Primer nivel

Método de intervalo. La guía definitiva (2019)

¡Solo necesitas entender este método y conocerlo como la palma de tu mano! Aunque sólo sea porque se utiliza para resolver desigualdades racionales y porque, conociendo bien este método, resolver estas desigualdades es sorprendentemente sencillo. Un poco más adelante te contaré un par de secretos sobre cómo ahorrar tiempo resolviendo estas desigualdades. Bueno, ¿estás intrigado? ¡Entonces vamos!

La esencia del método es factorizar la desigualdad en factores (repetir el tema) y determinar la ODZ y el signo de los factores, ahora lo explicaré todo. Tomemos el ejemplo más simple: .

Regiones valores aceptables() no es necesario escribir aquí, ya que no hay división por una variable y aquí no se observan radicales (raíces). Todo aquí ya está factorizado para nosotros. ¡Pero no te relajes, todo esto es para recordarte los conceptos básicos y comprender la esencia!

Digamos que no conoces el método del intervalo, ¿cómo resolverías esta desigualdad? Acérquese de forma lógica y aproveche lo que ya sabe. Primero, el lado izquierdo será mayor que cero si ambas expresiones entre paréntesis son mayores que cero o menos que cero, porque "más" por "más" da "más" y "menos" por "menos" da "más", ¿verdad? Y si los signos de las expresiones entre paréntesis son diferentes, al final el lado izquierdo será menor que cero. ¿Qué necesitamos para saber esos valores en los que las expresiones entre paréntesis serán negativas o positivas?

Necesitamos resolver una ecuación, es exactamente lo mismo que una desigualdad, solo que en lugar de un signo habrá un signo, las raíces de esta ecuación nos permitirán determinar aquellos valores límite, a partir de los cuales los factores serán mayores. o menor que cero.

Y ahora los propios intervalos. ¿Qué es un intervalo? Este es un cierto intervalo de la recta numérica, es decir, todos los números posibles contenidos entre dos números: los extremos del intervalo. No es tan fácil imaginar estos intervalos en tu cabeza, por eso es común dibujar intervalos, te lo enseñaré ahora.

Dibujamos un eje, en él se encuentra toda la serie numérica desde y hasta. En el eje se trazan puntos, los llamados ceros de la función, valores en los que la expresión es igual a cero. Estos puntos están "fijados", lo que significa que no se encuentran entre aquellos valores en los que la desigualdad es verdadera. En este caso, están pinchados porque firme la desigualdad y no, es decir, estrictamente mayor que y no mayor o igual que.

Quiero decir que no es necesario marcar el cero, esto está aquí sin círculos, pero solo para entender y orientarse a lo largo del eje. Bien, dibujamos el eje, pusimos los puntos (más precisamente, círculos), ¿qué sigue? ¿Cómo me ayudará esto a resolver? - usted pregunta. Ahora simplemente toma el valor de x de los intervalos en orden y sustitúyelo en tu desigualdad y observa en qué signo resulta la multiplicación.

En resumen, simplemente lo tomamos como ejemplo, lo sustituimos aquí, funcionará, lo que significa que la desigualdad será válida para todo el intervalo (para todo el intervalo) desde hasta, de donde la tomamos. En otras palabras, si x es de a, entonces la desigualdad es verdadera.

Hacemos lo mismo con el intervalo de hasta, tomamos o, por ejemplo, sustituimos, determinamos el signo, el signo será “menos”. Y hacemos lo mismo con el último, tercer intervalo de hasta, donde el signo resulta ser “más”. Hay mucho texto, pero no hay suficiente claridad, ¿verdad?

Eche otro vistazo a la desigualdad.

Ahora también aplicamos los signos que se obtendrán como resultado en el mismo eje. En mi ejemplo, una línea discontinua denota las secciones positiva y negativa del eje.

Mira la desigualdad - el dibujo, nuevamente la desigualdad - y nuevamente el dibujo¿Hay algo claro? Ahora intenta decir en qué intervalos X la desigualdad será cierta. Así es, desde hasta la desigualdad también será cierta desde hasta, pero en el intervalo desde hasta la desigualdad es cero y este intervalo nos interesa poco, porque tenemos un signo en la desigualdad.

Bueno, ahora que lo has descubierto, ¡solo te queda escribir la respuesta! En respuesta, escribimos aquellos intervalos para los cuales el lado izquierdo es mayor que cero, lo que se lee como X pertenece al intervalo de menos infinito a menos uno y de dos a más infinito. Vale aclarar que los paréntesis significan que los valores por los cuales se limita el intervalo no son soluciones a la desigualdad, es decir, no están incluidos en la respuesta, sino que solo indican que hasta, por ejemplo, no es un solución.

Ahora un ejemplo en el que no solo tendrás que dibujar el intervalo:

¿Qué crees que hay que hacer antes de poner puntos en el eje? Sí, factorízalo en factores:

Dibujamos intervalos y colocamos signos, fíjate que hemos pinchado puntos porque el signo es estrictamente menor que cero:

¡Es hora de contarte un secreto que te prometí al principio de este tema! ¿Qué pasaría si te dijera que no tienes que sustituir los valores de cada intervalo para determinar el signo, sino que puedes determinar el signo en uno de los intervalos y simplemente alternar los signos en el resto?

Por lo tanto, ahorramos un poco de tiempo al colocar carteles. ¡Creo que este tiempo ganado en el Examen Estatal Unificado no vendrá mal!

Escribimos la respuesta:

Consideremos ahora un ejemplo de desigualdad racional fraccionaria: una desigualdad en la que ambos lados son expresiones racionales(cm. ).

¿Qué puedes decir sobre esta desigualdad? Y lo miras como una ecuación fraccionaria-racional, ¿qué hacemos primero? Inmediatamente vemos que no hay raíces, lo que significa que es definitivamente racional, pero luego es una fracción, ¡e incluso con una incógnita en el denominador!

Así es, ¡necesitamos ODZ!

Entonces, vayamos más allá, aquí todos los factores menos uno tienen una variable de primer grado, pero hay un factor donde x tiene una variable de segundo grado. Por lo general, nuestro signo cambió después de pasar por uno de los puntos en los que el lado izquierdo de la desigualdad toma un valor cero, para lo cual determinamos a qué debería ser igual x en cada factor. Pero aquí siempre es positivo, porque cualquier número al cuadrado > cero y un término positivo.

¿Crees que esto afectará el significado de desigualdad? Así es, ¡no afectará! Podemos dividir con seguridad la desigualdad en ambas partes y así eliminar este factor para que no sea una monstruosidad.

Ha llegado el momento de dibujar los intervalos, para ello es necesario determinar aquellos valores límite a partir de los cuales los multiplicadores serán mayores y menores que cero. Pero tenga en cuenta que aquí hay un signo, lo que significa que no seleccionaremos el punto en el que el lado izquierdo de la desigualdad toma un valor cero, está incluido en el número de soluciones, solo tenemos uno de esos puntos, este es el punto donde x es igual a uno. ¿Coloreamos el punto donde el denominador es negativo? - ¡Por supuesto que no!

El denominador no debe ser cero, por lo que el intervalo quedará así:

Usando este diagrama, puedes escribir fácilmente la respuesta, solo diré que ahora tienes un nuevo tipo de soporte a tu disposición: ¡cuadrado! Aquí hay un soporte [ dice que el valor está incluido en el intervalo de solución, es decir es parte de la respuesta, este corchete corresponde a un punto relleno (no fijado) en el eje.

Entonces, ¿obtuviste la misma respuesta?

Lo descomponemos en factores y lo movemos todo a un lado; después de todo, solo necesitamos dejar cero a la derecha para compararlo:

Llamo su atención sobre el hecho de que en la última transformación, para obtener tanto en el numerador como en el denominador, multiplico ambos lados de la desigualdad por. Recuerda que cuando se multiplican ambos lados de una desigualdad por, ¡¡¡el signo de la desigualdad cambia al opuesto!!!

Escribimos ODZ:

De lo contrario, el denominador irá a cero y, como recordará, ¡no se puede dividir por cero!

De acuerdo, ¡la desigualdad resultante es tentadora a reducir el numerador y el denominador! Esto no se puede hacer; ¡puedes perder algunas de las decisiones o ODZ!

Ahora intenta poner tú mismo los puntos en el eje. Solo señalaré que al trazar puntos, es necesario prestar atención al hecho de que un punto con un valor que, según el signo, parecería estar trazado en el eje como sombreado, no estará sombreado, será arrancado! ¿Por qué lo preguntas? Y recuerda el ODZ, ¿no vas a dividir así por cero?

Recuerde, ¡ODZ es lo primero! Si todas las desigualdades y signos de igualdad dicen una cosa y la ODZ dice otra, ¡confía en la ODZ, grande y poderosa! Bueno, construyeste los intervalos, estoy seguro de que entendiste mi sugerencia sobre la alternancia y lo obtuviste así (ver imagen a continuación). ¡Ahora táchalo y no vuelvas a cometer ese error! ¿Qué error? - usted pregunta.

El caso es que en esta desigualdad el factor se repitió dos veces (¿recuerdas cómo intentaste reducirlo?). Entonces, si algún factor se repite en la desigualdad número par veces, entonces al pasar por un punto en el eje que convierte este factor a cero (en este caso un punto), el signo no cambiará; si es impar, ¡entonces el signo cambia!

Será correcto el siguiente eje con intervalos y signos:

Y tenga en cuenta que el signo que nos interesa no es el que estaba al principio (cuando vimos la desigualdad por primera vez, el signo estaba ahí), después de las transformaciones, el signo cambió a, lo que significa que estamos interesados ​​en intervalos. con una señal.

Respuesta:

También diré que hay situaciones en las que hay raíces de desigualdad que no están incluidas en ningún intervalo, en respuesta se escriben entre llaves, así, por ejemplo: . Puede leer más sobre este tipo de situaciones en el artículo Nivel medio.

Resumamos cómo resolver desigualdades usando el método de intervalo:

1. Movemos todo hacia el lado izquierdo, dejando solo cero a la derecha;
2. Encontramos ODZ;
3. Trazamos todas las raíces de la desigualdad en el eje;
4. Tomamos uno arbitrario de uno de los intervalos y determinamos el signo en el intervalo al que pertenece la raíz, alternamos los signos, prestando atención a las raíces que se repiten varias veces en la desigualdad; depende si el signo cambia al pasar por ellas. de la paridad o imparidad del número de veces que se repiten o no;
5. En respuesta, escribimos intervalos, observando los puntos perforados y no perforados (ver ODZ), colocando los tipos de paréntesis necesarios entre ellos.

Y por último, nuestra sección favorita, ¡“hazlo tú mismo”!

Ejemplos:

Respuestas:

MÉTODO DE INTERVALO. NIVEL PROMEDIO

Función lineal

Una función de la forma se llama lineal. Tomemos una función como ejemplo. Es positivo en y negativo en. El punto es el cero de la función (). Mostremos los signos de esta función en el eje numérico:

Decimos que “la función cambia de signo al pasar por el punto”.

Se puede observar que los signos de la función corresponden a la posición de la gráfica de la función: si la gráfica está arriba del eje, el signo es “ ”, si debajo está “ ”.

Si generalizamos la regla resultante a un valor arbitrario función lineal, obtenemos el siguiente algoritmo:

• Encontrar el cero de la función;
• Lo marcamos en el eje numérico;
• Determinamos el signo de la función mediante lados diferentes desde cero.

Función cuadrática

Espero que recuerdes cómo resolver desigualdades cuadráticas. Si no, lee el tema. Déjame recordarte la forma general de una función cuadrática: .

Ahora recordemos qué signos toma la función cuadrática. Su gráfica es una parábola, y la función toma el signo " " para aquellas en las que la parábola está por encima del eje, y " " - si la parábola está por debajo del eje:

Si una función tiene ceros (valores en los cuales), la parábola cruza el eje en dos puntos: las raíces de la correspondiente ecuación cuadrática. Así, el eje se divide en tres intervalos y los signos de la función cambian alternativamente al pasar por cada raíz.

¿Es posible determinar de alguna manera los signos sin dibujar una parábola cada vez?

Recordemos que un trinomio cuadrado se puede factorizar:

Por ejemplo: .

Marquemos las raíces en el eje:

Recordemos que el signo de una función sólo puede cambiar al pasar por la raíz. Usemos este hecho: para cada uno de los tres intervalos en los que se divide el eje por raíces, basta con determinar el signo de la función en un solo punto elegido arbitrariamente: en los puntos restantes del intervalo el signo será el mismo .

En nuestro ejemplo: en ambas expresiones entre paréntesis son positivas (sustituya, por ejemplo :). Ponemos un signo “ ” en el eje:

Bueno, cuando (sustituir, por ejemplo), ambos paréntesis son negativos, significa que el producto es positivo:

Eso es lo que es método de intervalo: conociendo los signos de los factores en cada intervalo, determinamos el signo del producto completo.

Consideremos también los casos en los que la función no tiene ceros o solo uno.

Si no están ahí, entonces no hay raíces. Esto significa que no habrá “paso por la raíz”. Esto significa que la función toma solo un signo en toda la recta numérica. Se puede determinar fácilmente sustituyéndolo en una función.

Si solo hay una raíz, la parábola toca el eje, por lo que el signo de la función no cambia al pasar por la raíz. ¿Qué regla se nos ocurre para tales situaciones?

Si factorizas dicha función, obtienes dos factores idénticos:

¡Y cualquier expresión al cuadrado no es negativa! Por tanto, el signo de la función no cambia. En tales casos, resaltaremos la raíz, al pasar por la cual el signo no cambia, rodeándola con un cuadrado:

A esa raíz la llamaremos múltiplo.

Método de intervalo en desigualdades.

Ahora cualquier desigualdad cuadrática se puede resolver sin dibujar una parábola. Basta con colocar los signos de la función cuadrática en el eje y seleccionar intervalos según el signo de la desigualdad. Por ejemplo:

Midamos las raíces en el eje y coloquemos los signos:

Necesitamos la parte del eje con el signo " "; Como la desigualdad no es estricta, las raíces mismas también se incluyen en la solución:

Consideremos ahora una desigualdad racional, una desigualdad cuyos dos lados son expresiones racionales (ver).

Ejemplo:

Todos los factores excepto uno son aquí "lineales", es decir, contienen una variable sólo a la primera potencia. Necesitamos tales factores lineales para aplicar el método del intervalo: el signo cambia al pasar por sus raíces. Pero el multiplicador no tiene ninguna raíz. Esto significa que siempre es positivo (compruébelo usted mismo) y, por lo tanto, no afecta el signo de toda la desigualdad. Esto significa que podemos dividir los lados izquierdo y derecho de la desigualdad por ella y así deshacernos de ella:

Ahora todo es igual que con las desigualdades cuadráticas: determinamos en qué puntos cada uno de los factores se vuelve cero, marcamos estos puntos en el eje y ordenamos los signos. Me gustaría llamar su atención sobre un hecho muy importante:

Respuesta: . Ejemplo: .

Para aplicar el método del intervalo, una de las partes de la desigualdad debe tener. Por tanto, muevamos el lado derecho hacia la izquierda:

El numerador y el denominador tienen el mismo factor, ¡pero no te apresures a reducirlo! Después de todo, es posible que nos olvidemos de señalar este punto. Es mejor marcar esta raíz como múltiple, es decir, al pasar por ella el signo no cambiará:

Respuesta: .

Y un ejemplo más muy ilustrativo:

Nuevamente, no cancelamos los mismos factores del numerador y denominador, porque si lo hacemos, tendremos que acordarnos específicamente de perforar el punto.

• : repetidas veces;
• : veces;
• : veces (en el numerador y uno en el denominador).

En el caso de un número par hacemos lo mismo que antes: rodeamos el punto con un cuadrado y no cambiamos de signo al pasar por la raíz. Pero en el caso de un número impar, esta regla no se aplica: el signo seguirá cambiando al pasar por la raíz. Por lo tanto, no hacemos nada adicional con dicha raíz, como si no fuera un múltiplo. Las reglas anteriores se aplican a todas las potencias pares e impares.

¿Qué debemos escribir en la respuesta?

Si se viola la alternancia de signos, hay que tener mucho cuidado, porque si la desigualdad no es estricta, la respuesta debe incluir todos los puntos sombreados. Pero algunos de ellos suelen estar separados, es decir, no están incluidos en el área sombreada. En este caso, los sumamos a la respuesta como puntos aislados (entre llaves):

Ejemplos (decide por ti mismo):

Respuestas:

1. Si entre los factores es simple, es raíz, porque se puede representar como.
   .

MÉTODO DE INTERVALO. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

El método del intervalo se utiliza para resolver desigualdades racionales. Consiste en determinar el signo del producto a partir de los signos de los factores en varios intervalos.

Algoritmo para resolver desigualdades racionales mediante el método de intervalos.

• Movemos todo hacia el lado izquierdo, dejando solo cero a la derecha;
• Encontramos ODZ;
• Trazamos todas las raíces de la desigualdad en el eje;
• Tomamos uno arbitrario de uno de los intervalos y determinamos el signo en el intervalo al que pertenece la raíz, alternamos los signos, prestando atención a las raíces que se repiten varias veces en la desigualdad; depende si el signo cambia al pasar por ellas. de la paridad o imparidad del número de veces que se repiten o no;
• En respuesta, escribimos intervalos, observando los puntos perforados y no perforados (ver ODZ), colocando los tipos de paréntesis necesarios entre ellos.

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Cómo resolver desigualdades usando el método de intervalo (algoritmo con ejemplos)

Ejemplo . (tarea de la OGE) Resuelve la desigualdad usando el método del intervalo \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Solución:

Respuesta : \((7;7+\sqrt(11))\)

Ejemplo . Resuelve la desigualdad usando el método del intervalo \(≥0\)
Solución:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7.5))\)\(≥0\)		Aquí, a primera vista, todo parece normal y la desigualdad inicialmente adquiere la forma deseada. Pero esto no es así; después de todo, en el primer y tercer paréntesis del numerador, la x aparece con un signo menos. Transformamos los corchetes teniendo en cuenta el hecho de que el cuarto grado es par (es decir, eliminará el signo menos) y el tercero es impar (es decir, no eliminará). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Como esto. Ahora devolvemos los corchetes “en su lugar” ya transformados.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7.5))\)\(≥0\)		Ahora todos los paréntesis se ven como deberían (el nombre sin firmar aparece primero y luego el número). Pero apareció un menos delante del numerador. Lo eliminamos multiplicando la desigualdad por \(-1\), sin olvidar invertir el signo de comparación.
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7.5))\)\(≤0\)		Listo. Ahora la desigualdad luce como debería. Puedes utilizar el método del intervalo.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7.5\)		Coloquemos puntos en el eje, signos y pintemos en los intervalos necesarios.
		En el intervalo de \(4\) a \(6\), no es necesario cambiar el signo, porque el paréntesis \((x-6)\) está elevado a una potencia par (ver punto 4 del algoritmo) . La bandera será un recordatorio de que el seis también es una solución a la desigualdad. Anotemos la respuesta.

Respuesta : \((-∞;7,5]∪[-6,4]∪\left\(6\right\)\)

Ejemplo.(Asignación de la OGE) Resuelve la desigualdad usando el método del intervalo \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Solución:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Hay idénticos a la izquierda y a la derecha; claramente esto no es una coincidencia. El primer deseo es dividir por \(-x^2-64\), pero esto es un error, porque existe la posibilidad de perder la raíz. En su lugar, mueva \(64(-x^2-64)\) hacia la izquierda
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Saquemos el menos del primer paréntesis y factoricemos el segundo.
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Tenga en cuenta que \(x^2\) es igual a cero o mayor que cero. Esto significa que \(x^2+64\) es únicamente positivo para cualquier valor de x, es decir, esta expresión no afecta el signo del lado izquierdo de ninguna manera. Por lo tanto, podemos dividir con seguridad ambos lados de la desigualdad por esta expresión. También dividimos la desigualdad por \(-1\) para eliminar el signo menos.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Ahora puedes usar el método del intervalo.
\(x=8;\) \(x=-8\)		Anotemos la respuesta

Respuesta : \((-∞;-8]∪∪(3)∪ (no definimos el signo en el intervalo (−6, 4), ya que no es parte del dominio de definición de la función). Para ello, toma un punto de cada intervalo, por ejemplo, 16, 8, 6 y −8, y calcula el valor de la función f en ellos:

Si tiene preguntas sobre cómo se descubrió cuáles son los valores calculados de la función, positivos o negativos, estudie el material del artículo. comparación de números.

Colocamos los signos recién definidos y aplicamos sombreado sobre los espacios con signo menos:

En la respuesta escribimos la unión de dos intervalos con el signo −, tenemos (−∞, −6]∪(7, 12). Observa que −6 está incluido en la respuesta (el punto correspondiente es sólido, no perforado) El hecho es que este no es el cero de la función (que, al resolver una desigualdad estricta, no incluiríamos en la respuesta), sino el punto límite del dominio de definición (está coloreado, no negro), y se incluye en el dominio de la definición. El valor de la función en este punto es negativo (como lo demuestra el signo menos en el intervalo correspondiente), es decir, satisface la desigualdad. Pero no es necesario incluir 4 en la respuesta (como así como todo el intervalo ∪(7, 12) .

Bibliografía.

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2. Mordkovich A.G.Álgebra. Noveno grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01752-3.
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