I. Teorema de Vieta para la ecuación cuadrática reducida.

Suma de raíces de la ecuación cuadrática reducida. x 2 +px+q=0 es igual al segundo coeficiente tomado con signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙ x 2 =q.

Encuentra las raíces de la ecuación cuadrática dada usando el teorema de Vieta.

Ejemplo 1) x 2 -x-30=0. Esta es la ecuación cuadrática reducida. ( x 2 +px+q=0), segundo coeficiente pag=-1, y el miembro gratuito q=-30. Primero, asegurémonos de que esta ecuación tenga raíces y que las raíces (si las hay) se expresen en números enteros. Para ello basta con que el discriminante sea un cuadrado perfecto de un número entero.

Encontrar el discriminante D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Ahora bien, según el teorema de Vieta, la suma de las raíces debe ser igual al segundo coeficiente tomado con el signo opuesto, es decir ( -pag), y el producto es igual al término libre, es decir ( q). Entonces:

x1 +x2 =1; x1 ∙x2 =-30. Necesitamos elegir dos números cuyo producto sea igual a -30 , y la cantidad es unidad. estos son numeros -5 Y 6 . Respuesta: -5; 6.

Ejemplo 2) x 2 +6x+8=0. Tenemos la ecuación cuadrática reducida con el segundo coeficiente. p=6 y miembro gratuito q=8. Asegurémonos de que haya raíces enteras. Encontremos el discriminante re 1 re 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . El discriminante D 1 es el cuadrado perfecto del número. 1 , lo que significa que las raíces de esta ecuación son números enteros. Seleccionemos las raíces usando el teorema de Vieta: la suma de las raíces es igual a –ð=-6, y el producto de las raíces es igual a q=8. estos son numeros -4 Y -2 .

De hecho: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Respuesta: -4; -2.

Ejemplo 3) x 2 +2x-4=0. En esta ecuación cuadrática reducida, el segundo coeficiente p=2, y el miembro gratuito q=-4. Encontremos el discriminante re 1, ya que el segundo coeficiente es un número par. re 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. El discriminante no es un cuadrado perfecto del número, entonces hacemos conclusión: Las raíces de esta ecuación no son números enteros y no se pueden encontrar utilizando el teorema de Vieta. Esto significa que resolvemos esta ecuación, como de costumbre, usando las fórmulas (en este caso, usando las fórmulas). Obtenemos:

Ejemplo 4). Escribe una ecuación cuadrática usando sus raíces si x1 =-7, x2 =4.

Solución. La ecuación requerida se escribirá en la forma: x 2 +px+q=0, y, basado en el teorema de Vieta –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Entonces la ecuación tomará la forma: x2 +3x-28=0.

Ejemplo 5). Escribe una ecuación cuadrática usando sus raíces si:

II. teorema de vieta para una ecuación cuadrática completa hacha 2 +bx+c=0.

La suma de las raíces es menos. b, dividido por A, el producto de las raíces es igual a Con, dividido por A:

x1 + x2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

En matemáticas existen técnicas especiales con las que se pueden resolver muchas ecuaciones cuadráticas muy rápidamente y sin discriminantes. Además, con la formación adecuada, muchos empiezan a resolver ecuaciones cuadráticas de forma oral, literalmente "a primera vista".

Desafortunadamente, en el curso moderno de matemáticas escolares, estas tecnologías casi no se estudian. ¡Pero necesitas saberlo! Y hoy veremos una de estas técnicas: el teorema de Vieta. Primero, introduzcamos una nueva definición.

Una ecuación cuadrática de la forma x 2 + bx + c = 0 se llama reducida. Tenga en cuenta que el coeficiente para x 2 es 1. No existen otras restricciones sobre los coeficientes.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 es una ecuación cuadrática reducida;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - también reducido;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - pero esto no se da en absoluto, ya que el coeficiente de x 2 es igual a 2.

Por supuesto, cualquier ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0 se puede reducir; simplemente divida todos los coeficientes por el número a. Siempre podemos hacer esto, ya que la definición de ecuación cuadrática implica que a ≠ 0.

Es cierto que estas transformaciones no siempre serán útiles para encontrar raíces. A continuación nos aseguraremos de que esto se haga sólo cuando en la ecuación final dada por el cuadrado todos los coeficientes sean números enteros. Por ahora, veamos los ejemplos más simples:

Tarea. Convierte la ecuación cuadrática a la ecuación reducida:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Dividamos cada ecuación por el coeficiente de la variable x 2. Obtenemos:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - dividió todo entre 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - dividido por −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - dividido por 1,5, todos los coeficientes se convirtieron en números enteros;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - dividido por 2. En este caso, aparecieron coeficientes fraccionarios.

Como puedes ver, las ecuaciones cuadráticas anteriores pueden tener coeficientes enteros incluso si la ecuación original contenía fracciones.

Ahora formulemos el teorema principal, para el cual, de hecho, se introdujo el concepto de ecuación cuadrática reducida:

Teorema de Vieta. Considere la ecuación cuadrática reducida de la forma x 2 + bx + c = 0. Suponga que esta ecuación tiene raíces reales x 1 y x 2. En este caso, las siguientes afirmaciones son ciertas:

1. x 1 + x 2 = −b. En otras palabras, la suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al coeficiente de la variable x, tomado con el signo opuesto;
2. x 1 x 2 = c. El producto de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al coeficiente libre.

Ejemplos. Por simplicidad, consideraremos sólo las ecuaciones cuadráticas anteriores que no requieren transformaciones adicionales:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x1x2 = 20; raíces: x 1 = 4; x2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; raíces: x 1 = 3; x2 = −5;
3. x2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x 1 x 2 = 4; raíces: x 1 = −1; x2 = −4.

El teorema de Vieta nos brinda información adicional sobre las raíces de una ecuación cuadrática. A primera vista, esto puede parecer difícil, pero incluso con un mínimo de formación aprenderás a “ver” las raíces y literalmente a adivinarlas en cuestión de segundos.

Tarea. Resuelve la ecuación cuadrática:

1. x2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Intentemos escribir los coeficientes usando el teorema de Vieta y "adivinar" las raíces:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 es una ecuación cuadrática reducida.
   Según el teorema de Vieta tenemos: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Es fácil ver que las raíces son los números 2 y 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - también reducido.
   Según el teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. De ahí las raíces: 3 y 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - esta ecuación no se reduce. Pero ahora corregiremos esto dividiendo ambos lados de la ecuación por el coeficiente a = 3. Obtenemos: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Resolvemos usando el teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ raíces: −10 y −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - nuevamente el coeficiente para x 2 no es igual a 1, es decir ecuación no dada. Dividimos todo por el número a = −7. Obtenemos: x 2 − 11x + 30 = 0.
   Según el teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x1x2 = 30; A partir de estas ecuaciones es fácil adivinar las raíces: 5 y 6.

Del razonamiento anterior queda claro cómo el teorema de Vieta simplifica la solución de ecuaciones cuadráticas. Sin cálculos complicados, sin raíces aritméticas ni fracciones. Y ni siquiera necesitábamos un discriminante (ver la lección “Resolver ecuaciones cuadráticas”).

Por supuesto, en todas nuestras reflexiones partimos de dos supuestos importantes que, en general, no siempre se cumplen en los problemas reales:

1. La ecuación cuadrática se reduce, es decir el coeficiente para x 2 es 1;
2. La ecuación tiene dos raíces diferentes. Desde un punto de vista algebraico, en este caso el discriminante es D > 0; de hecho, inicialmente asumimos que esta desigualdad es cierta.

Sin embargo, en problemas matemáticos típicos se cumplen estas condiciones. Si el cálculo da como resultado una ecuación cuadrática "mala" (el coeficiente de x 2 es diferente de 1), esto se puede corregir fácilmente; mire los ejemplos al comienzo de la lección. Generalmente guardo silencio sobre las raíces: ¿qué clase de problema es éste que no tiene respuesta? Por supuesto que habrá raíces.

Así, el esquema general para resolver ecuaciones cuadráticas utilizando el teorema de Vieta es el siguiente:

1. Reducir la ecuación cuadrática a la dada, si esto aún no se ha hecho en el planteamiento del problema;
2. Si los coeficientes de la ecuación cuadrática anterior son fraccionarios, los resolvemos usando el discriminante. Incluso puedes volver a la ecuación original para trabajar con números más "útiles";
3. En el caso de coeficientes enteros, resolvemos la ecuación usando el teorema de Vieta;
4. Si no puedes adivinar las raíces en unos segundos, olvídate del teorema de Vieta y resuelve usando el discriminante.

Tarea. Resuelve la ecuación: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Entonces, tenemos ante nosotros una ecuación que no se reduce, porque coeficiente a = 5. Dividimos todo por 5, obtenemos: x 2 − 7x + 10 = 0.

Todos los coeficientes de la ecuación cuadrática son números enteros; intentemos resolverlos usando el teorema de Vieta. Tenemos: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. En este caso, las raíces son fáciles de adivinar: son 2 y 5. No es necesario contar usando el discriminante.

Tarea. Resuelve la ecuación: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Miremos: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - esta ecuación no se reduce, dividamos ambos lados por el coeficiente a = −5. Obtenemos: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - una ecuación con coeficientes fraccionarios.

Es mejor volver a la ecuación original y contar hasta el discriminante: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x2 = 0,4.

Tarea. Resuelve la ecuación: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Primero, dividamos todo por el coeficiente a = 2. Obtenemos la ecuación x 2 + 5x − 300 = 0.

Esta es la ecuación reducida, según el teorema de Vieta tenemos: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. En este caso, es difícil adivinar las raíces de una ecuación cuadrática; personalmente, me quedé muy atascado al resolver este problema.

Tendrás que buscar raíces a través del discriminante: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Si no recuerdas la raíz del discriminante, solo señalaré que 1225: 25 = 49. Por lo tanto, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Ahora que se conoce la raíz del discriminante, resolver la ecuación no es difícil. Obtenemos: x 1 = 15; x2 = −20.

Primer nivel

Ecuaciones cuadráticas. guía completa (2019)

En el término "ecuación cuadrática", la palabra clave es "cuadrática". Esto significa que la ecuación debe contener necesariamente una variable (esa misma x) al cuadrado, y no debe haber xes a la tercera (o mayor) potencia.

La solución de muchas ecuaciones se reduce a resolver ecuaciones cuadráticas.

Aprendamos a determinar que se trata de una ecuación cuadrática y no de otra ecuación.

Ejemplo 1.

Eliminemos el denominador y multipliquemos cada término de la ecuación por

Movamos todo hacia el lado izquierdo y organicemos los términos en orden descendente de potencias de X.

¡Ahora podemos decir con confianza que esta ecuación es cuadrática!

Ejemplo 2.

Multiplica los lados izquierdo y derecho por:

¡Esta ecuación, aunque estaba originalmente en ella, no es cuadrática!

Ejemplo 3.

Multipliquemos todo por:

¿Aterrador? El cuarto y segundo grado... Sin embargo, si hacemos una sustitución, veremos que tenemos una ecuación cuadrática simple:

Ejemplo 4.

Parece estar ahí, pero echemos un vistazo más de cerca. Movamos todo hacia el lado izquierdo:

Mira, se ha reducido y ¡ahora es una ecuación lineal simple!

Ahora intenta determinar por ti mismo cuáles de las siguientes ecuaciones son cuadráticas y cuáles no:

Ejemplos:

Respuestas:

1. cuadrado;
2. cuadrado;
3. no cuadrado;
4. no cuadrado;
5. no cuadrado;
6. cuadrado;
7. no cuadrado;
8. cuadrado.

Los matemáticos convencionalmente dividen todas las ecuaciones cuadráticas en los siguientes tipos:

• Completar ecuaciones cuadráticas- ecuaciones en las que los coeficientes y, así como el término libre c, no son iguales a cero (como en el ejemplo). Además, entre las ecuaciones cuadráticas completas hay dado- estas son ecuaciones en las que el coeficiente (la ecuación del ejemplo uno no solo es completa, ¡sino también reducida!)

• Ecuaciones cuadráticas incompletas- ecuaciones en las que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:

  Están incompletos porque les falta algún elemento. ¡¡¡Pero la ecuación siempre debe contener x al cuadrado!!! De lo contrario, ya no será una ecuación cuadrática, sino alguna otra ecuación.

¿Por qué se les ocurrió tal división? Parecería que hay una X al cuadrado, y está bien. Esta división está determinada por los métodos de solución. Veamos cada uno de ellos con más detalle.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

Primero, centrémonos en resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: ¡son mucho más simples!

Hay tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

1. , en esta ecuación el coeficiente es igual.
2. , en esta ecuación el término libre es igual a.
3. , en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.

1. yo. Como sabemos sacar la raíz cuadrada, expresemos a partir de esta ecuación

La expresión puede ser negativa o positiva. Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo, entonces: si, entonces la ecuación no tiene soluciones.

Y si, entonces obtenemos dos raíces. No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal es que debes saber y recordar siempre que no puede ser menos.

Intentemos resolver algunos ejemplos.

Ejemplo 5:

Resuelve la ecuación

Ahora solo queda extraer la raíz de los lados izquierdo y derecho. Después de todo, ¿recuerdas cómo extraer las raíces?

Respuesta:

¡¡¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!!!

Ejemplo 6:

Resuelve la ecuación

Respuesta:

Ejemplo 7:

Resuelve la ecuación

¡Oh! El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

¡sin raíces!

Para este tipo de ecuaciones que no tienen raíces, los matemáticos crearon un icono especial: (conjunto vacío). Y la respuesta se puede escribir así:

Respuesta:

Por tanto, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces. Aquí no hay restricciones, ya que no extrajimos la raíz.
Ejemplo 8:

Resuelve la ecuación

Saquemos el factor común de paréntesis:

De este modo,

Esta ecuación tiene dos raíces.

Respuesta:

El tipo más simple de ecuaciones cuadráticas incompletas (aunque todas son simples, ¿verdad?). Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Aquí prescindiremos de ejemplos.

Resolver ecuaciones cuadráticas completas

Te recordamos que una ecuación cuadrática completa es una ecuación de la forma ecuación donde

Resolver ecuaciones cuadráticas completas es un poco más difícil (sólo un poco) que éstas.

Recordar, ¡Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando un discriminante! Incluso incompleto.

Los otros métodos te ayudarán a hacerlo más rápido, pero si tienes problemas con ecuaciones cuadráticas Primero, domine la solución usando un discriminante.

1. Resolver ecuaciones cuadráticas usando un discriminante.

Resolver ecuaciones cuadráticas con este método es muy sencillo, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas.

Si, entonces la ecuación tiene raíz. Atención especial Da un paso. Discriminante () nos dice el número de raíces de la ecuación.

• Si, entonces la fórmula del paso se reducirá a. Por tanto, la ecuación sólo tendrá raíz.
• Si es así, no podremos extraer la raíz del discriminante en el paso. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

Volvamos a nuestras ecuaciones y veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 9:

Resuelve la ecuación

Paso 1 saltamos.

Paso 2.

Hallamos el discriminante:

Esto significa que la ecuación tiene dos raíces.

Paso 3.

Respuesta:

Ejemplo 10:

Resuelve la ecuación

La ecuación se presenta en forma estándar, por lo que Paso 1 saltamos.

Paso 2.

Hallamos el discriminante:

Esto significa que la ecuación tiene una raíz.

Respuesta:

Ejemplo 11:

Resuelve la ecuación

La ecuación se presenta en forma estándar, por lo que Paso 1 saltamos.

Paso 2.

Hallamos el discriminante:

Esto significa que no podremos extraer la raíz del discriminante. No hay raíces de la ecuación.

Ahora sabemos cómo escribir correctamente esas respuestas.

Respuesta: sin raíces

2. Resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta.

Si recuerdas, existe un tipo de ecuación que se llama reducida (cuando el coeficiente a es igual a):

Estas ecuaciones son muy fáciles de resolver utilizando el teorema de Vieta:

suma de raices dado la ecuación cuadrática es igual y el producto de las raíces es igual.

Ejemplo 12:

Resuelve la ecuación

Esta ecuación se puede resolver usando el teorema de Vieta porque .

La suma de las raíces de la ecuación es igual, es decir. obtenemos la primera ecuación:

Y el producto es igual a:

Compongamos y resolvamos el sistema:

• Y. La cantidad es igual a;
• Y. La cantidad es igual a;
• Y. La cantidad es igual.

y son la solución al sistema:

Respuesta: ; .

Ejemplo 13:

Resuelve la ecuación

Respuesta:

Ejemplo 14:

Resuelve la ecuación

Se da la ecuación, lo que significa:

Respuesta:

ECUACIONES CUADRÁTICAS. NIVEL PROMEDIO

¿Qué es una ecuación cuadrática?

En otras palabras, una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma donde - la incógnita, - algunos números y.

El número se llama el más alto o primer coeficiente ecuación cuadrática, - segundo coeficiente, A - miembro gratuito.

¿Por qué? Porque si la ecuación se vuelve inmediatamente lineal, porque desaparecerá.

En este caso, y puede ser igual a cero. En esta silla la ecuación se llama incompleta. Si todos los términos están en su lugar, es decir, la ecuación está completa.

Soluciones a varios tipos de ecuaciones cuadráticas.

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas:

Primero, veamos los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: son más simples.

Podemos distinguir los siguientes tipos de ecuaciones:

I., en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.

II. , en esta ecuación el coeficiente es igual.

III. , en esta ecuación el término libre es igual a.

Ahora veamos la solución para cada uno de estos subtipos.

Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo. Es por eso:

si, entonces la ecuación no tiene soluciones;

si tenemos dos raíces

No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal a recordar es que no puede ser menos.

Ejemplos:

Soluciones:

Respuesta:

¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!

El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

sin raíces.

Para anotar brevemente que un problema no tiene solución utilizamos el icono de conjunto vacío.

Respuesta:

Entonces, esta ecuación tiene dos raíces: y.

Respuesta:

Saquemos el factor común de paréntesis:

El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Esto significa que la ecuación tiene solución cuando:

Entonces, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces: y.

Ejemplo:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Factoricemos el lado izquierdo de la ecuación y encontremos las raíces:

Respuesta:

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas:

1. Discriminante

Resolver ecuaciones cuadráticas de esta forma es fácil, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas. Recuerde, ¡cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando un discriminante! Incluso incompleto.

¿Notaste la raíz del discriminante en la fórmula de raíces? Pero el discriminante puede ser negativo. ¿Qué hacer? Necesitamos prestar especial atención al paso 2. El discriminante nos dice el número de raíces de la ecuación.

• Si, entonces la ecuación tiene raíces:
• Si, entonces la ecuación tiene las mismas raíces y, de hecho, una raíz:

  Estas raíces se llaman raíces dobles.

• Si, entonces no se extrae la raíz del discriminante. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

¿Por qué es posible? diferentes cantidades¿raíces? Pasemos al significado geométrico de la ecuación cuadrática. La gráfica de la función es una parábola:

En un caso especial, que es una ecuación cuadrática, . Esto significa que las raíces de una ecuación cuadrática son los puntos de intersección con el eje de abscisas (eje). Una parábola puede no cruzar el eje en absoluto, o puede cruzarlo en uno (cuando el vértice de la parábola se encuentra en el eje) o dos puntos.

Además, el coeficiente es responsable de la dirección de las ramas de la parábola. Si, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, y si, hacia abajo.

Ejemplos:

Soluciones:

Respuesta:

Respuesta: .

Respuesta:

Esto significa que no hay soluciones.

Respuesta: .

2. Teorema de Vieta

Es muy fácil utilizar el teorema de Vieta: basta con elegir un par de números cuyo producto sea igual al término libre de la ecuación, y la suma sea igual al segundo coeficiente tomado con el signo opuesto.

Es importante recordar que el teorema de Vieta sólo se puede aplicar en ecuaciones cuadráticas reducidas ().

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Esta ecuación se puede resolver usando el teorema de Vieta porque . Otros coeficientes: ; .

La suma de las raíces de la ecuación es:

Y el producto es igual a:

Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual y comprobemos si su suma es igual:

• Y. La cantidad es igual a;
• Y. La cantidad es igual a;
• Y. La cantidad es igual.

y son la solución al sistema:

Por tanto, y son las raíces de nuestra ecuación.

Respuesta: ; .

Ejemplo #2:

Solución:

Seleccionemos pares de números que dan el producto y luego verifiquemos si su suma es igual:

y: dan en total.

y: dan en total. Para obtenerlo, basta con cambiar los signos de las supuestas raíces: y, al fin y al cabo, el producto.

Respuesta:

Ejemplo #3:

Solución:

El término libre de la ecuación es negativo y, por tanto, el producto de las raíces es un número negativo. Esto sólo es posible si una de las raíces es negativa y la otra es positiva. Por lo tanto la suma de las raíces es igual a diferencias de sus módulos.

Seleccionemos pares de números que dan en el producto, y cuya diferencia es igual a:

y: su diferencia es igual - no encaja;

y: - no apto;

y: - no apto;

y: - adecuado. Sólo queda recordar que una de las raíces es negativa. Como su suma debe ser igual, la raíz con el módulo menor debe ser negativa: . Verificamos:

Respuesta:

Ejemplo #4:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Se da la ecuación, lo que significa:

El término libre es negativo y, por tanto, el producto de las raíces es negativo. Y esto sólo es posible cuando una raíz de la ecuación es negativa y la otra es positiva.

Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual y luego determinemos qué raíces deben tener un signo negativo:

Evidentemente, sólo las raíces y son aptas para la primera condición:

Respuesta:

Ejemplo #5:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Se da la ecuación, lo que significa:

La suma de las raíces es negativa, lo que significa que al menos una de las raíces es negativa. Pero como su producto es positivo, significa que ambas raíces tienen un signo menos.

Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual a:

Obviamente, las raíces son los números y.

Respuesta:

De acuerdo, es muy conveniente encontrar raíces oralmente, en lugar de contar este desagradable discriminante. Intente utilizar el teorema de Vieta con la mayor frecuencia posible.

Pero el teorema de Vieta es necesario para facilitar y acelerar la búsqueda de las raíces. Para que puedas beneficiarte de su uso, debes llevar las acciones al automatismo. Y para ello, resuelve cinco ejemplos más. Pero no hagas trampa: ¡no puedes utilizar un discriminante! Sólo el teorema de Vieta:

Soluciones a tareas para el trabajo independiente:

Tarea 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Según el teorema de Vieta:

Como es habitual, comenzamos la selección con la pieza:

No apto por la cantidad;

: la cantidad es justo lo que necesitas.

Respuesta: ; .

Tarea 2.

Y nuevamente nuestro teorema favorito de Vieta: la suma debe ser igual y el producto debe ser igual.

Pero como no debe ser, pero, cambiamos los signos de las raíces: y (en total).

Respuesta: ; .

Tarea 3.

Mmmm... ¿Dónde es eso?

Debes mover todos los términos en una sola parte:

La suma de las raíces es igual al producto.

¡Está bien, detente! La ecuación no está dada. Pero el teorema de Vieta sólo es aplicable en las ecuaciones dadas. Entonces primero necesitas dar una ecuación. Si no puedes liderar, abandona esta idea y resuélvela de otra manera (por ejemplo, a través de un discriminante). Permítanme recordarles que dar una ecuación cuadrática significa igualar el coeficiente principal:

Excelente. Entonces la suma de las raíces es igual a y el producto.

Aquí elegir es muy fácil: después de todo, es un número primo (perdón por la tautología).

Respuesta: ; .

Tarea 4.

El miembro gratuito es negativo. ¿Qué tiene de especial esto? Y es que las raíces tendrán signos diferentes. Y ahora, durante la selección, comprobamos no la suma de las raíces, sino la diferencia en sus módulos: esta diferencia es igual, pero es un producto.

Entonces, las raíces son iguales a y, pero una de ellas es menos. El teorema de Vieta nos dice que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con signo opuesto, es decir. Esto significa que la raíz más pequeña tendrá un signo menos: y desde entonces.

Respuesta: ; .

Tarea 5.

¿Qué deberías hacer primero? Así es, da la ecuación:

Nuevamente: seleccionamos los factores del número y su diferencia debe ser igual a:

Las raíces son iguales a y, pero una de ellas es menos. ¿Cual? Su suma debe ser igual, lo que significa que el menos tendrá una raíz mayor.

Respuesta: ; .

Déjame resumir:

1. El teorema de Vieta se utiliza sólo en las ecuaciones cuadráticas dadas.
2. Usando el teorema de Vieta, puedes encontrar las raíces por selección, de forma oral.
3. Si no se da la ecuación o no se encuentra un par adecuado de factores del término libre, entonces no hay raíces enteras y es necesario resolverla de otra manera (por ejemplo, mediante un discriminante).

3. Método para seleccionar un cuadrado completo

Si todos los términos que contienen la incógnita se representan en forma de términos de fórmulas de multiplicación abreviadas (el cuadrado de la suma o la diferencia), luego de reemplazar las variables, la ecuación se puede presentar en forma de una ecuación cuadrática incompleta del tipo.

Por ejemplo:

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación: .

Solución:

Respuesta:

Ejemplo 2:

Resuelve la ecuación: .

Solución:

Respuesta:

En general, la transformación se verá así:

Esto implica: .

¿No te recuerda a nada? ¡Esto es algo discriminatorio! Así es exactamente como obtuvimos la fórmula discriminante.

ECUACIONES CUADRÁTICAS. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Ecuación cuadrática- esta es una ecuación de la forma donde - la incógnita, - los coeficientes de la ecuación cuadrática, - el término libre.

Ecuación cuadrática completa- una ecuación en la que los coeficientes no son iguales a cero.

Ecuación cuadrática reducida- una ecuación en la que el coeficiente, es decir: .

Ecuación cuadrática incompleta- una ecuación en la que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:

• si el coeficiente, la ecuación se ve así: ,
• si hay un término libre, la ecuación tiene la forma: ,
• si y, la ecuación se ve así: .

1. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.

1.1. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

1) Expresemos la incógnita: ,

2) Verifique el signo de la expresión:

• si, entonces la ecuación no tiene soluciones,
• si, entonces la ecuación tiene dos raíces.

1.2. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

1) Saquemos el factor común de paréntesis: ,

2) El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Por tanto, la ecuación tiene dos raíces:

1.3. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

Esta ecuación siempre tiene una sola raíz: .

2. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas completas de la forma donde

2.1. Solución usando discriminante

1) Llevemos la ecuación a la forma estándar: ,

2) Calculemos el discriminante usando la fórmula: , que indica el número de raíces de la ecuación:

3) Encuentra las raíces de la ecuación:

• si, entonces la ecuación tiene raíces, que se encuentran mediante la fórmula:
• si, entonces la ecuación tiene una raíz, que se encuentra mediante la fórmula:
• si, entonces la ecuación no tiene raíces.

2.2. Solución usando el teorema de Vieta

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida (ecuación de la forma donde) es igual y el producto de las raíces es igual, es decir , A.

2.3. Solución por el método de selección de un cuadrado completo.

Formulación y demostración del teorema de Vieta para ecuaciones cuadráticas. Teorema inverso de Vieta. Teorema de Vieta para ecuaciones cúbicas y ecuaciones de orden arbitrario.

Ecuaciones cuadráticas

teorema de vieta

Sean y denotan las raíces de la ecuación cuadrática reducida.
(1) .
Entonces la suma de las raíces es igual al coeficiente de , tomado con el signo opuesto. El producto de las raíces es igual al término libre:
;
.

Una nota sobre múltiples raíces

Si el discriminante de la ecuación (1) es cero, entonces esta ecuación tiene una raíz. Pero, para evitar formulaciones engorrosas, generalmente se acepta que en este caso la ecuación (1) tiene dos raíces múltiples o iguales:
.

Prueba uno

Encontremos las raíces de la ecuación (1). Para ello, aplica la fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática:
;
;
.

Encuentra la suma de las raíces:
.

Para encontrar el producto, aplique la fórmula:
.
Entonces

.

El teorema ha sido demostrado.

Prueba dos

Si los números son las raíces de la ecuación cuadrática (1), entonces
.
Abriendo los paréntesis.

.
Por tanto, la ecuación (1) tomará la forma:
.
Comparando con (1) encontramos:
;
.

El teorema ha sido demostrado.

Teorema inverso de Vieta

Que haya números arbitrarios. Entonces y son las raíces de la ecuación cuadrática.
,
Dónde
(2) ;
(3) .

Prueba del teorema inverso de Vieta

Considere la ecuación cuadrática
(1) .
Necesitamos demostrar que si y , entonces y son las raíces de la ecuación (1).

Sustituyamos (2) y (3) en (1):
.
Agrupamos los términos del lado izquierdo de la ecuación:
;
;
(4) .

Sustituyamos en (4):
;
.

Sustituyamos en (4):
;
.
La ecuación se mantiene. Es decir, el número es la raíz de la ecuación (1).

El teorema ha sido demostrado.

Teorema de Vieta para una ecuación cuadrática completa

Ahora considere la ecuación cuadrática completa.
(5) ,
donde y son algunos números. Además.

Dividamos la ecuación (5) por:
.
Es decir, tenemos la ecuación dada.
,
Dónde ; .

Entonces el teorema de Vieta para una ecuación cuadrática completa tiene la siguiente forma.

Sea y denote las raíces de la ecuación cuadrática completa.
.
Luego, la suma y el producto de las raíces están determinados por las fórmulas:
;
.

Teorema de Vieta para la ecuación cúbica

De manera similar, podemos establecer conexiones entre las raíces de una ecuación cúbica. Considere la ecuación cúbica
(6) ,
donde , , , son algunos números. Además.
Dividamos esta ecuación por:
(7) ,
Dónde , , .
Sean , , las raíces de la ecuación (7) (y la ecuación (6)). Entonces

.

Comparando con la ecuación (7) encontramos:
;
;
.

Teorema de Vieta para una ecuación de enésimo grado

De la misma manera, puedes encontrar conexiones entre las raíces , , ... , , para la ecuación enésimo grado
.

Teorema de Vieta para enésima ecuaciones grado tiene la siguiente forma:
;
;
;

.

Para obtener estas fórmulas, escribimos la ecuación de la siguiente manera:
.
Luego igualamos los coeficientes de , , , ... y comparamos el término libre.

Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Álgebra: libro de texto para octavo grado en instituciones de educación general, Moscú, Educación, 2006.

Al estudiar métodos para resolver ecuaciones de segundo orden en curso escolarálgebras, considere las propiedades de las raíces resultantes. Actualmente se les conoce como teorema de Vieta. En este artículo se dan ejemplos de su uso.

Ecuación cuadrática

La ecuación de segundo orden es la igualdad que se muestra en la foto de abajo.

Aquí los símbolos a, b, c son algunos números llamados coeficientes de la ecuación en cuestión. Para resolver una igualdad, es necesario encontrar valores de x que la hagan verdadera.

Tenga en cuenta que desde valor máximo la potencia a la que se eleva x es igual a dos, entonces el número de raíces en el caso general también es igual a dos.

Hay varias formas de resolver este tipo de igualdades. En este artículo consideraremos uno de ellos, que implica el uso del llamado teorema de Vieta.

Formulación del teorema de Vieta.

A finales del siglo XVI, el famoso matemático Francois Viète (francés) observó, al analizar las propiedades de las raíces de varias ecuaciones cuadráticas, que ciertas combinaciones de ellas satisfacen relaciones específicas. En particular, estas combinaciones son su producto y suma.

El teorema de Vieta establece lo siguiente: las raíces de una ecuación cuadrática, al sumarlas, dan la razón de los coeficientes lineales a los cuadráticos tomados con el signo opuesto, y cuando se multiplican, dan como resultado la razón del término libre al coeficiente cuadrático. .

Si forma general La ecuación se escribe como se muestra en la foto de la sección anterior del artículo, entonces matemáticamente este teorema se puede escribir en forma de dos igualdades:

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Donde r 1, r 2 es el valor de las raíces de la ecuación en cuestión.

Las dos igualdades anteriores se pueden utilizar para resolver varios problemas matemáticos diferentes. El uso del teorema de Vieta en ejemplos con soluciones se proporciona en las siguientes secciones del artículo.