Integrales casi tabulares. Fórmulas básicas y métodos de integración.
En esta página encontrará:
1. En realidad, la tabla de antiderivadas: se puede descargar en formato PDF e imprimir;
2. Vídeo sobre cómo utilizar esta mesa;
3. Un montón de ejemplos de cálculo de la antiderivada de varios libros de texto y pruebas.
En el vídeo en sí, analizaremos muchas tareas en las que es necesario calcular funciones antiderivadas, a menudo bastante complejas, pero lo más importante es que no son de ley potencial. Todas las funciones resumidas en la tabla propuesta anteriormente deben saberse de memoria, como derivadas. Sin ellos, es imposible seguir estudiando las integrales y su aplicación para resolver problemas prácticos.
Hoy continuamos lidiando con los primitivos y pasamos a un poco más. tema dificil. Si la última vez consideramos antiderivadas solo de funciones de potencia y estructuras un poco más complejas, hoy analizaremos la trigonometría y mucho más.
Como dije en la última lección, las antiderivadas, a diferencia de las derivadas, nunca se resuelven "en blanco" utilizando reglas estándar. Además, la mala noticia es que, a diferencia de la derivada, es posible que la antiderivada no se considere en absoluto. Si escribimos una función completamente aleatoria e intentamos encontrar su derivada, entonces lo lograremos con una probabilidad muy alta, pero en este caso la primitiva casi nunca se calculará. Pero también hay buenas noticias: existe una clase bastante grande de funciones llamadas funciones elementales, cuyas primitivas son muy fáciles de calcular. Y todas las demás construcciones más complejas que se dan en diversos controles, independientes y exámenes, de hecho, se componen de estas funciones elementales mediante la suma, resta y otras acciones simples. Las antiderivadas de tales funciones se calculan y resumen desde hace mucho tiempo en tablas especiales. Es con tales funciones y tablas con las que trabajaremos hoy.
Pero empezaremos, como siempre, con una repetición: recuerda qué es una antiderivada, por qué hay infinitas y cómo determinarlas. forma general. Para hacer esto, elegí dos tareas simples.
Resolviendo ejemplos fáciles
Ejemplo 1
Tenga en cuenta de inmediato que $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ y la presencia de $\text( )\!\!\pi\!\! \ text()$ nos insinúa inmediatamente que la antiderivada requerida de la función está relacionada con la trigonometría. Y, de hecho, si miramos la tabla, encontramos que $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ no es más que $\text(arctg)x$. Entonces escribamos:
Para encontrarlo, debe escribir lo siguiente:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
Ejemplo #2
Aquí también estamos hablando de funciones trigonométricas. Si miramos la tabla, entonces, de hecho, resultará así:
Necesitamos encontrar entre todo el conjunto de antiderivadas la que pasa por el punto especificado:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Finalmente escribámoslo:
Es así de simple. El único problema es que para contar las antiderivadas de funciones simples, es necesario aprender la tabla de antiderivadas. Sin embargo, después de aprender la tabla de derivadas, supongo que esto no será un problema.
Resolver problemas que contienen una función exponencial.
Comencemos con las siguientes fórmulas:
\[((e)^(x))\a ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Veamos cómo funciona todo esto en la práctica.
Ejemplo 1
Si miramos el contenido de los corchetes, notaremos que en la tabla de antiderivadas no existe tal expresión que $((e)^(x))$ esté en un cuadrado, por lo que este cuadrado debe estar abierto. Para ello utilizamos las fórmulas de multiplicación abreviada:
Encontremos la primitiva de cada uno de los términos:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]
Y ahora reunimos todos los términos en una sola expresión y obtenemos una antiderivada común:
Ejemplo #2
Esta vez, el exponente ya es mayor, por lo que la fórmula de multiplicación abreviada será bastante complicada. Ampliemos los corchetes:
Ahora intentemos tomar la antiderivada de nuestra fórmula a partir de esta construcción:
Como puedes ver, no hay nada complicado ni sobrenatural en las antiderivadas de la función exponencial. Todo se calcula a través de tablas, sin embargo, los estudiantes atentos seguramente notarán que la antiderivada $((e)^(2x))$ está mucho más cerca de solo $((e)^(x))$ que de $((a )^(x ))$. Entonces, ¿quizás exista alguna regla más especial que permita, conociendo la primitiva $((e)^(x))$, encontrar $((e)^(2x))$? Sí, existe tal regla. Y, además, es una parte integral del trabajo con la tabla de antiderivadas. Ahora lo analizaremos utilizando las mismas expresiones con las que acabamos de trabajar como ejemplo.
Reglas para trabajar con la tabla de antiderivadas.
Reescribamos nuestra función:
En el caso anterior utilizamos la siguiente fórmula para resolver:
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]
Pero ahora hagámoslo un poco diferente: recuerda sobre qué base $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Como ya se dijo, debido a que la derivada de $((e)^(x))$ no es más que $((e)^(x))$, su primitiva será igual a la misma $((e) ^( x))$. Pero el problema es que tenemos $((e)^(2x))$ y $((e)^(-2x))$. Ahora intentemos encontrar la derivada $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Reescribamos nuestra construcción nuevamente:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]
Y esto significa que al encontrar la primitiva $((e)^(2x))$, obtenemos lo siguiente:
\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Como puede ver, obtuvimos el mismo resultado que antes, pero no usamos la fórmula para encontrar $((a)^(x))$. Ahora bien, esto puede parecer una estupidez: ¿por qué complicar los cálculos cuando existe una fórmula estándar? Sin embargo, en expresiones un poco más complejas, verás que esta técnica es muy efectiva, es decir. Usar derivadas para encontrar antiderivadas.
Como calentamiento, encontremos la antiderivada de $((e)^(2x))$ de manera similar:
\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]
Al calcular, nuestra construcción se escribirá de la siguiente manera:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Obtuvimos exactamente el mismo resultado, pero fuimos en sentido contrario. Este método, que ahora nos parece un poco más complicado, en el futuro será más eficaz para calcular antiderivadas más complejas y utilizar tablas.
¡Nota! Esto es muy punto importante: las antiderivadas, así como las derivadas, se pueden contar como un conjunto varias maneras. Sin embargo, si todos los cálculos y cálculos son iguales, entonces la respuesta será la misma. Acabamos de ver esto en el ejemplo de $((e)^(-2x))$ - por un lado, hemos calculado esta antiderivada “en todo”, usando la definición y calculándola con la ayuda de transformaciones, por el otro Por otro lado, recordamos que $ ((e)^(-2x))$ se puede representar como $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ y luego use la antiderivada para la función $( (a)^(x))$. Sin embargo, después de todas las transformaciones, el resultado es el mismo que se esperaba.
Y ahora que entendemos todo esto, es hora de pasar a algo más sustancial. Ahora analizaremos dos construcciones sencillas, sin embargo, la técnica que se establecerá a la hora de resolverlas es una herramienta más potente y útil que un simple “correr” entre antiderivadas vecinas de la tabla.
Resolución de problemas: encontrar la primitiva de una función
Ejemplo 1
Da la cantidad que está en los numeradores, descompóngala en tres fracciones separadas:
Esta es una transición bastante natural y comprensible; la mayoría de los estudiantes no tienen problemas con ella. Reescribamos nuestra expresión de la siguiente manera:
Ahora recordemos esta fórmula:
En nuestro caso obtendremos lo siguiente:
Para deshacerse de todas estas fracciones de tres pisos, sugiero hacer lo siguiente:
Ejemplo #2
A diferencia de la fracción anterior, el denominador no es el producto, sino la suma. En este caso, ya no podemos dividir nuestra fracción por la suma de varias fracciones simples, pero debemos intentar de alguna manera asegurarnos de que el numerador contenga aproximadamente la misma expresión que el denominador. En este caso, es bastante fácil de hacer:
Esta notación, que en el lenguaje matemático se llama "suma de cero", nos permitirá volver a dividir la fracción en dos partes:
Ahora encontremos lo que estábamos buscando:
Esos son todos los cálculos. A pesar de la aparente mayor complejidad que en el problema anterior, la cantidad de cálculos resultó ser aún menor.
Matices de la solución.
Y aquí es donde radica la principal dificultad de trabajar con primitivas tabulares, esto se nota especialmente en la segunda tarea. El caso es que para seleccionar algunos elementos que se cuenten fácilmente a través de la tabla, necesitamos saber qué estamos buscando exactamente, y es en la búsqueda de estos elementos donde consiste todo el cálculo de antiderivadas.
En otras palabras, no basta con memorizar la tabla de antiderivadas; es necesario poder ver algo que aún no está ahí, sino lo que quiso decir el autor y compilador de este problema. Es por eso que muchos matemáticos, profesores y profesores discuten constantemente: "¿Qué es tomar antiderivadas o integración? ¿Es solo una herramienta o es un verdadero arte?" De hecho, en mi opinión personal, la integración no es un arte en absoluto; no hay nada sublime en ella, es sólo práctica y práctica de nuevo. Y para practicar, resolvamos tres ejemplos más más serios.
Practicar la integración en la práctica.
Tarea 1
Escribamos las siguientes fórmulas:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Escribamos lo siguiente:
Tarea 2
Reescribámoslo de la siguiente manera:
La antiderivada total será igual a:
Tarea #3
La complejidad de esta tarea radica en el hecho de que, a diferencia de las funciones anteriores, arriba no existe la variable $x$, es decir No tenemos claro qué sumar, restar para obtener al menos algo similar a lo que se muestra a continuación. Sin embargo, de hecho, esta expresión se considera incluso más simple que cualquier expresión de las construcciones anteriores, porque esta función se puede reescribir de la siguiente manera:
Ahora te preguntarás: ¿por qué estas funciones son iguales? Vamos a revisar:
Reescribamos de nuevo:
Cambiemos un poco nuestra expresión:
Y cuando les explico todo esto a mis alumnos casi siempre surge el mismo problema: con la primera función todo está más o menos claro, con la segunda también puedes resolverlo con suerte o práctica, pero ¿qué tipo de conciencia alternativa? ¿Necesitas tener para resolver el tercer ejemplo? En realidad, no te asustes. La técnica que utilizamos para calcular la última antiderivada se llama "descomponer una función en más simple", y esta es una técnica muy seria, y a ella se le dedicará una lección en video separada.
Mientras tanto, propongo volver a lo que acabamos de estudiar, es decir, a las funciones exponenciales y complicar un poco las tareas con su contenido.
Problemas más complejos para resolver funciones exponenciales antiderivadas
Tarea 1
Tenga en cuenta lo siguiente:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
Para encontrar la primitiva de esta expresión, simplemente use la fórmula estándar $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.
En nuestro caso, la primitiva quedará así:
Por supuesto, en el contexto de la construcción que acabamos de resolver, ésta parece más simple.
Tarea 2
Nuevamente, es fácil ver que esta función es fácil de dividir en dos términos separados: dos fracciones separadas. Reescribamos:
Queda por encontrar la antiderivada de cada uno de estos términos según la fórmula anterior:
A pesar de la aparente complejidad funciones exponenciales En comparación con los de potencia, la cantidad total de cálculos y cálculos resultó ser mucho más sencilla.
Por supuesto, para los estudiantes conocedores, lo que acabamos de abordar (especialmente en el contexto de lo que hemos abordado antes) puede parecer expresiones elementales. Sin embargo, al elegir estas dos tareas para el video tutorial de hoy, no me propuse contarte otro truco complejo y engañoso; todo lo que quería mostrarte es que no debes tener miedo de usar trucos de álgebra estándar para transformar las funciones originales. .
Usando la técnica "secreta"
En conclusión, me gustaría analizar otra técnica interesante que, por un lado, va más allá de lo que hemos analizado principalmente hoy, pero, por otro lado, no es, en primer lugar, nada complicada, es decir. incluso los estudiantes novatos pueden dominarlo y, en segundo lugar, se encuentra con bastante frecuencia en todo tipo de control y Trabajo independiente, es decir. saberlo te será de mucha utilidad además de conocer la tabla de antiderivadas.
Tarea 1
Obviamente, tenemos algo muy similar a una función de potencia. ¿Cómo debemos proceder en este caso? Pensemos en ello: $x-5$ difiere de $x$ no tanto, solo agrega $-5$. Escribámoslo así:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Intentemos encontrar la derivada de $((\left(x-5 \right))^(5))$:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
Esto implica:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ derecha))^(\prime ))\]
No existe tal valor en la tabla, por lo que ahora hemos obtenido esta fórmula nosotros mismos, utilizando la fórmula antiderivada estándar para función de potencia. Escribamos la respuesta así:
Tarea 2
Para muchos estudiantes que miran la primera solución, puede parecerles que todo es muy simple: basta con reemplazar $x$ en la función de potencia con una expresión lineal, y todo encajará. Lamentablemente, no todo es tan sencillo y ahora lo veremos.
Por analogía con la primera expresión, escribimos lo siguiente:
\[((x)^(9))\a \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
Volviendo a nuestra derivada, podemos escribir:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \derecha))^(\prime ))\]
De aquí sigue inmediatamente:
Matices de la solución.
Tenga en cuenta: si la última vez nada cambió esencialmente, entonces en el segundo caso apareció $-30$ en lugar de $-10$. ¿Cuál es la diferencia entre $-10$ y $-30$? Obviamente, por un factor de $-3$. Pregunta: ¿de dónde vino? Mirando de cerca, puedes ver que se tomó como resultado del cálculo de la derivada de una función compleja: el coeficiente que era $x$ aparece en la primitiva a continuación. Esto es muy regla importante, que inicialmente no planeé analizar en absoluto en el video tutorial de hoy, pero sin él, la presentación de antiderivadas tabulares estaría incompleta.
Así que hagámoslo de nuevo. Sea nuestra principal función de poder:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Y ahora, en lugar de $x$, sustituyamos la expresión $kx+b$. ¿Qué pasará entonces? Necesitamos encontrar lo siguiente:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]
¿Sobre qué base afirmamos esto? Muy simple. Encontremos la derivada de la construcción escrita arriba:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
Esta es la misma expresión que era originalmente. Por tanto, esta fórmula también es correcta y se puede utilizar para complementar la tabla de antiderivadas, pero es mejor recordar la tabla completa.
Conclusiones del "secreto: recepción:
- Ambas funciones que acabamos de considerar, de hecho, se pueden reducir a las antiderivadas indicadas en la tabla abriendo los grados, pero si más o menos podemos hacer frente al cuarto grado, entonces no haría el noveno grado en absoluto. se atrevió a revelar.
- Si abriéramos las titulaciones, obtendríamos tal volumen de cálculos que una tarea sencilla nos llevaría un tiempo insuficiente.
- Es por eso que estos problemas, dentro de los cuales hay expresiones lineales, no necesitan resolverse "en blanco". Tan pronto como encuentre una antiderivada que se diferencia de la de la tabla solo por la presencia de la expresión $kx+b$ en su interior, recuerde inmediatamente la fórmula escrita arriba, sustitúyala en su antiderivada tabular y todo resultará mucho mejor. más rápido y más fácil.
Naturalmente, debido a la complejidad y seriedad de esta técnica, volveremos a considerarla repetidamente en futuros videotutoriales, pero por hoy lo tengo todo. Espero que esta lección realmente ayude a aquellos estudiantes que quieran comprender las antiderivadas y la integración.
Fórmulas básicas y métodos de integración. Regla de integración de sumas o diferencias. Sacando la constante del signo integral. Método de reemplazo de variables. La fórmula de integración por partes. Un ejemplo de solución de un problema.
Los cuatro métodos de integración principales se enumeran a continuación.
1)
Regla de integración de sumas o diferencias.
.
Aquí y debajo, u, v, w son funciones de la variable de integración x.
2)
Sacando la constante del signo integral.
Sea c una constante independiente de x. Entonces se puede sacar del signo integral.
3)
Método de reemplazo de variables.
Considerar integral indefinida.
Si es posible elegir tal función φ (X) de x, entonces
,
entonces, después de cambiar la variable t = φ(x), tenemos
.
4)
La fórmula de integración por partes.
,
donde u y v son funciones de la variable de integración.
El objetivo final del cálculo de integrales indefinidas es, mediante transformaciones, llevar la integral dada a las integrales más simples, que se denominan integrales tabulares. Las integrales de tabla se expresan en términos de funciones elementales utilizando fórmulas bien conocidas.
Ver Tabla de integrales >>>
Ejemplo
Calcular integral indefinida
Solución
Tenga en cuenta que el integrando es la suma y la diferencia de tres términos:
, Y .
Aplicamos el método 1
.
Además, observamos que los integrandos de las nuevas integrales se multiplican por las constantes 5, 4,
Y 2
, respectivamente. Aplicamos el método 2
.
En la tabla de integrales encontramos la fórmula.
.
Ajuste n = 2
, encontramos la primera integral.
Reescribamos la segunda integral en la forma
.
Nos damos cuenta que . Entonces
Utilicemos el tercer método. Hacemos el cambio de variable t = φ (x) = iniciar sesión x.
.
En la tabla de integrales encontramos la fórmula.
Dado que la variable de integración se puede denotar con cualquier letra, entonces
Reescribamos la tercera integral en la forma
.
Aplicamos la fórmula de integración por partes.
Dejar .
Entonces
;
;
;
;
.
Función antiderivada e integral indefinida
Hecho 1. La integración es lo opuesto a la diferenciación, es decir, la restauración de una función a partir de la derivada conocida de esta función. La función restaurada de esta manera. F(X) se llama primitivo para función F(X).
Definición 1. Función F(X F(X) en algún intervalo X, si para todos los valores X de este intervalo la igualdad F "(X)=F(X), es decir, esta función F(X) es la derivada de la función antiderivada F(X). .
Por ejemplo, la función F(X) = pecado X es la antiderivada de la función F(X) = porque X en toda la recta numérica, ya que para cualquier valor de x (pecado X)" = (porque X) .
Definición 2. Integral indefinida de una función F(X) es el conjunto de todas sus antiderivadas. Esto usa la notación
∫
F(X)dx
,donde esta la señal ∫ se llama signo integral, la función F(X) es un integrando, y F(X)dx es el integrando.
Así, si F(X) es una antiderivada de F(X) , Eso
∫
F(X)dx = F(X) +C
Dónde C - constante arbitraria (constante).
Para comprender el significado del conjunto de primitivas de una función como integral indefinida, resulta apropiada la siguiente analogía. Que haya una puerta (tradicional puerta de madera). Su función es "ser una puerta". ¿De qué está hecha la puerta? De un árbol. Esto significa que el conjunto de primitivas del integrando "ser una puerta", es decir, su integral indefinida, es la función "ser un árbol + C", donde C es una constante, que en este contexto puede denotar, por por ejemplo, una especie de árbol. Así como se hace una puerta de madera con algunas herramientas, la derivada de una función se "hace" a partir de la función antiderivada con fórmula que aprendimos estudiando la derivada .
Entonces la tabla de funciones de los objetos comunes y sus correspondientes primitivas ("ser una puerta" - "ser un árbol", "ser una cuchara" - "ser un metal", etc.) es similar a la tabla de integrales indefinidas básicas, que se darán a continuación. La tabla de integrales indefinidas enumera funciones comunes, indicando las antiderivadas a partir de las cuales se "hacen" estas funciones. Como parte de las tareas para encontrar la integral indefinida, se dan integrandos que se pueden integrar directamente sin esfuerzos especiales, es decir, según la tabla de integrales indefinidas. En problemas más complejos, primero se debe transformar el integrando para poder utilizar integrales tabulares.
Hecho 2. Al restaurar una función como antiderivada, debemos tener en cuenta una constante arbitraria (constante) C, y para no escribir una lista de antiderivadas con diferentes constantes del 1 al infinito, es necesario escribir un conjunto de antiderivadas con una constante arbitraria C, así: 5 X³+C. Entonces, se incluye una constante arbitraria (constante) en la expresión de la antiderivada, ya que la antiderivada puede ser una función, por ejemplo, 5 X³+4 o 5 X³+3 y al diferenciar 4 o 3 o cualquier otra constante desaparece.
Planteamos el problema de integración: para una función dada F(X) encontrar tal función F(X), cuyo derivado es igual a F(X).
Ejemplo 1 Encuentra el conjunto de primitivas de una función.
Solución. Para esta función, la antiderivada es la función
Función F(X) se llama antiderivada de la función F(X) si la derivada F(X) es igual a F(X), o, lo que es lo mismo, el diferencial F(X) es igual a F(X) dx, es decir.
(2)
Por tanto, la función es antiderivada de la función. Sin embargo, no es la única antiderivada de . También son funciones
Dónde CON es una constante arbitraria. Esto se puede verificar mediante diferenciación.
Por lo tanto, si hay una primitiva para una función, entonces para ella hay un conjunto infinito de primitivas que difieren en una suma constante. Todas las primitivas de una función se escriben en la forma anterior. Esto se desprende del siguiente teorema.
Teorema (declaración formal de hecho 2). Si F(X) es la antiderivada de la función F(X) en algún intervalo X, entonces cualquier otra antiderivada para F(X) en el mismo intervalo se puede representar como F(X) + C, Dónde CON es una constante arbitraria.
En el siguiente ejemplo, pasamos a la tabla de integrales, que se dará en el párrafo 3, después de las propiedades de la integral indefinida. Hacemos esto antes de familiarizarnos con toda la tabla, para que quede clara la esencia de lo anterior. Y después de la tabla y las propiedades, las usaremos en su totalidad al integrar.
Ejemplo 2 Encuentra conjuntos de antiderivadas:
Solución. Encontramos conjuntos de funciones antiderivadas a partir de las cuales se "hacen" estas funciones. Cuando mencione fórmulas de la tabla de integrales, por ahora, simplemente acepte que existen tales fórmulas y estudiaremos la tabla de integrales indefinidas en su totalidad un poco más.
1) Aplicando la fórmula (7) de la tabla de integrales para norte= 3, obtenemos
2) Usando la fórmula (10) de la tabla de integrales para norte= 1/3, tenemos
3) Desde
luego de acuerdo con la fórmula (7) en norte= -1/4 encontrar
Bajo el signo integral, no escriben la función en sí. F, y su producto por el diferencial dx. Esto se hace principalmente para indicar qué variable se busca la antiderivada. Por ejemplo,
,
;
aquí en ambos casos el integrando es igual a , pero sus integrales indefinidas en los casos considerados resultan diferentes. En el primer caso, esta función se considera como función de una variable. X, y en el segundo - en función de z .
El proceso de encontrar la integral indefinida de una función se llama integrar esa función.
El significado geométrico de la integral indefinida.
Sea necesario encontrar una curva. y=F(x) y ya sabemos que la tangente de la pendiente de la tangente en cada uno de sus puntos es una función dada f(x) abscisa de este punto.
Según el significado geométrico de la derivada, la tangente de la pendiente de la tangente en un punto dado de la curva. y=F(x) igual al valor de la derivada F"(x). Entonces, necesitamos encontrar tal función. F(x), para cual F"(x)=f(x). Función requerida en la tarea. F(x) se deriva de f(x). La condición del problema no se satisface con una curva, sino con una familia de curvas. y=F(x)- una de estas curvas, y cualquier otra curva se puede obtener a partir de ella mediante traslación paralela a lo largo del eje Oye.
Llamemos a la gráfica de la función antiderivada de f(x) curva integral. Si F"(x)=f(x), entonces la gráfica de la función y=F(x) es una curva integral.
Hecho 3. La integral indefinida está representada geométricamente por la familia de todas las curvas integrales. como en la imagen de abajo. La distancia de cada curva desde el origen está determinada por una constante arbitraria (constante) de integración. C.
Propiedades de la integral indefinida
Hecho 4. Teorema 1. La derivada de una integral indefinida es igual al integrando y su diferencial es igual al integrando.
Hecho 5. Teorema 2. La integral indefinida del diferencial de una función F(X) es igual a la función F(X) hasta un término constante , es decir.
(3)
Los teoremas 1 y 2 muestran que la diferenciación y la integración son operaciones mutuamente inversas.
Hecho 6. Teorema 3. El factor constante en el integrando se puede sacar del signo de la integral indefinida , es decir.
Aprender a integrarse no es difícil. Para hacer esto, solo necesita aprender un cierto conjunto de reglas, bastante pequeño, y desarrollar una especie de talento. Por supuesto, es fácil aprender las reglas y fórmulas, pero es bastante difícil entender dónde y cuándo aplicar tal o cual regla de integración o diferenciación. Ésta, de hecho, es la capacidad de integrarse.
1. Antiderivada. Integral indefinida.
Se supone que al momento de leer este artículo, el lector ya tiene algunas habilidades de diferenciación (es decir, encontrar derivadas).
Definición 1.1: Una función se llama primitiva si se cumple la igualdad:
Comentarios:> El acento en la palabra “primordial” se puede colocar de dos maneras: oh preocupado u original A conocimiento.
Propiedad 1: Si una función es primitiva de una función, entonces la función también es primitiva de una función.
Prueba: Demostremos esto a partir de la definición de antiderivada. Encontremos la derivada de la función:
El primer término en definición 1.1 es igual a , y el segundo término es la derivada de la constante, que es igual a 0.
.
Resumir. Escribamos el principio y el final de la cadena de igualdades: 
Por tanto, la derivada de una función es igual y, por tanto, por definición, es su antiderivada. La propiedad ha sido probada.
Definición 1.2: La integral indefinida de una función es el conjunto completo de primitivas de esta función. Se denota así: 
.
Considere los nombres de cada parte del registro en detalle:
es la notación general para la integral,
es una expresión integrando (integrando), una función integrable.
es el diferencial, y la expresión después de la letra , en este caso , se llamará variable de integración.
Comentarios: Las palabras clave en esta definición son “el conjunto completo”. Aquellos. Si en el futuro este "más C" no se escribe en la respuesta, entonces el inspector tiene todo el derecho a no acreditar esta tarea, porque es necesario encontrar el conjunto completo de antiderivadas, y si C está ausente, entonces sólo se encuentra una.
Conclusión: Para comprobar si la integral se calcula correctamente, es necesario encontrar la derivada del resultado. Debe coincidir con el integrando.
Ejemplo:
Ejercicio: Calcula la integral indefinida y compruébala.
Solución:
La forma en que se calcula esta integral no importa en este caso. Supongamos que es una revelación desde arriba. Nuestra tarea es demostrar que la revelación no nos engañó, y esto se puede hacer con la ayuda de la verificación.
Examen:
Al derivar el resultado se obtuvo un integrando, lo que significa que la integral se calculó correctamente.
2. Comience. Tabla de integrales.
Para la integración, no es necesario recordar cada vez la función cuya derivada es igual al integrando dado (es decir, usar la definición de integral directamente). Cada colección de problemas o libro de texto sobre análisis matemático contiene una lista de propiedades de integrales y una tabla de integrales más simples.
Enumeremos las propiedades.
Propiedades:
1.
La integral del diferencial es igual a la variable de integración.
2. , donde es una constante.
El multiplicador constante se puede sacar del signo integral.
3.
La integral de la suma es igual a la suma de las integrales (si el número de términos es finito).
Tabla integral:
| 1. | 10. |
| 2. | 11.  |
| 3. | 12. |
4.  |
13.  |
5.  |
14.  |
| 6. | 15. |
7.  |
16. |
| 8. | 17.  |
| 9. | 18. |
La mayoría de las veces, la tarea consiste en reducir la integral investigada a una tabular utilizando propiedades y fórmulas.
Ejemplo:
[Usemos la tercera propiedad de las integrales y escribámosla como una suma de tres integrales.]
[Usemos la segunda propiedad y saquemos las constantes del signo de integración.]
[ En la primera integral usamos la integral de tabla No. 1 (n=2), en la segunda, la misma fórmula, pero n=1, y para la tercera integral, puedes usar la misma integral de tabla, pero con n=0, o la primera propiedad.]
.
Comprobemos por diferenciación:
Se obtuvo el integrando original, por lo que la integración se realizó sin errores (e incluso no se olvidó la suma de una constante arbitraria C).
Las integrales tabulares deben aprenderse de memoria por una sencilla razón: para saber por qué luchar, es decir conocer el propósito de la transformación de la expresión dada.
Aqui hay algunos ejemplos mas:
1) 
2) 
3) 
Tareas para solución independiente:
Ejercicio 1. Calcula la integral indefinida:
+ Mostrar/ocultar pista n.º 1.
1) Utilice la tercera propiedad y presente esta integral como la suma de tres integrales.
+ Mostrar/ocultar pista n.º 2.
+ Mostrar/ocultar pista n.º 3.
3) Para los dos primeros términos, utilice la primera integral tabular y, para el tercero, la segunda integral tabular.
+ Mostrar/ocultar solución y respuesta.
4) Solución: 
Respuesta: 
En la escuela, muchos no saben resolver integrales o tienen dificultades con ellas. Este artículo le ayudará a resolverlo, ya que encontrará todo en él. tablas de integrales.
Integral es uno de los principales cálculos y conceptos en cálculo. Su aparición se produjo con dos propósitos:
Primer objetivo- restaurar la función utilizando su derivada.
Segundo gol- cálculo del área ubicada a una distancia de la gráfica a la función f (x) en una línea recta donde a es mayor o igual que x es mayor o igual a b y el eje de abscisas.
Estos objetivos nos llevan a integrales definidas e indefinidas. La conexión entre estas integrales radica en la búsqueda de propiedades y el cálculo. Pero todo fluye y todo cambia con el tiempo, se encontraron nuevas soluciones, se revelaron adiciones, trayendo así integrales definidas e indefinidas a otras formas de integración.
Qué ha pasado integral indefinida usted pregunta. Este función antiderivada F(x) de una variable x en el intervalo a mayor que x mayor que b. se llama cualquier función F(x), en el intervalo dado para cualquier notación x, la derivada es igual a F(x). Está claro que F(x) es una antiderivada de f(x) en el intervalo a mayor que x mayor que b. Por tanto, F1(x) = F(x) + C. C - es cualquier constante y primitiva de f(x) en el intervalo dado. Esta afirmación es reversible, para la función f(x) - 2 las antiderivadas difieren sólo en una constante. Basado en el teorema del cálculo integral, resulta que cada continuo en el intervalo a
Integral definida se entiende como un límite en sumas integrales, o en una situación de una función dada f(x) definida en alguna recta (a, b) que tiene sobre ella la antiderivada F, que significa la diferencia de sus expresiones en los extremos de esta recta F(b) - F(a).
Para mayor claridad al estudiar este tema, sugiero ver el video. Explica en detalle y muestra cómo encontrar integrales.
Cada tabla de integrales es muy útil en sí misma, ya que ayuda a resolver un tipo particular de integral.
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