Cochera 

Intervalos numéricos. Los segmentos numéricos, intervalos, semiintervalos y rayos se denominan intervalos numéricos.

Intervalos numéricos. Contexto. Definición

Una igualdad (ecuación) tiene un punto en la recta numérica (aunque este punto depende de las transformaciones realizadas y de la raíz elegida). La solución de la ecuación en sí será un conjunto numérico (a veces formado por un solo número). Sin embargo, todo esto en la recta numérica (visualización de un conjunto de números reales) se mostrará solo de forma puntual, pero también existen tipos de relaciones más generalizadas entre dos números: las desigualdades. En ellos, la recta numérica se divide por un determinado número y se corta una determinada parte: los valores de una expresión o un intervalo numérico.

Es lógico discutir el tema de los intervalos numéricos junto con las desigualdades, pero esto no significa que esté relacionado únicamente con ellas. Los intervalos numéricos (intervalos, segmentos, rayos) son un conjunto de valores de variables que satisfacen una determinada desigualdad. Es decir, en esencia, es el conjunto de todos los puntos de la recta numérica, limitados por algún tipo de marco. Por lo tanto, el tema de los intervalos numéricos está más estrechamente relacionado con el concepto. variable. Cuando hay una variable, o un punto arbitrario x en la recta numérica, y se usa, también hay intervalos numéricos, intervalos - valores x. A menudo, el valor puede ser cualquier cosa, pero también es un intervalo numérico que cubre toda la recta numérica.

Introduzcamos el concepto. intervalo numérico. Entre los conjuntos numéricos, es decir, aquellos cuyos objetos son números, se distinguen los llamados intervalos numéricos. Su valor es que es muy fácil imaginar un conjunto correspondiente a un intervalo numérico específico, y viceversa. Por tanto, con su ayuda conviene anotar muchas soluciones a una desigualdad. Mientras que el conjunto de soluciones a la ecuación no será un intervalo numérico, sino simplemente varios números en la recta numérica, con desigualdades, es decir, cualquier restricción en el valor de una variable, aparecen intervalos numéricos.

Un intervalo numérico es el conjunto de todos los puntos de la recta numérica, limitados por un número o números determinados (puntos de la recta numérica).

Un intervalo numérico de cualquier tipo (un conjunto de valores de x encerrados entre ciertos números) siempre se puede representar mediante tres tipos de notación matemática: notación especial para intervalos, cadenas de desigualdades (desigualdad simple o desigualdad doble) o geométricamente sobre un número. línea. En esencia, todas estas designaciones tienen el mismo significado. Proporcionan una(s) restricción(es) sobre los valores de algún objeto matemático, variable (alguna variable, cualquier expresión con una variable, función, etc.).

De lo anterior se puede entender que dado que es posible limitar el área de la recta numérica de diferentes formas (hay diferentes tipos desigualdades), entonces existen diferentes tipos de intervalos numéricos.

Tipos de intervalos numéricos

Cada tipo de intervalo numérico tiene su propio nombre, una designación especial. Para indicar intervalos numéricos, se utilizan corchetes y corchetes. Un paréntesis significa que el punto final que define el límite en la recta numérica (final) de este paréntesis no está incluido en el conjunto de puntos de este intervalo. El corchete significa que el extremo encaja en el espacio. Con infinito (en este lado el intervalo no está limitado) utilice un paréntesis. A veces, en lugar de paréntesis, puedes escribir corchetes girados en la dirección opuesta: (a;b) ⇔]a;b[

Tipo de brecha (nombre) Imagen geométrica (en una recta numérica) Designación Escribir usando desigualdades (siempre encadenadas por brevedad)
Intervalo (abierto) (a;b) a< x < b
Segmento (sección) un ≤ x ≤ b
Medio intervalo (medio segmento) a< x ≤ b
Rayo x≤b
viga abierta (un;+∞) x>a
viga abierta (-∞;b) X< b
El conjunto de todos los números (en una línea de coordenadas) (-∞;+∞) , aunque aquí es necesario indicar el conjunto-portador específico del álgebra con el que se realiza el trabajo; ejemplo: x ∈(suelen hablar del conjunto de los números reales; para representar números complejos utilizan el plano complejo, no la recta)
Igualdad o x=a x = un (caso especial desigualdad no estricta: un ≤ x ≤ un- un intervalo de longitud 1, donde ambos extremos coinciden - un segmento que consta de un punto)
Conjunto vacio ∅ El conjunto vacío también es un intervalo: la variable x no tiene valores (el conjunto vacío). Designación: x∈∅⇔x∈( ).

Los nombres de los intervalos pueden resultar confusos: hay una gran cantidad de opciones. Por eso, siempre es mejor indicarlos con precisión. En la literatura inglesa solo se utiliza el término. intervalo ("intervalo") - abierto, cerrado, medio abierto (medio cerrado). Hay muchas variaciones.

Los intervalos en matemáticas se utilizan para denotar una gran cantidad de cosas: hay intervalos de aislamiento al resolver ecuaciones, intervalos de integración, intervalos de convergencia de series. Al estudiar una función, siempre se utilizan intervalos para indicar su rango de valores y dominio de definición. Las brechas son muy importantes, por ejemplo, hay Teorema de Bolzano-Cauchy(puedes encontrar más información en Wikipedia).

Sistemas y conjuntos de desigualdades.

Sistema de desigualdades

Entonces, una variable x o el valor de alguna expresión se puede comparar con algún valor constante; esto es una desigualdad, pero esta expresión se puede comparar con varias cantidades: una doble desigualdad, una cadena de desigualdades, etc. mostrado arriba, como un intervalo y un segmento. Ambos son sistema de desigualdades.

Entonces, si la tarea es encontrar el conjunto soluciones generales dos o más desigualdades, entonces podemos hablar de resolver un sistema de desigualdades (al igual que con las ecuaciones, aunque podemos decir que las ecuaciones son un caso especial).

Entonces es obvio que el valor de la variable utilizada en las desigualdades, en el que cada una de ellas se vuelve verdadera, se llama solución del sistema de desigualdades.

Todas las desigualdades incluidas en el sistema se combinan con una llave - "(". A veces se escriben en la forma doble desigualdad(como se muestra arriba) o incluso cadena de desigualdades. Ejemplo de una entrada típica: f x ≤ 30 g x 5 .

Solución de sistemas desigualdades lineales con una variable en el caso general se reduce a estos 4 tipos: x > a x > b (1) x > a x< b (2) x < a x >b(3)x< a x < b (4) . Здесь предполагается, что b > a.

Cualquier sistema se puede resolver gráficamente usando la recta numérica. Donde las soluciones de las desigualdades que componen el sistema se cruzan, habrá una solución para el sistema mismo.

Presentemos una solución gráfica para cada caso.

(1) x>b (2) a ¿Así que lo que ocurre? En el caso (1) la solución es el intervalo (un;+∞). En el caso (2) la solución es el intervalo (a;b). El caso (3) es un ejemplo de una viga abierta. (-∞;a). En el caso (4), las soluciones a las desigualdades individuales no se cruzan: el sistema no tiene soluciones.

Además, los sistemas de desigualdades pueden clasificarse como equivalentes si tienen un conjunto común de soluciones. De aquí (como se puede ver arriba) se deduce que los sistemas más complejos se pueden simplificar (por ejemplo, utilizando una solución geométrica).

La llave se puede hablar en términos generales, en términos generales, llamada el equivalente de la conjunción " Y"por las desigualdades

Conjunto de desigualdades

Sin embargo, hay otros casos. Entonces, además de la intersección de conjuntos de soluciones, existe su unión: si la tarea es encontrar el conjunto de todos los valores de una variable, cada uno de los cuales es una solución de al menos una de las desigualdades dadas, luego dicen que es necesario resolver el conjunto de desigualdades.

Entonces, todas las desigualdades en conjunto están unidas por el corchete agregado "[". Si el valor de una variable satisface al menos una desigualdad de la población, entonces pertenece al conjunto de soluciones de toda la población. Lo mismo ocurre con las ecuaciones (nuevamente, se les puede llamar un caso especial).

Si la llave es Y, entonces el soporte agregado es, condicionalmente, en términos simples, el equivalente de la unión " O" para desigualdades (aunque esto, por supuesto, será un caso lógico o, incluido el caso que cumpla ambas condiciones).

Entonces, la solución a un conjunto de desigualdades es el valor de la variable en el que al menos una desigualdad se vuelve verdadera.

El conjunto de soluciones, tanto conjuntos como sistemas de desigualdades, se puede definir mediante dos operaciones binarias básicas para trabajar con conjuntos: intersección y unión. El conjunto de soluciones de un sistema de desigualdades es intersección conjuntos de soluciones a las desigualdades que lo constituyen. El conjunto de soluciones a un conjunto de desigualdades es Unión conjuntos de soluciones a las desigualdades que lo constituyen. Esto también se puede ilustrar. Digamos que tenemos un sistema y un conjunto de dos desigualdades. Denotamos el conjunto de soluciones de la primera. A, y denotamos el conjunto de soluciones del segundo B. Un excelente ejemplo sería el diagrama de Euler-Venn.

A ∪ B - solución a un sistema de desigualdades A ∩ B - solución a un conjunto de desigualdades

Los intervalos numéricos incluyen rayos, segmentos, intervalos y semiintervalos.

Tipos de intervalos numéricos

NombreImagenDesigualdadDesignación
viga abierta X > a (a; +∞)
X < a (-∞; a)
Haz cerrado X ⩾ a [a; +∞)
X ⩽ a (-∞; a]
Segmento de línea a ⩽ X ⩽ b [a; b]
Intervalo a < X < b (a; b)
Medio intervalo a < X ⩽ b (a; b]
a ⩽ X < b [a; b)

En la mesa a Y b son puntos límite, y X- una variable que puede tomar la coordenada de cualquier punto perteneciente a un intervalo numérico.

punto límite- este es el punto que define el límite del intervalo numérico. Un punto límite puede pertenecer o no a un intervalo numérico. En los dibujos, los puntos límite que no pertenecen al intervalo numérico considerado se indican con un círculo abierto y los que les pertenecen, con un círculo relleno.

Viga abierta y cerrada

viga abierta es un conjunto de puntos en una línea que se encuentra a un lado de un punto límite que no está incluido en este conjunto. El rayo se llama abierto precisamente por el punto límite que no le pertenece.

Consideremos un conjunto de puntos de la recta de coordenadas que tienen una coordenada mayor que 2, y por tanto situados a la derecha del punto 2:

Tal conjunto puede definirse por la desigualdad X> 2. Los rayos abiertos se indican mediante paréntesis - (2; +∞), esta entrada se lee así: rayo numérico abierto desde dos hasta más infinito.

El conjunto al que corresponde la desigualdad. X < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

Haz cerrado es un conjunto de puntos en una línea que se encuentra a un lado de un punto límite que pertenece a un conjunto dado. En los dibujos, los puntos límite que pertenecen al conjunto considerado se indican mediante un círculo relleno.

Los rayos de números cerrados están definidos por desigualdades no estrictas. Por ejemplo, las desigualdades X 2 y X 2 se puede representar así:

Los datos están designados. rayos cerrados entonces: , se lee así: un rayo numérico de dos a más infinito y un rayo numérico de menos infinito a dos. El corchete en la notación indica que el punto 2 pertenece al intervalo numérico.

Segmento de línea

Segmento de línea es el conjunto de puntos de una recta que se encuentra entre dos puntos límite que pertenecen a un conjunto dado. Estos conjuntos se definen por desigualdades dobles no estrictas.

Considere un segmento de una línea de coordenadas con extremos en los puntos -2 y 3:

El conjunto de puntos que forman un segmento dado se puede especificar mediante la doble desigualdad -2 X 3 o designar [-2; 3], dicho registro se lee así: un segmento de menos dos a tres.

Intervalo y medio intervalo

Intervalo- es el conjunto de puntos de una recta que se encuentra entre dos puntos límite que no pertenecen a este conjunto. Estos conjuntos están definidos por desigualdades dobles estrictas.

Considere un segmento de una línea de coordenadas con extremos en los puntos -2 y 3:

El conjunto de puntos que componen un intervalo dado se puede especificar mediante la doble desigualdad -2< X < 3 или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Medio intervalo es el conjunto de puntos de una recta que se encuentra entre dos puntos límite, uno de los cuales pertenece al conjunto y el otro no. Estos conjuntos están definidos por desigualdades dobles:

Estos medios intervalos se designan de la siguiente manera: (-2; 3] y [-2; 3), se lee así: medio intervalo de menos dos a tres, incluido 3, y medio intervalo de menos dos a tres , incluyendo menos dos.


Entre los conjuntos numéricos, es decir conjuntos, cuyos objetos son números, existen los llamados intervalos numéricos. Su valor es que es muy fácil imaginar un conjunto correspondiente a un intervalo numérico específico, y viceversa. Por tanto, con su ayuda conviene anotar muchas soluciones a una desigualdad.

En este artículo veremos todos los tipos de intervalos numéricos. Aquí daremos sus nombres, introduciremos notaciones, representaremos intervalos numéricos en la línea de coordenadas y también mostraremos qué desigualdades simples les corresponden. En conclusión, presentemos visualmente toda la información en forma de tabla de intervalos numéricos.

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Tipos de intervalos numéricos

Cada intervalo numérico tiene cuatro cosas inextricablemente vinculadas:

  • nombre del intervalo numérico,
  • desigualdad correspondiente o doble desigualdad,
  • designación,
  • y su imagen geométrica en forma de imagen sobre una línea de coordenadas.

Cualquier intervalo numérico se puede especificar mediante cualquiera de los últimos tres métodos de la lista: una desigualdad, una notación o su imagen en una línea de coordenadas. Es más, según este método tareas, por ejemplo, sobre desigualdad, otras se pueden restaurar fácilmente (en nuestro caso, notación y imagen geométrica).

Vayamos a los detalles. Describamos todos los intervalos numéricos de los cuatro lados indicados anteriormente.

Tabla de intervalos numéricos

Entonces, en el párrafo anterior definimos y describimos los siguientes intervalos numéricos:

  • haz de números abierto;
  • haz numérico;
  • intervalo;
  • medio intervalo

Por conveniencia, resumimos todos los datos sobre intervalos numéricos en una tabla. Ingresemos en él el nombre del intervalo numérico, la desigualdad correspondiente, la designación y la imagen en la línea de coordenadas. Obtenemos lo siguiente tabla de intervalos numéricos:


Bibliografía.

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B) Recta numérica

Considere la recta numérica (Fig.6):

Considere el conjunto de números racionales.

Cada número racional está representado por un determinado punto en el eje numérico. Entonces, los números están marcados en la figura.

Demostrémoslo.

Prueba. Sea una fracción: . Tenemos derecho a considerar esta fracción irreducible. Desde , entonces - el número es par: - impar. Sustituyendo su expresión encontramos: , lo que implica que es un número par. Hemos obtenido una contradicción que prueba la afirmación.

Entonces, no todos los puntos en el eje numérico representan números racionales. Aquellos puntos que no representan números racionales representan números llamados irracional.

Cualquier número de la forma , , es un número entero o irracional.

Intervalos numéricos

Los segmentos numéricos, intervalos, semiintervalos y rayos se denominan intervalos numéricos.

Desigualdad especificando un intervalo numérico Designación de un intervalo numérico. Nombre del intervalo numérico Se lee así:
un ≤ x ≤ b [a; b] segmento numérico Segmento de a a b
a< x < b (a; b) Intervalo Intervalo de a a b
un ≤ x< b [a; b) Medio intervalo Medio intervalo de a antes b, incluido a.
a< x ≤ b (a; b] Medio intervalo Medio intervalo de a antes b, incluido b.
x ≥ a [a; +∞) Haz numérico Haz numérico desde a hasta más infinito
x>a (a; +∞) Haz de números abiertos Abrir haz numérico desde a hasta más infinito
x ≤ un (- ∞; a] Haz numérico Rayo numérico desde menos infinito hasta a
X< a (- ∞; a) Haz de números abiertos Rayo numérico abierto desde menos infinito hasta a

Representemos los números en la línea de coordenadas. a Y b, así como el número X entre ellos.

El conjunto de todos los números que cumplen la condición. un ≤ x ≤ b, llamado segmento numérico o solo un segmento. Se designa de la siguiente manera: [ a; b] - Se lee así: un segmento de a a b.

El conjunto de números que cumplen la condición. a< x < b , llamado intervalo. Se designa de la siguiente manera: ( a; b)

Se lee así: intervalo de a a b.



Conjuntos de números que satisfacen las condiciones a ≤ x< b или a<x≤b, son llamados semiintervalos. Designaciones:

Establecer un ≤ x< b обозначается так:[a; b), dice así: medio intervalo de a antes b, incluido a.

Un montón de a<x≤b se indica de la siguiente manera:( a; b], dice así: medio intervalo de a antes b, incluido b.

Ahora imaginemos Rayo con un punto a, a la derecha y a la izquierda del cual hay un conjunto de números.

a, cumpliendo la condición x ≥ a, llamado haz numérico.

Se designa de la siguiente manera: [ a; +∞)-Se lee así: un rayo numérico de a a más infinito.

Conjunto de números a la derecha de un punto. a, correspondiente a la desigualdad x>a, llamado haz de números abiertos.

Se designa de la siguiente manera: ( a; +∞)-Se lee así: un rayo numérico abierto de a a más infinito.

a, cumpliendo la condición x ≤ un, llamado rayo numérico desde menos infinito hastaa .

Se designa de la siguiente manera:( - ∞; a]-Se lee así: un rayo numérico desde menos infinito hasta a.

Conjunto de números a la izquierda del punto. a, correspondiente a la desigualdad X< a , llamado rayo de número abierto desde menos infinito hastaa .

Se designa de la siguiente manera: ( - ∞; a)-Se lee así: un rayo numérico abierto desde menos infinito hasta a.

El conjunto de los números reales está representado por toda la línea de coordenadas. El es llamado numero de linea. Se designa de la siguiente manera: ( - ∞; + ∞ )

3) Ecuaciones lineales y desigualdades con una variable, sus soluciones:

Una ecuación que contiene una variable se llama ecuación con una variable o ecuación con una incógnita. Por ejemplo, una ecuación con una variable es 3(2x+7)=4x-1.

La raíz o solución de una ecuación es el valor de una variable en el cual la ecuación se convierte en una verdadera igualdad numérica. Por ejemplo, el número 1 es una solución de la ecuación 2x+5=8x-1. La ecuación x2+1=0 no tiene solución, porque el lado izquierdo de la ecuación siempre es mayor que cero. La ecuación (x+3)(x-4) =0 tiene dos raíces: x1= -3, x2=4.

Resolver una ecuación significa encontrar todas sus raíces o demostrar que no hay raíces.

Las ecuaciones se llaman equivalentes si todas las raíces de la primera ecuación son raíces de la segunda ecuación y viceversa, todas las raíces de la segunda ecuación son raíces de la primera ecuación o si ambas ecuaciones no tienen raíces. Por ejemplo, las ecuaciones x-8=2 y x+10=20 son equivalentes, porque la raíz de la primera ecuación x=10 es también la raíz de la segunda ecuación, y ambas ecuaciones tienen la misma raíz.

Al resolver ecuaciones, se utilizan las siguientes propiedades:

Si mueves un término de una ecuación de una parte a otra, cambiando su signo, obtendrás una ecuación equivalente a la dada.

Si ambos lados de una ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

La ecuación ax=b, donde x es una variable y a y b son algunos números, se llama ecuación lineal con una variable.

Si a¹0, entonces la ecuación tiene una solución única.

Si a=0, b=0, entonces la ecuación se satisface con cualquier valor de x.

Si a=0, b¹0, entonces la ecuación no tiene soluciones, porque 0x=b no se ejecuta para ningún valor de la variable.
Ejemplo 1. Resuelve la ecuación: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Abramos los corchetes en ambos lados de la ecuación, muevamos todos los términos con x al lado izquierdo de la ecuación y los términos que no contienen x al lado derecho, obtenemos:

16x-15x=88-40-12

Ejemplo 2. Resuelve las ecuaciones:

x3-2x2-98x+18=0;

Estas ecuaciones no son lineales, pero mostraremos cómo se pueden resolver.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. El producto es igual a cero, si uno de los factores es igual a cero obtenemos x1=0; x2= .

Respuesta: 0; .

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), es decir (x-2)(x-3)(x+3)=0. Esto muestra que las soluciones de esta ecuación son los números x1=2, x2=3, x3=-3.

c) Imagina 7x como 3x+4x, entonces tenemos: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, por lo tanto x1=-3, x2=- 4.

Respuesta: -3; - 4.
Ejemplo 3. Resuelve la ecuación: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Recordemos la definición del módulo de un número:

Por ejemplo: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

En esta ecuación, bajo el signo del módulo están los números x-1 y x+1. Si x es menor que –1, entonces el número x+1 es negativo, entonces ½x+1½=-x-1. Y si x>-1, entonces ½x+1½=x+1. En x=-1 ½x+1½=0.

De este modo,

Asimismo

a) Considere esta ecuación½x+1½+½x-1½=3 para x £-1, es equivalente a la ecuación -x-1-x+1=3, -2x=3, x=, este número pertenece al conjunto x £-1.

b) Sea -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) Considere el caso x>1.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Este número pertenece al conjunto x>1.

Respuesta: x1=-1,5; x2=1,5.
Ejemplo 4. Resuelve la ecuación:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Mostremos un breve registro de la solución de la ecuación, revelando el signo del módulo "en intervalos".

x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)

Respuesta: [-2; 0]
Ejemplo 5. Resuelva la ecuación: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), para todos los valores del parámetro a.

En realidad, hay dos variables en esta ecuación, pero considere x como la incógnita y a como el parámetro. Se requiere resolver la ecuación de la variable x para cualquier valor del parámetro a.

Si a=1, entonces la ecuación tiene la forma 0×x=0; cualquier número satisface esta ecuación.

Si a=-1, entonces la ecuación se ve como 0×x=-2; ni un solo número satisface esta ecuación.

Si a¹1, a¹-1, entonces la ecuación tiene una solución única.

Respuesta: si a=1, entonces x es cualquier número;

si a=-1, entonces no hay soluciones;

si a¹±1, entonces.

B) Desigualdades lineales con una variable.

Si a la variable x se le da cualquier valor numérico, entonces obtenemos una desigualdad numérica que expresa un enunciado verdadero o falso. Sea, por ejemplo, dada la desigualdad 5x-1>3x+2. Para x=2 obtenemos 5·2-1>3·2+2 – una afirmación verdadera (declaración numérica verdadera); para x=0 obtenemos 5·0-1>3·0+2 – una afirmación falsa. Cualquier valor de una variable en el que una desigualdad dada con una variable se convierte en una desigualdad numérica verdadera se llama solución de la desigualdad. Resolver una desigualdad con una variable significa encontrar el conjunto de todas sus soluciones.

Se dice que dos desigualdades con la misma variable x son equivalentes si los conjuntos de soluciones de estas desigualdades coinciden.

La idea principal para resolver la desigualdad es la siguiente: reemplazamos la desigualdad dada por otra, más simple, pero equivalente a la dada; volvemos a reemplazar la desigualdad resultante con una desigualdad más simple equivalente a ella, etc.

Dichas sustituciones se realizan sobre la base de las siguientes declaraciones.

Teorema 1. Si cualquier término de una desigualdad con una variable se transfiere de una parte de la desigualdad a otra con el signo opuesto, dejando el signo de la desigualdad sin cambios, entonces se obtendrá una desigualdad equivalente a la dada.

Teorema 2. Si ambos lados de una desigualdad con una variable se multiplican o dividen por el mismo número positivo, sin cambiar el signo de la desigualdad, entonces se obtendrá una desigualdad equivalente a la dada.

Teorema 3. Si ambos lados de una desigualdad con una variable se multiplican o dividen por el mismo número negativo, cambiando el signo de la desigualdad al opuesto, entonces se obtendrá una desigualdad equivalente a la dada.

Una desigualdad de la forma ax+b>0 se llama lineal (respectivamente, ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Ejemplo 1. Resuelve la desigualdad: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).

Abriendo los paréntesis, obtenemos 2x-6+5-5x³6x-15,

Entre los conjuntos de números, hay conjuntos donde los objetos son intervalos numéricos. Al indicar un conjunto, es más fácil determinarlo por el intervalo. Por lo tanto, escribimos conjuntos de soluciones utilizando intervalos numéricos.

Este artículo proporciona respuestas a preguntas sobre intervalos numéricos, nombres, notaciones, imágenes de intervalos en una línea de coordenadas y correspondencia de desigualdades. Finalmente, se discutirá la tabla de brechas.

Definición 1

Cada intervalo numérico se caracteriza por:

  • nombre;
  • la presencia de desigualdad ordinaria o doble;
  • designación;
  • imagen geométrica en una coordenada en línea recta.

El intervalo numérico se especifica utilizando cualquiera de los 3 métodos de la lista anterior. Es decir, cuando se utiliza desigualdad, notación, imagen en la línea de coordenadas. Este método es el más aplicable.

Describamos los intervalos numéricos con los lados mencionados anteriormente:

Definición 2

  • Haz de números abierto. El nombre proviene de que se omite, dejándolo abierto.

Este intervalo tiene las desigualdades correspondientes x< a или x >a , donde a es un número real. Es decir, en tal rayo hay todos los números reales menores que a - (x< a) или больше a - (x >a) .

El conjunto de números que satisfacen una desigualdad de la forma x.< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a como (a, + ∞) .

El significado geométrico de un rayo abierto considera la presencia de un intervalo numérico. Existe una correspondencia entre los puntos de una línea de coordenadas y sus números, por lo que la línea se llama línea de coordenadas. Si necesita comparar números, entonces en la línea de coordenadas el número mayor está a la derecha. Entonces una desigualdad de la forma x< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >a – puntos que están a la derecha. El número en sí no es adecuado para la solución, por lo que se indica en el dibujo con un punto perforado. El espacio requerido se resalta mediante sombreado. Considere la siguiente figura.

De la figura anterior se desprende claramente que los intervalos numéricos corresponden a partes de la línea, es decir, rayos que comienzan en a. En otras palabras, se les llama rayos sin principio. Por eso recibió el nombre de haz de números abiertos.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Para una desigualdad estricta dada x > − 3, se especifica una viga abierta. Esta entrada se puede representar en forma de coordenadas (− 3, ∞). Es decir, todos estos son puntos que se encuentran a la derecha de - 3.

Ejemplo 2

Si tenemos una desigualdad de la forma x< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

Definición 3

  • Haz numérico. El significado geométrico es que el inicio no se descarta, es decir, el rayo conserva su utilidad.

Su tarea se lleva a cabo utilizando desigualdades no estrictas de la forma x ≤ a o x ≥ a. Para este tipo se aceptan notaciones especiales de la forma (− ∞, a ] y [ a , + ∞), y la presencia de un corchete significa que el punto está incluido en la solución o en el conjunto. Considere la siguiente figura.

Para un ejemplo claro, definamos un rayo numérico.

Ejemplo 3

Una desigualdad de la forma x ≥ 5 corresponde a la notación [ 5 , + ∞), entonces obtenemos un rayo de la siguiente forma:

Definición 4

  • Intervalo. Un enunciado que usa intervalos se escribe usando desigualdades dobles a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Considere la siguiente figura.

Ejemplo 4

Ejemplo de intervalo − 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

Definición 5

  • Segmento numérico. Este intervalo se diferencia en que incluye puntos límite, luego tiene la forma a ≤ x ≤ b. Esta desigualdad no estricta sugiere que cuando se escribe en forma de segmento numérico, se utilizan corchetes [a, b], lo que significa que los puntos están incluidos en el conjunto y se representan sombreados.

Ejemplo 5

Habiendo examinado el segmento, encontramos que su definición es posible usando la doble desigualdad 2 ≤ x ≤ 3, que representamos en la forma 2, 3. En la línea de coordenadas, los puntos dados se incluirán en la solución y se sombrearán.

Definición 6 Ejemplo 6

Si hay un semiintervalo (1, 3], entonces su designación puede ser en forma de doble desigualdad 1< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Definición 7

Los intervalos se pueden representar como:

  • haz de números abierto;
  • haz numérico;
  • intervalo;
  • numero de linea;
  • medio intervalo

Para simplificar el proceso de cálculo, debe utilizar una tabla especial que contiene designaciones para todos los tipos de intervalos numéricos de una línea.

Nombre Desigualdad Designación Imagen
Haz de números abiertos X< a - ∞ ,a
x>a un , + ∞
Haz numérico x ≤ un (- ∞ , un ]
x ≥ a [a, + ∞)
Intervalo a< x < b a, b
segmento numérico un ≤ x ≤ b a, b

Medio intervalo