fracciones

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

Las fracciones no son una gran molestia en la escuela secundaria. Siendo por el momento. Hasta que te topes con potencias con exponentes racionales y logaritmos. Y ahí... Presionas y presionas la calculadora, y muestra una visualización completa de algunos números. Hay que pensar con la cabeza como en tercer grado.

¡Finalmente descubramos las fracciones! Bueno, ¿¡cuánto puedes confundirte con ellos !? Además, todo es sencillo y lógico. Entonces, ¿cuales son los tipos de fracciones?

Tipos de fracciones. Transformaciones.

Hay tres tipos de fracciones.

1. fracciones comunes , Por ejemplo:

A veces, en lugar de una línea horizontal, ponen una barra: 1/2, 3/4, 19/5, bueno, etc. Aquí usaremos a menudo esta ortografía. El número superior se llama numerador, más bajo - denominador. Si confundes constantemente estos nombres (sucede...), repítete la frase: " Zzzzz¡recordar! Zzzzz denominador - mira zzzzz¡uh!" Mira, todo será recordado zzzz.)

El guión, ya sea horizontal o inclinado, significa división el número superior (numerador) al inferior (denominador). ¡Eso es todo! En lugar de un guión, es muy posible poner un signo de división: dos puntos.

Cuando sea posible una división completa, se debe hacer esto. Entonces, en lugar de la fracción “32/8”, es mucho más agradable escribir el número “4”. Aquellos. 32 simplemente se divide entre 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Ni siquiera me refiero a la fracción "4/1". Que también es sólo "4". Y si no es completamente divisible lo dejamos como fracción. A veces hay que hacer la operación contraria. Convierte un número entero en una fracción. Pero hablaremos de eso más adelante.

2. decimales , Por ejemplo:

Es en este formulario que deberá anotar las respuestas a las tareas "B".

3. Numeros mezclados , Por ejemplo:

Los números mixtos prácticamente no se utilizan en la escuela secundaria. Para poder trabajar con ellos, deben estar traducidos al fracciones comunes. ¡Pero definitivamente necesitas poder hacer esto! De lo contrario, te encontrarás con ese número en un problema y te congelarás... De la nada. ¡Pero recordaremos este procedimiento! Un poco más abajo.

Más versátil fracciones comunes. Empecemos por ellos. Por cierto, si una fracción contiene todo tipo de logaritmos, senos y otras letras, esto no cambia nada. En el sentido de que todo las acciones con expresiones fraccionarias no son diferentes de las acciones con fracciones ordinarias!

La propiedad principal de una fracción.

¡Entonces vamos! Para empezar, te sorprenderé. ¡Toda la variedad de transformaciones de fracciones está garantizada por una sola propiedad! así es como se llama propiedad principal de una fracción. Recordar: Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican (dividen) por el mismo número, la fracción no cambia. Aquellos:

Está claro que puedes seguir escribiendo hasta que te pongas azul. No dejes que los senos y logaritmos te confundan, los trataremos más a fondo. Lo principal es comprender que todas estas diversas expresiones son la misma fracción . 2/3.

¿Necesitamos todas estas transformaciones? ¡Y cómo! Ahora lo verás por ti mismo. Para empezar, usemos la propiedad básica de una fracción para fracciones reductoras. Parecería algo elemental. Divide el numerador y denominador por el mismo número y ¡listo! ¡Es imposible cometer un error! Pero... el hombre es un ser creativo. ¡Puedes cometer un error en cualquier lugar! Especialmente si no tienes que reducir una fracción como 5/10, sino una expresión fraccionaria con todo tipo de letras.

En la Sección especial 555 se puede leer cómo reducir fracciones de forma correcta y rápida sin hacer trabajo adicional.

¡Un estudiante normal no se molesta en dividir el numerador y el denominador por el mismo número (o expresión)! ¡Simplemente tacha todo lo que es igual arriba y abajo! Aquí es donde acecha error típico, un error, por así decirlo.

Por ejemplo, necesitas simplificar la expresión:

¡No hay nada en qué pensar aquí, tacha la letra “a” de arriba y las dos de abajo! Obtenemos:

Todo es correcto. Pero realmente te dividiste todo numerador y todo el denominador es "a". Si está acostumbrado a simplemente tachar, rápidamente puede tachar la "a" en la expresión

y conseguirlo de nuevo

Lo cual sería categóricamente falso. porque aquí todo el numerador de "a" ya está no compartido! Esta fracción no se puede reducir. Por cierto, tal reducción es, um... un serio desafío para el maestro. ¡Esto no se perdona! ¿Te acuerdas? Al reducir, es necesario dividir. todo numerador y todo ¡denominador!

Reducir fracciones hace la vida mucho más fácil. Obtendrás una fracción en alguna parte, por ejemplo 375/1000. ¿Cómo puedo seguir trabajando con ella ahora? ¿Sin calculadora? ¿¡Multiplicar, decir, sumar, cuadrar!? Y si no os da pereza, y con cuidado redujedlo en cinco, y en otros cinco, e incluso... mientras lo acortan, en fin. ¡Obtengamos 3/8! Mucho mejor, ¿verdad?

La propiedad principal de una fracción te permite convertir fracciones ordinarias a decimales y viceversa. sin calculadora! Esto es importante para el Examen Estatal Unificado, ¿verdad?

Cómo convertir fracciones de un tipo a otro.

Con fracciones decimales todo es sencillo. ¡Como se oye, así se escribe! Digamos 0,25. Esto es cero coma veinticinco centésimas. Entonces escribimos: 25/100. Reducimos (dividimos el numerador y el denominador entre 25), obtenemos la fracción habitual: 1/4. Todo. Sucede y nada se reduce. Como 0,3. Son tres décimas, es decir 3/10.

¿Qué pasa si los números enteros no son cero? Está bien. Escribimos la fracción completa. sin comas en el numerador y en el denominador, lo que se escucha. Por ejemplo: 3.17. Esto es tres coma diecisiete centésimas. Escribimos 317 en el numerador y 100 en el denominador y obtenemos 317/100. Nada se reduce, eso significa todo. Esta es la respuesta. ¡Watson elemental! De todo lo dicho, una conclusión útil: cualquier fracción decimal se puede convertir en una fracción común .

Pero algunas personas no pueden hacer la conversión inversa de ordinario a decimal sin una calculadora. ¡Y es necesario! ¿Cómo escribirás la respuesta en el Examen Estatal Unificado? Lea atentamente y domine este proceso.

¿Cuál es la característica de una fracción decimal? Su denominador es Siempre cuesta 10, o 100, o 1000, o 10000 y así sucesivamente. Si tu fracción común tiene un denominador como este, no hay problema. Por ejemplo, 4/10 = 0,4. O 7/100 = 0,07. O 12/10 = 1,2. ¿Qué pasaría si la respuesta a la tarea de la sección "B" resultara ser 1/2? ¿Qué escribiremos en respuesta? Se requieren decimales...

Recordemos propiedad principal de una fracción ! Las matemáticas te permiten multiplicar favorablemente el numerador y el denominador por el mismo número. ¡Cualquier cosa, por cierto! Excepto cero, por supuesto. ¡Así que usemos esta propiedad a nuestro favor! ¿Por qué se puede multiplicar el denominador, es decir? 2 para que se convierta en 10, o 100, o 1000 (cuanto más pequeño, mejor, por supuesto...)? A las 5, obviamente. Siéntete libre de multiplicar el denominador (esto es a nosotros necesario) por 5. Pero entonces el numerador también debe multiplicarse por 5. Esto ya es matemáticas¡demandas! Obtenemos 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Eso es todo.

Sin embargo, se encuentran todo tipo de denominadores. Te encontrarás, por ejemplo, con la fracción 3/16. Intenta descubrir por qué multiplicar 16 para obtener 100 o 1000... ¿No funciona? Luego simplemente puedes dividir 3 entre 16. A falta de calculadora, tendrás que dividir con una esquina, en una hoja de papel, como enseñaban en la escuela primaria. Obtenemos 0,1875.

Y también hay muy malos denominadores. Por ejemplo, no hay manera de convertir la fracción 1/3 en un buen decimal. Tanto en la calculadora como en una hoja de papel, obtenemos 0,3333333... Esto significa que 1/3 es una fracción decimal exacta. no traduce. Lo mismo que 1/7, 5/6 y así sucesivamente. Hay muchos de ellos, intraducibles. Esto nos lleva a otra conclusión útil. No todas las fracciones se pueden convertir a decimales. !

Por cierto, esto informacion util para autocomprobación. En el apartado “B” deberás anotar una fracción decimal en tu respuesta. Y obtuviste, por ejemplo, 4/3. Esta fracción no se convierte a decimal. ¡Esto significa que cometiste un error en algún momento del camino! Regrese y verifique la solución.

Entonces, descubrimos fracciones ordinarias y decimales. Todo lo que queda es lidiar con números mixtos. Para trabajar con ellos es necesario convertirlos a fracciones ordinarias. ¿Cómo hacerlo? Puedes atrapar a un niño de sexto grado y preguntarle. Pero no siempre habrá un alumno de sexto grado a mano... Tendrás que hacerlo tú mismo. No es difícil. Debes multiplicar el denominador de la parte fraccionaria por la parte entera y sumar el numerador de la parte fraccionaria. Este será el numerador de la fracción común. ¿Qué pasa con el denominador? El denominador seguirá siendo el mismo. Suena complicado, pero en realidad todo es sencillo. Veamos un ejemplo.

Suponga que se horrorizó al ver el número en el problema:

Con calma, sin pánico, pensamos. La parte completa es 1. Unidad. La parte fraccionaria es 3/7. Por tanto, el denominador de la parte fraccionaria es 7. Este denominador será el denominador de la fracción ordinaria. Contamos el numerador. 7 multiplicado por 1 ( Toda una parte) y suma 3 (el numerador de la parte fraccionaria). Obtenemos 10. Este será el numerador de una fracción común. Eso es todo. Parece aún más simple en notación matemática:

¿Está limpio? ¡Entonces asegura tu éxito! Convertir a fracciones ordinarias. Deberías obtener 10/7, 7/2, 23/10 y 21/4.

La operación inversa (convertir una fracción impropia en un número mixto) rara vez se requiere en la escuela secundaria. Bueno, si es así... Y si no estás en la escuela secundaria, puedes consultar la Sección especial 555. Por cierto, allí también aprenderás sobre fracciones impropias.

Bueno, eso es prácticamente todo. Recordaste los tipos de fracciones y entendiste. Cómo transferirlos de un tipo a otro. La pregunta sigue siendo: Para qué ¿hazlo? ¿Dónde y cuándo aplicar este profundo conocimiento?

Contesto. Cualquier ejemplo sugiere por sí mismo las acciones necesarias. Si en el ejemplo se mezclan fracciones ordinarias, decimales e incluso números mixtos, convertimos todo en fracciones ordinarias. siempre se puede hacer. Bueno, si dice algo así como 0,8 + 0,3, entonces lo contamos de esa manera, sin ninguna traducción. ¿Por qué necesitamos trabajo extra? Elegimos la solución que más nos convenga a nosotros !

Si la tarea es enteramente decimales, pero um ... algunos malvados, ve a los comunes, ¡pruébalos! Mira, todo saldrá bien. Por ejemplo, tendrás que elevar al cuadrado el número 0,125. ¡No es tan fácil si no te has acostumbrado a usar la calculadora! ¡No sólo tienes que multiplicar números en una columna, también tienes que pensar dónde insertar la coma! ¡Definitivamente no funcionará en tu cabeza! ¿Qué pasa si pasamos a una fracción ordinaria?

0,125 = 125/1000. Lo reducimos a 5 (esto es para empezar). Obtenemos 25/200. Una vez más por 5. Obtenemos 5/40. ¡Oh, todavía se está reduciendo! ¡Volvemos a 5! Obtenemos 1/8. Lo elevamos fácilmente al cuadrado (¡en nuestra mente!) y obtenemos 1/64. ¡Todo!

Resumamos esta lección.

1. Hay tres tipos de fracciones. Números comunes, decimales y mixtos.

2. Decimales y números mixtos Siempre se puede convertir a fracciones ordinarias. Transferencia inversa no siempre disponible.

3. La elección del tipo de fracciones para trabajar con una tarea depende de la tarea en sí. En la presencia de diferentes tipos fracciones en una tarea, lo más confiable es pasar a fracciones ordinarias.

Ahora puedes practicar. Primero, convierte estas fracciones decimales a fracciones ordinarias:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Deberías obtener respuestas como esta (¡en un lío!):

Terminemos con esto. En esta lección refrescamos nuestra memoria. puntos clave por fracciones. Sin embargo, sucede que no hay nada especial que actualizar...) Si alguien lo ha olvidado por completo o aún no lo ha dominado... Entonces puedes acudir a una Sección especial 555. Todos los conceptos básicos se tratan en detalle allí. Muchos de repente entender todo están comenzando. Y resuelven fracciones sobre la marcha).

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

En la lección anterior ya se introdujo el concepto de expresión racional, en la lección de hoy continuamos trabajando con expresiones racionales y nos centramos en sus transformaciones. En ejemplos específicos Veremos métodos para resolver problemas de transformación. expresiones racionales y prueba de identidades relacionadas.

Sujeto:Fracciones algebraicas. Operaciones aritméticas con fracciones algebraicas

Lección:Convertir expresiones racionales

Recordemos primero la definición de expresión racional.

Definición.Racionalexpresión- una expresión algebraica que no contiene raíces e incluye solo las operaciones de suma, resta, multiplicación y división (elevando a una potencia).

Por el concepto de “transformar una expresión racional” nos referimos, en primer lugar, a su simplificación. Y esto se lleva a cabo en el orden de las acciones que conocemos: primero las acciones entre paréntesis, luego producto de números(exponenciación), división de números y luego operaciones de suma/resta.

El objetivo principal de la lección de hoy será adquirir experiencia en la resolución de problemas más complejos de simplificación de expresiones racionales.

Ejemplo 1.

Solución. En un principio puede parecer que estas fracciones se pueden reducir, ya que las expresiones en los numeradores de fracciones son muy similares a las fórmulas de los cuadrados perfectos de sus correspondientes denominadores. En este caso, es importante no apresurarse, sino comprobar por separado si esto es así.

Comprobemos el numerador de la primera fracción: . Ahora el segundo numerador: .

Como puedes ver, nuestras expectativas no se cumplieron, y las expresiones en los numeradores no son cuadrados perfectos, ya que no tienen duplicación del producto. Estas expresiones, si recuerdas el curso de séptimo grado, se denominan cuadrados incompletos. Debes tener mucho cuidado en estos casos, porque confundir la fórmula de un cuadrado completo con uno incompleto es muy Error común, y tales ejemplos ponen a prueba la atención del estudiante.

Como la reducción es imposible, realizaremos la suma de fracciones. Los denominadores no tienen factores comunes, por lo que simplemente se multiplican para obtener el mínimo común denominador, y el factor adicional de cada fracción es el denominador de la otra fracción.

Por supuesto, luego puedes abrir los corchetes y luego traer términos similares, sin embargo, en este caso puedes arreglártelas con menos esfuerzo y notarás que en el numerador el primer término es la fórmula para la suma de los cubos, y el segundo es la diferencia de cubos. Por conveniencia, recordemos estas fórmulas en forma general:

En nuestro caso, las expresiones del numerador se contraen de la siguiente manera:

, la segunda expresión es similar. Tenemos:

Respuesta..

Ejemplo 2. Simplificar la expresión racional .

Solución. Este ejemplo es similar al anterior, pero aquí queda inmediatamente claro que los numeradores de las fracciones contienen cuadrados parciales, por lo que la reducción por etapa inicial Las soluciones son imposibles. De manera similar al ejemplo anterior, sumamos las fracciones:

Aquí, de manera similar al método indicado anteriormente, notamos y colapsamos las expresiones usando las fórmulas para la suma y diferencia de cubos.

Respuesta..

Ejemplo 3. Simplifica una expresión racional.

Solución. Puedes notar que el denominador de la segunda fracción se factoriza usando la fórmula de suma de cubos. Como ya sabemos, factorizar denominadores es útil para encontrar el mínimo común denominador de fracciones.

Indiquemos el mínimo común denominador de las fracciones, es igual a: , ya que se divide por el denominador de la tercera fracción, y la primera expresión es generalmente un número entero, y cualquier denominador le sirve. Habiendo indicado los factores adicionales obvios, escribimos:

Respuesta.

Consideremos un ejemplo más complejo con fracciones de "varios pisos".

Ejemplo 4. Demostrar identidad para todos valores aceptables variable.

Prueba. Para demostrar esta identidad, intentaremos simplificar su lado izquierdo (complejo) a la forma simple que se nos exige. Para ello realizaremos todas las operaciones con fracciones en el numerador y denominador, para luego dividir las fracciones y simplificar el resultado.

Probado para todos los valores permitidos de la variable.

Probado.

En la próxima lección veremos más de cerca más ejemplos complejos para transformar expresiones racionales.

Bibliografía

1. Bashmakov M.I. Álgebra octavo grado. - M.: Educación, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. y otros Álgebra 8. - 5ª ed. - M.: Educación, 2010.

3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Álgebra octavo grado. Libro de texto para instituciones de educación general. - M.: Educación, 2006.

2. Desarrollos de lecciones, presentaciones, notas de lecciones ().

Tarea

1. N° 96-101. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. y otros Álgebra 8. - 5ª ed. - M.: Educación, 2010.

2. Simplifica la expresión .

3. Simplifica la expresión.

4. Acreditar la identidad.

En la escuela de tipo VIII, a los estudiantes se les presentan las siguientes transformaciones de fracciones: expresar fracciones en fracciones más grandes (sexto grado), expresar fracciones impropias como un número entero o mixto (sexto grado), expresar fracciones en fracciones similares (séptimo grado), expresión numero mixto fracción impropia (séptimo grado).

Expresar una fracción impropia con un enteroo número mixto

I El estudio de este material debe comenzar con la tarea: tomar 2 círculos cosidos y dividir cada uno de ellos en 4 partes iguales, contar el número de cuartas partes (Fig. 25). A continuación se propone escribir esta cantidad como una fracción (t), luego se suman las cuartas partes y los estudiantes se convencen de que el resultado es

1er círculo. Por eso, -t= 1 . A cuatro cuartos añade sucesivamente otro -T, y los estudiantes escriben: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9

El profesor llama la atención de los alumnos sobre el hecho de que en todos los casos considerados tomaron una fracción impropia y como resultado de la transformación obtuvieron un número entero o mixto, es decir, expresaron la fracción impropia como un todo. o número mixto. A continuación, debemos esforzarnos para que los estudiantes determinen de forma independiente mediante qué operación aritmética se puede realizar esta transformación. Ejemplos vívidos que conducen a la respuesta

4 . 8 0 5 ,1 7 ,3 „ L

a la pregunta son: -2-=! y t = 2,4" = 1t y t T " YV °D : a

Para expresar una fracción impropia como un número entero o mixto, debes dividir el numerador de la fracción por el denominador, escribir el cociente como un número entero, escribir el resto en el numerador y dejar el denominador igual. Dado que la regla es engorrosa, no es en absoluto necesario que los estudiantes la aprendan de memoria. Deben poder comunicar consistentemente los pasos involucrados en la realización de una transformación determinada.

Antes de iniciar a los alumnos en la expresión de una fracción impropia con un número entero o mixto, es recomendable repasar con ellos la división de un número entero por un número entero con resto.

La consolidación de una nueva transformación para los estudiantes se facilita mediante la resolución de problemas de carácter práctico, por ejemplo:

“Hay nueve cuartos de naranja en un jarrón. Skol| ¿Se pueden hacer naranjas enteras con estas partes? ¿Cuántos cuartos quedarán?

“Para hacer tapas para cajas, cada hoja de cartulina

35 se divide en 16 partes iguales. Consiguió -^. ¡Cuántos están intactos!

¿Cortaste las hojas de cartón? ¡Cuantos dieciseisavos es el corte! de la siguiente pieza? Etc.

Expresar números enteros y mixtosfracción impropia

Introducir a los estudiantes en esta nueva transformación debe ir precedido de la resolución de problemas, por ejemplo:

“2 piezas de tela de igual longitud, con forma de cuadrado. > cortar en 4 partes iguales. De cada una de esas partes se cosió una bufanda. ¿Cuántas bufandas obtuviste? Grabo: 2= - 1 4^-, 2= -% ]

¿Conseguiste el vino? Anota: había 1 * círculo, ahora hay * círculo, lo que significa

Así, sobre una base visual y práctica, consideraremos varios ejemplos más. En los ejemplos considerados, se pide a los estudiantes que comparen el número original (mixto o entero) y el número que se obtuvo después de la transformación (una fracción impropia).

Para familiarizar a los estudiantes con la regla de expresar un número entero y un número mixto como una fracción impropia, es necesario llamar su atención sobre la comparación de los denominadores de un número mixto y una fracción impropia, así como sobre cómo se obtiene el numerador, por ejemplo. :

1 2"=?, 1 = 2", y también ^, total ^ 3 ^=?, 3=-^-, y también ^, total

será -^-. Como resultado, se formula la regla: para que un número mixto

para expresarla como fracción impropia, debes multiplicar el denominador por un número entero, sumar el numerador al producto y escribir la suma como numerador, dejando el denominador sin cambios.

Primero, debe enseñar a los estudiantes a expresar uno como una fracción impropia, luego cualquier otro número entero que indique el denominador, y solo luego un número mixto:

La propiedad principal de una fracción. 1

[el concepto de inmutabilidad de una fracción al aumentar

1 reducción de sus miembros, es decir, el numerador y el denominador, será dominada por los alumnos de la escuela de tipo VIII con gran dificultad. Esta comprensión debe introducirse utilizando material visual y didáctico,

“y es importante que los estudiantes no sólo observen las actividades del profesor, sino que también trabajen activamente con el material didáctico y, a partir de observaciones y actividades prácticas, lleguen a determinadas conclusiones y generalizaciones.

Por ejemplo, la maestra toma un nabo entero, lo divide en 2 partes iguales y pregunta: “¿Qué obtuviste al dividir un nabo entero?

¿a la mitad? (2 mitades.) Mostrar * nabos. Cortemos (dividamos)

la mitad del nabo en 2 partes iguales más. ¿Qué obtendremos? -y. Anotemos:

tt=-t- Comparemos los numeradores y denominadores de estas fracciones. A qué hora

¿Cuántas veces aumentó el numerador? ¿Cuántas veces ha aumentado el denominador? ¿Cuántas veces han aumentado tanto el numerador como el denominador? ¿Ha cambiado la fracción? ¿Por qué no ha cambiado? ¿Cómo se hicieron las acciones: más grandes o más pequeñas? ¿El número ha aumentado o disminuido?

Luego todos los estudiantes dividen el círculo en 2 partes iguales, cada mitad se divide en 2 partes iguales más, cada cuarto en otra

2 partes iguales, etc. y escribe: "o^A^tr^tgg y m - L- Luego establecen cuántas veces han aumentado el numerador y el denominador de la fracción, si la fracción ha cambiado. Luego dibujan un segmento y divídelo secuencialmente por 3, 6, 12 partes iguales y escribe:

1 21 4 Al comparar las fracciones -^ y -^, -^ y -^, se encuentra que

El numerador y el denominador de la fracción tg aumentan la misma cantidad de veces, la fracción no cambia a partir de esto.

Después de considerar una serie de ejemplos, se debe pedir a los estudiantes que respondan la pregunta: "¿Cambiará la fracción si el numerador? Algunos conocimientos sobre el tema "Fracciones ordinarias" están excluidos de los planes de estudios de matemáticas en las escuelas correccionales de tipo VIII, pero se comunican a estudiantes de escuelas para niños con retraso mental, en clases de nivelación para niños que tienen dificultades para aprender matemáticas. En este libro de texto hay párrafos donde se da la metodología para estudiar este material,

están indicados con un asterisco (*).

y multiplicar el denominador de la fracción por el mismo número (aumentar el mismo número de veces)?” Además, es necesario pedir a los alumnos que den ejemplos ellos mismos.

Se dan ejemplos similares cuando se considera disminuir el numerador y el denominador el mismo número de veces (los numeradores y el denominador se dividen por el mismo número). Por ejemplo, cr>"

( 4\ dividido en 8 partes iguales, toma 4 octavos del círculo I -o- ]

Habiendo agrandado las acciones, toman las cuartas, serán 2. Al aumentar las acciones

4 2 1 toma el segundo. Habrá 1 de ellos : ~ésimo = -d--%- Comparar seguidor!Yo

numeradores y denominadores de estas fracciones, respondiendo las preguntas: “En<>¿Cuántas veces disminuyen el numerador y el denominador? ¿Cambiará la fracción?

Una buena guía son las franjas divididas en 12, 6, 3 partes iguales (Fig. 26).

norte

12 6 3 figura. 26

Con base en los ejemplos considerados, los estudiantes pueden concluir: la fracción no cambiará si el numerador y el denominador de la fracción se dividen por el mismo número (reducido el mismo número de veces). Luego se da una conclusión generalizada: la propiedad principal de una fracción: la fracción no cambiará si el numerador y el denominador de la fracción aumentan o disminuyen el mismo número de veces.

Este artículo está dedicado a transformación de expresiones racionales, en su mayoría fraccionariamente racional, es una de las cuestiones clave del curso de álgebra de octavo grado. Primero, recordemos qué tipo de expresiones se llaman racionales. A continuación nos centraremos en realizar transformaciones estándar con expresiones racionales, como agrupar términos, sacar de paréntesis factores comunes, traer términos similares, etc. Finalmente, aprenderemos a representar expresiones racionales fraccionarias como fracciones racionales.

Navegación de páginas.

Definición y ejemplos de expresiones racionales.

Las expresiones racionales son uno de los tipos de expresiones que se estudian en las lecciones de álgebra en la escuela. Demos una definición.

Definición.

Expresiones compuestas de números, variables, paréntesis, potencias con exponentes enteros, conectadas mediante signos. operaciones aritmeticas+, −, · y:, donde la división se puede indicar mediante una barra de fracción, se denominan expresiones racionales.

A continuación se muestran algunos ejemplos de expresiones racionales: .

Las expresiones racionales comienzan a estudiarse de manera decidida en el séptimo grado. Además, en el séptimo grado se aprenden los conceptos básicos del trabajo con los llamados expresiones racionales enteras, es decir, con expresiones racionales que no contienen división en expresiones con variables. Para ello se estudian secuencialmente monomios y polinomios, así como los principios para realizar acciones con ellos. Todo este conocimiento, en última instancia, le permite realizar transformaciones de expresiones completas.

En octavo grado, pasan a estudiar expresiones racionales que contienen división por una expresión con variables llamadas expresiones racionales fraccionarias. Donde Atención especial se da a los llamados fracciones racionales(también se les llama fracciones algebraicas), es decir, fracciones cuyo numerador y denominador contienen polinomios. En última instancia, esto hace posible convertir fracciones racionales.

Las habilidades adquiridas le permiten pasar a transformar expresiones racionales de cualquier forma. Esto se explica por el hecho de que cualquier expresión racional puede considerarse como una expresión compuesta de fracciones racionales y expresiones enteras conectadas por signos de operaciones aritméticas. Y ya sabemos trabajar con expresiones enteras y fracciones algebraicas.

Principales tipos de transformaciones de expresiones racionales.

Con expresiones racionales puedes realizar cualquiera de las transformaciones de identidad básicas, ya sea agrupar términos o factores, acercar términos similares, realizar operaciones con números, etc. Normalmente el propósito de realizar estas transformaciones es simplificación de la expresión racional.

Ejemplo.

.

Solución.

Está claro que esta expresión racional es la diferencia entre dos expresiones y , y estas expresiones son similares, ya que tienen la misma parte alfabética. Así, podemos realizar una reducción de términos similares:

Respuesta:

.

Está claro que al realizar transformaciones con expresiones racionales, así como con cualquier otra expresión, es necesario permanecer dentro del orden aceptado de realización de acciones.

Ejemplo.

Realizar una transformación de expresión racional.

Solución.

Sabemos que las acciones entre paréntesis se ejecutan primero. Por tanto, antes que nada, transformamos la expresión entre paréntesis: 3·x−x=2·x.

Ahora puedes sustituir el resultado obtenido en la expresión racional original: . Entonces llegamos a una expresión que contiene las acciones de una etapa: suma y multiplicación.

Eliminemos los paréntesis al final de la expresión aplicando la propiedad de división por un producto: .

Finalmente, podemos agrupar factores numéricos y factores con la variable x, luego realizar las operaciones apropiadas sobre los números y aplicar: .

Esto completa la transformación de la expresión racional y, como resultado, obtenemos un monomio.

Respuesta:

Ejemplo.

Convertir expresión racional .

Solución.

Primero transformamos el numerador y denominador. Este orden de transformación de fracciones se explica por el hecho de que la línea de una fracción es esencialmente otra designación de división, y la expresión racional original es esencialmente un cociente de la forma y las acciones entre paréntesis se realizan primero.

Entonces, en el numerador realizamos operaciones con polinomios, primero multiplicación, luego resta, y en el denominador agrupamos los factores numéricos y calculamos su producto: .

Imaginemos también el numerador y el denominador de la fracción resultante en forma de producto: de repente es posible reducir una fracción algebraica. Para hacer esto, usaremos en el numerador. fórmula de diferencia de cuadrados, y en el denominador quitamos los dos que están entre paréntesis, tenemos .

Respuesta:

.

Por tanto, el conocimiento inicial de la transformación de expresiones racionales puede considerarse completado. Pasemos, por así decirlo, a la parte más dulce.

Representación de fracción racional

Muy a menudo, el objetivo final de transformar expresiones es simplificar su apariencia. En este sentido, lo más vista sencilla a la que se puede convertir una expresión fraccionariamente racional es una fracción racional (algebraica) y, en el caso especial, un polinomio, monomio o número.

¿Es posible representar cualquier expresión racional como una fracción racional? La respuesta es sí. Expliquemos por qué esto es así.

Como ya hemos dicho, toda expresión racional puede considerarse como polinomios y fracciones racionales conectadas por los signos más, menos, multiplicar y dividir. Todas las operaciones correspondientes con polinomios producen un polinomio o fracción racional. A su vez, cualquier polinomio se puede convertir en una fracción algebraica escribiéndolo con el denominador 1. Y sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones racionales da como resultado una nueva fracción racional. Por tanto, después de realizar todas las operaciones con polinomios y fracciones racionales en una expresión racional, obtenemos una fracción racional.

Ejemplo.

Expresar como fracción racional la expresión .

Solución.

La expresión racional original es la diferencia entre una fracción y el producto de fracciones de la forma . Según el orden de las operaciones, primero debemos realizar la multiplicación y solo luego la suma.

Empezamos multiplicando fracciones algebraicas:

Sustituimos el resultado obtenido en la expresión racional original: .

Llegamos a la resta de fracciones algebraicas con diferentes denominadores:

Entonces, habiendo realizado operaciones con fracciones racionales que forman la expresión racional original, la presentamos en forma de fracción racional.

Respuesta:

.

Para consolidar el material, analizaremos la solución con otro ejemplo.

Ejemplo.

Expresar una expresión racional como una fracción racional.

Del curso de álgebra escolar pasamos a lo específico. En este artículo estudiaremos en detalle un tipo especial de expresiones racionales: fracciones racionales, y también considere qué característica es idéntica conversiones de fracciones racionales tener lugar.

Observemos inmediatamente que las fracciones racionales en el sentido en que las definimos a continuación se denominan fracciones algebraicas en algunos libros de texto de álgebra. Es decir, en este artículo entenderemos las fracciones racionales y algebraicas como la misma cosa.

Como siempre, comencemos con una definición y ejemplos. A continuación hablaremos de llevar una fracción racional a un nuevo denominador y cambiar los signos de los miembros de la fracción. Después de esto, veremos cómo reducir fracciones. Finalmente, veamos cómo representar una fracción racional como la suma de varias fracciones. Proporcionaremos toda la información con ejemplos. descripciones detalladas decisiones.

Navegación de páginas.

Definición y ejemplos de fracciones racionales.

Las fracciones racionales se estudian en las lecciones de álgebra de octavo grado. Usaremos la definición de fracción racional que figura en el libro de texto de álgebra para octavo grado de Yu. N. Makarychev et al.

EN esta definición no se especifica si los polinomios en el numerador y denominador de una fracción racional deben ser polinomios de la forma estándar o no. Por lo tanto, asumiremos que las notaciones para fracciones racionales pueden contener polinomios tanto estándar como no estándar.

Aquí hay algunos ejemplos de fracciones racionales. Entonces, x/8 y - fracciones racionales. y fracciones y no se ajustan a la definición establecida de fracción racional, ya que en el primero de ellos el numerador no contiene un polinomio, y en el segundo, tanto el numerador como el denominador contienen expresiones que no son polinomios.

Convertir el numerador y denominador de una fracción racional

El numerador y denominador de cualquier fracción son autosuficientes. expresiones matemáticas, en el caso de fracciones racionales, se trata de polinomios; en un caso particular, monomios y números. Por tanto, se pueden realizar transformaciones idénticas con el numerador y denominador de una fracción racional, como ocurre con cualquier expresión. En otras palabras, la expresión en el numerador de una fracción racional se puede reemplazar por una expresión idénticamente igual, al igual que el denominador.

Puedes realizar transformaciones idénticas en el numerador y denominador de una fracción racional. Por ejemplo, en el numerador puedes agrupar y reducir términos similares, y en el denominador puedes sustituir el producto de varios números por su valor. Y dado que el numerador y el denominador de una fracción racional son polinomios, con ellos es posible realizar transformaciones características de los polinomios, por ejemplo, reducción a una forma estándar o representación en forma de producto.

Para mayor claridad, consideremos soluciones a varios ejemplos.

Ejemplo.

Convertir fracción racional de modo que el numerador contiene un polinomio de forma estándar y el denominador contiene el producto de polinomios.

Solución.

La reducción de fracciones racionales a un nuevo denominador se utiliza principalmente para sumar y restar fracciones racionales.

Cambiar de signo delante de una fracción, así como en su numerador y denominador

La propiedad principal de una fracción se puede utilizar para cambiar los signos de los miembros de una fracción. De hecho, multiplicar el numerador y el denominador de una fracción racional por -1 equivale a cambiar sus signos, y el resultado es una fracción idénticamente igual a la dada. Esta transformación debe usarse con bastante frecuencia cuando se trabaja con fracciones racionales.

Así, si cambias simultáneamente los signos del numerador y denominador de una fracción, obtendrás una fracción igual a la original. Esta afirmación se responde con la igualdad.

Pongamos un ejemplo. Una fracción racional se puede reemplazar por una fracción idénticamente igual con signos modificados del numerador y denominador de la forma.

Con fracciones puedes realizar otra transformación idéntica, en la que cambia el signo del numerador o del denominador. Enunciemos la regla correspondiente. Si reemplazas el signo de una fracción junto con el signo del numerador o denominador, obtienes una fracción idéntica a la original. La declaración escrita corresponde a las igualdades y .

Demostrar estas igualdades no es difícil. La prueba se basa en las propiedades de la multiplicación de números. Probemos el primero de ellos: . Utilizando transformaciones similares, se demuestra la igualdad.

Por ejemplo, una fracción se puede sustituir por la expresión o.

Para concluir este punto, presentamos dos igualdades más útiles y . Es decir, si cambias el signo solo del numerador o solo del denominador, la fracción cambiará de signo. Por ejemplo, Y .

Las transformaciones consideradas, que permiten cambiar el signo de los términos de una fracción, se utilizan a menudo al transformar expresiones racionales fraccionarias.

Reducir fracciones racionales

La siguiente transformación de fracciones racionales, llamada reducción de fracciones racionales, se basa en la misma propiedad básica de una fracción. Esta transformación corresponde a la igualdad , donde a, b y c son algunos polinomios, y b y c son distintos de cero.

De la igualdad anterior queda claro que reducir una fracción racional implica deshacerse del factor común en su numerador y denominador.

Ejemplo.

Cancelar una fracción racional.

Solución.

El factor común 2 es inmediatamente visible, realicemos una reducción por él (al escribir conviene tachar los factores comunes por los que se está reduciendo). Tenemos . Dado que x 2 =x x y y 7 =y 3 y 4 (ver si es necesario), está claro que x es un factor común del numerador y denominador de la fracción resultante, al igual que y 3. Reduzcamos por estos factores: . Esto completa la reducción.

Arriba realizamos la reducción de fracciones racionales de forma secuencial. O era posible realizar la reducción en un solo paso, reduciendo inmediatamente la fracción en 2 x y 3. En este caso, la solución quedaría así: .

Respuesta:

.

Al reducir fracciones racionales, el principal problema es que el factor común del numerador y denominador no siempre es visible. Además, no siempre existe. Para encontrar un factor común o verificar su ausencia, debes factorizar el numerador y el denominador de una fracción racional. Si no hay un factor común, entonces no es necesario reducir la fracción racional original; de lo contrario, se lleva a cabo la reducción.

Pueden surgir varios matices en el proceso de reducción de fracciones racionales. Las principales sutilezas se analizan en el artículo sobre la reducción de fracciones algebraicas mediante ejemplos y en detalle.

Concluyendo la conversación sobre la reducción de fracciones racionales, notamos que esta transformación es idéntica y la principal dificultad en su implementación radica en factorizar polinomios en el numerador y denominador.

Representación de una fracción racional como suma de fracciones

Bastante específica, pero en algunos casos muy útil, es la transformación de una fracción racional, que consiste en su representación como la suma de varias fracciones, o la suma de una expresión completa y una fracción.

Una fracción racional, cuyo numerador contiene un polinomio que representa la suma de varios monomios, siempre se puede escribir como una suma de fracciones con mismos denominadores, cuyos numeradores contienen los monomios correspondientes. Por ejemplo, . Esta representación se explica por la regla de sumar y restar fracciones algebraicas con denominadores iguales.

En general, cualquier fracción racional se puede representar como una suma de fracciones de muchas formas diferentes. Por ejemplo, la fracción a/b se puede representar como la suma de dos fracciones: una fracción arbitraria c/d y una fracción igual a la diferencia entre las fracciones a/b y c/d. Esta afirmación es cierta, ya que se cumple la igualdad. . Por ejemplo, una fracción racional se puede representar como una suma de fracciones. diferentes caminos: Imaginemos la fracción original como la suma de una expresión entera y una fracción. Dividiendo el numerador por el denominador con una columna, obtenemos la igualdad . El valor de la expresión n 3 +4 para cualquier número entero n es un número entero. Y el valor de una fracción es un número entero si y sólo si su denominador es 1, −1, 3 o −3. Estos valores corresponden a los valores n=3, n=1, n=5 y n=−1, respectivamente.

Respuesta:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografía.

• Álgebra: libro de texto para 8vo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2008. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G.Álgebra. Séptimo grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich. - 13ª ed., rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 págs.: enfermo. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A.G.Álgebra. Octavo grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas): Proc. subsidio.- M.; Más alto escuela, 1984.-351 p., enfermo.