திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த. ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவை எவ்வாறு கணக்கிடுவது

ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் பயன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்ள செல்லலாம். இந்த பாடத்தில் வழக்கமான மற்றும் மிகவும் பொதுவான பணியை பகுப்பாய்வு செய்வோம் - ஒரு விமான உருவத்தின் பகுதியை கணக்கிட ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது. இறுதியாக அர்த்தத்தைத் தேடுகிறது உயர் கணிதம்- அவர்கள் அவரைக் கண்டுபிடிக்கட்டும். உனக்கு ஒருபோதும் தெரிந்துருக்காது. நாம் அதை வாழ்க்கையில் நெருக்கமாக கொண்டு வர வேண்டும் நாட்டின் குடிசை பகுதிஅடிப்படை செயல்பாடுகள் மற்றும் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி அதன் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

பொருள் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெற, நீங்கள் கண்டிப்பாக:

1) காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பை குறைந்தபட்சம் ஒரு இடைநிலை மட்டத்திலாவது புரிந்து கொள்ளுங்கள். எனவே, டம்மிகள் முதலில் பாடத்தைப் படிக்க வேண்டும் இல்லை.

2) நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் மற்றும் கணக்கிடவும் முடியும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த. பக்கத்தில் உள்ள சில ஒருங்கிணைப்புகளுடன் நீங்கள் அன்பான நட்புறவை ஏற்படுத்தலாம் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த. தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

உண்மையில், ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிய, காலவரையற்ற மற்றும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய அறிவு உங்களுக்குத் தேவையில்லை. "ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி பகுதியைக் கணக்கிடுதல்" என்ற பணி எப்போதும் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவதை உள்ளடக்கியது, எனவே உங்கள் அறிவு மற்றும் வரைதல் திறன் மிகவும் அழுத்தமான பிரச்சினையாக இருக்கும். இது சம்பந்தமாக, முக்கிய வரைபடங்களின் நினைவகத்தைப் புதுப்பிப்பது பயனுள்ளது அடிப்படை செயல்பாடுகள், மற்றும், குறைந்தபட்சம், ஒரு நேர் கோடு, பரவளைய மற்றும் ஹைபர்போலாவை உருவாக்க முடியும். இதைப் பயன்படுத்தி (பலருக்கு இது அவசியம்) செய்யலாம் முறையான பொருள்மற்றும் வரைபடங்களின் வடிவியல் மாற்றங்கள் பற்றிய கட்டுரைகள்.

உண்மையில், ஒவ்வொருவரும் பள்ளியிலிருந்து ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி பகுதியைக் கண்டறியும் பணியை நன்கு அறிந்திருக்கிறார்கள், மேலும் நாங்கள் பள்ளி பாடத்திட்டத்தை விட அதிகமாக செல்ல மாட்டோம். இந்தக் கட்டுரை இருந்திருக்காது, ஆனால் உண்மை என்னவென்றால், 100 இல் 99 நிகழ்வுகளில் சிக்கல் ஏற்படுகிறது, ஒரு மாணவர் வெறுக்கப்பட்ட பள்ளியால் அவதிப்பட்டு, உயர் கணிதத்தில் ஆர்வத்துடன் தேர்ச்சி பெறுகிறார்.

இந்த பட்டறையின் பொருட்கள் எளிமையாகவும், விரிவாகவும், குறைந்தபட்ச கோட்பாட்டுடனும் வழங்கப்படுகின்றன.

வளைந்த ட்ரெப்சாய்டுடன் ஆரம்பிக்கலாம்.

வளைவு ட்ரேப்சாய்டுஒரு அச்சு, நேர்கோடுகள் மற்றும் இந்த இடைவெளியில் அடையாளத்தை மாற்றாத இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு தட்டையான உருவம். இந்த எண்ணிக்கை அமைந்திருக்கட்டும் குறையாமல் x-அச்சு:

பிறகு ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புக்கு எண்ணியல் ரீதியாக சமம். எந்தவொரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பும் (இருக்கிறது) ஒரு நல்ல வடிவியல் பொருளைக் கொண்டுள்ளது. பாடத்தில் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த. தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு எண் என்று சொன்னேன். இப்போது மற்றொரு பயனுள்ள உண்மையைக் கூற வேண்டிய நேரம் இது. வடிவவியலின் பார்வையில், திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த பகுதி AREA ஆகும்.

அது, திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு (அது இருந்தால்) வடிவியல் ரீதியாக ஒரு குறிப்பிட்ட உருவத்தின் பகுதிக்கு ஒத்திருக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கவனியுங்கள். ஒருங்கிணைப்பானது அச்சுக்கு மேலே அமைந்துள்ள விமானத்தில் ஒரு வளைவை வரையறுக்கிறது (விரும்புபவர்கள் ஒரு வரைபடத்தை வரையலாம்), மேலும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பானது எண்ணாக இருக்கும். பகுதிக்கு சமம்தொடர்புடைய வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு.

எடுத்துக்காட்டு 1

இது ஒரு பொதுவான பணி அறிக்கை. முதலில் மற்றும் மிக முக்கியமான தருணம்தீர்வுகள் - வரைதல். மேலும், வரைதல் கட்டப்பட வேண்டும் வலது.

ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கும்போது, ​​​​பின்வரும் வரிசையை நான் பரிந்துரைக்கிறேன்: முதலில்அனைத்து நேர் கோடுகளையும் (அவை இருந்தால்) மற்றும் மட்டும் கட்டமைப்பது நல்லது பிறகு- பரவளையங்கள், ஹைபர்போலாக்கள், பிற செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள். செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவது மிகவும் லாபகரமானது புள்ளி புள்ளி, புள்ளி-மூலம்-புள்ளி கட்டுமான நுட்பத்தை குறிப்புப் பொருளில் காணலாம் அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும் பண்புகள். எங்கள் பாடத்திற்கு மிகவும் பயனுள்ள பொருட்களையும் நீங்கள் காணலாம் - ஒரு பரவளையை எவ்வாறு விரைவாக உருவாக்குவது.

இந்த சிக்கலில், தீர்வு இப்படி இருக்கலாம்.
வரைபடத்தை வரைவோம் (சமன்பாடு அச்சை வரையறுக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க):

வளைந்த ட்ரேப்சாய்டை நான் நிழலிட மாட்டேன்; நாம் எந்தப் பகுதியைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்பது இங்கே தெளிவாகத் தெரிகிறது. தீர்வு பின்வருமாறு தொடர்கிறது:

பிரிவில், செயல்பாட்டின் வரைபடம் அமைந்துள்ளது அச்சுக்கு மேலே, அதனால்தான்:

பதில்:

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதில் மற்றும் நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதில் யாருக்கு சிரமங்கள் உள்ளன , விரிவுரையைப் பார்க்கவும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த. தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

பணி முடிந்ததும், வரைபடத்தைப் பார்த்து, பதில் உண்மையானதா என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது எப்போதும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். இந்த வழக்கில், வரைபடத்தில் உள்ள கலங்களின் எண்ணிக்கையை “கண்ணால்” எண்ணுகிறோம் - சரி, சுமார் 9 இருக்கும், அது உண்மையாகத் தெரிகிறது. பதில் கிடைத்தால், சொல்லுங்கள்: 20 என்பது முற்றிலும் தெளிவாகிறது சதுர அலகுகள், எங்கோ ஒரு தவறு நடந்துள்ளது என்பது வெளிப்படையானது - 20 செல்கள் கேள்விக்குரிய உருவத்தில் தெளிவாக பொருந்தவில்லை, அதிகபட்சம் ஒரு டஜன். பதில் எதிர்மறையாக இருந்தால், பணியும் தவறாக தீர்க்கப்பட்டது.

உதாரணம் 2

கோடுகள், , மற்றும் அச்சு ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்.

வளைந்த ட்ரெப்சாய்டு அமைந்திருந்தால் என்ன செய்வது அச்சின் கீழ்?

எடுத்துக்காட்டு 3

கோடுகள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு: வரைவோம்:

வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு அமைந்திருந்தால் அச்சின் கீழ்(அல்லது குறைந்தபட்சம் அதிகமாக இல்லைகொடுக்கப்பட்ட அச்சு), அதன் பகுதியை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:
இந்த வழக்கில்:

கவனம்! இரண்டு வகையான பணிகளும் குழப்பமடையக்கூடாது:

1) எந்த வடிவியல் அர்த்தமும் இல்லாமல் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்க்கும்படி உங்களிடம் கேட்கப்பட்டால், அது எதிர்மறையாக இருக்கலாம்.

2) திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி ஒரு உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியும்படி உங்களிடம் கேட்கப்பட்டால், அந்த பகுதி எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும்! அதனால்தான் இப்போது விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தில் கழித்தல் தோன்றும்.

நடைமுறையில், பெரும்பாலும் இந்த எண்ணிக்கை மேல் மற்றும் கீழ் அரை-தளத்தில் அமைந்துள்ளது, எனவே, எளிமையான பள்ளி சிக்கல்களிலிருந்து நாம் மிகவும் அர்த்தமுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு செல்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 4

கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு விமான உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: முதலில் நீங்கள் வரைபடத்தை முடிக்க வேண்டும். பொதுவாக, பகுதி சிக்கல்களில் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கும்போது, ​​​​கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளில் நாங்கள் மிகவும் ஆர்வமாக உள்ளோம். பரவளைய மற்றும் நேர்கோட்டின் வெட்டுப்புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இதை இரண்டு வழிகளில் செய்யலாம். முதல் முறை பகுப்பாய்வு ஆகும். நாங்கள் சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம்:

இதன் பொருள் ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் வரம்பு , ஒருங்கிணைப்பின் மேல் வரம்பு .
முடிந்தால், இந்த முறையைப் பயன்படுத்தாமல் இருப்பது நல்லது..

புள்ளி வாரியாக வரிகளை உருவாக்குவது மிகவும் லாபகரமானது மற்றும் விரைவானது, மேலும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் "தங்களால்" தெளிவாகின்றன. பல்வேறு வரைபடங்களுக்கான புள்ளி-மூலம்-புள்ளி கட்டுமான நுட்பம் உதவியில் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகிறது அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும் பண்புகள். இருப்பினும், எடுத்துக்காட்டாக, வரைபடம் போதுமானதாக இருந்தால், அல்லது விரிவான கட்டுமானம் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை வெளிப்படுத்தவில்லை என்றால் (அவை பகுதியளவு அல்லது பகுத்தறிவற்றதாக இருக்கலாம்) வரம்புகளைக் கண்டறியும் பகுப்பாய்வு முறை சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். அத்தகைய உதாரணத்தையும் நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

எங்கள் பணிக்குத் திரும்புவோம்: முதலில் ஒரு நேர்கோட்டை உருவாக்குவது மிகவும் பகுத்தறிவு மற்றும் பின்னர் ஒரு பரவளையமாகும். வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:

புள்ளியாக கட்டமைக்கும்போது, ​​ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் பெரும்பாலும் "தானாகவே" கண்டறியப்படும் என்பதை நான் மீண்டும் சொல்கிறேன்.

இப்போது வேலை சூத்திரம்: பிரிவில் சில தொடர்ச்சியான செயல்பாடு இருந்தால் அதிகமாக அல்லது சமமாகசில தொடர்ச்சியான செயல்பாடு , பின்னர் இந்த செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும் கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவு , சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

அச்சுக்கு மேலே அல்லது அச்சுக்குக் கீழே, மற்றும், தோராயமாகச் சொன்னால், உருவம் எங்கு அமைந்துள்ளது என்பதைப் பற்றி நீங்கள் இனி சிந்திக்க வேண்டியதில்லை. எந்த வரைபடம் அதிகமாக உள்ளது என்பது முக்கியம்(மற்றொரு வரைபடத்துடன் தொடர்புடையது), மற்றும் எது கீழே உள்ளது.

பரிசீலனையில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில், பிரிவில் பரவளையம் நேர் கோட்டிற்கு மேலே அமைந்துள்ளது என்பது வெளிப்படையானது, எனவே இதிலிருந்து கழிக்க வேண்டியது அவசியம்.

முடிக்கப்பட்ட தீர்வு இப்படி இருக்கலாம்:

விரும்பிய உருவம் மேலே ஒரு பரவளையத்தாலும் கீழே ஒரு நேர்கோட்டாலும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
பிரிவில், தொடர்புடைய சூத்திரத்தின்படி:

பதில்:

உண்மையில், கீழ் அரை-தளத்தில் உள்ள வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதிக்கான பள்ளி சூத்திரம் (எளிய எடுத்துக்காட்டு எண். 3 ஐப் பார்க்கவும்) சிறப்பு வழக்குசூத்திரங்கள் . அச்சு சமன்பாட்டின் மூலம் குறிப்பிடப்படுவதால், செயல்பாட்டின் வரைபடம் அமைந்துள்ளது அதிகமாக இல்லைஅச்சுகள், பின்னர்

இப்போது உங்கள் சொந்த தீர்வுக்கான இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள்

உதாரணம் 5

எடுத்துக்காட்டு 6

கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி பகுதியைக் கணக்கிடுவதில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​சில நேரங்களில் ஒரு வேடிக்கையான சம்பவம் நடக்கும். வரைதல் சரியாக இருந்தது, கணக்கீடுகள் சரியாக இருந்தன, ஆனால் கவனக்குறைவால் ... தவறான உருவத்தின் பகுதி கண்டறியப்பட்டது, உங்கள் பணிவான வேலைக்காரன் இப்படித்தான் பலமுறை திருகினான். இங்கே உண்மையான வழக்குவாழ்க்கையில் இருந்து:

எடுத்துக்காட்டு 7

கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடவும், , , .

தீர்வு: முதலில், ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:

...ஓ, வரைதல் முட்டாள்தனமாக வெளிவந்தது, ஆனால் எல்லாம் தெளிவாகத் தெரிகிறது.

நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய பகுதி நீல நிறத்தில் உள்ளது(நிலையை கவனமாகப் பாருங்கள் - எண்ணிக்கை எவ்வாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது!). ஆனால் நடைமுறையில், கவனக்குறைவு காரணமாக, நிழலாடிய ஒரு உருவத்தின் பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய "தடுமாற்றம்" அடிக்கடி எழுகிறது. பச்சை!

இரண்டு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதில் இந்த எடுத்துக்காட்டு பயனுள்ளதாக இருக்கும். உண்மையில்:

1) அச்சுக்கு மேலே உள்ள பிரிவில் ஒரு நேர் கோட்டின் வரைபடம் உள்ளது;

2) அச்சுக்கு மேலே உள்ள பிரிவில் ஹைப்பர்போலாவின் வரைபடம் உள்ளது.

பகுதிகள் சேர்க்கப்படலாம் (மற்றும் வேண்டும்) என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது, எனவே:

பதில்:

மற்றொரு அர்த்தமுள்ள பணிக்கு செல்லலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 8

கோடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள்,
சமன்பாடுகளை "பள்ளி" வடிவத்தில் முன்வைப்போம் மற்றும் ஒரு புள்ளிக்கு-புள்ளி வரைவோம்:

வரைபடத்திலிருந்து எங்கள் மேல் வரம்பு "நல்லது" என்பது தெளிவாகிறது: .
ஆனால் குறைந்த வரம்பு என்ன?! இது முழு எண் அல்ல என்பது தெளிவாகிறது, ஆனால் அது என்ன? இருக்கலாம் ? ஆனால் வரைதல் சரியான துல்லியத்துடன் உருவாக்கப்பட்டது என்பதற்கான உத்தரவாதம் எங்கே, அது நன்றாக மாறிவிடும் ... அல்லது வேர். வரைபடத்தை தவறாக உருவாக்கினால் என்ன செய்வது?

இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் கூடுதல் நேரத்தை செலவிட வேண்டும் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை பகுப்பாய்வு ரீதியாக தெளிவுபடுத்த வேண்டும்.

ஒரு நேர்கோடு மற்றும் ஒரு பரவளையத்தின் வெட்டுப்புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.
இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:


,

உண்மையில், .

மேலும் தீர்வு அற்பமானது, முக்கிய விஷயம் மாற்றீடுகள் மற்றும் அறிகுறிகளில் குழப்பமடையக்கூடாது; இங்கே கணக்கீடுகள் எளிமையானவை அல்ல.

பிரிவில் , தொடர்புடைய சூத்திரத்தின் படி:

பதில்:

சரி, பாடத்தை முடிக்க, இன்னும் இரண்டு கடினமான பணிகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 9

கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடவும், ,

தீர்வு: இந்த உருவத்தை வரைபடத்தில் சித்தரிக்கலாம்.

அடடா, நான் அட்டவணையில் கையெழுத்திட மறந்துவிட்டேன், மன்னிக்கவும், படத்தை மீண்டும் செய்ய விரும்பவில்லை. ஒரு வரைதல் நாள் அல்ல, சுருக்கமாக, இன்று நாள் =)

பாயிண்ட் பை பாயிண்ட் கட்டுமானத்திற்கு நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் தோற்றம் sinusoids (மற்றும் பொதுவாக அறிய பயனுள்ளதாக இருக்கும் அனைத்து அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள்), அத்துடன் சில சைன் மதிப்புகள், அவற்றைக் காணலாம் முக்கோணவியல் அட்டவணை. சில சந்தர்ப்பங்களில் (இந்த நிகழ்வைப் போலவே), ஒரு திட்ட வரைபடத்தை உருவாக்க முடியும், அதில் வரைபடங்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் அடிப்படையில் சரியாகக் காட்டப்பட வேண்டும்.

இங்கே ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளில் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை; அவை நிபந்தனையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்தொடர்கின்றன: "x" பூஜ்ஜியத்திலிருந்து "பை" க்கு மாறுகிறது. மேலும் ஒரு முடிவை எடுப்போம்:

பிரிவில், செயல்பாட்டின் வரைபடம் அச்சுக்கு மேலே அமைந்துள்ளது, எனவே:

செயல்பாடு எதிர்மறையாக இல்லாமல் மற்றும் இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும். பின்னர், ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருளின் படி, இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் மேலே, அச்சின் கீழ், இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் நேர் கோடுகள் மற்றும் (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்) வரையப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

எடுத்துக்காட்டு 9.கோடு மற்றும் அச்சால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. செயல்பாட்டு வரைபடம் இது ஒரு பரவளையமாகும், அதன் கிளைகள் கீழ்நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன. அதை உருவாக்குவோம் (படம் 3). ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைத் தீர்மானிக்க, கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை (பரவளையம்) அச்சுடன் (நேராகக் கோடு) காண்கிறோம். இதைச் செய்ய, சமன்பாடுகளின் அமைப்பை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்

நாங்கள் பெறுகிறோம்: , எங்கே , ; எனவே,,.

அரிசி. 3

சூத்திரம் (5) ஐப் பயன்படுத்தி உருவத்தின் பகுதியைக் காண்கிறோம்:

செயல்பாடு நேர்மறை மற்றும் பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் கீழே, மேலே அச்சால், இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் நேர் கோடுகள் மற்றும் , மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது சூத்திரம்

. (6)

செயல்பாடு ஒரு பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருந்து, வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளில் அடையாளத்தை மாற்றினால், ஷேடட் உருவத்தின் பரப்பளவு (படம் 4) தொடர்புடைய திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்:

அரிசி. 4

எடுத்துக்காட்டு 10.அச்சு மற்றும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியை கணக்கிடவும்.

அரிசி. 5

தீர்வு. ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 5). தேவையான பகுதி என்பது பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் . இந்த பகுதிகள் ஒவ்வொன்றையும் கண்டுபிடிப்போம். முதலில், அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம் நாம் பெறுகிறோம், . எனவே:

;

.

இவ்வாறு, நிழலாடிய உருவத்தின் பரப்பளவு

(சதுர அலகுகள்).

அரிசி. 6

இறுதியாக, வளைகோட்டு ட்ரேப்சாய்டு, செக்மென்ட் மற்றும் ,
மற்றும் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் - நேர் கோடுகள் மற்றும் (படம் 6). பின்னர் அதன் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

. (8)

எடுத்துக்காட்டு 11.கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.இந்த எண்ணிக்கை படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 7. சூத்திரம் (8) ஐப் பயன்படுத்தி அதன் பகுதியைக் கணக்கிடுவோம். நாம் கண்டுபிடிக்கும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது, ; எனவே,,. பிரிவில் எங்களிடம் உள்ளது: . இதன் பொருள் சூத்திரம் (8) இல் நாம் எடுத்துக்கொள்கிறோம் எக்ஸ், மற்றும் ஒரு தரமாக - . நாங்கள் பெறுகிறோம்:

(சதுர அலகுகள்).

பகுதிகளைக் கணக்கிடுவதில் மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்கள் உருவத்தை ஒன்றுடன் ஒன்று அல்லாத பகுதிகளாகப் பிரிப்பதன் மூலமும், முழு உருவத்தின் பரப்பளவை இந்த பகுதிகளின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் கணக்கிடுவதன் மூலமும் தீர்க்கப்படுகின்றன.

அரிசி. 7

எடுத்துக்காட்டு 12.கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும், , .

தீர்வு. ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 8). இந்த எண்ணிக்கை ஒரு வளைவு ட்ரெப்சாய்டாகக் கருதப்படலாம், கீழே இருந்து அச்சில், இடது மற்றும் வலதுபுறம் - நேர் கோடுகள் மற்றும் மேலே இருந்து - செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும். இரண்டு செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களால் உருவம் மேலே இருந்து வரம்பிடப்பட்டிருப்பதால், அதன் பரப்பளவைக் கணக்கிட, இந்த நேர்கோட்டு உருவத்தை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறோம் (1 என்பது கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் abscissa மற்றும் ). இந்த ஒவ்வொரு பகுதியின் பரப்பளவும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகிறது (4):

(சதுர அலகுகள்); (சதுர அலகுகள்). எனவே:

(சதுர அலகுகள்).

அரிசி. 8

எக்ஸ்= ஜே ( மணிக்கு)

அரிசி. 9

முடிவில், ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டு நேர் கோடுகள் மற்றும் , அச்சு மற்றும் வளைவில் தொடர்ச்சியானது (படம் 9) ஆகியவற்றால் வரையறுக்கப்பட்டிருந்தால், அதன் பகுதி சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது.

சுழற்சியின் உடலின் அளவு

ஒரு பிரிவில் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால், ஒரு அச்சால், நேர் கோடுகள் மற்றும் , அச்சைச் சுற்றி சுழற்றக்கூடிய ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டை அனுமதிக்கவும் (படம் 10). பின்னர் சுழற்சியின் விளைவாக வரும் உடலின் அளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

. (9)

எடுத்துக்காட்டு 13.ஒரு ஹைபர்போலா, நேர்கோடுகள் மற்றும் அச்சின் எல்லையில் வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் அச்சில் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட உடலின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு. ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 11).

பிரச்சனையின் நிலைமைகளில் இருந்து அது பின்வருமாறு, . சூத்திரத்திலிருந்து (9) நாம் பெறுகிறோம்

.

அரிசி. 10

அரிசி. பதினொரு

ஒரு அச்சை சுற்றி சுழற்சி மூலம் பெறப்பட்ட உடலின் தொகுதி OUநேர் கோடுகளால் கட்டப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டு y = cமற்றும் y = d, அச்சு OUமற்றும் ஒரு பிரிவில் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடம் (படம் 12), சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

. (10)

எக்ஸ்= ஜே ( மணிக்கு)

அரிசி. 12

எடுத்துக்காட்டு 14. ஒரு அச்சில் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட உடலின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள் OUகோடுகளால் கட்டப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டு எக்ஸ் 2 = 4மணிக்கு, y = 4, x = 0 (படம் 13).

தீர்வு. சிக்கலின் நிபந்தனைகளுக்கு ஏற்ப, ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைக் காண்கிறோம்: , . சூத்திரம் (10) ஐப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

அரிசி. 13

ஒரு விமான வளைவின் வில் நீளம்

சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட வளைவு , எங்கே , விமானத்தில் பொய் (படம் 14).

அரிசி. 14

வரையறை. ஒரு வளைவின் நீளம், இந்த வளைவில் பொறிக்கப்பட்ட உடைந்த கோட்டின் நீளம், உடைந்த கோட்டின் இணைப்புகளின் எண்ணிக்கை முடிவிலியை நோக்கிச் செல்லும் போது, ​​மற்றும் மிகப்பெரிய இணைப்பின் நீளம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் போது, ​​அதன் எல்லையாகப் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது.

ஒரு செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், வளைவின் வில் நீளம் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது.

. (11)

எடுத்துக்காட்டு 15. புள்ளிகளுக்கு இடையில் இணைக்கப்பட்ட வளைவின் வில் நீளத்தைக் கணக்கிடுங்கள் .

தீர்வு. எங்களிடம் உள்ள சிக்கல் நிலைமைகளிலிருந்து . சூத்திரம் (11) ஐப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

4. முறையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள்
எல்லையற்ற ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகளுடன்

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்தும் போது, ​​பின்வரும் இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டதாகக் கருதப்பட்டது:

அ) ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் ஏமற்றும் வரையறுக்கப்பட்டவை;

b) ஒருங்கிணைப்பு இடைவெளியில் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது.

இந்த நிபந்தனைகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று திருப்தி அடையவில்லை என்றால், ஒருங்கிணைப்பு அழைக்கப்படுகிறது உங்களுடையது அல்ல.

எல்லையற்ற ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகளுடன் முறையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளை முதலில் கருத்தில் கொள்வோம்.

வரையறை. செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு இடைவெளியில் தொடர்ந்து இருக்கட்டும்மற்றும் வலதுபுறத்தில் வரம்பற்றது (படம் 15).

முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு ஒன்றிணைந்தால், இந்த பகுதி வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது; முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு வேறுபட்டால், இந்த பகுதி எல்லையற்றது.

அரிசி. 15

ஒரு முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு எல்லையற்ற குறைந்த வரம்பு ஒருங்கிணைப்பு இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகிறது:

. (13)

சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில் உள்ள வரம்பு (13) இருந்தால் மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டதாக இருந்தால் இந்த ஒருங்கிணைப்பு ஒன்றுபடுகிறது; மற்றபடி ஒருங்கிணைப்பு வேறுபட்டது என்று கூறப்படுகிறது.

இரண்டு எல்லையற்ற ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகளுடன் ஒரு முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

, (14)

с என்பது இடைவெளியின் எந்தப் புள்ளியாகும். சமத்துவத்தின் (14) வலது பக்கத்தில் உள்ள இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகளும் ஒன்றிணைந்தால் மட்டுமே ஒருங்கிணைப்பு ஒன்றிணைகிறது.

;

ஜி) = [வகுப்பில் ஒரு முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்: ] = [மாற்று:

] =

இதன் பொருள் முறையற்ற ஒருங்கிணைப்பு ஒன்றிணைகிறது மற்றும் அதன் மதிப்பு சமமாக இருக்கும்.

தலைப்பு: ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி ஒரு விமான உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுதல்

குறிக்கோள்கள்: வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கண்டறிவதற்கான வரையறை மற்றும் சூத்திரங்களைக் கற்றுக்கொள்ளுங்கள்;

கருதுகின்றனர் பல்வேறு வழக்குகள்ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கண்டறிதல்;

வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கணக்கிட முடியும்.

திட்டம்:

வளைவு ட்ரேப்சாய்டு.

வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள்.

வளைவு ட்ரேப்சாய்டுஇடைவெளியில், x=a மற்றும் x=b ஆகிய வரிப் பகுதிகளிலும், a மற்றும் b புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள x-அச்சின் ஒரு பகுதியிலும் f(x) தொடர்ச்சியான, எதிர்மறை சார்பின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உருவம். .

வளைந்த ட்ரேப்சாய்டுகளின் படங்கள்:

இப்போது நாம் செல்லலாம் சாத்தியமான விருப்பங்கள்ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் கணக்கிடப்பட வேண்டிய புள்ளிவிவரங்களின் இருப்பிடம்.

முதலில் எளிமையான விருப்பம் (முதல் படம்), வழக்கமானதாக இருக்கும் வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு, வரையறை போல. இங்கே எதையும் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, அதன் ஒருங்கிணைப்பை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் அமுன் பிசெயல்பாட்டில் இருந்து f(x). நாம் ஒருங்கிணைந்ததைக் கண்டால், இந்த ட்ரெப்சாய்டின் பகுதியையும் அறிவோம்.


இல் இரண்டாவது விருப்பம், எங்கள் எண்ணிக்கை x-அச்சு மூலம் அல்ல, ஆனால் மற்றொரு செயல்பாட்டால் வரையறுக்கப்படும் g(x). எனவே, பகுதியைக் கண்டறிய CEFD, நாம் முதலில் பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் AEFB(இன் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி f(x)), பின்னர் பகுதியைக் கண்டறியவும் ஏசிடிபி(இன் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி g(x)) மற்றும் உருவத்தின் தேவையான பகுதி CEFD, வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது பகுதிகளுக்கு இடையே வேறுபாடு இருக்கும். ஒருங்கிணைப்பின் எல்லைகள் இங்கே ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால், இவை அனைத்தும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் எழுதப்படலாம் (படத்தின் கீழே உள்ள சூத்திரங்களைப் பார்க்கவும்), இவை அனைத்தும் செயல்பாடுகளின் சிக்கலைப் பொறுத்தது, இந்த விஷயத்தில் ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டுபிடிப்பது எளிதாக இருக்கும்.



மூன்றாவது முதல் ஒன்றைப் போலவே, ஆனால் எங்கள் ட்ரெப்சாய்டு மட்டுமே வைக்கப்பட்டுள்ளது, மேலே இல்லை x-அச்சு, மற்றும் அதன் கீழ். எனவே, இங்கே நாம் அதே ஒருங்கிணைப்பை எடுக்க வேண்டும், ஒரு கழித்தல் அடையாளத்துடன் மட்டுமே, ஏனெனில் ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு எதிர்மறையாக இருக்கும், மேலும் பகுதியின் மதிப்பு நேர்மறையாக இருக்க வேண்டும். செயல்பாட்டிற்குப் பதிலாக இருந்தால் f(x)செயல்படும் –f(x), அதன் வரைபடம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், x அச்சுடன் ஒப்பிடும்போது சமச்சீராக காட்டப்படும்.


மற்றும் நான்காவதுநமது உருவத்தின் ஒரு பகுதி x அச்சுக்கு மேலேயும், ஒரு பகுதி அதற்குக் கீழேயும் இருக்கும்போது விருப்பம். எனவே, முதலில் உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் AEFB, முதல் விருப்பத்தைப் போலவே, பின்னர் உருவத்தின் பரப்பளவு ஏ பி சி டி, மூன்றாவது விருப்பத்தைப் போல, பின்னர் அவற்றை மடியுங்கள். இதன் விளைவாக, உருவத்தின் பகுதியைப் பெறுகிறோம் DEFC. ஒருங்கிணைப்பின் எல்லைகள் இங்கே ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால், இவை அனைத்தும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் எழுதப்படலாம் (படத்தின் கீழே உள்ள சூத்திரங்களைப் பார்க்கவும்), இவை அனைத்தும் செயல்பாடுகளின் சிக்கலைப் பொறுத்தது, இந்த விஷயத்தில் ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டுபிடிப்பது எளிதாக இருக்கும்.

சுய பரிசோதனை கேள்விகள்:

வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு என்று அழைக்கப்படும் உருவம் எது?

வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

மீண்டும் முன்னோக்கி

கவனம்! ஸ்லைடு மாதிரிக்காட்சிகள் தகவல் நோக்கங்களுக்காக மட்டுமே மற்றும் விளக்கக்காட்சியின் அனைத்து அம்சங்களையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தாது. நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால் இந்த வேலை, முழு பதிப்பையும் பதிவிறக்கவும்.

முக்கிய வார்த்தைகள்:ஒருங்கிணைந்த, வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு, அல்லிகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உருவங்களின் பகுதி

உபகரணங்கள்: மார்க்கர் போர்டு, கணினி, மல்டிமீடியா ப்ரொஜெக்டர்

பாடம் வகை: பாடம்-விரிவுரை

பாடம் நோக்கங்கள்:

• கல்வி:மன வேலை கலாச்சாரத்தை உருவாக்குதல், ஒவ்வொரு மாணவருக்கும் வெற்றிகரமான சூழ்நிலையை உருவாக்குதல் மற்றும் கற்றலுக்கான நேர்மறையான உந்துதலை உருவாக்குதல்; மற்றவர்களிடம் பேசும் மற்றும் கேட்கும் திறனை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்.
• வளரும்:பல்வேறு சூழ்நிலைகளில் அறிவைப் பயன்படுத்துவதில் மாணவரின் சுயாதீன சிந்தனையை உருவாக்குதல், பகுப்பாய்வு மற்றும் முடிவுகளை எடுக்கும் திறன், தர்க்கத்தின் வளர்ச்சி, கேள்விகளை சரியாக முன்வைத்து அவற்றுக்கான பதில்களைக் கண்டறியும் திறனை வளர்ப்பது. கணக்கீட்டு திறன்களின் உருவாக்கத்தை மேம்படுத்துதல், முன்மொழியப்பட்ட பணிகளை முடிக்கும் போக்கில் மாணவர்களின் சிந்தனையை மேம்படுத்துதல், ஒரு வழிமுறை கலாச்சாரத்தை உருவாக்குதல்.
• கல்வி: ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டு பற்றிய கருத்துகளை உருவாக்குதல், ஒரு ஒருங்கிணைந்த பற்றி, விமான உருவங்களின் பகுதிகளை கணக்கிடும் திறன்களில் தேர்ச்சி பெறுதல்

கற்பித்தல் முறை:விளக்கமான மற்றும் விளக்கமான.

வகுப்புகளின் போது

முந்தைய வகுப்புகளில், எல்லைகள் உடைந்த கோடுகளாக இருக்கும் உருவங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிட கற்றுக்கொண்டோம். கணிதத்தில், வளைவுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கும் முறைகள் உள்ளன. இத்தகைய புள்ளிவிவரங்கள் கர்விலினியர் ட்ரெப்சாய்டுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவற்றின் பரப்பளவு ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது.

கர்விலினியர் ட்ரேப்சாய்டு ( ஸ்லைடு 1)

வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உருவம், ( sh.m), நேராக x = aமற்றும் x = bமற்றும் x-அச்சு

பல்வேறு வகையான வளைந்த ட்ரேப்சாய்டுகள் ( ஸ்லைடு 2)

நாங்கள் பரிசீலித்து வருகிறோம் வெவ்வேறு வகையானவளைவு ட்ரேப்சாய்டுகள் மற்றும் அறிவிப்பு: கோடுகளில் ஒன்று ஒரு புள்ளியாக சிதைகிறது, கட்டுப்படுத்தும் செயல்பாட்டின் பங்கு கோட்டால் செய்யப்படுகிறது

வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி (ஸ்லைடு 3)

இடைவெளியின் இடது முனையை சரிசெய்யவும் ஏ,மற்றும் சரியானது எக்ஸ்நாம் மாற்றுவோம், அதாவது, வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் வலது சுவரை நகர்த்தி, மாறும் உருவத்தைப் பெறுவோம். செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட மாறி வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு ஒரு ஆண்டிடெரிவேடிவ் ஆகும் எஃப்செயல்பாட்டிற்கு f

மற்றும் பிரிவில் [ ஒரு; பி] செயல்பாட்டால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி f,இந்தச் செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேடிவ் அதிகரிப்புக்கு சமம்:

பயிற்சி 1:

செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கண்டறியவும்: f(x) = x 2மற்றும் நேராக y = 0, x = 1, x = 2.

தீர்வு: ( அல்காரிதம் ஸ்லைடு 3 இன் படி)

செயல்பாடு மற்றும் கோடுகளின் வரைபடத்தை வரைவோம்

அதில் ஒன்றைக் கண்டுபிடிப்போம் ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகள் f(x) = x 2 :

ஸ்லைடில் சுய சோதனை

ஒருங்கிணைந்த

செயல்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டைக் கவனியுங்கள் fபிரிவில் [ ஒரு; பி]. இந்த பகுதியை பல பகுதிகளாக பிரிக்கலாம். முழு ட்ரெப்சாய்டின் பகுதியும் சிறிய வளைந்த ட்ரெப்சாய்டுகளின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாக பிரிக்கப்படும். ( ஸ்லைடு 5). அத்தகைய ஒவ்வொரு ட்ரெப்சாய்டையும் தோராயமாக ஒரு செவ்வகமாகக் கருதலாம். இந்த செவ்வகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் முழுப் பகுதியையும் தோராயமாகத் தருகிறது. சிறிய பகுதியை நாம் பிரிக்கிறோம் [ ஒரு; பி], எவ்வளவு துல்லியமாக நாம் பகுதியை கணக்கிடுகிறோம்.

இந்த வாதங்களை ஃபார்முலா வடிவில் எழுதுவோம்.

பிரிவை பிரிக்கவும் [ ஒரு; பி] புள்ளிகளால் n பகுதிகளாக x 0 =a, x1,...,xn = b.நீளம் k-வது மூலம் குறிக்கவும் xk = xk – xk-1. ஒரு தொகையை உருவாக்குவோம்

வடிவியல் ரீதியாக, இந்த தொகை படத்தில் நிழலாடிய உருவத்தின் பகுதியைக் குறிக்கிறது ( sh.m.)

படிவத்தின் தொகைகள் செயல்பாட்டிற்கான ஒருங்கிணைந்த தொகைகள் எனப்படும் f. (sh.m.)

ஒருங்கிணைந்த தொகைகள் பகுதியின் தோராயமான மதிப்பைக் கொடுக்கும். வரம்பிற்குள் செல்வதன் மூலம் சரியான மதிப்பு பெறப்படுகிறது. பிரிவின் பிரிவை நாம் செம்மைப்படுத்துகிறோம் என்று கற்பனை செய்து கொள்வோம் [ ஒரு; பி] அதனால் அனைத்து சிறிய பிரிவுகளின் நீளங்களும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். பின்னர் இயற்றப்பட்ட உருவத்தின் பரப்பளவு வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பகுதியை அணுகும். வளைந்த ட்ரேப்சாய்டின் பரப்பளவு ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் வரம்பிற்கு சமம் என்று நாம் கூறலாம், Sc.t. (sh.m.)அல்லது ஒருங்கிணைந்த, அதாவது

வரையறை:

ஒரு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு f(x)இருந்து அமுன் பிஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது

= (sh.m.)

நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம்.

ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் வரம்பு ஒரு வளைவு ட்ரெப்சாய்டின் பகுதிக்கு சமம் என்பதை நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம், அதாவது நாம் எழுதலாம்:

Sc.t. = (sh.m.)

மறுபுறம், வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது

எஸ் கே.டி. (sh.m.)

இந்த சூத்திரங்களை ஒப்பிடுகையில், நாம் பெறுகிறோம்:

= (sh.m.)

இந்த சமத்துவம் நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

கணக்கீட்டின் எளிமைக்காக, சூத்திரம் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

= = (sh.m.)

பணிகள்: (sh.m.)

1. நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடவும்: ( ஸ்லைடு 5 இல் சரிபார்க்கவும்)

2. வரைபடத்தின் படி ஒருங்கிணைப்புகளை உருவாக்கவும் ( ஸ்லைடு 6 இல் சரிபார்க்கவும்)

3. கோடுகளால் கட்டப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( ஸ்லைடு 7)

விமான உருவங்களின் பகுதிகளைக் கண்டறிதல் ( ஸ்லைடு 8)

வளைந்த ட்ரெப்சாய்டுகள் இல்லாத உருவங்களின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

ஸ்லைடில் நீங்கள் பார்க்கும் வரைபடங்கள் இரண்டு செயல்பாடுகளைக் கொடுக்கலாம் . (sh.m.)நிழலாடிய உருவத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் . (sh.m.). கேள்விக்குரிய உருவம் வளைந்த ட்ரேப்சாய்டா? பகுதியின் சேர்க்கையின் சொத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? இரண்டு வளைந்த ட்ரெப்சாய்டுகளைக் கருத்தில் கொண்டு, அவற்றில் ஒன்றின் பரப்பிலிருந்து மற்றொன்றின் பகுதியைக் கழிக்கவும் ( sh.m.)

ஸ்லைடில் அனிமேஷனைப் பயன்படுத்தி பகுதியைக் கண்டறியும் வழிமுறையை உருவாக்குவோம்:

1. வரைபட செயல்பாடுகள்
2. வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை x-அச்சில் திட்டமிடுங்கள்
3. வரைபடங்கள் வெட்டும் போது பெறப்பட்ட உருவத்தை நிழலிடுங்கள்
4. கொடுக்கப்பட்ட உருவத்தின் குறுக்குவெட்டு அல்லது ஒன்றியத்தின் வளைவு ட்ரெப்சாய்டுகளைக் கண்டறியவும்.
5. அவை ஒவ்வொன்றின் பகுதியையும் கணக்கிடுங்கள்
6. பகுதிகளின் வேறுபாடு அல்லது தொகையைக் கண்டறியவும்

வாய்வழி பணி: நிழலாடிய உருவத்தின் பகுதியை எவ்வாறு பெறுவது (அனிமேஷனைப் பயன்படுத்தி சொல்லுங்கள், ஸ்லைடு 8 மற்றும் 9)

வீட்டு பாடம்:குறிப்புகள் மூலம் வேலை செய்யுங்கள், எண். 353 (அ), எண். 364 (அ).

நூல் பட்டியல்

1. இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: மாலை (ஷிப்ட்) பள்ளி / பதிப்பின் 9-11 வகுப்புகளுக்கான பாடநூல். ஜி.டி. கிளாசர். - எம்: அறிவொளி, 1983.
2. பாஷ்மகோவ் எம்.ஐ. இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: மேல்நிலைப் பள்ளியின் 10-11 வகுப்புகளுக்கான பாடநூல் / பாஷ்மகோவ் எம்.ஐ. - எம்: அறிவொளி, 1991.
3. பாஷ்மகோவ் எம்.ஐ. கணிதம்: நிறுவனங்களின் தொடக்கத்திற்கான பாடநூல். மற்றும் புதன்கிழமை பேராசிரியர். கல்வி / எம்.ஐ. பாஷ்மகோவ். - எம்: அகாடமி, 2010.
4. கோல்மோகோரோவ் ஏ.என். இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: 10-11 வகுப்புகளுக்கான பாடநூல். கல்வி நிறுவனங்கள் / ஏ.என். கோல்மோகோரோவ். - எம்: கல்வி, 2010.
5. ஆஸ்ட்ரோவ்ஸ்கி எஸ்.எல். ஒரு பாடத்திற்கான விளக்கக்காட்சியை எவ்வாறு உருவாக்குவது?/ எஸ்.எல். ஆஸ்ட்ரோவ்ஸ்கி. – எம்.: செப்டம்பர் 1, 2010.

எருது அச்சில், வளைவு y=f(x) மற்றும் இரண்டு நேர் கோடுகள்: x=a மற்றும் x=b (படம் 85) ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட வளைந்த ட்ரேப்சாய்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். x இன் தன்னிச்சையான மதிப்பை எடுத்துக் கொள்வோம் (ஒரு மற்றும் b அல்ல). அதற்கு h = dx என்ற அதிகரிப்பைக் கொடுத்து, AB மற்றும் CD, Ox axis மற்றும் arc BD ஆகிய நேர்கோடுகளால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு துண்டு பரிசீலனையில் உள்ள வளைவைக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த ஸ்ட்ரிப்பை ஒரு எலிமெண்டரி ஸ்ட்ரிப் என்று அழைப்போம். ஒரு அடிப்படைப் பட்டையின் பரப்பளவு ACQB செவ்வகத்தின் பரப்பளவிலிருந்து வளைவு முக்கோண BQD ஆல் வேறுபடுகிறது, மேலும் பிந்தைய பகுதியின் பரப்பளவு BQDM செவ்வகத்தின் பரப்பளவை விட BQ = =h= பக்கங்களைக் காட்டிலும் குறைவாக உள்ளது. dx) QD=Ay மற்றும் hAy க்கு சமமான பகுதி = Ay dx. பக்க h குறையும்போது, ​​பக்க Du குறைகிறது மற்றும் h உடன் ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். எனவே, BQDM இன் பரப்பளவு இரண்டாம் வரிசை எல்லையற்றது. ஒரு எலிமெண்டரி ஸ்ட்ரிப் பகுதியின் பரப்பளவு பகுதியின் அதிகரிப்பு ஆகும், மேலும் ACQB என்ற செவ்வகத்தின் பரப்பளவு, AB-AC ==/(x) dx>க்கு சமமான பகுதியின் வேறுபாடு ஆகும். இதன் விளைவாக, அதன் வேறுபாட்டை ஒருங்கிணைத்து அந்தப் பகுதியையே காண்கிறோம். பரிசீலனையில் உள்ள படத்தில், சுயாதீன மாறி l: a இலிருந்து b க்கு மாறுகிறது, எனவே தேவையான பகுதி 5 5= \f(x) dx க்கு சமமாக இருக்கும். (I) உதாரணம் 1. பரவளைய y - 1 -x*, நேர் கோடுகள் X =--Fj-, x = 1 மற்றும் O* அச்சால் (படம் 86) எல்லைப்படுத்தப்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிடுவோம். படம். 87. படம். 86. 1 இங்கே f(x) = 1 - l?, ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் a = - மற்றும் £ = 1, எனவே J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* எடுத்துக்காட்டு 2. சைனூசாய்டு y = sinXy, ஆக்ஸ் அச்சு மற்றும் நேர்கோட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிடுவோம் (படம் 87). சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் (I), A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf எடுத்துக்காட்டு 3. சைனூசாய்டின் வளைவால் வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியைக் கணக்கிடவும் ^у = sin jc, மூடப்பட்டிருக்கும் ஆக்ஸ் அச்சுடன் இரண்டு அருகில் உள்ள வெட்டுப்புள்ளிகளுக்கு இடையில் (உதாரணமாக, தோற்றம் மற்றும் அப்சிஸ்ஸா i உடன் புள்ளி இடையே). இந்த பகுதி முந்தைய எடுத்துக்காட்டின் பரப்பளவை விட இரண்டு மடங்கு அதிகமாக இருக்கும் என்பது வடிவியல் பரிசீலனைகளிலிருந்து தெளிவாகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. இருப்பினும், கணக்கீடுகளைச் செய்வோம்: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o உண்மையில், எங்கள் அனுமானம் சரியானது. எடுத்துக்காட்டு 4. சைனூசாய்டு மற்றும் ஆக்ஸ் அச்சு ஆகியவற்றால் எல்லைப்படுத்தப்பட்ட பகுதியை ஒரு காலத்தில் கணக்கிடவும் (படம் 88). பூர்வாங்க கணக்கீடுகள் எடுத்துக்காட்டு 2 ஐ விட நான்கு மடங்கு பெரியதாக இருக்கும் என்று கூறுகின்றன. இருப்பினும், கணக்கீடுகளை செய்த பிறகு, "i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. இந்த முடிவுக்கு தெளிவு தேவை. விஷயத்தின் சாராம்சத்தை தெளிவுபடுத்த, அதே சைனூசாய்டு y = sin l: மற்றும் L இலிருந்து 2i வரையிலான வரம்பில் உள்ள Ox அச்சினால் வரையறுக்கப்பட்ட பகுதியையும் கணக்கிடுகிறோம். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் (I), நாம் 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 ஐப் பெறுகிறோம். இதனால், இந்தப் பகுதி எதிர்மறையாக மாறியதைக் காண்கிறோம். உடற்பயிற்சி 3 இல் கணக்கிடப்பட்ட பகுதியுடன் ஒப்பிடுகையில், அவற்றின் முழுமையான மதிப்புகள் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதைக் காண்கிறோம், ஆனால் அறிகுறிகள் வேறுபட்டவை. நாம் சொத்து V ஐப் பயன்படுத்தினால் (அத்தியாயம் XI, § 4 ஐப் பார்க்கவும்), 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0இந்த எடுத்துக்காட்டில் நடந்தது விபத்து அல்ல. எப்பொழுதும் ஆக்ஸ் அச்சுக்குக் கீழே அமைந்துள்ள பகுதி, இடமிருந்து வலமாக மாறி மாறி, ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடும்போது பெறப்படும். இந்த பாடத்திட்டத்தில் நாங்கள் எப்போதும் அறிகுறிகள் இல்லாத பகுதிகளை கருத்தில் கொள்வோம். எனவே, இப்போது விவாதிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் உள்ள பதில்: தேவையான பகுதி 2 + |-2| = 4. எடுத்துக்காட்டு 5. படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள BAB இன் பகுதியைக் கணக்கிடுவோம். 89. இந்தப் பகுதி ஆக்ஸ் அச்சில் வரம்பிடப்பட்டுள்ளது, பரவளையம் y = - xr மற்றும் நேர்கோடு y - = -x+\. ஒரு வளைவு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதி OAB தேவையான பகுதி இரண்டு பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது: OAM மற்றும் MAV. புள்ளி A என்பது ஒரு பரவளைய மற்றும் ஒரு நேர்கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாக இருப்பதால், 3 2 Y = mx சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம் அதன் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம். (புள்ளி A இன் abscissa ஐ மட்டும் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்). அமைப்பைத் தீர்த்தல், நாம் l கண்டுபிடிக்கிறோம்; = ~. எனவே, பகுதி பகுதிகளாக கணக்கிடப்பட வேண்டும், முதல் சதுரம். OAM மற்றும் பின்னர் pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)