\u003e\u003e Matemáticas: convertir expresiones racionales

Conversión de expresión racional

Este párrafo resume todo lo que, a partir del séptimo grado, hablamos sobre lenguaje matemático, símbolos matemáticos, números, variables, grados, polinomios y fracciones algebraicas. Pero primero, hacemos una corta excursión al pasado.

Recuerde cómo en los grados inferiores la situación era con el estudio de números y expresiones numéricas.

Y, digamos, solo una etiqueta se puede pegar a una fracción: un número racional.

La situación es similar con las expresiones algebraicas: la primera etapa de su estudio es números, variables, grados ("números"); la segunda etapa de su estudio - monomios ("números naturales"); la tercera etapa de su estudio es polinomios ("enteros"); la cuarta etapa de su estudio son las fracciones algebraicas
("Números racionales"). Además, cada etapa posterior, por así decirlo, incorpora la anterior: entonces, los números, las variables, los grados son casos especiales de monomios; monomios: casos especiales de polinomios; Los polinomios son casos especiales de fracciones algebraicas. Por cierto, los siguientes términos a veces se usan en álgebra: un polinomio es un todo expresión, una fracción algebraica es una expresión fraccional (esto solo fortalece la analogía).

Continuamos la analogía anterior. Usted sabe que cualquier expresión numérica después de realizar todas las operaciones aritméticas incluidas en ella toma un valor numérico específico, un número racional (por supuesto, puede ser un número natural, un entero o una fracción, no importa). Del mismo modo, cualquier expresión algebraica compuesta de números y variables utilizando operaciones aritméticas y elevar a grado, después de realizar las transformaciones, toma la forma de una fracción algebraica y, nuevamente, en particular, puede resultar no ser una fracción, sino un polinomio o incluso un monomio). Para tales expresiones en álgebra, se usa el término expresión racional.

Un ejemplo   Probar identidad

Solución
Probar una identidad significa establecer que para todos los valores admisibles de las variables, sus lados izquierdo y derecho son expresiones idénticamente iguales. En álgebra, las identidades se prueban de varias maneras:

1) llevar a cabo transformaciones del lado izquierdo y, como resultado, recibir el lado derecho;

2) realizar transformaciones del lado derecho y, como resultado, recibir el lado izquierdo;

3) transforma individualmente las partes derecha e izquierda y recibe en el primer y segundo caso la misma expresión;

4) compensar la diferencia entre las partes izquierda y derecha y, como resultado de sus transformaciones, obtener cero.

La forma de elegir depende del tipo particular identidadesque estás invitado a probar. En este ejemplo, es aconsejable elegir el primer método.

Para convertir expresiones racionales, se ha adoptado el mismo procedimiento que para convertir expresiones numéricas. Esto significa que primero realizan las acciones entre paréntesis, luego las acciones de la segunda etapa (multiplicación, división, elevar a un poder), luego las acciones de la primera etapa (suma, resta).

Realizamos transformaciones por acciones, basadas en esas reglas los algoritmosque se desarrollaron en los párrafos anteriores.

Como puede ver, pudimos transformar el lado izquierdo de la identidad que se verifica en la forma del lado derecho. Esto significa que la identidad está probada. Sin embargo, recuerde que la identidad es válida solo para los valores permitidos de las variables. Los de este ejemplo son valores de a y b, excepto aquellos que hacen que los denominadores de fracciones sean cero. Por lo tanto, cualquier par de números (a; b) son válidos, excepto aquellos para los que se cumple al menos una de las igualdades:

2a - b \u003d 0, 2a + b \u003d 0, b \u003d 0.

Mordkovich A.G. Álgebra   . 8 cl.: Libro de texto. para la educación general instituciones.- 3ª ed., revisiones. - M .: Mnemosyne, 2001 .-- 223 s: enfermo.

Una lista completa de temas por clase, un calendario de acuerdo con el programa escolar en matemáticas en línea, material de video para matemáticas para descarga de grado 8

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Transformación de expresiones. Teoría detallada (2019)

Conversión de expresiones

A menudo escuchamos esta frase desagradable: "simplifica la expresión". Por lo general, al mismo tiempo tenemos algún tipo de espantapájaros como este:

"Sí, lo cual es mucho más simple", decimos, pero esa respuesta generalmente no funciona.

Ahora te enseñaré a no tener miedo de tales tareas. Además, al final de la lección, usted mismo simplificará este ejemplo a (¡solo!) El número habitual (sí, al diablo con estas letras).

Pero antes de comenzar esta lección, debe ser capaz de manejar fracciones y factorizar polinomios. Por lo tanto, primero, si no ha hecho esto antes, asegúrese de dominar los temas "" y "".

Leer Si es así, ahora estás listo.

Operaciones básicas de simplificación.

Ahora analizaremos las técnicas básicas que se utilizan para simplificar expresiones.

El más simple es

1. Trayendo similar

¿Qué son similares? Pasaste por esto en el séptimo grado, tan pronto como por primera vez en matemáticas aparecieron letras en lugar de números. Los similares son términos (monomios) con la misma parte de la letra. Por ejemplo, en suma, tales términos son y.

Recordado?

Para traer tal - significa agregar varios términos similares entre sí y obtener un término.

¿Pero cómo juntamos las letras? - preguntas.

Es muy fácil de entender si imagina que las letras son algún tipo de objeto. Por ejemplo, una carta es una silla. Entonces, ¿cuál es la expresión? Dos sillas más tres sillas, ¿cuánto será? Así es, sillas :.

Ahora prueba esta expresión :.

Para no confundirse, deje que letras diferentes denoten objetos diferentes. Por ejemplo, esta es (como siempre) una silla, y esta es una mesa. Entonces:

  mesa silla mesas sillas sillas mesas sillas

Los números por los cuales las letras se multiplican en tales términos se llaman coeficientes. Por ejemplo, en el monomio, el coeficiente es. Y en eso es igual.

Entonces, la regla de lanzar como:

Ejemplos:

Dar lo siguiente:

Respuestas:

2. (y similar, porque, por lo tanto, estos términos tienen la misma parte de letra).

2. Factorización

Esta suele ser la parte más importante para simplificar expresiones. Después de haber citado otras similares, la expresión resultante debe ser factorizada con mayor frecuencia, es decir, presentada como un producto. Esto es especialmente importante en las fracciones: porque para reducir la fracción, el numerador y el denominador deben estar representados en forma de producto.

En detalle, las formas de descomponer las expresiones en los factores que atravesó el tema "", por lo que aquí solo puede recordar lo que aprendió. Para hacer esto, decida algunos ejemplos   (necesita ser factorizado):

Soluciones:

3. Reducción de fracciones.

Bueno, ¿qué podría ser mejor que tachar una parte del numerador y el denominador y tirarlos de tu vida?

Esta es la belleza de la contracción.

Todo es simple:

Si el numerador y el denominador contienen los mismos factores, pueden reducirse, es decir, eliminarse de la fracción.

Esta regla se desprende de la propiedad principal de la fracción:

Es decir, la esencia de la operación de reducción es que el numerador y el denominador de la fracción se dividen por el mismo número (o por la misma expresión).

Para reducir la fracción, necesita:

1) numerador y denominador factor

2) si el numerador y el denominador tienen factores comunes, se pueden tachar.

El principio, creo, es claro?

Quiero prestar atención a un error típico en la reducción. Aunque este tema es simple, muchas personas están haciendo todo mal, sin darse cuenta de que cortar   eso significa para compartir   numerador y denominador para el mismo número.

No hay abreviaturas si la suma en el numerador o denominador.

Por ejemplo: necesitas simplificar.

Algunos hacen esto: eso está absolutamente mal.

Otro ejemplo: corte.

"El más inteligente" hará esto:

Dime que pasa aquí? Parecería: - este es un multiplicador, por lo que puede reducirlo.

Pero no: este es el factor de un solo término en el numerador, pero el numerador en sí no se factoriza como un todo.

Aquí hay otro ejemplo:

Esta expresión está factorizada, lo que significa que puede reducirla, es decir, dividir el numerador y el denominador por, y luego por:

Se puede dividir inmediatamente en:

Para evitar tales errores, recuerde la manera fácil de determinar si la expresión está factorizada:

La acción aritmética que se realiza en último lugar al calcular el valor de una expresión es la "principal". Es decir, si sustituye cualquier (cualquier) número en lugar de letras e intenta calcular el valor de la expresión, entonces si la última acción es la multiplicación, entonces tenemos un producto (la expresión se factoriza). Si la última acción es suma o resta, esto significa que la expresión no está factorizada (lo que significa que es imposible de reducir).

Para solucionarlo, decide por tu cuenta algunos ejemplos:

Respuestas:

1. Espero que no te hayas apresurado a recortar de inmediato y? Todavía no había suficiente para "reducir" unidades como esta:

La primera acción debería ser una factorización:

4. Suma y resta de fracciones. Traer fracciones a un denominador común.

Sumar y restar fracciones ordinarias es una operación familiar: buscamos un denominador común, multiplicamos cada fracción por el factor faltante y sumamos / restamos los numeradores. Recordemos:

Respuestas:

1. Los denominadores y son mutuamente simples, es decir, no tienen factores comunes. Por lo tanto, el NOC de estos números es igual a su producto. Este será el denominador común:

2. Aquí el denominador común es:

3. Aquí, en primer lugar, convertimos fracciones mixtas en fracciones incorrectas y luego, de acuerdo con el esquema habitual:

Es muy diferente si las fracciones contienen letras, por ejemplo:

Comencemos con uno simple:

a) Los denominadores no contienen letras

Aquí todo es igual que con las fracciones numéricas ordinarias: encontramos el denominador común, multiplicamos cada fracción por el factor faltante y sumamos / restamos los numeradores:

ahora en el numerador puede dar unos similares, si los hay, y factorizarlos:

Pruébalo tú mismo:

b) Los denominadores contienen letras

Recordemos el principio de encontrar un denominador común sin letras:

· En primer lugar, determinamos los factores comunes;

· Luego escribimos todos los factores comunes una vez;

· Y multiplíquelos por todos los demás factores, no comunes.

Para determinar los factores comunes de los denominadores, primero los descomponemos en factores simples:

Destacamos los factores comunes:

Ahora escribimos los factores comunes una vez y les sumamos todos los factores no comunes (no subrayados):

Este es el denominador común.

De vuelta a las letras. Los denominadores se dan exactamente de la misma manera:

· Factorizar los denominadores;

· Determinar los factores comunes (idénticos);

· Escriba todos los factores comunes una vez;

· Multiplíquelos por todos los demás factores, no comunes.

Entonces, en orden:

1) factorizar los denominadores:

2) determinar los factores comunes (idénticos):

3) escribimos todos los factores comunes una vez y los multiplicamos por todos los demás factores (no subrayados):

Entonces el denominador común está aquí. La primera fracción debe multiplicarse por la segunda por:

Por cierto, hay un truco:

Por ejemplo:

Vemos los mismos factores en los denominadores, solo que todos con diferentes indicadores. El denominador común irá:

en la medida

en la medida

en la medida

en grado

Vamos a complicar la tarea:

¿Cómo hacer fracciones con el mismo denominador?

Recordemos la propiedad principal de la fracción:

En ninguna parte se dice que el mismo número se puede restar (o sumar) del numerador y el denominador de la fracción. ¡Porque no es verdad!

Compruébelo usted mismo: tome cualquier fracción, por ejemplo, y agregue algún número al numerador y al denominador, por ejemplo. Que aprendiste

Entonces, la siguiente regla inquebrantable:

Cuando traes fracciones a un denominador común, ¡usa solo la operación de multiplicación!

Pero, ¿qué necesitas multiplicar para obtener?

Aquí adelante y multiplica. Multiplicar por:

Las expresiones que no se pueden factorizar se denominarán "factores elementales". Por ejemplo, este es un factor elemental. - también Y aquí, no: está factorizado.

¿Qué hay de la expresión? ¿Es elemental?

No, ya que se puede factorizar:

(ya leyó sobre factoring en el tema "").

Entonces, los factores elementales en los que descompone una expresión con letras son un análogo de factores simples en los que descompone números. Y haremos lo mismo con ellos.

Vemos que en ambos denominadores hay un multiplicador. Irá al denominador común en el grado (¿recuerda por qué?).

El multiplicador es elemental, y no son comunes, por lo que la primera fracción tendrá que multiplicarse simplemente por él:

Otro ejemplo:

Solución:

Antes de que el pánico multiplique estos denominadores, ¿necesita pensar cómo factorizarlos? Ambos representan:

Genial Entonces:

Otro ejemplo:

Solución:

Como de costumbre, factorizamos los denominadores. En el primer denominador, simplemente lo ponemos entre corchetes; en el segundo - la diferencia de los cuadrados:

Parece que no hay factores comunes. Pero si te fijas bien, se parecen ... Y la verdad:

Entonces escribiremos:

Es decir, resultó así: dentro del paréntesis, intercambiamos los términos, y el signo frente a la fracción cambió a lo opuesto. Tome nota, tendrá que hacer esto a menudo.

Ahora traemos a un denominador común:

Has aprendido Lo comprobaremos ahora.

Tareas para una solución independiente:

Respuestas:

Aquí debemos recordar uno más: la diferencia de cubos:

¡Tenga en cuenta que el denominador de la segunda fracción no es la fórmula "cuadrado de la suma"! El cuadrado de la suma se vería así:

Y - este es el llamado cuadrado incompleto de la suma: el segundo término en él es el producto del primero y el último, y no su producto doble. El cuadrado parcial de la suma es uno de los factores en la expansión de la diferencia de cubos:

¿Qué hacer si ya hay tres fracciones?

Si, lo mismo! En primer lugar, nos aseguraremos de que el número máximo de factores en los denominadores sea el mismo:

Tenga en cuenta: si cambia los signos dentro de un paréntesis, el signo delante de la fracción cambia al contrario. Cuando cambiamos los signos en el segundo paréntesis, el signo frente a la fracción vuelve a cambiar al opuesto. Como resultado, él (el signo antes de la fracción) no ha cambiado.

Escribimos el primer denominador completamente en el común denominador, y luego agregamos todos los factores que aún no se han escrito, del segundo y luego del tercero (y así sucesivamente, si hay más fracciones). Es decir, resulta así:

Hmm ... Con fracciones, está claro qué hacer. ¿Pero qué hay del deuce?

Es simple: ¿sabes cómo sumar fracciones? Entonces, ¡debes hacer que el deuce se convierta en una fracción! Recuerde: una fracción es una operación de división (el numerador se divide por el denominador si de repente se olvida). Y no hay nada más fácil que dividir el número entre. En este caso, el número en sí no cambiará, sino que se convertirá en una fracción:

Lo que necesitas!

5. Multiplicación y división de fracciones.

Bueno, la parte más difícil ya terminó. Y delante de nosotros está el más simple, pero al mismo tiempo el más importante:

Procedimiento

¿Cuál es el procedimiento para calcular una expresión numérica? Recuerde, considerando el significado de tal expresión:

¿Contaste?

Debería funcionar.

Entonces, te lo recuerdo.

El primer paso es calcular el grado.

El segundo es la multiplicación y la división. Si hay varias multiplicaciones y divisiones al mismo tiempo, puede hacerlas en cualquier orden.

Y finalmente, realizamos sumas y restas. De nuevo, en cualquier orden.

Pero: ¡la expresión entre paréntesis se evalúa fuera de turno!

Si varios corchetes se multiplican o dividen entre sí, primero calculamos la expresión en cada uno de los corchetes, y luego los multiplicamos o dividimos.

¿Y si hay otros corchetes dentro de los corchetes? Bueno, pensemos: alguna expresión está escrita entre paréntesis. Y al calcular una expresión, ¿qué se debe hacer primero? Correcto, calcule los corchetes. Bueno, lo descubrimos: primero, calculamos los corchetes internos, luego todo lo demás.

Entonces, el procedimiento para la expresión anterior es el siguiente (la acción actual se resalta en rojo, es decir, la acción que estoy haciendo ahora):

Bueno, eso es todo simple.

¿Pero esto no es lo mismo que una expresión con letras?

No, es lo mismo! Solo en lugar de operaciones aritméticas es necesario realizar operaciones algebraicas, es decir, las operaciones descritas en la sección anterior: echando como, adición de fracciones, reducción de fracciones, etc. La única diferencia es la factorización de los polinomios (a menudo lo usamos cuando trabajamos con fracciones). Muy a menudo, para factorizar, necesito usar I o simplemente quitar el factor común de los paréntesis.

Por lo general, nuestro objetivo es presentar la expresión en forma de una obra o un cociente.

Por ejemplo:

Simplifica la expresión.

1) Primero simplificamos la expresión entre paréntesis. Allí tenemos la diferencia de fracciones, y nuestro objetivo es presentarlo como un trabajo o un cociente. Por lo tanto, reducimos las fracciones a un denominador común y agregamos:

Ya no es posible simplificar esta expresión, todos los factores aquí son elementales (¿todavía recuerdas lo que esto significa?).

2) Obtenemos:

Multiplicación de fracciones: lo que podría ser más simple.

3) Ahora puedes acortar:

Bueno, eso es todo. Nada complicado, ¿verdad?

Otro ejemplo:

Simplifica la expresión.

Primero intente resolverlo usted mismo, y solo entonces vea la solución.

En primer lugar, determinaremos el orden de las acciones. Primero, realizamos la suma de fracciones entre paréntesis; en lugar de dos fracciones, obtenemos una. Luego realizamos la división de fracciones. Bueno, agreguemos el resultado a la última fracción. Esquemáticamente numerar acciones:

Ahora te mostraré todo el proceso, teñiendo la acción actual con rojo:

Al final te daré dos consejos útiles:

1. Si hay alguno, deben traerse de inmediato. En cualquier momento, se pueden haber formado otros similares en nosotros, es recomendable traerlos de inmediato.

2. Lo mismo se aplica a la reducción de fracciones: tan pronto como surja la oportunidad de reducir, debe usarse. La excepción son las fracciones que sumas o restas: si ahora tienen los mismos denominadores, entonces la reducción debe dejarse para más adelante.

Estas son las tareas para una solución independiente:

Y prometió desde el principio:

Soluciones (concisas):

Si ha tratado al menos los primeros tres ejemplos, entonces debería haber dominado el tema.

Ahora con ganas de aprender!

CONVERSIÓN DE EXPRESIONES. RESUMEN Y FÓRMULAS BÁSICAS

Operaciones básicas de simplificación:

• Casting como: para agregar (traer) dichos términos, debe agregar sus coeficientes y asignar la parte de la letra.
• Factorizacion:entre corchetes el factor común, la aplicación, etc.
• Reducción de fracciones: el numerador y el denominador de una fracción se pueden multiplicar o dividir por el mismo número distinto de cero, a partir del cual la fracción no cambia.
     1) numerador y denominador factor
     2) si el numerador y el denominador tienen factores comunes, pueden tacharse.

  IMPORTANTE: ¡solo se pueden reducir los multiplicadores!

• Suma y resta de fracciones:
  ;
• Multiplicación y división de fracciones:
  ;

Del curso de álgebra del plan de estudios de la escuela, pasamos a detalles. En este artículo, examinaremos en detalle la forma especial de expresiones racionales: fracciones racionales, y también analizaremos qué identidades características conversiones de fracciones racionales   tener lugar

Notamos de inmediato que las fracciones racionales, en el sentido en que las definimos a continuación, se denominan fracciones algebraicas en algunos libros de texto. Es decir, en este artículo entendemos lo mismo por fracciones racionales y algebraicas.

Como de costumbre, comenzamos con una definición y ejemplos. A continuación, hablaremos sobre llevar la fracción racional a un nuevo denominador y sobre el cambio de signos entre los miembros de la fracción. Después de eso, analizaremos cómo se reducen las fracciones. Finalmente, detengámonos en la representación de una fracción racional como la suma de varias fracciones. Proporcionaremos toda la información con ejemplos con descripciones detalladas de soluciones.

Navegación de página.

Definición y ejemplos de fracciones racionales.

Las fracciones racionales se estudian en lecciones de álgebra en el grado 8. Usaremos la definición de una fracción racional, que se da en el libro de texto de álgebra para 8 clases de Yu. N. Makarychev y otros.

Esta definición no especifica si los polinomios en el numerador y el denominador de una fracción racional deben ser polinomios de forma estándar o no. Por lo tanto, suponemos que los registros de fracciones racionales pueden contener polinomios de forma estándar y no estándar.

Aquí hay algunos ejemplos de fracciones racionales. Entonces x / 8 y   - fracciones racionales. Y fracciones   y no se ajustan a la definición establecida de una fracción racional, ya que en el primero de ellos no hay un polinomio en el numerador, y en el segundo y en el numerador y en el denominador hay expresiones que no son polinomios.

Convertir el numerador y el denominador de una fracción racional

El numerador y el denominador de cualquier fracción son expresiones matemáticas independientes, en el caso de fracciones racionales son polinomios, en el caso particular de monomios y números. Por lo tanto, con el numerador y el denominador de la fracción racional, como con cualquier expresión, podemos realizar transformaciones idénticas. En otras palabras, la expresión en el numerador de una fracción racional se puede reemplazar por una expresión idéntica, como el denominador.

En el numerador y el denominador de una fracción racional, se pueden realizar transformaciones idénticas. Por ejemplo, en el numerador, puede agrupar y reducir dichos términos, y en el denominador, el producto de varios números, reemplazarlo con un valor. Y dado que el numerador y el denominador de una fracción racional son polinomios, también es posible llevar a cabo transformaciones características de los polinomios con ellos, por ejemplo, reducción a una forma estándar o presentación como producto.

Para mayor claridad, considere las soluciones de varios ejemplos.

Un ejemplo

Transformar fracción racional   para que el numerador contenga un polinomio de forma estándar y el denominador contenga el producto de polinomios.

Solución

La reducción de fracciones racionales al nuevo denominador se usa principalmente en la suma y resta de fracciones racionales.

Cambio de signos antes de una fracción, así como en su numerador y denominador.

La propiedad principal de una fracción se puede usar para cambiar los caracteres de los miembros de la fracción. De hecho, multiplicar el numerador y el denominador de una fracción racional por -1 es equivalente a cambiar sus signos, y el resultado será una fracción que es idénticamente igual a la dada. Dicha transformación debe abordarse con bastante frecuencia cuando se trabaja con fracciones racionales.

Por lo tanto, si los signos del numerador y el denominador de la fracción se cambian al mismo tiempo, obtenemos una fracción igual al original. La igualdad responde a esta afirmación.

Damos un ejemplo. Una fracción racional se puede reemplazar por una fracción idénticamente igual con signos alterados del numerador y el denominador de la forma.

Con las fracciones, se puede llevar a cabo una transformación idéntica más, en la cual el signo cambia en el numerador o en el denominador. Anunciaremos la regla correspondiente. Si reemplaza el signo de la fracción con el signo del numerador o denominador, obtendrá una fracción que es idénticamente igual al original. La declaración escrita corresponde a las igualdades y.

Probar estas igualdades no es difícil. La prueba se basa en las propiedades de multiplicación de números. Probemos el primero de ellos: Usando transformaciones similares, se demuestra la igualdad.

Por ejemplo, una fracción se puede reemplazar por la expresión o.

Concluimos esta sección con dos igualdades más útiles y. Es decir, si cambia el signo solo con el numerador o solo con el denominador, entonces la fracción cambiará su signo. Por ejemplo   y .

Las transformaciones consideradas, que permiten cambiar el signo de las fracciones, a menudo se usan en la transformación de expresiones fraccionalmente racionales.

Fracción de fracciones racionales

La base de la siguiente transformación de fracciones racionales, llamada reducción de fracciones racionales, es toda la propiedad básica de una fracción. Esta transformación corresponde a la igualdad, donde a, byc son algunos polinomios, y byc son distintos de cero.

A partir de la igualdad anterior, queda claro que la reducción de la fracción racional implica deshacerse del factor común en su numerador y denominador.

Un ejemplo

Reduce la fracción racional.

Solución

El factor común 2 es inmediatamente visible, podemos reducirlo (al grabar, los factores comunes por los cuales se reducen se tachan convenientemente). Tenemos . Como x 2 \u003d x · x e y 7 \u003d y 3 · y 4 (ver si es necesario), está claro que x es un factor común del numerador y denominador de la fracción obtenida, como lo es y 3. Realizamos una reducción por estos factores: . En esta reducción se completa.

Arriba, realizamos la reducción de la fracción racional secuencialmente. Y fue posible llevar a cabo la reducción en un solo paso, reduciendo inmediatamente la fracción en 2 · x · y 3. En este caso, la solución se vería así: .

La respuesta es:

.

Al reducir las fracciones racionales, el problema principal es que el factor común del numerador y el denominador está lejos de ser siempre visible. Además, no siempre existe. Para encontrar un factor común o verificar su ausencia, debe factorizar el numerador y el denominador de la fracción racional. Si no hay un factor común, entonces la fracción racional inicial no necesita ser reducida, de lo contrario, la reducción se lleva a cabo.

En el proceso de reducción de fracciones racionales, pueden surgir varios matices. Las principales sutilezas en los ejemplos y en detalles se discuten en la reducción del artículo de fracciones algebraicas.

Al concluir la discusión sobre la reducción de fracciones racionales, observamos que esta transformación es idéntica, y la principal dificultad en su implementación es la factorización de polinomios en el numerador y el denominador.

Representación de una fracción racional como una suma de fracciones.

La transformación de una fracción racional, que consiste en su representación como la suma de varias fracciones, o la suma de una expresión completa y una fracción, resulta ser bastante específica, pero en algunos casos muy útil.

Una fracción racional cuyo numerador contiene un polinomio que representa la suma de varios monomios siempre se puede escribir como la suma de fracciones con los mismos denominadores cuyos numeradores contienen los monomios correspondientes. Por ejemplo . Esta representación se explica por la regla de suma y resta de fracciones algebraicas con denominadores idénticos.

En general, cualquier fracción racional se puede representar como una suma de fracciones de muchas maneras diferentes. Por ejemplo, la fracción a / b se puede representar como la suma de dos fracciones: una fracción arbitraria c / dy una fracción igual a la diferencia entre las fracciones a / by c / d. Esta afirmación es cierta, ya que hay igualdad . Por ejemplo, una fracción racional se puede representar como una suma de fracciones de varias maneras:    Representamos la fracción inicial como la suma de la expresión completa y la fracción. Después de dividir el numerador por el denominador en una columna, obtenemos la igualdad . El valor de la expresión n 3 +4 para cualquier número entero n es un número entero. Un valor de fracción es un entero si y solo si su denominador es 1, −1, 3 o −3. Los valores n \u003d 3, n \u003d 1, n \u003d 5 yn \u003d −1, respectivamente, corresponden a estos valores.

La respuesta es:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Referencias

• Álgebra libro de texto por 8 cl. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; bajo la dirección de S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M .: Educación, 2008 .-- 271 p. : enfermo - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G.   Álgebra 7mo grado. A las 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones educativas / A. G. Mordkovich. - 13ª ed., Rev. - M .: Mnemosyne, 2009 .-- 160 p .: Ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
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• Gusev V.A., Mordkovich A.G.   Matemáticas (un manual para solicitantes de escuelas técnicas): libro de texto. subsidio.- M .; Superior escuela., 1984.-351 p., ill.

El artículo habla sobre la transformación de expresiones racionales. Considere los tipos de expresiones racionales, su transformación, agrupación, corchetes del factor común. Aprenderemos a representar expresiones racionales fraccionarias en forma de fracciones racionales.

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Definición y ejemplos de expresiones racionales.

   Definición 1

Las expresiones que se componen de números, variables, corchetes, grados con las acciones de suma, resta, multiplicación, división con la presencia de una línea de fracción se denominan expresiones racionales

Por ejemplo, tenemos 5, 2 3 · x - 5, - 3 · a · b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b), (x + 1) · (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3.

Es decir, estas son expresiones que no tienen una división en expresiones con variables. El estudio de las expresiones racionales comienza con el Grado 8, donde se llaman expresiones racionales fraccionarias, se presta especial atención a las fracciones en el numerador, que se transforman mediante reglas de transformación.

Esto nos permite proceder con la transformación de fracciones racionales de una forma arbitraria. Tal expresión puede considerarse como una expresión con la presencia de fracciones racionales y expresiones completas con signos de acción.

Los principales tipos de transformaciones de expresiones racionales.

Las expresiones racionales se usan para llevar a cabo transformaciones, agrupaciones, coacciones idénticas y otras acciones idénticas con números. El propósito de tales expresiones es la simplificación.

Ejemplo 1

Transforma la expresión racional 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1.

Solución

Se puede ver que tal expresión racional es la diferencia 3 · x x · y - 1 y 2 · x x · y - 1. Notamos que su denominador es idéntico. Esto significa que la reducción de tales términos toma la forma

3 x x x y - 1 - 2 x x x y - 1 \u003d x x y - 1 3 - 2 \u003d x x y - 1

La respuesta es: 3 x x x y - 1 - 2 x x x y - 1 \u003d x x y - 1.

Ejemplo 2

Realice la conversión 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x).

Solución

Inicialmente, realizamos las acciones entre paréntesis 3 · x - x \u003d 2 · x. Representamos esta expresión en la forma 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) \u003d 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. Llegamos a una expresión que contiene acciones con un solo paso, es decir, tiene suma y resta.

Deshacerse de los corchetes utilizando la propiedad de división. Luego obtenemos que 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x \u003d 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x.

Agrupe los factores numéricos con la variable x, después de lo cual puede realizar acciones con potencias. Lo entendemos

2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x \u003d (2 · (- 4): 2) · (x · x 2: x) · y 4 \u003d - 4 · x 2 · y 4

La respuesta es:   2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) \u003d - 4 · x 2 · y 4.

Ejemplo 3

Convierta una expresión de la forma x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2.

Solución

Primero, convierta el numerador y el denominador. Luego obtenemos una expresión de la forma (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2, y las acciones entre paréntesis se realizan primero. En el numerador, se realizan acciones y se agrupan los multiplicadores. Luego obtenemos una expresión de la forma x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 \u003d x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 2 4 · x + 2 \u003d x 2 - 1 2 x + 2.

Transformamos en el numerador la fórmula de la diferencia de cuadrados, luego obtenemos que

x 2 - 1 2 · x + 2 \u003d (x - 1) · (x + 1) 2 · (x + 1) \u003d x - 1 2

La respuesta: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 \u003d x - 1 2.

Representación racional

Las fracciones algebraicas se simplifican con mayor frecuencia en la resolución. Cada racional se lleva a esto de diferentes maneras. Es necesario realizar todas las acciones necesarias con polinomios para que la expresión racional al final pueda dar una fracción racional.

Ejemplo 4

Representar como una fracción racional a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.

Solución

Esta expresión se puede representar como un 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. La multiplicación se realiza principalmente por las reglas.

Deberías comenzar multiplicando, luego obtenemos que

a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a \u003d a - 5 · (a + 5) a + 3 · 1 a · (a + 5) \u003d a - 5 · (a + 5) · 1 ( a + 3) a (a + 5) \u003d a - 5 (a + 3) a

Producimos una representación del resultado con el original. Lo entendemos

a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a \u003d a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3

Ahora realizamos la resta:

a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a \u003d a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) · a · (a - 3) \u003d \u003d a + 5 · a + 3 - (a - 5) · (a - 3) a · (a - 3) · (a + 3) \u003d a 2 + 3 · a + 5 · a + 15 - (a 2 - 3 · a - 5 · a + 15) a · (a - 3) · (a + 3) \u003d \u003d 16 · aa · (a - 3) (a + 3) \u003d 16 a - 3; (a + 3) \u003d 16 a 2 - 9

Entonces es obvio que la expresión original tomará la forma 16 a 2 - 9.

La respuesta es:   a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a \u003d 16 a 2 - 9.

Ejemplo 5

Representa x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x como una fracción racional.

Solución

La expresión dada se escribe como una fracción cuyo numerador contiene x x + 1 + 1, y el denominador 2 · x - 1 1 + x. Es necesario hacer transformaciones x x + 1 + 1. Para hacer esto, suma la fracción y el número. Obtenemos que xx + 1 + 1 \u003d xx + 1 + 1 1 \u003d xx + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) \u003d xx + 1 + x + 1 x + 1 \u003d x + x + 1 x + 1 \u003d 2x + 1 x + 1

Se deduce que x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x \u003d 2 · x + 1 x + 1 2 · x - 1 1 + x

La fracción resultante se puede escribir como 2 · x + 1 x + 1: 2 · x - 1 1 + x.

Después de la división, llegamos a una fracción racional de la forma

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x \u003d 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 \u003d 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) · (2 \u200b\u200b· x - 1) \u003d 2 · x + 1 2 · x - 1

Puedes resolverlo de manera diferente.

En lugar de dividir por 2 · x - 1 1 + x, multiplicamos por el inverso de 1 + x 2 · x - 1. Aplicamos la propiedad de distribución y obtenemos que

xx + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x \u003d xx + 1 + 1: 2 · x - 1 1 + x \u003d xx + 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 \u003d \u003d xx + 1 · 1 + x 2 · x - 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 \u003d x · 1 + x (x + 1) · 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 \u003d \u003d x 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 \u003d x + 1 + x 2 · x - 1 \u003d 2 · x + 1 2 · x - 1

La respuesta es:   x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x \u003d 2 · x + 1 2 · x - 1.

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Este artículo está dedicado a transformación de expresiones racionales, en su mayoría fraccionalmente racional, es una de las preguntas clave en el curso de álgebra para 8 clases. Primero, recordamos qué tipo de expresión se llama racional. Luego, nos detenemos en llevar a cabo transformaciones estándar con expresiones racionales, como una agrupación de términos, agrupar factores comunes, reducir dichos términos, etc. Finalmente, aprenderemos cómo representar expresiones racionales fraccionarias en forma de fracciones racionales.

Navegación de página.

Definición y ejemplos de expresiones racionales.

Las expresiones racionales son un tipo de expresión estudiada en las clases de álgebra en la escuela. Damos una definición.

Definición

Las expresiones compuestas de números, variables, corchetes, grados con exponentes enteros, conectados usando los signos de las operaciones aritméticas +, -, · y:, donde la división se puede indicar mediante una barra de fracción, se llaman expresiones racionales.

Aquí hay algunos ejemplos de expresiones racionales:

Las expresiones racionales comienzan a estudiarse a propósito en el grado 7. Además, en el séptimo grado, los conceptos básicos para trabajar con los llamados expresiones racionales enteras, es decir, con expresiones racionales que no contienen una división en expresiones con variables. Para hacer esto, los monomios y polinomios, así como los principios para realizar acciones con ellos, se estudian sucesivamente. Todo este conocimiento al final le permite realizar la conversión de expresiones completas.

En octavo grado, continúan estudiando expresiones racionales que contienen dividir por una expresión con variables llamadas expresiones racionales fraccionarias. En este caso, se presta especial atención a la llamada fracciones racionales   (también se les llama fracciones algebraicas), es decir, fracciones cuyo numerador y denominador contienen polinomios. Esto finalmente hace posible convertir fracciones racionales.

Las habilidades adquiridas nos permiten pasar a la transformación de expresiones racionales de tipo arbitrario. Esto se debe a que cualquier expresión racional puede considerarse como una expresión compuesta de fracciones racionales y expresiones completas conectadas por signos de operaciones aritméticas. Y ya sabemos cómo trabajar con expresiones completas y fracciones algebraicas.

Los principales tipos de transformaciones de expresiones racionales.

Con expresiones racionales, se puede llevar a cabo cualquiera de las transformaciones idénticas básicas, ya sea una agrupación de términos o factores, la reducción de dichos términos, la realización de acciones con números, etc. Por lo general, el objetivo de estas transformaciones es simplificación de la expresión racional.

Un ejemplo

.

Solución

Está claro que esta expresión racional es la diferencia de dos expresiones y, además, estas expresiones son similares, ya que tienen la misma parte de la letra. Por lo tanto, podemos emitir estos términos:

La respuesta es:

.

Está claro que al realizar transformaciones con expresiones racionales, como, por cierto, con cualquier otra expresión, es necesario permanecer dentro del marco del procedimiento aceptado para realizar acciones.

Un ejemplo

Realizar una transformación de expresión racional.

Solución

Sabemos que las acciones entre paréntesis se realizan primero. Por lo tanto, antes que nada, transformamos la expresión entre paréntesis: 3 · x - x \u003d 2 · x.

Ahora puede sustituir el resultado en la expresión racional original :. Entonces llegamos a una expresión que contiene las acciones de un paso: suma y multiplicación.

Elimine los paréntesis al final de la expresión aplicando la propiedad de división de producto :.

Finalmente, podemos agrupar los factores numéricos y los factores con la variable x, luego realizar las acciones correspondientes con los números y aplicar :.

Sobre esto, se completa la transformación de la expresión racional, y como resultado hemos obtenido un monomio.

La respuesta es:

Un ejemplo

Transforma la expresión racional .

Solución

Primero, convierta el numerador y el denominador. Este orden de conversión de fracciones se explica por el hecho de que el rasgo de una fracción es inherentemente una notación diferente para la división, y la expresión racional inicial es esencialmente un cociente de la forma , y las acciones entre paréntesis se realizan primero.

Entonces, en el numerador, realizamos acciones con polinomios, primero multiplicación, luego resta, y en el denominador agrupamos los factores numéricos y calculamos su producto: .

También imaginaremos el numerador y el denominador de la fracción obtenida en forma de producto: de repente es posible una reducción en la fracción algebraica. Para hacer esto, use el numerador fórmula de diferencia cuadrada, y en el denominador sacamos los dos de paréntesis, tenemos .

La respuesta es:

.

Entonces, el conocimiento inicial de la transformación de expresiones racionales puede considerarse válido. Pasamos, por así decirlo, a los más dulces.

Representación racional

Muy a menudo, el objetivo final de las expresiones transformadoras es simplificar su apariencia. Desde este punto de vista, la forma más simple a la que se puede convertir una expresión fraccionalmente racional es una fracción racional (algebraica) y, en un caso particular, un polinomio, monomio o número.

¿Es posible representar alguna expresión racional en forma de fracción racional? La respuesta es si. Expliquemos por qué esto es así.

Como hemos dicho, cualquier expresión racional puede considerarse como polinomios y fracciones racionales conectadas por más, menos, multiplicar y dividir. Todas las acciones relevantes con polinomios dan una fracción polinómica o racional. A su vez, cualquier polinomio se puede convertir en una fracción algebraica escribiéndolo con el denominador 1. Y la suma, resta, multiplicación y división de fracciones racionales como resultado da una nueva fracción racional. Por lo tanto, habiendo completado todas las acciones con polinomios y fracciones racionales en una expresión racional, obtenemos una fracción racional.

Un ejemplo

Imagina la expresión como una fracción racional .

Solución

La expresión racional inicial es la diferencia entre una fracción y un producto de fracciones de la forma . Según el orden de las acciones, primero debemos realizar la multiplicación, y solo luego - la suma.

Comenzamos multiplicando fracciones algebraicas:

Sustituya el resultado en la expresión racional original :.

Llegamos a la resta de fracciones algebraicas con diferentes denominadores:

Entonces, habiendo realizado acciones con fracciones racionales que conforman la expresión racional original, la presentamos como una fracción racional.

La respuesta es:

.

Para consolidar el material, analizaremos la solución de otro ejemplo.

Un ejemplo

Imagine una expresión racional como una fracción racional.