Componga la razón y calcule el límite.

donde fue tabla de derivadas y reglas de diferenciación? Gracias a un solo límite. Parece magia, pero en realidad, un juego de manos y sin fraude. en la lección ¿Qué es un derivado? Empecé a considerar ejemplos específicos, donde, usando la definición, encontré las derivadas de una función lineal y cuadrática. Con el propósito de calentamiento cognitivo, continuaremos perturbando tabla de derivadas, perfeccionando el algoritmo y las soluciones técnicas:

Ejemplo 1

Esencialmente, necesitamos probar caso especial derivado función de poder, que suele aparecer en la tabla: .

Decisión formalizada técnicamente de dos maneras. Comencemos con el primer enfoque, ya familiar: la escalera comienza con un tablón y la función derivada comienza con una derivada en un punto.

Considerar algunos(específico) punto perteneciente a dominios una función que tiene una derivada. Establecer el incremento en este punto (por supuesto, no más alláo/o -YO) y componer el incremento correspondiente de la función:

Calculemos el límite:

La incertidumbre 0:0 se elimina mediante una técnica estándar que data del siglo I a. Multiplica el numerador y el denominador por la expresión adjunta :

La técnica para resolver dicho límite se analiza en detalle en la lección introductoria. sobre los límites de las funciones.

Dado que CUALQUIER punto del intervalo se puede elegir como, entonces, reemplazando , obtenemos:

Responder

Una vez más, regocijémonos con los logaritmos:

Ejemplo 2

Encuentra la derivada de la función usando la definición de la derivada

Decisión: consideremos un enfoque diferente para la promoción de la misma tarea. Es exactamente lo mismo, pero más racional en cuanto a diseño. La idea es deshacerse del subíndice al principio de la solución y usar la letra en lugar de la letra .

Considerar arbitrario punto perteneciente a dominios función (intervalo), y establecer el incremento en ella. Y aquí, por cierto, como en la mayoría de los casos, puede hacerlo sin reservas, ya que la función logarítmica es diferenciable en cualquier punto del dominio de definición.

Entonces el incremento de la función correspondiente es:

Hallemos la derivada:

La facilidad de diseño se equilibra con la confusión que los principiantes (y no solo) pueden experimentar. ¡Después de todo, estamos acostumbrados al hecho de que la letra "X" cambia en el límite! Pero aquí todo es diferente: - una estatua antigua, y - un visitante vivo, caminando alegremente por el pasillo del museo. Es decir, "x" es "como una constante".

Comentaré paso a paso la eliminación de la incertidumbre:

(1) Usar la propiedad del logaritmo .

(2) Entre paréntesis, dividimos el numerador por el denominador término a término.

(3) En el denominador, multiplicamos y dividimos artificialmente por "x" para aprovechar limite maravilloso , mientras que infinitesimal destaca.

Responder: por definición de derivada:

O en resumen:

Propongo construir dos más fórmulas tabulares:

Ejemplo 3

En este caso, el incremento compilado es inmediatamente conveniente para reducir a un denominador común. Una muestra aproximada de la tarea al final de la lección (el primer método).

Ejemplo 3:Decisión : considerar algún punto , perteneciente al ámbito de la función . Establecer el incremento en este punto y componer el incremento correspondiente de la función:

Encontremos la derivada en un punto :


Ya que como puedes elegir cualquier punto alcance de la función , entonces y
Responder : por definición de la derivada

Ejemplo 4

Encontrar derivada por definición

Y aquí todo debe reducirse a limite maravilloso. La solución se enmarca en la segunda vía.

Del mismo modo, una serie de otros derivadas tabulares. Lista llena se puede encontrar en un libro de texto escolar o, por ejemplo, en el primer volumen de Fichtenholtz. No veo mucho sentido en volver a escribir a partir de libros y pruebas de las reglas de diferenciación; también son generadas por la fórmula.

Ejemplo 4:Decisión , propiedad , y establecer un incremento en él

Hallemos la derivada:

Haciendo uso del maravilloso límite

Responder : un priorato

Ejemplo 5

Encontrar la derivada de una función , usando la definición de la derivada

Decisión: Utilice el primer estilo visual. Consideremos algún punto perteneciente a , establezcamos el incremento del argumento en él. Entonces el incremento de la función correspondiente es:

Quizás algunos lectores aún no hayan entendido completamente el principio por el cual se debe hacer un incremento. Tomamos un punto (número) y encontramos el valor de la función en él: , es decir, en la función en vez de"x" debe ser sustituido. Ahora también tomamos un número muy específico y lo sustituimos en la función en vez de"X": . Anotamos la diferencia, mientras sea necesario entre paréntesis completamente.

Incremento de función compuesta es beneficioso simplificar inmediatamente. ¿Para qué? Facilitar y acortar la solución del límite posterior.

Usamos fórmulas, abrimos paréntesis y reducimos todo lo que se puede reducir:

El pavo está eviscerado, no hay problema con el asado:

Eventualmente:

Como se puede elegir cualquier número real como cualidad, hacemos la sustitución y obtenemos .

Responder: un priorato.

Para propósitos de verificación, encontramos la derivada usando reglas y tablas de diferenciación:

Siempre es útil y agradable saber la respuesta correcta de antemano, por lo que es mejor diferenciar mentalmente o en un borrador la función propuesta de una manera "rápida" al comienzo de la solución.

Ejemplo 6

Encuentra la derivada de una función por la definición de la derivada

Este es un ejemplo de bricolaje. El resultado se encuentra en la superficie:

Ejemplo 6:Decisión : considerar algún punto , propiedad , y establezca el incremento del argumento en él . Entonces el incremento de la función correspondiente es:


Calculemos la derivada:


Por lo tanto:
Porque como se puede elegir cualquier numero real y
Responder : un priorato.

Volvamos al estilo #2:

Ejemplo 7

Averigüemos de inmediato qué debería suceder. Por regla de diferenciación función compleja :

Decisión: considere un punto arbitrario perteneciente a , establezca el incremento del argumento en él y componga el incremento de la función:

Hallemos la derivada:


(1) Uso fórmula trigonométrica .

(2) Debajo del seno abrimos los paréntesis, debajo del coseno presentamos términos similares.

(3) Bajo el seno reducimos los términos, bajo el coseno dividimos el numerador por el denominador término a término.

(4) Debido a la imparidad del seno, eliminamos el "menos". Debajo del coseno, indicamos que el término .

(5) Multiplicamos artificialmente el denominador para usar primer límite maravilloso. Así, se elimina la incertidumbre, peinamos el resultado.

Responder: un priorato

Como puede ver, la principal dificultad del problema en consideración radica en la complejidad del límite en sí mismo + una ligera originalidad del empaque. En la práctica, se encuentran ambos métodos de diseño, por lo que describo ambos enfoques con el mayor detalle posible. Son equivalentes, pero aún así, en mi impresión subjetiva, es más conveniente para los maniquíes apegarse a la primera opción con "X cero".

Ejemplo 8

Usando la definición, encuentre la derivada de la función

Ejemplo 8:Decisión : considerar un punto arbitrario , propiedad , establezcamos un incremento en él y hacemos un incremento de la función:

Hallemos la derivada:

Usamos la formula trigonométrica y el primer límite notable:

Responder : un priorato

Analicemos una versión más rara del problema:

Ejemplo 9

Encuentra la derivada de una función en un punto usando la definición de derivada.

Primero, ¿cuál debería ser el resultado final? Número

Calculemos la respuesta de la manera estándar:

Decisión: desde el punto de vista de la claridad, esta tarea es mucho más sencilla, ya que la fórmula considera en cambio un valor específico.

Establecemos un incremento en el punto y componemos el incremento correspondiente de la función:

Calcular la derivada en un punto:

Usamos una fórmula muy rara para la diferencia de tangentes y una vez más reducir la solución a primer límite maravilloso:

Responder: por definición de la derivada en un punto.

El problema no es tan difícil de resolver y vista general”- es suficiente reemplazar con o simplemente, según el método de diseño. En este caso, por supuesto, no obtienes un número, sino una función derivada.

Ejemplo 10

Usando la definición, encuentre la derivada de la función en un punto (uno de los cuales puede resultar infinito), del que ya he hablado en términos generales en lección teórica sobre la derivada.

Algunas funciones definidas por partes también son diferenciables en los puntos de "unión" del gráfico, por ejemplo, catdog tiene una derivada común y una tangente común (abscisa) en el punto . Curva, sí diferenciable por ! Quienes lo deseen pueden comprobarlo por sí mismos sobre el modelo del ejemplo recién resuelto.

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Fecha de creación de la página: 2017-06-11

En el plano de coordenadas hoy Considere la gráfica de la función y=f(x). arreglar un punto METRO (x 0; f (x 0)). Damos la abscisa x0 incremento Δх. Obtendremos una nueva abscisa x 0 +Δx. Esta es la abscisa del punto. norte, y la ordenada será f (х 0 +Δх). Un cambio en la abscisa implicaba un cambio en la ordenada. Este cambio se llama el incremento de la función y se denota Δy.

Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). a través de puntos METRO y norte dibujar una secante Minnesota, que forma un ángulo φ con sentido de eje positivo Vaya. Determinar la tangente del ángulo. φ desde triángulo rectángulo NMP.

Permitir Δх tiende a cero. Entonces la secante Minnesota tenderá a tomar la posición de una tangente MONTE, y el ángulo φ se convertirá en un rincón α . Entonces la tangente del ángulo α hay valor límite tangente de un ángulo φ :

El límite de la razón del incremento de una función al incremento del argumento, cuando este último tiende a cero, se denomina derivada de la función en un punto dado:

El significado geométrico de la derivada. radica en el hecho de que la derivada numérica de la función en un punto dado es igual a la tangente del ángulo formado por la tangente trazada por este punto a la curva dada y la dirección positiva del eje Vaya:

Ejemplos.

1. Encuentra el incremento del argumento y el incremento de la función y= x2 si el valor inicial del argumento era 4 , y el nuevo 4,01 .

Decisión.

Nuevo valor de argumento x \u003d x 0 + Δx. Sustituye los datos: 4.01=4+Δx, de ahí el incremento del argumento Δх=4.01-4=0.01. El incremento de una función, por definición, es igual a la diferencia entre los valores nuevos y anteriores de la función, es decir Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Como tenemos una función y=x2, entonces Δy\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Responder: incremento de argumento Δх=0,01; incremento de función Δy=0,0801.

Era posible encontrar el incremento de la función de otra manera: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.

2. Encuentre el ángulo de inclinación de la tangente a la función gráfica y=f(x) en el punto x0, Si f "(x 0) \u003d 1.

Decisión.

El valor de la derivada en el punto de contacto. x0 y es el valor de la tangente de la pendiente de la tangente (el significado geométrico de la derivada). Tenemos: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, como tg45°=1.

Responder: la tangente a la gráfica de esta función forma un ángulo con la dirección positiva del eje Ox, igual a 45°.

3. Deducir la fórmula de la derivada de una función y=xn.

Diferenciación es el acto de hallar la derivada de una función.

Al encontrar derivadas, se utilizan fórmulas que se derivaron sobre la base de la definición de la derivada, de la misma manera que derivamos la fórmula para el grado de derivada: (x n)" = nx n-1.

Aquí están las fórmulas.

tabla de derivadas será más fácil de memorizar pronunciando formulaciones verbales:

1. La derivada de un valor constante es cero.

2. El trazo X es igual a uno.

3. El factor constante se puede sacar del signo de la derivada.

4. La derivada de un grado es igual al producto del exponente de ese grado por el grado de la misma base, pero el exponente es uno menos.

5. La derivada de la raíz es igual a uno dividido por dos raíces iguales.

6. La derivada de la unidad dividida por x es menos uno dividido por x al cuadrado.

7. La derivada del seno es igual al coseno.

8. La derivada del coseno es igual a menos el seno.

9. La derivada de la tangente es igual a uno dividido por el cuadrado del coseno.

10. La derivada de la cotangente es menos uno dividido por el cuadrado del seno.

Nosotros enseñamos reglas de diferenciación.

1. La derivada de la suma algebraica es igual a la suma algebraica de los términos derivados.

2. La derivada del producto es igual al producto de la derivada del primer factor por el segundo más el producto del primer factor por la derivada del segundo.

3. La derivada de "y" dividida por "ve" es igual a una fracción, en cuyo numerador "y es un trazo multiplicado por "ve" menos "y, multiplicado por un trazo", y en el denominador - "ve al cuadrado ”.

4. Un caso especial de la fórmula. 3.

¡Aprendamos juntos!

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Derivada de una función de una variable.

Introducción.

Real desarrollos metodológicos diseñado para estudiantes de la Facultad de Ingeniería Civil e Industrial. Se compilan en relación con el programa del curso de matemáticas en la sección "Cálculo diferencial de funciones de una variable".

Los desarrollos son una guía metodológica única, que incluye: breve información teórica; tareas y ejercicios "típicos" con soluciones detalladas y explicaciones para estas soluciones; opciones de control

Ejercicios adicionales al final de cada párrafo. Tal estructura de desarrollos los hace adecuados para el dominio independiente de la sección con la mínima ayuda del maestro.

§uno. Definición de derivada.

Significado mecánico y geométrico.

derivado.

El concepto de derivada es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático, surgió ya en el siglo XVII. La formación del concepto de derivada está históricamente asociada con dos problemas: el problema de la velocidad del movimiento variable y el problema de una tangente a una curva.

Estas tareas, a pesar de su diferente contenido, conducen a la misma operación matemática que se debe realizar sobre una función, operación que ha recibido un nombre especial en matemáticas. Se llama a la operación de diferenciar una función. El resultado de una operación de diferenciación se llama derivada.

Entonces, la derivada de la función y=f(x) en el punto x0 es el límite (si existe) de la razón del incremento de la función al incremento del argumento
en
.

La derivada generalmente se denota de la siguiente manera:
.

Así que por definición

Los símbolos también se utilizan para indicar la derivada
.

El significado mecánico de la derivada.

Si s=s(t) es la ley del movimiento rectilíneo de un punto material, entonces
es la velocidad de este punto en el tiempo t.

El significado geométrico de la derivada.

Si la función y=f(x) tiene derivada en un punto , entonces la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en el punto
es igual
.

Ejemplo.

Encontrar la derivada de una función
en el punto =2:

1) Vamos a dar un punto =2 incremento
. Darse cuenta de.

2) Encuentra el incremento de la función en el punto =2:

3) Componga la razón del incremento de la función al incremento del argumento:

Encontremos el límite de la relación en
:

.

Por lo tanto,
.

§ 2. Derivados de algunos

las funciones más simples.

El estudiante necesita aprender a calcular las derivadas de funciones específicas: y=x,y= y en general y= .

Encuentra la derivada de la función y=x.

aquellas. (x)′=1.

Encontremos la derivada de la función

Derivado

Permitir
entonces

Es fácil notar un patrón en las expresiones de las derivadas de una función de potencia
en n=1,2,3.

Por lo tanto,

. (1)

Esta fórmula es válida para cualquier n real.

En particular, usando la fórmula (1), tenemos:

;

.

Ejemplo.

Encontrar la derivada de una función

.

.

Esta función es un caso especial de una función de la forma

en
.

Usando la fórmula (1), tenemos

.

Derivadas de funciones y=sen x y y=cos x.

Sea y=senx.

Dividiendo por ∆x, obtenemos

Pasando al límite como ∆x→0, tenemos

Sea y=cosx.

Pasando al límite como ∆x→0, obtenemos

;
. (2)

§3. Reglas básicas de diferenciación.

Considere las reglas de diferenciación.

Teorema1 . Si las funciones u=u(x) y v=v(x) son derivables en un punto dado x, entonces su suma también es derivable en ese punto, y la derivada de la suma es igual a la suma de los términos derivados: (u+v)"=u"+v".(3 )

Prueba: considera la función y=f(x)=u(x)+v(x).

El incremento ∆x del argumento x corresponde a los incrementos ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) de las funciones u y v. Entonces la función y será incrementada

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Por lo tanto,

Entonces, (u+v)"=u"+v".

Teorema2. Si las funciones u=u(x) y v=v(x) son derivables en un punto x dado, entonces su producto también es derivable en el mismo punto.En este caso, la derivada del producto se encuentra mediante la siguiente fórmula : (uv) "=u" v + uv ". (4)

Prueba: Sea y=uv, donde u y v son algunas funciones diferenciables de x. Sea x incrementado por ∆x, entonces u será incrementado por ∆u, v será incrementado por ∆v e y será incrementado por ∆y.

Tenemos y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), o

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Por lo tanto, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

De aquí

Pasando al límite por ∆x→0 y teniendo en cuenta que u y v no dependen de ∆x, tenemos

Teorema 3. La derivada de un cociente de dos funciones es igual a una fracción, cuyo denominador es igual al cuadrado del divisor, y el numerador es la diferencia entre el producto de la derivada del dividendo por el divisor y el producto de la dividendo por la derivada del divisor, es decir

si un
entonces
(5)

Teorema 4. La derivada de la constante es cero, es decir si y=C, donde С=const, entonces y"=0.

Teorema 5. El factor constante se puede sacar del signo de la derivada, es decir si y=Cu(x), donde С=const, entonces y"=Cu"(x).

Ejemplo 1

Encontrar la derivada de una función

.

Esta función tiene la forma
, donde u=x,v=cosx. Aplicando la regla de diferenciación (4), encontramos

.

Ejemplo 2

Encontrar la derivada de una función

.

Aplicamos la fórmula (5).

Aquí
;
.

Tareas.

Encuentre derivadas de las siguientes funciones:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Cuando el hombre hizo la primera pasos independientes en el estudio del cálculo y comienza a hacer preguntas incómodas, ya no es tan fácil deshacerse de la frase de que "el cálculo diferencial se encuentra en el repollo". Por lo tanto, es hora de determinar y resolver el misterio del nacimiento de tablas de derivadas y reglas de diferenciación. Comenzó en el artículo sobre el significado de la derivada, que recomiendo encarecidamente para el estudio, porque allí solo consideramos el concepto de un derivado y comenzamos a hacer clic en tareas sobre el tema. La misma lección tiene una marcada orientación práctica, además,

los ejemplos considerados a continuación, en principio, se pueden dominar puramente formalmente (por ejemplo, cuando no hay tiempo/ganas de profundizar en la esencia de la derivada). También es muy deseable (pero no necesario) poder encontrar derivados utilizando el método "habitual", al menos al nivel de dos clases básicas:¿Cómo encontrar la derivada? y Derivada de una función compleja.

Pero sin algo, que ahora es definitivamente indispensable, es sin límites de función. Debes COMPRENDER qué es un límite y ser capaz de resolverlos, al menos en un nivel intermedio. Y todo porque la derivada

La función en un punto se define mediante la fórmula:

Les recuerdo las designaciones y los términos: llaman incremento de argumento;

– incremento de función;

- estos son símbolos INDIVIDUALES ("delta" no se puede "arrancar" de "X" o "Y").

Obviamente, es una variable "dinámica", es una constante y el resultado de calcular el límite - número (a veces - "más" o "menos" infinito).

Como punto, puede considerar CUALQUIER valor que pertenezca a dominios una función que tiene una derivada.

Nota: la cláusula "en la que existe la derivada" - generalmente significativo.! Así, por ejemplo, el punto, aunque entra en el dominio de la función, pero la derivada

no existe allí. Por lo tanto la fórmula

no aplicable en el punto

y una redacción abreviada sin reserva sería incorrecta. Hechos similares también son válidos para otras funciones con "cortes" en el gráfico, en particular, para el arcoseno y el arcocoseno.

Así, después de reemplazar , obtenemos la segunda fórmula de trabajo:

Preste atención a una circunstancia insidiosa que puede confundir a la tetera: en este límite, "x", siendo ella misma una variable independiente, juega el papel de un extra, y la "dinámica" se establece nuevamente por el incremento. El resultado del cálculo del límite.

es la función derivada.

Con base en lo anterior, formulamos las condiciones de dos problemas típicos:

- Encontrar derivada en un punto utilizando la definición de derivada.

- Encontrar función derivada utilizando la definición de derivada. Esta versión, según mis observaciones, ocurre con mucha más frecuencia y se le prestará la atención principal.

La diferencia fundamental entre las tareas es que en el primer caso se requiere encontrar el número (opcionalmente infinito), y en el segundo

función . Además, el derivado puede no existir en absoluto.

Cómo ?

Haz una razón y calcula el límite.

donde fue tabla de derivadas y reglas de diferenciación ? Con un solo límite

Parece magia, pero

realidad - juego de manos y sin fraude. en la lección ¿Qué es un derivado? Empecé a considerar ejemplos específicos, donde, usando la definición, encontré las derivadas de una función lineal y cuadrática. Con el propósito de calentamiento cognitivo, continuaremos perturbando tabla de derivadas, perfeccionando el algoritmo y las soluciones técnicas:

De hecho, se requiere probar un caso especial de la derivada de una función potencia, que suele aparecer en la tabla: .

La solución se formaliza técnicamente de dos maneras. Comencemos con el primer enfoque, ya familiar: la escalera comienza con un tablón y la función derivada comienza con una derivada en un punto.

Considere algún punto (concreto) perteneciente a dominios una función que tiene una derivada. Establecer el incremento en este punto (por supuesto, no más allá o / o - z) y componer el incremento correspondiente de la función:

Calculemos el límite:

La incertidumbre 0:0 se elimina mediante una técnica estándar que data del siglo I a. multiplicar

numerador y denominador por expresión adjunta :

La técnica para resolver dicho límite se analiza en detalle en la lección introductoria. sobre los límites de las funciones.

Dado que CUALQUIER punto del intervalo se puede elegir como

Entonces, sustituyendo, obtenemos:

Una vez más, regocijémonos con los logaritmos:

Encuentra la derivada de la función usando la definición de la derivada

Solución: Consideremos un enfoque diferente para acelerar la misma tarea. Es exactamente lo mismo, pero más racional en cuanto a diseño. La idea es deshacerse de la

subíndice y use una letra en lugar de una letra.

Considere un punto arbitrario perteneciente a dominios función (intervalo) y establezca el incremento en ella. Y aquí, por cierto, como en la mayoría de los casos, puede hacerlo sin reservas, ya que la función logarítmica es diferenciable en cualquier punto del dominio de definición.

Entonces el incremento de la función correspondiente es:

Hallemos la derivada:

La simplicidad del diseño se equilibra con la confusión, que puede

surgen en principiantes (y no solo). ¡Después de todo, estamos acostumbrados al hecho de que la letra "X" cambia en el límite! Pero aquí todo es diferente: - una estatua antigua, y - un visitante vivo, caminando rápidamente por el pasillo del museo. Es decir, "x" es "como una constante".

Comentaré paso a paso la eliminación de la incertidumbre:

(1) Usando la propiedad del logaritmo.

(2) Divide el numerador por el denominador entre paréntesis.

(3) En el denominador multiplicamos y dividimos artificialmente por "x" para que

aprovecha lo maravilloso , mientras que infinitesimal realiza

Respuesta: Por definición de derivada:

O en resumen:

Propongo construir de forma independiente dos fórmulas tabulares más:

Encontrar derivada por definición

En este caso, el incremento compilado es inmediatamente conveniente para reducir a un denominador común. Una muestra aproximada de la tarea al final de la lección (el primer método).

Encontrar derivada por definición

Y aquí todo debe reducirse a un límite notable. La solución se enmarca en la segunda vía.

Del mismo modo, una serie de otros derivadas tabulares. Se puede encontrar una lista completa en un libro de texto escolar o, por ejemplo, en el primer volumen de Fichtenholtz. No veo mucho sentido en reescribir a partir de libros y pruebas de las reglas de diferenciación: también se generan

fórmula

Pasemos a las tareas de la vida real: Ejemplo 5

Encontrar la derivada de una función , usando la definición de la derivada

Solución: usa el primer estilo. Consideremos algún punto al que pertenece y establezcamos el incremento del argumento en él. Entonces el incremento de la función correspondiente es:

Quizás algunos lectores aún no hayan entendido completamente el principio por el cual se debe hacer un incremento. Tomamos un punto (número) y encontramos el valor de la función en él: , es decir, en la función

en lugar de "x" debe ser sustituido. ahora tomamos

Incremento de función compuesta es beneficioso simplificar inmediatamente. ¿Para qué? Facilitar y acortar la solución del límite posterior.

Usamos fórmulas, abrimos paréntesis y reducimos todo lo que se puede reducir:

El pavo está eviscerado, no hay problema con el asado:

Eventualmente:

Como se puede elegir cualquier número real como cualidad, hacemos la sustitución y obtenemos .

Responder : un priorato.

Para propósitos de verificación, encontramos la derivada usando las reglas

diferenciaciones y tablas:

Siempre es útil y agradable saber la respuesta correcta de antemano, por lo que es mejor diferenciar mentalmente o en un borrador la función propuesta de una manera "rápida" al comienzo de la solución.

Encuentra la derivada de una función por la definición de la derivada

Este es un ejemplo de bricolaje. El resultado se encuentra en la superficie:

Volver al Estilo #2: Ejemplo 7

Averigüemos de inmediato qué debería suceder. Por la regla de diferenciación de una función compleja:

Decisión: considere un punto arbitrario perteneciente a, establezca el incremento del argumento en él y haga el incremento

Hallemos la derivada:

(1) Usamos la fórmula trigonométrica

(2) Debajo del seno abrimos los paréntesis, debajo del coseno damos términos similares.

(3) Bajo el seno reducimos los términos, bajo el coseno dividimos el numerador por el denominador término a término.

(4) Debido a la imparidad del seno, sacamos el "menos". bajo coseno

indicar que el término .

(5) Multiplicamos artificialmente el denominador para usar primer límite maravilloso. Así, se elimina la incertidumbre, peinamos el resultado.

Respuesta: por definición Como puede ver, la principal dificultad del problema en consideración radica en

la complejidad del propio límite + una ligera originalidad del packaging. En la práctica, se encuentran ambos métodos de diseño, por lo que describo ambos enfoques con el mayor detalle posible. Son equivalentes, pero aún así, en mi impresión subjetiva, es más conveniente para los maniquíes apegarse a la primera opción con "X cero".

Usando la definición, encuentre la derivada de la función

Esta es una tarea para una decisión independiente. La muestra tiene el mismo formato que el ejemplo anterior.

Analicemos una versión más rara del problema:

Encuentra la derivada de una función en un punto usando la definición de derivada.

Primero, ¿cuál debería ser el resultado final? Número Calcule la respuesta de la manera estándar:

Decisión: desde el punto de vista de la claridad, esta tarea es mucho más sencilla, ya que en la fórmula en lugar de

considerado un valor específico.

Establecemos un incremento en el punto y componemos el incremento correspondiente de la función:

Calcular la derivada en un punto:

Usamos una fórmula muy rara para la diferencia de tangentes y por enésima vez reducimos la solución a la primera

límite increíble:

Respuesta: por definición de la derivada en un punto.

La tarea no es tan difícil de resolver y "en términos generales": es suficiente para reemplazar el clavo o simplemente, según el método de diseño. En este caso, por supuesto, no obtienes un número, sino una función derivada.

Ejemplo 10 Usando la definición, encuentre la derivada de una función en el punto

Este es un ejemplo de bricolaje.

La última tarea de bonificación está destinada principalmente a estudiantes con un estudio profundo del análisis matemático, pero tampoco perjudicará a los demás:

¿La función será diferenciable? ¿en el punto?

Solución: Es obvio que una función dada por tramos es continua en un punto, pero ¿será diferenciable allí?

El algoritmo de solución, y no solo para funciones por partes, es el siguiente:

1) Hallar la derivada por la izquierda en un punto dado: .

2) Encuentra la derivada por la derecha en el punto dado: .

3) Si las derivadas unilaterales son finitas y coinciden:

, entonces la función es derivable en el punto y

geométricamente, hay una tangente común aquí (ver la parte teórica de la lección Definición y Significado de derivada).

Si recibe dos diferentes significados: (uno de los cuales puede ser infinito), entonces la función no es diferenciable en un punto.

Si ambas derivadas unilaterales son iguales a infinito

(incluso si tienen signos diferentes), entonces la función no

es derivable en un punto, pero existe una derivada infinita y una tangente vertical común a la gráfica (ver Ejemplo 5 de la lecciónecuación normal) .

Es absolutamente imposible resolver problemas físicos o ejemplos matemáticos sin conocimientos sobre la derivada y los métodos para calcularla. La derivada es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático. Decidimos dedicar el artículo de hoy a este tema fundamental. ¿Qué es una derivada, cuál es su significado físico y geométrico, cómo calcular la derivada de una función? Todas estas preguntas se pueden combinar en una: ¿cómo entender la derivada?

Significado geométrico y físico de la derivada

Sea una función f(x) , dado en algún intervalo (a, b) . Los puntos x y x0 pertenecen a este intervalo. Cuando x cambia, la función misma cambia. Cambio de argumento - diferencia de sus valores x-x0 . Esta diferencia se escribe como delta x y se llama incremento de argumento. El cambio o incremento de una función es la diferencia entre los valores de la función en dos puntos. Definición de derivada:

La derivada de una función en un punto es el límite de la razón del incremento de la función en un punto dado al incremento del argumento cuando este último tiende a cero.

De lo contrario, se puede escribir así:

¿Cuál es el punto de encontrar tal límite? Pero cual:

la derivada de una función en un punto es igual a la tangente del ángulo entre el eje OX y la tangente a la gráfica de la función en un punto dado.

El significado físico de la derivada: la derivada temporal de la trayectoria es igual a la velocidad del movimiento rectilíneo.

De hecho, desde la época escolar, todo el mundo sabe que la velocidad es un camino privado. x=f(t) y tiempo t . Velocidad media durante un cierto período de tiempo:

Para saber la velocidad de movimiento a la vez t0 necesitas calcular el límite:

Regla uno: sacar la constante

La constante se puede sacar del signo de la derivada. Además, hay que hacerlo. Al resolver ejemplos en matemáticas, tome como regla: si puedes simplificar la expresión, asegúrate de simplificar .

Ejemplo. Calculemos la derivada:

Regla dos: derivada de la suma de funciones

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de estas funciones. Lo mismo es cierto para la derivada de la diferencia de funciones.

No daremos una demostración de este teorema, sino que consideraremos un ejemplo práctico.

Encuentra la derivada de una función:

Regla tres: la derivada del producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones diferenciables se calcula mediante la fórmula:

Ejemplo: encontrar la derivada de una función:

Decisión:

Aquí es importante decir sobre el cálculo de derivadas de funciones complejas. La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de esta función con respecto al argumento intermedio por la derivada del argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

En el ejemplo anterior, encontramos la expresión:

En este caso, el argumento intermedio es 8x elevado a la quinta potencia. Para calcular la derivada de tal expresión, primero consideramos la derivada de la función externa con respecto al argumento intermedio y luego multiplicamos por la derivada del propio argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

Regla Cuatro: La derivada del cociente de dos funciones

Fórmula para determinar la derivada de un cociente de dos funciones:

Intentamos hablar de derivados para tontos desde cero. Este tema no es tan simple como parece, así que tenga cuidado: a menudo hay errores en los ejemplos, así que tenga cuidado al calcular derivadas.

Ante cualquier duda sobre este y otros temas, puedes ponerte en contacto con el servicio de atención al estudiante. En poco tiempo, lo ayudaremos a resolver las tareas de control y manejo más difíciles, incluso si nunca antes se ha ocupado del cálculo de derivadas.