Multiplicación rápida de dos dígitos. Esto le ayudará a aprender rápidamente. División por un número de un solo dígito

20.09.2019

Multiplicar números de dos dígitos es una habilidad esencial en nuestra vida diaria. La gente se enfrenta constantemente a la necesidad de multiplicar algo en su mente: el precio de una tienda, la masa de productos o el tamaño de un descuento. Pero ¿cómo multiplicar números de dos cifras de forma rápida y sin problemas? Vamos a resolverlo.

¿Cómo multiplicar un número de dos cifras por un número de una cifra?

Comencemos con un problema simple: cómo multiplicar números de dos dígitos por números de un solo dígito.

Para empezar, un número de dos cifras es un número que consta de una determinada cantidad de decenas y unidades.

Para multiplicar un número de dos dígitos por un número de un solo dígito en una columna, debe escribir el número de dos dígitos deseado y debajo el número de un solo dígito correspondiente. A continuación, debes multiplicar alternativamente por un número determinado, primero por unidades y luego por decenas. Si, al multiplicar unidades, el resultado es un número mayor que 10, entonces el número de decenas simplemente debe transferirse al siguiente dígito sumándolos.

Multiplicar números de dos cifras por decenas

Multiplicar números de dos dígitos por decenas no es mucho más difícil que multiplicar por números de un solo dígito. El procedimiento básico sigue siendo el mismo:

Escriba los números uno debajo del otro en una columna, suponiendo que el cero esté “al lado” para no interferir con las operaciones aritméticas.
Multiplica un número de dos dígitos por el número de decenas, no te olvides de transferir algunos dígitos a los siguientes dígitos.
Lo único que distingue este ejemplo del anterior es que debes agregar un cero al final de la respuesta resultante, para que las decenas que se omitieron al principio se tengan en cuenta.

¿Cómo multiplicar dos números de dos cifras?

Una vez que haya comprendido completamente la multiplicación de números de dos dígitos y de un solo dígito, puede comenzar a pensar en cómo multiplicar números de dos dígitos entre sí en una columna. De hecho, esta acción tampoco debería requerir mucho esfuerzo por tu parte, ya que el principio sigue siendo el mismo.

Escribimos estos números en una columna: unidades debajo de las unidades, decenas debajo de las decenas.
Comenzamos la multiplicación desde uno de la misma manera que en los ejemplos con números de un solo dígito.
Después de haber obtenido el primer número multiplicando las unidades por una cifra determinada, debes multiplicar las decenas por la misma cifra de la misma manera. Atención: la respuesta debe escribirse estrictamente en decenas. El espacio vacío debajo de las unidades es un cero no contabilizado. Puedes escribirlo si lo prefieres.
Después de multiplicar decenas y unidades y obtener dos números escritos uno debajo del uno, es necesario sumarlos en una columna. El valor resultante es la respuesta.

¿Cómo multiplicar correctamente números de dos cifras? Para ello, no basta con leer o aprender las instrucciones proporcionadas. Recuerde, para dominar el principio de cómo multiplicar números de dos dígitos, primero debe practicar constantemente: resuelva tantos ejemplos como sea posible y use la calculadora lo menos posible.

Cómo multiplicar en tu cabeza

Después de aprender a multiplicar brillantemente en papel, es posible que te preguntes cómo multiplicar rápidamente números de dos dígitos en tu cabeza.

Por supuesto, esta no es la tarea más fácil. Requiere cierta concentración, buena memoria y la capacidad de retener cierta cantidad de información en la cabeza. Sin embargo, esto también se puede aprender con suficiente esfuerzo, especialmente si se elige el algoritmo correcto. Obviamente, es más fácil multiplicar por números redondos, por lo que la mayoría de una manera sencilla es la factorización de números.

Primero, debes dividir uno de estos números de dos dígitos en decenas. Por ejemplo, 48 = 4 × 10 + 8.
A continuación, debes multiplicar secuencialmente primero las unidades y luego las decenas con el segundo número. Estas son operaciones bastante difíciles de realizar mentalmente, ya que es necesario multiplicar números entre sí simultáneamente y tener en cuenta el resultado resultante. Probablemente te resulte difícil hacerlo bien la primera vez, pero es una habilidad que puedes desarrollar si eres lo suficientemente diligente, porque entender cómo multiplicar correctamente números de dos dígitos en tu cabeza solo es posible con práctica.

Algunos trucos para multiplicar números de dos cifras

Pero, ¿existe una manera más fácil de multiplicar mentalmente números de dos dígitos y cómo puedes hacerlo?

Hay varios trucos. Te ayudarán a multiplicar números de dos cifras de forma rápida y sencilla.

Al multiplicar por once, simplemente colocas la suma de las decenas y las unidades en el medio del número de dos dígitos dado. Por ejemplo, necesitábamos multiplicar 34 por 11.

Ponemos 7 en el medio, 374. Esta es la respuesta.

Si sumas un número mayor que 10, simplemente debes sumar uno al primer número. Por ejemplo, 79 × 11.

A veces es más fácil factorizar un número y multiplicarlo secuencialmente. Por ejemplo, 16 = 2 × 2 × 2 × 2, por lo que simplemente puedes multiplicar el número original por 2 4 veces.

14 = 2×7, entonces al hacer matemáticas puedes multiplicar primero por 7 y luego por 2.

Para multiplicar un número por múltiplos de 100, como 50 o 25, puedes multiplicar ese número por 100 y luego dividirlo por 2 o 4, respectivamente.
También debes recordar que a veces al multiplicar es más fácil no sumar, sino restar números entre sí.

Por ejemplo, para multiplicar un número por 29, primero puedes multiplicarlo por 30 y luego restar este número del número resultante una vez. Esta regla es válida para cualquier decenas.

¿No te gustan las matemáticas? ¡Simplemente no sabes cómo usarlo! En realidad, es una ciencia fascinante. Y nuestra selección de métodos de multiplicación inusuales lo confirma.

Multiplica con tus dedos como un comerciante

Este método te permite multiplicar números del 6 al 9. Para comenzar, doble ambas manos en puños. Luego, en tu mano izquierda, dobla tantos dedos como el primer factor sea mayor que el número 5. En tu mano derecha, haz lo mismo con el segundo factor. Cuente el número de dedos extendidos y multiplique la suma por diez. Ahora multiplica la suma de los dedos doblados de la izquierda y mano derecha. Sumando ambas sumas se obtiene el resultado.

Ejemplo. Multipliquemos 6 por 7. Seis es más que cinco por uno, lo que significa que doblamos un dedo de nuestra mano izquierda. Y siete son dos, lo que significa que hay dos dedos a la derecha. El total es tres, y después de multiplicar por 10 da 30. Ahora multipliquemos los cuatro dedos doblados de la mano izquierda y tres de la derecha. Obtenemos 12. La suma de 30 y 12 da 42.

En realidad, aquí estamos hablando de una tabla de multiplicar sencilla, que sería bueno saberla de memoria. Pero este método es bueno para la autoevaluación y también es útil para estirar los dedos.

Multiplica como Ferrol

Este método lleva el nombre del ingeniero alemán que lo utilizó. Método te permite multiplicar rápidamente números del 10 al 20. Si practicas, podrás hacerlo incluso mentalmente.

El punto es simple. El resultado siempre será un número de tres dígitos. Primero contamos las unidades, luego las decenas y luego las centenas.

Ejemplo. Multipliquemos 17 por 16. Para obtener unidades, multiplique 7 por 6, decenas - sume el producto de 1 y 6 con el producto de 7 y 1, centenas - multiplique 1 por 1. Como resultado, obtenemos 42, 13 y 1 . Para mayor comodidad, escríbalos en una columna y sumemos ¡Ese es el resultado!

Multiplica como un japonés

Este método gráfico, que utilizan los escolares japoneses, hace que sea fácil multiplicar dos e incluso números de tres dígitos. Para probarlo, ten a mano papel y bolígrafo.

Ejemplo. Multipliquemos 32 por 143. Para hacer esto, dibuje una cuadrícula: refleje el primer número con tres y dos líneas con una sangría horizontal, y el segundo con una, cuatro y tres líneas verticalmente. Coloque puntos donde se cruzan las líneas. Como resultado, deberíamos obtener un número de cuatro dígitos, por lo que dividiremos condicionalmente la tabla en 4 sectores. Y contemos los puntos que caen en cada uno de ellos. Obtenemos 3, 14, 17 y 6. Para obtener la respuesta, suma los extras de 14 y 17 al número anterior. Obtenemos 4, 5 y 76 - 4576.

Multiplica como un italiano

Otro método gráfico interesante se utiliza en Italia. Quizás sea más sencillo que el japonés: definitivamente no te confundirás al transferir decenas. Para multiplicar números grandes usándolo, necesitas dibujar una cuadrícula.. Escribimos el primer factor horizontalmente desde arriba y el segundo factor verticalmente hacia la derecha. En este caso, debería haber una celda para cada número.

Ahora multipliquemos los números de cada fila por los números de cada columna. Escribimos el resultado en una celda (dividida en dos) en su intersección. Si obtiene un número de un solo dígito, escriba 0 en la parte superior de la celda y el resultado obtenido en la parte inferior.

Ya sólo queda sumar todos los números de las franjas diagonales. Empezamos desde la celda inferior derecha. En este caso, sumamos decenas a las unidades de la columna adyacente.

Así multiplicamos 639 por 12.

Divertido, ¿verdad? ¡Diviértete con las matemáticas! ¡Y recuerda que en TI también se necesitan especialistas en humanidades!

Es fácil enseñarle a un niño a multiplicar por columnas si lo haces de forma lúdica.

Las matemáticas son una ciencia difícil para casi todos los niños. Los padres tienen que obligar a sus hijos a hacer los deberes, porque esto es necesario no sólo para sacar buenas notas en la escuela, sino también para su desarrollo.
El trabajo duro del cerebro ayuda a desarrollar la memoria, la inteligencia, la atención y a adquirir excelentes habilidades numéricas.
Todas las cualidades adquiridas en la escuela serán útiles en la vida futura. No sólo los científicos, sino también los trabajadores y las amas de casa necesitan saber contar. Una de las operaciones más difíciles es la multiplicación. No se le da a todos los niños de inmediato.

Importante: Estudiante escuela primaria A veces se necesitan varias lecciones para comprender esta acción. Pero, después de todo, los profesores exigen que aprendas la tabla de multiplicar unos días después de enviar el material.

Enseñar a un niño a multiplicar es verdadero desafío, pero habrá que tener paciencia. Los ejercicios deben ser regulares, porque sólo el sistema ayudará a lograr los resultados deseados.

Importante: si el niño aún es pequeño (5, 6, 7 años), es necesario preparar ayudas visuales en forma de monedas, dibujos o cartas para contar. Realizar actividades de forma lúdica. No deben durar más de 20 minutos.

Dígale a su hijo que la multiplicación es una repetición, la suma de números semejantes.
Escribe ejemplos en una hoja de papel: 2+2+2+2+2 y 2x5
Haz una comparación con tu hijo sobre cómo calcular más rápido sumando o multiplicando
Para consolidar esta información recibida, dé ejemplos de la vida, pero no deben ser ficticios. Por ejemplo, 7 amigos vienen a visitar a un niño. Para ellos, hay un regalo listo: 2 dulces cada uno. ¿Cómo calcular más rápido: suma o multiplicación? Cuente junto con su hijo y escríbalo en un papel como ejemplo: 7x2=14

Consejo: Explíquele inmediatamente a su hijo que 3x5 = 5x3. Esto reducirá la cantidad de información que tiene que aprender.

Cuando hayan pasado varias lecciones y haya aprendido la tabla de multiplicar, entonces podrá comenzar a explicarle a su hijo la multiplicación por una columna de números de dos y tres dígitos.

Los niños que ya están en tercer grado comienzan a multiplicar por números de dos y tres dígitos. Pero primero debes explicar la multiplicación por un número de un solo dígito, por ejemplo, 76x3:

Primero, multiplicamos 3 por 6, resulta 18 - 1 decena y ocho unidades, escribimos 8 unidades y recordamos 1. Luego sumamos uno a decenas
Ahora multiplicamos 3 por 7, obtenemos 21 decenas + la unidad que recordamos, obtenemos 22 decenas
Usamos la regla de la multiplicación en una columna: dejamos el último dígito y escribimos las decenas a continuación, resulta 228

Regla de multiplicación en columnas: Dígale inmediatamente a su hijo que al multiplicar en una columna, debe escribir los números con cuidado, porque de esto depende el resultado. Los dígitos de las unidades se escriben debajo de las unidades y los dígitos de las decenas se escriben debajo de las decenas.

Los números de dos, tres y cuatro dígitos se pueden multiplicar mentalmente por números de un solo dígito. Cuando el niño crezca un poco, hará esto. Pero todavía le resulta difícil multiplicar mentalmente por un número de dos dígitos. Por lo tanto, la acción de la columna se aplica nuevamente.

Ejemplo: Multiplicamos por un número de dos dígitos - 45x75:

Debajo del número 45 escribimos 75 según la regla: unidades debajo de las unidades, decenas debajo de las decenas
Comenzamos la multiplicación con unidades: 25 - escribe 5, recuerda 2, para luego sumarlo a decenas
Multiplicamos 5 por 4, obtenemos 20. Sumamos 2 a las decenas, obtenemos 22. Escribimos los números 5 al frente, obtenemos 225
7x5=35. Escribimos el número 5 debajo de las decenas, recordamos el 3 y luego lo escribimos en centenas.
7x4=28 centenas. Suma 3 y obtienes 31 centenas. Escribimos según la regla de la multiplicación en una columna.
Sumamos productos incompletos: unidades, decenas y centenas y obtenemos el resultado: 45x75 = 3375

Hay personas que multiplican mentalmente números de tres cifras. Naturalmente, para un niño es difícil hacer esto, por lo que debe perfeccionar sus habilidades en el papel.

La multiplicación por un número de tres dígitos se realiza según el mismo principio que la multiplicación por un número de dos dígitos:

Primero las unidades se multiplican y se escriben en la cadena.
Las decenas se escribirán a continuación según la regla de multiplicación en una columna.
La tercera línea escribe el producto de centenas.
El resultado serán miles, centenas, decenas y unidades que hay que sumar.

Importante: si necesita multiplicar un número de dos dígitos por un número de tres o cuatro dígitos, entonces la columna se escribe de tal manera que el número más grande esté arriba y el más pequeño abajo. Gracias a esta acción tendrás que realizar menos entradas y será más fácil multiplicar.

Anteriormente discutimos cómo multiplicar números de dos dígitos en una columna y cómo multiplicar Número grande el de dos dígitos debe analizarse con más detalle:

Ejemplo: 4325x23

Primero multiplicamos 3 por 5, por 2, por 3 y por 4. Escribimos unidades, decenas, centenas y millares.
Ahora multiplicamos 2 por 5, por 2, por 3 y por 4. También escribimos, pero ahora decenas bajo decenas, centenas bajo centenas y miles bajo miles.
Sumamos según la regla y obtenemos el resultado: 4325x23=99475

Importante: Para que un niño aprenda bien a multiplicar números complejos es necesario trabajar mucho con él. Estas clases deben ser breves, pero sistemáticas.

El algoritmo para multiplicar números implica el uso de una tabla de multiplicar. Por lo tanto, el niño primero debe aprender a fondo la tabla de multiplicar y luego aprender a realizar operaciones con números complejos.

Importante: Necesitas conocer bien la tabla de multiplicar para no perder el tiempo buscando resultado deseado al realizar la multiplicación de números complejos.

Importante: Para aprender rápidamente la tabla de multiplicar, puedes practicar la multiplicación por columna. De esta forma podrás consolidar tus conocimientos y entrenar tu memoria.

Al niño le resultará más fácil recordar las tablas de multiplicar en forma poética, y un personaje entretenido le ayudará en ello.

Algunas formas rápidas multiplicación oral Ya lo hemos descubierto, ahora echemos un vistazo más de cerca a cómo multiplicar rápidamente números en su cabeza utilizando varios métodos auxiliares. Quizás ya lo sepas, y algunos de ellos son bastante exóticos, como la antigua forma china de multiplicar números.

Diseño por rangos

Es la técnica más sencilla para multiplicar rápidamente números de dos dígitos. Ambos factores deben dividirse en decenas y unidades, y luego todos estos nuevos números deben multiplicarse entre sí.

Este método requiere la capacidad de mantener hasta cuatro números en la memoria al mismo tiempo y realizar cálculos con estos números.

Por ejemplo, necesitas multiplicar números. 38 Y 56 . Lo hacemos de esta manera:

38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + 8 * 50 + 30 * 6 + 8 * 6 = 1500 + 400 + 180 + 48 = 2128 Será aún más fácil hacer la multiplicación oral de números de dos dígitos en tres operaciones. Primero debes multiplicar las decenas, luego sumar dos productos de unos por decenas y luego sumar el producto de unos por unos. Se parece a esto: 38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + (8 * 50 + 30 * 6) + 8 * 6 = 1500 + 580 + 48 = 2128 Para utilizar este método con éxito, es necesario conocer bien la tabla de multiplicar, poder sumar rápidamente números de dos y tres dígitos y alternar entre operaciones matemáticas sin olvidar los resultados intermedios. La última habilidad se consigue mediante ayuda y visualización.

Este método no es el más rápido ni el más eficaz, por lo que vale la pena explorar otros métodos de multiplicación oral.

Ajustando los números

Puede intentar llevar el cálculo aritmético a una forma más conveniente. Por ejemplo, el producto de números. 35 Y 49 se puede imaginar de esta manera: 35 * 49 = (35 * 100) / 2 - 35 = 1715
Este método puede ser más efectivo que el anterior, pero no es universal y no sirve para todos los casos. No siempre es posible encontrar un algoritmo adecuado para simplificar el problema.

Sobre este tema, recordé una anécdota sobre cómo un matemático navegó por el río pasando por una granja y les dijo a sus interlocutores que logró contar rápidamente el número de ovejas en el corral, 1358 ovejas. Cuando se le preguntó cómo lo hacía, dijo que era simple: había que contar el número de patas y dividirlas entre 4.

Visualización de multiplicación en columnas.

Esta es una de las formas más universales de multiplicación oral de números, desarrollando imaginación espacial y memoria. Primero, debes aprender a multiplicar números de dos dígitos por números de un solo dígito en una columna de tu cabeza. Después de esto, podrás multiplicar fácilmente números de dos dígitos en tres pasos. Primero, un número de dos dígitos debe multiplicarse por las decenas de otro número, luego multiplicarse por las unidades de otro número y luego sumar los números resultantes.

Se parece a esto: 38 * 56 = (38 * 5) * 10 + 38 * 6 = 1900 + 228 = 2128

Visualización con disposición numérica.

Una forma muy interesante de multiplicar números de dos cifras es la siguiente. Debes multiplicar secuencialmente los dígitos de los números para obtener centenas, unidades y decenas.

Digamos que necesitas multiplicar 35 en 49 .

primero multiplicas 3 en 4 , usted obtiene 12 , entonces 5 Y 9 , usted obtiene 45 . Grabación 12 Y 5 , con un espacio entre ellos, y 4 recordar.

Recibes: 12 __ 5 (recordar 4 ).

Ahora multiplicas 3 en 9 , Y 5 en 4 , y resumir: 3 * 9 + 5 * 4 = 27 + 20 = 47 .

Ahora necesitamos 47 agregar 4 que recordamos. Obtenemos 51 .

Nosotros escribimos 1 en el medio y 5 añadir 12 , obtenemos 17 .

En total, el número que estábamos buscando es 1715 , es la respuesta:

35 * 49 = 1715
Intenta multiplicar mentalmente de la misma manera: 18 * 34, 45 * 91, 31 * 52 .

Multiplicación china o japonesa

EN países asiáticos Se acostumbra multiplicar números no en una columna, sino dibujando líneas. Para las culturas orientales, el deseo de contemplación y visualización es importante, por lo que probablemente se les ocurrió un método tan hermoso que permite multiplicar cualquier número. Este método sólo es complicado a primera vista. De hecho, una mayor claridad le permite utilizar este método de manera mucho más efectiva que multiplicar por columna.

Además, el conocimiento de este antiguo método oriental aumenta tu erudición. De acuerdo, no todo el mundo puede presumir de conocer el antiguo sistema de multiplicación que utilizaban los chinos hace 3000 años.

Vídeo sobre cómo los chinos multiplican números.

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Hay tres métodos generales: multiplicación directa, método de números de referencia y método de Trachtenberg.

Domínelos todos, ya que cada uno puede ser preferible en una situación determinada.

Podrás practicar tus habilidades adquiridas utilizando una mesa de entrenamiento.

multiplicación directa

Este método es útil cuando uno de los multiplicadores está en el rango de 12 a 18 o termina en 1, y el otro es significativamente diferente.

Uno de los factores se divide mentalmente en decenas y unidades. Luego multiplican el otro factor por decenas, luego por unidades y suman.

Por ejemplo, 62x13 = 62x10 + 62x3 = 620 + 186 = 806.

A veces es conveniente dividir el factor mayor en decenas y unidades: 42×17 = 17×40 + 17×2 = 714.

Método del número de referencia

El método requiere un poco de práctica para dominarlo, pero es muy conveniente cuando dos factores son números cercanos. En particular, este es el método principal para elevar al cuadrado números de dos dígitos.

El número de referencia es un número redondo cercano a ambos factores. Puede ser menor que ambos factores, mayor que ambos factores o algo intermedio.

Como número de referencia, debes elegir números que sean fáciles de multiplicar. Por ejemplo, 50 o 100 si se aproximan a dos factores.

Dependiendo de cómo se relacionen el número de referencia y los factores, la técnica de multiplicación difiere ligeramente.

A. El número de referencia es inferior a dos factores. Por ejemplo, necesitas multiplicar 32 por 36.

El número de referencia es 30. Los multiplicadores son mayores que el número de referencia en 2 y 6.
Suma 6 al primer factor y multiplica por el número de referencia: 38 × 30 = 1140.
Suma el producto de 2 y 6: 1140 + 2×6 = 1152.

b. El número de referencia es mayor que dos factores. Por ejemplo, necesitas multiplicar 43 por 48.

El número de referencia es 50. Los multiplicadores son 7 y 2 menos que el número de referencia.
Resta 2 del primer factor y multiplica por el número de referencia: 41 × 50 = 2050.
Suma el producto de 7 y 2: 2050 + 7×2 = 2064.

v. El número de referencia está entre los factores. Por ejemplo, necesitas multiplicar 37 por 42.

El número de referencia es 40. El primer factor es menor en 3, el segundo es mayor en 2.
Suma 2 al factor menor y multiplica por el número de referencia: 39 × 40 = 1560.
Resta el producto de 3 y 2: 1440 − 3×2 = 1554.

método de Trachtenberg

Dado que el método Trachtenberg no es del todo familiar, al dominarlo es mejor tener los multiplicadores ante los ojos. En el futuro, practica sin escribir los números originales.

Veamos el método usando el ejemplo de multiplicar 87 por 32.

Presenta los números secuencialmente: 8732. Multiplica los dos números internos (7 y 3), los dos números externos (8 y 2) y suma. Resulta que son 37.
Multiplica las decenas: 80x30 = 2400. Suma 37x10. Resulta 2770.
Suma el producto de las unidades (7 y 2). Total 2784.

De todas las ciencias, la matemática goza de especial respeto porque sus teoremas son absolutamente verdaderos e indiscutibles, mientras que las leyes de otras ciencias son hasta cierto punto controvertidas y siempre existe el peligro de que nuevos descubrimientos las refuten.

Los alumnos de primaria deberían poder realizar cálculos aritméticos sencillos mentalmente. Por ejemplo, los niños deberían poder sumar y restar mentalmente números de dos y tres dígitos.

Para los adultos, sumar y restar números de dos y tres dígitos no causa dificultades, ya que un adulto ha desarrollado de forma independiente métodos de cálculo mental básico.

80 - 67 = 80 - 60 - 7 = 20 - 7 = 13 (separa las unidades al restar)

Combinaciones de diferentes métodos.

79 - 50 (sumando uno a los números)

70 - 50 + 9 = 20 + 9 = 29 (división de unidades)

80 + 67 (transferencia de uno del número 68 al número 79)

80 + 67 = 80 + 20 + 47 = 100 + 47 = 147

De manera similar, los números de tres dígitos se pueden sumar y restar fácilmente en la mente.

300 + 57 (+3) + 38(-3) (traslado de tres del 38 al 57)

287 (+1) - 29 (+1) (sumando uno al minuendo y al sustraendo)

419-297(400-200), 219 (+3) - 97 (+3) (sumando tres al minuendo y al sustraendo).

Una de las técnicas de multiplicación acelerada es la técnica de la multiplicación cruzada, que resulta muy conveniente cuando se trabaja con números de dos dígitos. El método no es nuevo; Se remonta a los griegos y los hindúes y en la antigüedad se le llamaba “método del rayo” o “multiplicación cruzada”.

"Multiplicar con una cruz".

Digamos que necesitamos multiplicar 2432. Ordena mentalmente los números según el siguiente esquema, uno debajo del otro:

Ahora realizamos los siguientes pasos de forma secuencial:

1) 42=8 es el último dígito del resultado;

2) 22=4; 43=12; 4+12=16; 6 es el número promedio del resultado; recordamos la unidad;

3) 23 = 6 y también una unidad retenida en la mente, tenemos 7 - este es el primer dígito del resultado.

Obtenemos todos los dígitos del producto: 7, 6, 8=768

En estos casos es conveniente utilizar otro método, que consiste en el uso de los llamados “suplementos”. cuando los números que se multiplican son cercanos a 100. El resultado obtenido es correcto, como se puede ver claramente en las siguientes transformaciones;

8896=88(100-4)=88100-884

496= 4(88+8)= 48+884

929 =8832+0

Tabla de multiplicar para "9".

Existe una gran variedad de técnicas para acelerar la ejecución de operaciones aritméticas, técnicas destinadas a los cálculos cotidianos.

Elevar al cuadrado números terminados en "5".

Para elevar al cuadrado un número, por ejemplo 65, debes sumar 1 al lugar de las decenas (es decir, 6+1=7) y multiplicar 6*7=42 y 5*5=25. entonces =4225

35*35

=1225 3*4=12

todas las respuestas terminan con el número 25. Pero, ¿cómo se obtienen los dos primeros dígitos de la respuesta? Se obtienen multiplicando la cifra de las decenas por el siguiente número natural. Para elevar al cuadrado un número, por ejemplo 65, debes sumar 1 al lugar de las decenas (es decir, 6+1=7) y multiplicar 6*7=42 y 5*5=25. Entonces = 4225.

Memorizar una tabla de valores Sin, Cos, tg para ángulos agudos.

Verás, los dedos de la mano izquierda forman ángulos:

dedo meñique-0 (dedo cero)

ring-30 (primer dedo)

medio-45 (segundo dedo)

índice - 60 (tercer dedo)

pulgar-90 (cuarto dedo)

Conociendo los senos, puedes completar los cosenos (viceversa), tangentes y cotangentes de ángulos agudos.

Método para multiplicar números cercanos a 100

Ejemplo: 95 * 93

Para obtener los últimos 2 dígitos de la respuesta (decenas y unidades), necesitas

Para obtener los primeros 2 dígitos de la respuesta (miles y centenas), necesita

4) 93 - 5 = 88 o (95 - 7 = 88)

Obtenemos 8835

Ejemplo 2: 98 * 92

Obtenemos 9016

Supongamos que necesitas multiplicar 92 * 96. La suma de 92 a 100 será 8 y de 86, 4. La acción se realiza según el siguiente esquema:

Multiplicadores: 92 y 96.

Adiciones: 8 y 4.

Los dos primeros dígitos del resultado se obtienen simplemente restando el multiplicando del factor “complemento”, o viceversa: es decir Se resta 4 de 92 o de 96 a 8. En ambos casos tenemos 88, a este número se le suma el producto de “sumas”: 8?4 = 32. Obtenemos el resultado 8832.

Otro ejemplo: debes multiplicar 78 por 77:

Multiplicadores: 78 y 77.

Adiciones: 22 y 23.

Números 1, 5 y 6

Probablemente todo el mundo sepa que al multiplicar una serie de números que terminan en 1, 5 o 6 se obtiene un número que termina en el mismo dígito.

46 = 2116; 46 = 97 336

Extracción de debajo de la raíz.

1). Para extraer un número de la raíz, por ejemplo, divida este número entre dos dígitos de derecha a izquierda así: = 568

1. Divide el número (5963364) en pares de derecha a izquierda (5`96`33`64)

2. Extraer Raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda (número 2). Así obtenemos el primer dígito del número.

3. Encuentra el cuadrado del primer dígito (2 2 =4).

4. Encuentra la diferencia entre el primer grupo y el cuadrado del primer dígito (5-4=1).

5. Anotamos los siguientes dos dígitos (obtenemos el número 196).

6. Duplique el primer dígito que encontramos y escríbalo a la izquierda detrás de la línea (2*2=4).

7. Ahora necesitamos encontrar el segundo dígito del número: el doble del primer dígito que encontramos se convierte en el dígito de las decenas del número, cuando lo multiplicamos por el número de unidades, necesitamos obtener un número menor que 196 (este es el número 4, 44*4=176). 4 es el segundo dígito del número.

8. Encuentra la diferencia (196-176=20).

9. Derribamos el siguiente grupo (obtenemos el número 2033).

10. Al duplicar el número 24, obtenemos 48.

11. Hay 48 decenas en un número, al multiplicarlo por el número de unidades, deberíamos obtener un número menor que 2033 (484*4=1936). El dígito de las unidades que encontramos (4) es el tercer dígito del número.

Los números 10, 11, 12, 13 y 14 tienen una característica sorprendente. Quien hubiera pensado eso

10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2. Probémoslo: 100 + 121 +144 = 169 + 196

Suma de números cercanos entre sí en magnitud.

En la práctica de los cálculos técnicos y comerciales, a menudo hay casos en los que es necesario agregar columnas de números de tamaño similar entre sí. Por ejemplo;

Para sumar tales números, se utiliza la siguiente técnica.

40*7=280, 3-2-1+5+1-1+2=7, 280+7=287.

Hallamos la suma de la misma manera:

750*6+1=4501

Promedio números aritméticos, tamaño similar

Frotar.
465
473
475
467
478
474
468
472

Hacen lo mismo cuando encuentran la media aritmética de números cercanos en valor. Encontremos, por ejemplo, la media de los siguientes precios:

Observamos un precio redondo cercano al promedio, es decir. 470 rublos. Anotamos las desviaciones de todos los precios del promedio: excedentes con un signo más, deficiencias con un signo.

Obtenemos: -5+3+5-3+8+4-2+2=12. Dividiendo la suma de las desviaciones por su número. Tenemos: 12:8 = 1,5.

De ahí la requerida precio promedio 470+1,5=471,5 (471 rublos 50 kopeks).

Multiplicación por números 5, 25, 125

Pasemos a la multiplicación.

Aquí, en primer lugar, señalamos que la multiplicación por los números 5, 25, 125 se acelera significativamente si tenemos en cuenta lo siguiente:

Por lo tanto, por ejemplo,

Multiplica por 15.

Al multiplicar por 15, puedes usar el hecho de que

Por lo tanto, es fácil hacer cálculos mentales como este:

36*15=360*1=360+180=540,

O más simple: 36*1*10=540;

Multiplica por 11.

Al multiplicar por 11 no es necesario escribir cinco líneas:

Basta con firmarlo nuevamente debajo del número multiplicado, moviéndolo un dígito:

4213 o 4213 y sumar.

Es útil recordar los resultados de multiplicar los primeros nueve números por 12, 13, 14, 15. Luego, multiplicar números de varios dígitos por esos factores es mucho más rápido. Que sea necesario multiplicar

Hagámoslo de esta manera. Multiplicamos cada dígito del multiplicando en nuestra mente inmediatamente por 13:

7*13=91; 1 escribimos, 9 recordamos;

8*13=104;104+9=113; 3 escribimos, 11 recordamos;

5*13=65;65+11=76; 6 escribimos; 7 recuerda;

4*13=52; 52+7=59.

Total 59631.

Después de varios ejercicios, esta técnica es fácil de recordar.

Existe una técnica muy conveniente para multiplicar números de dos dígitos por 11: debes separar los dígitos del multiplicando e ingresar su suma entre ellos:

Si la suma de los dígitos es de dos dígitos, entonces el número de sus decenas se suma al primer dígito del multiplicando:

48*11=4(12)8, es decir 528.

División por 5; 25; 125.

Indiquemos algunos métodos de división acelerada.

Al dividir por 5, multiplica el dividendo y el divisor por 2:

3471:5=6942:10=694,2

Al dividir por 25, multiplica ambos números por 4:

3471;25=13884:100=138,84. Haz lo mismo al dividir entre 1 (= 1,5) y 2 (= 2,5); 3471: 1=6942:3=2314; 3471: 2,5=13884:10=1388,4

Método ruso de humillación.

He aquí un ejemplo:

32*13; 16*26; 8*52; 4*104; 2*208; 1*416

La división por la mitad continúa hasta que el cociente llega a 1, mientras que simultáneamente se duplica el otro número. El último número duplicado da el resultado deseado.

¿Qué debes hacer si tienes que dividir un número impar por la mitad? Si el número es impar, quita uno y divide el resto por la mitad; pero al último número de la columna de la derecha deberás sumar todos los números de esta columna que se encuentran frente a los números impares de la columna de la izquierda: la suma será el producto requerido: 19 * 17; 9*34; 4*68; 2*136; 1*272. Sumando los números no cruzados, obtenemos el resultado correcto: 17+34+272=323.

Multiplicar números terminados en 5.

Al multiplicar un par de números en los que los dígitos de las decenas eran pares o impares y el dígito de las unidades era 5, debes multiplicar los dígitos de las decenas y sumar la mitad de la suma de estos dígitos a su producto. Obtenemos el número de centenas. Al número de centenas hay que sumarle el producto 5*5=25.

Por ejemplo:

85*45=(8*4+(8+4)/2)centenas+5*5=38*100+25=3825

35*55=(3*5+(3+5)/2)centenas+5*5=19*100+25=1925

Tomemos un ejemplo que nos resulta familiar desde quinto grado.

Encuentra la suma de los primeros cien números naturales:

1+2+3+4+5+6+ : +94+95+96+97+98+99+100=?

¿Qué tan fácil es calcular el siguiente ejemplo?

34*48+18*12+23*24=34*2*24+9*24+23*24=24*(68+9+23)=24*100=2400

Puede crear ejemplos de forma independiente para cada regla y practicar cálculos mentales. Al crear ejemplos y completar tareas, los niños no experimentan ninguna dificultad.

Literatura:

Enciclopedia para niños. Matemáticas. M., Avanta, 2002.
Ya.I. Perelman, Aritmética entretenida. M., 1954.
Revista "Revista práctica para profesores y administración escolar" N° 9, 2004.
J. "Matemáticas", núm. 4, 1994.

En este artículo veremos el tema de la multiplicación de números con más detalle.

A la hora de multiplicar números, existen varios métodos o técnicas. Intentaré describirlos. Para empezar, nos dividiremos en dos secciones y describiremos estos casos.

1) Multiplicación de números de dos cifras. Dependiendo del tipo de números, se pueden distinguir varios métodos. En general, para multiplicar números de dos cifras es muy útil conocer la tabla de multiplicar de números hasta el 20 (normalmente en el colegio enseñan hasta el 10 y paran). Recomiendo aprender la tabla hasta el 20. Luego, si lo deseas, continúa memorizando la tabla de multiplicar hasta el 100. Esto te ayudará a multiplicar números de tres y cuatro dígitos.

2) En números específicos, puede encontrar diferentes números en diferentes fuentes. Desde la banal multiplicación por 10 hasta la multiplicación por 75. Algunas fuentes dan la multiplicación por algunos números específicos de tres dígitos. Esto también incluirá la multiplicación por números de un solo dígito.

Dependiendo de los números elijo el método. No se apresure a multiplicar, primero decida el método y luego apresúrese a multiplicar utilizando el método elegido. Seleccionar un método lleva una fracción de segundo, pero elegir el método más sencillo ahorra mucho más tiempo y esfuerzo.

No estoy afirmando en absoluto que sea una súper calculadora, simplemente compré una calculadora en el grado 11, y antes de comprarla podía calcular fácilmente en mi cabeza, y si tuviera papel a mano, entonces... Ahora para mí es como un redescubrimiento: decidí compartir mis métodos con ustedes y recordar cosas olvidadas hace mucho tiempo.

1) Multiplicación de números de dos cifras.

A) El método cruzado es adecuado para multiplicar números de dos cifras. Esto es lo más método general. te lo mostraré ejemplos específicos. Entonces derivaremos una regla general.

Ejemplo 1. Necesitas 27*96.

Imagine 27*96=2*9*100+(2*6+7*9)*10+7*6=1800+750+42=2550+42=2592

Ejemplo 2. Necesitas 39*78. 39*78=3*7*100+(3*8+9*7)*10+9*8=2100+870+72=2970+72=3042

Creo que es suficiente. Con la multiplicación normal (en una columna), haces lo mismo, solo que en un orden diferente: “Multiplicas 27*6, es decir, multiplicas 6*7+20*6=6*7+2*6*10, escríbalo en una línea y multiplique 27 *90=(9*7*10+20*9)*10=(9*7*10+2*9*10)*10 - debido al hecho de que el dígito es 1 más (multiplica por 10) Escribes desde el desplazamiento. Ahora incluso puedes escribir

27*96=(20+7)*(90+6)=20*90+7*90+20*6+7*6=2*9*100+7*9*10+2*6*10+7*6=2*9*100+(7*9+2*6)*10+7*6 ".

Este método rara vez se muestra en las escuelas porque es difícil de explicar y no todos los niños lo entenderán. Pero como puedes ver, es más sencillo para la multiplicación oral. Aquí puedes ver que se utiliza la fórmula (a+b)*(c+d) y la peculiaridad del sistema numérico decimal. Practica y te acostumbrarás.

Entonces la regla: Para multiplicar un número de dos cifras por otro número de dos cifras:

1) multiplicar las decenas entre sí, multiplicando por 100,

2) multiplique los dígitos "externos" de los números entre sí en pares (derecha e izquierda) y multiplique los dígitos internos entre sí cuando escriba en una línea. Suma el resultado y multiplica por 10. (Al escribir en columna, se multiplican por una cruz: unidades de un número por decenas de otro y viceversa. El resultado se suma y se multiplica por 10.)

3) multiplica los dígitos de las unidades.

4) Sumar 3 resultados: 1)+2)+3).

En realidad, no existen otras combinaciones de multiplicación por pares (solo hay 4) para números de dos dígitos. Pero puedes resumirlo de diferentes maneras. Por eso cambian las formas de escribir los métodos de multiplicación. Permítanme recordarles que en la escuela enseñan solo un método (llamémoslo método "tick"), cuando los números se multiplican en secuencia. En el método "cruzado" propuesto, la multiplicación y la suma también se alternan, pero se suman números "más fáciles". El método de "marcar la casilla", que se enseña en la escuela, es simplemente el más conveniente para "aprender". Que los niños se multipliquen rápida y cómodamente o no, no es asunto de nadie. De acuerdo, pocas personas entendieron el método anterior la primera vez. Muchos lo leyeron rápidamente, no entendieron nada, y… continúan multiplicándose como les enseñaron. Por qué llamo a un método método "cruz" y al otro método "marca" quedará claro en las figuras.

b) Multiplicación de números de la forma ( 10x+a)*(10x+b), donde x es el mismo número de decenas y a+b=10 (1) Por ejemplo, 51*59; 42*48; 83*87; 94*96, 65*65, 115*115. Es decir, ves que sus decenas son iguales y la suma de sus unidades da 10.

Regla: Para multiplicar dos números de la forma (1), es necesario multiplicar el número de decenas X por un número mayor que 1, esto es (X+1), y a la derecha asignar el resultado de multiplicar unidades. en forma de un número de dos dígitos.

Recordemos que en la forma (1), los números cumplen la siguiente condición: el número de decenas es el mismo, las cifras de las unidades de dos números suman 10.

Ejemplo 3. 51*59=? Vemos que los números satisfacen (1). 5*6 (después de todo, 5+1=6), 5*6=30. Al 30 a la derecha escribimos 09=1*9 (no le asignamos 9, sino 09) Resultado 3009=51*59.

Ejemplo 4. 42*48=? 4*5=20 y 2*8=16. Resultado 2016=42*48

Ejemplo 5. 25*25=? 2*3=6 y 5*5=25 Resultado 625 Como puede ver, los tan cacareados métodos de multiplicar 15*15,25*25, etc. (o elevar al cuadrado números de la forma a5*a5) es solo caso especial método descrito anteriormente - 1b), que a su vez es un caso aún más especial.

Nota, primero escribí que a=1...9, pero esto no es del todo correcto; también puedes multiplicar 372*378 (el número de decenas es 37). El método también será válido para tales casos. 37*38=1406 y 2*8=16 Resultado total 140616=37*38. Échale un vistazo. Por supuesto, la regla de la multiplicación en b) se puede demostrar estrictamente matemáticamente, pero no tengo tiempo para eso ahora. Créame por ahora o pruébelo usted mismo. Mejor en cambio, por ahora escribiré otras reglas que tengo en la cabeza.

Encontré el tiempo para escribir la prueba.

Sea el primer factor 10x+a, el segundo factor 10x+b, donde a+b=10 x el número de decenas, entonces

(10x+a)*(10x+b)=100x*x+10xa+10xb+ab=10x*(10x+a+b)+ab= =10x*(10x+10)+ab=10x*10(x +1)+ab=x*(x+1)*100+ab Desde aquí vemos que la regla está escrita matemáticamente, que se escribe con palabras.

c) Multiplicación de números de la forma 48 * 52; 37*43, 64*56. Aquellos. multiplicación de aquellos números que están espaciados de la “base” por el mismo número de unidades. Para tales números, se aplica una fórmula simple (a+b)*(a-b)=(a-b)*(a+b)= un 2 -b 2

Ejemplo 6. 48*52=(50-2)(50+2)=2500-4=2496

Ejemplo 7. 37*43=(40-3)*(40+3)=1600-9=1591

d) Multiplicación de números idénticos - elevación al cuadrado. Para algunos números es conveniente utilizar la fórmula binomial de Newton: (a±b) 2 =a 2 ±2*a*b+b 2

Ejemplo 8. 38*38=(40-2)*(40-2)=1600-2*40*2+4=1600-160+4=1444

Ejemplo 9. 41*41=(40+1)*(40+1)=1600+2*40*1+1=1681

d) Multiplicar dos números terminados en 5. (el número de decenas de los dos factores difiere en 1)

Veamos algunos ejemplos: 15*25=375; 25*35=875; 35*45=1575; 45*55=2475 Como puedes ver, el resultado de tal multiplicación siempre termina en 75. El cálculo se hace de manera similar -1b) con la suma de 75 a la derecha del resultado: el número menor de decenas es multiplicado por el numero resultante del numero de decenas del segundo factor con la suma de 1, a la derecha de este sumamos 75 obras.

Ejemplo 10. 25*35 - - - 3+1=4 (al número mayor le sumamos 1 al número de decenas); 2*4=8 suma 75. El resultado es 875. De manera similar, 15*25=? 2+1=3; 1*3=3 15*25=375.