Integrales casi tabulares. Fórmulas básicas y métodos de integración.
En esta página encontrará:
1. En realidad, la tabla de antiderivadas: se puede descargar en formato PDF e imprimir;
2. Vídeo sobre cómo utilizar esta mesa;
3. Un montón de ejemplos de cálculo de la antiderivada de varios libros de texto y pruebas.
En el video en sí, analizaremos muchos problemas en los que es necesario calcular antiderivadas de funciones, a menudo bastante complejas, pero lo más importante es que no son funciones de potencia. Todas las funciones resumidas en la tabla propuesta anteriormente deben saberse de memoria, al igual que las derivadas. Sin ellos, es imposible seguir estudiando las integrales y su aplicación para resolver problemas prácticos.
Hoy seguimos estudiando antiderivadas y pasamos a un poco más tema complejo. Si la última vez analizamos las antiderivadas de funciones de potencia y construcciones un poco más complejas, hoy veremos la trigonometría y mucho más.
Como dije en la última lección, las antiderivadas, a diferencia de las derivadas, nunca se resuelven "de inmediato" utilizando reglas estándar. Además, la mala noticia es que, a diferencia de la derivada, es posible que la antiderivada no se considere en absoluto. Si escribimos una función completamente aleatoria e intentamos encontrar su derivada, entonces con una probabilidad muy alta lo lograremos, pero la antiderivada casi nunca se calculará en este caso. Pero hay buenas noticias: existe una clase bastante grande de funciones llamadas funciones elementales, cuyas primitivas son muy fáciles de calcular. Y todas las demás estructuras más complejas que se dan en todo tipo de pruebas, pruebas independientes y exámenes, de hecho, se componen de estas funciones elementales mediante sumas, restas y otras acciones simples. Los prototipos de tales funciones se calculan y compilan desde hace mucho tiempo en tablas especiales. Son estas funciones y tablas con las que trabajaremos hoy.
Pero empezaremos, como siempre, con una repetición: recordemos qué es una antiderivada, por qué hay infinitas y cómo definirlas. forma general. Para hacer esto, elegí dos problemas simples.
Resolviendo ejemplos fáciles
Ejemplo 1
Notemos inmediatamente que $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ y en general la presencia de $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ inmediatamente nos insinúa que la antiderivada requerida de la función está relacionada con la trigonometría. Y, efectivamente, si miramos la tabla, encontraremos que $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ no es más que $\text(arctg)x$. Entonces vamos a escribirlo:
Para encontrarlo, debe anotar lo siguiente:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Ejemplo No. 2
Aquí también estamos hablando de funciones trigonométricas. Si miramos la tabla, entonces, efectivamente, esto es lo que sucede:
Necesitamos encontrar entre todo el conjunto de antiderivadas la que pasa por el punto indicado:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Finalmente escribámoslo:
Es así de simple. El único problema es que para calcular las antiderivadas de funciones simples, es necesario aprender una tabla de antiderivadas. Sin embargo, después de estudiar la tabla de derivadas, creo que esto no será un problema.
Resolver problemas que contienen una función exponencial.
Para empezar, escribamos las siguientes fórmulas:
\[((e)^(x))\a ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Veamos cómo funciona todo esto en la práctica.
Ejemplo 1
Si miramos el contenido de los corchetes, notaremos que en la tabla de antiderivadas no existe tal expresión para que $((e)^(x))$ esté en un cuadrado, por lo que este cuadrado debe expandirse. Para ello utilizamos las fórmulas de multiplicación abreviadas:
Encontremos la primitiva de cada uno de los términos:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
Ahora juntemos todos los términos en una sola expresión y obtengamos la antiderivada general:
Ejemplo No. 2
Esta vez el grado es mayor, por lo que la fórmula de multiplicación abreviada será bastante compleja. Así que abramos los corchetes:
Ahora intentemos tomar la antiderivada de nuestra fórmula a partir de esta construcción:
Como puedes ver, no hay nada complicado ni sobrenatural en las antiderivadas de la función exponencial. Todos ellos se calculan mediante tablas, pero los estudiantes atentos probablemente notarán que la antiderivada $((e)^(2x))$ está mucho más cerca de simplemente $((e)^(x))$ que de $((a )^(x ))$. Entonces, ¿quizás exista alguna regla más especial que permita, conociendo la primitiva $((e)^(x))$, encontrar $((e)^(2x))$? Sí, existe tal regla. Y, además, es una parte integral del trabajo con la tabla de antiderivadas. Ahora lo analizaremos usando las mismas expresiones con las que acabamos de trabajar como ejemplo.
Reglas para trabajar con la tabla de antiderivadas.
Escribamos nuestra función nuevamente:
En el caso anterior utilizamos la siguiente fórmula para resolver:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]
Pero ahora hagámoslo un poco diferente: recordemos sobre qué base $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Como ya dije, debido a que la derivada $((e)^(x))$ no es más que $((e)^(x))$, por lo tanto su primitiva será igual a la misma $((e) ^ (x))$. Pero el problema es que tenemos $((e)^(2x))$ y $((e)^(-2x))$. Ahora intentemos encontrar la derivada de $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Reescribamos nuestra construcción nuevamente:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
Esto significa que cuando encontramos la primitiva $((e)^(2x))$ obtenemos lo siguiente:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Como puede ver, obtuvimos el mismo resultado que antes, pero no usamos la fórmula para encontrar $((a)^(x))$. Ahora bien, esto puede parecer una estupidez: ¿por qué complicar los cálculos cuando existe una fórmula estándar? Sin embargo, en expresiones un poco más complejas encontrarás que esta técnica es muy efectiva, es decir. Usar derivadas para encontrar antiderivadas.
Como calentamiento, encontremos la antiderivada de $((e)^(2x))$ de manera similar:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
Al calcular, nuestra construcción se escribirá de la siguiente manera:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Obtuvimos exactamente el mismo resultado, pero tomamos un camino diferente. Es este camino, que ahora nos parece un poco más complicado, el que en el futuro resultará más eficaz para calcular antiderivadas más complejas y utilizar tablas.
¡Nota! Esto es muy punto importante: las antiderivadas, al igual que las derivadas, pueden considerarse un conjunto de varias maneras. Sin embargo, si todos los cálculos y cálculos son iguales, entonces la respuesta será la misma. Acabamos de ver esto con el ejemplo de $((e)^(-2x))$ - por un lado, calculamos esta antiderivada "de principio a fin", usando la definición y calculándola usando transformaciones, por otro lado, Recordamos que $ ((e)^(-2x))$ se puede representar como $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ y solo entonces usamos la antiderivada de la función $( (a)^(x))$. Sin embargo, después de todas las transformaciones, el resultado fue el mismo, como se esperaba.
Y ahora que entendemos todo esto, es hora de pasar a algo más significativo. Ahora analizaremos dos construcciones simples, pero la técnica que se utilizará para resolverlas es una herramienta más poderosa y útil que simplemente "correr" entre antiderivadas vecinas de la tabla.
Resolución de problemas: encontrar la antiderivada de una función
Ejemplo 1
Dividamos la cantidad que está en los numeradores en tres fracciones separadas:
Esta es una transición bastante natural y comprensible: la mayoría de los estudiantes no tienen problemas con ella. Reescribamos nuestra expresión de la siguiente manera:
Ahora recordemos esta fórmula:
En nuestro caso obtendremos lo siguiente:
Para deshacerse de todas estas fracciones de tres pisos, sugiero hacer lo siguiente:
Ejemplo No. 2
A diferencia de la fracción anterior, el denominador no es un producto, sino una suma. En este caso, ya no podemos dividir nuestra fracción en la suma de varias fracciones simples, sino que debemos intentar de alguna manera asegurarnos de que el numerador contenga aproximadamente la misma expresión que el denominador. En este caso, es bastante sencillo hacerlo:
Esta notación, que en lenguaje matemático se llama “sumar un cero”, nos permitirá volver a dividir la fracción en dos partes:
Ahora encontremos lo que estábamos buscando:
Esos son todos los cálculos. A pesar de la aparente mayor complejidad que en el problema anterior, la cantidad de cálculos resultó ser aún menor.
Matices de la solución.
Y aquí es donde radica la principal dificultad de trabajar con antiderivadas tabulares, esto se nota especialmente en la segunda tarea. El caso es que para seleccionar algunos elementos que se calculan fácilmente a través de la tabla, necesitamos saber qué estamos buscando exactamente, y es en la búsqueda de estos elementos donde consiste todo el cálculo de antiderivadas.
En otras palabras, no basta con memorizar la tabla de antiderivadas; es necesario poder ver algo que aún no existe, sino lo que quiso decir el autor y compilador de este problema. Es por eso que muchos matemáticos, profesores y catedráticos discuten constantemente: "¿Qué es tomar antiderivadas o integración? ¿Es solo una herramienta o es un verdadero arte?" De hecho, en mi opinión personal, la integración no es un arte en absoluto; no hay nada sublime en ella, es sólo práctica y más práctica. Y para practicar, resolvamos tres ejemplos más serios.
Nos formamos en la integración en la práctica.
Tarea número 1
Escribamos las siguientes fórmulas:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Escribamos lo siguiente:
Problema número 2
Reescribámoslo de la siguiente manera:
La antiderivada total será igual a:
Problema número 3
La dificultad de esta tarea es que, a diferencia de las funciones anteriores, no existe ninguna variable $x$, es decir No nos queda claro qué sumar o restar para obtener al menos algo similar a lo que se muestra a continuación. Sin embargo, de hecho, esta expresión se considera incluso más simple que cualquiera de las expresiones anteriores, porque esta función se puede reescribir de la siguiente manera:
Ahora te preguntarás: ¿por qué estas funciones son iguales? Vamos a revisar:
Reescribámoslo de nuevo:
Transformemos un poco nuestra expresión:
Y cuando les explico todo esto a mis alumnos casi siempre surge el mismo problema: con la primera función todo está más o menos claro, con la segunda también puedes resolverlo con suerte o práctica, pero ¿qué tipo de conciencia alternativa tienes? ¿Necesitas tener para resolver el tercer ejemplo? En realidad, no te asustes. La técnica que utilizamos al calcular la última antiderivada se llama "descomposición de una función en su más simple", y esta es una técnica muy seria, y se le dedicará una lección en video separada.
Mientras tanto, propongo volver a lo que acabamos de estudiar, es decir, a las funciones exponenciales y complicar un poco los problemas con su contenido.
Problemas más complejos para resolver funciones exponenciales antiderivadas
Tarea número 1
Notemos lo siguiente:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
Para encontrar la primitiva de esta expresión, simplemente use la fórmula estándar: $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
En nuestro caso, la antiderivada quedará así:
Por supuesto, en comparación con el diseño que acabamos de resolver, este parece más simple.
Problema número 2
Nuevamente, es fácil ver que esta función se puede dividir fácilmente en dos términos separados: dos fracciones separadas. Reescribamos:
Queda por encontrar la antiderivada de cada uno de estos términos usando la fórmula descrita anteriormente:
A pesar de la aparente gran complejidad funciones exponenciales En comparación con los de potencia, el volumen total de cálculos y cálculos resultó ser mucho más sencillo.
Por supuesto, para los estudiantes conocedores, lo que acabamos de discutir (especialmente en el contexto de lo que hemos discutido antes) puede parecer expresiones elementales. Sin embargo, al elegir estos dos problemas para la lección en video de hoy, no me propuse contarte otra técnica compleja y sofisticada; todo lo que quería mostrarte es que no debes tener miedo de usar técnicas de álgebra estándar para transformar funciones originales. .
Usando una técnica "secreta"
En conclusión, me gustaría ver otra técnica interesante que, por un lado, va más allá de lo que discutimos principalmente hoy, pero, por otro lado, en primer lugar, no es nada complicada, es decir. Incluso los estudiantes principiantes pueden dominarlo y, en segundo lugar, se encuentra con bastante frecuencia en todo tipo de exámenes y pruebas. Trabajo independiente, es decir. su conocimiento será de gran utilidad además del conocimiento de la tabla de antiderivadas.
Tarea número 1
Obviamente, tenemos algo muy similar a una función de potencia. ¿Qué debemos hacer en este caso? Pensemos en ello: $x-5$ no es muy diferente de $x$; simplemente agregaron $-5$. Escribámoslo así:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Intentemos encontrar la derivada de $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
Esto implica:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ derecha))^(\prime ))\]
No existe tal valor en la tabla, por lo que ahora hemos obtenido esta fórmula nosotros mismos utilizando la fórmula antiderivada estándar para función de potencia. Escribamos la respuesta así:
Problema número 2
Muchos estudiantes que observan la primera solución pueden pensar que todo es muy simple: simplemente reemplace $x$ en la función de potencia con una expresión lineal y todo encajará en su lugar. Lamentablemente, no todo es tan sencillo y ahora lo veremos.
Por analogía con la primera expresión, escribimos lo siguiente:
\[((x)^(9))\a \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
Volviendo a nuestra derivada, podemos escribir:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \derecha))^(\prime ))\]
Esto sigue inmediatamente:
Matices de la solución.
Tenga en cuenta: si nada cambió esencialmente la última vez, entonces en el segundo caso, en lugar de $-10$, apareció $-30$. ¿Cuál es la diferencia entre $-10$ y $-30$? Obviamente, por un factor de $-3$. Pregunta: ¿de dónde vino? Si miras de cerca, puedes ver que se tomó como resultado del cálculo de la derivada de una función compleja: el coeficiente que era $x$ aparece en la primitiva a continuación. Esto es muy regla importante, que inicialmente no planeaba discutir en absoluto en el video tutorial de hoy, pero sin él la presentación de antiderivadas tabulares estaría incompleta.
Así que hagámoslo de nuevo. Sea nuestra principal función de poder:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Ahora, en lugar de $x$, sustituyamos la expresión $kx+b$. ¿Qué pasará entonces? Necesitamos encontrar lo siguiente:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]
¿Sobre qué base afirmamos esto? Muy simple. Encontremos la derivada de la construcción escrita arriba:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
Esta es la misma expresión que existía originalmente. Por tanto, esta fórmula también es correcta y se puede utilizar para complementar la tabla de antiderivadas, o es mejor simplemente memorizar toda la tabla.
Conclusiones del “secreto: técnica:
- Ambas funciones que acabamos de ver pueden, de hecho, reducirse a las antiderivadas indicadas en la tabla expandiendo los grados, pero si podemos más o menos hacer frente al cuarto grado, entonces no haría el noveno grado en Todos se atrevieron a revelar.
- Si ampliáramos los grados, terminaríamos con tal volumen de cálculos que una tarea sencilla nos llevaría una cantidad de tiempo inadecuadamente grande.
- Por eso no es necesario resolver "precipitadamente" problemas de este tipo que contienen expresiones lineales. Tan pronto como encuentre una antiderivada que difiere de la de la tabla solo por la presencia de la expresión $kx+b$ en su interior, recuerde inmediatamente la fórmula escrita arriba, sustitúyala en la antiderivada de su tabla y todo saldrá mucho mejor. más rápido y más fácil.
Naturalmente, debido a la complejidad y seriedad de esta técnica, volveremos a considerarla muchas veces en futuras lecciones en video, pero eso es todo por hoy. Espero que esta lección realmente ayude a aquellos estudiantes que quieran comprender las antiderivadas y la integración.
Fórmulas básicas y métodos de integración. La regla para integrar una suma o diferencia. Moviendo la constante fuera del signo integral. Método de reemplazo de variables. Fórmula de integración por partes. Un ejemplo de resolución de un problema.
Los cuatro métodos principales de integración se enumeran a continuación.
1)
La regla para integrar una suma o diferencia.
.
Aquí y debajo u, v, w son funciones de la variable de integración x.
2)
Moviendo la constante fuera del signo integral.
Sea c una constante independiente de x. Entonces se puede sacar del signo integral.
3)
Método de reemplazo de variables.
Consideremos integral indefinida.
Si podemos encontrar tal función φ (X) de x, entonces
,
entonces, reemplazando la variable t = φ(x), tenemos
.
4)
Fórmula de integración por partes.
,
donde u y v son funciones de la variable de integración.
El objetivo final del cálculo de integrales indefinidas es, mediante transformaciones, reducir una integral dada a las integrales más simples, que se denominan integrales tabulares. Las integrales de tabla se expresan mediante funciones elementales utilizando fórmulas conocidas.
Ver Tabla de Integrales >>>
Ejemplo
Calcular integral indefinida
Solución
Observamos que el integrando es la suma y diferencia de tres términos:
, Y .
Aplicando el método 1
.
A continuación, observamos que los integrandos de las nuevas integrales se multiplican por constantes 5, 4,
Y 2
, respectivamente. Aplicando el método 2
.
En la tabla de integrales encontramos la fórmula.
.
Suponiendo n = 2
, encontramos la primera integral.
Reescribamos la segunda integral en la forma
.
Nos damos cuenta que . Entonces
Utilicemos el tercer método. Cambiamos la variable t = φ (x) = iniciar sesiónx.
.
En la tabla de integrales encontramos la fórmula.
Dado que la variable de integración se puede denotar con cualquier letra, entonces
Reescribamos la tercera integral en la forma
.
Aplicamos la fórmula de integración por partes.
Digámoslo.
Entonces
;
;
;
;
.
Función antiderivada e integral indefinida
Hecho 1. La integración es la acción inversa de la diferenciación, es decir, restaurar una función a partir de la derivada conocida de esta función. La función así restablecida F(X) se llama antiderivada para función F(X).
Definición 1. Función F(X F(X) en algún intervalo X, si para todos los valores X a partir de este intervalo se cumple la igualdad F "(X)=F(X), es decir, esta función F(X) es la derivada de la función antiderivada F(X). .
Por ejemplo, la función F(X) = pecado X es una antiderivada de la función F(X) = porque X en toda la recta numérica, ya que para cualquier valor de x (pecado X)" = (porque X) .
Definición 2. Integral indefinida de una función F(X) es el conjunto de todas sus antiderivadas. En este caso se utiliza la notación
∫
F(X)dx
,donde esta la señal ∫ llamada signo integral, la función F(X) – función integrando, y F(X)dx – expresión integrando.
Así, si F(X) – alguna antiderivada para F(X) , Eso
∫
F(X)dx = F(X) +C
Dónde C - constante arbitraria (constante).
Para comprender el significado del conjunto de primitivas de una función como integral indefinida, resulta apropiada la siguiente analogía. Que haya una puerta (tradicional puerta de madera). Su función es “ser una puerta”. ¿De qué está hecha la puerta? Hecho de madera. Esto significa que el conjunto de primitivas del integrando de la función “ser una puerta”, es decir, su integral indefinida, es la función “ser un árbol + C”, donde C es una constante, que en este contexto puede denota, por ejemplo, el tipo de árbol. Así como una puerta se hace de madera usando algunas herramientas, una derivada de una función se “hace” a partir de una función antiderivada usando fórmulas que aprendimos mientras estudiamos la derivada .
Entonces la tabla de funciones de los objetos comunes y sus correspondientes antiderivadas (“ser una puerta” - “ser un árbol”, “ser una cuchara” - “ser metal”, etc.) es similar a la tabla de funciones básicas integrales indefinidas, que se darán a continuación. La tabla de integrales indefinidas enumera funciones comunes con una indicación de las antiderivadas a partir de las cuales se “hacen” estas funciones. En parte de los problemas para encontrar la integral indefinida se dan integrandos que se pueden integrar directamente sin mucho esfuerzo, es decir, usando la tabla de integrales indefinidas. En problemas más complejos, primero se debe transformar el integrando para poder utilizar integrales de tabla.
Hecho 2. Al restaurar una función como antiderivada, debemos tener en cuenta una constante arbitraria (constante) C, y para no escribir una lista de antiderivadas con varias constantes del 1 al infinito, es necesario escribir un conjunto de antiderivadas con una constante arbitraria C, por ejemplo, así: 5 X³+C. Entonces, se incluye una constante arbitraria (constante) en la expresión de la antiderivada, ya que la antiderivada puede ser una función, por ejemplo, 5 X³+4 o 5 X³+3 y cuando se diferencia, 4 o 3, o cualquier otra constante va a cero.
Planteemos el problema de integración: para esta función F(X) encontrar tal función F(X), cuyo derivado igual a F(X).
Ejemplo 1. Encuentra el conjunto de primitivas de una función.
Solución. Para esta función, la antiderivada es la función
Función F(X) se llama antiderivada de la función F(X), si la derivada F(X) es igual a F(X), o, lo que es lo mismo, diferencial F(X) es igual F(X) dx, es decir.
(2)
Por tanto, la función es una primitiva de la función. Sin embargo, no es la única antiderivada de . También cumplen funciones
Dónde CON- Constante arbitraria. Esto se puede verificar mediante diferenciación.
Por lo tanto, si hay una primitiva para una función, entonces para ella hay un número infinito de primitivas que difieren en un término constante. Todas las primitivas de una función se escriben en la forma anterior. Esto se desprende del siguiente teorema.
Teorema (declaración formal de hecho 2). Si F(X) – antiderivada de la función F(X) en algún intervalo X, entonces cualquier otra antiderivada para F(X) en el mismo intervalo se puede representar en la forma F(X) + C, Dónde CON- Constante arbitraria.
En el siguiente ejemplo, pasamos a la tabla de integrales, que se dará en el párrafo 3, después de las propiedades de la integral indefinida. Hacemos esto antes de leer toda la tabla para que quede clara la esencia de lo anterior. Y después de la tabla y las propiedades, las usaremos en su totalidad durante la integración.
Ejemplo 2. Encuentre conjuntos de funciones antiderivadas:
Solución. Encontramos conjuntos de funciones antiderivadas a partir de las cuales se “hacen” estas funciones. Cuando mencione fórmulas de la tabla de integrales, por ahora simplemente acepte que existen tales fórmulas y estudiaremos la tabla de integrales indefinidas un poco más.
1) Aplicando la fórmula (7) de la tabla de integrales para norte= 3, obtenemos
2) Usando la fórmula (10) de la tabla de integrales para norte= 1/3, tenemos
3) Desde
luego de acuerdo con la fórmula (7) con norte= -1/4 encontramos
No es la función en sí la que está escrita bajo el signo integral. F, y su producto por el diferencial dx. Esto se hace principalmente para indicar con qué variable se busca la antiderivada. Por ejemplo,
,
;
aquí en ambos casos el integrando es igual a , pero sus integrales indefinidas en los casos considerados resultan diferentes. En el primer caso, esta función se considera como función de la variable X, y en el segundo - en función de z .
El proceso de encontrar la integral indefinida de una función se llama integrar esa función.
Significado geométrico de la integral indefinida.
Supongamos que necesitamos encontrar una curva y=F(x) y ya sabemos que la tangente del ángulo tangente en cada uno de sus puntos es una función dada f(x) abscisa de este punto.
Según el significado geométrico de la derivada, la tangente del ángulo de inclinación de la tangente en un punto dado de la curva. y=F(x) igual al valor de la derivada F"(x). Entonces necesitamos encontrar tal función. F(x), para cual F"(x)=f(x). Función requerida en la tarea. F(x) es una antiderivada de f(x). Las condiciones del problema no se satisfacen con una curva, sino con una familia de curvas. y=F(x)- una de estas curvas, y cualquier otra curva se puede obtener a partir de ella mediante traslación paralela a lo largo del eje Oye.
Llamemos a la gráfica de la función antiderivada de f(x) curva integral. Si F"(x)=f(x), entonces la gráfica de la función y=F(x) hay una curva integral.
Hecho 3. La integral indefinida está representada geométricamente por la familia de todas las curvas integrales. , como en la imagen de abajo. La distancia de cada curva desde el origen de coordenadas está determinada por una constante de integración arbitraria. C.
Propiedades de la integral indefinida
Hecho 4. Teorema 1. La derivada de una integral indefinida es igual al integrando y su diferencial es igual al integrando.
Hecho 5. Teorema 2. Integral indefinida del diferencial de una función F(X) igual a la función F(X) hasta un término constante , es decir.
(3)
Los teoremas 1 y 2 muestran que la diferenciación y la integración son operaciones mutuamente inversas.
Hecho 6. Teorema 3. El factor constante en el integrando se puede sacar del signo de la integral indefinida , es decir.
La integración no es difícil de aprender. Para hacer esto, solo necesita aprender un cierto conjunto de reglas bastante pequeño y desarrollar una especie de instinto. Por supuesto, es fácil aprender las reglas y fórmulas, pero es bastante difícil entender dónde y cuándo aplicar tal o cual regla de integración o diferenciación. Ésta, de hecho, es la capacidad de integrarse.
1. Antiderivada. Integral indefinida.
Se supone que al momento de leer este artículo el lector ya tiene algunas habilidades de diferenciación (es decir, encontrar derivadas).
Definición 1.1: Una función se llama primitiva de una función si se cumple la igualdad:
Comentarios:> El énfasis en la palabra “primordial” se puede poner de dos maneras: primero oh figurativo o prototipo A conocimiento.
Propiedad 1: Si una función es primitiva de una función, entonces la función también es primitiva de una función.
Prueba: Demostremos esto a partir de la definición de antiderivada. Encontremos la derivada de la función:
El primer término en definición 1.1 es igual a , y el segundo término es la derivada de la constante, que es igual a 0.
.
Resumir. Anotamos el principio y el final de la cadena de igualdades: 
Por tanto, la derivada de una función es igual a y, por tanto, por definición, es su antiderivada. La propiedad ha sido probada.
Definición 1.2: La integral indefinida de una función es el conjunto completo de primitivas de esta función. Esto se indica de la siguiente manera: 
.
Veamos en detalle los nombres de cada parte del registro:
— designación general de la integral,
— expresión integrando (integral), función integrable.
es un diferencial, y la expresión después de la letra , en este caso es , se llamará variable de integración.
Comentarios: Las palabras clave en esta definición son "el conjunto completo". Aquellos. Si en el futuro este mismo "más C" no se anota en la respuesta, entonces el examinador tiene todo el derecho a no contar esta tarea, porque es necesario encontrar el conjunto completo de antiderivadas, y si falta C, entonces solo se encuentra una.
Conclusión: Para comprobar si la integral se calcula correctamente, es necesario encontrar la derivada del resultado. Debe coincidir con el integrando.
Ejemplo:
Ejercicio: Calcula la integral indefinida y compruébala.
Solución:
La forma en que se calcula esta integral no importa en este caso. Supongamos que se trata de una revelación de arriba. Nuestra tarea es mostrar que la revelación no nos engañó, y esto se puede hacer mediante la verificación.
Examen:
Al derivar el resultado obtuvimos un integrando, lo que significa que la integral se calculó correctamente.
2. Comienzo. Tabla de integrales.
Para integrar, no es necesario recordar cada vez la función cuya derivada es igual al integrando dado (es decir, usar la definición de integral directamente). Cada colección de problemas o libro de texto sobre análisis matemático contiene una lista de propiedades de integrales y una tabla de las integrales más simples.
Enumeremos las propiedades.
Propiedades:
1.
La integral del diferencial es igual a la variable de integración.
2. , donde es una constante.
El multiplicador constante se puede sacar del signo integral.
3.
La integral de una suma es igual a la suma de integrales (si el número de términos es finito).
Tabla de integrales:
| 1. | 10. |
| 2. | 11.  |
| 3. | 12. |
4.  |
13.  |
5.  |
14.  |
| 6. | 15. |
7.  |
16. |
| 8. | 17.  |
| 9. | 18. |
La mayoría de las veces, la tarea consiste en reducir la integral en estudio a una tabular utilizando propiedades y fórmulas.
Ejemplo:
[Usemos la tercera propiedad de las integrales y escríbala como una suma de tres integrales.]
[Usemos la segunda propiedad y muevamos las constantes más allá del signo de integración.]
[ En la primera integral usaremos la integral de tabla No. 1 (n=2), en la segunda usaremos la misma fórmula, pero n=1, y para la tercera integral podemos usar la misma integral de tabla, pero con n=0, o la primera propiedad.]
.
Comprobemos por diferenciación:
Se obtuvo el integrando original, por lo tanto, la integración se realizó sin errores (y ni siquiera se olvidó la suma de una constante arbitraria C).
Las integrales de tabla deben aprenderse de memoria por una sencilla razón: para saber por qué luchar, es decir Conocer el propósito de transformar una expresión dada.
Aqui hay algunos ejemplos mas:
1) 
2) 
3) 
Tareas para solución independiente:
Ejercicio 1. Calcula la integral indefinida:
+ Mostrar/ocultar pista n.º 1.
1) Usa la tercera propiedad y representa esta integral como la suma de tres integrales.
+ Mostrar/ocultar pista n.º 2.
+ Mostrar/ocultar pista n.º 3.
3) Para los dos primeros términos, use la primera integral tabular y para el tercero, use la segunda integral tabular.
+ Mostrar/ocultar solución y respuesta.
4) Solución: 
Respuesta: 
En la escuela, muchas personas no saben resolver integrales o tienen dificultades con ellas. Este artículo le ayudará a resolverlo, ya que encontrará todo en él. tablas integrales.
Integral Es uno de los principales cálculos y conceptos del análisis matemático. Su aparición resultó de dos propósitos:
Primer objetivo- restaurar una función usando su derivada.
Segundo gol- cálculo del área situada a la distancia del gráfico a la función f(x) en la recta donde a es mayor o igual a x mayor o igual a by el eje x.
Estos objetivos nos llevan a integrales definidas e indefinidas. La conexión entre estas integrales radica en la búsqueda de propiedades y el cálculo. Pero todo fluye y todo cambia con el tiempo, se encontraron nuevas soluciones, se identificaron adiciones, lo que llevó a las integrales definidas e indefinidas a otras formas de integración.
Qué ha pasado integral indefinida usted pregunta. Este función antiderivada F(x) de una variable x en el intervalo a mayor que x mayor que b. se llama cualquier función F(x), en un intervalo dado para cualquier designación x, la derivada es igual a F(x). Está claro que F(x) es antiderivada para f(x) en el intervalo a es mayor que x es mayor que b. Esto significa F1(x) = F(x) + C. C - es cualquier constante y primitiva de f(x) en un intervalo dado. Esta afirmación es invertible; para la función f(x) - 2 las antiderivadas difieren sólo en la constante. Basado en el teorema del cálculo integral, resulta que cada continuo en el intervalo a
Integral definida se entiende como un límite en sumas integrales, o en la situación de una función dada f(x) definida en alguna línea (a,b) que tiene una primitiva F, es decir, la diferencia de sus expresiones en los extremos de una línea dada F(b) - F(a).
Para ilustrar el estudio de este tema, sugiero ver el video. Cuenta en detalle y muestra cómo encontrar integrales.
Cada tabla de integrales en sí misma es muy útil, ya que ayuda a resolver un tipo específico de integral.
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