Primer nivel

Método de intervalo Guía completa (2019)

¡Solo necesita comprender este método y conocerlo como el dorso de su mano! Aunque solo sea porque se usa para resolver desigualdades racionales y porque, conociendo este método adecuadamente, resolver estas desigualdades es sorprendentemente simple. Un poco más tarde les contaré un par de secretos sobre cómo ahorrar tiempo para resolver estas desigualdades. Bueno, intrigado? ¡Entonces vamos!

La esencia del método es la factorización de la desigualdad (repita el tema) y la determinación del SDL y el signo de los factores, ahora explicaré todo. Tome el ejemplo más simple:

El rango de valores permitidos () no es necesario escribir aquí, ya que no hay división por una variable, y los radicales (raíces) no se observan aquí. Todo está factorizado aquí para nosotros. Pero no te relajes, ¡todo es para recordarte lo básico y comprender la esencia!

Supongamos que no conoce el método de intervalo, ¿cómo resolvería esta desigualdad? Venga lógicamente y confíe en lo que ya sabe. En primer lugar, el lado izquierdo será mayor que cero si ambas expresiones entre paréntesis son mayores que cero o menores que cero, porque "Más" a "más" da "más" y "menos" a "menos" da "más", ¿verdad? Y si los signos en las expresiones entre paréntesis son diferentes, al final el lado izquierdo será menor que cero. Pero, ¿qué necesitamos para encontrar los significados en los que las expresiones entre paréntesis son negativas o positivas?

Necesitamos resolver la ecuación, es exactamente lo mismo que la desigualdad, solo que en lugar del signo habrá un signo, las raíces de esta ecuación nos permitirán determinar esos valores límite, cuando parten de los cuales los factores serán más o menos que cero.

Y ahora los intervalos mismos. ¿Qué es un intervalo? Este es un cierto intervalo de la recta numérica, es decir, todos los números posibles encerrados entre dos números: los extremos del intervalo. Estos espacios en la cabeza no son tan fáciles de imaginar, por lo que es habitual dibujar intervalos, ahora te enseñaré.

Dibujamos un eje, en él se encuentran las series de números enteros desde y hacia. Los puntos se aplican al eje, los llamados ceros de la función, los valores en los que la expresión es igual a cero. Estos puntos están "bromeados", lo que significa que no están entre esos valores para los cuales la desigualdad es verdadera. En este caso, sacan porque firmar en la desigualdad y no, es decir, estrictamente mayor y no mayor o igual que.

Quiero decir que no es necesario marcar cero, es sin círculos aquí, y así, para entender y orientar a lo largo del eje. Bien, se dibujó el eje, se establecieron los puntos (más precisamente, los círculos), entonces, ¿qué, cómo me ayudará esto en la solución? - usted pregunta. Ahora solo tome el valor de x de los intervalos en orden y sustitúyalos en su desigualdad y vea qué signo será el resultado de la multiplicación.

En resumen, simplemente lo tomamos, lo sustituimos aquí, resultará, lo que significa que durante todo el intervalo (durante todo el intervalo) desde el que tomamos, la desigualdad será verdadera. En otras palabras, si x es de a, entonces la desigualdad es verdadera.

Hacemos lo mismo con un intervalo de a, lo tomamos o, por ejemplo, lo sustituimos, definimos un signo, el signo será "menos". Y también lo hacemos con el último, tercer intervalo de a, donde el signo será un plus. Salió un montón de texto, pero hay poca visibilidad, ¿verdad?

Eche otro vistazo a la desigualdad.

Ahora, todos en el mismo eje también aplicamos los signos que resultarán. La línea discontinua, en mi ejemplo, denota las secciones positivas y negativas del eje.

Mire la desigualdad - en el dibujo, nuevamente en la desigualdad - y nuevamente en el dibujo¿Hay algo claro? Trate ahora de decir a qué intervalos X, la desigualdad será verdadera. Así es, de a la desigualdad será verdadera de a, y en el intervalo de a la desigualdad de cero y de nosotros esta brecha es de poco interés, porque tenemos un signo en la desigualdad.

Bueno, como lo descubriste, ¡depende de ti escribir la respuesta! En respuesta, escribimos los intervalos en los que el lado izquierdo es mayor que cero, que lee cómo X pertenece al intervalo de menos infinito a menos uno y de dos a más infinito. Vale la pena explicar que los paréntesis significan que los valores a los que se limita el intervalo no son soluciones de la desigualdad, es decir, no están incluidos en la respuesta, sino que solo dicen eso antes, por ejemplo, pero no hay solución.

Ahora un ejemplo en el que no solo tiene que dibujar un intervalo:

¿Qué crees que se debe hacer antes de poner puntos en el eje? Sí, factorizando:

Dibujamos los intervalos y colocamos los signos, observamos los puntos que hemos marcado, porque el signo es estrictamente menor que cero:

¡Es hora de revelarte un secreto que prometí al comienzo de este tema! Pero, ¿qué sucede si le digo que no puede sustituir los valores de cada intervalo para determinar el signo, sino que puede determinar el signo en uno de los intervalos y simplemente alternar los signos en el resto!

Por lo tanto, ahorramos un poco de tiempo en colocar letreros: ¡creo que este tiempo ganado en el USO no hará daño!

Escribimos la respuesta:

Ahora considere un ejemplo de desigualdad racional fraccional: una desigualdad, cuyos lados son expresiones racionales (ver).

¿Qué puedes decir sobre esta desigualdad? Y lo miras como una ecuación racional fraccional, ¿qué hacemos primero? Inmediatamente vemos que no hay raíces, significa exactamente racional, pero aquí está la fracción, ¡e incluso con lo desconocido en el denominador!

Así es, ¡DLD es necesario!

Entonces, vamos más allá, aquí todos los factores, excepto uno, tienen una variable de primer grado, pero hay un factor en el que X tiene un segundo grado. Por lo general, el signo que cambiamos después de pasar por uno de los puntos en los que el lado izquierdo de la desigualdad toma valor cero, para lo cual determinamos a qué debería ser igual la x en cada factor. Y aquí, siempre es positivo, porque cualquier número al cuadrado\u003e cero y un término positivo.

¿Qué crees que afectará el significado de la desigualdad? Así es, ¡no afectará! Podemos dividir con seguridad la desigualdad en ambas partes y, por lo tanto, eliminar este factor para que los ojos no se calmen.

ha llegado el momento de dibujar los intervalos, para esto debe determinar esos valores límite, cuando se aleja de los cuales los factores serán más y menos que cero. Pero tenga en cuenta que aquí el signo significa el punto en el que el lado izquierdo de la desigualdad toma cero, no perforaremos, porque es una de las soluciones, tenemos uno de esos puntos, este es el punto donde x es igual a uno. ¿Y el punto donde el denominador es pintura negativa? - ¡Por supuesto no!

El denominador no debe ser cero, por lo que el intervalo se verá así:

Bajo este esquema, ya puede escribir fácilmente la respuesta, solo diré que ahora tiene a su disposición un nuevo tipo de soporte: ¡cuadrado! Aquí hay un soporte [ dice que el valor está en el intervalo de decisión, es decir es parte de la respuesta, este corchete corresponde a un punto relleno (no perforado) en el eje.

Aquí, ¿obtuviste la misma respuesta?

Factorizamos y transferimos todo en una dirección, porque solo necesitamos dejar cero a la derecha para compararlo:

Le llamo la atención sobre el hecho de que en la última transformación, para obtener tanto en el numerador como en el denominador, multiplico ambos lados de la desigualdad por. ¡Recuerde que cuando ambas partes de la desigualdad se multiplican por, el signo de la desigualdad se invierte!

Escribimos ODZ:

De lo contrario, el denominador irá a cero, ¡pero no puedes dividirlo a cero, como recuerdas!

De acuerdo, en la desigualdad resultante es tentador reducir en el numerador y el denominador. ¡No puedes hacer esto, puedes perder algunas decisiones o ODZ!

Ahora intente dibujar puntos en el eje usted mismo. Solo noto que al dibujar puntos, debe prestar atención al hecho de que un punto con un valor que, según el signo, parecería colocarse en el eje como relleno, no se rellenará, ¡se pinchará! ¿Por qué preguntas? Y recuerdas ODZ, ¿no vas a dividir por cero así?

¡Recuerde, ODZ sobre todo! Si todas las desigualdades y signos iguales dicen una cosa, y DLD - otra, ¡confíe en DLD, genial y poderoso! Bueno, construiste los intervalos, estoy seguro de que utilizaste mi pista sobre la alternancia y la obtuviste así (mira la figura a continuación). ¡Ahora tacha y no repitas más este error! Cual es el error - usted pregunta.

El hecho es que en esta desigualdad el factor se repitió dos veces (¿recuerdas cómo aún trataste de reducirlo?). Entonces, si algún factor se repite un número par de veces en la desigualdad, entonces al pasar a través de un punto en el eje que convierte este factor a cero (en este caso, un punto), el signo no cambiará, si es impar, ¡entonces el signo cambia!

El siguiente eje será verdadero con intervalos y signos:

Y preste atención a que el signo que nos interesa no es el que estaba al principio (cuando solo vimos la desigualdad, el signo era), después de las transformaciones, el signo cambió a, por lo que nos interesan los intervalos con el signo.

Responder:

También diré que hay situaciones en las que hay raíces de desigualdad que no caen en ninguna brecha, en respuesta se escriben entre llaves, como esta, por ejemplo: Puede leer más sobre tales situaciones en el nivel promedio del artículo.

Resumamos cómo resolver desigualdades por el método de intervalo:

1. Transferimos todo al lado izquierdo, a la derecha solo dejamos cero;
2. Encontramos ODZ;
3. Poner en el eje todas las raíces de la desigualdad;
4. Tomamos un arbitrario de uno de los huecos y determinamos el signo en el intervalo al que pertenece la raíz, alternamos los signos, prestando atención a las raíces repetidas en la desigualdad varias veces, dependiendo de la uniformidad o rareza del número de veces que se repiten, el signo cambia al pasar a través de ellos o no;
5. En respuesta, escribimos los intervalos, observando los puntos perforados y no perforados (ver ODZ), colocando los tipos necesarios de corchetes entre ellos.

Y finalmente, ¡nuestro título favorito de bricolaje!

Ejemplos:

Respuestas:

MÉTODO DE INTERVALO. NIVEL MEDIO

Función lineal

Lineal es una función de la forma. Por ejemplo, considere una función. Es positivo para y negativo para. El punto es el cero de la función (). Mostramos los signos de esta función en el eje numérico:

Decimos que "la función cambia de signo al pasar por un punto".

Se puede ver que los signos de la función corresponden a la posición del gráfico de la función: si el gráfico está por encima del eje, el signo "", si está debajo - "".

Si generalizamos la regla resultante a una función lineal arbitraria, obtenemos el siguiente algoritmo:

• Encuentra el cero de la función;
• Márcalo en el eje numérico;
• Determinamos el signo de la función en lados opuestos de cero.

Función cuadrática

Espero que recuerdes cómo se resuelven las desigualdades cuadradas. Si no, lee el tema. Permíteme recordarte la forma general de una función cuadrática :.

Ahora recordamos qué signos toma la función cuadrática. Su gráfico es una parábola, y la función toma el signo "" para aquellos en los que la parábola está por encima del eje y "" si la parábola está por debajo del eje:

Si la función tiene ceros (valores en los cuales), la parábola corta el eje en dos puntos: las raíces de la ecuación cuadrática correspondiente. Por lo tanto, el eje se divide en tres intervalos, y los signos de la función cambian alternativamente al pasar por cada raíz.

¿Es posible determinar de alguna manera los signos sin dibujar una parábola cada vez?

Recuerde que el trinomio cuadrático se puede factorizar:

Por ejemplo: .

Tenga en cuenta las raíces en el eje:

Recordamos que el signo de la función solo puede cambiar cuando se pasa por la raíz. Utilizamos este hecho: para cada uno de los tres intervalos en los que el eje está dividido por raíces, es suficiente determinar el signo de la función en un solo punto seleccionado arbitrariamente: en los puntos restantes del intervalo, el signo será el mismo.

En nuestro ejemplo: cuando ambas expresiones entre paréntesis son positivas (sustituimos, por ejemplo :). Ponemos el signo "" en el eje:

Bueno, con (sustituto, por ejemplo) ambos corchetes son negativos, lo que significa que el producto es positivo:

Eso es lo que es método de intervalo: Conociendo los signos de los factores en cada intervalo, determinamos el signo de todo el producto.

Considere también los casos en que la función no tiene ceros, o es solo uno.

Si no lo son, entonces no hay raíces. Por lo tanto, no habrá "transición a través de la raíz". Entonces, la función en todo el eje numérico toma solo un signo. Es fácil de determinar sustituyendo en una función.

Si solo hay una raíz, la parábola toca el eje, por lo que el signo de la función no cambia al pasar por la raíz. ¿Qué regla inventaremos para tales situaciones?

Si descomponemos dicha función en factores, obtenemos dos factores idénticos:

¡Y cualquier expresión al cuadrado no es negativa! Por lo tanto, el signo de la función no cambia. En tales casos, resaltaremos la raíz, en la transición a través de la cual el signo no cambia, rodeándolo con un cuadrado:

Tal raíz se llamará múltiple.

El método de intervalos en desigualdades

Ahora cualquier desigualdad cuadrada puede resolverse sin dibujar una parábola. Es suficiente colocar los signos de una función cuadrática en el eje y elegir los intervalos según el signo de desigualdad. Por ejemplo:

Medimos las raíces en el eje y colocamos los signos:

Necesitamos una parte del eje con un ""; Como la desigualdad no es estricta, las raíces mismas también se incluyen en la solución:

Ahora consideramos una desigualdad racional, una desigualdad, cuyas partes son expresiones racionales (ver).

Ejemplo:

Todos los factores excepto uno: aquí son "lineales", es decir, contienen la variable solo en primer grado. También necesitamos tales factores lineales para aplicar el método de intervalo: el signo cambia al pasar por sus raíces. Pero el multiplicador no tiene raíces en absoluto. Esto significa que siempre es positivo (verifíquelo usted mismo) y, por lo tanto, no afecta el signo de toda la desigualdad. Por lo tanto, los lados izquierdo y derecho de la desigualdad se pueden dividir en ella, y así deshacerse de ella:

Ahora todo es igual que con las desigualdades cuadradas: determinamos en qué puntos desaparece cada uno de los factores, marcamos estos puntos en el eje y colocamos los signos. Llamo la atención sobre un hecho muy importante:

Responder:. Ejemplo:.

Para aplicar el método de intervalo, una de las partes de la desigualdad debe ser. Por lo tanto, movemos el lado derecho hacia la izquierda:

El numerador y el denominador tienen el mismo factor, ¡pero no tenemos prisa por reducirlo! Después de todo, podemos olvidarnos de señalar este punto. Es mejor marcar esta raíz como un múltiplo, es decir, al pasar por ella, el signo no cambia:

Responder:.

Y otro ejemplo muy revelador:

Nuevamente, no reducimos los mismos factores del numerador y denominador, porque si reducimos, tendremos que recordar especialmente que necesitamos perforar el punto.

• : tiempos repetidos;
• : tiempos;
• : veces (en el numerador y uno en el denominador).

En el caso de un número par, hacemos lo mismo que antes: encierra en un círculo el punto con un cuadrado y no cambia el signo al pasar por la raíz. Pero en el caso de una cantidad impar, esta regla no se cumple: el signo cambiará de todos modos al pasar por la raíz. Por lo tanto, no hacemos nada con esa raíz, como si no fuera un múltiplo de ella. Las reglas anteriores se aplican a todos los grados pares e impares.

¿Qué escribimos en la respuesta?

Si se viola la alternancia de signos, debe tener mucho cuidado, porque con una desigualdad laxa, la respuesta debería ser todos los puntos llenos. Pero algunos de ellos a menudo se destacan, es decir, no ingresan al área sombreada. En este caso, los agregamos a la respuesta como puntos aislados (entre llaves):

Ejemplos (decide por ti mismo):

Respuestas:

1. Si está entre los factores simplemente, esta es la raíz, porque se puede representar como.
   .

MÉTODO DE INTERVALO. BREVE SOBRE LOS PRINCIPALES

El método de intervalo se usa para resolver desigualdades racionales. Consiste en determinar el signo del producto por los signos de los factores a diversos intervalos.

Un algoritmo para resolver desigualdades racionales por el método del intervalo.

• Transferimos todo al lado izquierdo, a la derecha solo dejamos cero;
• Encuentra el DLD;
• Poner en el eje todas las raíces de la desigualdad;
• Tomamos un arbitrario de uno de los huecos y determinamos el signo en el intervalo al que pertenece la raíz, alternamos los signos, prestando atención a las raíces repetidas en la desigualdad varias veces, dependiendo de la uniformidad o rareza del número de veces que se repiten, el signo cambia al pasar a través de ellos o no;
• En respuesta, escribimos los intervalos, observando los puntos perforados y no perforados (ver ODZ), colocando los tipos necesarios de corchetes entre ellos.

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Cómo resolver desigualdades por el método del intervalo (algoritmo con ejemplos)

Ejemplo . (asignación de la OGE) Resolver la desigualdad por el método de intervalo \\ ((x-7) ^ 2< \sqrt{11}(x-7)\)
Decisión:

Responder : \\ ((7; 7+ \\ sqrt (11)) \\)

Ejemplo . Resolver la desigualdad por el método de intervalo \\ (≥0 \\)
Decisión:

\\ (\\ frac ((4-x) ^ 3 (x + 6) (6-x) ^ 4) ((x + 7.5)) \\)\(≥0\)		Aquí, a primera vista, todo parece normal, y la desigualdad se reduce inicialmente al tipo correcto. Pero esto no es así: después de todo, en el primer y tercer paréntesis del numerador, X está con un signo menos. Transformamos los corchetes, teniendo en cuenta el hecho de que el cuarto grado es par (es decir, elimina el signo menos), y el tercero es impar (es decir, no lo hará). \\ ((4-x) ^ 3 \u003d (- x + 4) ^ 3 \u003d (- (x-4)) ^ 3 \u003d - (x-4) ^ 3 \\) \\ ((6-x) ^ 4 \u003d (- x + 6) ^ 4 \u003d (- (x-6)) ^ 4 \u003d (x-6) ^ 4 \\) Me gusta esto. Ahora devolvemos los corchetes "en su lugar" ya convertidos.
\\ (\\ frac (- (x-4) ^ 3 (x + 6) (x-6) ^ 4) ((x + 7.5)) \\)\(≥0\)		Ahora todos los corchetes se ven bien (la demanda sin firmar es lo primero y solo luego el número). Pero el signo menos apareció antes del numerador. Lo eliminamos multiplicando la desigualdad por \\ (- 1 \\), sin olvidar girar el signo de comparación
\\ (\\ frac ((x-4) ^ 3 (x + 6) (x-6) ^ 4) ((x + 7.5)) \\)\(≤0\)		Hecho. Ahora la desigualdad parece que debería. Puedes usar el método de intervalo.
\\ (x \u003d 4; \\) \\ (x \u003d -6; \\) \\ (x \u003d 6; \\) \\ (x \u003d -7.5 \\)		Coloquemos puntos en el eje, signos y completemos los espacios necesarios.
		En el intervalo de \\ (4 \\) a \\ (6 \\), no es necesario cambiar el signo, porque el paréntesis \\ ((x-6) \\) es par (vea el párrafo 4 del algoritmo). La casilla de verificación será un recordatorio de que el seis también es una solución a la desigualdad. Graba la respuesta.

Responder : \\ ((- - ∞; 7.5] ∪ [-6; 4] ∪ \\ left \\ (6 \\ right \\) \\)

Ejemplo. (Asignación de la OGE) Resuelva la desigualdad por el método de intervalo \\ (x ^ 2 (-x ^ 2-64) ≤64 (-x ^ 2-64) \\)
Decisión:

\\ (x ^ 2 (-x ^ 2-64) ≤64 (-x ^ 2-64) \\)		Hay idénticos a la izquierda y a la derecha, esto claramente no es casualidad. El primer deseo es dividir por \\ (- x ^ 2-64 \\), pero esto es un error, porque Existe la posibilidad de perder la raíz. En su lugar, mueva \\ (64 (-x ^ 2-64) \\) a la izquierda
\\ (x ^ 2 (-x ^ 2-64) -64 (-x ^ 2-64) ≤0 \\)
\\ ((- x ^ 2-64) (x ^ 2-64) ≤0 \\)		Saque el signo menos en el primer paréntesis y factorice el segundo
\\ (- (x ^ 2 + 64) (x-8) (x + 8) ≤0 \\)		Nota: \\ (x ^ 2 \\) es cero o mayor que cero. Por lo tanto, \\ (x ^ 2 + 64 \\) es excepcionalmente positivo para cualquier valor de x, es decir, esta expresión no afecta el signo del lado izquierdo. Por lo tanto, podemos dividir con seguridad ambas partes de la desigualdad en esta expresión. También dividimos la desigualdad por \\ (- 1 \\) para eliminar el menos.
\\ ((x-8) (x + 8) ≥0 \\)		Ahora puedes aplicar el método de intervalo
\\ (x \u003d 8; \\) \\ (x \u003d -8 \\)		Escribe la respuesta

Responder : \\ ((- ∞; -8] ∪∪ (3) ∪ (en el intervalo (−6,4) el signo no está definido, ya que no es parte del dominio de la función). Para hacer esto, tome un punto de cada intervalo, por ejemplo, 16, 8, 6 y −8, y calcule el valor de la función f en ellos:

Si surgieron preguntas cuando se aclaró cuáles son los valores calculados de la función, positivos o negativos, entonces estudie el artículo comparación de números.

Colocamos los signos recién definidos y colocamos una escotilla sobre los espacios con un signo menos:

En respuesta, escribimos la unión de dos espacios con el signo -, tenemos (−∞, −6] ∪ (7, 12). Tenga en cuenta que −6 está incluido en la respuesta (el punto correspondiente es sólido, no perforado). El hecho es que esto no el cero de la función (que no habríamos incluido en la respuesta al resolver la desigualdad estricta), sino el punto límite del dominio de definición (es de color, no negro), al ingresar el dominio de definición. durante el intervalo correspondiente), es decir, satisface la desigualdad, pero no es necesario incluir 4 en la respuesta (como todo el intervalo ∪ (7, 12).

Lista de referencias.

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2. Mordkovich A. G. Álgebra. Grado 9. A las 2 horas, Parte 1. Un libro de texto para estudiantes de instituciones educativas / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13ª ed. - M .: Mnemosyne, 2011 .-- 222 p .: Ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
3. Álgebra y el comienzo del análisis: libro de texto. para 10-11 células educación general. instituciones / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn y otros; Ed. A.N. Kolmogorova.- 14ª ed.- M.: Educación, 2004.- 384 pp., Ill. - ISBN 5-09-013651-3.
4. Kudryavtsev L. D. El curso del análisis matemático (en dos volúmenes): un libro de texto para estudiantes universitarios y universidades. - M .: más alto. School, 1981, v. 1.687 p., Ill.