Problemas con porcentajes: calcular porcentajes usando proporciones. Problemas de porcentaje: cálculo estándar usando proporciones

(de lat. rgorortio- “conmensurabilidad”).

Si la relación A: b igual a la proporción Con:d, entonces la identidad A:b=s:d llamado proporción.

Si , entonces la igualdad se mantendrá en los siguientes casos:

(aumento en proporción),

(disminución en proporción).

(componer proporciones por suma),

(componer proporciones por resta).

Tenga en cuenta que elaborar proporciones es otra forma de resolver problemas que involucran porcentajes.

Por ejemplo:

El estaño se elabora a partir de un mineral llamado casiterita. ¿Cuántas toneladas de estaño se obtendrán de 25 toneladas de casiterita si contiene 78% de estaño?

Solución. Que consigan un poco de lata. Tomando la masa del mineral como 100%, escribimos:

Resolviendo 25,78 = 100x encontramos que x = 19,5t.

El concepto de proporción está estrechamente relacionado con el de proporcionalidad. Proporcionalidad- esta es una relación constante de dos cantidades entre sí. Por ejemplo, cuanto más pisemos el acelerador de un coche, más rápido irá.

La proporcionalidad puede ser directa o inversa.

Proporcionalidad directa: el crecimiento de un valor implica el crecimiento de otro.

La proporcionalidad inversa existe cuando un aumento de un valor varias veces disminuye otro en la misma cantidad. Continuando con el anterior ejemplo- proporcionalidad inversa entre pisar el pedal del freno y la velocidad del coche - cuanto más pisamos el freno, menor es la velocidad.

La proporción es expresión matemática, en el que se comparan dos o más números entre sí. Las proporciones pueden comparar valores absolutos y cantidades. o partes de un todo mayor. Las proporciones se pueden escribir y calcular de varias maneras diferentes, pero el principio básico es el mismo.

Pasos

Parte 1

¿Qué es la proporción?

Descubre para qué sirven las proporciones. Las proporciones se utilizan como en investigación científica, y en la vida cotidiana comparar diferentes valores y cantidades. En el caso más simple, se comparan dos números, pero una proporción puede incluir cualquier cantidad de cantidades. Al comparar dos o más cantidades, siempre puedes usar la proporción. Saber cómo se relacionan las cantidades entre sí permite, por ejemplo, escribir fórmulas químicas o recetas de varios platos. Las proporciones le serán útiles para una variedad de propósitos.

1. Aprende qué significa proporción. Como se señaló anteriormente, las proporciones nos permiten determinar la relación entre dos o más cantidades. Por ejemplo, si necesitas 2 tazas de harina y 1 taza de azúcar para hacer galletas, decimos que existe una proporción de 2 a 1 entre la cantidad de harina y azúcar.

   • Las proporciones se pueden utilizar para mostrar cómo se relacionan diferentes cantidades entre sí, incluso si no están directamente relacionadas (a diferencia de una receta). Por ejemplo, si hay cinco niñas y diez niños en una clase, la proporción de niñas y niños es de 5 a 10. En este caso, un número no depende del otro ni está directamente relacionado con él: la proporción puede cambiar si alguien se va la clase o viceversa, llegarán nuevos estudiantes. Una proporción simplemente te permite comparar dos cantidades.

2. prestar atención a varias maneras expresiones de proporciones. Las proporciones se pueden escribir con palabras o utilizando símbolos matemáticos.

   • En la vida cotidiana, las proporciones se expresan más a menudo con palabras (como arriba). Las proporciones se utilizan en una variedad de campos y, a menos que su profesión esté relacionada con las matemáticas u otras ciencias, esta es la forma en que se encontrará con mayor frecuencia con esta forma de escribir proporciones.
   • Las proporciones a menudo se escriben usando dos puntos. Al comparar dos números usando una proporción, se pueden escribir con dos puntos, por ejemplo 7:13. Si se comparan más de dos números, se colocan dos puntos consecutivamente entre cada dos números, por ejemplo 10:2:23. En el ejemplo anterior de una clase, comparamos el número de niñas y niños, siendo 5 niñas: 10 niños. Así, en este caso la proporción se puede escribir como 5:10.
   • A veces se utiliza un signo de fracción al escribir proporciones. En nuestro ejemplo de clase, la proporción de 5 niñas por 10 niños se escribiría como 5/10. En este caso, no debes leer el signo de “dividir” y debes recordar que no se trata de una fracción, sino de una proporción de dos números diferentes.

   Parte 2

   Operaciones con proporciones

   1. Reducir la proporción a su forma más simple. Las proporciones se pueden simplificar, como las fracciones, reduciendo sus miembros por un divisor común. Para simplificar una proporción, divida todos los números incluidos en ella por divisores comunes. Sin embargo, no debemos olvidarnos de los valores iniciales que llevaron a esta proporción.

      • En el ejemplo anterior con una clase de 5 niñas y 10 niños (5:10), ambos lados de la proporción tienen un factor común de 5. Al dividir ambas cantidades por 5 (el máximo común divisor) se obtiene una proporción de 1 niña por 2. niños (es decir, 1:2). Sin embargo, al utilizar una proporción simplificada, debes recordar los números originales: no hay 3 estudiantes en la clase, sino 15. La proporción reducida solo muestra la relación entre el número de niñas y niños. Por cada niña hay dos niños, pero esto no significa que haya 1 niña y 2 niños en la clase.
      • Algunas proporciones no se pueden simplificar. Por ejemplo, la proporción 3:56 no se puede reducir, ya que las cantidades incluidas en la proporción no tienen común divisor: 3 es número primo, y 56 no es divisible por 3.

   2. Para “escalar” las proporciones se pueden multiplicar o dividir. Las proporciones se utilizan a menudo para aumentar o disminuir números en proporción entre sí. Multiplicar o dividir todas las cantidades incluidas en una proporción por el mismo número mantiene la relación entre ellas sin cambios. Así, las proporciones se pueden multiplicar o dividir por el factor de “escala”.

      • Digamos que un panadero necesita triplicar la cantidad de galletas que hornea. Si se toma harina y azúcar en una proporción de 2 a 1 (2:1), para triplicar la cantidad de galletas, se debe multiplicar esta proporción por 3. El resultado serán 6 tazas de harina por 3 tazas de azúcar (6: 3).
      • Puedes hacer lo contrario. Si el panadero necesita reducir la cantidad de galletas a la mitad, ambas partes de la proporción deben dividirse por 2 (o multiplicarse por 1/2). El resultado es 1 taza de harina por media taza (1/2 o 0,5 taza) de azúcar.

   3. Aprende a encontrar una cantidad desconocida usando dos proporciones equivalentes. Otro problema común para el que se utilizan ampliamente las proporciones es encontrar una cantidad desconocida en una de las proporciones si se da una segunda proporción similar. La regla para multiplicar fracciones simplifica enormemente esta tarea. Escribe cada proporción como una fracción, luego compara estas fracciones entre sí y encuentra la cantidad requerida.

      • Digamos que tenemos un pequeño grupo de estudiantes formado por 2 niños y 5 niñas. Si queremos mantener la proporción entre niños y niñas, ¿cuántos niños debería haber en una clase de 20 niñas? Primero, creemos ambas proporciones, una de las cuales contiene la cantidad desconocida: 2 niños: 5 niñas = x niños: 20 niñas. Si escribimos las proporciones como fracciones, obtenemos 2/5 y x/20. Luego de multiplicar ambos lados de la igualdad por los denominadores, obtenemos la ecuación 5x=40; divide 40 entre 5 y finalmente encuentra x=8.

   parte 3

   Solución de problemas

   1. Cuando opere con proporciones, evite la suma y la resta. Muchos problemas con proporciones suenan así: “Para preparar un plato necesitas 4 patatas y 5 zanahorias. Si quieres usar 8 patatas, ¿cuántas zanahorias necesitarás? Mucha gente comete el error de intentar simplemente sumar los valores correspondientes. Sin embargo, para mantener la misma proporción, debes multiplicar en lugar de sumar. Esto está mal y solución correcta de esta tarea:

      • Método incorrecto: “8 - 4 = 4, es decir, a la receta se le agregaron 4 papas. Esto quiere decir que necesitas coger las 5 zanahorias anteriores y añadirles 4 para que… ¡algo anda mal! Las proporciones funcionan de manera diferente. Intentemoslo de nuevo".
      • Método correcto: “8/4 = 2, es decir, se ha duplicado el número de patatas. Esto significa que la cantidad de zanahorias se debe multiplicar por 2. 5 x 2 = 10, es decir, se deben usar 10 zanahorias en la nueva receta”.

   2. Convierte todos los valores a las mismas unidades. A veces el problema ocurre porque las cantidades tienen unidades diferentes. Antes de escribir la proporción, convierte todas las cantidades a las mismas unidades. Por ejemplo:

      • El dragón tiene 500 gramos de oro y 10 kilogramos de plata. ¿Cuál es la proporción de oro y plata en los tesoros de los dragones?
      • Los gramos y los kilogramos son unidades de medida diferentes, por lo que conviene unificarlas. 1 kilogramo = 1.000 gramos, es decir, 10 kilogramos = 10 kilogramos x 1.000 gramos/1 kilogramo = 10 x 1.000 gramos = 10.000 gramos.
      • Entonces el dragón tiene 500 gramos de oro y 10.000 gramos de plata.
      • La relación entre la masa de oro y la masa de plata es 500 gramos de oro/10.000 gramos de plata = 5/100 = 1/20.

   3. Escribe las unidades de medida en la solución del problema. En problemas con proporciones, es mucho más fácil encontrar un error si anotas sus unidades de medida después de cada valor. Recuerda que si el numerador y el denominador tienen las mismas unidades, se cancelan. Después de todas las abreviaturas posibles, tu respuesta debe tener las unidades de medida correctas.

      • Por ejemplo: dadas 6 cajas, y en cada tres cajas hay 9 bolas; ¿Cuántas bolas hay en total?
      • Método incorrecto: 6 cajas x 3 cajas/9 canicas =... Hmm, no se reduce nada, y la respuesta resulta ser “cajas x cajas/canicas”. No tiene sentido.
      • Método correcto: 6 cajas x 9 bolas/3 cajas = 6 cajas x 3 bolas/1 caja = 6 x 3 bolas/1= 18 bolas.

Proporción – igualdad de dos relaciones, es decir igualdad de la forma a: b = c: d , o, en otras notaciones, igualdad

Si a : b = C : d, Eso a Y d llamado extremo, A b Y C - promediomiembros dimensiones.

No hay forma de escapar de la “proporción”; muchas tareas no se pueden realizar sin ella. Sólo hay una salida: abordar esta relación y utilizar la proporción como salvavidas.

Antes de comenzar a considerar problemas de proporción, es importante recordar la regla básica de proporción:

En proporción

el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios

Si se desconoce alguna cantidad en una proporción, será fácil encontrarla según esta regla.

Por ejemplo,

Es decir, el valor desconocido de la proporción: el valor de la fracción, en el denominador cual es el numero que esta enfrente de la cantidad desconocida , en el numerador – el producto de los términos restantes de la proporción (independientemente de dónde se encuentre esta cantidad desconocida ).

Tarea 1.

De 21 kg de semilla de algodón se obtuvieron 5,1 kg de aceite. ¿Cuánto aceite se obtendrá con 7 kg de semilla de algodón?

Solución:

Entendemos que una disminución del peso de la semilla en un determinado factor conlleva una disminución del peso del aceite resultante en la misma cantidad. Es decir, las cantidades están directamente relacionadas.

Completemos la tabla:

Una cantidad desconocida es el valor de una fracción, en cuyo denominador - 21 - el valor opuesto a la incógnita en la tabla, en el numerador - el producto de los miembros restantes de la tabla de proporciones.

Por tanto, encontramos que de 7 kg de semilla saldrán 1,7 kg de aceite.

A Bien Al completar la tabla, es importante recordar la regla:

Los nombres idénticos deben escribirse uno debajo del otro. Escribimos porcentajes debajo de porcentajes, kilogramos debajo de kilogramos, etc.

Tarea 2.

Convertir a radianes.

Solución:

Lo sabemos . Completemos la tabla:

Tarea 3.

Se representa un círculo en papel a cuadros. ¿Cuál es el área del círculo si el área del sector sombreado es 27?

Solución:

Se ve claramente que el sector no sombreado corresponde al ángulo en (por ejemplo, porque los lados del sector están formados por las bisectrices de dos ángulos rectos adyacentes). Y como todo el círculo es , entonces el sector sombreado representa .

Hagamos una tabla:

¿De dónde viene el área de un círculo?

Tarea 4. Después de haber arado el 82% de todo el campo, aún quedaban 9 hectáreas por arar. ¿Cuál es el área de todo el campo?

Solución:

Todo el campo está al 100%, y como el 82% está arado, entonces queda por arar el 100%-82%=18% del campo.

Complete la tabla:

De donde obtenemos que todo el campo es (ha).

Y la siguiente tarea es una emboscada.

Tarea 5.

Un tren de pasajeros recorrió la distancia entre dos ciudades a una velocidad de 80 km/h en 3 horas. ¿Cuántas horas tardará un tren de carga en recorrer la misma distancia a una velocidad de 60? kilómetros por hora?

Si resuelves este problema de manera similar al anterior, obtendrás lo siguiente:

El tiempo que tarda un tren de carga en recorrer la misma distancia que un tren de pasajeros es de horas. Es decir, resulta que caminando a menor velocidad, recorre (al mismo tiempo) la distancia más rápido que un tren con mayor velocidad.

¿Cuál es el error en el razonamiento?

Hasta ahora hemos considerado problemas en los que las cantidades eran directamente proporcionales entre sí , eso es altura del mismo valor varias veces, da altura la segunda cantidad asociada a ella por la misma cantidad (de manera similar con una disminución, por supuesto). Y aquí tenemos una situación diferente: la velocidad de un tren de pasajeros más La velocidad de un tren de mercancías es varias veces mayor, pero el tiempo necesario para recorrer la misma distancia lo requiere un tren de pasajeros. menor tantas veces como un tren de mercancías. Es decir, valores entre sí. inversamente proporcional .

En este caso es necesario modificar ligeramente el esquema que hemos utilizado hasta ahora.

Solución:

Razonamos así:

Un tren de pasajeros viajó durante 3 horas a una velocidad de 80 km/h, por lo tanto recorrió km. Esto significa que un tren de mercancías recorrerá la misma distancia en una hora.

Es decir, si estuviéramos haciendo una proporción, primero deberíamos haber intercambiado las celdas de la columna derecha. Obtendría: h.

Es por eso, tenga cuidado al establecer las proporciones. Primero, averigüe con qué tipo de dependencia está lidiando: directa o inversa.

En la última lección en video vimos cómo resolver problemas con porcentajes usando proporciones. Luego, según las condiciones del problema, necesitábamos encontrar el valor de una u otra cantidad.

Esta vez ya nos han dado los valores inicial y final. Por lo tanto, los problemas requerirán que encuentres porcentajes. Más precisamente, ¿en qué porcentaje ha cambiado tal o cual valor? Intentemos.

Tarea. Las zapatillas cuestan 3200 rublos. Después del aumento de precio, empezaron a costar 4.000 rublos. ¿En qué porcentaje aumentó el precio de las zapatillas de deporte?

Entonces, lo resolvemos mediante proporción. El primer paso: el precio original era de 3200 rublos. Por tanto, 3200 rublos es 100%.

Además, nos dieron el precio final: 4.000 rublos. Este es un porcentaje desconocido, así que llamémoslo x. Obtenemos la siguiente construcción:

3200 — 100%
4000-x%

Bueno, la condición del problema está escrita. Hagamos una proporción:

La fracción de la izquierda se cancela perfectamente por 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Alternativamente, puedes acortarlo en 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Obtenemos la siguiente proporción:

Usemos la propiedad básica de la proporción: el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios. Obtenemos:

8 x = 100 10;
8x = 1000.

esto es común ecuación lineal. Desde aquí encontramos x:

x = 1000: 8 = 125

Entonces, obtuvimos el porcentaje final x = 125. ¿Pero es el número 125 una solución al problema? ¡De ninguna manera! Porque la tarea requiere averiguar en qué porcentaje aumentó el precio de las zapatillas de deporte.

¿En qué porcentaje? Esto significa que necesitamos encontrar el cambio:

∆ = 125 − 100 = 25

Recibimos el 25%: ese es el aumento del precio original. Esta es la respuesta: 25.

Problema B2 sobre porcentajes No. 2

Pasemos a la segunda tarea.

Tarea. La camiseta costó 1.800 rublos. Después de que se redujo el precio, empezó a costar 1.530 rublos. ¿En qué porcentaje se redujo el precio de la camiseta?

Traduzcamos la condición al lenguaje matemático. El precio original es de 1800 rublos, esto es 100%. Y el precio final es de 1.530 rublos; lo sabemos, pero no sabemos qué porcentaje es del valor original. Por tanto, lo denotamos por x. Obtenemos la siguiente construcción:

1800 — 100%
1530-x%

Según el registro recibido, creamos una proporción:

Para simplificar más cálculos, dividamos ambos lados de esta ecuación entre 100. En otras palabras, tacharemos dos ceros del numerador de las fracciones izquierda y derecha. Obtenemos:

Ahora usemos nuevamente la propiedad básica de la proporción: el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios.

18 x = 1530 1;
18x = 1530.

Todo lo que queda es encontrar x:

x = 1530: 18 = (765 2): (9 2) = 765: 9 = (720 + 45): 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

Obtuvimos que x = 85. Pero, como en el problema anterior, este número en sí mismo no es la respuesta. Volvamos a nuestra condición. Ahora sabemos que el nuevo precio obtenido tras la reducción es el 85% del anterior. Y para encontrar cambios, necesita del precio anterior, es decir. 100%, restar el nuevo precio, es decir 85%. Obtenemos:

∆ = 100 − 85 = 15

Este número será la respuesta: Atención: exactamente 15, y en ningún caso 85. ¡Eso es todo! El problema esta resuelto.

Los estudiantes atentos probablemente se preguntarán: ¿por qué en el primer problema, al encontrar la diferencia, restamos el número inicial del número final, y en el segundo problema hicimos exactamente lo contrario: del 100% inicial restamos el 85% final?

Seamos claros en este punto. Formalmente, en matemáticas, un cambio en una cantidad es siempre la diferencia entre el valor final y el valor inicial. En otras palabras, en el segundo problema deberíamos haber obtenido no 15, sino −15.

Sin embargo, este inconveniente en ningún caso debe incluirse en la respuesta, porque ya se tiene en cuenta en las condiciones del problema original. Dice directamente sobre la reducción de precio. Y una reducción de precios del 15% es lo mismo que un aumento de precios del −15%. Es por eso que en la solución y respuesta al problema basta con escribir 15, sin ningún inconveniente.

Eso es todo, espero que hayamos solucionado esto. Esto concluye nuestra lección de hoy. ¡Hasta luego!

En la sección sobre la pregunta: ¿Recuérdame cómo calcular porcentajes usando proporciones? dado por el autor ensilado la mejor respuesta es En una hoja de papel, multiplica los datos conocidos con una cruz y divídelos por el tercer número. Como eso:
500=100%
200=??? %
Total 200*100/500= 40%
De alguna manera así...))

Respuesta de Yergey Orlov[maestro]
Es mejor para el % de estudiantes débiles encontrar problemas matemáticos complejos usando proporciones.
Pueden encontrar porcentajes de un número sin proporciones.
En una calculadora multiplicas el número por el número de % dividido por 100.
Para encontrar el 13% de 70 necesitas 70 * 0,13
Hay 2 tipos más de problemas de %.
Para encontrar cuánto % es parte del todo. Aunque aquí puedes prescindir fácilmente de proporciones.
Pero cuando se conoce el % del número. Mucha gente ya está teniendo dificultades aquí.
Si encuentra un problema con %, tome lo que necesita encontrar como "x".
Pones una línea y escribes a qué corresponde.
A continuación escribes la siguiente información.
Por ejemplo, según el último tipo de tarea.
A muchos estudiantes de 4 les resulta difícil resolverlo.
El 5% de algún número es igual a, digamos, 12.
Encuentra el número en sí. Apliquemos esto a la química. Dan 5% solución ácida. La masa de la sustancia misma (sustancia pura, concentrada) en la solución es de 12 g Encuentre la masa de toda la solución.
Escribimos la proporción.
x-----100%
12 gramos-------5%
Multiplica en forma transversal.
x*5 = 12*100
Resuelve la ecuación resultante.
x=(12*100)5=240 (g.)

Respuesta de agatakristi[gurú]
De hecho, estudian porcentajes en quinto grado y les enseñan a calcular sin la ayuda de proporciones. yo enseño en una universidad Facultad de Economía, y más de la mitad de mis alumnos tienen dificultades con los porcentajes, lo que sinceramente me sorprende. Después de todo, ¡son cosas simples! ¿Qué clase de estudiantes son? ¡Si en la universidad tienen que explicar el plan de estudios de 5to grado!

Respuesta de caña[gurú]
5% de 68
68 - 100%
X - 5%
X = (5*68)/100 = 3,4
o
68*0,05 = 3,4 porque el porcentaje es 1/100 de un número

Ecuación cuadrática en Wikipedia
Ecuación cuadrática

Matemático de proporciones en Wikipedia
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