Instrucción

Los ángulos opuestos a los catetos a y b se denotarán respectivamente con A y B. La hipotenusa, por definición, es el lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto (a su vez, la hipotenusa forma ángulos con otros lados del triángulo). Denotemos la longitud de la hipotenusa por s.

Necesitará:
Calculadora.

Usa la siguiente expresión para el cateto: a=sqrt(c^2-b^2), si conoces los valores de la hipotenusa y del otro cateto. Esta expresión se deriva del teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo es la suma de los cuadrados de los catetos. El operador sqrt extrae la raíz cuadrada. El signo "^2" significa elevado a la segunda potencia.

Usa la fórmula a=c*sinA si conoces la hipotenusa (c) y el ángulo opuesto al deseado (designamos este ángulo como A).
Usa la expresión a=c*cosB para encontrar el cateto si conoces la hipotenusa (c) y el ángulo adyacente al cateto deseado (designamos este ángulo como B).
Calcula el cateto a partir de a=b*tgA en el caso de que se den el cateto b y el ángulo opuesto al cateto deseado (acordamos denotar este ángulo como A).

Nota:
Si en su tarea no se encuentra la pierna por ninguno de los métodos descritos, lo más probable es que se pueda reducir a uno de ellos.

Consejos útiles:
Todas estas expresiones se obtienen de las conocidas definiciones de funciones trigonométricas, por lo que incluso si olvidaste una de ellas, siempre puedes derivarla rápidamente con operaciones simples. Además, es útil conocer los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos más típicos 30, 45, 60, 90, 180 grados.

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Fuentes:

• "Manual de matemáticas para aspirantes a universidades", ed. G. N. Yakovleva, 1982
• cateto de un triángulo rectángulo

Un triángulo cuadrado se llama más exactamente triángulo rectángulo. Las relaciones entre los lados y los ángulos de esta figura geométrica se analizan en detalle en la disciplina matemática de la trigonometría.

Necesitará

• - papel;
• - bolígrafo;
• - Mesas Bradis;
• - calculadora.

Instrucción

Encontrar triángulo utilizando el teorema de Pitágoras. Según este teorema, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: c2 \u003d a2 + b2, donde c es la hipotenusa triángulo, a y b son sus catetos. Para aplicar esto, necesitas saber la longitud de cualquiera de los dos lados de un rectángulo. triángulo.

Si las condiciones especifican las dimensiones de los catetos, encuentra la longitud de la hipotenusa. Para hacer esto, use extraer Raíz cuadrada de la suma de los catetos, cada uno de los cuales debe ser primero elevado al cuadrado.

Calcula la longitud de uno de los catetos, si se conocen las dimensiones de la hipotenusa y del otro cateto. Usando una calculadora, saca la raíz cuadrada de la diferencia entre la hipotenusa y el cateto conocido, también elevada al cuadrado.

Si en el problema se dan la hipotenusa y uno de los ángulos agudos adyacentes a ella, utilice las tablas de Bradys. Dan los valores de funciones trigonométricas para un número grande esquinas Usa la calculadora con funciones de seno y coseno, así como teoremas de trigonometría que describen la relación entre los lados y un rectángulo. triángulo.

Encuentra los catetos usando las funciones trigonométricas básicas: a = c*sen α, b = c*cos α, donde a es el cateto opuesto al ángulo α, b es el cateto adyacente al ángulo α. Calcular el tamaño de los lados de la misma manera triángulo, si se dan la hipotenusa y otro ángulo agudo: b = c*sen β, a = c*cos β, donde b es el cateto opuesto al ángulo β, y es el cateto adyacente al ángulo β.

En el caso de a y su ángulo agudo adyacente β, recuerda que en un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos es siempre 90°: α + β = 90°. Encuentre el valor del ángulo opuesto a la pierna a: α \u003d 90 ° - β. O use las fórmulas de reducción trigonométrica: sin α \u003d sin (90 ° - β) \u003d cos β; tg α = tg (90° - β) = ctg β = 1/tg β.

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Fuentes:

• Cómo encontrar los lados de un triángulo rectángulo por cateto y ángulo agudo en 2019

Consejo 3: Cómo encontrar un ángulo agudo en un triángulo rectángulo

Directamente carbónico el triángulo es probablemente una de las figuras geométricas más famosas desde el punto de vista histórico. Los "pantalones" pitagóricos solo pueden competir con "¡Eureka!" Arquímedes.

Necesitará

• - dibujo de un triángulo;
• - regla;
• - transportador.

Instrucción

La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados. en un rectángulo triángulo un ángulo (derecho) siempre será de 90 grados, y el resto son agudos, es decir, menos de 90 grados cada uno. Para determinar qué ángulo en un rectángulo triángulo es recto, mide los lados del triángulo con una regla y determina el mayor. Es la hipotenusa (AB) y es opuesta ángulo recto(C). Los dos lados restantes forman un ángulo recto y catetos (AC, BC).

Una vez que haya determinado qué ángulo es agudo, puede usar un transportador para calcular el ángulo o calcularlo usando fórmulas matemáticas.

Para determinar el valor del ángulo con la ayuda de un transportador, alinee su parte superior (denotemos con la letra A) con una marca especial en la regla en el centro del transportador, la pata AC debe coincidir con su borde superior. Marca en la parte semicircular del transportador el punto por donde pasa la hipotenusa AB. El valor en este punto corresponde al valor del ángulo en grados. Si se indican 2 valores en el transportador, entonces, para un ángulo agudo, debe elegir uno más pequeño, para uno romo, uno más grande.

Encuentre el valor resultante en la referencia Bradis y determine qué ángulo corresponde al valor numérico resultante. Nuestras abuelas usaban este método.

En el nuestro, basta con llevar con la función de calcular fórmulas trigonométricas. Por ejemplo, la calculadora integrada de Windows. Inicie la aplicación "Calculadora", en el elemento de menú "Ver", seleccione el elemento "Ingeniería". Calcule el seno del ángulo deseado, por ejemplo, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Cambie la calculadora al modo de función inversa haciendo clic en el botón INV en la pantalla de la calculadora, luego haga clic en el botón de función de arcoseno (etiquetado sin a la potencia menos uno en la pantalla). Aparecerá la siguiente inscripción en la ventana de cálculo: asind (0.5) = 30. Es decir, el ángulo deseado es de 30 grados.

Nivel promedio

Triángulo rectángulo. Guía ilustrada completa (2019)

TRIÁNGULO RECTÁNGULO. PRIMER NIVEL.

En los problemas, un ángulo recto no es necesario en absoluto: el inferior izquierdo, por lo que debe aprender a reconocer un triángulo rectángulo en esta forma,

y en tal

y en tal

¿Qué tiene de bueno un triángulo rectángulo? Bueno... antes que nada, hay especiales hermosos nombres por sus lados.

¡Atención al dibujo!

Recuerda y no confundas: piernas - dos, y la hipotenusa - solo una(el único, único y más largo)!

Bueno, discutimos los nombres, ahora lo más importante: el teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras.

Este teorema es la clave para resolver muchos problemas relacionados con un triángulo rectángulo. Fue probado por Pitágoras en tiempos completamente inmemoriales, y desde entonces ha traído muchos beneficios a quienes lo conocen. Y lo mejor de ella es que es sencilla.

Entonces, Teorema de pitágoras:

¿Recuerdas el chiste: “¡Los pantalones pitagóricos son iguales en todos los lados!”?

Dibujemos estos pantalones muy pitagóricos y mirémoslos.

¿De verdad parece un pantalón corto? Bueno, ¿en qué lados y dónde son iguales? ¿Por qué y de dónde salió la broma? Y esta broma está conectada precisamente con el teorema de Pitágoras, más precisamente con la forma en que el mismo Pitágoras formuló su teorema. Y lo formuló así:

"Suma área de cuadrados, construido sobre las piernas, es igual a área cuadrada construida sobre la hipotenusa.

¿No suena un poco diferente, verdad? Y así, cuando Pitágoras dibujó el enunciado de su teorema, resultó tal imagen.

En esta imagen, la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande. Y para que los niños recuerden mejor que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, alguien ingenioso inventó este chiste sobre los pantalones pitagóricos.

¿Por qué ahora estamos formulando el teorema de Pitágoras?

¿Pitágoras sufrió y habló de cuadrados?

Verás, en la antigüedad no había... ¡álgebra! No había señales y así sucesivamente. No había inscripciones. ¡¿Te imaginas lo terrible que era para los pobres estudiantes antiguos memorizar todo con palabras?! Y podemos estar contentos de tener una formulación simple del teorema de Pitágoras. Vamos a repetirlo de nuevo para recordar mejor:

Ahora debería ser fácil:

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Bueno, se discutió el teorema más importante sobre un triángulo rectángulo. Si está interesado en cómo se prueba, lea los siguientes niveles de la teoría y ahora sigamos... bosque oscuro... trigonometría! A las terribles palabras seno, coseno, tangente y cotangente.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.

De hecho, todo no es tan aterrador en absoluto. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debe verse en el artículo. Pero realmente no quieres, ¿verdad? Podemos regocijarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples:

¿Por qué se trata de la esquina? ¿Dónde está la esquina? Para entender esto, necesita saber cómo se escriben las declaraciones 1 - 4 en palabras. ¡Mira, comprende y recuerda!

1.
En realidad suena así:

¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay una pata que está opuesta a la esquina, es decir, la pata opuesta (para la esquina)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es un cateto!

Pero, ¿y el ángulo? Mira de cerca. ¿Qué pierna está adyacente a la esquina? Por supuesto, el gato. Entonces, para el ángulo, el cateto es adyacente, y

Y ahora, ¡atención! Mira lo que tenemos:

Mira lo genial que es:

Ahora pasemos a tangente y cotangente.

¿Cómo ponerlo en palabras ahora? ¿Cuál es la pierna en relación con la esquina? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Y el catéter? Contiguo a la esquina. Entonces que fue lo que recibimos?

¿Ves cómo se invierten el numerador y el denominador?

Y ahora de nuevo los córners e hizo el intercambio:

Resumen

Escribamos brevemente lo que hemos aprendido.

Teorema de pitágoras:

El principal teorema del triángulo rectángulo es el teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras

Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no, mire la imagen: actualice sus conocimientos

Es posible que ya hayas usado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo lo probarías? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.

¡Ves con qué astucia dividimos sus lados en segmentos de longitudes y!

Ahora vamos a conectar los puntos marcados.

Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira la imagen y piensa por qué.

¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Derecha, . ¿Qué pasa con el área más pequeña? Ciertamente, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imagina que tomamos dos de ellos y los apoyamos uno contra el otro con hipotenusas. ¿Qué sucedió? Dos rectángulos. Entonces, el área de "esquejes" es igual.

Pongamos todo junto ahora.

Transformemos:

Entonces visitamos a Pitágoras, demostramos su teorema de una manera antigua.

Triángulo rectángulo y trigonometría

Para un triángulo rectángulo, se cumplen las siguientes relaciones:

Seno de un ángulo agudo es igual a la razón cateto opuesto a la hipotenusa

El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.

La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto al cateto adyacente.

La cotangente de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto adyacente al cateto opuesto.

Y una vez más, todo esto en forma de plato:

¡Es muy conveniente!

Signos de igualdad de triángulos rectángulos

I. En dos piernas

II. Por cateto e hipotenusa

tercero Por hipotenusa y ángulo agudo

IV. A lo largo de la pierna y el ángulo agudo

a)

B)

¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean "correspondientes". Por ejemplo, si va así:

ENTONCES LOS TRIANGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.

Necesitar en ambos triángulos, el cateto era adyacente, o en ambos, opuestos.

¿Has notado cómo los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Mira el tema “y presta atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, necesitas la igualdad de sus tres elementos: dos lados y un ángulo entre ellos, dos ángulos y un lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de los triángulos rectángulos, solo dos elementos correspondientes son suficientes. Es genial, ¿verdad?

Aproximadamente la misma situación con signos de semejanza de triángulos rectángulos.

Signos de semejanza de triángulos rectángulos

I. Esquina aguda

II. en dos piernas

tercero Por cateto e hipotenusa

Mediana en un triángulo rectángulo

¿Por que es esto entonces?

Considere un rectángulo completo en lugar de un triángulo rectángulo.

Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué sabes sobre las diagonales de un rectángulo?

¿Y qué se sigue de esto?

Entonces sucedió que

1. - mediana:

¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!

Lo que es aún más sorprendente es que lo contrario también es cierto.

¿Qué bien se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hacia la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la imagen

Mira de cerca. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto hasta los tres vértices del triángulo resultaron ser iguales. Pero en un triángulo sólo hay un punto, las distancias desde las cuales los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO descrito. ¿Entonces qué pasó?

Así que empecemos con este "además...".

Miremos yo.

¡Pero en triángulos semejantes todos los ángulos son iguales!

Lo mismo puede decirse de y

Ahora vamos a dibujarlo juntos:

¿Qué uso se puede sacar de esta "triple" similitud?

Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.

Escribimos las relaciones de las partes correspondientes:

Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":

Entonces, apliquemos la similitud: .

¿Que pasará ahora?

Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula:

Ambas fórmulas hay que recordarlas muy bien y la que sea más cómoda de aplicar. Vamos a escribirlos de nuevo.

Teorema de pitágoras:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:.

Signos de igualdad de triángulos rectángulos:

• en dos piernas:
• a lo largo del cateto y la hipotenusa: o
• a lo largo del cateto y el ángulo agudo adyacente: o
• a lo largo del cateto y el ángulo agudo opuesto: o
• por hipotenusa y ángulo agudo: o.

Signos de semejanza de triángulos rectángulos:

• una esquina afilada: o
• de la proporcionalidad de los dos catetos:
• de la proporcionalidad del cateto y la hipotenusa: o.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo

• El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:
• El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa:
• La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al contiguo:
• La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente al opuesto:.

Altura de un triángulo rectángulo: o.

En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa: .

Área de un triángulo rectángulo:

• a través de los catéteres:

Nivel promedio

Triángulo rectángulo. Guía ilustrada completa (2019)

TRIÁNGULO RECTÁNGULO. PRIMER NIVEL.

En los problemas, un ángulo recto no es necesario en absoluto: el inferior izquierdo, por lo que debe aprender a reconocer un triángulo rectángulo en esta forma,

y en tal

y en tal

¿Qué tiene de bueno un triángulo rectángulo? Bueno... antes que nada, hay hermosos nombres especiales para sus fiestas.

¡Atención al dibujo!

Recuerda y no confundas: piernas - dos, y la hipotenusa - solo una(el único, único y más largo)!

Bueno, discutimos los nombres, ahora lo más importante: el teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras.

Este teorema es la clave para resolver muchos problemas relacionados con un triángulo rectángulo. Fue probado por Pitágoras en tiempos completamente inmemoriales, y desde entonces ha traído muchos beneficios a quienes lo conocen. Y lo mejor de ella es que es sencilla.

Entonces, Teorema de pitágoras:

¿Recuerdas el chiste: “¡Los pantalones pitagóricos son iguales en todos los lados!”?

Dibujemos estos pantalones muy pitagóricos y mirémoslos.

¿De verdad parece un pantalón corto? Bueno, ¿en qué lados y dónde son iguales? ¿Por qué y de dónde salió la broma? Y esta broma está conectada precisamente con el teorema de Pitágoras, más precisamente con la forma en que el mismo Pitágoras formuló su teorema. Y lo formuló así:

"Suma área de cuadrados, construido sobre las piernas, es igual a área cuadrada construida sobre la hipotenusa.

¿No suena un poco diferente, verdad? Y así, cuando Pitágoras dibujó el enunciado de su teorema, resultó tal imagen.

En esta imagen, la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande. Y para que los niños recuerden mejor que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, alguien ingenioso inventó este chiste sobre los pantalones pitagóricos.

¿Por qué ahora estamos formulando el teorema de Pitágoras?

¿Pitágoras sufrió y habló de cuadrados?

Verás, en la antigüedad no había... ¡álgebra! No había señales y así sucesivamente. No había inscripciones. ¡¿Te imaginas lo terrible que era para los pobres estudiantes antiguos memorizar todo con palabras?! Y podemos estar contentos de tener una formulación simple del teorema de Pitágoras. Vamos a repetirlo de nuevo para recordar mejor:

Ahora debería ser fácil:

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Bueno, se discutió el teorema más importante sobre un triángulo rectángulo. Si está interesado en cómo se prueba, lea los siguientes niveles de teoría, y ahora avancemos... hacia el bosque oscuro... ¡de la trigonometría! A las terribles palabras seno, coseno, tangente y cotangente.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.

De hecho, todo no es tan aterrador en absoluto. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debe verse en el artículo. Pero realmente no quieres, ¿verdad? Podemos regocijarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples:

¿Por qué se trata de la esquina? ¿Dónde está la esquina? Para entender esto, necesita saber cómo se escriben las declaraciones 1 - 4 en palabras. ¡Mira, comprende y recuerda!

1.
En realidad suena así:

¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay una pata que está opuesta a la esquina, es decir, la pata opuesta (para la esquina)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es un cateto!

Pero, ¿y el ángulo? Mira de cerca. ¿Qué pierna está adyacente a la esquina? Por supuesto, el gato. Entonces, para el ángulo, el cateto es adyacente, y

Y ahora, ¡atención! Mira lo que tenemos:

Mira lo genial que es:

Ahora pasemos a tangente y cotangente.

¿Cómo ponerlo en palabras ahora? ¿Cuál es la pierna en relación con la esquina? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Y el catéter? Contiguo a la esquina. Entonces que fue lo que recibimos?

¿Ves cómo se invierten el numerador y el denominador?

Y ahora de nuevo los córners e hizo el intercambio:

Resumen

Escribamos brevemente lo que hemos aprendido.

Teorema de pitágoras:

El principal teorema del triángulo rectángulo es el teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras

Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no, mire la imagen: actualice sus conocimientos

Es posible que ya hayas usado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo lo probarías? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.

¡Ves con qué astucia dividimos sus lados en segmentos de longitudes y!

Ahora vamos a conectar los puntos marcados.

Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira la imagen y piensa por qué.

¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Derecha, . ¿Qué pasa con el área más pequeña? Ciertamente, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imagina que tomamos dos de ellos y los apoyamos uno contra el otro con hipotenusas. ¿Qué sucedió? Dos rectángulos. Entonces, el área de "esquejes" es igual.

Pongamos todo junto ahora.

Transformemos:

Entonces visitamos a Pitágoras, demostramos su teorema de una manera antigua.

Triángulo rectángulo y trigonometría

Para un triángulo rectángulo, se cumplen las siguientes relaciones:

El seno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa

El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.

La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto al cateto adyacente.

La cotangente de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto adyacente al cateto opuesto.

Y una vez más, todo esto en forma de plato:

¡Es muy conveniente!

Signos de igualdad de triángulos rectángulos

I. En dos piernas

II. Por cateto e hipotenusa

tercero Por hipotenusa y ángulo agudo

IV. A lo largo de la pierna y el ángulo agudo

a)

B)

¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean "correspondientes". Por ejemplo, si va así:

ENTONCES LOS TRIANGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.

Necesitar en ambos triángulos, el cateto era adyacente, o en ambos, opuestos.

¿Has notado cómo los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Mira el tema “y presta atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, necesitas la igualdad de sus tres elementos: dos lados y un ángulo entre ellos, dos ángulos y un lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de los triángulos rectángulos, solo dos elementos correspondientes son suficientes. Es genial, ¿verdad?

Aproximadamente la misma situación con signos de semejanza de triángulos rectángulos.

Signos de semejanza de triángulos rectángulos

I. Esquina aguda

II. en dos piernas

tercero Por cateto e hipotenusa

Mediana en un triángulo rectángulo

¿Por que es esto entonces?

Considere un rectángulo completo en lugar de un triángulo rectángulo.

Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué sabes sobre las diagonales de un rectángulo?

¿Y qué se sigue de esto?

Entonces sucedió que

1. - mediana:

¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!

Lo que es aún más sorprendente es que lo contrario también es cierto.

¿Qué bien se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hacia la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la imagen

Mira de cerca. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto hasta los tres vértices del triángulo resultaron ser iguales. Pero en un triángulo sólo hay un punto, las distancias desde las cuales los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO descrito. ¿Entonces qué pasó?

Así que empecemos con este "además...".

Miremos yo.

¡Pero en triángulos semejantes todos los ángulos son iguales!

Lo mismo puede decirse de y

Ahora vamos a dibujarlo juntos:

¿Qué uso se puede sacar de esta "triple" similitud?

Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.

Escribimos las relaciones de las partes correspondientes:

Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":

Entonces, apliquemos la similitud: .

¿Que pasará ahora?

Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula:

Ambas fórmulas hay que recordarlas muy bien y la que sea más cómoda de aplicar. Vamos a escribirlos de nuevo.

Teorema de pitágoras:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:.

Signos de igualdad de triángulos rectángulos:

• en dos piernas:
• a lo largo del cateto y la hipotenusa: o
• a lo largo del cateto y el ángulo agudo adyacente: o
• a lo largo del cateto y el ángulo agudo opuesto: o
• por hipotenusa y ángulo agudo: o.

Signos de semejanza de triángulos rectángulos:

• una esquina afilada: o
• de la proporcionalidad de los dos catetos:
• de la proporcionalidad del cateto y la hipotenusa: o.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo

• El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:
• El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa:
• La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al contiguo:
• La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente al opuesto:.

Altura de un triángulo rectángulo: o.

En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa: .

Área de un triángulo rectángulo:

• a través de los catéteres:

Lado a se puede identificar como adyacente a la esquina B Y esquina opuesta A, y el lado B- cómo adyacente a la esquina A Y esquina opuesta B.

Tipos de triángulos rectángulos

• Si las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo son números enteros, entonces el triángulo se llama triángulo pitagórico, y las longitudes de sus lados forman el llamado terna pitagórica.

Propiedades

Altura

Altura de un triángulo rectángulo.

Relaciones trigonométricas

Permitir h Y s (h>s) por los lados de dos cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo con una hipotenusa C. Luego:

El perímetro de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los radios de la circunferencia inscrita y de las tres circunferencias circunscritas.

notas

Enlaces

• WeissteinEric W. Right Triangle (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld.
• Wentworth GA Un libro de texto de geometría . -Ginn & Co., 1895.

Fundación Wikimedia. 2010 .

Vea qué es "Triángulo Rectángulo" en otros diccionarios:

triángulo rectángulo- — Temas industria del petróleo y el gas ES triángulo rectángulo … Manual del traductor técnico

Y (simple) triángulo, triángulo, marido. 1. Una figura geométrica delimitada por tres líneas que se cortan entre sí formando tres esquinas internas(estera.). Triángulo obtuso. Triángulo agudo. Triángulo rectángulo.… … Diccionario Ushakov

RECTANGULAR, rectangular, rectangular (geom.). Tener un ángulo recto (o ángulos rectos). Triángulo rectángulo. Figuras rectangulares. Diccionario explicativo de Ushakov. D.N. Ushakov. 1935 1940 ... Diccionario explicativo de Ushakov

Este término tiene otros significados, véase Triángulo (significados). Un triángulo (en el espacio euclidiano) es una figura geométrica formada por tres segmentos de línea que conectan tres puntos no lineales. Tres puntos, ... ... Wikipedia

triángulo- ▲ un polígono que tiene tres ángulos triangulares es el polígono más simple; viene dado por 3 puntos que no están sobre la misma recta. triangular. ángulo agudo. de ángulo agudo. triángulo rectángulo: cateto. hipotenusa. triángulo isósceles. ▼… … Diccionario ideográfico de la lengua rusa

TRIÁNGULO, a, marido. 1. La figura geométrica es un polígono con tres esquinas, así como cualquier objeto, un dispositivo de esta forma. T. rectangular T. de madera (para dibujar). Camiseta de soldado (carta de soldado sin sobre, doblada en una esquina; coloquial). 2… Diccionario explicativo de Ozhegov

Triángulo (polígono)- Triángulos: 1 agudo, rectangular y obtuso; 2 regulares (equiláteros) e isósceles; 3 bisectrices; 4 medianas y centro de gravedad; 5 alturas; 6 ortocentro; 7 línea media. TRIÁNGULO, polígono de 3 lados. A veces bajo... Diccionario Enciclopédico Ilustrado

diccionario enciclopédico

triángulo- pero; m.1) a) Una figura geométrica delimitada por tres rectas que se cortan formando tres ángulos internos. Rectangular, triángulo isósceles/lino. Calcular el área del triángulo. b) resp. qué o con def. Una figura u objeto de tal forma. ... ... diccionario de muchas expresiones

PERO; M. 1. Una figura geométrica delimitada por tres líneas rectas que se cortan formando tres ángulos internos. Rectangular, isósceles m Calcula el área del triángulo. // que o con def. Una figura u objeto de tal forma. T techo. T.… … diccionario enciclopédico

Definición.Triángulo rectángulo - triángulo, uno de cuyos ángulos es recto (igual).

Triángulo rectángulo - caso especial triángulo ordinario. Por lo tanto, se conservan todas las propiedades de los triángulos ordinarios para los rectangulares. Pero hay algunas propiedades particulares debido a la presencia de un ángulo recto.

Notación común (Fig. 1):

- ángulo recto;

- hipotenusa;

- piernas;

.

Arroz. una.

DESDEpropiedades del triangulo rectangulo.

Propiedad 1. La suma de los ángulos y un triángulo rectángulo es .

Prueba. Recuerda que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es . Considerando el hecho de que , obtenemos que la suma de los dos ángulos restantes es Es decir,

Propiedad 2. en un triangulo rectangulo hipotenusa más que cualquiera de piernas(es el lado mayor).

Prueba. Recuerda que en un triángulo opuesto al ángulo mayor se encuentra el lado mayor (y viceversa). De la propiedad 1 demostrada anteriormente se sigue que la suma de los ángulos y el triángulo rectángulo es igual a . Como el ángulo de un triángulo no puede ser 0, cada uno de ellos es menor que . Esto significa que es el más grande, lo que significa que el lado más grande del triángulo se encuentra frente a él. Por lo tanto, la hipotenusa es el lado mayor de un triángulo rectángulo, es decir:.

Propiedad 3. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es menor que la suma de los catetos.

Prueba. Esta propiedad queda clara si recordamos desigualdad triangular.

desigualdad triangular

En cualquier triángulo, la suma de dos lados cualesquiera es mayor que el tercer lado.

La propiedad 3 se sigue inmediatamente de esta desigualdad.

Nota: a pesar de que cada uno de los catetos individualmente es menor que la hipotenusa, su suma resulta ser mayor. En un ejemplo numérico, se ve así: , pero .

en:

1er signo (en 2 lados y el ángulo entre ellos): si dos triángulos tienen lados iguales y el ángulo entre ellos, entonces tales triángulos son congruentes.

2do signo (en el lado y dos ángulos adyacentes): si los triángulos tienen lados iguales y dos ángulos adyacentes a un lado dado, entonces tales triángulos son congruentes. Nota: usando el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo es constante e igual a , es fácil probar que la condición de "adyacencia" de los ángulos no es necesaria, es decir, el signo será verdadero en la siguiente formulación: "... un lado y dos ángulos son iguales, entonces...".

3er signo (en 3 lados): si los tres lados de un triángulo son iguales, entonces tales triángulos son congruentes.

Naturalmente, todos estos signos siguen siendo válidos para los triángulos rectángulos. Sin embargo, los triángulos rectángulos tienen una característica esencial: siempre tienen un par de ángulos rectos iguales. Por lo tanto, estos signos se simplifican para ellos. Entonces, formulemos los signos de igualdad de los triángulos rectángulos:

1er signo (en dos piernas): si los catetos de los triángulos rectángulos son iguales en pares, entonces dichos triángulos son iguales entre sí (Fig. 2).

Dado:

Arroz. 2. Ilustración del primer signo de igualdad de triángulos rectángulos

Probar:

Prueba: en triángulos rectángulos: . Entonces, podemos usar el primer signo de igualdad de triángulos (en 2 lados y el ángulo entre ellos) y obtener: .

2-th signo (en la pierna y el ángulo): si el cateto y el ángulo agudo de un triángulo rectángulo son iguales al cateto y el ángulo agudo de otro triángulo rectángulo, entonces esos triángulos son iguales entre sí (Fig. 3).

Dado:

Arroz. 3. Ilustración del segundo signo de igualdad de triángulos rectángulos

Probar:

Prueba: notamos enseguida que el hecho de que los ángulos adyacentes a catetos iguales sean iguales no es fundamental. De hecho, la suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (por la propiedad 1) es igual a . Por lo tanto, si un par de estos ángulos es igual, entonces el otro es igual (ya que sus sumas son las mismas).

La prueba de esta característica se reduce a usar segundo signo de igualdad de triangulos(en 2 esquinas y lateral). En efecto, por condición, los catetos y un par de ángulos adyacentes a ellos son iguales. Pero el segundo par de ángulos adyacentes a ellos consiste en los ángulos . Entonces, podemos usar el segundo criterio para la igualdad de triángulos y obtener: .

3er signo (por hipotenusa y ángulo): si la hipotenusa y el ángulo agudo de un triángulo rectángulo son iguales a la hipotenusa y el ángulo agudo de otro triángulo rectángulo, entonces esos triángulos son iguales entre sí (Fig. 4).

Dado:

Arroz. 4. Ilustración del tercer signo de igualdad de triángulos rectángulos

Probar:

Prueba: para probar este signo, puede usar inmediatamente el segundo signo de la igualdad de triangulos- por el lado y dos ángulos (más precisamente, por la consecuencia, que establece que los ángulos no tienen que ser adyacentes al lado). En efecto, por la condición: , , y de las propiedades de los triángulos rectángulos se sigue que . Entonces, podemos usar el segundo criterio para la igualdad de triángulos y obtener: .

4to signo (por hipotenusa y cateto): si la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo son respectivamente iguales a la hipotenusa y el cateto de otro triángulo rectángulo, entonces dichos triángulos son iguales entre sí (Fig. 5).

Dado:

Arroz. 5. Ilustración del cuarto signo de igualdad de triángulos rectángulos

Probar:

Prueba: Para probar este signo, usaremos el signo de igualdad de los triángulos, que formulamos y probamos en la última lección, a saber: si los triángulos tienen dos lados iguales y un ángulo mayor, entonces tales triángulos son iguales. De hecho, por suposición, tenemos dos lados iguales. Además, por la propiedad de los triángulos rectángulos: . Queda por probar que el ángulo recto es el mayor del triángulo. Supongamos que este no es el caso, lo que significa que debe haber al menos un ángulo más que sea mayor que . Pero entonces la suma de los ángulos del triángulo ya será mayor. Pero esto es imposible, lo que significa que tal ángulo no puede existir en un triángulo. Por lo tanto, el ángulo recto es el más grande en un triángulo rectángulo. Entonces, puede usar el signo formulado anteriormente y obtener: .

Ahora formulamos una propiedad más, que es característica solo para triángulos rectángulos.

Propiedad

El cateto opuesto al ángulo es 2 veces menor que la hipotenusa(Figura 6).

Dado:

Arroz. 6.

Probar:AB

Prueba: realice una construcción adicional: extienda la línea más allá del punto por un segmento igual a . Consigamos un punto. Como los ángulos y son adyacentes, su suma es igual a . Dado que , entonces el ángulo .

Entonces triángulos rectángulos (por dos catetos: - general, - por construcción) - el primer signo de la igualdad de los triángulos rectángulos.

De la igualdad de los triángulos se sigue la igualdad de todos los elementos correspondientes. Medio, . Donde: . Además, (de la igualdad de todos los mismos triángulos). Esto quiere decir que el triángulo es isósceles (ya que tiene ángulos iguales en la base), pero un triángulo isósceles, uno de cuyos ángulos es igual, es equilátero. De esto se sigue, en particular, que .

Propiedad del cateto opuesto al ángulo en

Vale la pena señalar que la afirmación inversa también es cierta: si en un triángulo rectángulo la hipotenusa es dos veces más grande que uno de los catetos, entonces el ángulo agudo opuesto a este cateto es igual a.

Nota: firmar significa que si algún enunciado es verdadero, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo. Es decir, la característica le permite identificar un triángulo rectángulo.

Es importante no confundir el signo con propiedad- es decir, si el triángulo tiene un ángulo recto, entonces tiene tales propiedades ... A menudo, los signos y las propiedades son mutuamente inversos, pero no siempre. Por ejemplo, la propiedad de un triángulo equilátero: un triángulo equilátero tiene un ángulo. Pero esto no será signo de un triángulo equilátero, ya que no todo triángulo que tiene un ángulo, es equilátero.