Resolver problemas físicos o ejemplos en matemáticas es completamente imposible sin el conocimiento de la derivada y los métodos para calcularla. La derivada es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático. Decidimos dedicar el artículo de hoy a este tema fundamental. ¿Qué es una derivada, cuál es su significado físico y geométrico, cómo calcular la derivada de una función? Todas estas preguntas se pueden combinar en una: ¿cómo entender la derivada?

Significado geométrico y físico de derivada.

Que haya una función f(x) , especificado en un intervalo determinado (a,b) . Los puntos x y x0 pertenecen a este intervalo. Cuando x cambia, la función misma cambia. Cambiar el argumento: la diferencia en sus valores. x-x0 . Esta diferencia se escribe como deltax y se llama incremento de argumento. Un cambio o incremento de una función es la diferencia entre los valores de una función en dos puntos. Definición de derivada:

La derivada de una función en un punto es el límite de la relación entre el incremento de la función en un punto dado y el incremento del argumento cuando este último tiende a cero.

De lo contrario se puede escribir así:

¿Cuál es el punto de encontrar tal límite? Y esto es lo que es:

la derivada de una función en un punto es igual a la tangente del ángulo entre el eje OX y la tangente a la gráfica de la función en un punto dado.

Significado físico de la derivada: la derivada de la trayectoria con respecto al tiempo es igual a la velocidad del movimiento rectilíneo.

De hecho, desde la época escolar todo el mundo sabe que la velocidad es un camino particular. x=f(t) y tiempo t . Velocidad media durante un período de tiempo determinado:

Para conocer la velocidad del movimiento en un momento dado. t0 necesitas calcular el límite:

Regla uno: establezca una constante

La constante se puede sacar del signo de la derivada. Es más, esto debe hacerse. Al resolver ejemplos de matemáticas, tómelo como regla: Si puedes simplificar una expresión, asegúrate de simplificarla. .

Ejemplo. Calculemos la derivada:

Regla dos: derivada de la suma de funciones

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de estas funciones. Lo mismo ocurre con la derivada de la diferencia de funciones.

No daremos una demostración de este teorema, sino que consideraremos un ejemplo práctico.

Encuentra la derivada de la función:

Regla tres: derivada del producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones diferenciables se calcula mediante la fórmula:

Ejemplo: encontrar la derivada de una función:

Solución:

Aquí es importante decir sobre el cálculo de derivados. funciones complejas. La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de esta función con respecto al argumento intermedio y la derivada del argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

En el ejemplo anterior nos encontramos con la expresión:

En este caso, el argumento intermedio es 8x elevado a la quinta potencia. Para calcular la derivada de dicha expresión, primero calculamos la derivada de la función externa con respecto al argumento intermedio y luego multiplicamos por la derivada del propio argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

Regla cuatro: derivada del cociente de dos funciones

Fórmula para determinar la derivada del cociente de dos funciones:

Intentamos hablar de derivados para tontos desde cero. Este tema no es tan simple como parece, así que tenga cuidado: a menudo hay errores en los ejemplos, así que tenga cuidado al calcular las derivadas.

Ante cualquier duda sobre este y otros temas, puedes contactar con el servicio de atención al estudiante. En poco tiempo, le ayudaremos a resolver las pruebas más difíciles y a comprender las tareas, incluso si nunca antes ha realizado cálculos de derivadas.

¿Cuándo hizo el hombre la primera pasos independientes en el estudio del análisis matemático y comienza a hacer preguntas incómodas, ya no es tan fácil salirse con la suya con la frase que "se encontró cálculo diferencial en el repollo". Por tanto, ha llegado el momento de determinar y revelar el secreto del nacimiento. tablas de derivadas y reglas de diferenciación. Comenzó en el artículo. sobre el significado de derivada, que recomiendo mucho estudiar, porque allí simplemente miramos el concepto de derivada y comenzamos a hacer clic en los problemas sobre el tema. Esta misma lección tiene una marcada orientación práctica, además,

Los ejemplos que se analizan a continuación pueden, en principio, dominarse de forma puramente formal. (por ejemplo, cuando no hay tiempo/ganas de profundizar en la esencia de la derivada). También es muy deseable (pero nuevamente no necesario) poder encontrar derivadas utilizando el método "ordinario", al menos al nivel de dos lecciones básicas:¿Cómo encontrar la derivada? y Derivada de una función compleja.

Pero hay una cosa de la que definitivamente no podemos prescindir ahora: es límites de función. Debes ENTENDER qué es un límite y poder resolverlos al menos en un nivel intermedio. Y todo porque la derivada.

La función en un punto está determinada por la fórmula:

Permítanme recordarles las designaciones y términos: llaman incremento de argumento;

– incremento de función;

– estos son símbolos ÚNICOS (“delta” no se puede “arrancar” de “X” o “Y”).

Evidentemente lo que es una variable “dinámica” es una constante y el resultado de calcular el límite - número (a veces - infinito “más” o “menos”).

Como punto, puedes considerar CUALQUIER valor perteneciente a dominio de definición función en la que existe una derivada.

Nota: la cláusula “en la que existe el derivado” – en general es significativo! Entonces, por ejemplo, aunque un punto está incluido en el dominio de definición de una función, su derivada

no existe allí. Por lo tanto la fórmula

no aplicable en el punto

y una formulación abreviada sin reservas sería incorrecta. Hechos similares son válidos para otras funciones con “interrupciones” en la gráfica, en particular, para arcoseno y arcocoseno.

Así, después de reemplazar , obtenemos la segunda fórmula de trabajo:

Prestemos atención a una circunstancia insidiosa que puede confundir a la tetera: en este límite, "x", siendo en sí misma una variable independiente, desempeña el papel de estadística, y la "dinámica" vuelve a estar determinada por el incremento. El resultado de calcular el límite.

es la función derivada.

Con base en lo anterior, formulamos las condiciones de dos problemas típicos:

- Encontrar derivada en un punto, utilizando la definición de derivada.

- Encontrar función derivada, utilizando la definición de derivada. Esta versión, según mis observaciones, es mucho más común y recibirá la mayor atención.

La diferencia fundamental entre las tareas es que en el primer caso necesitas encontrar el número. (opcionalmente, infinito), y en el segundo –

función Además, es posible que la derivada no exista en absoluto.

Cómo ?

Crea una proporción y calcula el límite.

¿De dónde vino? tabla de derivadas y reglas de diferenciación ? Gracias al único límite

Parece magia, pero

en realidad: prestidigitación y sin fraude. En la lección ¿Qué es un derivado? comencé a mirar ejemplos específicos, donde, usando la definición, encontré las derivadas de una función lineal y cuadrática. Con el propósito de calentamiento cognitivo, continuaremos perturbando tabla de derivados, perfeccionando el algoritmo y las soluciones técnicas:

Básicamente, es necesario demostrar caso especial derivado función de potencia, que suele aparecer en la tabla: .

La solución se formaliza técnicamente de dos maneras. Comencemos con el primer enfoque, que ya nos resulta familiar: la escalera comienza con una tabla y la función derivada comienza con la derivada en un punto.

Considere algún punto (específico) perteneciente a dominio de definición Función en la que hay una derivada. Establezcamos el incremento en este punto. (por supuesto, dentro del alcance o/o -ya) y componer el incremento correspondiente de la función:

Calculemos el límite:

La incertidumbre 0:0 se elimina mediante una técnica estándar, considerada en el siglo I a.C. multipliquemos

numerador y denominador de la expresión conjugada :

La técnica para resolver dicho límite se analiza en detalle en la lección introductoria. sobre los límites de las funciones.

Como puedes elegir CUALQUIER punto del intervalo como

Luego, habiendo realizado el reemplazo, obtenemos:

Una vez más, regocijémonos con los logaritmos:

Encuentra la derivada de una función usando la definición de derivada.

Solución: Consideremos un enfoque diferente para promover la misma tarea. Es exactamente igual, pero más racional en cuanto a diseño. La idea es deshacerse de

subíndice y use una letra en lugar de una letra.

Considere un punto arbitrario perteneciente a dominio de definición función (intervalo) y establezca el incremento en ella. Pero aquí, por cierto, como en la mayoría de los casos, puedes hacerlo sin reservas, ya que la función logarítmica es diferenciable en cualquier punto del dominio de definición.

Entonces el incremento correspondiente de la función es:

Encontremos la derivada:

La simplicidad del diseño se equilibra con la confusión que puede

ocurren entre principiantes (y no solo). Después de todo, ¡estamos acostumbrados a que la letra “X” cambie en el límite! Pero aquí todo es diferente: una estatua antigua y un visitante vivo que camina rápidamente por el pasillo del museo. Es decir, "x" es "como una constante".

Comentaré la eliminación de la incertidumbre paso a paso:

(1) Usando la propiedad del logaritmo.

(2) Entre paréntesis, divide el numerador por el denominador término por término.

(3) En el denominador, multiplicamos y dividimos artificialmente por “x” de modo que

aprovecha el maravilloso límite , mientras que infinitesimal hechos.

Respuesta: por definición de derivada:

O en resumen:

Propongo construir usted mismo dos fórmulas de tabla más:

Encuentra derivada por definición

En este caso, es conveniente reducir inmediatamente el incremento compilado a un denominador común. Una muestra aproximada de la tarea al final de la lección (primer método).

Encuentra derivada por definición

Y aquí hay que reducir todo a un límite notable. La solución se formaliza de la segunda forma.

Una serie de otros derivadas tabulares. Lista llena se puede encontrar en un libro de texto escolar o, por ejemplo, en el primer volumen de Fichtenholtz. No veo mucho sentido en copiar pruebas de reglas de diferenciación de libros; también se generan

fórmula

Pasemos a las tareas realmente encontradas: Ejemplo 5

Encuentra la derivada de una función. , usando la definición de derivada

Solución: utilice el primer estilo de diseño. Consideremos algún punto que le pertenece y establezcamos el incremento del argumento en él. Entonces el incremento correspondiente de la función es:

Quizás algunos lectores aún no hayan comprendido completamente el principio por el cual se deben realizar los incrementos. Tome un punto (número) y encuentre el valor de la función en él: , es decir, en la función

en lugar de "X", debes sustituirlo. Ahora vamos a tomarlo

Incremento de función compilada Puede resultar beneficioso simplificar inmediatamente. ¿Para qué? Facilitar y acortar la solución hasta un límite mayor.

Usamos fórmulas, abrimos los corchetes y reducimos todo lo que se puede reducir:

El pavo está destripado, no hay problema con el asado:

Eventualmente:

Como podemos elegir cualquier número real como valor, hacemos el reemplazo y obtenemos .

Respuesta : a-priorato.

Para fines de verificación, encontremos la derivada usando las reglas.

diferenciación y tablas:

Siempre es útil y agradable saber de antemano la respuesta correcta, por lo que es mejor diferenciar la función propuesta de forma “rápida”, ya sea mentalmente o en un borrador, desde el principio de la solución.

Encuentra la derivada de una función por definición de derivada.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. El resultado es obvio:

Volvamos al estilo n.° 2: ejemplo 7

Averigüemos inmediatamente qué debería pasar. Por regla de diferenciación de funciones complejas:

Solución: considere un punto arbitrario que le pertenezca, establezca el incremento del argumento en él y complete el incremento

Encontremos la derivada:

(1) Usamos la fórmula trigonométrica

(2) Bajo el seno abrimos los corchetes, bajo el coseno presentamos términos similares.

(3) Bajo el seno cancelamos los términos, bajo el coseno dividimos el numerador por el denominador término por término.

(4) Debido a la rareza del seno, eliminamos el "menos". Bajo coseno

indicamos que el término .

(5) Realizamos una multiplicación artificial en el denominador para utilizar primer límite maravilloso. Así, se elimina la incertidumbre, arreglemos el resultado.

Respuesta: por definición Como puede ver, la principal dificultad del problema considerado radica en

Complejidad hasta el límite + ligera originalidad del embalaje. En la práctica, ambos métodos de diseño ocurren, por lo que describo ambos enfoques con el mayor detalle posible. Son equivalentes, pero aún así, en mi impresión subjetiva, es más recomendable que los tontos se ciñan a la opción 1 con “X-cero”.

Usando la definición, encuentre la derivada de la función.

Esta es una tarea que debes resolver por tu cuenta. El ejemplo está diseñado con el mismo espíritu que el ejemplo anterior.

Veamos una versión más rara del problema:

Encuentra la derivada de una función en un punto usando la definición de derivada.

En primer lugar, ¿cuál debería ser el resultado final? Número Calculemos la respuesta de la forma estándar:

Solución: desde el punto de vista de la claridad, esta tarea es mucho más sencilla, ya que en la fórmula, en lugar de

Se considera un valor específico.

Establezcamos el incremento en el punto y componamos el incremento correspondiente de la función:

Calculemos la derivada en el punto:

Usamos una fórmula de diferencia tangente muy rara. y una vez más reducimos la solución a la primera

límite notable:

Respuesta: por definición de derivada en un punto.

El problema no es tan difícil de resolver y “en vista general“- basta con sustituir la uña o simplemente según el método de diseño. En este caso, está claro que el resultado no será un número, sino una función derivada.

Ejemplo 10 Usando la definición, encuentre la derivada de la función. en el punto

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta.

La tarea adicional final está destinada principalmente a estudiantes con un estudio en profundidad del análisis matemático, pero tampoco perjudicará a nadie más:

¿Será diferenciable la función? ¿en el punto?

Solución: Es obvio que una función dada por partes es continua en un punto, pero ¿será diferenciable allí?

El algoritmo de solución, y no sólo para funciones por trozos, es el siguiente:

1) Encuentra la derivada por la izquierda en un punto dado: .

2) Encuentre la derivada por la derecha en un punto dado: .

3) Si las derivadas unilaterales son finitas y coinciden:

, entonces la función es derivable en el punto

Geométricamente, aquí hay una tangente común (ver la parte teórica de la lección). Definición y significado de derivada).

Si se reciben dos diferentes significados: (uno de los cuales puede resultar infinito), entonces la función no es derivable en el punto.

Si ambas derivadas unilaterales son iguales a infinito

(incluso si tienen signos diferentes), entonces la función no es

es diferenciable en el punto, pero hay una derivada infinita y una tangente vertical común a la gráfica (ver ejemplo lección 5ecuación normal) .

Al resolver diversos problemas de geometría, mecánica, física y otras ramas del conocimiento, surgió la necesidad de utilizar el mismo proceso analítico a partir de esta función. y=f(x) obtener una nueva función llamada función derivada(o simplemente derivada) de una función dada f(x) y está designado por el símbolo

El proceso por el cual a partir de una función dada f(x) obtener una nueva característica f"(x), llamado diferenciación y consta de los siguientes tres pasos: 1) dar el argumento X incremento  X y determinar el incremento correspondiente de la función.  y = f(x+ x) -f(x); 2) inventar una relación

3) contando X constante y  X0, encontramos
, que denotamos por f"(x), como si enfatizara que la función resultante depende sólo del valor X, en el que llegamos al límite. Definición: Derivada y " =f " (x) función dada y=f(x) para una x dada se llama el límite de la relación entre el incremento de una función y el incremento del argumento, siempre que el incremento del argumento tienda a cero, si, por supuesto, este límite existe, es decir finito. De este modo,
, o

Tenga en cuenta que si por algún valor X, por ejemplo cuando x=un, actitud
en  X0 no tiende al límite finito, entonces en este caso dicen que la función f(x) en x=un(o en el punto x=un) no tiene derivada o no es diferenciable en el punto x=un.

2. Significado geométrico de la derivada.

Considere la gráfica de la función y = f (x), diferenciable en las proximidades del punto x 0

f(x)

Consideremos una línea recta arbitraria que pasa por un punto de la gráfica de una función: el punto A(x 0, f (x 0)) y corta la gráfica en algún punto B(x;f(x)). Esta recta (AB) se llama secante. De ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Desde CA || Ox, entonces ALO = BAC = β (como corresponde al paralelo). Pero ALO es el ángulo de inclinación de la secante AB con respecto a la dirección positiva del eje Ox. Esto significa que tanβ = k es la pendiente de la recta AB.

Ahora reduciremos ∆х, es decir ∆х→ 0. En este caso, el punto B se acercará al punto A según la gráfica y la secante AB girará. La posición límite de la secante AB en ∆x→ 0 será una recta (a), llamada tangente a la gráfica de la función y = f (x) en el punto A.

Si vamos al límite como ∆x → 0 en la igualdad tgβ =∆y/∆x, obtenemos
ortg =f "(x 0), ya que
-ángulo de inclinación de la tangente a la dirección positiva del eje Ox
, por definición de derivada. Pero tg = k es el coeficiente angular de la tangente, lo que significa k = tg = f "(x 0).

Entonces, el significado geométrico de la derivada es el siguiente:

Derivada de una función en el punto x 0 igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la función trazada en el punto con la abscisa x 0 .

3. Significado físico de la derivada.

Considere el movimiento de un punto a lo largo de una línea recta. Sea la coordenada de un punto en cualquier momento x(t). Se sabe (por un curso de física) que la velocidad promedio durante un período de tiempo es igual a la relación entre la distancia recorrida durante este período de tiempo y el tiempo, es decir

Vav = ∆x/∆t. Vayamos al límite en la última igualdad como ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - velocidad instantánea en el momento t 0, ∆t → 0.

y lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (por definición de derivada).

Entonces, (t) =x"(t).

El significado físico de la derivada es el siguiente: derivada de la funcióny = F(X) en el puntoX 0 es la tasa de cambio de la funciónF(x) en el puntoX 0

La derivada se utiliza en física para encontrar la velocidad a partir de una función conocida de coordenadas versus tiempo, y la aceleración a partir de una función conocida de velocidad versus tiempo.

(t) = x"(t) - velocidad,

a(f) = "(t) - aceleración, o

Si se conoce la ley del movimiento de un punto material en un círculo, entonces se pueden encontrar la velocidad angular y la aceleración angular durante el movimiento de rotación:

φ = φ(t) - cambio de ángulo con el tiempo,

ω = φ"(t) - velocidad angular,

ε = φ"(t) - aceleración angular, o ε = φ"(t).

Si se conoce la ley de distribución de masa de una varilla no homogénea, entonces se puede encontrar la densidad lineal de la varilla no homogénea:

m = m(x) - masa,

x  , l - longitud de la varilla,

p = m"(x) - densidad lineal.

Utilizando la derivada se resuelven problemas de la teoría de la elasticidad y vibraciones armónicas. Entonces, según la ley de Hooke

F = -kx, x – coordenada variable, k – coeficiente de elasticidad del resorte. Poniendo ω 2 =k/m, obtenemos la ecuación diferencial del péndulo de resorte x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

donde ω = √k/√m frecuencia de oscilación (l/c), k - rigidez del resorte (H/m).

Una ecuación de la forma y" + ω 2 y = 0 se llama ecuación de oscilaciones armónicas (mecánicas, eléctricas, electromagnéticas). La solución a tales ecuaciones es la función

y = Asen(ωt + φ 0) o y = Acos(ωt + φ 0), donde

A - amplitud de oscilaciones, ω - frecuencia cíclica,

φ 0 - fase inicial.

¿Qué es un derivado?
Definición y significado de una función derivada

Muchos se sorprenderán por la ubicación inesperada de este artículo en el curso de mi autor sobre la derivada de una función de una variable y sus aplicaciones. Al fin y al cabo, como ocurre desde la escuela: el libro de texto estándar da en primer lugar la definición de derivada, su significado geométrico y mecánico. A continuación, los estudiantes encuentran derivadas de funciones por definición y, de hecho, solo entonces perfeccionan la técnica de derivación usando tablas derivadas.

Pero desde mi punto de vista, el siguiente enfoque es más pragmático: en primer lugar, conviene ENTENDER BIEN límite de una función, y en particular, cantidades infinitesimales. El hecho es que la definición de derivada se basa en el concepto de límite, lo cual está mal considerado en curso escolar. Es por eso que una parte importante de los jóvenes consumidores del granito del conocimiento no comprenden la esencia misma del derivado. Por lo tanto, si tienes pocos conocimientos de cálculo diferencial o un cerebro sabio para largos años se deshizo exitosamente de este equipaje, comience con límites de función. Al mismo tiempo, domine/recuerde su solución.

El mismo sentido práctico dicta que es ventajoso primero aprender a encontrar derivadas, incluido derivadas de funciones complejas. La teoría es teoría, pero, como dicen, siempre hay que diferenciar. En este sentido, es mejor trabajar con las lecciones básicas enumeradas, y tal vez maestro de la diferenciación sin siquiera darse cuenta de la esencia de sus acciones.

Recomiendo comenzar con los materiales de esta página después de leer el artículo. Los problemas más simples con derivados., donde, en particular, se considera el problema de la tangente a la gráfica de una función. Pero puedes esperar. El hecho es que muchas aplicaciones de la derivada no requieren su comprensión, y no es sorprendente que la lección teórica apareciera bastante tarde, cuando necesitaba explicar encontrar intervalos crecientes/decrecientes y extremos funciones. Además, estuvo hablando del tema durante bastante tiempo. Funciones y gráficas”, hasta que finalmente decidí ponerlo antes.

Por eso, queridas teteras, no se apresuren a absorber la esencia del derivado como animales hambrientos, porque la saturación será insípida e incompleta.

El concepto de creciente, decreciente, máximo, mínimo de una función.

Muchos material didáctico Conduje al concepto de derivada utilizando algunos problemas prácticos, y también se me ocurrió un ejemplo interesante. Imaginemos que estamos a punto de viajar a una ciudad a la que se puede llegar de diferentes maneras. Descartemos inmediatamente los caminos curvos y sinuosos y consideremos sólo las carreteras rectas. Sin embargo, las direcciones en línea recta también son diferentes: se puede llegar a la ciudad por una carretera llana. O a lo largo de una carretera montañosa: arriba y abajo, arriba y abajo. Otro camino sólo va cuesta arriba y otro va cuesta abajo todo el tiempo. Los entusiastas extremos elegirán una ruta a través de un desfiladero con un acantilado escarpado y una subida pronunciada.

Pero sean cuales sean tus preferencias, es recomendable conocer la zona o al menos localizarla. mapa topográfico. ¿Qué pasa si falta dicha información? Después de todo, puedes elegir, por ejemplo, un camino suave, pero al final tropezarás con una pista de esquí con alegres finlandeses. No es un hecho que un navegador o incluso una imagen de satélite proporcionen datos fiables. Por tanto, sería bueno formalizar el relieve del camino utilizando las matemáticas.

Veamos algún camino (vista lateral):

Por si acaso, les recuerdo un dato elemental: los viajes suceden de izquierda a derecha. Por simplicidad, asumimos que la función continuo en el área bajo consideración.

¿Cuáles son las características de este gráfico?

A intervalos función aumenta, es decir, cada valor siguiente de él más el anterior. En términos generales, el cronograma está en marcha. abajo arriba(subimos el cerro). Y en el intervalo la función disminuye– cada valor siguiente menos anterior, y nuestro horario está en De arriba hacia abajo(bajamos la pendiente).

Prestemos también atención a puntos especiales. En el punto que llegamos máximo, eso es existe tal sección del camino donde el valor será el más grande (el más alto). En el mismo punto se logra mínimo, Y existe su vecindad en la que el valor es el más pequeño (el más bajo).

Veremos terminología y definiciones más estrictas en clase. sobre los extremos de la función, pero por ahora estudiemos otra característica importante: en intervalos la función aumenta, pero aumenta a diferentes velocidades. Y lo primero que llama la atención es que el gráfico se dispara durante el intervalo. mucho más genial, que en el intervalo . ¿Es posible medir la pendiente de una carretera utilizando herramientas matemáticas?

Tasa de cambio de función

La idea es esta: tomemos algo de valor. (léase "delta x"), que llamaremos incremento de argumento, y comencemos a “probarlo” en varios puntos de nuestro camino:

1) Miremos el punto más a la izquierda: pasando la distancia, subimos la pendiente hasta una altura (línea verde). La cantidad se llama incremento de función, y en este caso este incremento es positivo (la diferencia de valores a lo largo del eje es mayor que cero). Creemos una proporción que será una medida de la pendiente de nuestro camino. Obviamente, este es un número muy específico y, dado que ambos incrementos son positivos, entonces.

¡Atención! Las designaciones son UNO símbolo, es decir, no se puede "arrancar" el "delta" de la "X" y considerar estas letras por separado. Por supuesto, el comentario también se refiere al símbolo de incremento de función.

Exploremos la naturaleza de la fracción resultante de manera más significativa. Estemos inicialmente a una altura de 20 metros (en el punto negro de la izquierda). Habiendo recorrido la distancia de unos metros (línea roja izquierda), nos encontraremos a una altitud de 60 metros. Entonces el incremento de la función será metros (línea verde) y: . De este modo, en cada metro este tramo de la carretera aumenta la altura promedio por 4 metros...¿olvidaste tu equipo de escalada? =) En otras palabras, la relación construida caracteriza la TASA DE CAMBIO PROMEDIO (en este caso, crecimiento) de la función.

Nota : Los valores numéricos del ejemplo en cuestión corresponden sólo aproximadamente a las proporciones del dibujo.

2) Ahora vayamos a la misma distancia desde el punto negro más a la derecha. Aquí el aumento es más gradual, por lo que el incremento (línea carmesí) es relativamente pequeño y la proporción en comparación con el caso anterior será muy modesta. Hablando relativamente, metros y tasa de crecimiento de la función es . Es decir, aquí por cada metro de camino hay promedio Medio metro de subida.

3) Una pequeña aventura en la ladera de la montaña. Miremos el punto negro superior ubicado en el eje de ordenadas. Supongamos que esta es la marca de los 50 metros. Volvemos a superar la distancia, por lo que nos encontramos más abajo, a un nivel de 30 metros. Dado que el movimiento se realiza De arriba hacia abajo(en la dirección "contraria" del eje), luego el final el incremento de la función (altura) será negativo: metros (segmento marrón en el dibujo). Y en este caso ya estamos hablando de tasa de disminución Características: , es decir, por cada metro de recorrido de este tramo, la altura disminuye promedio por 2 metros. Cuida tu ropa en el quinto punto.

Ahora preguntémonos: ¿qué valor del “estándar de medición” es mejor utilizar? Es completamente comprensible, 10 metros es muy duro. En ellos caben fácilmente una buena docena de montículos. A pesar de los baches, puede haber un profundo desfiladero debajo, y después de unos metros se encuentra el otro lado con una pendiente aún más pronunciada. Por lo tanto, con diez metros no obtendremos una descripción inteligible de tales tramos del camino a través de la relación.

De la discusión anterior se desprende la siguiente conclusión: cuanto menor sea el valor, con mayor precisión describimos la topografía de la carretera. Además, los siguientes hechos son ciertos:

– Para cualquiera puntos de elevación puede seleccionar un valor (aunque sea muy pequeño) que se ajuste a los límites de un aumento en particular. Esto significa que se garantizará que el incremento de altura correspondiente sea positivo y la desigualdad indicará correctamente el crecimiento de la función en cada punto de estos intervalos.

- Asimismo, para cualquier punto de pendiente hay un valor que encajará completamente en esta pendiente. En consecuencia, el correspondiente aumento de altura es claramente negativo y la desigualdad mostrará correctamente la disminución de la función en cada punto del intervalo dado.

– Un caso particularmente interesante es cuando la tasa de cambio de la función es cero: . En primer lugar, el incremento de altura cero () es señal de un camino suave. Y en segundo lugar, hay otras situaciones interesantes, cuyos ejemplos se ven en la figura. Imaginemos que el destino nos ha llevado a la cima de una colina con águilas volando o al fondo de un barranco con ranas croando. Si das un pequeño paso en cualquier dirección, el cambio de altura será insignificante y podemos decir que la tasa de cambio de la función es en realidad cero. Esta es exactamente la imagen observada en los puntos.

Por lo tanto, hemos llegado a una oportunidad increíble para caracterizar con precisión perfecta la tasa de cambio de una función. Después de todo, el análisis matemático permite dirigir el incremento del argumento a cero: , es decir, hacerlo infinitesimal.

Como resultado, surge otra pregunta lógica: ¿es posible encontrar la carretera y su horario? otra función, cual nos dejaría saber¿Sobre todos los tramos llanos, ascensos, descensos, picos, valles, así como la tasa de crecimiento/disminución en cada punto del camino?

¿Qué es un derivado? Definición de derivada.
Significado geométrico de derivada y diferencial.

Lea atentamente y no demasiado rápido: ¡el material es simple y accesible para todos! Está bien si en algunos lugares algo no te parece muy claro, siempre puedes volver al artículo más tarde. Diré más, es útil estudiar la teoría varias veces para comprender a fondo todos los puntos (el consejo es especialmente relevante para los estudiantes "técnicos" que tienen Matemáticas avanzadas juega un papel importante en el proceso educativo).

Naturalmente, en la definición misma de derivada en un punto la reemplazamos por:

¿A qué hemos llegado? Y llegamos a la conclusión de que para la función según la ley se pone de acuerdo otra función, Lo que es llamado función derivada(o simplemente derivado).

La derivada caracteriza tasa de cambio funciones ¿Cómo? La idea corre como un hilo rojo desde el principio del artículo. Consideremos algún punto. dominio de definición funciones Sea la función derivable en un punto dado. Entonces:

1) Si , entonces la función aumenta en el punto . Y obviamente hay intervalo(incluso uno muy pequeño), que contiene un punto en el que la función crece y su gráfica va "de abajo hacia arriba".

2) Si , entonces la función disminuye en el punto . Y hay un intervalo que contiene un punto en el que la función disminuye (la gráfica va "de arriba a abajo").

3) Si, entonces infinitamente cerca cerca de un punto la función mantiene su velocidad constante. Esto sucede, como se señaló, con una función constante y en puntos críticos de la función, En particular en puntos mínimo y máximo.

Un poco de semántica. ¿Qué significa el verbo “diferenciar” en un sentido amplio? Diferenciar significa resaltar una característica. Al diferenciar una función, "aislamos" la velocidad de su cambio en forma de derivada de la función. Por cierto, ¿qué significa la palabra "derivado"? Función sucedió de la función.

Los términos se interpretan con mucho éxito mediante el significado mecánico de la derivada. :
Consideremos la ley del cambio de coordenadas de un cuerpo, en función del tiempo, y la función de la velocidad de movimiento de un cuerpo determinado. La función caracteriza la tasa de cambio de las coordenadas del cuerpo, por lo tanto es la primera derivada de la función con respecto al tiempo: . Si el concepto de "movimiento corporal" no existiera en la naturaleza, entonces no habría derivado concepto de "velocidad corporal".

La aceleración de un cuerpo es la tasa de cambio de velocidad, por lo tanto: . Si los conceptos iniciales de "movimiento del cuerpo" y "velocidad del cuerpo" no existieran en la naturaleza, entonces no existirían. derivado concepto de “aceleración del cuerpo”.