Primer nivel

Derivada de la función. Una guía completa (2019)

Imagina una carretera recta a través de un terreno montañoso. Es decir, sube y baja, pero no gira a la derecha ni a la izquierda. Si el eje se dirige a lo largo de la carretera horizontalmente y, verticalmente, entonces la línea de la carretera será muy similar a la gráfica de alguna función continua:

El eje es un cierto nivel de altura cero, en la vida usamos el nivel del mar como tal.

Avanzando en ese camino, también nos movemos hacia arriba o hacia abajo. También podemos decir: cuando el argumento cambia (movimiento a lo largo de la abscisa), el valor de la función cambia (movimiento a lo largo de la ordenada). Ahora pensemos en cómo determinar la "pendiente" de nuestro camino. ¿Qué valor podría tener? Es muy simple: cuánto cambiará la altura al avanzar una cierta distancia. De hecho, en diferentes tramos de la carretera, avanzando (a lo largo de la abscisa) un kilómetro, subiremos o bajaremos cantidad diferente metros sobre el nivel del mar (a lo largo de la ordenada).

Designemos el movimiento hacia adelante (se lee "delta x").

La letra griega (delta) se usa comúnmente en matemáticas como un prefijo que significa "cambio". Es decir, es un cambio de valor, un cambio; ¿entonces que es eso? Así es, cambio de magnitud.

Importante: una expresión es un todo único, una variable. ¡Nunca debe quitar el "delta" de la "x" o cualquier otra letra! Es decir, por ejemplo.

Así que avanzamos, horizontalmente. Si comparamos la línea de la carretera con la gráfica de una función, ¿cómo designamos el aumento? Seguro, . Es decir, cuando avanzamos, subimos más.

Es fácil calcular el valor: si al principio estábamos en una altura, y después de movernos estábamos en una altura, entonces. Si el punto final es más bajo que el punto de inicio, será negativo; esto significa que no vamos hacia arriba, sino hacia abajo.

Volver a "inclinación": este es un valor que indica cuánto (abruptamente) aumenta la altura a medida que avanza una unidad de distancia:

Supongamos que en alguna parte del camino, al avanzar en km, la carretera asciende en km. Entonces la pendiente en este punto es. ¿Y si la carretera, al moverse en m, bajara en km? Entonces la pendiente es.

Ahora considere la cima de una colina. Si tomas el inicio del tramo medio kilómetro antes de la cima, y \u200b\u200bel final medio kilómetro después, puedes ver que la altura es prácticamente la misma.

Es decir, según nuestra lógica, resulta que la pendiente aquí es casi cero, lo que claramente no es cierto. Muchas cosas pueden cambiar a una distancia en km. Es necesario considerar secciones más pequeñas para una evaluación más adecuada y precisa de la pendiente. Por ejemplo, si mide el cambio de altura cuando se mueve un metro, el resultado será mucho más preciso. Pero incluso esta precisión puede no ser suficiente para nosotros; después de todo, si hay un poste en el medio del camino, simplemente podemos deslizarnos a través de él. ¿Qué distancia elegiremos entonces? ¿Centímetro? ¿Milímetro? ¡Menos es mejor!

A vida real medir la distancia con precisión milimétrica es más que suficiente. Pero los matemáticos siempre buscan la perfección. Por tanto, se inventó el concepto infinitamente pequeño, es decir, la magnitud es menor que cualquier número que podamos nombrar. Por ejemplo, dices: ¡un billón! Cuanto menos Y divide este número por - y será aún menos. Etc. Si queremos escribir que el valor es infinitamente pequeño, escribimos lo siguiente: (leemos "x tiende a cero"). Es muy importante entender que este numero no es cero! Pero muy cerca de él. Esto significa que puedes dividirlo.

El concepto opuesto a infinitamente pequeño es infinitamente grande (). Probablemente ya se encontró con él cuando estaba lidiando con desigualdades: este número es módulo mayor que cualquier número que pueda imaginar. Si obtiene el número más grande posible, simplemente multiplíquelo por dos y obtendrá aún más. Y el infinito es incluso mayor de lo que obtienes. De hecho, infinitamente grande e infinitamente pequeño son inversos entre sí, es decir, en, y viceversa: en.

Ahora volvamos a nuestro camino. La pendiente idealmente calculada es la curvatura calculada para una sección infinitamente pequeña del camino, es decir:

Tenga en cuenta que con un desplazamiento infinitamente pequeño, el cambio de altura también será infinitamente pequeño. Pero déjame recordarte que infinitamente pequeño no significa igual a cero. Si divide números infinitamente pequeños entre sí, puede obtener un número completamente ordinario, por ejemplo. Es decir, un valor pequeño puede ser exactamente dos veces mayor que otro.

¿Para qué es todo esto? El camino, la pendiente ... No vamos a un rally de motor, pero estamos enseñando matemáticas. Y en matemáticas todo es exactamente igual, solo que se llama de manera diferente.

Concepto derivado

La derivada de una función es la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento con un incremento infinitesimal del argumento.

Por incremento en matemáticas, se llama cambio. Cuánto ha cambiado el argumento () mientras se mueve a lo largo del eje se llama incremento de argumento y denotado La medida en que la función (altura) ha cambiado mientras se mueve hacia adelante a lo largo del eje en una distancia se llama incremento de función y está indicado por.

Entonces, la derivada de una función es la relación con en. Denotamos la derivada con la misma letra que la función, solo con un primo en la parte superior derecha: o simplemente. Entonces, escribamos la fórmula de la derivada usando esta notación:

Como en la analogía con la carretera, aquí la derivada es positiva a medida que aumenta la función y negativa a medida que la función disminuye.

¿Existe una derivada igual a cero? Seguro. Por ejemplo, si conducimos por una carretera horizontal plana, la pendiente es cero. De hecho, la altura no cambia en absoluto. Lo mismo ocurre con la derivada: la derivada de una función constante (constante) es igual a cero:

ya que el incremento de dicha función es cero para cualquier.

Recordemos el ejemplo de la cima de la colina. Allí resultó que era posible organizar los extremos del segmento a lo largo lados diferentes desde arriba, que la altura en los extremos es la misma, es decir, el segmento es paralelo al eje:

Pero las secciones grandes son un signo de medición inexacta. Levantaremos nuestro segmento paralelo a sí mismo, luego su longitud disminuirá.

Finalmente, cuando estemos infinitamente cerca de la cima, la longitud del segmento se volverá infinitamente pequeña. Pero al mismo tiempo, se mantuvo paralelo al eje, es decir, la diferencia de alturas en sus extremos es cero (no tiende, pero es igual). Por tanto, la derivada

Puede entenderlo de esta manera: cuando nos paramos en la parte superior, un pequeño desplazamiento hacia la izquierda o hacia la derecha cambia nuestra altura de manera insignificante.

También hay una explicación puramente algebraica: a la izquierda del vértice, la función aumenta y a la derecha, disminuye. Como ya hemos descubierto anteriormente, a medida que la función aumenta, la derivada es positiva y, a medida que la función disminuye, es negativa. Pero cambia suavemente, sin saltos (ya que la carretera no cambia de pendiente bruscamente en ningún lado). Por tanto, entre negativo y valores positivos debe ser. Será donde la función ni aumenta ni disminuye, en el punto del vértice.

Lo mismo es cierto para la parte inferior (el área donde la función disminuye a la izquierda y aumenta a la derecha):

Un poco más sobre incrementos.

Entonces cambiamos el argumento por el valor. ¿Cambio de qué valor? ¿Cuál es (el argumento) ahora? Podemos elegir cualquier punto, y ahora bailaremos a partir de él.

Considere un punto con una coordenada. El valor de la función en él es. Luego hacemos el mismo incremento: aumentamos la coordenada en. ¿A qué equivale ahora el argumento? Muy fácil: . ¿Cuál es el valor de la función ahora? Donde va el argumento, también lo hace la función :. ¿Qué pasa con el incremento de la función? Nada nuevo: esta sigue siendo la cantidad que cambió la función:

Practica encontrar incrementos:

1. Encuentre el incremento de la función en el punto con el incremento del argumento igual a.
2. Lo mismo ocurre con la función en el punto.

Soluciones:

En diferentes puntos con el mismo incremento de argumento, el incremento de la función será diferente. Esto significa que la derivada en cada punto es diferente (discutimos esto al principio; la pendiente de la carretera en diferentes puntos es diferente). Por tanto, cuando escribimos la derivada, debemos indicar en qué punto:

Función de potencia.

Una función de potencia se llama función donde el argumento es hasta cierto punto (lógico, ¿verdad?).

Y - en cualquier medida :.

El caso mas simple es cuando el exponente:

Encontremos su derivada en el punto. Recordemos la definición de derivada:

Entonces el argumento cambia de a. ¿Cuál es el incremento de la función?

El incremento es este. Pero la función en cualquier punto es igual a su argumento. Por lo tanto:

La derivada es igual a:

La derivada de es igual a:

b) Ahora considere la función cuadrática () :.

Ahora recordemos eso. Esto significa que el valor del incremento puede despreciarse, ya que es infinitamente pequeño y, por lo tanto, insignificante en el contexto de otro término:

Entonces, tenemos la siguiente regla:

c) Continuamos la serie lógica :.

Esta expresión se puede simplificar de diferentes maneras: expanda el primer paréntesis usando la fórmula para la multiplicación abreviada del cubo de la suma, o factorice la expresión completa en factores usando la fórmula para la diferencia entre cubos. Intente hacerlo usted mismo de cualquiera de las formas sugeridas.

Así que terminé con lo siguiente:

Y de nuevo, recuerda eso. Esto significa que podemos descuidar todos los términos que contienen:

Obtenemos:.

d) Se pueden obtener reglas similares para grados superiores:

e) Resulta que esta regla se puede generalizar para una función de potencia con un exponente arbitrario, ni siquiera un número entero:

(2)

La regla se puede formular con las palabras: "el grado se presenta como un coeficiente y luego disminuye en".

Probaremos esta regla más adelante (casi al final). Ahora veamos algunos ejemplos. Encuentra la derivada de las funciones:

1. (de dos formas: mediante la fórmula y utilizando la definición de la derivada - calculando el incremento de la función);

1. ... No creerás, pero esto función de potencia... Si tiene preguntas como “¿Cómo es esto? ¿Y dónde está la titulación? ”, ¡Recuerda el tema“ ”!
   Sí, la raíz también es un grado, solo fraccionario :.
   Entonces, nuestra raíz cuadrada es solo una potencia con un exponente:
   .
   Buscamos la derivada según la fórmula recientemente aprendida:

   Si en este lugar no queda claro nuevamente, repita el tema "" !!! (sobre el grado con exponente negativo)

2. ... Ahora el exponente:

   Y ahora a través de la definición (¿no lo has olvidado todavía?):
   ;
   .
   Ahora, como de costumbre, descuidamos el término que contiene:
   .

3. ... Una combinación de casos anteriores :.

Funciones trigonométricas.

Aquí usaremos un hecho de matemáticas superiores:

Cuando expresión.

La prueba la aprenderás en el primer año del instituto (y para llegar debes aprobar bien el examen). Ahora solo lo mostraré gráficamente:

Vemos que para la función no existe, el punto en el gráfico está perforado. Pero cuanto más cerca del valor, más cerca está la función. Este es el mismísimo "aspira".

Además, puede verificar esta regla con una calculadora. Sí, sí, no seas tímido, coge la calculadora, todavía no estamos en el examen.

Entonces intentemos:;

¡No olvide poner la calculadora en modo Radianes!

etc. Vemos que cuanto más pequeño, más cercano es el valor de la relación.

a) Considere la función. Como de costumbre, busquemos su incremento:

Transformemos la diferencia de senos en un producto. Para esto usamos la fórmula (recuerde el tema "") :.

Ahora la derivada:

Hagamos un reemplazo :. Entonces, para infinitamente pequeño, también es infinitamente pequeño :. La expresión para toma la forma:

Ahora recuerde que cuando expresión. Y también, ¿qué pasa si se puede despreciar una cantidad infinitesimal en la suma (es decir, en)?

Entonces obtenemos siguiente regla: la derivada del seno es igual al coseno:

Estos son derivados base ("tabulares"). Aquí están en una lista:

Más adelante les agregaremos algunos más, pero estos son los más importantes, ya que se usan con mayor frecuencia.

Práctica:

1. Encuentre la derivada de la función en un punto;
2. Encuentra la derivada de la función.

Soluciones:

1. Primero, encontramos la derivada en vista generaly luego sustituya su valor en su lugar:
   ;
   .
2. Aquí tenemos algo similar a una función de potencia. Tratemos de llevarla a
   vista normal:
   .
   Genial, ahora puedes usar la fórmula:
   .
   .
3. ... Eeeeee ... .. ¿Qué es esto ????

De acuerdo, tiene razón, todavía no sabemos cómo encontrar tales derivados. Aquí tenemos una combinación de varios tipos de funciones. Para trabajar con ellos, necesita aprender algunas reglas más:

Exponente y logaritmo natural.

Existe una función de este tipo en matemáticas, cuya derivada para cualquiera es igual al valor de la función en sí. Se llama "exponente" y es una función exponencial.

La base de esta función es constante, es infinita decimal, es decir, un número irracional (como). Se llama "número de Euler", por lo que se designa con una letra.

Entonces la regla es:

Es muy fácil de recordar.

Bueno, no vayamos muy lejos, inmediatamente consideraremos la función inversa. ¿Qué función es la inversa de la función exponencial? Logaritmo:

En nuestro caso, la base es un número:

Tal logaritmo (es decir, un logaritmo con base) se llama "natural", y para ello usamos una notación especial: escriba en su lugar.

¿Qué es igual a? Por supuesto, .

La derivada del logaritmo natural también es muy simple:

Ejemplos:

1. Encuentra la derivada de la función.
2. ¿Cuál es la derivada de la función?

Respuestas: El exponente y el logaritmo natural son funciones únicamente simples desde el punto de vista de la derivada. Las funciones exponenciales y logarítmicas con cualquier otra base tendrán una derivada diferente, que analizaremos más adelante, después de pasar por las reglas de diferenciación.

Reglas de diferenciación

¿Las reglas de qué? De nuevo un nuevo término, ¡¿de nuevo?! ...

Diferenciación es el proceso de encontrar una derivada.

Eso es todo. ¿De qué otra manera llamar a este proceso en una palabra? No es una derivada ... El diferencial de las matemáticas se llama el mismo incremento de una función en. Este término proviene del latín differentia - diferencia. Aquí.

Al derivar todas estas reglas, usaremos dos funciones, por ejemplo, y. También necesitamos fórmulas para sus incrementos:

Hay 5 reglas en total.

La constante se mueve fuera del signo de la derivada.

Si es un número constante (constante), entonces.

Obviamente, esta regla también funciona para la diferencia :.

Probemos. Deja, o más fácil.

Ejemplos.

Encuentra las derivadas de las funciones:

1. en el punto;
2. en el punto;
3. en el punto;
4. en el punto.

Soluciones:

1. (la derivada es la misma en todos los puntos, ya que es una función lineal, ¿recuerdas?);

Derivado de una obra

Aquí todo es igual: introducimos una nueva función y encontramos su incremento:

Derivado:

Ejemplos:

1. Encuentra las derivadas de las funciones y;
2. Encuentra la derivada de la función en el punto.

Soluciones:

Derivada de la función exponencial

Ahora tu conocimiento es suficiente para aprender a encontrar la derivada de cualquier función exponencial, no solo el exponente (¿has olvidado cuál es?).

Entonces, ¿dónde está algún número?

Ya conocemos la derivada de la función, así que intentemos convertir nuestra función a una nueva base:

Para esto usaremos regla simple:. Luego:

Bueno, funcionó. Ahora intente encontrar la derivada y no olvide que esta función es compleja.

¿Sucedió?

Aquí, compruébalo tú mismo:

La fórmula resultó ser muy similar a la derivada del exponente: como estaba, permanece, solo apareció un multiplicador, que es solo un número, pero no una variable.

Ejemplos:
Encuentra las derivadas de las funciones:

Respuestas:

Este es solo un número que no se puede calcular sin una calculadora, es decir, no se puede escribir en más forma simple... Por tanto, en la respuesta lo dejamos de esta forma.

Derivada de una función logarítmica

Aquí es similar: ya conoces la derivada del logaritmo natural:

Por lo tanto, para encontrar uno arbitrario del logaritmo con una base diferente, por ejemplo:

Debes llevar este logaritmo a la base. ¿Cómo se cambia la base del logaritmo? Espero que recuerdes esta fórmula:

Solo que ahora escribiremos en su lugar:

El denominador es solo una constante (número constante, sin variable). La derivada es muy simple:

Las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas casi nunca se encuentran en USE, pero no será superfluo conocerlas.

Derivada de una función compleja.

¿Qué es una "función compleja"? No, esto no es un logaritmo ni un arco tangente. Estas funciones pueden ser difíciles de entender (aunque si el logaritmo te parece difícil, lee el tema "Logaritmos" y todo pasará), pero desde el punto de vista de las matemáticas, la palabra "difícil" no significa "difícil".

Imagine una pequeña cinta transportadora: dos personas están sentadas y realizan algún tipo de acción con unos objetos. Por ejemplo, el primero envuelve una barra de chocolate en un envoltorio y el segundo lo ata con una cinta. Resulta un objeto tan compuesto: una barra de chocolate envuelta y atada con una cinta. Para comer una barra de chocolate, debes hacer acciones inversas en orden inverso.

Creemos una tubería matemática similar: primero encontraremos el coseno de un número y luego elevaremos al cuadrado el número resultante. Entonces, nos dan un número (barra de chocolate), encuentro su coseno (envoltura), y luego cuadras lo que tengo (lo atas con una cinta). ¿Que pasó? Función. Este es un ejemplo de una función compleja: cuando, para encontrar su valor, hacemos la primera acción directamente con la variable, y luego otra acción con el resultado de la primera.

Bien podemos hacer las mismas acciones en el orden inverso: primero elevas al cuadrado y luego busco el coseno del número resultante :. Es fácil adivinar que el resultado casi siempre será diferente. Una característica importante de las funciones complejas: cuando cambia el orden de las acciones, la función cambia.

En otras palabras, una función compleja es una función cuyo argumento es otra función: .

Para el primer ejemplo ,.

Segundo ejemplo: (mismo). ...

La última acción que hagamos se llamará Función "externa", y la acción tomada primero, respectivamente Función "interna" (estos son nombres informales, los uso solo para explicar el material en un lenguaje sencillo).

Intente determinar por sí mismo qué función es externa y cuál es interna:

Respuestas:Separar funciones internas y externas es muy similar a cambiar variables: por ejemplo, en una función

1. ¿Cuál es la primera acción a realizar? Primero, calculamos el seno, y solo entonces lo elevaremos a un cubo. Esto significa que es una función interna, pero externa.
   Y la función original es su composición :.
2. Interno:; externo:.
   Comprobación:.
3. Interno:; externo:.
   Comprobación:.
4. Interno:; externo:.
   Comprobación:.
5. Interno:; externo:.
   Comprobación:.

cambie las variables y obtenga la función.

Bueno, ahora extraeremos nuestra barra de chocolate, busque un derivado. El procedimiento es siempre el opuesto: primero buscamos la derivada de la función externa, luego multiplicamos el resultado por la derivada de la función interna. En relación con el ejemplo original, se ve así:

Otro ejemplo:

Entonces, finalmente formulemos una regla oficial:

Algoritmo para encontrar la derivada de una función compleja:

Todo parece sencillo, ¿verdad?

Veamos con ejemplos:

Soluciones:

1) Interna :;

Externo:;

2) Interna :;

(¡No intentes reducir a estas alturas! No se saca nada del coseno, ¿recuerdas?)

3) Interna :;

Externo:;

Está claro de inmediato que aquí hay una función compleja de tres niveles: después de todo, esta ya es una función compleja en sí misma, y \u200b\u200btambién extraemos la raíz de ella, es decir, realizamos la tercera acción (colocamos el chocolate en la envoltura y lo colocamos en el portafolio con una cinta). Pero no hay razón para tener miedo: de todos modos, "descomprimiremos" esta función en el mismo orden que de costumbre: desde el final.

Es decir, primero diferenciamos la raíz, luego el coseno y solo luego la expresión entre paréntesis. Y luego multiplicamos todo esto.

En tales casos, conviene numerar las acciones. Es decir, imaginemos lo que sabemos. ¿En qué orden realizaremos acciones para calcular el valor de esta expresión? Tomemos un ejemplo:

Cuanto más tarde se realice la acción, más "externa" será la función correspondiente. La secuencia de acciones, como antes:

Aquí, el anidamiento es generalmente de 4 niveles. Definamos un curso de acción.

1. Una expresión radical. ...

2. Raíz. ...

3. Seno. ...

4. Cuadrado. ...

5. Poniendo todo junto:

DERIVADO. BREVEMENTE SOBRE EL PRINCIPAL

Derivada de función - la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento en un incremento infinitamente pequeño del argumento:

Derivados básicos:

Reglas de diferenciación:

La constante se mueve fuera del signo de la derivada:

Importe derivado:

Derivado del trabajo:

Derivada del cociente:

Derivada de una función compleja:

Algoritmo para encontrar la derivada de una función compleja:

1. Definimos la función "interna", encontramos su derivada.
2. Definimos la función "externa", encontramos su derivada.
3. Multiplicamos los resultados del primer y segundo punto.

Las funciones complejas no siempre se ajustan a la definición de una función compleja. Si hay una función de la forma y \u003d sin x - (2-3) a r c t g x x 5 7 x 10-17 x 3 + x - 11, entonces no se puede considerar compleja, a diferencia de y \u003d sin 2 x.

Este artículo mostrará el concepto de función compleja y su identificación. Trabajemos con fórmulas para encontrar la derivada con ejemplos de soluciones en la conclusión. El uso de la tabla de derivadas y la regla de diferenciación reduce significativamente el tiempo para encontrar la derivada.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Definiciones basicas

Definición 1

Una función compleja es una función cuyo argumento también es una función.

Se denota de esta manera: f (g (x)). Tenemos que la función g (x) se considera un argumento de f (g (x)).

Definición 2

Si hay una función f y es una función cotangente, entonces g (x) \u003d ln x es una función logaritmo natural. Obtenemos que la función compleja f (g (x)) se escribirá como arctan (lnx). O una función f, que es una función elevada a la 4ta potencia, donde g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 se considera una función racional completa, obtenemos que f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 ...

Obviamente, g (x) puede ser complicado. En el ejemplo y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5, puede ver que el valor de g tiene una raíz cúbica con una fracción. Esta expresión se puede denotar como y \u003d f (f 1 (f 2 (x))). De donde tenemos que f es una función seno, y f 1 es una función ubicada bajo raíz cuadrada, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 es una función racional fraccionaria.

Definición 3

El grado de anidación está determinado por cualquier número natural y se escribe como y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))).

Definición 4

El concepto de composición de funciones se refiere al número de funciones anidadas por un enunciado de problema. Para la solución, la fórmula para encontrar la derivada de una función compleja de la forma

(f (g (x))) "\u003d f" (g (x)) g "(x)

Ejemplos de

Ejemplo 1

Encuentre la derivada de una función compleja de la forma y \u003d (2 x + 1) 2.

Decisión

Por la condición, puede ver que f es una función de elevación al cuadrado y que g (x) \u003d 2 x + 1 se considera una función lineal.

Apliquemos la fórmula de la derivada para una función compleja y escribamos:

f "(g (x)) \u003d ((g (x)) 2)" \u003d 2 · (g (x)) 2 - 1 \u003d 2 · g (x) \u003d 2 · (2 \u200b\u200bx + 1); g "(x) \u003d (2 x + 1)" \u003d (2 x) "+ 1" \u003d 2 x "+ 0 \u003d 2 1 x 1 - 1 \u003d 2 ⇒ (f (g (x))) "\u003d f" (g (x)) g "(x) \u003d 2 (2 x + 1) 2 \u003d 8 x + 4

Es necesario encontrar una derivada con una forma original simplificada de la función. Obtenemos:

y \u003d (2 x + 1) 2 \u003d 4 x 2 + 4 x + 1

Por lo tanto tenemos que

y "\u003d (4 x 2 + 4 x + 1)" \u003d (4 x 2) "+ (4 x)" + 1 "\u003d 4 · (x 2)" + 4 · (x) "+ 0 \u003d \u003d 4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 \u003d 8 x + 4

Los resultados coincidieron.

Al resolver problemas de este tipo, es importante comprender dónde se ubicará la función de la forma fyg (x).

Ejemplo 2

Debes encontrar las derivadas de funciones complejas de la forma y \u003d sin 2 x y y \u003d sin x 2.

Decisión

La primera notación de la función dice que f es una función cuadrática y g (x) es una función seno. Entonces obtenemos eso

y "\u003d (sin 2 x)" \u003d 2 sin 2 - 1 x (sin x) "\u003d 2 sin x cos x

La segunda entrada muestra que f es una función seno, y g (x) \u003d x 2 denotamos una función de potencia. De ello se deduce que el producto de una función compleja se puede escribir como

y "\u003d (sin x 2)" \u003d cos (x 2) (x 2) "\u003d cos (x 2) 2 x 2-1 \u003d 2 x cos (x 2)

La fórmula para la derivada y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (Fn (x)))))) se escribirá como y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (... ( fn (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (fn (x))))) f 2" (f 3 (.. (fn (x)) )) ·. ... ... · F n "(x)

Ejemplo 3

Encuentre la derivada de la función y \u003d sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Decisión

Este ejemplo muestra la complejidad de escribir y localizar funciones. Entonces y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) denotar, donde f, f 1, f 2, f 3, f 4 (x) es una función seno, una función de elevar en 3 grado, función con logaritmo y base e, función arcotangente y lineal.

De la fórmula para la definición de una función compleja, tenemos que

y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Tenemos lo que encontrar

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) como la derivada del seno según la tabla de derivadas, luego f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ) \u003d cos (ln 3 arctan (2 x)).
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) como la derivada de la función de potencia, luego f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) \u003d 3 ln 3 - 1 arctan (2 x) \u003d 3 ln 2 arctan (2 x).
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) como la derivada del logarítmico, luego f 2" (f 3 (f 4 (x))) \u003d 1 a r c t g (2 x).
4. f 3 "(f 4 (x)) como la derivada del arco tangente, luego f 3" (f 4 (x)) \u003d 1 1 + (2 x) 2 \u003d 1 1 + 4 x 2.
5. Al encontrar la derivada f 4 (x) \u003d 2 x, reste 2 fuera del signo de la derivada usando la fórmula para la derivada de una función de potencia con un exponente igual a 1, luego f 4 "(x) \u003d (2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 1 x 1 - 1 \u003d 2.

Combinamos los resultados intermedios y lo conseguimos

y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) \u003d \u003d cos (ln 3 arctan (2 x)) 3 ln 2 arctan (2 x) 1 arctan (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 \u003d \u003d 6 cos (ln 3 arctan (2 x)) ln 2 arctan (2 x) arctan (2 x) (1 + 4 x 2)

Analizar tales funciones se asemeja a las muñecas matryoshka. Las reglas de diferenciación no siempre se pueden aplicar explícitamente utilizando una tabla de derivadas. A menudo es necesario utilizar una fórmula para encontrar derivadas de funciones complejas.

Existen algunas diferencias entre funciones complejas y complejas. Con una habilidad obvia para distinguir esto, encontrar derivados será especialmente fácil.

Ejemplo 4

Es necesario considerar dar un ejemplo similar. Si hay una función de la forma y \u003d t g 2 x + 3 t g x + 1, entonces se puede considerar como una forma compleja g (x) \u003d t g x, f (g) \u003d g 2 + 3 g + 1. Obviamente, es necesario aplicar una fórmula para un derivado complejo:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" \u003d (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 "\u003d \u003d 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 tgx + 3; g "(x) \u003d (tgx)" \u003d 1 cos 2 x ⇒ y "\u003d (f (g (x)))" \u003d f "(g (x)) g" (x) \u003d (2 tgx + 3 ) 1 cos 2 x \u003d 2 tgx + 3 cos 2 x

Una función de la forma y \u003d t g x 2 + 3 t g x + 1 no se considera difícil, ya que tiene la suma de t g x 2, 3 t g x y 1. Sin embargo, t g x 2 se considera una función compleja, entonces obtenemos una función de potencia de la forma g (x) \u003d x 2 yf, que es una función de la tangente. Para hacer esto, debes diferenciar por la cantidad. Lo entendemos

y "\u003d (tgx 2 + 3 tgx + 1)" \u003d (tgx 2) "+ (3 tgx)" + 1 "\u003d \u003d (tgx 2)" + 3 · (tgx) "+ 0 \u003d (tgx 2)" + 3 cos 2 x

Procedemos a encontrar la derivada de una función compleja (t g x 2) ":

f "(g (x)) \u003d (tg (g (x)))" \u003d 1 cos 2 g (x) \u003d 1 cos 2 (x 2) g "(x) \u003d (x 2)" \u003d 2 x 2-1 \u003d 2 x ⇒ (tgx 2) "\u003d f" (g (x)) g "(x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Obtenemos que y "\u003d (t g x 2 + 3 t g x + 1)" \u003d (t g x 2) "+ 3 cos 2 x \u003d 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Las funciones complejas se pueden incluir en funciones complejas, y las funciones complejas en sí mismas pueden ser funciones complejas.

Ejemplo 5

Por ejemplo, considere una función compleja de la forma y \u003d log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Esta función se puede representar como y \u003d f (g (x)), donde el valor de f es una función del logaritmo en base 3, y g (x) se considera la suma de dos funciones de la forma h (x) \u003d x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 y k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1). Obviamente, y \u003d f (h (x) + k (x)).

Considere la función h (x). Esta es la razón l (x) \u003d x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 am (x) \u003d e x 2 + 3 3

Tenemos que l (x) \u003d x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 \u003d n (x) + p (x) es la suma de dos funciones n (x) \u003d x 2 + 7 y p (x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1), donde p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) es una función compleja con un coeficiente numérico 3, y p 1 es una función al cubo, p 2 como función coseno, p 3 (x) \u003d 2 x + 1 - una función lineal.

Tenemos que m (x) \u003d ex 2 + 3 3 \u003d q (x) + r (x) es la suma de dos funciones q (x) \u003d ex 2 y r (x) \u003d 3 3, donde q (x) \u003d q 1 (q 2 (x)) es una función compleja, q 1 es una función con función exponencial, q 2 (x) \u003d x 2 es una función de potencia.

Esto muestra que h (x) \u003d l (x) m (x) \u003d n (x) + p (x) q (x) + r (x) \u003d n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Al pasar a una expresión de la forma k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x), se puede ver que la función se representa en forma de función compleja s (x) \u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) con un entero racional t (x) \u003d x 2 + 1, donde s 1 es la función de elevación al cuadrado y s 2 (x) \u003d ln x es logarítmico con base e.

De ahí se sigue que la expresión toma la forma k (x) \u003d s (x) t (x) \u003d s 1 (s 2 (x)) t (x).

Entonces obtenemos eso

y \u003d log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) \u003d \u003d fn (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) \u003d r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Por las estructuras de funciones, quedó claro cómo y qué fórmulas se deben usar para simplificar una expresión al diferenciarla. Para familiarizarse con este tipo de problemas y con el concepto de su solución, es necesario pasar al punto de diferenciar una función, es decir, encontrar su derivada.

Si nota un error en el texto, selecciónelo y presione Ctrl + Enter

Calcular la derivada es una de las operaciones más importantes del cálculo diferencial. A continuación se muestra una tabla para encontrar derivadas de funciones simples. Para conocer las reglas de diferenciación más complejas, consulte otras lecciones:

• Tabla derivada de funciones exponenciales y logarítmicas

Utilice estas fórmulas como valores de referencia. Ayudarán a resolver problemas y ecuaciones diferenciales. En la imagen, en la tabla de derivadas de funciones simples, hay una "hoja de trucos" de los principales casos de encontrar una derivada en una forma comprensible para su uso, junto con explicaciones para cada caso.

Derivadas de funciones simples

1. La derivada de un número es cero
s´ \u003d 0
Ejemplo:
5´ \u003d 0

Explicación:
La derivada muestra la velocidad a la que cambia el valor de la función cuando cambia el argumento. Dado que el número no cambia de ninguna manera bajo ninguna condición, su tasa de cambio es siempre cero.

2. Derivada variable igual a uno
x´ \u003d 1

Explicación:
Para cada incremento del argumento (x) en uno, el valor de la función (el resultado de los cálculos) aumenta en la misma cantidad. Por tanto, la tasa de cambio del valor de la función y \u003d x es exactamente igual a la tasa de cambio del valor del argumento.

3. La derivada de la variable y el factor es igual a este factor
sx´ \u003d s
Ejemplo:
(3 veces) ´ \u003d 3
(2x) ´ \u003d 2
Explicación:
En este caso, cada vez que cambia el argumento de la función ( x) su valor (y) aumenta en desde hora. Por lo tanto, la tasa de cambio del valor de la función en relación con la tasa de cambio del argumento es exactamente igual a desde.

De donde se sigue que
(cx + b) "\u003d c
es decir, el diferencial función lineal y \u003d kx + b es igual a la pendiente de la línea recta (k).

4. Derivada de módulo de una variable es igual al cociente de esta variable a su módulo
| x | "\u003d x / | x | siempre que x ≠ 0
Explicación:
Dado que la derivada de la variable (ver fórmula 2) es igual a uno, la derivada del módulo difiere solo en que el valor de la tasa de cambio de la función cambia al opuesto al cruzar el punto de origen (intente dibujar una gráfica de la función y \u003d | x | y compruébelo usted mismo. valor y devuelve la expresión x / | x |. Cuando x< 0 оно равно (-1), а когда x > 0 - uno. Es decir, con valores negativos de la variable x, con cada aumento del cambio en el argumento, el valor de la función disminuye exactamente en el mismo valor, y con valores positivos, por el contrario, aumenta, pero exactamente el mismo valor.

5. Derivada de una variable en potencia es igual al producto del número de este grado y la variable en el grado, reducido en uno
(x c) "\u003d cx c-1, siempre que x c \u200b\u200by cx c-1 estén definidos y c ≠ 0
Ejemplo:
(x 2) "\u003d 2x
(x 3) "\u003d 3 x 2
Para memorizar la fórmula:
Lleve a cabo la potencia de la variable "down" como factor y luego disminuya la potencia en uno. Por ejemplo, para x 2, los dos estaban delante de la x, y luego el grado reducido (2-1 \u003d 1) nos dio 2x. Lo mismo sucedió con x 3 - "bajamos" los tres, lo disminuimos en uno y en lugar de un cubo tenemos un cuadrado, es decir, 3x 2. Un poco "no científico" pero muy fácil de recordar.

6. Derivada de una fracción 1 / x
(1 / x) "\u003d - 1 / x 2
Ejemplo:
Dado que se puede pensar que una fracción aumenta a una potencia negativa
(1 / x) "\u003d (x -1)", entonces puede aplicar la fórmula de la regla 5 de la tabla de derivadas
(x -1) "\u003d -1x -2 \u003d - 1 / x 2

7. Derivada de una fracción con variable de grado arbitrario en el denominador
(1 / x c) "\u003d - c / x c + 1
Ejemplo:
(1 / x 2) "\u003d - 2 / x 3

8. Derivado de la raíz (derivada de la variable bajo la raíz cuadrada)
(√x) "\u003d 1 / (2√x) o 1/2 x -1/2
Ejemplo:
(√x) "\u003d (x 1/2)" significa que puede aplicar la fórmula de la regla 5
(x 1/2) "\u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivada de una variable bajo una raíz arbitraria
(norte √x) "\u003d 1 / (norte norte √x n-1)

En este artículo, hablaremos sobre un concepto matemático tan importante como una función compleja y aprenderemos cómo encontrar la derivada de una función compleja.

Antes de aprender a encontrar la derivada de una función compleja, entendamos el concepto de función compleja, qué es, "con qué se come" y "cómo cocinarla correctamente".

Considere una función arbitraria, por ejemplo:

Tenga en cuenta que el argumento en el lado derecho e izquierdo de la ecuación de la función es el mismo número o expresión.

En lugar de una variable, podemos poner, por ejemplo, la siguiente expresión :. Y luego obtenemos la función

Llamemos a una expresión un argumento intermedio ya una función una función externa. Estos no son conceptos matemáticos estrictos, pero ayudan a comprender el significado del concepto de función compleja.

La definición estricta del concepto de función compleja es la siguiente:

Sea la función definida en el conjunto y sea el conjunto de valores de esta función. Sea el conjunto (o su subconjunto) el dominio de la función. Asignemos un número a cada uno. Por lo tanto, se dará una función en el set. Se llama composición de funciones o función compleja.

En esta definición, para usar nuestra terminología, hay una función externa, un argumento intermedio.

La derivada de una función compleja se encuentra de acuerdo con la siguiente regla:

Para que quede más claro, me gusta escribir esta regla así:

En esta expresión, la función intermedia se denota por.

Entonces. Para encontrar la derivada de una función compleja, necesitas

1. Determine qué función es externa y encuentre la derivada correspondiente de la tabla de derivadas.

2. Determine el argumento intermedio.

En este procedimiento, la mayor dificultad es encontrar la función externa. Se utiliza un algoritmo simple para esto:

y. Escribe la ecuación de la función.

segundo. Imagina que necesitas calcular el valor de una función en algún valor de x. Para hacer esto, inserta este valor de x en la ecuación de la función y produce operaciones aritmeticas... La última acción que realiza es la función externa.

Por ejemplo, en la función

La última acción es la exponenciación.

Encontremos la derivada de esta función. Para hacer esto, escribe el argumento intermedio

El problema de encontrar la derivada de una función dada es una de las principales tareas en el curso de matemáticas en la escuela secundaria y en la superior. instituciones educacionales... Es imposible investigar completamente una función, trazar su gráfica sin tomar su derivada. La derivada de una función se puede encontrar fácilmente conociendo las reglas básicas de diferenciación, así como la tabla de derivadas de las funciones básicas. Veamos cómo encontrar la derivada de una función.

La derivada de una función se denomina límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento cuando el incremento del argumento tiende a cero.

Es bastante difícil entender esta definición, ya que el concepto de límite no se estudia completamente en la escuela. Pero para encontrar las derivadas de varias funciones, no es necesario entender la definición, la dejaremos en manos de matemáticos especialistas y procederemos directamente a encontrar la derivada.

El proceso de encontrar una derivada se llama diferenciación. Al diferenciar una función, obtendremos una nueva función.

Para designarlos usaremos las letras latinas f, g, etc.

Hay muchas designaciones diferentes para derivados. Usaremos un trazo. Por ejemplo, escribir g "significa que encontraremos la derivada de la función g.

Tabla de derivados

Para responder a la pregunta de cómo encontrar la derivada, es necesario dar una tabla de derivadas de las funciones principales. Calcular derivadas funciones elementales no es necesario realizar cálculos complejos. Solo necesita mirar su valor en la tabla de derivadas.

1. (sen x) "\u003d cos x
2. (cos x) "\u003d –sin x
3. (x n) "\u003d norte x n-1
4. (e x) "\u003d e x
5. (ln x) "\u003d 1 / x
6. (a x) "\u003d a x ln a
7. (log a x) "\u003d 1 / x ln a
8. (tg x) "\u003d 1 / cos 2 x
9. (ctg x) "\u003d - 1 / sen 2 x
10. (arcosen x) "\u003d 1 / √ (1-x 2)
11. (arccos x) "\u003d - 1 / √ (1-x 2)
12. (arctan x) "\u003d 1 / (1 + x 2)
13. (arcctg x) "\u003d - 1 / (1 + x 2)

Ejemplo 1. Encuentre la derivada de la función y \u003d 500.

Vemos que esto es una constante. Según la tabla de derivadas, se sabe que la derivada de la constante es igual a cero (fórmula 1).

Ejemplo 2. Encuentre la derivada de la función y \u003d x 100.

Esta es una función de potencia en la que el exponente es 100 y para encontrar su derivada, debes multiplicar la función por el exponente y disminuirla por 1 (fórmula 3).

(x 100) "\u003d 100 x 99

Ejemplo 3. Encuentre la derivada de la función y \u003d 5 x

Esta es una función exponencial, calculemos su derivada mediante la fórmula 4.

Ejemplo 4. Encuentre la derivada de la función y \u003d log 4 x

La derivada del logaritmo se encuentra mediante la fórmula 7.

(log 4 x) "\u003d 1 / x ln 4

Reglas de diferenciación

Ahora averigüemos cómo encontrar la derivada de una función si no está en la tabla. La mayoría de las funciones investigadas no son elementales, sino combinaciones de funciones elementales que utilizan las operaciones más simples (suma, resta, multiplicación, división, así como multiplicación por un número). Para encontrar sus derivadas, necesita conocer las reglas de diferenciación. Además, las letras f y g denotan funciones, y C es una constante.

1. El coeficiente constante se puede tomar fuera del signo de la derivada.

Ejemplo 5. Encuentra la derivada de la función y \u003d 6 * x 8

Sacamos un factor constante de 6 y diferenciamos solo x 4. Esta es una función de potencia, la derivada de la cual se encuentra mediante la fórmula 3 de la tabla de derivadas.

(6 * x 8) "\u003d 6 * (x 8)" \u003d 6 * 8 * x 7 \u003d 48 * x 7

2. La derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas

(f + g) "\u003d f" + g "

Ejemplo 6. Encuentre la derivada de la función y \u003d x 100 + sin x

La función es la suma de dos funciones, cuyas derivadas podemos encontrar en la tabla. Dado que (x 100) "\u003d 100 x 99 y (sin x)" \u003d cos x. La derivada de la suma será igual a la suma de estas derivadas:

(x 100 + sen x) "\u003d 100 x 99 + cos x

3. La derivada de la diferencia es igual a la diferencia de las derivadas

(f - g) "\u003d f" - g "

Ejemplo 7. Encuentre la derivada de la función y \u003d x 100 - cos x

Esta función es la diferencia entre dos funciones, cuyas derivadas también podemos encontrar en la tabla. Entonces la derivada de la diferencia es igual a la diferencia de las derivadas y no olvide cambiar el signo, ya que (cos x) "\u003d - sin x.

(x 100 - cos x) "\u003d 100 x 99 + sen x

Ejemplo 8. Encuentre la derivada de la función y \u003d e x + tg x– x 2.

Esta función contiene tanto la suma como la diferencia, encontramos las derivadas de cada término:

(e x) "\u003d e x, (tg x)" \u003d 1 / cos 2 x, (x 2) "\u003d 2 x. Entonces la derivada de la función original es:

(e x + tg x– x 2) "\u003d e x + 1 / cos 2 x –2 x

4. Derivado del trabajo

(f * g) "\u003d f" * g + f * g "

Ejemplo 9. Encuentre la derivada de la función y \u003d cos x * e x

Para hacer esto, primero encontramos la derivada de cada factor (cos x) "\u003d - sin x y (e x)" \u003d e x. Ahora sustituyamos todo en la fórmula del producto. La derivada de la primera función se multiplica por la segunda y sumamos el producto de la primera función por la derivada de la segunda.

(cos x * e x) "\u003d e x cos x - e x * sin x

5. Derivada del cociente

(f / g) "\u003d f" * g - f * g "/ g 2

Ejemplo 10. Encuentre la derivada de la función y \u003d x 50 / sin x

Para encontrar la derivada del cociente, primero encontramos la derivada del numerador y el denominador por separado: (x 50) "\u003d 50 x 49 y (sin x)" \u003d cos x. Sustituyendo la derivada del cociente en la fórmula, obtenemos:

(x 50 / sin x) "\u003d 50x 49 * sin x - x 50 * cos x / sin 2 x

Derivada de una función compleja

Una función compleja es una función representada por la composición de varias funciones. Para encontrar la derivada de una función compleja, también hay una regla:

(u (v)) "\u003d u" (v) * v "

Veamos cómo encontrar la derivada de dicha función. Sea y \u003d u (v (x)) una función compleja. La función u se llama externa y v - interna.

Por ejemplo:

y \u003d sin (x 3) es una función compleja.

Entonces y \u003d sin (t) es una función externa

t \u003d x 3 - interno.

Intentemos calcular la derivada de esta función. Según la fórmula, es necesario multiplicar las derivadas de las funciones internas y externas.

(sin t) "\u003d cos (t) es la derivada de la función externa (donde t \u003d x 3)

(x 3) "\u003d 3x 2 es la derivada de la función interna

Entonces (sin (x 3)) "\u003d cos (x 3) * 3x 2 es la derivada de una función compleja.