulo BQDM con lados BQ = h = dx ) QD = Ay y un área igual a hAy = Ay dx. Con el lado h decreciente, el lado Du también disminuye y simultáneamente con h tiende a cero. Por lo tanto, el área del BQDM es infinitesimal de segundo orden. El área de una franja elemental es el incremento de área, y el área del rectángulo ACQB igual a AB-AC == / (x) dx> es el diferencial de área. Por lo tanto, encontramos el área en sí integrando su diferencial. Dentro de la figura considerada, la variable independiente l: varía de a a b, por lo que el área requerida 5 será igual a 5 = \ f (x) dx. (I) Ejemplo 1. Calculemos el área delimitada por la parábola y - 1 -x *, las rectas X = - Fj-, x = 1 y el eje O * (Fig. 86). Higo. 87. Fig. 86. 1 Aquí f (x) = 1 - n ?, Los límites de integración son a = - y t = 1, por lo tanto 3) | _ 2 3V 2 / J 3 24 24 * Ejemplo 2. Calcule el área delimitada por el sinusoide y = sinXy por el eje Ox y la línea recta (Fig. 87). Aplicando la fórmula (I), obtenemos Л 2 S = J sinxdx = [-cos x] Q = 0 - (- 1) = lf Ejemplo 3. Calcule el área delimitada por el arco de la sinusoide ^ y = sin jc, incluido entre dos puntos de intersección adyacentes con el eje Ox (por ejemplo, entre el origen y el punto con la abscisa i). Tenga en cuenta que, a partir de consideraciones geométricas, se desprende claramente que esta área será el doble del área del ejemplo anterior. Sin embargo, hagamos los cálculos: i 5 = | s \ nxdx = [- cosx) * - - cos i - (- cos 0) = 1 + 1 = 2. o De hecho, nuestra suposición resultó ser cierta. Ejemplo 4. Calcule el área delimitada por una sinusoide y ^ por el eje Ox en un período pe-x (Fig. 88). Las consideraciones preliminares nos permiten suponer que el área será cuatro veces mayor que en pr. 2. Sin embargo, después de hacer los cálculos, obtenemos "i G, * i S - \ sin x dx = [- cos x] 0 = = - cos 2l - (- cos 0) = - 1 + 1 = 0. Este resultado requiere una aclaración. Para aclarar la esencia del asunto, también calculamos el área delimitada por la misma sinusoide y = sen l: y el eje Ox en el rango de 1 a 2i. Aplicando la fórmula (I), obtenemos 2l $ 2l sen xdx = [- cosx] l = -cos 2ya ~) -c05ya = - 1-1 = -2. Por tanto, vemos que esta zona es negativa. Comparándolo con el área calculada en el pr.3, encontramos que sus valores absolutos son los mismos, pero los signos son diferentes. Si aplicamos la propiedad V (ver Capítulo XI, § 4), entonces obtenemos 2l I 2l J sen xdx = J sen * dx [sen x dx = 2 + (- 2) = 0 Lo que sucedió en este ejemplo no es por casualidad . Siempre el área debajo del eje Ox, siempre que la variable independiente cambie de izquierda a derecha, se obtiene calculando integrales negativas. En este curso, siempre consideraremos cuadrados sin marcar. Por tanto, la respuesta en el ejemplo recién analizado será la siguiente: el área requerida es igual a 2 + | -2 | = 4. Ejemplo 5. Calculemos el área de OAB que se muestra en la fig. 89. Esta área está limitada por el eje Ox, la parábola y = - xr y la línea recta y - = -x + \. Área trapezoidal curvilínea El área de búsqueda OAV consta de dos partes: OAM y MAV. Dado que el punto A es el punto de intersección de la parábola y la línea recta, encontraremos sus coordenadas resolviendo el sistema de ecuaciones 3 2 Y = mx. (solo necesitamos encontrar la abscisa del punto A). Resolviendo el sistema, encontramos l; = ~. Por lo tanto, el área debe calcularse en partes, primer cuadrado. OAM y luego pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. Qam- ^ x)