ஆன்லைனில் முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளைக் குறைத்தல். பூலியன் வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குதல்

பெரும்பாலும் பணிகளுக்கு எளிமையான பதில் தேவைப்படுகிறது. எளிமைப்படுத்தப்பட்ட மற்றும் எளிமைப்படுத்தப்படாத பதில்கள் இரண்டும் சரியாக இருந்தாலும், உங்கள் பதிலை நீங்கள் எளிமையாக்காவிட்டால், உங்கள் பயிற்றுவிப்பாளர் உங்கள் தரத்தைக் குறைக்கலாம். மேலும், எளிமைப்படுத்தப்பட்ட கணித வெளிப்பாடு வேலை செய்வது மிகவும் எளிதானது. எனவே, வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்த கற்றுக்கொள்வது மிகவும் முக்கியம்.

படிகள்

கணித செயல்பாடுகளின் சரியான வரிசை

1. கணித செயல்பாடுகளைச் செய்வதற்கான சரியான வரிசையை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.ஒரு கணித வெளிப்பாட்டை எளிதாக்கும் போது, ​​சில கணித செயல்பாடுகள் மற்றவற்றை விட முன்னுரிமை பெற்று முதலில் செய்யப்பட வேண்டும் என்பதால், ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகளை பின்பற்ற வேண்டும் (உண்மையில், செயல்பாடுகளின் சரியான வரிசையை பின்பற்றாதது தவறான முடிவுக்கு வழிவகுக்கும்). கணித செயல்பாடுகளின் பின்வரும் வரிசையை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: அடைப்புக்குறிக்குள் வெளிப்பாடு, அடுக்கு, பெருக்கல், வகுத்தல், கூட்டல், கழித்தல்.

   • செயல்பாடுகளின் சரியான வரிசையை அறிந்துகொள்வது மிகவும் எளிமையான வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்க உங்களை அனுமதிக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க, ஆனால் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை (மாறி கொண்ட வெளிப்பாடு) எளிமைப்படுத்த நீங்கள் சிறப்பு நுணுக்கங்களை அறிந்து கொள்ள வேண்டும் (அடுத்த பகுதியைப் பார்க்கவும்).

2. அடைப்புக்குறிக்குள் வெளிப்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் தொடங்கவும்.கணிதத்தில், அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடு முதலில் மதிப்பீடு செய்யப்பட வேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. எனவே, எந்தவொரு கணித வெளிப்பாட்டையும் எளிமையாக்கும் போது, ​​அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் தொடங்கவும் (அடைப்புக்குறிக்குள் நீங்கள் என்ன செயல்பாடுகளைச் செய்ய வேண்டும் என்பது முக்கியமல்ல). ஆனால் அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டுடன் பணிபுரியும் போது, ​​​​செயல்முறைகளின் வரிசையை நீங்கள் பின்பற்ற வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், அதாவது அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள சொற்கள் முதலில் பெருக்கப்படுகின்றன, பிரிக்கப்படுகின்றன, கூட்டப்படுகின்றன, கழிக்கப்படுகின்றன, மற்றும் பல.

   • எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குவோம் 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). இங்கே நாம் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடுகளுடன் தொடங்குகிறோம்: 5 + 2 = 7 மற்றும் 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • இரண்டாவது ஜோடி அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடு 5 ஆக எளிதாக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் 4/2 முதலில் வகுக்கப்பட வேண்டும் (செயல்பாடுகளின் சரியான வரிசையின் படி). இந்த வரிசையை நீங்கள் பின்பற்றவில்லை என்றால், தவறான பதிலைப் பெறுவீர்கள்: 3 + 4 = 7 மற்றும் 7 ÷ 2 = 7/2.
   • அடைப்புக்குறிக்குள் மற்றொரு ஜோடி அடைப்புக்குறிகள் இருந்தால், உள் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் எளிமைப்படுத்தத் தொடங்கவும், பின்னர் வெளிப்புற அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்குச் செல்லவும்.

3. விரிவுபடுத்து.அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடுகளைத் தீர்த்த பிறகு, அதிவேகத்திற்குச் செல்லவும் (ஒரு சக்திக்கு ஒரு அடுக்கு மற்றும் அடித்தளம் உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்). தொடர்புடைய வெளிப்பாட்டை (அல்லது எண்ணை) ஒரு சக்தியாக உயர்த்தி, முடிவை உங்களுக்குக் கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டில் மாற்றவும்.

   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், சக்திக்கான ஒரே வெளிப்பாடு (எண்) 3 2: 3 2 = 9. உங்களுக்குக் கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டில், 3 2 ஐ 9 ஆல் மாற்றவும், நீங்கள் பெறுவீர்கள்: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. பெருக்கவும்.பெருக்கல் செயல்பாடு பின்வரும் குறியீடுகளால் குறிக்கப்படலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: "x", "∙" அல்லது "*". ஆனால் எண் மற்றும் மாறிக்கு இடையில் (உதாரணமாக, 2x) அல்லது அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள எண் மற்றும் எண்ணுக்கு இடையில் (உதாரணமாக, 4(7)) குறியீடுகள் இல்லை என்றால், இதுவும் ஒரு பெருக்கல் செயல்பாடாகும்.

   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், இரண்டு பெருக்கல் செயல்பாடுகள் உள்ளன: 2x (இரண்டு "x" மாறியால் பெருக்கப்படுகிறது) மற்றும் 4(7) (நான்கு ஏழால் பெருக்கப்படுகிறது). x இன் மதிப்பு எங்களுக்குத் தெரியாது, எனவே 2x என்ற வெளிப்பாட்டை அப்படியே விட்டுவிடுவோம். 4(7) = 4 x 7 = 28. இப்போது உங்களுக்குக் கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்: 2x + 28 + 9 - 5.

5. பிரி.பிரிவு செயல்பாட்டை பின்வரும் குறியீடுகளால் குறிப்பிடலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: "/", "÷" அல்லது "-" (இந்த கடைசி எழுத்தை நீங்கள் பின்னங்களில் காணலாம்). எடுத்துக்காட்டாக, 3/4 என்பது மூன்றால் நான்கால் வகுக்கப்படுகிறது.

   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், அடைப்புக்குறிக்குள் வெளிப்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது நீங்கள் ஏற்கனவே 4 ஐ 2 ஆல் (4/2) வகுத்துள்ளதால், இனி ஒரு பிரிவு செயல்பாடு இல்லை. எனவே நீங்கள் அடுத்த கட்டத்திற்கு செல்லலாம். பெரும்பாலான வெளிப்பாடுகள் அனைத்து கணித செயல்பாடுகளையும் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள் (அவற்றில் சில மட்டுமே).

6. மடி.ஒரு வெளிப்பாட்டின் விதிமுறைகளைச் சேர்க்கும்போது, ​​தொலைவில் (இடதுபுறம்) உள்ள சொல்லுடன் தொடங்கலாம் அல்லது முதலில் எளிதாகச் சேர்க்கும் சொற்களைச் சேர்க்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 49 + 29 + 51 +71 என்ற வெளிப்பாட்டில், முதலில் 49 + 51 = 100, பின்னர் 29 + 71 = 100 மற்றும் இறுதியாக 100 + 100 = 200 ஐச் சேர்ப்பது மிகவும் எளிதானது. இப்படிச் சேர்ப்பது மிகவும் கடினம்: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டு 2x + 28 + 9 + 5 இல் இரண்டு கூட்டல் செயல்பாடுகள் உள்ளன. வெளிப்புற (இடது) வார்த்தையுடன் தொடங்குவோம்: 2x + 28; "x" மாறியின் மதிப்பு உங்களுக்குத் தெரியாததால், 2x மற்றும் 28ஐச் சேர்க்க முடியாது. எனவே, 28 + 9 = 37 ஐச் சேர்க்கவும். இப்போது வெளிப்பாடு பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படலாம்: 2x + 37 - 5.

7. கழிக்கவும்.கணிதச் செயல்பாடுகளைச் செய்வதற்கான சரியான வரிசையில் இதுவே கடைசிச் செயல்பாடாகும். இந்த கட்டத்தில், நீங்கள் எதிர்மறை எண்களைச் சேர்க்கலாம் அல்லது சொற்களைச் சேர்க்கும் கட்டத்தில் இதைச் செய்யலாம் - இது இறுதி முடிவை எந்த வகையிலும் பாதிக்காது.

   • எங்கள் உதாரணம் 2x + 37 - 5 இல் ஒரே ஒரு கழித்தல் செயல்பாடு உள்ளது: 37 - 5 = 32.

8. இந்த கட்டத்தில், அனைத்து கணித செயல்பாடுகளையும் செய்த பிறகு, நீங்கள் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட வெளிப்பாட்டைப் பெற வேண்டும்.ஆனால் உங்களுக்கு கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாடு ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளைக் கொண்டிருந்தால், மாறியுடன் உள்ள சொல் அப்படியே இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். ஒரு மாறியுடன் ஒரு வெளிப்பாட்டைத் தீர்ப்பது (எளிமைப்படுத்தாமல்) அந்த மாறியின் மதிப்பைக் கண்டறிவதை உள்ளடக்குகிறது. சில நேரங்களில் மாறி வெளிப்பாடுகள் சிறப்பு முறைகளைப் பயன்படுத்தி எளிமைப்படுத்தப்படலாம் (அடுத்த பகுதியைப் பார்க்கவும்).

   • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், இறுதி பதில் 2x + 32 ஆகும். "x" மாறியின் மதிப்பை நீங்கள் அறியும் வரை நீங்கள் இரண்டு சொற்களையும் சேர்க்க முடியாது. மாறியின் மதிப்பை நீங்கள் அறிந்தவுடன், இந்த பைனோமியலை எளிதாக எளிதாக்கலாம்.

   சிக்கலான வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குதல்

   1. ஒத்த சொற்களைச் சேர்த்தல்.நீங்கள் ஒரே மாதிரியான சொற்களை மட்டுமே கழிக்கவும் சேர்க்கவும் முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், அதாவது ஒரே மாறி மற்றும் அதே அடுக்குடன் கூடிய சொற்கள். எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் 7x மற்றும் 5x ஐ சேர்க்கலாம், ஆனால் நீங்கள் 7x மற்றும் 5x 2 ஐ சேர்க்க முடியாது (அதிவேகங்கள் வேறுபட்டவை என்பதால்).

      • இந்த விதி பல மாறிகள் கொண்ட உறுப்பினர்களுக்கும் பொருந்தும். எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் 2xy 2 மற்றும் -3xy 2 ஐச் சேர்க்கலாம், ஆனால் நீங்கள் 2xy 2 மற்றும் -3x 2 y அல்லது 2xy 2 மற்றும் -3y 2 ஆகியவற்றைச் சேர்க்க முடியாது.
      • ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்: x 2 + 3x + 6 - 8x. இங்கே ஒத்த சொற்கள் 3x மற்றும் 8x ஆகும், எனவே அவற்றை ஒன்றாகச் சேர்க்கலாம். ஒரு எளிமைப்படுத்தப்பட்ட வெளிப்பாடு இப்படி இருக்கும்: x 2 - 5x + 6.

   2. எண் பகுதியை எளிதாக்குங்கள்.அத்தகைய பின்னத்தில், எண் மற்றும் வகுப்பி இரண்டும் எண்களைக் கொண்டிருக்கும் (மாறி இல்லாமல்). எண்ணியல் பின்னம்பல வழிகளில் எளிமைப்படுத்தப்பட்டது. முதலில், வகுப்பை எண்களால் வகுக்கவும். இரண்டாவதாக, எண் மற்றும் வகுப்பினைக் காரணிப்படுத்தி, அது போன்ற காரணிகளை ரத்துசெய்யவும் (ஒரு எண்ணை தானே வகுத்தால் 1 கிடைக்கும்). வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எண் மற்றும் வகுப்பு இரண்டும் ஒரே காரணியைக் கொண்டிருந்தால், நீங்கள் அதைக் கைவிட்டு எளிமைப்படுத்தப்பட்ட பின்னத்தைப் பெறலாம்.

      • எடுத்துக்காட்டாக, 36/60 என்ற பகுதியைக் கவனியுங்கள். ஒரு கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி, 0.6 ஐப் பெற, 36 ஐ 60 ஆல் வகுக்கவும். ஆனால் எண் மற்றும் வகுப்பினை காரணியாக்குவதன் மூலம் இந்த பின்னத்தை வேறு வழியில் எளிமைப்படுத்தலாம்: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). 6/6 = 1 என்பதால், எளிமைப்படுத்தப்பட்ட பின்னம்: 1 x 6/10 = 6/10. ஆனால் இந்த பின்னத்தை எளிமைப்படுத்தலாம்: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. ஒரு பின்னம் மாறியைக் கொண்டிருந்தால், மாறியுடன் காரணிகளைப் போன்றவற்றை நீங்கள் ரத்து செய்யலாம்.எண் மற்றும் வகுப்பி இரண்டையும் காரணியாக்கி, அது போன்ற காரணிகளை ரத்து செய்யவும், அவை மாறியைக் கொண்டிருந்தாலும் (இங்கே உள்ள ஒத்த காரணிகள் மாறியைக் கொண்டிருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க).

      • ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). இந்த வெளிப்பாட்டை மீண்டும் எழுதலாம் (காரணியாக) வடிவத்தில்: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). 3x சொல் எண் மற்றும் வகுப்பி இரண்டிலும் இருப்பதால், எளிமைப்படுத்தப்பட்ட வெளிப்பாட்டைக் கொடுக்க அதை ரத்து செய்யலாம்: (x + 1)/(5 - x). மற்றொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • நீங்கள் எந்த விதிமுறைகளையும் ரத்து செய்ய முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் - எண் மற்றும் வகுப்பி இரண்டிலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான காரணிகள் மட்டுமே ரத்து செய்யப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாட்டில் (x(x + 2))/x, மாறி (காரணி) “x” எண் மற்றும் வகுப்பி இரண்டிலும் உள்ளது, எனவே எளிமைப்படுத்தப்பட்ட வெளிப்பாட்டைப் பெற “x” ஐக் குறைக்கலாம்: (x + 2)/1 = x + 2. இருப்பினும், வெளிப்பாட்டில் (x + 2)/x, மாறி “x” ஐக் குறைக்க முடியாது (“x” என்பது எண்ணில் ஒரு காரணி இல்லை என்பதால்).

   4. திறந்த அடைப்புக்குறி.இதைச் செய்ய, அடைப்புக்குறிகளுக்கு வெளியே உள்ள சொல்லை அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள ஒவ்வொரு சொல்லிலும் பெருக்கவும். சில நேரங்களில் இது ஒரு சிக்கலான வெளிப்பாட்டை எளிதாக்க உதவுகிறது. இரு உறுப்பினர்களுக்கும் இது பொருந்தும் முதன்மை எண்கள், மற்றும் மாறி கொண்டிருக்கும் உறுப்பினர்களுக்கு.

      • எடுத்துக்காட்டாக, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, மற்றும் 3x (x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • பகுதி வெளிப்பாடுகளில், எண் மற்றும் வகு இரண்டும் ஒரே காரணியாக இருந்தால், அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாட்டில் (3(x 2 + 8))/3x அடைப்புக்குறிகளை விரிவாக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனெனில் இங்கே நீங்கள் 3 இன் காரணியை ரத்து செய்து எளிமைப்படுத்தப்பட்ட வெளிப்பாட்டைப் பெறலாம் (x 2 + 8)/x. இந்த வெளிப்பாடு வேலை செய்ய எளிதானது; அடைப்புக்குறிகளை விரிவுபடுத்தினால், பின்வரும் சிக்கலான வெளிப்பாட்டைப் பெறுவீர்கள்: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. காரணி பல்லுறுப்புக்கோவைகள்.இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் சில வெளிப்பாடுகள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை எளிதாக்கலாம். காரணியாக்கம் என்பது அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதற்கு எதிரான செயல்பாடாகும், அதாவது ஒரு வெளிப்பாடு இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் விளைபொருளாக எழுதப்படுகிறது, ஒவ்வொன்றும் அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்டுள்ளது. சில சந்தர்ப்பங்களில், காரணிப்படுத்தல் அதே வெளிப்பாட்டைக் குறைக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. சிறப்பு சந்தர்ப்பங்களில் (பொதுவாக உடன் இருபடி சமன்பாடுகள்) காரணியாக்கம் சமன்பாட்டை தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கும்.

      • x 2 - 5x + 6 என்ற வெளிப்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இது காரணியாக உள்ளது: (x - 3)(x - 2). எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாடு கொடுக்கப்பட்டால் (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), நீங்கள் அதை (x - 3)(x - 2)/(2(x) என மீண்டும் எழுதலாம். - 2)), வெளிப்பாட்டைக் குறைத்து (x - 2) மற்றும் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட வெளிப்பாட்டை (x - 3)/2 பெறவும்.
      • காரணியாக்கம் பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க (வேர்களைக் கண்டறிய) பயன்படுத்தப்படுகிறது (ஒரு சமன்பாடு என்பது 0 க்கு சமமான பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்). எடுத்துக்காட்டாக, x 2 - 5x + 6 = 0 என்ற சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். அதை காரணியாக்குவதன் மூலம், உங்களுக்கு (x - 3)(x - 2) = 0 கிடைக்கும். 0 ஆல் பெருக்கப்படும் எந்த வெளிப்பாடும் 0 க்கு சமம் என்பதால், அதை இப்படி எழுதலாம். இது : x - 3 = 0 மற்றும் x - 2 = 0. எனவே, x = 3 மற்றும் x = 2, அதாவது, உங்களுக்குக் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களைக் கண்டறிந்துள்ளீர்கள்.

கணிதத்தில் வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்தாமல் செய்ய வழி இல்லை என்பது அறியப்படுகிறது. பல்வேறு வகையான சிக்கல்களையும், பல்வேறு வகையான சமன்பாடுகளையும் சரியாகவும் விரைவாகவும் தீர்க்க இது அவசியம். இங்கே விவாதிக்கப்பட்ட எளிமைப்படுத்தல் ஒரு இலக்கை அடைய தேவையான செயல்களின் எண்ணிக்கையைக் குறைப்பதைக் குறிக்கிறது. இதன் விளைவாக, கணக்கீடுகள் குறிப்பிடத்தக்க வகையில் எளிமைப்படுத்தப்பட்டு நேரம் கணிசமாக சேமிக்கப்படுகிறது. ஆனால் வெளிப்பாட்டை எவ்வாறு எளிதாக்குவது? இதற்காக, நிறுவப்பட்ட கணித உறவுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை பெரும்பாலும் சூத்திரங்கள் அல்லது சட்டங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவை வெளிப்பாடுகளை மிகவும் குறுகியதாக மாற்ற அனுமதிக்கின்றன, இதனால் கணக்கீடுகளை எளிதாக்குகிறது.

இன்று ஆன்லைனில் வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குவது கடினம் அல்ல என்பது இரகசியமல்ல. மிகவும் பிரபலமான சிலவற்றிற்கான இணைப்புகள் இங்கே:

இருப்பினும், ஒவ்வொரு வெளிப்பாட்டிலும் இது சாத்தியமில்லை. எனவே, பாரம்பரிய முறைகளை இன்னும் விரிவாகக் கருதுவோம்.

பொதுவான வகுப்பியை வெளியே எடுப்பது

ஒரு வெளிப்பாடு ஒரே காரணிகளைக் கொண்ட மோனோமியல்களைக் கொண்டிருக்கும்போது, ​​அவற்றின் குணகங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிந்து, அவற்றுக்கான பொதுவான காரணியால் பெருக்கலாம். இந்த செயல்பாடு "பொது வகுப்பியை அகற்றுதல்" என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. தொடர்ந்து இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி, சில நேரங்களில் நீங்கள் வெளிப்பாட்டை கணிசமாக எளிதாக்கலாம். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, பொதுவாக இயற்கணிதம், ஒட்டுமொத்தமாக, காரணிகள் மற்றும் வகுப்பிகளை தொகுத்தல் மற்றும் மறுசீரமைத்தல் ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது.

சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான எளிய சூத்திரங்கள்

முன்னர் விவரிக்கப்பட்ட முறையின் விளைவுகளில் ஒன்று சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்கள் ஆகும். இந்த சூத்திரங்களை மனப்பாடம் செய்யாதவர்களுக்கு அவர்களின் உதவியுடன் வெளிப்பாடுகளை எவ்வாறு எளிமைப்படுத்துவது என்பது மிகவும் தெளிவாக உள்ளது, ஆனால் அவை எவ்வாறு பெறப்படுகின்றன, அதாவது அவை எங்கிருந்து வருகின்றன, அதன்படி, அவற்றின் கணித இயல்பு. கொள்கையளவில், முந்தைய அறிக்கை அனைத்து நவீன கணிதத்திலும், முதல் வகுப்பு முதல் இயந்திரவியல் மற்றும் கணித பீடங்களின் உயர் படிப்புகள் வரை செல்லுபடியாகும். சதுரங்களின் வித்தியாசம், வேறுபாடு மற்றும் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கம், க்யூப்ஸின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாடு - இந்த சூத்திரங்கள் அனைத்தும் அடிப்படையிலும், அதே போல் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. உயர் கணிதம்சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குவது அவசியமான சந்தர்ப்பங்களில். இத்தகைய மாற்றங்களுக்கான எடுத்துக்காட்டுகளை எந்த பள்ளி இயற்கணித பாடப்புத்தகத்திலும் எளிதாகக் காணலாம் அல்லது உலகளாவிய வலையில் இன்னும் எளிதாகக் காணலாம்.

பட்டம் வேர்கள்

தொடக்கக் கணிதம், ஒட்டுமொத்தமாகப் பார்த்தால், ஒரு வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்த பல வழிகள் இல்லை. அவர்களுடன் பட்டங்கள் மற்றும் செயல்பாடுகள், ஒரு விதியாக, பெரும்பாலான மாணவர்களுக்கு ஒப்பீட்டளவில் எளிதானது. ஆனால் பல நவீன பள்ளி மாணவர்கள் மற்றும் மாணவர்கள் ஒரு வெளிப்பாட்டை வேர்களுடன் எளிமைப்படுத்த வேண்டியிருக்கும் போது கணிசமான சிரமங்களைக் கொண்டுள்ளனர். மேலும் இது முற்றிலும் ஆதாரமற்றது. ஏனெனில் வேர்களின் கணித இயல்பு அதே டிகிரிகளின் இயல்பிலிருந்து வேறுபட்டதல்ல, ஒரு விதியாக, மிகக் குறைவான சிரமங்கள் உள்ளன. என்பது தெரிந்ததே சதுர வேர்ஒரு எண்ணின், மாறி அல்லது வெளிப்பாடு, அதே எண்ணைத் தவிர வேறில்லை, மாறி அல்லது ஒரு பாதியின் சக்திக்கு வெளிப்பாடு, கன மூலமானது மூன்றில் ஒரு பங்கின் சக்திக்கு சமம், மற்றும் கடிதத்தின் படி.

பின்னங்களுடன் வெளிப்பாடுகளை எளிமையாக்குதல்

பின்னங்களுடன் ஒரு வெளிப்பாட்டை எவ்வாறு எளிதாக்குவது என்பதற்கான பொதுவான உதாரணத்தையும் பார்க்கலாம். வெளிப்பாடுகள் இயற்கையான பின்னங்களாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் பொதுவான காரணியை வகுத்தல் மற்றும் எண் ஆகியவற்றிலிருந்து தனிமைப்படுத்த வேண்டும், பின்னர் அதன் மூலம் பின்னத்தை குறைக்க வேண்டும். மோனோமியல்கள் ஒரே மாதிரியான காரணிகளை அதிகாரங்களாக உயர்த்தும்போது, ​​அவற்றைச் சுருக்கும்போது அதிகாரங்கள் சமமாக இருப்பதை உறுதி செய்வது அவசியம்.

அடிப்படை முக்கோணவியல் வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குதல்

முக்கோணவியல் வெளிப்பாட்டை எவ்வாறு எளிமைப்படுத்துவது என்பது பற்றிய உரையாடல் சிலருக்கு தனித்து நிற்கிறது. முக்கோணவியலின் பரந்த கிளையானது கணித மாணவர்கள் சற்றே சுருக்கமான கருத்துக்கள், சிக்கல்கள் மற்றும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளை எதிர்கொள்ளும் முதல் கட்டமாகும். இங்கே தொடர்புடைய சூத்திரங்கள் உள்ளன, அவற்றில் முதலாவது அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளம். போதுமான கணித மனதைக் கொண்டிருப்பதால், வேறுபாடு சூத்திரங்கள் மற்றும் வாதங்களின் தொகைகள், இரட்டை, மூன்று வாதங்கள், குறைப்பு சூத்திரங்கள் மற்றும் பல உட்பட அனைத்து அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளங்கள் மற்றும் சூத்திரங்களின் இந்த அடையாளத்திலிருந்து முறையான வழித்தோன்றலை நீங்கள் கண்டறியலாம். நிச்சயமாக, புதிய முறைகள் மற்றும் சூத்திரங்களுடன் முழுமையாகப் பயன்படுத்தப்படும் பொதுவான காரணியைச் சேர்ப்பது போன்ற முதல் முறைகளை இங்கே மறந்துவிடக் கூடாது.

சுருக்கமாக, வாசகருக்கு சில பொதுவான ஆலோசனைகளை வழங்குவோம்:

• பல்லுறுப்புக்கோவைகள் காரணியாக்கப்பட வேண்டும், அதாவது, அவை குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான காரணிகளின் தயாரிப்பு வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட வேண்டும் - மோனோமியல்கள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள். அத்தகைய சாத்தியம் இருந்தால், அடைப்புக்குறிக்குள் பொதுவான காரணியை எடுக்க வேண்டியது அவசியம்.
• விதிவிலக்கு இல்லாமல் அனைத்து சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களையும் மனப்பாடம் செய்வது நல்லது. அவற்றில் பல இல்லை, ஆனால் அவை கணித வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குவதற்கான அடிப்படையாகும். முக்கோணங்களில் சரியான சதுரங்களை தனிமைப்படுத்தும் முறையைப் பற்றியும் நாம் மறந்துவிடக் கூடாது, அதாவது தலைகீழ் நடவடிக்கைசுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களில் ஒன்றுக்கு.
• வெளிப்பாட்டில் உள்ள அனைத்து பின்னங்களும் முடிந்தவரை அடிக்கடி குறைக்கப்பட வேண்டும். இருப்பினும், பெருக்கிகள் மட்டுமே குறைக்கப்படுகின்றன என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள். இயற்கணித பின்னங்களின் வகுத்தல் மற்றும் எண் ஆகியவை பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட அதே எண்ணால் பெருக்கப்படும்போது, ​​பின்னங்களின் அர்த்தங்கள் மாறாது.
• பொதுவாக, அனைத்து வெளிப்பாடுகளும் செயல்களால் அல்லது ஒரு சங்கிலியில் மாற்றப்படலாம். முதல் முறை மிகவும் விரும்பத்தக்கது, ஏனெனில் இடைநிலை செயல்களின் முடிவுகளைச் சரிபார்க்க எளிதானது.
• பெரும்பாலும் கணித வெளிப்பாடுகளில் நாம் வேர்களை பிரித்தெடுக்க வேண்டும். சம சக்திகளின் வேர்கள் எதிர்மறை எண் அல்லது வெளிப்பாட்டிலிருந்து மட்டுமே பிரித்தெடுக்கப்பட முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், மேலும் ஒற்றைப்படை சக்திகளின் வேர்கள் எந்த வெளிப்பாடுகள் அல்லது எண்களிலிருந்தும் பிரித்தெடுக்கப்படும்.

எங்கள் கட்டுரை எதிர்காலத்தில் கணித சூத்திரங்களைப் புரிந்துகொள்வதற்கும் அவற்றை நடைமுறையில் எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் கற்பிப்பதற்கும் உதவும் என்று நம்புகிறோம்.

ஒரு இயற்கணித வெளிப்பாடு, இதில் கூட்டல், கழித்தல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளுடன், வகுத்தல் நேரடி வெளிப்பாடுகள், ஒரு பகுதி இயற்கணித வெளிப்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக, இவை வெளிப்பாடுகள்

இரண்டு முழு எண் இயற்கணித வெளிப்பாடுகளின் (உதாரணமாக, மோனோமியல்கள் அல்லது பல்லுறுப்புக்கோவைகள்) பிரிவின் ஒரு பகுதியின் வடிவத்தைக் கொண்ட இயற்கணிதப் பின்னத்தை இயற்கணித வெளிப்பாடு என்று அழைக்கிறோம். உதாரணமாக, இவை வெளிப்பாடுகள்

வெளிப்பாடுகளில் மூன்றாவது).

பகுதியளவு இயற்கணித வெளிப்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்கள் பெரும்பாலும் அவற்றை வடிவத்தில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதாகும். இயற்கணித பின்னம். பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டறிய, பின்னங்களின் வகுப்பினரின் காரணியாக்கம் பயன்படுத்தப்படுகிறது - அவற்றின் குறைந்தபட்ச பொதுவான பெருக்கத்தைக் கண்டறியும் சொற்கள். இயற்கணித பின்னங்களைக் குறைக்கும் போது, ​​வெளிப்பாடுகளின் கடுமையான அடையாளம் மீறப்படலாம்: குறைப்பு செய்யப்படும் காரணி பூஜ்ஜியமாக மாறும் அளவுகளின் மதிப்புகளை விலக்குவது அவசியம்.

பகுதியளவு இயற்கணித வெளிப்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களின் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1: ஒரு வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்

அனைத்து சொற்களையும் பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கலாம் (கடைசி காலத்தின் வகுப்பில் உள்ள அடையாளத்தையும் அதன் முன் உள்ள அடையாளத்தையும் மாற்றுவது வசதியானது):

இந்த மதிப்புகளைத் தவிர அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் எங்கள் வெளிப்பாடு ஒன்றுக்கு சமம்; இது வரையறுக்கப்படாதது மற்றும் பகுதியைக் குறைப்பது சட்டவிரோதமானது).

எடுத்துக்காட்டு 2. வெளிப்பாட்டை ஒரு இயற்கணித பின்னமாக குறிப்பிடவும்

தீர்வு. வெளிப்பாடு ஒரு பொதுவான வகுப்பாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். நாம் வரிசையாகக் காண்கிறோம்:

பயிற்சிகள்

1. குறிப்பிட்ட அளவுரு மதிப்புகளுக்கான இயற்கணித வெளிப்பாடுகளின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்:

2. காரணியாக்கு.

சில இயற்கணித எடுத்துக்காட்டுகள் மட்டுமே பள்ளி மாணவர்களை பயமுறுத்துகின்றன. நீண்ட வெளிப்பாடுகள் பயமுறுத்துவது மட்டுமல்லாமல், கணக்கீடுகளை மிகவும் கடினமாக்குகின்றன. பின்வருவனவற்றை உடனடியாகப் புரிந்துகொள்ள முயற்சித்தால், குழப்பமடைய அதிக நேரம் எடுக்காது. இந்த காரணத்திற்காகவே, கணிதவியலாளர்கள் எப்போதும் ஒரு "பயங்கரமான" சிக்கலை முடிந்தவரை எளிமைப்படுத்த முயற்சி செய்கிறார்கள், அதன் பிறகுதான் அதைத் தீர்க்கத் தொடங்குகிறார்கள். விந்தை போதும், இந்த தந்திரம் கணிசமாக வேலை செயல்முறையை துரிதப்படுத்துகிறது.

இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை புள்ளிகளில் ஒன்று எளிமைப்படுத்தல். எளிமையான சிக்கல்களில் நீங்கள் அதை இல்லாமல் செய்ய முடிந்தால், உதாரணங்களை கணக்கிடுவது மிகவும் கடினமாக இருக்கும். இங்குதான் இந்தத் திறமைகள் கைக்கு வரும்! மேலும், சிக்கலான கணித அறிவு தேவையில்லை: நடைமுறையில் சில அடிப்படை நுட்பங்கள் மற்றும் சூத்திரங்களை நினைவில் வைத்துக் கொள்ள கற்றுக்கொள்வது போதுமானது.

கணக்கீடுகளின் சிக்கலான தன்மையைப் பொருட்படுத்தாமல், எந்தவொரு வெளிப்பாட்டையும் தீர்க்கும்போது அது முக்கியமானது எண்களுடன் செயல்பாடுகளைச் செய்யும் வரிசையைப் பின்பற்றவும்:

1. அடைப்புக்குறிகள்;
2. விரிவாக்கம்;
3. பெருக்கல்;
4. பிரிவு;
5. கூடுதலாக;
6. கழித்தல்.

கடைசி இரண்டு புள்ளிகளை எளிதாக மாற்றலாம் மற்றும் இது எந்த வகையிலும் முடிவை பாதிக்காது. ஆனால் ஒன்றுக்கு அடுத்ததாக ஒரு பெருக்கல் அடையாளம் இருக்கும் போது இரண்டு அடுத்தடுத்த எண்களைச் சேர்ப்பது முற்றிலும் தடைசெய்யப்பட்டுள்ளது! பதில், ஏதேனும் இருந்தால், தவறானது. எனவே, நீங்கள் வரிசையை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

அத்தகைய பயன்பாடு

அத்தகைய உறுப்புகளில் ஒரே வரிசை அல்லது அதே அளவு மாறி கொண்ட எண்கள் அடங்கும். அவர்களுக்கு அடுத்ததாக இல்லாத இலவச உறுப்பினர்கள் என்று அழைக்கப்படுபவர்களும் உள்ளனர் கடிதம் பதவிதெரியவில்லை.

புள்ளி அடைப்புக்குறிகள் இல்லாத நிலையில் உள்ளது ஒத்ததைக் கூட்டி அல்லது கழிப்பதன் மூலம் வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கலாம்.

சில விளக்க எடுத்துக்காட்டுகள்:

• 8x 2 மற்றும் 3x 2 - இரண்டு எண்களும் ஒரே மாதிரியான இரண்டாவது வரிசை மாறியைக் கொண்டுள்ளன, எனவே அவை ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், மேலும் அவை (8+3)x 2 =11x 2 ஆக எளிமைப்படுத்தப்படுகின்றன, அதே சமயம் கழிக்கும்போது அவை (8-3)x 2 =5x கிடைக்கும். 2 ;
• 4x 3 மற்றும் 6x - இங்கே “x” வெவ்வேறு டிகிரிகளைக் கொண்டுள்ளது;
• 2y 7 மற்றும் 33x 7 - வெவ்வேறு மாறிகள் உள்ளன, எனவே, முந்தைய வழக்கில், அவை ஒத்ததாக இல்லை.

எண்ணை காரணியாக்குதல்

இந்த சிறிய கணித தந்திரம், நீங்கள் அதை சரியாகப் பயன்படுத்தக் கற்றுக்கொண்டால், எதிர்காலத்தில் ஒரு தந்திரமான சிக்கலைச் சமாளிக்க ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை உங்களுக்கு உதவும். "அமைப்பு" எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது கடினம் அல்ல: சிதைவு என்பது பல தனிமங்களின் விளைபொருளாகும், அதன் கணக்கீடு அசல் மதிப்பை அளிக்கிறது. எனவே 20ஐ 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 அல்லது வேறு வழிகளில் குறிப்பிடலாம்.

ஒரு குறிப்பில்: காரணிகள் எப்பொழுதும் வகுபவர்களைப் போலவே இருக்கும். எனவே அசல் எஞ்சியாமல் வகுக்கக்கூடிய எண்களுக்கு இடையில் சிதைவதற்கு வேலை செய்யும் "ஜோடி" ஒன்றை நீங்கள் தேட வேண்டும்.

இந்த செயல்பாடு இலவச விதிமுறைகள் மற்றும் மாறியில் உள்ள எண்கள் இரண்டிலும் செய்யப்படலாம். முக்கிய விஷயம், கணக்கீடுகளின் போது பிந்தையதை இழக்கக்கூடாது - கூட சிதைந்த பிறகு, தெரியாதவர்கள் "எங்கும் செல்ல முடியாது." இது பெருக்கிகளில் ஒன்றில் உள்ளது:

• 15x=3(5x);
• 60y 2 = (15y 2)4.

தங்களால் மட்டுமே வகுக்கப்படக்கூடிய முதன்மை எண்கள் அல்லது 1 விரிவடையாது - இது அர்த்தமற்றது.

எளிமைப்படுத்துவதற்கான அடிப்படை முறைகள்

உங்கள் கண்ணில் படும் முதல் விஷயம்:

• அடைப்புக்குறிக்குள் இருப்பது;
• பின்னங்கள்;
• வேர்கள்.

பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் இயற்கணித எடுத்துக்காட்டுகள் பெரும்பாலும் அழகாக எளிமைப்படுத்தப்படலாம் என்ற எண்ணத்துடன் எழுதப்படுகின்றன.

அடைப்புக்குறிக்குள் கணக்கீடுகள்

அடைப்புக்குறிக்கு முன்னால் உள்ள அடையாளத்தை உன்னிப்பாகக் கவனியுங்கள்!உள்ளே உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் பெருக்கல் அல்லது வகுத்தல் பயன்படுத்தப்படும், மேலும் ஒரு கழித்தல் குறி ஏற்கனவே உள்ள "+" அல்லது "-" குறிகளை மாற்றும்.

அடைப்புக்குறிகள் விதிகளின்படி கணக்கிடப்படுகின்றன அல்லது சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகின்றன, அதன் பிறகு ஒத்தவை வழங்கப்படுகின்றன.

பின்னங்களைக் குறைத்தல்

பின்னங்களைக் குறைக்கவும்இதுவும் எளிதானது. அத்தகைய உறுப்பினர்களைக் கொண்டுவருவதற்கான நடவடிக்கைகள் மேற்கொள்ளப்பட்டவுடன், அவர்களே ஒவ்வொரு முறையும் "விருப்பத்துடன் ஓடிவிடுகிறார்கள்". ஆனால் அதற்கு முன்பே நீங்கள் உதாரணத்தை எளிதாக்கலாம்: எண் மற்றும் வகுப்பிற்கு கவனம் செலுத்துங்கள். அவை பெரும்பாலும் பரஸ்பரம் குறைக்கக்கூடிய வெளிப்படையான அல்லது மறைக்கப்பட்ட கூறுகளைக் கொண்டிருக்கின்றன. உண்மை, முதல் வழக்கில் நீங்கள் தேவையற்றதைக் கடக்க வேண்டும் என்றால், இரண்டாவதாக நீங்கள் சிந்திக்க வேண்டும், வெளிப்பாட்டின் ஒரு பகுதியை எளிமைப்படுத்த வடிவத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும். பயன்படுத்தப்படும் முறைகள்:

• எண் மற்றும் வகுப்பின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியைத் தேடுதல் மற்றும் அடைப்புக்குறி செய்தல்;
• ஒவ்வொரு மேல் உறுப்புகளையும் வகுப்பினால் வகுத்தல்.

ஒரு வெளிப்பாடு அல்லது அதன் பகுதி வேரின் கீழ் இருக்கும்போது, எளிமைப்படுத்துதலின் முதன்மைப் பணியானது பின்னங்களின் வழக்கைப் போலவே உள்ளது. அதை முற்றிலுமாக அகற்றுவதற்கான வழிகளைத் தேடுவது அவசியம் அல்லது, இது முடியாவிட்டால், கணக்கீடுகளில் குறுக்கிடும் அடையாளத்தைக் குறைக்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, தடையற்ற √(3) அல்லது √(7) வரை.

ஒரு தீவிரமான வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குவதற்கான ஒரு உறுதியான வழி, அதை காரணியாக்க முயற்சிப்பதாகும், அவற்றில் சில அடையாளத்திற்கு அப்பால் நீண்டுள்ளன. ஒரு விளக்க உதாரணம்: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

மற்ற சிறிய தந்திரங்கள் மற்றும் நுணுக்கங்கள்:

• இந்த எளிமைப்படுத்தல் செயல்பாடு பின்னங்களுடன் மேற்கொள்ளப்படலாம், அதை அடையாளத்திலிருந்து ஒட்டுமொத்தமாகவும் தனித்தனியாகவும் எண் அல்லது வகுப்பாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்;
• கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் ஒரு பகுதியை ரூட்டிற்கு அப்பால் விரிவாக்கி எடுக்க முடியாது;
• மாறிகளுடன் பணிபுரியும் போது, ​​​​அதன் பட்டத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும், அது ரூட்டிற்கு சமமாகவோ அல்லது பல மடங்குகளாகவோ இருக்க வேண்டும்: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3 )=√(x 2 ×x)=x√( x);
• சில நேரங்களில் தீவிர மாறியை ஒரு பகுதியளவு சக்தியாக உயர்த்துவதன் மூலம் அகற்ற முடியும்: √(y 3)=y 3/2.

சக்தி வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்குதல்

மைனஸ் அல்லது பிளஸ் மூலம் எளிய கணக்கீடுகளில், ஒரே மாதிரியானவற்றை மேற்கோள் காட்டி எடுத்துக்காட்டுகள் எளிமைப்படுத்தப்பட்டால், வெவ்வேறு சக்திகளைக் கொண்ட மாறிகளைப் பெருக்கும்போது அல்லது வகுத்தால் என்ன செய்வது? இரண்டு முக்கிய விஷயங்களை நினைவில் வைத்துக் கொள்வதன் மூலம் அவற்றை எளிதாக எளிதாக்கலாம்:

1. மாறிகளுக்கு இடையில் ஒரு பெருக்கல் அடையாளம் இருந்தால், சக்திகள் சேர்க்கப்படும்.
2. அவை ஒன்றோடொன்று வகுக்கப்படும்போது, ​​வகுப்பின் அதே சக்தியானது எண்ணின் சக்தியிலிருந்து கழிக்கப்படுகிறது.

அத்தகைய எளிமைப்படுத்தலுக்கான ஒரே நிபந்தனை என்னவென்றால், இரண்டு சொற்களும் ஒரே அடிப்படையைக் கொண்டுள்ளன. தெளிவுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

மாறிகளுக்கு முன்னால் எண் மதிப்புகளைக் கொண்ட செயல்பாடுகள் வழக்கமான கணித விதிகளின்படி நிகழ்கின்றன என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். நீங்கள் உற்று நோக்கினால், "வேலை" என்ற வெளிப்பாட்டின் சக்தி கூறுகள் இதேபோல் தெளிவாகிறது:

• ஒரு சொல்லை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவது என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான முறை, அதாவது x 2 =x×x;
• வகுத்தல் ஒத்ததாகும்: நீங்கள் எண் மற்றும் வகுப்பின் சக்திகளை விரிவுபடுத்தினால், சில மாறிகள் ரத்து செய்யப்படும், மீதமுள்ளவை "சேகரிக்கப்பட்டவை", இது கழிப்பிற்கு சமம்.

எதையும் போலவே, இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குவதற்கு அடிப்படைகள் பற்றிய அறிவு மட்டுமல்ல, பயிற்சியும் தேவைப்படுகிறது. ஒரு சில பாடங்களுக்குப் பிறகு, ஒரு காலத்தில் சிக்கலானதாகத் தோன்றிய எடுத்துக்காட்டுகள் அதிக சிரமமின்றி குறைக்கப்பட்டு, குறுகிய மற்றும் எளிதில் தீர்க்கக்கூடியதாக மாறும்.

காணொளி

வெளிப்பாடுகள் எவ்வாறு எளிமைப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதைப் புரிந்துகொள்ளவும் நினைவில் கொள்ளவும் இந்த வீடியோ உதவும்.

உங்கள் கேள்விக்கு பதில் கிடைக்கவில்லையா? ஆசிரியர்களுக்கு ஒரு தலைப்பைப் பரிந்துரைக்கவும்.

இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்துவதும் ஒன்று முக்கிய புள்ளிகள்இயற்கணிதம் கற்றல் மற்றும் அனைத்து கணிதவியலாளர்களுக்கும் மிகவும் பயனுள்ள திறன். எளிமைப்படுத்தல், சிக்கலான அல்லது நீண்ட வெளிப்பாட்டை எளிதாக வேலை செய்யக்கூடிய எளிய வெளிப்பாடாகக் குறைக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. கணிதத்தில் ஆர்வமில்லாதவர்களுக்கும் எளிமைப்படுத்துவதற்கான அடிப்படை திறன்கள் நல்லது. சில எளிய விதிகளைப் பின்பற்றுவதன் மூலம், எந்தவொரு சிறப்பு கணித அறிவும் இல்லாமல் நீங்கள் மிகவும் பொதுவான வகை இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கலாம்.

படிகள்

முக்கியமான வரையறைகள்

1. இதே போன்ற உறுப்பினர்கள்.இவை ஒரே வரிசையின் மாறியைக் கொண்ட உறுப்பினர்கள், அதே மாறிகளைக் கொண்ட உறுப்பினர்கள் அல்லது இலவச உறுப்பினர்கள் (மாறியைக் கொண்டிருக்காத உறுப்பினர்கள்). வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரே மாதிரியான சொற்கள் ஒரே அளவுக்கு ஒரே மாறியை உள்ளடக்குகின்றன, ஒரே மாதிரியான பல மாறிகளை உள்ளடக்குகின்றன அல்லது ஒரு மாறியை சேர்க்க வேண்டாம். வெளிப்பாட்டின் விதிமுறைகளின் வரிசை முக்கியமில்லை.

   • எடுத்துக்காட்டாக, 3x 2 மற்றும் 4x 2 ஆகியவை ஒரே மாதிரியான சொற்களாகும், ஏனெனில் அவை இரண்டாவது வரிசை (இரண்டாவது சக்திக்கு) மாறி "x" ஐக் கொண்டிருக்கின்றன. இருப்பினும், x மற்றும் x2 ஆகியவை ஒரே மாதிரியான சொற்கள் அல்ல, ஏனெனில் அவை வெவ்வேறு ஆர்டர்களின் (முதல் மற்றும் இரண்டாவது) மாறி “x” ஐக் கொண்டிருக்கின்றன. அதேபோல், -3yx மற்றும் 5xz ஆகியவை ஒரே மாதிரியான சொற்கள் அல்ல, ஏனெனில் அவை வெவ்வேறு மாறிகளைக் கொண்டிருக்கின்றன.

2. காரணியாக்கம்.இது அசல் எண்ணுக்கு வழிவகுக்கும் எண்களைக் கண்டறிகிறது. எந்த அசல் எண்ணும் பல காரணிகளைக் கொண்டிருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 12 என்ற எண்ணை பின்வரும் காரணிகளின் வரிசையாகக் கணக்கிடலாம்: 1 × 12, 2 × 6 மற்றும் 3 × 4, எனவே எண்கள் 1, 2, 3, 4, 6 மற்றும் 12 காரணிகள் என்று கூறலாம். எண் 12. காரணிகள் காரணிகளைப் போலவே இருக்கும், அதாவது அசல் எண் வகுக்கப்படும் எண்கள்.

   • எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் 20 என்ற எண்ணைக் கணக்கிட விரும்பினால், அதை இப்படி எழுதவும்: 4×5.
   • காரணியாக்கும்போது, ​​மாறி கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. உதாரணமாக, 20x = 4(5x).
   • முதன்மை எண்களை காரணியாக்க முடியாது, ஏனெனில் அவை தங்களால் மட்டுமே வகுபடும் மற்றும் 1.

3. தவறுகளைத் தவிர்க்க நடவடிக்கைகளின் வரிசையை நினைவில் வைத்து பின்பற்றவும்.

   • அடைப்புக்குறிகள்
   • பட்டம்
   • பெருக்கல்
   • பிரிவு
   • கூட்டல்
   • கழித்தல்

   ஒத்த உறுப்பினர்களை கொண்டு வருதல்

   1. வெளிப்பாட்டை எழுதுங்கள்.எளிய இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் (பின்னங்கள், வேர்கள் போன்றவை இல்லாதவை) சில படிகளில் (எளிமைப்படுத்தப்பட்டவை) தீர்க்கப்படும்.

      • எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள் 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. ஒத்த சொற்களை வரையறுக்கவும் (ஒரே வரிசையின் மாறியுடன் கூடிய விதிமுறைகள், அதே மாறிகள் கொண்ட விதிமுறைகள் அல்லது இலவச விதிமுறைகள்).

      • இந்த வெளிப்பாட்டில் ஒத்த சொற்களைக் கண்டறியவும். 2x மற்றும் 4x என்ற சொற்கள் ஒரே வரிசையின் மாறியைக் கொண்டிருக்கின்றன (முதல்). மேலும், 1 மற்றும் -3 ஆகியவை இலவச சொற்கள் (மாறியைக் கொண்டிருக்க வேண்டாம்). எனவே, இந்த வெளிப்பாட்டில் விதிமுறைகள் 2x மற்றும் 4xஒத்த, மற்றும் உறுப்பினர்கள் 1 மற்றும் -3போன்றும் உள்ளன.

   3. ஒத்த உறுப்பினர்களைக் கொடுங்கள்.இதன் பொருள் அவற்றைக் கூட்டுதல் அல்லது கழித்தல் மற்றும் வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குதல்.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. கொடுக்கப்பட்ட விதிமுறைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு வெளிப்பாட்டை மீண்டும் எழுதவும்.குறைவான சொற்களைக் கொண்ட எளிய வெளிப்பாட்டைப் பெறுவீர்கள். புதிய வெளிப்பாடு அசல் ஒன்றுக்கு சமம்.

      • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில்: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, அதாவது, அசல் வெளிப்பாடு எளிமைப்படுத்தப்பட்டது மற்றும் வேலை செய்ய எளிதானது.

   5. ஒரே மாதிரியான உறுப்பினர்களைக் கொண்டுவரும் போது செயல்பாடுகளின் வரிசையைப் பின்பற்றவும்.எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், ஒத்த சொற்களை வழங்குவது எளிது. இருப்பினும், அடைப்புக்குறிக்குள் சொற்கள் இணைக்கப்பட்டு பின்னங்கள் மற்றும் வேர்கள் இருக்கும் சிக்கலான வெளிப்பாடுகளின் விஷயத்தில், அத்தகைய சொற்களைக் கொண்டுவருவது அவ்வளவு எளிதானது அல்ல. இந்த சந்தர்ப்பங்களில், செயல்பாடுகளின் வரிசையைப் பின்பற்றவும்.

      • எடுத்துக்காட்டாக, 5(3x - 1) + x(2x)/(2)) + 8 - 3x என்ற வெளிப்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இங்கே 3x மற்றும் 2x ஐ ஒரே மாதிரியான சொற்களாக உடனடியாக வரையறுத்து அவற்றை வழங்குவது தவறு, ஏனென்றால் அடைப்புக்குறிக்குள் முதலில் திறக்க வேண்டியது அவசியம். எனவே, அவர்களின் வரிசைப்படி செயல்பாடுகளைச் செய்யுங்கள்.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. இப்போது, வெளிப்பாடு கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் செயல்பாடுகளை மட்டுமே கொண்டிருக்கும் போது, ​​நீங்கள் இதே போன்ற விதிமுறைகளை கொண்டு வரலாம்.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   அடைப்புக்குறியிலிருந்து பெருக்கியை வெளியே எடுத்தல்

   1. வெளிப்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பினை (GCD) கண்டறியவும். GCD என்பது மிகப்பெரிய எண், வெளிப்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களும் பிரிக்கப்படுகின்றன.

      • எடுத்துக்காட்டாக, 9x 2 + 27x - 3 சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இந்த வழக்கில், GCD = 3, இந்த வெளிப்பாட்டின் எந்த குணகமும் 3 ஆல் வகுபடும்.

   2. வெளிப்பாட்டின் ஒவ்வொரு சொல்லையும் gcd ஆல் வகுக்கவும்.இதன் விளைவாக வரும் சொற்கள் அசல் வெளிப்பாட்டைக் காட்டிலும் சிறிய குணகங்களைக் கொண்டிருக்கும்.

      • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், வெளிப்பாட்டின் ஒவ்வொரு சொல்லையும் 3 ஆல் வகுக்கவும்.
        • 9x 2/3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • இதன் விளைவாக ஒரு வெளிப்பாடு இருந்தது 3x 2 + 9x - 1. இது அசல் வெளிப்பாட்டிற்கு சமமாக இல்லை.

   3. அசல் வெளிப்பாட்டை gcd இன் தயாரிப்புக்கும் அதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டிற்கும் சமமாக எழுதவும்.அதாவது, அடைப்புக்குறிக்குள் விளைந்த வெளிப்பாட்டை இணைத்து, gcd ஐ அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கவும்.

      • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில்: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே காரணியை வைப்பதன் மூலம் பகுதி வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குதல்.முன்பு செய்தது போல், பெருக்கியை அடைப்புக் குறிகளுக்கு வெளியே வைப்பது ஏன்? பின்னர், பகுதி வெளிப்பாடுகள் போன்ற சிக்கலான வெளிப்பாடுகளை எவ்வாறு எளிதாக்குவது என்பதை அறிய. இந்த வழக்கில், அடைப்புக்குறிக்குள் காரணியை வைப்பது பின்னத்தை (வகுப்பிலிருந்து) அகற்ற உதவும்.

      • எடுத்துக்காட்டாக, பகுதி வெளிப்பாடு (9x 2 + 27x - 3)/3 என்பதைக் கவனியுங்கள். இந்த வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்த, காரணிப்படுத்துதலைப் பயன்படுத்தவும்.
        • அடைப்புக்குறிக்குள் 3 இன் காரணியை வைக்கவும் (நீங்கள் முன்பு செய்தது போல்): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • எண் மற்றும் வகு இரண்டிலும் இப்போது 3 இருப்பதைக் கவனியுங்கள். வெளிப்பாட்டைக் கொடுக்க இதைக் குறைக்கலாம்: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • வகுப்பில் எண் 1ஐக் கொண்ட எந்தப் பின்னமும் எண்கணிதத்திற்குச் சமமாக இருப்பதால், அசல் பின்னம் வெளிப்பாடு இதை எளிதாக்குகிறது: 3x 2 + 9x - 1.

   கூடுதல் எளிமைப்படுத்தும் முறைகள்

4. ஒரு எளிய உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்: √(90). 90 என்ற எண்ணை பின்வரும் காரணிகளாகக் குறிப்பிடலாம்: 9 மற்றும் 10, மற்றும் 9 இலிருந்து நாம் வர்க்க மூலத்தை (3) எடுத்து, மூலத்தின் கீழ் இருந்து 3 ஐ எடுக்கலாம்.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. சக்திகளுடன் வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்துதல்.சில வெளிப்பாடுகள் அதிகாரங்களுடன் சொற்களின் பெருக்கல் அல்லது வகுத்தல் செயல்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கின்றன. ஒரே அடிப்படையுடன் சொற்களைப் பெருக்கும் விஷயத்தில், அவற்றின் சக்திகள் சேர்க்கப்படுகின்றன; ஒரே அடிப்படையுடன் சொற்களைப் பிரிப்பதில், அவற்றின் டிகிரி கழிக்கப்படும்.

   • எடுத்துக்காட்டாக, 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15) என்ற வெளிப்பாட்டைக் கவனியுங்கள். பெருக்கல் விஷயத்தில், சக்திகளைச் சேர்க்கவும், வகுத்தால், அவற்றைக் கழிக்கவும்.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x 7 + x 2
   • அதிகாரங்களுடன் சொற்களைப் பெருக்குவதற்கும் வகுப்பதற்குமான விதிகளின் விளக்கம் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
     • அதிகாரங்களுடன் சொற்களைப் பெருக்குவது சொற்களைத் தாங்களாகவே பெருக்குவதற்குச் சமம். எடுத்துக்காட்டாக, x 3 = x × x × x மற்றும் x 5 = x × x x × x × x, பின்னர் x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), அல்லது x 8 .
     • அதேபோல, சொற்களை டிகிரிகளால் பிரிப்பது, சொற்களை தானே பிரிப்பதற்குச் சமம். x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). எண் மற்றும் வகுப்பி இரண்டிலும் காணப்படும் ஒரே மாதிரியான சொற்களைக் குறைக்க முடியும் என்பதால், இரண்டு “x” அல்லது x 2 இன் பெருக்கல் எண்களில் இருக்கும்.

• பலருக்கு சரியான அடையாளத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் சிரமம் இருப்பதால், வெளிப்பாட்டின் விதிமுறைகளுக்கு முன் அறிகுறிகளை (பிளஸ் அல்லது மைனஸ்) எப்போதும் நினைவில் வைத்துக் கொள்ளுங்கள்.
• தேவைப்பட்டால் உதவி கேளுங்கள்!
• இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குவது எளிதானது அல்ல, ஆனால் நீங்கள் அதைத் தெரிந்து கொண்டால், அது உங்கள் வாழ்நாள் முழுவதும் பயன்படுத்தக்கூடிய திறமையாகும்.