Garaje 

Huecos numéricos. Los segmentos numéricos, intervalos, medios intervalos y rayos se denominan intervalos numéricos.

Huecos numéricos. Contexto. Definición

La igualdad (ecuación) tiene un punto en la recta numérica (aunque este punto depende de las transformaciones realizadas y de la raíz elegida). La misma solución a la ecuación será un conjunto de números (a veces consta de un número). Sin embargo, todo esto en la recta numérica (visualización de un conjunto de números reales) se mostrará solo puntualmente, pero también hay tipos más generalizados de relaciones entre dos números: las desigualdades. En ellos, la recta numérica está separada por un cierto número y una cierta parte está separada de ella: el valor de una expresión o un intervalo numérico.

Es lógico discutir el tema de los intervalos numéricos junto con las desigualdades, pero esto no significa que esté relacionado solo con ellos. Los intervalos numéricos (intervalos, segmentos, rayos) son el conjunto de valores de una variable que satisfacen alguna desigualdad. Es decir, de hecho, este es el conjunto de todos los puntos en la recta numérica, limitado por algún tipo de marco. Por tanto, el tema de los intervalos numéricos está más estrechamente relacionado con el concepto variable... Donde hay una variable, o un punto arbitrario x en la recta numérica, y se usa, se usa, también hay intervalos numéricos, los intervalos son valores de x. A menudo, el valor puede ser cualquier cosa, pero también es un rango numérico que cubre toda la recta numérica.

Introducimos el concepto intervalo numérico... Entre los conjuntos numéricos, es decir, los conjuntos cuyos objetos son números, se distinguen los llamados intervalos numéricos. Su valor radica en el hecho de que es muy fácil imaginar un conjunto correspondiente a un rango numérico especificado, y viceversa. Por tanto, conviene utilizarlos para anotar el conjunto de soluciones de la desigualdad. Mientras que el conjunto de soluciones a la ecuación no será un intervalo numérico, sino simplemente varios números en la recta numérica, con desigualdades, es decir, cualquier restricción sobre el valor de la variable aparece como intervalos numéricos.

Un intervalo numérico es el conjunto de todos los puntos en la línea numérica, limitado por un número o números dados (puntos en la línea numérica).

Un intervalo numérico de cualquier tipo (un conjunto de valores de x encerrados entre algunos números) siempre se puede representar mediante tres tipos de notación matemática: notación especial de intervalos, cadenas de desigualdades (una desigualdad o doble desigualdad) o geométricamente en el numero de linea. De hecho, todas estas designaciones tienen el mismo significado. Dan la (s) restricción (es) para los valores de algún objeto matemático, variable (alguna variable, cualquier expresión con una variable, función, etc.).

De lo anterior, se puede entender que dado que es posible delimitar el área de la recta numérica de diferentes formas (hay diferentes tipos desigualdades), entonces los tipos de intervalos numéricos son diferentes.

Tipos de brechas numéricas

Cada tipo de intervalo numérico tiene su propio nombre, designación especial. Se utilizan paréntesis y corchetes para indicar intervalos numéricos. Un paréntesis redondo significa que el punto final en la recta numérica (final) en este paréntesis no pertenece al conjunto de puntos de este intervalo. El corchete significa que el extremo entra en el espacio. Con infinito (en este lado, el espacio no está limitado) use un paréntesis. A veces, en lugar de paréntesis, puede escribir corchetes, girados en la dirección opuesta: (a; b) ⇔] a; b [

Tipo de espacio (nombre) Imagen geométrica (en la recta numérica) Designacion Notación usando desigualdades (siempre en cadenas por brevedad)
Intervalo (abierto) (a; b) a< x < b
Segmento (segmento) a ≤ x ≤ b
Medio intervalo (medio segmento) a< x ≤ b
Rayo x ≤ b
Haz abierto (a; + ∞) x> a
Haz abierto (-∞; b) X< b
Conjunto de todos los números (en la línea de coordenadas) (-∞;+∞) , aunque aquí es necesario indicar un conjunto-portador específico de álgebra, con el que se realiza el trabajo; ejemplo: x ∈(generalmente hablan del conjunto de números reales; para representar números complejos, ya usan el plano complejo, y no la línea recta)
Igualdad o x = a x = a (caso especial desigualdad no estricta: a ≤ x ≤ a- un intervalo de longitud 1, donde ambos extremos coinciden - un segmento que consta de un punto)
Conjunto vacio ∅ El conjunto vacío también es un espacio: la variable x no tiene valores (conjunto vacío). Designacion: x∈∅⇔x∈ ().

Puede surgir confusión con los nombres de los intervalos: hay una gran cantidad de opciones. Por lo tanto, es mejor especificarlos siempre con precisión. En la literatura en lengua inglesa, solo se usa el término intervalo ("intervalo") - abierto, cerrado, semiabierto (semicerrado). Hay muchas variaciones.

Con la ayuda de las lagunas en matemáticas, se designan una gran cantidad de cosas: hay lagunas de aislamiento al resolver ecuaciones, intervalos de integración, intervalos de convergencia de series. Al investigar una función, se acostumbra siempre denotar por espacios su rango de valores y rango de definición. Las brechas son muy importantes, por ejemplo, hay Teorema de Bolzano-Cauchy(más en Wikipedia).

Sistemas y conjuntos de desigualdades

Sistema de desigualdades

Entonces, la variable x o el valor de alguna expresión se puede comparar con algún valor constante; esto es una desigualdad, pero puede comparar esta expresión con varios valores: doble desigualdad, una cadena de desigualdades, etc. mostrado arriba - como un intervalo y un segmento. Y esto, y eso es sistema de desigualdades.

Entonces, si la tarea es encontrar el conjunto soluciones comunes dos o más desigualdades, entonces podemos hablar de resolver un sistema de desigualdades (al igual que con las ecuaciones, aunque podemos decir que las ecuaciones son un caso especial).

Entonces es obvio que el valor de la variable utilizada en las desigualdades, en el que cada una de ellas se vuelve verdadera, se llama solución del sistema de desigualdades.

Todas las desigualdades incluidas en el sistema se combinan con llaves - "(". A veces se escriben en la forma doble desigualdad(como se muestra arriba) o incluso cadena de desigualdades... Un ejemplo de una notación típica: f x ≤ 30 g x 5.

Solución de sistemas desigualdades lineales con una variable en el caso general se reduce a estos 4 tipos: x> a x> b (1) x> a x< b (2) x < a x >b (3) x< a x < b (4) . Здесь предполагается, что b> a.

Cualquier sistema se puede resolver gráficamente usando una recta numérica. Donde las soluciones de las desigualdades que constituyen el sistema se cruzan y habrá una solución para el sistema mismo.

Presentamos una solución gráfica para cada caso.

(1) x> b (2) una ¿Así que lo que sucede? En el caso (1), la solución es el intervalo (a; + ∞)... En el caso (2) la solución es el intervalo (a; b)... El caso (3) es un ejemplo de una viga abierta (-∞; a)... En el caso (4), las soluciones de desigualdades individuales no se cruzan, el sistema no tiene soluciones.

Además, los sistemas de desigualdades pueden clasificarse como equivalentes si tienen un conjunto común de soluciones. Por lo tanto (como puede ver arriba) se deduce que los sistemas más complejos se pueden simplificar (por ejemplo, usando una solución geométrica).

La llave rizada se puede llamar aproximadamente el equivalente de la unión " Y"por las desigualdades

Conjunto de desigualdades

Sin embargo, también hay otros casos. Entonces, además de la intersección de conjuntos de soluciones, se pueden combinar: si la tarea es encontrar el conjunto de todos esos valores de una variable, cada uno de los cuales es una solución para al menos una de estas desigualdades, entonces dicen que es necesario resolver un conjunto de desigualdades.

Entonces, todas las desigualdades en el agregado se combinan con el paréntesis del agregado "[". Si el valor de una variable satisface al menos una desigualdad de la población, entonces pertenece al conjunto de soluciones de toda la población. También con ecuaciones (de nuevo, se les puede llamar un caso especial).

Si la llave es y, entonces el paréntesis del agregado es, convencionalmente, en términos simples, el equivalente de la unión " O por desigualdades (aunque esto, por supuesto, será lógico o, incluso, un caso que cumpla ambas condiciones).

Entonces, la solución a un conjunto de desigualdades es el valor de una variable en la que al menos una desigualdad se vuelve verdadera.

Un conjunto de soluciones, tanto un conjunto como un sistema de desigualdades, se puede determinar mediante dos operaciones binarias básicas para trabajar con conjuntos: intersección y unión. El conjunto de soluciones al sistema de desigualdades es cruce conjuntos de soluciones a las desigualdades que lo componen. El conjunto de soluciones al conjunto de desigualdades es Unión conjuntos de soluciones a las desigualdades que lo componen. Esto también se puede ilustrar. Digamos que tenemos un sistema y un conjunto de dos desigualdades. El conjunto de soluciones del primero se denota por A, y el conjunto de soluciones del segundo se denota por B... El diagrama de Euler-Venn es una excelente ilustración.

A ∪ B - solución del sistema de desigualdades A ∩ B - solución del conjunto de desigualdades

Los espacios numéricos incluyen rayos, segmentos, espacios y medios espacios.

Tipos de brechas numéricas

NombreImagenDesigualdadDesignacion
Haz abierto X > a (a; +∞)
X < a (-∞; a)
Haz cerrado X ⩾ a [a; +∞)
X ⩽ a (-∞; a]
Sección a ⩽ X ⩽ B [a; B]
Intervalo a < X < B (a; B)
Medio intervalo a < X ⩽ B (a; B]
a ⩽ X < B [a; B)

En la mesa a y B son los puntos limítrofes, y X- una variable que puede tomar la coordenada de cualquier punto perteneciente a un rango numérico.

Punto límite es el punto que define el límite del intervalo numérico. El punto final puede pertenecer o no a un intervalo numérico. En los dibujos, los puntos finales que no pertenecen al intervalo numérico en consideración se indican con un círculo abierto y los que no pertenecen a un círculo relleno.

Haz abierto y cerrado

Haz abierto es un conjunto de puntos de una línea recta que se encuentran a un lado de un punto límite que no está incluido en este conjunto. El rayo se llama abierto precisamente por el punto límite, que no le pertenece.

Considere el conjunto de puntos de la línea de coordenadas con una coordenada mayor que 2, y por lo tanto ubicado a la derecha del punto 2:

Tal conjunto se puede especificar por la desigualdad X> 2. Los rayos abiertos se indican con paréntesis - (2; + ∞), este registro se lee de la siguiente manera: rayo numérico abierto de dos a más infinito.

El conjunto al que corresponde la desigualdad X < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

Haz cerrado es un conjunto de puntos de una línea recta que se encuentran a un lado de un punto límite que pertenece a un conjunto dado. En los dibujos, los puntos finales pertenecientes al conjunto en cuestión se indican mediante un círculo relleno.

Los rayos de números cerrados vienen dados por desigualdades sueltas. Por ejemplo, desigualdades X 2 y X 2 se puede representar así:

Los datos están indicados vigas cerradas entonces :, se lee así: un rayo numérico de dos a más infinito y un rayo numérico de menos infinito a dos. El corchete en la notación indica que el punto 2 pertenece a un rango de números.

Sección

Sección es un conjunto de puntos de una línea recta que se encuentran entre dos puntos límite pertenecientes a este conjunto. Dichos conjuntos están dados por desigualdades dobles no estrictas.

Considere un segmento de una línea de coordenadas con extremos en los puntos -2 y 3:

El conjunto de puntos que componen un segmento dado se puede especificar mediante la doble desigualdad -2 X 3 o designar [-2; 3], dicha entrada dice lo siguiente: un segmento de menos dos a tres.

Intervalo y medio intervalo

Intervalo es un conjunto de puntos de una línea recta que se encuentran entre dos puntos límite que no pertenecen a este conjunto. Dichos conjuntos están dados por desigualdades estrictas dobles.

Considere un segmento de una línea de coordenadas con extremos en los puntos -2 y 3:

El conjunto de puntos que componen un intervalo dado se puede especificar mediante la doble desigualdad -2< X < 3 или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Medio intervalo es un conjunto de puntos de una línea recta que se encuentran entre dos puntos límite, uno de los cuales pertenece al conjunto y el otro no. Tales conjuntos están dados por dobles desigualdades:

Estos medios intervalos se designan de la siguiente manera: (-2; 3] y [-2; 3), se lee así: medio intervalo de menos dos a tres, incluido 3, y medio intervalo de menos dos a tres, incluyendo menos dos.


Entre los conjuntos numéricos, es decir conjuntos, cuyos objetos son números, distinguen los llamados huecos numéricos... Su valor radica en el hecho de que es muy fácil imaginar un conjunto correspondiente a un rango numérico especificado, y viceversa. Por tanto, conviene utilizarlos para anotar el conjunto de soluciones de la desigualdad.

En este artículo, desglosaremos todo tipo de brechas numéricas. Aquí daremos sus nombres, presentaremos designaciones, representaremos intervalos numéricos en la línea de coordenadas y también mostraremos qué desigualdades simples les corresponden. En conclusión, presentaremos claramente toda la información en forma de una tabla de intervalos numéricos.

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Tipos de brechas numéricas

Cada intervalo numérico tiene cuatro cosas inextricablemente vinculadas:

  • nombre de un intervalo numérico,
  • la correspondiente desigualdad o doble desigualdad,
  • designacion,
  • y su imagen geométrica en forma de imagen en una línea de coordenadas.

Cualquier intervalo numérico se puede especificar de cualquiera de las tres últimas formas de la lista: ya sea por desigualdad, por designación o por su imagen en la línea de coordenadas. Además, según Por aquí Tareas, por ejemplo, por desigualdad, otras se restauran fácilmente (en nuestro caso, la designación e imagen geométrica).

Vayamos a los detalles. Describamos todos los intervalos numéricos de los cuatro lados anteriores.

Tabla de espaciado de números

Entonces, en el párrafo anterior, definimos y describimos los siguientes intervalos numéricos:

  • haz de números abiertos;
  • rayo numérico;
  • intervalo;
  • medio intervalo.

Por conveniencia, resumiremos todos los datos de los intervalos numéricos en una tabla. Ingresemos en él el nombre del intervalo numérico, la desigualdad correspondiente, la designación y la imagen en la línea de coordenadas. Obtenemos lo siguiente tabla de espaciado de números:


Bibliografía.

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C) Recta numérica

Considere una recta numérica (Fig.6):

Considere el conjunto de números racionales

Cada número racional está representado por algún punto en el eje numérico. Entonces, los números están marcados en la figura.

Demostremos eso.

Prueba. Sea una fracción :. Tenemos derecho a considerar esta fracción irreductible. Dado que, entonces - el número es par: - impar. Sustituyendo en lugar de su expresión, encontramos :, de donde se sigue que - un número par. Tenemos una contradicción que prueba la afirmación.

Entonces, no todos los puntos en el eje numérico representan números racionales. Aquellos puntos que no representan números racionales representan números llamados irracional.

Cualquier número de la forma ,, es entero o irracional.

Huecos numéricos

Los segmentos numéricos, intervalos, medios intervalos y rayos se denominan intervalos numéricos.

Desigualdad de tramo numérico Designación de tramo numérico Nombre del intervalo de números Se lee así:
a ≤ x ≤ b [a; B] Segmento numérico Segmento de a a b
a< x < b (a; B) Intervalo Intervalo de a a b
a ≤ x< b [a; B) Medio intervalo Medio intervalo desde a antes de B incluso a.
a< x ≤ b (a; B] Medio intervalo Medio intervalo desde a antes de B incluso B.
x ≥ a [a; + ∞) Haz de números Rayo numérico de a a más el infinito
x> a (a; + ∞) Haz de números abiertos Haz de números abiertos desde a a más el infinito
x ≤ a (- ∞; a] Haz de números Rayo numérico desde menos infinito hasta a
X< a (- ∞; a) Haz de números abiertos Haz de números abiertos desde menos infinito hasta a

Representamos en la línea de coordenadas los números a y B y tambien el numero X entre ellos.

El conjunto de todos los números que satisfacen la condición. a ≤ x ≤ b se llama segmento numérico o solo una pieza... Se denota así: [ a; B] -Lea así: un segmento de la a a la b.

El conjunto de números que cumplen la condición. a< x < b se llama intervalo... Se denota así: ( a; B)

Se lee así: un intervalo de a a b.



Conjuntos de números que satisfacen las condiciones a ≤ x< b или a<x ≤ b son llamados medios intervalos... Leyenda:

Establecer un ≤ x< b обозначается так:[a; B), - se lee así: medio intervalo de a antes de B incluso a.

Un montón de a<x ≤ b denotado así :( a; B], - se lee así: medio intervalo de a antes de B incluso B.

Ahora imaginemos Rayo con punto a, a la derecha y a la izquierda del cual hay un conjunto de números.

a cumpliendo la condición x ≥ a se llama haz de números.

Se denota así: [ a; + ∞) -Leer así: un rayo numérico de a a más el infinito.

El conjunto de números a la derecha del punto. a correspondiente a la desigualdad x> a se llama haz de números abiertos.

Se denota así: ( a; + ∞) -Leer así: abrir rayo numérico de a a más el infinito.

a cumpliendo la condición x ≤ a se llama un rayo numérico desde menos infinito hastaa .

Se denota así :( - ∞; a] -Lee así: un rayo numérico de menos infinito a a.

El conjunto de números a la izquierda del punto. a correspondiente a la desigualdad X< a se llama rayo de número abierto desde menos infinito hastaa .

Se denota así: ( - ∞; a) -Leer así: un rayo numérico abierto desde menos infinito hasta a.

El conjunto de números reales está representado por la línea de coordenadas completa. Él ha llamado numero de linea... Se designa de la siguiente manera: ( - ∞; + ∞ )

3) Ecuaciones lineales y desigualdades con una variable, sus soluciones:

La igualdad que contiene una variable se llama ecuación con una variable o ecuación con una incógnita. Por ejemplo, una ecuación de una variable es 3 (2x + 7) = 4x-1.

La raíz o solución de una ecuación es el valor de una variable en la que la ecuación se convierte en una verdadera igualdad numérica. Por ejemplo, el número 1 es la solución de la ecuación 2x ​​+ 5 = 8x-1. La ecuación x2 + 1 = 0 no tiene solución, porque el lado izquierdo de la ecuación es siempre mayor que cero. La ecuación (x + 3) (x-4) = 0 tiene dos raíces: x1 = -3, x2 = 4.

Resolver una ecuación significa encontrar todas sus raíces o demostrar que no hay raíces.

Las ecuaciones se denominan equivalentes si todas las raíces de la primera ecuación son las raíces de la segunda ecuación y viceversa, todas las raíces de la segunda ecuación son las raíces de la primera ecuación, o si ambas ecuaciones no tienen raíces. Por ejemplo, las ecuaciones x-8 = 2 y x + 10 = 20 son equivalentes porque la raíz de la primera ecuación x = 10 es la raíz de la segunda ecuación, y ambas ecuaciones tienen una raíz.

Al resolver ecuaciones, se utilizan las siguientes propiedades:

Si transfieres el término de una parte a otra en la ecuación, cambiando su signo, obtendrás una ecuación equivalente a esta.

Si ambos lados de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación que es equivalente a esta.

La ecuación ax = b, donde x es una variable y ayb son algunos números, se llama ecuación lineal en una variable.

Si a¹0, entonces la ecuación tiene una solución única.

Si a = 0, b = 0, entonces cualquier valor de x satisface la ecuación.

Si a = 0, b¹0, entonces la ecuación no tiene soluciones, ya que 0x = b no se ejecuta para ningún valor de la variable.
Ejemplo 1. Resuelva la ecuación: -8 (11-2x) + 40 = 3 (5x-4)

Abramos los corchetes en ambos lados de la ecuación, transfiramos todos los términos de x al lado izquierdo de la ecuación y los términos que no contienen x al lado derecho, obtenemos:

16x-15x = 88-40-12

Ejemplo 2. Resuelve las ecuaciones:

x3-2x2-98x + 18 = 0;

Estas ecuaciones no son lineales, pero le mostraremos cómo puede resolverlas.

3x2-5x = 0; x (3x-5) = 0. El producto es igual a cero, si uno de los factores es igual a cero, obtenemos x1 = 0; x2 =.

Respuesta: 0; ...

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación:

x2 (x-2) -9 (x-2) = (x-2) (x2-9) = (x-2) (x-3) (x-3), es decir (x-2) (x-3) (x + 3) = 0. Por tanto, está claro que las soluciones de esta ecuación son los números x1 = 2, x2 = 3, x3 = -3.

c) Representamos 7x como 3x + 4x, entonces tenemos: x2 + 3x + 4x + 12 = 0, x (x + 3) +4 (x + 3) = 0, (x + 3) (x + 4) = 0, por lo tanto x1 = -3, x2 = - 4.

Respuesta: -3; - 4.
Ejemplo 3. Resuelva la ecuación: ½x + 1ç + ½x-1ç = 3.

Recuerde la definición del módulo de un número:

Por ejemplo: ½3½ = 3, ½0½ = 0, ½- 4½ = 4.

En esta ecuación, bajo el signo del módulo están los números x-1 y x + 1. Si x es menor que -1, entonces el número x + 1 es negativo, entonces ½x + 1½ = -x-1. Y si x> -1, entonces ½x + 1½ = x + 1. Cuando x = -1 ½x + 1½ = 0.

Por lo tanto,

igualmente

a) Considere la ecuación dada1x + 11 + 1x-11 = 3 para x £ -1, es equivalente a la ecuación -x-1-x + 1 = 3, -2x = 3, x =, este número pertenece a la conjunto x £ -1.

b) Sea -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) Considere el caso x> 1.

x + 1 + x-1 = 3, 2x = 3, x =. Este número pertenece al conjunto x> 1.

Respuesta: x1 = -1,5; x2 = 1,5.
Ejemplo 4. Resuelva la ecuación: ½x + 2½ + 3½x½ = 2½x-1½.

Muestremos una breve notación de la solución de la ecuación, expandiendo el signo del módulo "por intervalos".

x £ -2, - (x + 2) -3x = -2 (x-1), - 4x = 4, x = -2Î (- ¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x> 1, x + 2 + 3x = 2 (x-1), 2x = - 4, x = -2Ï (1; + ¥)

Respuesta: [-2; 0]
Ejemplo 5. Resuelva la ecuación: (a-1) (a + 1) x = (a-1) (a + 2), para todos los valores del parámetro a.

En esta ecuación, de hecho, hay dos variables, pero x se considera desconocido y a es un parámetro. Se requiere resolver la ecuación de la variable x para cualquier valor del parámetro a.

Si a = 1, entonces la ecuación tiene la forma 0 × x = 0, cualquier número satisface esta ecuación.

Si a = -1, entonces la ecuación tiene la forma 0 × x = -2, esta ecuación no satisface ningún número.

Si a¹1, a¹-1, entonces la ecuación tiene una solución única.

Respuesta: si a = 1, entonces x es cualquier número;

si a = -1, entonces no hay soluciones;

si a¹ ± 1, entonces.

B) Desigualdades lineales en una variable.

Si le damos a la variable x cualquier valor numérico, entonces obtenemos una desigualdad numérica que expresa un enunciado verdadero o falso. Por ejemplo, démosle la desigualdad 5x-1> 3x + 2. Para x = 2 obtenemos 5 · 2-1> 3 · 2 + 2 - un enunciado verdadero (enunciado numérico verdadero); en x = 0 obtenemos 5 · 0-1> 3 · 0 + 2 - una declaración falsa. Cualquier valor de una variable en el que una desigualdad dada con una variable se convierte en una verdadera desigualdad numérica se llama solución de la desigualdad. Resolver una desigualdad con una variable significa encontrar el conjunto de todas sus soluciones.

Se dice que dos desigualdades con una variable x son equivalentes si los conjuntos de soluciones de estas desigualdades coinciden.

La idea principal para resolver la desigualdad es la siguiente: reemplazamos la desigualdad dada por otra, más simple, pero equivalente a la dada; la desigualdad resultante se reemplaza de nuevo por una desigualdad más simple equivalente a ella, y así sucesivamente.

Dichas sustituciones se realizan en base a las siguientes declaraciones.

Teorema 1. Si cualquier término de una desigualdad con una variable se transfiere de una parte de la desigualdad a otra con el signo opuesto, sin cambiar el signo de la desigualdad, se obtendrá una desigualdad equivalente a la dada.

Teorema 2. Si ambos lados de una desigualdad con una variable se multiplican o dividen por el mismo número positivo, dejando el signo de desigualdad sin cambios, entonces obtenemos una desigualdad equivalente a esta.

Teorema 3. Si ambos lados de una desigualdad con una variable se multiplican o dividen por el mismo número negativo, mientras se cambia el signo de la desigualdad al opuesto, obtenemos una desigualdad que es equivalente a esta.

Una desigualdad de la forma ax + b> 0 se llama lineal (respectivamente, ax + b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Ejemplo 1. Resuelva la desigualdad: 2 (x-3) +5 (1-x) ³3 (2x-5).

Al expandir los corchetes, obtenemos 2x-6 + 5-5x³6x-15,

Entre los conjuntos de números, hay conjuntos donde los objetos son intervalos de números. Al especificar un conjunto, es más fácil identificarlo por el espacio. Por lo tanto, escribimos los conjuntos de soluciones usando intervalos numéricos.

Este artículo proporciona respuestas a preguntas sobre intervalos numéricos, nombres, designaciones, imágenes de intervalos en una línea de coordenadas y la correspondencia de desigualdades. Finalmente, se considerará una tabla espaciadora.

Definición 1

Cada intervalo numérico se caracteriza por:

  • nombre;
  • la presencia de desigualdad ordinaria o doble;
  • designacion;
  • una imagen geométrica en una línea de coordenadas.

El rango numérico se establece utilizando cualquiera de los 3 métodos de la lista anterior. Es decir, cuando se usa desigualdad, designación, imágenes en la línea de coordenadas. Este método es el más aplicable.

Hagamos una descripción de los intervalos numéricos con los lados indicados anteriormente:

Definición 2

  • Haz de números abiertos. El nombre se debe a que se omite, dejándolo abierto.

Este intervalo tiene las correspondientes desigualdades x< a или x >a, donde a es un número real. Es decir, en tal rayo hay todos los números reales que son menores que a - (x< a) или больше a - (x >a).

El conjunto de números que satisfarán una desigualdad de la forma x< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a como (a, + ∞).

El significado geométrico de una viga abierta considera la presencia de un espacio numérico. Existe una correspondencia entre los puntos de la línea de coordenadas y sus números, gracias a lo cual llamamos a la línea de coordenadas. Si es necesario comparar números, en la línea de coordenadas, el número más grande está a la derecha. Entonces una desigualdad de la forma x< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >a - apunta a la derecha. El número en sí no es adecuado para la solución, por lo tanto, en el dibujo, se indica con un punto perforado. El espacio que se necesita se resalta con sombreado. Considere la siguiente figura.

Se puede ver en la figura anterior que los intervalos numéricos corresponden a una parte de una línea recta, es decir, rayos con el comienzo en a. En otras palabras, se llama rayos sin comienzo. Por lo tanto, recibió el nombre de rayo número abierto.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Para una desigualdad estricta dada x> - 3, se da un rayo abierto. Este registro se puede representar como coordenadas (- 3, ∞). Es decir, todos estos son puntos a la derecha que - 3.

Ejemplo 2

Si tenemos una desigualdad de la forma x< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

Definición 3

  • Haz de números. El significado geométrico es que no se descarta el inicio, es decir, el rayo conserva su utilidad.

Su tarea se lleva a cabo utilizando desigualdades no estrictas de la forma x ≤ a ox ≥ a. Para este tipo, se adoptan designaciones especiales de la forma (- ∞, a] y [a, + ∞), y la presencia de un corchete significa que el punto está incluido en la solución o en el conjunto. Considere la siguiente figura.

Para un ejemplo ilustrativo, establezcamos un rayo numérico.

Ejemplo 3

Una desigualdad de la forma x ≥ 5 corresponde a la notación [5, + ∞), entonces obtenemos un rayo de la siguiente forma:

Definición 4

  • Intervalo. La especificación que usa intervalos se escribe usando las desigualdades dobles a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Considere la siguiente figura.

Ejemplo 4

Ejemplo de intervalo - 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

Definición 5

  • Segmento numérico. Este intervalo se diferencia en que incluye puntos de frontera, luego tiene un registro de la forma a ≤ x ≤ b. Una desigualdad tan imprecisa sugiere que cuando se escribe en forma de segmento numérico, se utilizan corchetes [a, b], lo que significa que los puntos se incluyen en el conjunto y se representan como rellenos.

Ejemplo 5

Habiendo considerado el segmento, encontramos que su especificación es posible utilizando la doble desigualdad 2 ≤ x ≤ 3, que representamos en la forma 2, 3. En la línea de coordenadas, estos puntos se incluirán en la solución y se sombrearán.

Definición 6 Ejemplo 6

Si hay un medio intervalo (1, 3], entonces su notación puede tener la forma de la doble desigualdad 1< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Definición 7

Las lagunas se pueden representar como:

  • haz de números abiertos;
  • rayo numérico;
  • intervalo;
  • segmento numérico;
  • medio intervalo.

Para simplificar el proceso de cálculo, es necesario utilizar una tabla especial, donde hay designaciones para todos los tipos de intervalos numéricos de una línea recta.

Nombre Desigualdad Designacion Imagen
Haz de números abiertos X< a - ∞, una
x> a a, + ∞
Haz de números x ≤ a (- ∞, a]
x ≥ a [a, + ∞)
Intervalo a< x < b a, b
Segmento numérico a ≤ x ≤ b a, b

Medio intervalo