Baño 

Derivado de phi. Derivada de una función compleja. Derivada de una función exponencial

Primer nivel

Derivada de una función. La guía definitiva (2019)

Imaginemos una carretera recta que pasa por una zona montañosa. Es decir, sube y baja, pero no gira a derecha ni a izquierda. Si el eje se dirige horizontalmente a lo largo de la carretera y verticalmente, entonces la línea de la carretera será muy similar a la gráfica de alguna función continua:

El eje es un cierto nivel de altitud cero, en la vida usamos el nivel del mar como tal.

A medida que avanzamos por ese camino, también avanzamos hacia arriba o hacia abajo. También podemos decir: cuando cambia el argumento (movimiento a lo largo del eje de abscisas), cambia el valor de la función (movimiento a lo largo del eje de ordenadas). Ahora pensemos en cómo determinar la "inclinación" de nuestro camino. ¿Qué tipo de valor podría ser este? Es muy simple: cuánto cambiará la altura al avanzar una cierta distancia. De hecho, en diferentes tramos de la carretera, avanzando (a lo largo del eje x) un kilómetro, subiremos o bajaremos diferentes cantidades metros con respecto al nivel del mar (a lo largo del eje de ordenadas).

Denotemos el progreso (léase "delta x").

La letra griega (delta) se usa comúnmente en matemáticas como prefijo que significa "cambio". Es decir, este es un cambio en la cantidad, un cambio; ¿entonces que es eso? Así es, un cambio de magnitud.

Importante: una expresión es un todo único, una variable. ¡Nunca separes la “delta” de la “x” o de cualquier otra letra! Es decir, por ejemplo.

Así que hemos avanzado horizontalmente. Si comparamos la línea del camino con la gráfica de la función, ¿cómo denotamos el ascenso? Ciertamente, . Es decir, a medida que avanzamos, ascendemos más.

El valor es fácil de calcular: si al principio estábamos en una altura, y después de movernos nos encontramos en una altura, entonces. Si el punto final es más bajo que el punto inicial, será negativo; esto significa que no estamos ascendiendo, sino descendiendo.

Volvamos a la "inclinación": este es un valor que muestra cuánto (empinada) aumenta la altura al avanzar una unidad de distancia:

Supongamos que en algún tramo de la carretera, al avanzar un kilómetro, la carretera sube un kilómetro. Entonces la pendiente en este lugar es igual. ¿Y si la carretera, avanzando m, bajara km? Entonces la pendiente es igual.

Ahora miremos la cima de una colina. Si tomas el inicio del tramo medio kilómetro antes de la cumbre, y el final medio kilómetro después de ella, verás que la altura es casi la misma.

Es decir, según nuestra lógica, resulta que la pendiente aquí es casi igual a cero, lo que claramente no es cierto. En poco más de unos kilómetros muchas cosas pueden cambiar. Es necesario considerar áreas más pequeñas para una evaluación más adecuada y precisa de la pendiente. Por ejemplo, si mides el cambio de altura a medida que avanzas un metro, el resultado será mucho más preciso. Pero incluso esta precisión puede no ser suficiente para nosotros; después de todo, si hay un poste en medio de la carretera, podemos simplemente pasarlo. ¿Qué distancia debemos elegir entonces? ¿Centímetro? ¿Milímetro? ¡Menos es mejor!

EN vida real Medir distancias al milímetro más cercano es más que suficiente. Pero los matemáticos siempre luchan por alcanzar la perfección. Por lo tanto, se inventó el concepto. infinitesimal, es decir, el valor absoluto es menor que cualquier número que podamos nombrar. Por ejemplo, dices: ¡una billonésima parte! ¿Cuánto menos? Y divides este número por y será aún menor. Etcétera. Si queremos escribir que una cantidad es infinitesimal, escribimos así: (leemos “x tiende a cero”). Es muy importante entender ¡Que este número no es cero! Pero muy cerca de eso. Esto significa que puedes dividir por él.

El concepto opuesto a infinitesimal es infinitamente grande (). Probablemente ya te hayas encontrado con esto cuando trabajabas en desigualdades: este número es módulo mayor que cualquier número que puedas imaginar. Si obtienes el mayor número posible, simplemente multiplícalo por dos y obtendrás un número aún mayor. Y el infinito es aún mayor de lo que sucede. De hecho, lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño son lo inverso entre sí, es decir, en, y viceversa: en.

Ahora volvamos a nuestro camino. La pendiente idealmente calculada es la pendiente calculada para un segmento infinitesimal del camino, es decir:

Observo que con un desplazamiento infinitesimal, el cambio de altura también será infinitesimal. Pero déjame recordarte que infinitesimal no significa igual a cero. Si divides números infinitesimales entre sí, puedes obtener un número completamente normal, por ejemplo, . Es decir, un valor pequeño puede ser exactamente veces mayor que otro.

¿Para qué es todo esto? La carretera, la pendiente... No vamos a un rally de coches, pero vamos a enseñar matemáticas. Y en matemáticas todo es exactamente igual, sólo que se llama de otra manera.

Concepto de derivada

La derivada de una función es la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento para un incremento infinitesimal del argumento.

incrementalmente En matemáticas lo llaman cambio. La medida en que el argumento () cambia a medida que se mueve a lo largo del eje se llama incremento de argumento y se designa Cuánto ha cambiado la función (altura) al avanzar una distancia a lo largo del eje se llama incremento de función y es designado.

Entonces, la derivada de una función es la razón a cuando. Denotamos la derivada con la misma letra que la función, sólo que con un primo en la parte superior derecha: o simplemente. Entonces, escribamos la fórmula derivada usando estas notaciones:

Como en la analogía con la carretera, aquí cuando la función aumenta, la derivada es positiva, y cuando disminuye, es negativa.

¿Puede la derivada ser igual a cero? Ciertamente. Por ejemplo, si circulamos por una carretera llana y horizontal, la pendiente es cero. Y es cierto, la altura no cambia en absoluto. Lo mismo ocurre con la derivada: la derivada de una función constante (constante) es igual a cero:

ya que el incremento de dicha función es igual a cero para cualquiera.

Recordemos el ejemplo de la cima de la colina. Resultó que era posible disponer los extremos del segmento a lo largo lados diferentes desde arriba, de modo que la altura en los extremos sea la misma, es decir, el segmento sea paralelo al eje:

Pero los segmentos grandes son señal de una medición inexacta. Levantaremos nuestro segmento paralelo a sí mismo, luego su longitud disminuirá.

Con el tiempo, cuando estemos infinitamente cerca de la cima, la longitud del segmento se volverá infinitesimal. Pero al mismo tiempo permaneció paralelo al eje, es decir, la diferencia de alturas en sus extremos es igual a cero (no tiende a, pero es igual a). Entonces la derivada

Esto se puede entender de esta manera: cuando estamos en la cima, un pequeño desplazamiento hacia la izquierda o hacia la derecha cambia nuestra altura de manera insignificante.

También hay una explicación puramente algebraica: a la izquierda del vértice la función aumenta y a la derecha disminuye. Como descubrimos anteriormente, cuando una función aumenta, la derivada es positiva y cuando disminuye, es negativa. Pero cambia suavemente, sin saltos (ya que la carretera no cambia bruscamente de pendiente en ninguna parte). Por lo tanto, entre negativo y valores positivos definitivamente debe haberlo. Será donde la función no aumenta ni disminuye: en el punto del vértice.

Lo mismo ocurre con el valle (el área donde la función de la izquierda disminuye y la de la derecha aumenta):

Un poco más sobre incrementos.

Entonces cambiamos el argumento a magnitud. ¿Cambiamos de qué valor? ¿En qué se ha convertido (el argumento) ahora? Podemos elegir cualquier punto y ahora bailaremos desde él.

Considere un punto con una coordenada. El valor de la función en él es igual. Luego hacemos el mismo incremento: aumentamos la coordenada en. ¿Cuál es el argumento ahora? Muy fácil: . ¿Cuál es el valor de la función ahora? Donde va el argumento, también va la función: . ¿Qué pasa con el incremento de función? Nada nuevo: esta sigue siendo la cantidad en la que ha cambiado la función:

Practica encontrar incrementos:

  1. Encuentre el incremento de la función en un punto en el que el incremento del argumento es igual a.
  2. Lo mismo ocurre con la función en un punto.

Soluciones:

En diferentes puntos con el mismo incremento de argumento, el incremento de función será diferente. Esto significa que la derivada en cada punto es diferente (lo discutimos al principio: la pendiente de la carretera es diferente en diferentes puntos). Por tanto, cuando escribimos una derivada, debemos indicar en qué punto:

Función de potencia.

Una función de potencia es una función donde el argumento es hasta cierto punto (lógico, ¿verdad?).

Además, en cualquier medida: .

El caso más simple- aquí es cuando el exponente:

Encontremos su derivada en un punto. Recordemos la definición de derivada:

Entonces el argumento cambia de a. ¿Cuál es el incremento de la función?

El incremento es esto. Pero una función en cualquier punto es igual a su argumento. Es por eso:

La derivada es igual a:

La derivada de es igual a:

b) Consideremos ahora la función cuadrática (): .

Ahora recordemos eso. Esto significa que el valor del incremento puede despreciarse, ya que es infinitesimal y, por tanto, insignificante en comparación con el otro término:

Entonces, se nos ocurrió otra regla:

c) Continuamos la serie lógica: .

Esta expresión se puede simplificar de diferentes maneras: abra el primer paréntesis usando la fórmula de multiplicación abreviada del cubo de la suma, o factorice la expresión completa usando la fórmula de diferencia de cubos. Intente hacerlo usted mismo utilizando cualquiera de los métodos sugeridos.

Entonces, obtuve lo siguiente:

Y nuevamente recordemos eso. Esto significa que podemos descuidar todos los términos que contengan:

Obtenemos: .

d) Se pueden obtener reglas similares para grandes potencias:

e) Resulta que esta regla se puede generalizar para una función potencia con un exponente arbitrario, ni siquiera un número entero:

(2)

La regla se puede formular con las palabras: "el grado se adelanta como un coeficiente y luego se reduce en".

Demostraremos esta regla más adelante (casi al final). Ahora veamos algunos ejemplos. Encuentra la derivada de las funciones:

  1. (de dos formas: mediante fórmula y utilizando la definición de derivada, calculando el incremento de la función);
  1. . Lo creas o no, ésta es una función de poder. Si tienes preguntas como “¿Cómo es esto? ¿Dónde está el título?”, recuerda el tema “”!
    Sí, sí, la raíz también es un grado, solo fraccional: .
    Esto significa que nuestra raíz cuadrada es solo una potencia con un exponente:
    .
    Buscamos la derivada usando la fórmula recién aprendida:

    Si en este punto vuelve a resultar confuso, repita el tema “”!!! (aproximadamente un grado con exponente negativo)

  2. . Ahora el exponente:

    Y ahora pasando por la definición (¿ya la has olvidado?):
    ;
    .
    Ahora, como siempre, descuidamos el término que contiene:
    .

  3. . Combinación de casos anteriores: .

Funciones trigonométricas.

Aquí usaremos un hecho de matemáticas superiores:

Con expresión.

La prueba la aprenderás en el primer año de instituto (y para llegar allí tendrás que aprobar bien el Examen Estatal Unificado). Ahora solo lo mostraré gráficamente:

Vemos que cuando la función no existe, el punto en la gráfica se corta. Pero cuanto más cerca del valor, más cerca está la función: esto es lo que "objetiva".

Además, puedes verificar esta regla usando una calculadora. Sí, sí, no seas tímido, toma una calculadora, todavía no estamos en el Examen Estatal Unificado.

Entonces intentemos: ;

¡No olvides cambiar tu calculadora al modo Radianes!

etc. Vemos que cuanto más pequeño, más cercano es el valor de la relación.

a) Considere la función. Como siempre, encontremos su incremento:

Convirtamos la diferencia de senos en un producto. Para ello utilizamos la fórmula (recordemos el tema “”): .

Ahora la derivada:

Hagamos un reemplazo: . Entonces para infinitesimal también es infinitesimal: . La expresión para toma la forma:

Y ahora lo recordamos con la expresión. Y también, ¿qué pasa si se puede despreciar una cantidad infinitesimal en la suma (es decir, en)?

Entonces obtenemos siguiente regla:la derivada del seno es igual al coseno:

Estas son derivadas básicas (“tabulares”). Aquí están en una lista:

Más adelante les añadiremos algunos más, pero estos son los más importantes, ya que son los más utilizados.

Práctica:

  1. Encuentra la derivada de la función en un punto;
  2. Encuentra la derivada de la función.

Soluciones:

  1. Primero, encontremos la derivada en vista general y luego sustituya su valor:
    ;
    .
  2. Aquí tenemos algo similar a una función de potencia. Intentemos traerla a
    vista normal:
    .
    Genial, ahora puedes usar la fórmula:
    .
    .
  3. . Eeeeeee….. ¿Qué es esto????

Bien, tienes razón, todavía no sabemos cómo encontrar dichos derivados. Aquí tenemos una combinación de varios tipos de funciones. Para trabajar con ellos, necesitas aprender algunas reglas más:

Exponente y logaritmo natural.

Hay una función en matemáticas cuya derivada para cualquier valor es igual al valor de la función misma al mismo tiempo. Se llama "exponente" y es una función exponencial.

La base de esta función es una constante: es infinita. decimal, es decir, un número irracional (como). Se llama “número de Euler” y por eso se indica con una letra.

Entonces, la regla:

Muy fácil de recordar.

Bueno, no vayamos muy lejos, consideremos inmediatamente la función inversa. ¿Qué función es la inversa de la función exponencial? Logaritmo:

En nuestro caso, la base es el número:

Tal logaritmo (es decir, un logaritmo con base) se llama "natural" y usamos una notación especial para él: en su lugar, escribimos.

¿A qué es igual? Por supuesto, .

Derivado de logaritmo natural también muy simple:

Ejemplos:

  1. Encuentra la derivada de la función.
  2. ¿Cuál es la derivada de la función?

Respuestas: Los logaritmos exponencial y natural son funciones singularmente simples desde una perspectiva derivativa. Las funciones exponenciales y logarítmicas con cualquier otra base tendrán una derivada diferente, que analizaremos más adelante, después de repasar las reglas de derivación.

Reglas de diferenciación

¿Reglas de qué? ¡¿Otra vez un nuevo término, otra vez?!...

Diferenciación es el proceso de encontrar la derivada.

Eso es todo. ¿Cómo más se puede llamar a este proceso en una palabra? No derivada... Los matemáticos llaman diferencial al mismo incremento de una función en. Este término proviene del latín diferencial - diferencia. Aquí.

Al derivar todas estas reglas, usaremos dos funciones, por ejemplo, y. También necesitaremos fórmulas para sus incrementos:

Hay 5 reglas en total.

La constante se quita del signo de la derivada.

Si - algún número constante (constante), entonces.

Obviamente, esta regla también sirve para la diferencia: .

Demostrémoslo. Déjalo así, o más sencillo.

Ejemplos.

Encuentra las derivadas de las funciones:

  1. en un punto;
  2. en un punto;
  3. en un punto;
  4. en el punto.

Soluciones:

  1. (la derivada es la misma en todos los puntos, ya que es una función lineal, ¿recuerdas?);

Derivado del producto

Aquí todo es similar: introduzcamos una nueva función y encontremos su incremento:

Derivado:

Ejemplos:

  1. Encuentra las derivadas de las funciones y;
  2. Encuentra la derivada de la función en un punto.

Soluciones:

Derivada de una función exponencial

Ahora tus conocimientos son suficientes para aprender a encontrar la derivada de cualquier función exponencial, y no sólo de los exponentes (¿ya has olvidado qué es eso?).

Entonces, ¿dónde está algún número?

Ya conocemos la derivada de la función, así que intentemos reducir nuestra función a una nueva base:

Para esto usaremos regla simple: . Entonces:

Bueno, funcionó. Ahora intenta encontrar la derivada y no olvides que esta función es compleja.

¿Sucedió?

Aquí, compruébalo tú mismo:

La fórmula resultó ser muy similar a la derivada de un exponente: tal como estaba, sigue igual, solo apareció un factor, que es solo un número, pero no una variable.

Ejemplos:
Encuentra las derivadas de las funciones:

Respuestas:

Este es solo un número que no se puede calcular sin una calculadora, es decir, ya no se puede escribir en él. en forma sencilla. Por tanto, lo dejamos así en la respuesta.

Derivada de una función logarítmica

Aquí es similar: ya conoces la derivada del logaritmo natural:

Por tanto, para encontrar un logaritmo arbitrario con diferente base, por ejemplo:

Necesitamos reducir este logaritmo a la base. ¿Cómo se cambia la base de un logaritmo? Espero que recuerdes esta fórmula:

Sólo que ahora escribiremos en su lugar:

El denominador es simplemente una constante (un número constante, sin variable). La derivada se obtiene de forma muy sencilla:

Las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas casi nunca se encuentran en el Examen Estatal Unificado, pero no será superfluo conocerlas.

Derivada de una función compleja.

¿Qué es una "función compleja"? No, esto no es un logaritmo ni un arcotangente. Estas funciones pueden ser difíciles de entender (aunque si te resulta difícil el logaritmo, lee el tema “Logaritmos” y estarás bien), pero desde un punto de vista matemático, la palabra “complejo” no significa “difícil”.

Imaginemos una pequeña cinta transportadora: dos personas están sentadas y realizan algunas acciones con algunos objetos. Por ejemplo, el primero envuelve una barra de chocolate en un envoltorio y el segundo la ata con una cinta. El resultado es un objeto compuesto: una barra de chocolate envuelta y atada con una cinta. Para comer chocolate, debes hacer acciones inversas en orden inverso.

Creemos una tubería matemática similar: primero encontraremos el coseno de un número y luego elevaremos al cuadrado el número resultante. Entonces, nos dan un número (chocolate), encuentro su coseno (envoltorio) y luego elevas al cuadrado lo que obtuve (lo atas con una cinta). ¿Qué pasó? Función. Este es un ejemplo de función compleja: cuando, para encontrar su valor, realizamos la primera acción directamente con la variable, y luego una segunda acción con lo resultante de la primera.

Podemos hacer fácilmente los mismos pasos en orden inverso: primero lo elevas al cuadrado y luego busco el coseno del número resultante: . Es fácil adivinar que el resultado casi siempre será diferente. Una característica importante de las funciones complejas: cuando cambia el orden de las acciones, la función cambia.

En otras palabras, una función compleja es una función cuyo argumento es otra función: .

Para el primer ejemplo, .

Segundo ejemplo: (lo mismo). .

La acción que hagamos en último lugar se llamará función "externa", y la acción realizada primero, en consecuencia función "interna"(Estos son nombres informales, los uso sólo para explicar el material en un lenguaje sencillo).

Intente determinar usted mismo qué función es externa y cuál interna:

Respuestas: Separar funciones internas y externas es muy similar a cambiar variables: por ejemplo, en una función

  1. ¿Qué acción realizaremos primero? Primero, calculemos el seno y solo luego lo elevamos al cubo. Esto quiere decir que es una función interna, pero externa.
    Y la función original es su composición: .
  2. Interno: ; externo: .
    Examen: .
  3. Interno: ; externo: .
    Examen: .
  4. Interno: ; externo: .
    Examen: .
  5. Interno: ; externo: .
    Examen: .

Cambiamos variables y obtenemos una función.

Bueno, ahora extraeremos nuestra barra de chocolate y buscaremos el derivado. El procedimiento siempre es inverso: primero buscamos la derivada de la función exterior, luego multiplicamos el resultado por la derivada de la función interior. En relación con el ejemplo original, se ve así:

Otro ejemplo:

Entonces, finalmente formulemos la regla oficial:

Algoritmo para encontrar la derivada de una función compleja:

Parece sencillo, ¿verdad?

Comprobemos con ejemplos:

Soluciones:

1) Interno: ;

Externo: ;

2) Interno: ;

(¡Pero no intentes cortarlo ahora! No sale nada de debajo del coseno, ¿recuerdas?)

3) Interno: ;

Externo: ;

Inmediatamente queda claro que se trata de una función compleja de tres niveles: después de todo, esto ya es una función compleja en sí misma, y ​​​​también le extraemos la raíz, es decir, realizamos la tercera acción (ponemos el chocolate en un envoltorio y con una cinta en el maletín). Pero no hay por qué tener miedo: todavía “desempaquetaremos” esta función en el mismo orden habitual: desde el final.

Es decir, primero derivamos la raíz, luego el coseno y solo luego la expresión entre paréntesis. Y luego lo multiplicamos todo.

En tales casos conviene numerar las acciones. Es decir, imaginemos lo que sabemos. ¿En qué orden realizaremos acciones para calcular el valor de esta expresión? Veamos un ejemplo:

Cuanto más tarde se realice la acción, más "externa" será la función correspondiente. La secuencia de acciones es la misma que antes:

Aquí el anidamiento suele ser de 4 niveles. Determinemos el curso de acción.

1. Expresión radical. .

2. Raíz. .

3. Seno. .

4. Cuadrado. .

5. Poniéndolo todo junto:

DERIVADO. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Derivada de una función- la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento para un incremento infinitesimal del argumento:

Derivados básicos:

Reglas de diferenciación:

La constante se saca del signo de la derivada:

Derivada de la suma:

Derivado del producto:

Derivada del cociente:

Derivada de una función compleja:

Algoritmo para encontrar la derivada de una función compleja:

  1. Definimos la función "interna" y encontramos su derivada.
  2. Definimos la función "externa" y encontramos su derivada.
  3. Multiplicamos los resultados del primer y segundo punto.

Las funciones de tipo complejo no siempre se ajustan a la definición de función compleja. Si existe una función de la forma y = sin x - (2 - 3) · ar c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, entonces no puede considerarse compleja, a diferencia de y = sin 2 x.

Este artículo mostrará el concepto de función compleja y su identificación. Trabajemos con fórmulas para encontrar la derivada con ejemplos de soluciones en la conclusión. El uso de la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación reduce significativamente el tiempo necesario para encontrar la derivada.

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Definiciones basicas

Definición 1

Una función compleja es aquella cuyo argumento también es una función.

Se denota de esta manera: f (g (x)). Tenemos que la función g(x) se considera un argumento f(g(x)).

Definición 2

Si existe una función f y es una función cotangente, entonces g(x) = ln x es la función logaritmo natural. Encontramos que la función compleja f (g (x)) se escribirá como arctg(lnx). O una función f, que es una función elevada a la 4ta potencia, donde g (x) = x 2 + 2 x - 3 se considera una función racional completa, obtenemos que f (g (x)) = (x 2 + 2x - 3) 4 .

Obviamente g(x) puede ser complejo. Del ejemplo y = sen 2 x + 1 x 3 - 5 queda claro que el valor de g tiene la raíz cúbica de la fracción. Esta expresión se puede denotar como y = f (f 1 (f 2 (x))). De donde tenemos que f es una función seno y f 1 es una función ubicada debajo raíz cuadrada, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - función racional fraccionaria.

Definición 3

El grado de anidamiento está determinado por cualquier número natural y se escribe como y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) .

Definición 4

El concepto de composición de funciones se refiere al número de funciones anidadas según las condiciones del problema. Para resolver, usa la fórmula para encontrar la derivada de una función compleja de la forma

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Ejemplos

Ejemplo 1

Encuentra la derivada de una función compleja de la forma y = (2 x + 1) 2.

Solución

La condición muestra que f es una función elevatoria y g(x) = 2 x + 1 se considera una función lineal.

Apliquemos la fórmula derivada para una función compleja y escribamos:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Es necesario encontrar la derivada con la forma original simplificada de la función. Obtenemos:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

De aquí tenemos eso

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Los resultados fueron los mismos.

Al resolver problemas de este tipo, es importante comprender dónde se ubicará la función de la forma f y g (x).

Ejemplo 2

Debes encontrar las derivadas de funciones complejas de la forma y = sen 2 x e y = sen x 2.

Solución

La primera notación de función dice que f es la función elevatoria al cuadrado y g(x) es la función seno. Entonces entendemos eso

y " = (sen 2 x) " = 2 pecado 2 - 1 x (sen x) " = 2 pecado x cos x

La segunda entrada muestra que f es una función seno y g(x) = x 2 denota una función potencia. De ello se deduce que escribimos el producto de una función compleja como

y " = (sen x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

La fórmula para la derivada y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) se escribirá como y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )) )) · . . . fn "(x)

Ejemplo 3

Encuentra la derivada de la función y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Solución

Este ejemplo muestra la dificultad de escribir y determinar la ubicación de funciones. Entonces y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) denota donde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) es la función seno, la función de elevar a 3 grados, función con logaritmo y base e, arcotangente y función lineal.

De la fórmula para definir una función compleja tenemos que

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Obtenemos lo que necesitamos encontrar

  1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) como derivada del seno según la tabla de derivadas, luego f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
  2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) como derivada de una función de potencia, entonces f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 arco c t g (2 x) = 3 ln 2 arco c t g (2 x) .
  3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) como derivada logarítmica, entonces f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x).
  4. f 3 " (f 4 (x)) como derivada del arcotangente, entonces f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
  5. Al encontrar la derivada f 4 (x) = 2 x, elimine 2 del signo de la derivada usando la fórmula para la derivada de una función de potencia con un exponente igual a 1, luego f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Combinamos los resultados intermedios y obtenemos eso.

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

El análisis de tales funciones recuerda a los muñecos nido. Las reglas de diferenciación no siempre se pueden aplicar explícitamente utilizando una tabla de derivadas. A menudo es necesario utilizar una fórmula para encontrar derivadas de funciones complejas.

Existen algunas diferencias entre apariencia compleja y funciones complejas. Con una capacidad clara para distinguir esto, encontrar derivados será especialmente fácil.

Ejemplo 4

Es necesario considerar dar un ejemplo así. Si existe una función de la forma y = t g 2 x + 3 t g x + 1, entonces puede considerarse como una función compleja de la forma g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Obviamente, es necesario utilizar la fórmula de una derivada compleja:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Una función de la forma y = t g x 2 + 3 t g x + 1 no se considera compleja, ya que tiene la suma de t g x 2, 3 t g x y 1. Sin embargo, t g x 2 se considera una función compleja, entonces obtenemos una función potencia de la forma g (x) = x 2 y f, que es una función tangente. Para ello, diferencia por cantidad. lo entendemos

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 porque 2 x

Pasemos a encontrar la derivada de una función compleja (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Obtenemos que y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Las funciones de tipo complejo pueden incluirse en funciones complejas, y las funciones complejas en sí mismas pueden ser componentes de funciones de tipo complejo.

Ejemplo 5

Por ejemplo, considere una función compleja de la forma y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Esta función se puede representar como y = f (g (x)), donde el valor de f es una función del logaritmo de base 3, y g (x) se considera la suma de dos funciones de la forma h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 y k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Obviamente, y = f (h (x) + k (x)).

Considere la función h(x). Esta es la relación l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 a m (x) = e x 2 + 3 3

Tenemos que l(x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) es la suma de dos funciones n (x) = x 2 + 7 y p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , donde p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) es una función compleja con coeficiente numérico 3, y p 1 es una función cúbica, p 2 mediante una función coseno, p 3 (x) = 2 x + 1 mediante una función lineal.

Encontramos que m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) es la suma de dos funciones q (x) = e x 2 y r (x) = 3 3, donde q (x) = q 1 (q 2 (x)) es una función compleja, q 1 es una función con una exponencial, q 2 (x) = x 2 es una función potencia.

Esto muestra que h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Al pasar a una expresión de la forma k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), está claro que la función se presenta en forma de un complejo s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) con un entero racional t (x) = x 2 + 1, donde s 1 es una función cuadrada y s 2 (x) = ln x es logarítmica con base e.

De ello se deduce que la expresión tomará la forma k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Entonces entendemos eso

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

A partir de las estructuras de la función, quedó claro cómo y qué fórmulas se deben utilizar para simplificar la expresión al diferenciarla. Para familiarizarse con este tipo de problemas y conocer el concepto de su solución, es necesario llegar al punto de diferenciar una función, es decir, encontrar su derivada.

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Cálculo de derivadas- una de las operaciones más importantes del cálculo diferencial. A continuación se muestra una tabla para encontrar derivadas de funciones simples. Más reglas complejas diferenciación, ver otras lecciones:
  • Tabla de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.
Utilice las fórmulas dadas como valores de referencia. Ayudarán a resolver problemas y ecuaciones diferenciales. En la imagen, en la tabla de derivadas de funciones simples, hay una "hoja de referencia" de los casos principales para encontrar una derivada en una forma comprensible de usar, junto a ella hay explicaciones para cada caso.

Derivadas de funciones simples

1. La derivada de un número es cero.
с´ = 0
Ejemplo:
5' = 0

Explicación:
La derivada muestra la velocidad a la que cambia el valor de una función cuando cambia su argumento. Dado que el número no cambia de ninguna manera bajo ninguna condición, la tasa de cambio es siempre cero.

2. Derivada de una variable igual a uno
x´ = 1

Explicación:
Con cada incremento del argumento (x) en uno, el valor de la función (el resultado del cálculo) aumenta en la misma cantidad. Por tanto, la tasa de cambio en el valor de la función y = x es exactamente igual a la tasa de cambio en el valor del argumento.

3. La derivada de una variable y un factor es igual a este factor
xx´ = x
Ejemplo:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Explicación:
En este caso, cada vez que cambia el argumento de la función ( X) su valor (y) aumenta en Con una vez. Por tanto, la tasa de cambio del valor de la función en relación con la tasa de cambio del argumento es exactamente igual al valor Con.

De donde se sigue que
(cx + b)" = c
es decir, el diferencial función lineal y=kx+b es igual a la pendiente de la recta (k).


4. Derivada módulo de una variable igual al cociente de esta variable por su módulo
|x|"= x / |x| siempre que x ≠ 0
Explicación:
Dado que la derivada de una variable (ver fórmula 2) es igual a uno, la derivada del módulo solo se diferencia en que el valor de la tasa de cambio de la función cambia al opuesto cuando cruza el punto de origen (intenta dibujar una gráfica de la función y = |x| y compruébelo usted mismo. Este es exactamente el valor y devuelve la expresión x / |x|. Cuando x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - uno. Es decir, para valores negativos de la variable x, con cada aumento en el argumento, el valor de la función disminuye exactamente en el mismo valor, y para valores positivos, por el contrario, aumenta, pero exactamente en el mismo valor. .

5. Derivada de una variable a una potencia igual al producto de un número de esta potencia y una variable a la potencia reducida en uno
(x c)"= cx c-1, siempre que x c ​​y cx c-1 estén definidos y c ≠ 0
Ejemplo:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Para recordar la fórmula:
Mueva el grado de la variable hacia abajo como factor y luego reduzca el grado en uno. Por ejemplo, para x 2, los dos estaban por delante de x, y luego la potencia reducida (2-1 = 1) simplemente nos dio 2x. Lo mismo sucedió con x 3: “bajamos” el triple, lo reducimos en uno y en lugar de un cubo tenemos un cuadrado, es decir, 3x 2. Un poco "poco científico" pero muy fácil de recordar.

6.Derivada de una fracción 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Ejemplo:
Dado que una fracción se puede representar elevando a una potencia negativa
(1/x)" = (x -1)", entonces puedes aplicar la fórmula de la regla 5 de la tabla de derivadas
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivada de una fracción con una variable de grado arbitrario en el denominador
(1/xc)" = -c/xc+1
Ejemplo:
(1/x2)" = - 2/x3

8. Derivada de la raíz(derivada de variable bajo raíz cuadrada)
(√x)" = 1 / (2√x) o 1/2 x -1/2
Ejemplo:
(√x)" = (x 1/2)" significa que puedes aplicar la fórmula de la regla 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Derivada de una variable bajo la raíz de un grado arbitrario.
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

En este artículo hablaremos sobre un concepto matemático tan importante como función compleja y aprenderemos cómo encontrar la derivada de una función compleja.

Antes de aprender a encontrar la derivada de una función compleja, comprendamos el concepto de función compleja, qué es, "con qué se come" y "cómo cocinarla correctamente".

Considere una función arbitraria, por ejemplo, ésta:

Tenga en cuenta que el argumento en los lados derecho e izquierdo de la ecuación de la función es el mismo número o expresión.

En lugar de una variable podemos poner, por ejemplo, la siguiente expresión: . Y luego obtenemos la función

Llamemos a la expresión un argumento intermedio y a la función una función externa. Estos no son conceptos matemáticos estrictos, pero ayudan a comprender el significado del concepto de función compleja.

Una definición estricta del concepto de función compleja suena así:

Sea una función definida sobre un conjunto y sea el conjunto de valores de esta función. Sea el conjunto (o su subconjunto) el dominio de definición de la función. Asignemos un número a cada uno de ellos. Así, la función quedará definida en el conjunto. Se llama composición de funciones o función compleja.

En esta definición, si usamos nuestra terminología, una función externa es un argumento intermedio.

La derivada de una función compleja se encuentra según la siguiente regla:

Para que quede más claro, me gusta escribir esta regla de la siguiente manera:

En esta expresión, usar denota una función intermedia.

Entonces. Para encontrar la derivada de una función compleja, necesitas

1. Determina qué función es externa y encuentra la derivada correspondiente en la tabla de derivadas.

2. Defina un argumento intermedio.

En este procedimiento la mayor dificultad es encontrar la función externa. Para esto se utiliza un algoritmo simple:

A. Escribe la ecuación de la función.

b. Imagina que necesitas calcular el valor de una función para algún valor de x. Para hacer esto, sustituye este valor de x en la ecuación de la función y produce operaciones aritmeticas. La última acción que realizas es la función externa.

Por ejemplo, en la función

La última acción es la exponenciación.

Encontremos la derivada de esta función. Para hacer esto, escribimos un argumento intermedio.

El problema de encontrar la derivada de una función determinada es uno de los principales en los cursos de matemáticas de secundaria y en la educación superior. Instituciones educacionales. Es imposible explorar completamente una función y construir su gráfica sin tomar su derivada. La derivada de una función se puede encontrar fácilmente si conoces las reglas básicas de derivación, así como la tabla de derivadas de funciones básicas. Averigüemos cómo encontrar la derivada de una función.

La derivada de una función es el límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento cuando el incremento del argumento tiende a cero.

Comprender esta definición es bastante difícil, ya que el concepto de límite no se estudia completamente en la escuela. Pero para encontrar derivadas de varias funciones, no es necesario entender la definición; dejémoslo en manos de los matemáticos y pasemos directamente a encontrar la derivada.

El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación. Cuando derivamos una función, obtendremos una nueva función.

Para designarlos utilizaremos las letras latinas f, g, etc.

Existen muchas notaciones diferentes para las derivadas. Usaremos un trazo. Por ejemplo, escribir g" significa que encontraremos la derivada de la función g.

tabla de derivados

Para responder a la pregunta de cómo encontrar la derivada, es necesario proporcionar una tabla de derivadas de las funciones principales. Para calcular derivadas funciones elementales no es necesario realizar cálculos complejos. Basta con mirar su valor en la tabla de derivados.

  1. (sen x)"=cos x
  2. (cos x)"= –sen x
  3. (xn)"=nxn-1
  4. (ex)"=ex
  5. (lnx)"=1/x
  6. (a x)"=a x en a
  7. (log a x)"=1/x ln a
  8. (tg x)"=1/cos 2 x
  9. (ctg x)"= – 1/sen 2 x
  10. (arcosen x)"= 1/√(1-x 2)
  11. (arcos x)"= - 1/√(1-x 2)
  12. (arctgx)"= 1/(1+x 2)
  13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Ejemplo 1. Encuentra la derivada de la función y=500.

Vemos que esto es una constante. De la tabla de derivadas se sabe que la derivada de una constante es igual a cero (fórmula 1).

Ejemplo 2. Encuentra la derivada de la función y=x 100.

Esta es una función potencia cuyo exponente es 100, y para encontrar su derivada necesitas multiplicar la función por el exponente y reducirlo por 1 (fórmula 3).

(x100)"=100x99

Ejemplo 3. Encuentra la derivada de la función y=5 x

Esta es una función exponencial, calculemos su derivada usando la fórmula 4.

Ejemplo 4. Encuentra la derivada de la función y= log 4 x

Encontramos la derivada del logaritmo usando la fórmula 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Reglas de diferenciación

Ahora descubramos cómo encontrar la derivada de una función si no está en la tabla. La mayoría de las funciones estudiadas no son elementales, sino que son combinaciones de funciones elementales que utilizan operaciones simples (suma, resta, multiplicación, división y multiplicación por un número). Para encontrar sus derivadas, es necesario conocer las reglas de diferenciación. A continuación, las letras f y g indican funciones y C es una constante.

1. El coeficiente constante se puede sacar del signo de la derivada.

Ejemplo 5. Encuentra la derivada de la función y= 6*x 8

Sacamos un factor constante de 6 y derivamos solo x 4. Esta es una función de potencia, cuya derivada se encuentra usando la fórmula 3 de la tabla de derivadas.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas

(f + g)"=f" + g"

Ejemplo 6. Encuentra la derivada de la función y= x 100 +sen x

Una función es la suma de dos funciones, cuyas derivadas podemos encontrar en la tabla. Dado que (x 100)"=100 x 99 y (sin x)"=cos x. La derivada de la suma será igual a la suma de estas derivadas:

(x 100 +sen x)"= 100 x 99 +cos x

3. La derivada de la diferencia es igual a la diferencia de las derivadas.

(f – sol)"=f" – sol"

Ejemplo 7. Encuentra la derivada de la función y= x 100 – cos x

Esta función es la diferencia de dos funciones, cuyas derivadas también podemos encontrar en la tabla. Entonces la derivada de la diferencia es igual a la diferencia de las derivadas y no olvides cambiar el signo, ya que (cos x)"= – sen x.

(x 100 – porque x)"= 100 x 99 + sen x

Ejemplo 8. Encuentra la derivada de la función y=e x +tg x– x 2.

Esta función tiene tanto una suma como una diferencia; encontremos las derivadas de cada término:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Entonces la derivada de la función original es igual a:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Derivado del producto

(f * g)"=f" * g + f * g"

Ejemplo 9. Encuentra la derivada de la función y= cos x *e x

Para hacer esto, primero encontramos la derivada de cada factor (cos x)"=–sen x y (e x)"=e x. Ahora sustituyamos todo en la fórmula del producto. Multiplicamos la derivada de la primera función por la segunda y sumamos el producto de la primera función por la derivada de la segunda.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sen x

5. Derivada del cociente

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Ejemplo 10. Encuentra la derivada de la función y= x 50 /sen x

Para encontrar la derivada de un cociente, primero encontramos la derivada del numerador y denominador por separado: (x 50)"=50 x 49 y (sin x)"= cos x. Sustituyendo la derivada del cociente en la fórmula, obtenemos:

(x 50 /sen x)"= 50x 49 *sen x – x 50 *cos x/sen 2 x

Derivada de una función compleja

Una función compleja es una función representada por una composición de varias funciones. También existe una regla para encontrar la derivada de una función compleja:

(u(v))"=u"(v)*v"

Averigüemos cómo encontrar la derivada de dicha función. Sea y= u(v(x)) una función compleja. Llamemos a la función u externa y v - interna.

Por ejemplo:

y=sin (x 3) es una función compleja.

Entonces y=sin(t) es una función externa

t=x 3 - interno.

Intentemos calcular la derivada de esta función. Según la fórmula, debes multiplicar las derivadas de las funciones internas y externas.

(sin t)"=cos (t) - derivada de la función externa (donde t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - derivada de la función interna

Entonces (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 es la derivada de una función compleja.