Usando el método de la suma, las ecuaciones del sistema se suman término a término, mientras que 1 o ambas (varias) ecuaciones se pueden multiplicar por cualquier número. Como resultado, llegan a un SLE equivalente, donde una de las ecuaciones tiene solo una variable.

Para resolver el sistema suma (resta) término por término sigue los siguientes pasos:

1. Seleccionamos una variable para la cual se harán los mismos coeficientes.

2. Ahora necesitas sumar o restar las ecuaciones y obtener una ecuación con una variable.

Solución del sistema son los puntos de intersección de las gráficas de la función.

Veamos ejemplos.

Ejemplo 1

sistema dado:

Después de analizar este sistema, puedes ver que los coeficientes de la variable son iguales en valor absoluto y diferentes en signo (-1 y 1). En este caso, las ecuaciones se pueden sumar fácilmente término por término:

Las acciones que están encerradas en un círculo rojo se realizan en la mente.

El resultado de la suma por términos fue la desaparición de la variable y. Está en esto y Este, de hecho, es el significado del método: deshacerse de la primera de las variables.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

Como sistema, la solución se ve así:

Responder: X = -4 , y = 1.

Ejemplo 2

sistema dado:

En este ejemplo, puede usar el método de la "escuela", pero tiene un gran inconveniente: cuando expresa cualquier variable de cualquier ecuación, obtendrá una solución en fracciones ordinarias. Y resolver fracciones lleva bastante tiempo y aumenta la probabilidad de cometer errores.

Por lo tanto, es mejor usar sumas (restas) de ecuaciones término por término. Analicemos los coeficientes de las variables correspondientes:

Encuentre un número que se pueda dividir por 3 y en 4 , si bien es necesario que este número sea lo más pequeño posible. Esta minimo común multiplo. Si le resulta difícil encontrar el número correcto, entonces puede multiplicar los coeficientes:.

Próximo paso:

Multiplica la primera ecuación por ,

Multiplica la tercera ecuación por ,

sistema ecuaciones lineales con dos incógnitas: estas son dos o más ecuaciones lineales para las cuales es necesario encontrarlas todas soluciones generales. Consideraremos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. forma general En la siguiente figura se muestra un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

( a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Aquí x e y son variables desconocidas, a1, a2, b1, b2, c1, c2 son algunos números reales. Una solución a un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de números (x, y) tales que si estos números se sustituyen en las ecuaciones del sistema, entonces cada una de las ecuaciones del sistema se convierte en una verdadera igualdad. Hay varias formas de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Considere una de las formas de resolver un sistema de ecuaciones lineales, a saber, el método de adición.

Algoritmo para resolver por método de suma

Un algoritmo para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos métodos de suma desconocidos.

1. Si se requiere, por medio de transformaciones equivalentes, iguale los coeficientes para una de las variables desconocidas en ambas ecuaciones.

2. Sumar o restar las ecuaciones resultantes para obtener una ecuación lineal con una incógnita

3. Resuelve la ecuación resultante con una incógnita y encuentra una de las variables.

4. Sustituir la expresión resultante en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema y resolver esta ecuación, obteniendo así la segunda variable.

5. Verifique la solución.

Un ejemplo de una solución por el método de adición

Para mayor claridad, resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas por el método de la suma:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Como ninguna de las variables tiene los mismos coeficientes, igualamos los coeficientes de la variable y. Para hacer esto, multiplique la primera ecuación por tres y la segunda ecuación por dos.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Obtener el siguiente sistema de ecuaciones:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Ahora resta el primero de la segunda ecuación. Presentamos términos semejantes y resolvemos la ecuación lineal resultante.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Sustituimos el valor resultante en la primera ecuación de nuestro sistema original y resolvemos la ecuación resultante.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;

El resultado es un par de números x=6 e y=14. Estamos comprobando. Hacemos una sustitución.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Como puede ver, obtuvimos dos igualdades verdaderas, por lo tanto, encontramos la solución correcta.

En esta lección, continuaremos estudiando el método de resolución de sistemas de ecuaciones, a saber: el método de la suma algebraica. Primero, considere la aplicación de este método en el ejemplo de ecuaciones lineales y su esencia. Recordemos también cómo igualar coeficientes en ecuaciones. Y vamos a resolver una serie de problemas sobre la aplicación de este método.

Tema: Sistemas de Ecuaciones

Lección: método de suma algebraica

1. Método de suma algebraica en el ejemplo de sistemas lineales.

Considerar método de suma algebraica en el ejemplo de los sistemas lineales.

Ejemplo 1. Resuelve el sistema

Si sumamos estas dos ecuaciones, entonces las y se cancelarán entre sí, dejando la ecuación para x.

Si restamos la segunda ecuación de la primera ecuación, x se cancelará entre sí y obtendremos una ecuación para y. Este es el significado del método de la suma algebraica.

Resolvimos el sistema y recordamos el método de la suma algebraica. Para repetir su esencia: podemos sumar y restar ecuaciones, pero debemos asegurarnos de obtener una ecuación con una sola incógnita.

2. Método de suma algebraica con ajuste preliminar de coeficientes

Ejemplo 2. Resuelve el sistema

El término está presente en ambas ecuaciones, por lo que el método de suma algebraica es conveniente. Resta el segundo de la primera ecuación.

Respuesta: (2; -1).

Así, después de analizar el sistema de ecuaciones, se puede ver que es conveniente para el método de la suma algebraica, y aplicarlo.

Considere otro sistema lineal.

3. Solución de sistemas no lineales

Ejemplo 3. Resuelve el sistema

Queremos deshacernos de y, pero las dos ecuaciones tienen diferentes coeficientes para y. Los igualamos, para esto multiplicamos la primera ecuación por 3, la segunda por 4.

Ejemplo 4. Resuelve el sistema

Igualar los coeficientes en x

Puede hacerlo de manera diferente: iguale los coeficientes en y.

Resolvimos el sistema aplicando dos veces el método de la suma algebraica.

El método de la suma algebraica también es aplicable para resolver sistemas no lineales.

Ejemplo 5. Resuelve el sistema

Sumemos estas ecuaciones y nos desharemos de y.

El mismo sistema se puede resolver aplicando dos veces el método de la suma algebraica. Sumar y restar de una ecuación a otra.

Ejemplo 6. Resuelve el sistema

Responder:

Ejemplo 7. Resuelve el sistema

Usando el método de la suma algebraica, nos deshacemos del término xy. Multiplica la primera ecuación por .

La primera ecuación permanece sin cambios, en lugar de la segunda escribimos la suma algebraica.

Responder:

Ejemplo 8. Resuelve el sistema

Multiplica la segunda ecuación por 2 para encontrar un cuadrado perfecto.

Nuestra tarea se redujo a resolver cuatro sistemas simples.

4. Conclusión

Consideramos el método de la suma algebraica usando el ejemplo de resolver sistemas lineales y no lineales. En la próxima lección, consideraremos el método de introducción de nuevas variables.

1. Mordkovich A. G. et al. Álgebra 9º grado: Proc. Para la educación general Instituciones.- 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: il.

2. Mordkovich A. G. et al. Álgebra 9.º grado: Cuaderno de tareas para estudiantes de instituciones educativas / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4.ª ed. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: il.

3. Yu. N. Makarychev, Álgebra. Grado 9: libro de texto. para estudiantes de educación general. instituciones / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7ª ed., rev. y adicional - M .: Mnemosyne, 2008.

4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin y Yu. V. Sidorov, Álgebra. Grado 9 16ª edición. - M., 2011. - 287 págs.

5. Mordkovich A. G. Álgebra. Grado 9 A las 2 pm Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones educativas / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12ª ed., borrado. — M.: 2010. — 224 p.: il.

6. Álgebra. Grado 9 A las 2 horas Parte 2. Libro de tareas para estudiantes de instituciones educativas / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina y otros; ed. A.G. Mordkovich. - 12ª ed., rev. — M.: 2010.-223 p.: il.

1. Sección universitaria. ru en matemáticas.

2. Proyecto de Internet "Tareas".

3. Portal educativo "RESUELVE UTILIZAR".

1. Mordkovich A. G. et al. Álgebra 9.º grado: Cuaderno de tareas para estudiantes de instituciones educativas / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4.ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: enfermo. Nº 125 - 127.

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Reglas para ingresar ecuaciones

Cualquier letra latina puede actuar como variable.
Por ejemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Al ingresar ecuaciones puedes usar paréntesis. En este caso, las ecuaciones se simplifican primero. Las ecuaciones después de simplificaciones deben ser lineales, es decir de la forma ax+by+c=0 con la exactitud del orden de los elementos.
Por ejemplo: 6x+1 = 5(x+y)+2

En las ecuaciones, puede usar no solo números enteros, sino también números fraccionarios en forma de decimales y fracciones comunes.

Reglas para ingresar fracciones decimales.
Parte entera y fraccionaria fracciones decimales pueden estar separados por un punto o una coma.
Por ejemplo: 2,1n + 3,5m = 55

Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Solo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.
El denominador no puede ser negativo.
Cuando usted entre fracción numérica El numerador está separado del denominador por un signo de división: /
La parte entera está separada de la fracción por un ampersand: &

Ejemplos.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Resolver un sistema de ecuaciones

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Un poco de teoría.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método de sustitución

La secuencia de acciones al resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución:
1) expresar una variable de alguna ecuación del sistema en términos de otra;
2) sustituir la expresión resultante en otra ecuación del sistema en lugar de esta variable;

$$ \left\( \begin(matriz)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(matriz) \right. $$

Expresemos desde la primera ecuación y hasta x: y = 7-3x. Sustituyendo la expresión 7-3x en lugar de y en la segunda ecuación, obtenemos el sistema:
$$ \left\( \begin(matriz)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(matriz) \right. $$

Es fácil demostrar que el primer y segundo sistema tienen las mismas soluciones. En el segundo sistema, la segunda ecuación contiene solo una variable. Resolvamos esta ecuación:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Flecha derecha -5x+14-6x=3 \Flecha derecha -11x=-11 \Flecha derecha x=1 $$

Sustituyendo el número 1 en lugar de x en la ecuación y=7-3x, encontramos el valor correspondiente de y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - solución del sistema

Los sistemas de ecuaciones en dos variables que tienen las mismas soluciones se llaman equivalente. Los sistemas que no tienen soluciones también se consideran equivalentes.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales sumando

Considere otra forma de resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de la suma. Al resolver sistemas de esta manera, así como al resolver por el método de sustitución, pasamos de un sistema dado a otro sistema equivalente, en el que una de las ecuaciones contiene solo una variable.

La secuencia de acciones al resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de suma:
1) multiplicar las ecuaciones del sistema término por término, eligiendo los factores de modo que los coeficientes de una de las variables se conviertan en números opuestos;
2) sumar término por término las partes izquierda y derecha de las ecuaciones del sistema;
3) resolver la ecuación resultante con una variable;
4) encontrar el valor correspondiente de la segunda variable.

Ejemplo. Resolvamos el sistema de ecuaciones:
$$ \left\( \begin(matriz)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(matriz) \right. $$

En las ecuaciones de este sistema, los coeficientes de y son números opuestos. Sumando término por término las partes izquierda y derecha de las ecuaciones, obtenemos una ecuación con una variable 3x=33. Sustituyamos una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo la primera, por la ecuación 3x=33. Consigamos el sistema
$$ \left\( \begin(matriz)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(matriz) \right. $$

De la ecuación 3x=33 encontramos que x=11. Sustituyendo este valor de x en la ecuación \(x-3y=38 \) obtenemos una ecuación con la variable y: \(11-3y=38 \). Resolvamos esta ecuación:
\(-3y=27 \flecha derecha y=-9 \)

Así, encontramos la solución al sistema de ecuaciones sumando: \(x=11; y=-9 \) o \((11; -9) \)

Aprovechando que en las ecuaciones del sistema los coeficientes de y son números opuestos, redujimos su solución a la solución de un sistema equivalente (sumando ambas partes de cada una de las ecuaciones del simema original), en el que uno de las ecuaciones contiene sólo una variable.

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Con este video, comienzo una serie de lecciones sobre sistemas de ecuaciones. Hoy hablaremos de resolver sistemas de ecuaciones lineales método de adición- es uno de los más maneras simples pero también uno de los más efectivos.

El método de adición consta de tres sencillos pasos:

1. Observa el sistema y elige una variable que tenga coeficientes iguales (u opuestos) en cada ecuación;
2. Correr resta algebraica(para números opuestos - suma) ecuaciones entre sí, después de lo cual trae términos similares;
3. Resuelva la nueva ecuación obtenida después del segundo paso.

Si todo se hace correctamente, en la salida obtendremos una sola ecuación con una variable- No será difícil de resolver. Luego solo queda sustituir la raíz encontrada en el sistema original y obtener la respuesta final.

Sin embargo, en la práctica no es tan sencillo. Hay varias razones para esto:

• Resolver ecuaciones por adición implica que todas las filas deben contener variables con coeficientes iguales/opuestos. ¿Qué pasa si no se cumple este requisito?
• No siempre, después de sumar/restar ecuaciones de esta manera, obtendremos una hermosa construcción que se resuelve fácilmente. ¿Es posible de alguna manera simplificar los cálculos y acelerar los cálculos?

Para obtener una respuesta a estas preguntas y, al mismo tiempo, tratar algunas sutilezas adicionales con las que muchos estudiantes "se caen", mira mi video tutorial:

Con esta lección, comenzamos una serie de conferencias sobre sistemas de ecuaciones. Y comenzaremos con los más simples de ellos, es decir, aquellos que contienen dos ecuaciones y dos variables. Cada uno de ellos será lineal.

Sistemas es un material de 7º grado, pero esta lección también será útil para estudiantes de secundaria que quieran refrescar sus conocimientos sobre este tema.

En general, existen dos métodos para resolver este tipo de sistemas:

1. método de adición;
2. Un método de expresar una variable en términos de otra.

Hoy nos ocuparemos del primer método: utilizaremos el método de resta y suma. Pero para esto necesitas entender el siguiente hecho: una vez que tienes dos o más ecuaciones, puedes tomar dos de ellas y sumarlas. Se agregan término por término, es decir, "Xs" se agregan a "Xs" y se dan similares, "juegos" a "juegos": se agregan nuevamente los similares, y lo que está a la derecha del signo igual también se agrega entre sí, y los similares son también se da allí.

El resultado de tales maquinaciones será una nueva ecuación, que, si tiene raíces, seguramente estarán entre las raíces de la ecuación original. Así que nuestra tarea es hacer la resta o la suma de tal manera que desaparezca $x$ o $y$.

Cómo lograr esto y qué herramienta usar para esto: hablaremos de esto ahora.

Resolver problemas fáciles usando el método de suma

Entonces, estamos aprendiendo a aplicar el método de la suma usando el ejemplo de dos expresiones simples.

Tarea 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Tenga en cuenta que $y$ tiene un coeficiente de $-4$ en la primera ecuación y $+4$ en la segunda. Son mutuamente opuestos, por lo que es lógico suponer que si los sumamos, en la cantidad resultante, los "juegos" se aniquilarán mutuamente. Sumamos y obtenemos:

Resolvemos la construcción más simple:

Genial, encontramos la X. ¿Qué hacer con él ahora? Podemos sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones. Pongámoslo en el primero:

\[-4y=12\izquierda| :\izquierda(-4 \derecha) \derecha.\]

Respuesta: $\izquierda(2;-3\derecha)$.

Tarea 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Aquí, la situación es completamente similar, solo que con las X. Vamos a juntarlos:

Obtuvimos la ecuación lineal más simple, resolvámosla:

Ahora busquemos $x$:

Respuesta: $\izquierda(-3;3\derecha)$.

Puntos importantes

Entonces, acabamos de resolver dos sistemas simples de ecuaciones lineales usando el método de la suma. Una vez más los puntos clave:

1. Si hay coeficientes opuestos para una de las variables, entonces es necesario sumar todas las variables en la ecuación. En este caso, uno de ellos será destruido.
2. Sustituimos la variable encontrada en cualquiera de las ecuaciones del sistema para encontrar la segunda.
3. El registro final de la respuesta se puede presentar de diferentes maneras. Por ejemplo, así - $x=...,y=...$, o en forma de coordenadas de puntos - $\left(...;... \right)$. Es preferible la segunda opción. Lo más importante que debe recordar es que la primera coordenada es $x$ y la segunda es $y$.
4. La regla de escribir la respuesta en forma de coordenadas de puntos no siempre es aplicable. Por ejemplo, no se puede usar cuando el rol de las variables no es $x$ y $y$, sino, por ejemplo, $a$ y $b$.

En los siguientes problemas, consideraremos la técnica de resta cuando los coeficientes no son opuestos.

Resolver problemas fáciles usando el método de resta

Tarea 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Tenga en cuenta que aquí no hay coeficientes opuestos, pero sí idénticos. Por lo tanto, restamos la segunda ecuación de la primera ecuación:

Ahora sustituimos el valor de $x$ en cualquiera de las ecuaciones del sistema. vamos primero:

Respuesta: $\izquierda(2;5\derecha)$.

Tarea 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Volvemos a ver el mismo coeficiente $5$ para $x$ en la primera y segunda ecuaciones. Por lo tanto, es lógico suponer que necesita restar el segundo de la primera ecuación:

Hemos calculado una variable. Ahora busquemos el segundo, por ejemplo, sustituyendo el valor de $y$ en la segunda construcción:

Respuesta: $\izquierda(-3;-2 \derecha)$.

Matices de la solución.

Entonces ¿Qué vemos? En esencia, el esquema no es diferente de la solución de los sistemas anteriores. La única diferencia es que no sumamos ecuaciones, sino que las restamos. Estamos haciendo restas algebraicas.

En otras palabras, tan pronto como vea un sistema que consta de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo primero que debe observar son los coeficientes. Si son iguales en cualquier parte, se restan las ecuaciones, y si son opuestas, se aplica el método de suma. Esto siempre se hace para que una de ellas desaparezca, y en la ecuación final que queda después de la resta, solo quedaría una variable.

Por supuesto, eso no es todo. Ahora consideraremos sistemas en los que las ecuaciones son generalmente inconsistentes. Esos. no hay tales variables en ellos que sean iguales u opuestas. En este caso, para resolver tales sistemas, se utiliza una técnica adicional, a saber, la multiplicación de cada una de las ecuaciones por un coeficiente especial. Cómo encontrarlo y cómo resolver tales sistemas en general, ahora hablaremos de esto.

Resolver problemas multiplicando por un coeficiente

Ejemplo 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vemos que ni para $x$ ni para $y$ los coeficientes no solo son opuestos entre sí, sino que en general no se correlacionan de ninguna manera con otra ecuación. Estos coeficientes no desaparecerán de ninguna manera, incluso si sumamos o restamos las ecuaciones entre sí. Por lo tanto, es necesario aplicar la multiplicación. Intentemos deshacernos de la variable $y$. Para ello, multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente de $y$ de la segunda ecuación, y la segunda ecuación por el coeficiente de $y$ de la primera ecuación, sin cambiar el signo. Multiplicamos y obtenemos un nuevo sistema:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Veámoslo: para $y$, coeficientes opuestos. En tal situación, es necesario aplicar el método de adición. Agreguemos:

Ahora necesitamos encontrar $y$. Para hacer esto, sustituya $x$ en la primera expresión:

\[-9y=18\izquierda| :\izquierda(-9 \derecha) \derecha.\]

Respuesta: $\izquierda(4;-2\derecha)$.

Ejemplo #2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Nuevamente, los coeficientes para ninguna de las variables son consistentes. Multipliquemos por los coeficientes en $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Nuestro nuevo sistema es equivalente al anterior, pero los coeficientes en $y$ son opuestos entre sí, y por lo tanto es fácil aplicar aquí el método de la suma:

Ahora encuentra $y$ sustituyendo $x$ en la primera ecuación:

Respuesta: $\izquierda(-2;1\derecha)$.

Matices de la solución.

La regla clave aquí es la siguiente: siempre multiplique solo por números positivos; esto lo salvará de errores estúpidos y ofensivos asociados con el cambio de signos. En general, el esquema de solución es bastante simple:

1. Observamos el sistema y analizamos cada ecuación.
2. Si vemos que ni para $y$ ni para $x$ los coeficientes son consistentes, es decir no son ni iguales ni opuestos, entonces hacemos lo siguiente: seleccionamos la variable de la que nos deshacemos y luego miramos los coeficientes en estas ecuaciones. Si multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente de la segunda, y multiplicamos la segunda, correspondiente, por el coeficiente de la primera, al final obtendremos un sistema que es completamente equivalente al anterior, y los coeficientes en $ y$ será consistente. Todas nuestras acciones o transformaciones están dirigidas únicamente a obtener una variable en una ecuación.
3. Encontramos una variable.
4. Sustituimos la variable encontrada en una de las dos ecuaciones del sistema y encontramos la segunda.
5. Escribimos la respuesta en forma de coordenadas de puntos, si tenemos variables $x$ e $y$.

Pero incluso un algoritmo tan simple tiene sus propias sutilezas, por ejemplo, los coeficientes de $x$ o $y$ pueden ser fracciones y otros números "feos". Ahora consideraremos estos casos por separado, porque en ellos puede actuar de una manera ligeramente diferente a la del algoritmo estándar.

Resolver problemas con números fraccionarios

Ejemplo 1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Primero, tenga en cuenta que la segunda ecuación contiene fracciones. Pero tenga en cuenta que puede dividir $4$ entre $0,8$. Obtenemos $5$. Multipliquemos la segunda ecuación por $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Restamos las ecuaciones entre sí:

$n$ encontramos, ahora calculamos $m$:

Respuesta: $n=-4;m=5$

Ejemplo #2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ Correcto.\]

Aquí, como en el sistema anterior, hay coeficientes fraccionarios, sin embargo, para ninguna de las variables, los coeficientes no encajan entre sí por un número entero de veces. Por lo tanto, usamos el algoritmo estándar. Deshazte de $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

Usemos el método de la resta:

Encontremos $p$ sustituyendo $k$ en la segunda construcción:

Respuesta: $p=-4;k=-2$.

Matices de la solución.

Eso es todo optimización. En la primera ecuación, no multiplicamos por nada en absoluto, y la segunda ecuación se multiplicó por $5$. Como resultado, hemos obtenido una ecuación consistente y uniforme para la primera variable. En el segundo sistema, actuamos de acuerdo con el algoritmo estándar.

Pero, ¿cómo encontrar los números por los que necesitas multiplicar las ecuaciones? Después de todo, si multiplicamos por números fraccionarios, obtenemos nuevas fracciones. Por lo tanto, las fracciones se deben multiplicar por un número que daría un nuevo entero, y luego las variables se deben multiplicar por coeficientes, siguiendo el algoritmo estándar.

En conclusión, me gustaría llamar su atención sobre el formato del registro de respuesta. Como ya dije, como aquí no tenemos $x$ y $y$, sino otros valores, usamos una notación no estándar de la forma:

Resolver sistemas complejos de ecuaciones

Como toque final al video tutorial de hoy, veamos un par de sistemas realmente complejos. Su complejidad consistirá en que contendrán variables tanto a la izquierda como a la derecha. Por tanto, para solucionarlos, tendremos que aplicar preprocesamiento.

Sistema #1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \derecha)-1=5\izquierda(2x-1 \derecha)+8 \\\end(alinear) \derecha.\]

Cada ecuación conlleva una cierta complejidad. Por lo tanto, con cada expresión, hagamos como con una construcción lineal normal.

En total, obtenemos el sistema final, que es equivalente al original:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Veamos los coeficientes de $y$: $3$ cabe dos veces en $6$, así que multiplicamos la primera ecuación por $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Los coeficientes de $y$ ahora son iguales, entonces restamos el segundo de la primera ecuación: $$

Ahora busquemos $y$:

Respuesta: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistema #2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\izquierda(a-5 \derecha)+b \\\end(alinear) \derecha.\]

Transformemos la primera expresión:

Vamos a tratar con el segundo:

\[-3\izquierda(b-2a \derecha)-12=2\izquierda(a-5 \derecha)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

En total, nuestro sistema inicial tomará la siguiente forma:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Al observar los coeficientes de $a$, vemos que la primera ecuación debe multiplicarse por $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Restamos la segunda de la primera construcción:

Ahora encuentra $a$:

Respuesta: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Eso es todo. Espero que este video tutorial te ayude a comprender este difícil tema, a saber, resolver sistemas de ecuaciones lineales simples. Habrá muchas más lecciones sobre este tema más adelante: analizaremos más ejemplos complejos, donde habrá más variables, y las propias ecuaciones ya serán no lineales. ¡Nos vemos pronto!