Operaciones aritméticas con números racionales. Operaciones con números racionales: reglas, ejemplos, soluciones.
NÚMEROS REALES II
§ 36 Acciones sobre números racionales
Como sabes, dos fracciones. metro / norte Y k / yo son iguales, es decir, representan el mismo número racional, si y sólo si ml = nk .
Por ejemplo, 1/3 = 2/6, ya que 1 6 = 3 2; -5 / 7 = 10 / - 14 ya que (-5) (- 14) = 7 10; 0/1 = 0/5, ya que 0 5 = 1 0, etc.
Obviamente, para cualquier número entero r , no igual a 0,
: metro / norte = metro r / norte r
Esto se desprende de la obvia igualdad. t (PAG r ) = PAG (t r ). Por lo tanto, cualquier número racional se puede representar como una razón de dos números de infinitas formas. Por ejemplo,
5 = 5/1 = -10/-2 = 15/3 etc.,
1/7 = 2/-14 = -3/21 = -100/700 etc.
0 = 0/1 = 0/-2 = 0/3 = 0/100 etc.
En el conjunto de todos los números racionales, las operaciones de suma, multiplicación, resta y división (excepto la división por cero) son factibles. Recordemos cómo se determinan estas acciones.
Suma de dos números racionales metro / norte Y k / yo está determinado por la fórmula:
Producto de dos números racionales metro / norte Y k / yo está determinado por la fórmula:
metro / norte k / yo = mk / nl (2)
Dado que un mismo número racional se puede escribir de varias formas (por ejemplo, 1/3 = 2/6 = 3/9 =...), sería necesario demostrar que la suma y el producto de números racionales no dependen de cómo se escriben los términos o factores. Por ejemplo,
1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6
etc. Sin embargo, la consideración de estos temas está más allá del alcance de nuestro programa.
Al sumar y multiplicar números racionales, se observan las siguientes leyes básicas:
1) conmutativo(o conmutativa) ley de la suma
metro / norte + k / yo = k / yo + metro / norte
2) de asociación(o asociativa) ley de la suma:
( metro / norte + k / yo ) + pag / q = metro / norte + ( k / yo + pag / q )
3) conmutativo(o conmutativa) ley de la multiplicación:
metro / norte k / yo = k / yo metro / norte
4) de asociación(o asociativa) ley de la multiplicación:
( metro / norte k / yo ) pag / q = metro / norte ( k / yo pag / q )
5) distributivo(o distributiva) ley de la multiplicación relativa a la suma:
( metro / norte + k / yo ) pag / q = metro / norte pag / q + k / yo pag / q
La suma y la multiplicación son operaciones algebraicas básicas. En cuanto a la resta y la división, estas acciones se definen como la inversa de la suma y la multiplicación.
La diferencia de dos números racionales. metro / norte Y k / yo este numero se llama X , que es en total con k / yo da metro / norte . En otras palabras, la diferencia metro / norte - k / yo
k / yo + X = metro / norte
Se puede demostrar que tal ecuación siempre tiene una raíz, y solo una:
Por tanto, la diferencia de dos números metro / norte Y k / yo se encuentra mediante la fórmula:
si los numeros metro / norte Y k / yo son iguales entre sí, entonces su diferencia se vuelve cero; Si estos números no son iguales entre sí, entonces su diferencia es positiva o negativa. En metro / norte - k / yo > 0 se dice que es un número metro / norte mas numero k / yo ; si metro / norte - k / yo < 0, то говорят, что число metro / norte menos numero k / yo .
El cociente de un número racional. metro/ norte por un número racional k/ yo este numero se llama X, que en el producto con k/ yo da metro/ norte . En otras palabras, privado metro/ norte : k/ yo se define como la raíz de la ecuación
k/ yo X = metro/ norte .
Si k/ yo =/= 0, entonces esta ecuación tiene una sola raíz
X = ml/ nk
Si k/ yo = 0, entonces esta ecuación no tiene raíz alguna (por metro/ norte =/= 0), o tiene infinitas raíces (con metro/ norte = 0). Para que la operación de división sea excepcionalmente factible, acordamos no considerar la división por cero en absoluto. Por tanto, dividir un número racional metro/ norte por un número racional k/ yo siempre definido a menos que k/ yo =/= 0. Al mismo tiempo
metro/ norte : k/ yo = ml/ nk
Ejercicios
295. Calcular del modo más racional e indicar qué leyes de acción han de utilizarse;
a) (5 1/12 - 3 1/4) 24; c) (333 1/3 4) (3/125 1/16).
segundo) (1/10 - 3 1/2) + 9/10
Este artículo proporciona una descripción general propiedades de las operaciones con números racionales. En primer lugar, se anuncian las propiedades básicas en las que se basan todas las demás propiedades. Después de esto, se dan algunas otras propiedades de operaciones con números racionales que se utilizan con frecuencia.
Navegación de páginas.
hagamos una lista propiedades básicas de las operaciones con números racionales(a, byc son números racionales arbitrarios):
- Propiedad conmutativa de la suma a+b=b+a.
- Propiedad combinativa de la suma (a+b)+c=a+(b+c) .
- La existencia de un elemento neutro por suma: cero, cuya suma con cualquier número no cambia este número, es decir, a+0=a.
- Para cada número racional a existe un número opuesto −a tal que a+(−a)=0.
- Propiedad conmutativa de la multiplicación de números racionales a·b=b·a.
- Propiedad combinativa de la multiplicación (a·b)·c=a·(b·c) .
- La existencia de un elemento neutro para la multiplicación es una unidad, multiplicación por la cual cualquier número no cambia este número, es decir, a·1=a.
- Para todo número racional a distinto de cero existe un número inverso a −1 tal que a·a −1 =1 .
- Finalmente, la suma y la multiplicación de números racionales están relacionadas por la propiedad distributiva de la multiplicación relativa a la suma: a·(b+c)=a·b+a·c.
Las propiedades enumeradas de las operaciones con números racionales son básicas, ya que a partir de ellas se pueden obtener todas las demás propiedades.
Otras propiedades importantes
Además de las nueve propiedades básicas enumeradas de las operaciones con números racionales, hay una serie de propiedades muy utilizadas. Démosles una breve descripción general.
Comencemos con la propiedad, que se escribe usando letras como a·(−b)=−(a·b) o en virtud de la propiedad conmutativa de la multiplicación como (−a) b=−(a b). La regla para multiplicar números racionales con diferentes signos se deriva directamente de esta propiedad; su demostración también se da en este artículo. Esta propiedad explica la regla "más multiplicado por menos es menos y menos multiplicado por más es menos".
Aquí está la siguiente propiedad: (−a)·(−b)=a·b. Esto implica la regla para multiplicar números racionales negativos; en este artículo también encontrarás una prueba de la igualdad anterior. Esta propiedad corresponde a la regla de multiplicación “menos por menos es más”.
Sin duda, vale la pena centrarse en multiplicar un número racional arbitrario a por cero: a·0=0 o 0 a=0. Demostremos esta propiedad. Sabemos que 0=d+(−d) para cualquier d racional, entonces a·0=a·(d+(−d)) . La propiedad de distribución permite reescribir la expresión resultante como a·d+a·(−d) , y dado que a·(−d)=−(a·d) , entonces a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Entonces llegamos a la suma de dos números opuestos, iguales a a·d y −(a·d), su suma da cero, lo que demuestra la igualdad a·0=0.
Es fácil notar que arriba enumeramos solo las propiedades de la suma y la multiplicación, mientras que no se dijo una palabra sobre las propiedades de la resta y la división. Esto se debe a que en el conjunto de los números racionales, las acciones de resta y división se especifican como la inversa de la suma y la multiplicación, respectivamente. Es decir, la diferencia a−b es la suma a+(−b), y el cociente a:b es el producto a·b−1 (b≠0).
Dadas estas definiciones de resta y división, así como las propiedades básicas de la suma y la multiplicación, puedes probar cualquier propiedad de las operaciones con números racionales.
Como ejemplo, demostremos la propiedad de distribución de la multiplicación relativa a la resta: a·(b−c)=a·b−a·c. Se cumple la siguiente cadena de igualdades: a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, que es la prueba.
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Entonces a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.
Sumar cero no cambia el número, pero la suma de los números opuestos es cero.
Esto significa que para cualquier número racional tenemos: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
La multiplicación de números racionales también tiene propiedades conmutativas y asociativas. En otras palabras, si a, b y c son números racionales, entonces ab - ba, a(bc) - (ab)c.
La multiplicación por 1 no cambia un número racional, pero el producto de un número por su inverso es igual a 1.
Esto significa que para cualquier número racional a tenemos:
a) x + 8 - x - 22; c) am + 7-8+m;
b) -xa + 12+a -12; d) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - p.
1190. Habiendo elegido un orden de cálculo conveniente, encuentre el valor de la expresión:
1191. Formule en palabras la propiedad conmutativa de la multiplicación ab = ba y verifíquela cuando:
1192. Formule con palabras la propiedad asociativa de la multiplicación a(bc)=(ab)c y verifíquela cuando:
1193. Eligiendo un orden de cálculo conveniente, encuentre el valor de la expresión:
1194. ¿Qué número obtendrás (positivo o negativo) si multiplicas:
a) un número negativo y dos números positivos;
b) dos números negativos y uno positivo;
c) 7 números negativos y varios positivos;
d) ¿20 negativos y varios positivos? Obtener una conclusión.
1195. Determinar el signo del producto:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a) B gimnasia Se reunieron Vitya, Kolya, Petya, Seryozha y Maxim (Fig. 91, a). Resultó que cada uno de los chicos sólo conocía a otros dos. ¿Quién sabe a quién? (El borde del gráfico significa "nos conocemos").
b) Los hermanos y hermanas de una familia caminan por el patio. ¿Cuáles de estos niños son niños y cuáles son niñas (Fig. 91, b)? (Los bordes punteados del gráfico significan "Soy una hermana" y los bordes sólidos significan "Soy un hermano").
1205. Calcular:
1206. Comparar:
a) 2 3 y 3 2; b) (-2) 3 y (-3) 2; c) 1 3 y 1 2; d) (-1) 3 y (-1) 2.
1207. Redondea 5,2853 a milésimas; antes centésimas; hasta décimas; hasta unidades.
1208. Resuelve el problema:
1) Un motociclista alcanza a un ciclista. Ahora hay 23,4 km entre ellos. La velocidad de un motociclista es 3,6 veces la velocidad de un ciclista. Encuentre las velocidades del ciclista y del motociclista si se sabe que el motociclista alcanzará al ciclista en una hora.
2) Un automóvil está alcanzando a un autobús. Ahora hay 18 km entre ellos. La velocidad del autobús es la misma que la de un turismo. Encuentre las velocidades del autobús y del automóvil si se sabe que el automóvil alcanzará al autobús en una hora.
1209. Encuentra el significado de la expresión:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Comprueba tus cálculos con microcalculadora.
1210. Habiendo elegido un orden de cálculo conveniente, encuentre el valor de la expresión: 
1211. Simplifica la expresión:
1212. Encuentra el significado de la expresión:
1213. Sigue estos pasos:
1214. Los estudiantes tuvieron la tarea de recolectar 2,5 toneladas de chatarra. Recogieron 3,2 toneladas de chatarra. ¿En qué porcentaje completaron la tarea los estudiantes y en qué porcentaje la superaron?
1215. El coche recorrió 240 km. De ellos, 180 kilómetros los recorrió por un camino rural y el resto por la carretera. El consumo de gasolina por cada 10 km en carretera rural fue de 1,6 litros, y en carretera, un 25% menos. ¿Cuántos litros de gasolina se consumieron en promedio por cada 10 km de recorrido?
1216. Al salir del pueblo, el ciclista vio a un peatón que caminaba en el puente en la misma dirección y lo alcanzó 12 minutos después. Encuentre la velocidad de un peatón si la velocidad de un ciclista es de 15 km/h y la distancia del pueblo al puente es de 1 km 800 m?
1217. Sigue estos pasos:
a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
Como saben, la gente se fue familiarizando gradualmente con los números racionales. Al principio, al contar objetos surgieron problemas. números enteros. Al principio eran pocos. Así, hasta hace poco, entre los nativos de las islas del Estrecho de Torres (que separan Nueva Guinea de Australia) sólo había dos números en el idioma: “urapun” (uno) y “okaz” (dos). Los isleños contaban así: “Okaza-urapun” (tres), “Okaza-Okaza” (cuatro), etc. Los nativos llamaban a todos los números, empezando por el siete, con una palabra que significa “muchos”.
Los científicos creen que la palabra cientos apareció hace más de 7.000 años, miles, hace 6.000 años y hace 5.000 años en Antiguo Egipto y en la antigua Babilonia aparecían nombres en cantidades enormes: hasta un millón. Pero durante mucho tiempo la serie natural de números se consideró finita: la gente pensaba que existía un número mayor.
Al mayor matemático y físico griego antiguo, Arquímedes (287-212 a. C.), se le ocurrió una manera de describir números enormes. El mayor número que Arquímedes pudo nombrar era tan grande que para grabarlo digitalmente se necesitaría una cinta dos mil veces más larga que la distancia de la Tierra al Sol.
Pero todavía no habían podido anotar cifras tan enormes. Esto sólo fue posible después de los matemáticos indios en el siglo VI. El número cero fue inventado y empezó a denotar la ausencia de unidades en los lugares decimales de un número.
Al dividir el botín y más tarde al medir los valores, y en otros casos similares, se encontró con la necesidad de introducir “números quebrados” - fracciones comunes. Las operaciones con fracciones se consideraban el área más difícil de las matemáticas en la Edad Media. Hasta el día de hoy, los alemanes dicen que una persona que se encuentra en una situación difícil “se ha dividido en fracciones”.
Para facilitar el trabajo con fracciones, se inventaron los decimales. fracciones. En Europa fueron introducidos en X585 por el matemático e ingeniero holandés Simon Stevin.
Los números negativos aparecieron más tarde que las fracciones. Durante mucho tiempo, estos números se consideraron "inexistentes", "falsos", principalmente debido al hecho de que la interpretación aceptada de los números positivos y negativos "propiedad - deuda" generaba confusión: se podía sumar o restar "propiedad" o “deudas”, pero ¿cómo entender el trabajo o “propiedad” privada y “deuda”?
Sin embargo, a pesar de tales dudas y perplejidades, en el siglo III se propusieron reglas para multiplicar y dividir números positivos y negativos. el matemático griego Diofanto (en la forma: “Lo que se resta, multiplicado por lo que se suma, da el sustraendo; lo que se resta por el sustraendo da lo que se suma”, etc.), y más tarde el matemático indio Bhaskar (siglo XII) expresó las mismas reglas en los conceptos de “propiedad”, “deuda” (“El producto de dos bienes o dos deudas es propiedad; el producto de propiedad y deuda es deuda”. La misma regla se aplica a la división).
Se encontró que las propiedades de las operaciones con números negativos son las mismas que las de números positivos (por ejemplo, la suma y la multiplicación tienen la propiedad conmutativa). Y finalmente, desde principios del siglo pasado, los números negativos se han vuelto iguales a los números positivos.
Más tarde, aparecieron nuevos números en matemáticas: irracionales, complejos y otros. Aprendes sobre ellos en la escuela secundaria.
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matemáticas para el sexto grado, Libro de texto para la escuela secundaria
Libros y libros de texto según el plan calendario para descargar matemáticas de sexto grado, ayuda para escolares en línea
Bádamshinskaya escuela secundaria №2
matemáticas
en sexto grado
"Acciones con números racionales"
preparado
profesor de matematicas
Babenko Larisa Grigorievna
Con. badamsha
2014
Tema de la lección:« Operaciones con números racionales».
tipo de lección :
Lección de generalización y sistematización del conocimiento.
Objetivos de la lección:
educativo:
Resumir y sistematizar los conocimientos de los estudiantes sobre las reglas de las operaciones con números positivos y negativos;
Fortalecer la capacidad de aplicar reglas durante los ejercicios;
Desarrollar habilidades de trabajo independiente;
desarrollando:
Desarrollar el pensamiento lógico, el habla matemática y las habilidades computacionales; - desarrollar la capacidad de aplicar los conocimientos adquiridos para resolver problemas aplicados; - ampliar sus horizontes;
levantamiento:
Educación interés cognitivo al tema.
Equipo:
Hojas con textos de tareas, asignaciones para cada alumno;
Matemáticas. Libro de texto para 6to grado de instituciones de educación general/
N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhojov, A.S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. – M., 2010.
Plan de estudios:
Organizar el tiempo.
Trabajar oralmente
Repasar las reglas para sumar y restar números con diferentes signos. Actualización de conocimientos.
Resolver tareas según el libro de texto.
ejecutando la prueba
Resumiendo la lección. Poner la tarea
Reflexión
durante las clases
Organizar el tiempo.
Saludos de profesores y alumnos.
Informe el tema de la lección, el plan de trabajo de la lección.
Hoy tenemos una lección inusual. En esta lección recordaremos todas las reglas de las operaciones con números racionales y la capacidad de realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división.
El lema de nuestra lección será una parábola china:
“Dímelo y lo olvidaré;
Muéstrame y lo recordaré;
Déjame hacerlo y lo entenderé”.
Quiero invitarte a un viaje.
En medio del espacio donde se veía claramente el amanecer, se extendía un país estrecho y deshabitado: una recta numérica. Se desconoce dónde comenzó y se desconoce dónde terminó. Y los primeros en poblar este país fueron los números naturales. ¿Qué números se llaman números naturales y cómo se designan?
Respuesta:
Los números 1, 2, 3, 4,…..utilizados para contar objetos o para indicar el número de serie de un objeto entre objetos homogéneos se llaman naturales (norte ).
conteo verbal
88-19 72:8 200-60
Respuestas: 134; 61; 2180.
Había un número infinito de ellos, pero el país, aunque pequeño en ancho, era infinito en largo, de modo que todo, desde uno hasta el infinito, encajaba y formaba el primer estado, un conjunto de números naturales.
Trabajando en una tarea.
El país era extraordinariamente hermoso. En todo su territorio se ubicaron magníficos jardines. Estos son cereza, manzana, melocotón. Echaremos un vistazo a uno de ellos ahora.
Cada tres días hay un 20 por ciento más de cerezas maduras. ¿Cuántos frutos maduros tendrá esta cereza después de 9 días, si al inicio de la observación tenía 250 cerezas maduras?
Respuesta: En esta cereza habrá 432 frutos maduros en 9 días (300; 360; 432).
Algunos números nuevos comenzaron a asentarse en el territorio del primer estado, y estos números, junto con los naturales, formaron un nuevo estado, descubriremos cuál resolviendo el problema.
Los alumnos tienen dos hojas de papel sobre sus pupitres:
1. Calcular:
1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7,5:(-0,5) 4)-4x(-15)
1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12
1)48-54 2)37-(-37) 3)-52,7+42,7 4)-6x1/3
1)-12x(-6) 2)-90:(-15) 3)-25+45 4)6-(-10)
Ejercicio: Conecta todos los números naturales en secuencia sin levantar la mano y nombra la letra resultante.
Respuestas al examen:
5 68 15 60
72 6 20 16
Pregunta:¿Qué significa este símbolo? ¿Qué números se llaman números enteros?
Respuestas: 1) A la izquierda, desde el territorio del primer estado, se asentó el número 0, a su izquierda -1, aún más a la izquierda -2, etc. hasta el infinito. Estos números, junto con los números naturales, formaron un nuevo estado extendido, el conjunto de los números enteros.
2) Los números naturales, sus opuestos y el cero se llaman números enteros ( z ).
Repetición de lo aprendido..
1) La siguiente página de nuestro cuento de hadas está encantada. Desencantémoslo, corrigiendo errores.
27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0
63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124
50 · 8 27 -18: (-2)
Respuestas:
-27 4 27 0 (-27) = 0
-50 8 4 -36: 6
2) Sigamos escuchando la historia.
En los lugares libres de la recta numérica se les sumaron fracciones 2/5; −4/5; 3,6; −2,2;... Las fracciones, junto con los primeros pobladores, formaron el siguiente estado expandido: un conjunto de números racionales. ( q)
1) ¿Qué números se llaman racionales?
2) ¿Es cualquier número entero o fracción decimal un número racional?
3) Demuestre que cualquier número entero, cualquier fracción decimal, es un número racional.
Tarea en la pizarra: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .
Respuestas:
1) Un número que se puede escribir como una razón. , donde a es un número entero y n es un número natural, se llama número racional .
2) Sí.
3) .
Ahora conoces los números enteros y fraccionarios, positivos y negativos, e incluso el número cero. Todos estos números se llaman racionales, lo que traducido al ruso significa " sujeto a la mente."
Numeros racionales
positivo cero negativo
fraccionario entero fraccionario entero
Para poder estudiar matemáticas con éxito (y no solo matemáticas) en el futuro, es necesario tener un buen conocimiento de las reglas de las operaciones aritméticas con números racionales, incluidas las reglas de los signos. ¡Y son tan diferentes! No tardará mucho en confundirse.
Minuto de educación física.
Pausa dinámica.
Maestro: Cualquier trabajo requiere un descanso. ¡Descansemos!
Hagamos ejercicios de recuperación:
1) Uno, dos, tres, cuatro, cinco -
¡Una vez! Levántate, levántate,
¡Dos! Inclínate, endereza,
¡Tres! Tres palmadas de tus manos,
Tres movimientos de cabeza.
Cuatro significa manos más anchas.
Cinco: agita los brazos. Seis: siéntate tranquilamente en tu escritorio.
(Los niños realizan movimientos siguiendo al maestro según el contenido del texto).
2) Parpadea rápidamente, cierra los ojos y siéntate ahí mientras cuentas hasta cinco. Repita 5 veces.
3) Cierra bien los ojos, cuenta hasta tres, ábrelos y mira a lo lejos, contando hasta cinco. Repita 5 veces.
Página histórica.
En la vida, como en los cuentos de hadas, la gente “descubrió” gradualmente los números racionales. Al principio, al contar objetos, surgieron los números naturales. Al principio eran pocos. Al principio solo surgieron los números 1 y 2. Las palabras “solista”, “sol”, “solidaridad” provienen del latín “solus” (uno). Muchas tribus no tenían otros números. En lugar de "3" dijeron "uno-dos", en lugar de "4" dijeron "dos-dos". Y así hasta las seis. Y luego vino "mucho". La gente se topaba con fracciones al dividir el botín y al medir cantidades. Para facilitar el trabajo con fracciones, se inventaron decimales. Fueron introducidos en Europa en 1585 por un matemático holandés.
Trabajando en ecuaciones
Descubrirás el nombre de un matemático resolviendo ecuaciones y usando la línea de coordenadas para encontrar la letra correspondiente a una coordenada determinada.
1) -2,5 + x = 3,5 2) -0,3 x = 0,6 3) y – 3,4 = -7,4
4) – 0,8: x = -0,4 5)a · (-8) =0 6)metro + (- )=
E A T M I O V R N U S
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Respuestas:
6 (C) 4)2 (B)
-2 (T) 5) 0 (yo)
-4(E) 6)4(H)
STEVIN - Matemático e ingeniero holandés (Simon Stevin)
Página histórica.
Maestro:
Sin conocer el pasado en el desarrollo de la ciencia, es imposible comprender su presente. La gente aprendió a realizar operaciones con números negativos incluso antes de nuestra era. Los matemáticos indios consideraban los números positivos como “propiedades” y los números negativos como “deudas”. Así es como el matemático indio Brahmagupta (siglo VII) estableció algunas reglas para realizar operaciones con números positivos y negativos:
"La suma de dos propiedades es propiedad"
"La suma de dos deudas es una deuda"
"La suma de los bienes y las deudas es igual a su diferencia".
“El producto de dos activos o dos deudas es propiedad”, “El producto de activos y deuda es deuda”.
Chicos, traduzcan las antiguas reglas indias al lenguaje moderno.
Mensaje del maestro:
Como si no hubiera calor en el mundo sin el sol,
Sin nieve invernal y sin hojas de flores,
¡No hay operaciones sin signos en matemáticas!
Se pide a los niños que adivinen qué señal de acción falta.
Ejercicio. Completa el carácter que falta.
− 1,2 1,4 = − 2,6
3,2 (− 8) = − 0,4
1 (− 1,7) = 2,7
− 4,5 (− 0,5) = 9
− 1,3 2,8 = 1,5
Respuestas: 1) + 2) ∙ 3) − 4): 5) − 6):
Trabajo independiente(escriba las respuestas a las tareas en la hoja):
Comparar números
encontrar sus módulos
comparar con cero
encontrar su suma
encontrar su diferencia
encontrar el trabajo
encontrar el cociente
escribe los números opuestos
encuentra la distancia entre estos números
10) cuántos números enteros se encuentran entre ellos
11) encuentre la suma de todos los números enteros ubicados entre ellos.
Criterios de evaluación: todo se resolvió correctamente – “5”
1-2 errores - "4"
3-4 errores - "3"
más de 4 errores - “2”
Trabajo individual por tarjetas(además).
Tarjeta 1. Resuelve la ecuación: 8,4 – (x – 3,6) = 18
Tarjeta 2. Resuelve la ecuación: -0,2x · (-4) = -0,8
Tarjeta 3. Resuelve la ecuación: =
respuestas a las tarjetas :
1) 6; 2) -1; 3) 4/15.
Juego "Examen".
Los habitantes del país vivían felices, jugaban, resolvían problemas, ecuaciones y nos invitaban a jugar para resumir los resultados.
Los estudiantes se acercan a la pizarra, toman una tarjeta y responden la pregunta escrita en el reverso.
Preguntas:
1. ¿Cuál de dos números negativos se considera mayor?
2. Formule la regla para dividir números negativos.
3. Formule la regla para multiplicar números negativos.
4. Formule una regla para multiplicar números con diferentes signos.
5. Formule una regla para dividir números con diferentes signos.
6. Formule la regla para sumar números negativos.
7. Formule una regla para sumar números con diferentes signos.
8. ¿Cómo encontrar la longitud de un segmento en una línea de coordenadas?
9. ¿Qué números se llaman números enteros?
10. ¿Qué números se llaman racionales?
Resumiendo.
Maestro: Hoy tarea será creativo:
Prepare un mensaje "Números positivos y negativos que nos rodean" o redacte un cuento de hadas.
« ¡¡¡Gracias por la leccion!!!"
De vuelta atras
¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si estás interesado este trabajo, descargue la versión completa.
Tipo de lección: una lección sobre generalización y sistematización de conocimientos utilizando tecnología informática.
Objetivos de la lección:
- Educativo:
- mejorar las habilidades para resolver ejemplos y ecuaciones sobre el tema "Propiedades de las operaciones con números racionales";
- consolidar la capacidad de realizar operaciones aritméticas con números racionales;
- probar la capacidad de utilizar las propiedades de las operaciones aritméticas para simplificar expresiones con números racionales;
- Generalizar y sistematizar el material teórico.
- De desarrollo:
- desarrollar habilidades de conteo mental;
- desarrollar el pensamiento lógico;
- desarrollar la capacidad de expresar clara y claramente sus pensamientos;
- desarrollar el discurso matemático de los estudiantes en el proceso de realizar trabajos orales para reproducir material teórico;
- ampliar los horizontes de los estudiantes.
- Educativo:
- desarrollar la capacidad de trabajar con la información disponible;
- desarrollar el respeto por el tema;
- cultive la capacidad de escuchar a su amigo, un sentido de asistencia y apoyo mutuos;
- Contribuir al desarrollo del autocontrol y el control mutuo entre los estudiantes.
Equipamiento y visibilidad: computadora, proyector multimedia, pantalla, presentación interactiva, tarjetas didácticas para contar mentalmente, crayones .
Estructura de la lección:
DURANTE LAS CLASES
I. Momento organizacional
II. Comunicar el tema y los objetivos de la lección.
Comprobar la preparación de los estudiantes para la lección. Comunicar los objetivos y el plan de la lección a los estudiantes.
– El tema de nuestra lección: “Propiedades de las acciones con números racionales”, y les pido que lean a coro el lema de la lección:
Sí, el camino del conocimiento no es fácil.
Pero sabemos por nuestros años escolares,
Hay más misterios que respuestas,
¡Y no hay límite para la búsqueda!
Y hoy en clase crearemos de forma amigable y activa un periódico matemático. Yo seré el editor en jefe y ustedes serán los correctores. ¿Cómo entiendes el significado de esta palabra?
Para poner a prueba a otros, necesitamos sistematizar nuestro conocimiento sobre el tema "Propiedades de las operaciones con números racionales".
Y nuestro periódico se llama “Números Racionales”. ¿Y traducido al tártaro?
He oído que sabes bien inglés, pero ¿cómo llamarán los ingleses a este periódico?
Les presento un diagrama de un periódico, que consta de las siguientes secciones: lectura a coro: “ Ellos preguntan - nosotros respondemos», « noticias diarias», « Subasta de proyectos», « Informe actual»,
« Sabes...?".
III. Actualización de conocimientos de referencia.
Trabajo oral:
En la primera sección "Ellos preguntan, nosotros respondemos" Necesitamos comprobar la exactitud de la información que nuestros corresponsales nos envían por carta. Mira con atención y cuéntanos qué reglas debemos recordar para comprobar esta información.
1. Regla para sumar números negativos:
"Para sumar dos números negativos, es necesario: 1) sumar sus módulos, 2) poner un signo menos delante del número resultante".
2. Regla para dividir números con diferentes signos:
“Al dividir números con signos diferentes, debes: 1) dividir el módulo del dividendo por el módulo del divisor, 2) poner un signo menos delante del número resultante”.
3. Regla para multiplicar dos números negativos:
"Para multiplicar dos números negativos, es necesario multiplicar sus valores absolutos".
4. Regla para multiplicar números de diferente signo:
"Para multiplicar dos números con signos diferentes, debes multiplicar los valores absolutos de estos números y poner un signo menos delante del número resultante".
5. La regla para dividir un número negativo por un número negativo:
"Para dividir un número negativo entre un número negativo, debes dividir el módulo del dividendo por el módulo del divisor".
6. Regla para sumar números con diferentes signos:
“Para sumar dos números con signos diferentes, es necesario 1) restar el menor del módulo mayor de los términos, 2) poner delante del número resultante el signo del término cuyo módulo es mayor.
1) – 8,4 + (– 8,4) = 0; (– 16,8)
2) (– 6,7) . (– 10) = – 67; (67)
3) (– 2,2) + 3,5 = 1,3;
4) – 13 – 8 = – 5; (– 21)
5) 15 – 18 = – 13; (– 3)
6) 7,4 – (– 3,2) = – 10,6; (10,6)
7) – 9 . 6 = – 54;
8) – 3,6 . 1 = –1; (– 3,6)
9) – 18: (– 0,3) = 60;
10) – 3,7 . 0 = – 3,7. (0)
- Bien hecho, hiciste un buen trabajo.
IV. Reforzar el material cubierto.
– Y ahora pasamos al apartado "Noticias diarias" Para completar esta sección, necesitamos sistematizar nuestro conocimiento sobre los números.
– ¿Qué números conoces? (Natural, fraccionario, racional)
– ¿Qué números se consideran racionales? (Positivo, negativo y 0)
– ¿Qué propiedades de los números racionales conoces? (Conmutativo, asociativo y distributivo, multiplicación por 1, multiplicación por 0)
– Ahora pasemos al trabajo escrito. Abrimos nuestros cuadernos, anotamos el número, trabajo de clase, tema “Propiedades de las operaciones con números racionales”.
Usando estas propiedades, simplificamos las expresiones:
A) x + 32 – 16 = x + 16
B) – x – 18 – 23 = – x – 41
B) – 1,5 + x – 20 = – 21,5 + x
D) 12 – 26 + x = x – 14
D) 1,7 + 3,6 – x = 5,3 – x
mi) – x + a + 6,1 – a + 2,8 – 8,8 = – x + 0,1
– Y los siguientes ejemplos nos exigen hacer aún más decision racional con una explicación.
– 98 + 85 + 45 – 55 – 28 + 63 = 12
– 6,56 + 2,4 – 3,2 + 6,56 + 4 + 3,2 – 2,4 = 4
– 19,61 * 20 + 19,61 * 120 = 1961
12/04/1961 – ¿Las respuestas que recibiste te dicen algo?
Hace 50 años, el 12 de abril de 1961, Yuri Gagarin voló al espacio. La ciudad de Zainsk también tiene su propia historia espacial: 9 de marzo de 1961, módulo de descenso nº 1 astronave El VOSTOK-4 realizó un aterrizaje suave cerca del pueblo de Stary Tokmak, en el distrito de Zainsky, con un muñeco humano, un perro y otros animales pequeños a bordo. Y en honor a este evento se erigirá un monumento en nuestra zona. Ahora la ciudad tiene una comisión de competencia. Hay 3 proyectos participando en el concurso, están frente a ti en la pantalla. Y ahora realizaremos una subasta de proyectos.
Te pido que votes por tu proyecto favorito. Su voto puede ser decisivo.
V. Minuto de educación física
– Expresas tu opinión con aplausos y pisotones. ¡Ensayemos! Tres aplausos y tres estampillas.
- Intentemoslo de nuevo. Entonces comienza la votación:
– Damos nuestros votos por el Diseño No. 1
– Damos nuestros votos por el Diseño No. 2
– Damos nuestros votos por el Diseño No. 3
- Y ahora todos los diseños juntos.
– Diseño No. ganado... Gracias, grabé sus votos (levanta el celular y se lo muestra a los niños) y los pasaré a la comisión de escrutinio.
- Bien hecho, gracias. Y por delante no es menos importante. Informe actual.
VI. Preparación para el examen estatal
En categoría "Informe actual" Recibí una carta donde un estudiante pide ayuda para resolver las tareas del examen final de noveno grado. Necesitamos que todos resuelvan tareas y exámenes de forma independiente.<Anexo 1 > en vuestras mesas:
1. Resuelve las ecuaciones:
a) (x + 3)(x – 6) = 0
1) x = 3, x = – 6
2) x = – 3, x = – 6
3) x = – 3, x = 6