En este tema, hablaremos en detalle sobre las propiedades de la integral indefinida y sobre cómo encontrar las integrales usando las propiedades mencionadas. También trabajaremos con la tabla de integrales indefinidas. El material que aquí se presenta es una continuación del tema "Integral indefinida. Inicio". Honestamente, en las pruebas, rara vez se encuentran integrales que se puedan tomar usando tablas típicas y (o) las propiedades más simples. Estas propiedades se pueden comparar con el alfabeto, cuyo conocimiento y comprensión son necesarios para comprender el mecanismo de resolución de integrales en otros temas. La integración usando tablas de integrales y propiedades integrales indefinidas a menudo se llama integración directa.

Adónde estoy dirigiendo: las funciones cambian, pero la fórmula para encontrar la derivada permanece sin cambios, en contraste con la integral, para la cual ya tenía que enumerar dos métodos.

Vayamos más lejos. Para encontrar la derivada $ y = x ^ (- \ frac (1) (2)) \ cdot (1 + x ^ (\ frac (1) (4))) ^ \ frac (1) (3) $ todo eso la misma fórmula $ (u \ cdot v) "= u" \ cdot v + u \ cdot v "$, en la que tienes que sustituir $ u = x ^ (- \ frac (1) (2)) $, $ v = (1 + x ^ (\ frac (1) (4))) ^ \ frac (1) (3) $. Pero para encontrar la integral $ \ int x ^ (- \ frac (1) (2)) \ cdot (1 + x ^ (\ frac (1) (4))) ^ \ frac (1) (3) dx $ requerirá un nuevo método: sustituciones de Chebyshev.

Y finalmente: para encontrar la derivada de la función $ y = \ sin x \ cdot \ frac (1) (x) $, aplicamos nuevamente la fórmula $ (u \ cdot v) "= u" \ cdot v + u \ cdot v "$, en el que en lugar de $ u $ y $ v $ sustituimos $ \ sin x $ y $ \ frac (1) (x) $, respectivamente. Pero $ \ int \ sin x \ cdot \ frac (1 ) (x) dx $ no es Más precisamente, no se expresa en términos de un número finito de funciones elementales.

Para resumir: donde se necesitaba una fórmula para encontrar la derivada, se requerían cuatro para la integral (y este no es el límite), y en el último caso, la integral se negó a ser encontrada en absoluto. Se modificó la función: se necesitaba un nuevo método de integración. Desde aquí tenemos tablas de varias páginas en libros de referencia. Ausencia método general(adecuado para resolver "manualmente") conduce a una gran cantidad de técnicas privadas que son aplicables solo para integrar su propia clase de funciones, extremadamente limitada (en temas posteriores trataremos estos métodos en detalle). Aunque no puedo dejar de notar la presencia del algoritmo de Risch (le aconsejo que lea la descripción en Wikipedia), solo es adecuado para el procesamiento programático de integrales indefinidas.

Pregunta número 3

Pero si hay tantas de estas propiedades, ¿cómo puedo aprender a tomar integrales? ¡Los derivados fueron más fáciles!

Para una persona, hasta ahora solo hay una forma: resolver tantos ejemplos de aplicación como sea posible. diferentes técnicas integración, de modo que cuando aparezca una nueva integral indefinida, pueda elegir un método de solución para ella, en base a su experiencia. Entiendo que la respuesta no es muy alentadora, pero no hay otra forma.

Propiedades integrales indefinidas

Número de propiedad 1

Derivado de integral indefinida es igual al integrando, es decir $ \ left (\ int f (x) dx \ right) "= f (x) $.

Esta propiedad es bastante natural, ya que la integral y la derivada son operaciones mutuamente inversas. Por ejemplo, $ \ left (\ int \ sin 3x dx \ right) "= \ sin 3x $, $ \ left (\ int \ left (3x ^ 2 + \ frac (4) (\ arccos x) \ right) dx \ right) "= 3x ^ 2 + \ frac (4) (\ arccos x) $ y así sucesivamente.

Número de propiedad 2

No integral definida del diferencial de alguna función es igual a esta función, es decir $ \ int \ mathrm d F (x) = F (x) + C $.

Habitualmente esta propiedad se percibe algo difícil, ya que parece que no hay nada debajo de la integral. Para evitar esto, puede escribir la propiedad especificada de la siguiente manera: $ \ int 1 \ mathrm d F (x) = F (x) + C $. Un ejemplo de cómo aplicar esta propiedad: $ \ int \ mathrm d (3x ^ 2 + e ^ x + 4) = 3x ^ 2 + e ^ x + 4 + C $ o, si lo desea, de esta forma: $ \ int 1 \; \ mathrm d (3x ^ 2 + e ^ x + 4) = 3x ^ 2 + e ^ x + 4 + C $.

Número de propiedad 3

El factor constante se puede tomar fuera del signo integral, es decir $ \ int a \ cdot f (x) dx = a \ cdot \ int f (x) dx $ (asumimos que $ a \ neq 0 $).

La propiedad es bastante sencilla y, quizás, no requiera comentarios. Ejemplos: $ \ int 3x ^ 5 dx = 3 \ cdot \ int x ^ 5 dx $, $ \ int (2x + 4e ^ (7x)) dx = 2 \ cdot \ int (x + 2e ^ (7x)) dx $, $ \ int kx ^ 2dx = k \ cdot \ int x ^ 2dx $ ($ k \ neq 0 $).

Número de propiedad 4

La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las integrales de estas funciones:

$$ \ int (f_1 (x) \ pm f_2 (x)) dx = \ int f_1 (x) dx \ pm \ int f_2 (x) dx $$

Ejemplos: $ \ int (\ cos x + x ^ 2) dx = \ int \ cos xdx + \ int x ^ 2 dx $, $ \ int (e ^ x - \ sin x) dx = \ int e ^ xdx - \ int \ sin x dx $.

En las pruebas estándar, generalmente se usan las propiedades No. 3 y No. 4, por lo que nos detendremos en ellas con más detalle.

Ejemplo No. 3

Encuentre $ \ int 3 e ^ x dx $.

Usamos la propiedad número 3 y sacamos una constante, es decir número $ 3 $, por signo de ineral: $ \ int 3 e ^ x dx = 3 \ cdot \ int e ^ x dx $. Ahora abramos la tabla de integrales y sustituyendo $ u = x $ en la fórmula №4 obtenemos: $ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $. De ello se deduce que $ \ int 3 e ^ x dx = 3 \ cdot \ int e ^ x dx = 3e ^ x + C $. Supongo que el lector tendrá inmediatamente una pregunta aquí, así que formularé esta pregunta por separado:

Pregunta número 4

Si $ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $, entonces $ \ int 3 e ^ x dx = 3 \ cdot \ int e ^ x dx = 3 \ cdot \ left (e ^ x + C \ right) = 3e ^ x + 3C $! ¿Por qué simplemente escribieron $ 3e ^ x + C $ en lugar de $ 3e ^ x + 3C $?

La pregunta es perfectamente razonable. El hecho es que la constante integral (es decir, el mismo número $ C $) se puede representar en forma de cualquier expresión: lo principal es que esta expresión "recorre" todo el conjunto de números reales, es decir osciló entre $ - \ infty $ y $ + \ infty $. Por ejemplo, si $ - \ infty≤ C ≤ + \ infty $, entonces $ - \ infty≤ \ frac (C) (3) ≤ + \ infty $, por lo tanto, la constante $ C $ se puede representar en la forma $ \ frac (C) (3) $. Podemos escribir que $ \ int e ^ x dx = e ^ x + \ frac (C) (3) $ y luego $ \ int 3 e ^ x dx = 3 \ cdot \ int e ^ x dx = 3 \ cdot \ izquierda (e ^ x + \ frac (C) (3) \ right) = 3e ^ x + C $. Como puede ver, no hay ninguna contradicción aquí, pero se debe tener cuidado al cambiar la forma de la constante integral. Por ejemplo, si representa la constante $ C $ como $ C ^ 2 $, será un error. El punto es que $ C ^ 2 ≥ 0 $, es decir, $ C ^ 2 $ no cambia de $ - \ infty $ a $ + \ infty $, no "recorre" todos los números reales. De manera similar, sería un error representar una constante en la forma $ \ sin C $, porque $ -1≤ \ sin C ≤ 1 $, es decir $ \ sin C $ no "recorre" todos los valores del eje real. En el futuro, no discutiremos este tema especialmente, pero simplemente escribiremos la constante $ C $ para cada integral indefinida.

Ejemplo No. 4

Encuentra $ \ int \ left (4 \ sin x- \ frac (17) (x ^ 2 + 9) -8x ^ 3 \ right) dx $.

Usamos la propiedad # 4:

$$ \ int \ left (4 \ sin x- \ frac (17) (x ^ 2 + 9) -8x ^ 3 \ right) dx = \ int 4 \ sin x dx- \ int \ frac (17) (x ^ 2 + 9) dx- \ int8x ^ 3dx $$

Ahora muevamos las constantes (números) fuera de las integrales:

$$ \ int 4 \ sin x dx- \ int \ frac (17) (x ^ 2 + 9) dx- \ int8x ^ 3dx = 4 \ int \ sin x dx-17 \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 9) -8 \ int x ^ 3dx $$

A continuación, trabajaremos con cada integral obtenida por separado. La primera integral, es decir $ \ int \ sin x dx $, es fácil de encontrar en la tabla de integrales del número 5. Sustituyendo $ u = x $ en la fórmula №5 obtenemos: $ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $.

Para encontrar la segunda integral $ \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 9) $, debes aplicar la fórmula 11 de la tabla de integrales. Sustituyendo $ u = x $ y $ a = 3 $ en él, obtenemos: $ \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 9) = \ frac (1) (3) \ cdot \ arctg \ frac (x ) (3) + C $.

Y, finalmente, para encontrar $ \ int x ^ 3dx $ usamos la fórmula # 1 de la tabla, sustituyendo $ u = x $ y $ \ alpha = 3 $ en ella: $ \ int x ^ 3dx = \ frac (x ^ (3 +1)) (3 + 1) + C = \ frac (x ^ 4) (4) + C $.

Se han encontrado todas las integrales en la expresión $ 4 \ int \ sin x dx-17 \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 9) -8 \ int x ^ 3dx $. Solo queda sustituirlos:

$$ 4 \ int \ sin x dx-17 \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 9) -8 \ int x ^ 3dx = 4 \ cdot (- \ cos x) -17 \ cdot \ frac (1 ) (3) \ cdot \ arctg \ frac (x) (3) -8 \ cdot \ frac (x ^ 4) (4) + C = \\ = -4 \ cdot \ cos x- \ frac (17) ( 3) \ cdot \ arctg \ frac (x) (3) -2 \ cdot x ^ 4 + C. $$

El problema está resuelto, la respuesta es: $ \ int \ left (4 \ sin x- \ frac (17) (x ^ 2 + 9) -8x ^ 3 \ right) dx = -4 \ cdot \ cos x- \ frac (17) (3) \ cdot \ arctg \ frac (x) (3) -2 \ cdot x ^ 4 + C $. Agregaré una pequeña nota a este problema:

Una nota muy pequeña

Quizás nadie necesite este inserto, pero aún mencionaré que $ \ frac (1) (x ^ 2 + 9) \ cdot dx = \ frac (dx) (x ^ 2 + 9) $. Aquellos. $ \ int \ frac (17) (x ^ 2 + 9) dx = 17 \ cdot \ int \ frac (1) (x ^ 2 + 9) dx = 17 \ cdot \ int \ frac (dx) (x ^ 2 +9) $.

Veamos un ejemplo en el que usamos la fórmula # 1 de la tabla de integrales para la integración de irracionalidades (raíces, en otras palabras).

Ejemplo No. 5

Encuentra $ \ int \ left (5 \ cdot \ sqrt (x ^ 4) - \ frac (14) (\ sqrt (x ^ 6)) \ right) dx $.

Para empezar, haremos las mismas acciones que en el ejemplo No. 3, a saber: expandir la integral en dos y mover las constantes fuera de los signos integrales:

$$ \ int \ left (5 \ cdot \ sqrt (x ^ 4) - \ frac (14) (\ sqrt (x ^ 6)) \ right) dx = \ int \ left (5 \ cdot \ sqrt (x ^ 4) \ derecha) dx- \ int \ frac (14) (\ sqrt (x ^ 6)) dx = \\ = 5 \ cdot \ int \ sqrt (x ^ 4) dx-14 \ cdot \ int \ frac ( dx) (\ sqrt (x ^ 6)) $$

Dado que $ \ sqrt (x ^ 4) = x ^ (\ frac (4) (7)) $, entonces $ \ int \ sqrt (x ^ 4) dx = \ int x ^ (\ frac (4) (7) ) dx $. Para encontrar esta integral, aplicamos la fórmula # 1, sustituyendo $ u = x $ y $ \ alpha = \ frac (4) (7) $: $ \ int x ^ (\ frac (4) (7)) dx = \ frac (x ^ (\ frac (4) (7) +1)) (\ frac (4) (7) +1) + C = \ frac (x ^ (\ frac (11) (7))) (\ frac (11) (7)) + C = \ frac (7 \ cdot \ sqrt (x ^ (11))) (11) + C $. Opcionalmente, puede representar $ \ sqrt (x ^ (11)) $ como $ x \ cdot \ sqrt (x ^ (4)) $, pero esto no es obligatorio.

Pasemos ahora a la segunda integral, es decir $ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ 6)) $. Dado que $ \ frac (1) (\ sqrt (x ^ 6)) = \ frac (1) (x ^ (\ frac (6) (11))) = x ^ (- \ frac (6) (11)) $, entonces la integral considerada se puede representar de la siguiente forma: $ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ 6)) = \ int x ^ (- \ frac (6) (11)) dx $. Para encontrar la integral resultante, aplicamos la fórmula No. 1 de la tabla de integrales, sustituyéndola $ u = x $ y $ \ alpha = - \ frac (6) (11) $: $ \ int x ^ (- \ frac (6) (11)) dx = \ frac (x ^ (- \ frac (6) (11) +1)) (- \ frac (6) (11) +1) + C = \ frac (x ^ (\ frac (5) (11))) (\ frac (5) (11)) + C = \ frac (11 \ cdot \ sqrt (x ^ (5))) (5) + C $.

Sustituyendo los resultados obtenidos, obtenemos la respuesta:

$$ 5 \ cdot \ int \ sqrt (x ^ 4) dx-14 \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ 6)) = 5 \ cdot \ frac (7 \ cdot \ sqrt (x ^ (11))) (11) -14 \ cdot \ frac (11 \ cdot \ sqrt (x ^ (5))) (5) + C = \ frac (35 \ cdot \ sqrt (x ^ (11))) (11) - \ frac (154 \ cdot \ sqrt (x ^ (5))) (5) + C. $$

Respuesta: $ \ int \ left (5 \ cdot \ sqrt (x ^ 4) - \ frac (14) (\ sqrt (x ^ 6)) \ right) dx = \ frac (35 \ cdot \ sqrt (x ^ (11) ))) (11) - \ frac (154 \ cdot \ sqrt (x ^ (5))) (5) + C $.

Y finalmente, tomamos una integral que cae bajo la fórmula No. 9 de la tabla de integrales. El ejemplo No. 6, al que ahora pasamos, podría resolverse de otra manera, pero esto se discutirá en los siguientes temas. Por ahora, permaneceremos dentro del alcance de la tabla.

Ejemplo No. 6

Encuentre $ \ int \ frac (12) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) dx $.

Para empezar, hagamos la misma operación que antes: moviendo la constante (número $ 12 $) más allá del signo integral:

$$ \ int \ frac (12) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) dx = 12 \ cdot \ int \ frac (1) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) dx = 12 \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) $$

La integral resultante $ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) $ ya está cerca de la tabla $ \ int \ frac (du) (\ sqrt (a ^ 2-u ^ 2)) $ (fórmula No. 9 de la tabla de integrales). La diferencia entre nuestra integral es que delante de $ x ^ 2 $ debajo de la raíz hay un coeficiente $ 7 $, que la integral tabular no permite. Por lo tanto, debe deshacerse de este siete sacándolo del signo raíz:

$$ 12 \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) = 12 \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (7 \ cdot \ left (\ frac (15) ( 7) -x ^ 2 \ right))) = 12 \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (7) \ cdot \ sqrt (\ frac (15) (7) -x ^ 2)) = \ frac (12) (\ sqrt (7)) \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (\ frac (15) (7) -x ^ 2)) $$

Si comparamos la integral de tabla $ \ int \ frac (du) (\ sqrt (a ^ 2-u ^ 2)) $ y $ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (\ frac (15) (7) - x ^ 2)) $ queda claro que tienen la misma estructura. Solo en la integral $ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (\ frac (15) (7) -x ^ 2)) $ en lugar de $ u $ es $ x $, y en lugar de $ a ^ 2 $ es $ \ frac (15) (7) $. Bueno, si $ a ^ 2 = \ frac (15) (7) $, entonces $ a = \ sqrt (\ frac (15) (7)) $. Sustituyendo $ u = x $ y $ a = \ sqrt (\ frac (15) (7)) $ en la fórmula $ \ int \ frac (du) (\ sqrt (a ^ 2-u ^ 2)) = \ arcsin \ frac (u) (a) + C $, obtenemos el siguiente resultado:

$$ \ frac (12) (\ sqrt (7)) \ cdot \ int \ frac (dx) (\ sqrt (\ frac (15) (7) -x ^ 2)) = \ frac (12) (\ sqrt (7)) \ cdot \ arcsin \ frac (x) (\ sqrt (\ frac (15) (7))) + C $$

Si tenemos en cuenta que $ \ sqrt (\ frac (15) (7)) = \ frac (\ sqrt (15)) (\ sqrt (7)) $, entonces el resultado se puede reescribir sin "tres pisos" fracciones:

$$ \ frac (12) (\ sqrt (7)) \ cdot \ arcsin \ frac (x) (\ sqrt (\ frac (15) (7))) + C = \ frac (12) (\ sqrt (7) )) \ cdot \ arcsin \ frac (x) (\ frac (\ sqrt (15)) (\ sqrt (7))) + C = \ frac (12) (\ sqrt (7)) \ cdot \ arcsin \ frac (\ sqrt (7) \; x) (\ sqrt (15)) + C $$

El problema se resuelve, se recibe la respuesta.

Respuesta: $ \ int \ frac (12) (\ sqrt (15-7x ^ 2)) dx = \ frac (12) (\ sqrt (7)) \ cdot \ arcsin \ frac (\ sqrt (7) \; x) (\ sqrt (15)) + C $.

Ejemplo No. 7

Encuentra $ \ int \ tg ^ 2xdx $.

Existen métodos para integrar funciones trigonométricas. Sin embargo, en este caso, puede arreglárselas con el conocimiento de fórmulas trigonométricas simples. Dado que $ \ tg x = \ frac (\ sin x) (\ cos x) $, entonces $ \ left (\ tg x \ right) ^ 2 = \ left (\ frac (\ sin x) (\ cos x) \ derecha) ^ 2 = \ frac (\ sin ^ 2x) (\ cos ^ 2x) $. Considerando $ \ sin ^ 2x = 1- \ cos ^ 2x $, obtenemos:

$$ \ frac (\ sin ^ 2x) (\ cos ^ 2x) = \ frac (1- \ cos ^ 2x) (\ cos ^ 2x) = \ frac (1) (\ cos ^ 2x) - \ frac (\ cos ^ 2x) (\ cos ^ 2x) = \ frac (1) (\ cos ^ 2x) -1 $$

Entonces $ \ int \ tg ^ 2xdx = \ int \ left (\ frac (1) (\ cos ^ 2x) -1 \ right) dx $. Ampliando la integral resultante a la suma de integrales y aplicando fórmulas tabulares, tendremos:

$$ \ int \ left (\ frac (1) (\ cos ^ 2x) -1 \ right) dx = \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2x) - \ int 1dx = \ tg x-x + C .. . $$

Respuesta: $ \ int \ tg ^ 2xdx = \ tg x-x + C $.

Dado que ahora solo hablaremos de la integral indefinida, omitiremos el término “indefinido” en aras de acortar.

Para aprender a calcular integrales (o, como dicen, integrar funciones), primero debes aprender la tabla de integrales:

Tabla 1. Mesa integral

2. ( ),tu>0. 2a. (α=0); 2b. (α = 1); 2c. (α= ). 3. 3a. 4. 5. 5a) 6a. 7. 7a.

8. 9. 10. 10 a. 11. 11a. 12. 13. 13a.

Además, deberá poder calcular la derivada de una función dada, lo que significa que debe recordar las reglas de diferenciación y la tabla de derivadas de funciones elementales básicas:

Tabla 2. Tabla de derivadas y reglas de diferenciación:

6.a .

(pecado y)  = cos y  y (porque tu)  = - pecado y y

También necesitamos poder encontrar el diferencial de una función. Recuerde que el diferencial de la función
encontrar por la fórmula
, es decir. el diferencial de una función es igual al producto de la derivada de esta función por el diferencial de su argumento... Es útil tener en cuenta las siguientes relaciones conocidas:

Tabla 3. Tabla diferencial

1. (B= Const) 2. ( ) 3. 4. 5. (B= Const) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

Además, estas fórmulas se pueden utilizar, tanto leyéndolas de izquierda a derecha como de derecha a izquierda.

Consideremos secuencialmente los tres métodos principales para calcular la integral. El primero se llama método integración directa. Basado en el uso de las propiedades de una integral indefinida, incluye dos técnicas principales: descomposición de una integral en una suma algebraica mas simple y signo diferencial, y estas técnicas se pueden utilizar tanto de forma independiente como en combinación.

A) Considerar descomposición en suma algebraica- esta técnica implica el uso de transformaciones idénticas del integrando y las propiedades de linealidad de la integral indefinida:
y.

Ejemplo 1. Encuentra integrales:

a)
; B)
;

v)
GRAMO)

mi)
.

Solución.

a)Transformamos el integrando dividiendo el numerador término por término por el denominador:

Aquí se utiliza la propiedad de los grados:
.

b) Primero, transformamos el numerador de la fracción, luego dividimos el numerador término por término por el denominador:

La propiedad de los grados también se usa aquí:
.

La propiedad se utiliza aquí:
,
.

.

Aquí se utilizan las fórmulas 2 y 5 de la Tabla 1.

Ejemplo 2. Encuentra integrales:

a)
; B)
;

v)
GRAMO)

mi)
.

Solución.

a)Transformamos el integrando usando la identidad trigonométrica:

.

Aquí nuevamente, se usa el término división del numerador por el denominador y las fórmulas 8 y 9 de la Tabla 1.

b) De manera similar, transformamos usando la identidad
:

.

c) Primero, dividimos el numerador término por término por el denominador y movemos las constantes fuera del signo integral, luego usamos la identidad trigonométrica
:

d) Aplicamos la fórmula para disminuir el grado:

,

e) Utilizando identidades trigonométricas, transformamos:

B) Considere una técnica de integración llamada n signo diferencial... Esta técnica se basa en la propiedad de invariancia de la integral indefinida:

si
, luego para cualquier función diferenciable y=y(NS) ocurre:
.

Esta propiedad permite ampliar significativamente la tabla de integrales más simples, ya que, debido a esta propiedad, las fórmulas de la Tabla 1 son válidas no solo para la variable independiente y, pero también en el caso de y- función diferenciable de alguna otra variable.

Por ejemplo,
, pero también
, y
, y
.

O
y
, y
.

La esencia del método es seleccionar el diferencial de alguna función en un integrando dado para que este diferencial distinguido, junto con el resto de la expresión, forme una fórmula tabular para esta función. Las constantes se pueden agregar apropiadamente para tal conversión, si es necesario. Por ejemplo:

(en el último ejemplo, ln (3 + X 2) en lugar de ln | 3 + X 2 | ya que la expresión 3 + X 2 siempre es positivo).

Ejemplo 3. Encuentra integrales:

a)
; B)
; v)
;

GRAMO)
; mi)
; mi)
;

gramo)
; h)
.

Solución.

a).

Aquí se utilizan las fórmulas 2a, 5a y 7a de la Tabla 1, las dos últimas de las cuales se obtuvieron simplemente poniendo el diferencial bajo el signo del diferencial:

Integrar funciones de la forma
ocurre muy a menudo en el marco del cálculo de integrales de funciones más complejas. Para no repetir cada vez los pasos descritos anteriormente, recomendamos recordar las fórmulas correspondientes que se dan en la tabla 1.

.

Aquí se utiliza la fórmula 3 de la Tabla 1.

c) De igual forma, teniendo en cuenta que transformamos:

.

Aquí usamos la Fórmula 2 en la Tabla 1.

GRAMO)

.

mi);

mi)

.

gramo);

h)

.

Ejemplo 4. Encuentra integrales:

a)
B)

v)
.

Solución.

a) Transformamos:

Aquí, también se usa la fórmula 3 de la Tabla 1.

b) Usamos la fórmula de reducción de grados
:

Aquí se utilizan las fórmulas 2a y 7a de la tabla 1.

Aquí, junto con las fórmulas 2 y 8 de la tabla 1, también se utilizan las fórmulas de la tabla 3:
,
.

Ejemplo 5. Encuentra integrales:

a)
; B)

v)
; GRAMO)
.

Solución.

a) El trabajo
se puede complementar (ver fórmulas 4 y 5 de la Tabla 3) al diferencial de la función
, dónde a y B- cualquier constante,
... De hecho, de donde
.

Entonces tenemos:

.

b) Usando la fórmula 6 de la Tabla 3, tenemos
, y
, lo que significa que la presencia en el integrando de la obra
significa una pista: debajo del signo diferencial, debe agregar la expresión
... Por lo tanto, obtenemos

c) Como en el punto b), el producto
se puede complementar con función diferencial
... Entonces obtenemos:

.

d) Primero, usamos las propiedades de linealidad de la integral:

Ejemplo 6. Encuentra integrales:

a)
; B)
;

v)
; GRAMO)
.

Solución.

a)Teniendo en cuenta que
(fórmula 9 de la tabla 3), transformamos:

b) Usando la fórmula 12 de la tabla 3, obtenemos

c) Teniendo en cuenta la fórmula 11 de la tabla 3, transformamos

d) Usando la fórmula 16 de la tabla 3, obtenemos:

.

Ejemplo 7. Encuentra integrales:

a)
; B)
;

v)
; GRAMO)
.

Solución.

a)Todas las integrales presentadas en este ejemplo tienen una característica común: el integrando contiene un trinomio cuadrado. Por lo tanto, el método para calcular estas integrales se basará en la misma transformación: la selección de un cuadrado completo en este trinomio cuadrado.

.

B)

.

v)

GRAMO)

El signo diferencial es una implementación oral de una técnica más general para calcular una integral, llamada método de sustitución o cambio de variable. De hecho, cada vez, eligiendo una fórmula adecuada en la Tabla 1 para la función obtenida como resultado de poner la función bajo el signo diferencial, reemplazamos mentalmente la letra y la función introducida bajo el signo diferencial. Por lo tanto, si la integración poniendo el diferencial bajo el signo del diferencial no tiene mucho éxito, puede cambiar directamente la variable. Más sobre esto en el siguiente párrafo.

El método de integración directa se basa en transformar el integrando, aplicar las propiedades de la integral indefinida y reducir el integrando a forma tabular.

Por ejemplo:

Examen

Examen

2. Método de sustitución (reemplazo de variable)

Este método se basa en la introducción de una nueva variable. Hacemos la sustitución en la integral:

;

Por tanto, obtenemos:

Por ejemplo:

1)

Examen:

2)

Examen(basado en la propiedad # 2 de la integral indefinida):

Integrado pieza a pieza

Permitir tu y v - funciones diferenciables. Revelemos el diferencial del producto de estas funciones:

,

dónde

Integremos la expresión resultante:

Por ejemplo:

Examen(basado en la propiedad # 1 de la integral indefinida):

2)

Solucionamos

Examen(basado en la propiedad # 1 de la integral indefinida):

PARTE PRACTICA

Tareas para una solución casera

Encuentra la integral:

a) ; mi) ;

v) ; h)

GRAMO) ; y)

mi); Para)

a) ; mi) ;

v); h) ;

mi); Para) .

a) ; v); mi)

B); G); mi)

Tareas a resolver en clases prácticas:

I. Método de integración directa

a) ; gramo);

B) ; h);

v) ; y)

GRAMO) ; Para)

mi) ; metro)

II. Método de sustitución (reemplazo de variable)

G); Para) ;

mi) ; l);

III. Integración por partes

TEMA №4

UN INTEGRAL ESPECÍFICO

En los cálculos matemáticos, a menudo se requiere encontrar el incremento función antiderivada al cambiar su argumento dentro de los límites especificados. Tal problema debe resolverse al calcular las áreas y volúmenes de varias figuras, al determinar el valor promedio de una función, al calcular el trabajo de una fuerza variable. Estos problemas se pueden resolver calculando las integrales definidas correspondientes.

El propósito de la lección:

1. Aprenda a calcular una integral definida usando la fórmula de Newton-Leibniz.

2. Saber aplicar el concepto de integral definida para la resolución de problemas aplicados.

PARTE TEÓRICA

EL CONCEPTO DE CIERTO INTEGRAL Y SU SENTIDO GEOMÉTRICO

Considere el problema de encontrar el área trapezoide curvo.

Que se le dé alguna función y = f (x), cuyo gráfico se muestra en la figura.

Fig 1. Significado geométrico de una integral definida.

En el eje 0x seleccionar puntos “a " y "v" y restaurar las perpendiculares desde ellos hasta la intersección con la curva. Forma delimitada por curva, perpendiculares y eje 0x llamado trapezoide curvo. Dividamos el intervalo en una serie de pequeños segmentos. Elijamos un segmento arbitrario. Terminemos un trapezoide curvo correspondiente a este segmento a un rectángulo. El área de dicho rectángulo se determina como:

Entonces el área de todos los rectángulos completados en el intervalo será igual a:

;

Si cada uno de los segmentos es lo suficientemente pequeño y tiende a cero, entonces el área total de los rectángulos tenderá al área del trapezoide curvo:

;

Entonces, el problema de calcular el área de un trapezoide curvilíneo se reduce a determinar el límite de la suma.

La suma integral es la suma de los productos del incremento del argumento y el valor de la función f (x) tomado en algún punto del intervalo dentro del cual cambia el argumento. Matemáticamente, el problema de encontrar el límite de la suma integral, si el incremento de la variable independiente tiende a cero, conduce al concepto de integral definida.

Función f (x ) en algún intervalo de x = a antes de x = en integrable si existe un número al que la suma integral tiende como Dx®0 ... En este caso, el número J son llamados una integral definida funciones f (x) en el intervalo:

;

dónde ] a, en[ - área de integración,

a- límite inferior de integración,

v–El límite superior de integración.

Así, desde el punto de vista de la geometría, una integral definida es el área de una figura delimitada por la gráfica de una función en un cierto intervalo] a, en [y el eje de abscisas.

Equipo de la lección: notas de lectura.

Criterios de evaluación

Orden de trabajo

Ejercicio 1.

Leer la conferencia número 9

Tarea 2.

Clase 9.

integral indefinida desde esta función:

10 .

( dx) "= d ( dx) = f (x) dx

20. La integral indefinida de la diferencial de una función es igual a esta función más una constante arbitraria:

30. El factor constante puede tomarse fuera del signo de la integral indefinida.

40. La integral indefinida de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de integrales indefinidas de los términos de las funciones:

50. Si a es una constante, entonces la siguiente fórmula es válida

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"Técnica de integración Integración directa"

Trabajo practico№ 7

Tema: Técnica de integración. Integración directa

Metas:

Estudiar fórmulas y reglas para calcular la integral indefinida.

aprender a resolver ejemplos para la integración directa

Equipo de la lección: notas de lectura.

Criterios de evaluación

Se otorga una calificación "5" por el correcto desempeño de todas las tareas del trabajo.

Se otorga una calificación "4" por completar la tarea 1 y la decisión correcta diez ejemplos cualesquiera de la tarea 2.

La calificación "3" se otorga por completar la tarea 1 y la solución correcta de siete ejemplos de la tarea 2.

Orden de trabajo

Ejercicio 1.

Leer la conferencia número 9

Usando las conferencias, escriba las preguntas y respuestas en un cuaderno:

1. ¿Qué propiedades de la integral indefinida conoces?

2. Escribe en las fórmulas básicas de integración

3. ¿Qué casos son posibles con la integración directa?

Tarea 2.

Resolver ejemplos para la auto-solución

Clase 9.

Tema “Integral indefinida. Integración directa "

La función F (x) se denomina antiderivada de la función f (x) si F "(x) = f (x).

Cualquier función continua f (x) tiene un conjunto infinito de antiderivadas, que se diferencian entre sí en términos constantes.

La expresión general F (x) + С de la colección de todas las antiderivadas para la función f (x) se llama integral indefinida desde esta función:

dx = F (x) + С si d (F (x) + С) = dx

Propiedades básicas de la integral indefinida

1 0 .La derivada de la integral indefinida es igual al integrando y su diferencial es igual al integrando:

( dx) "= d ( dx) = f (x) dx

2 0 ... La integral indefinida de la diferencial de una función es igual a esta función más una constante arbitraria:

3 0 ... El factor constante se puede sacar del signo integral indefinido.

4 0 La integral indefinida de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de integrales indefinidas de los términos de las funciones:

+ dx

5 0 ... Si a es una constante, entonces la siguiente fórmula es válida

Fórmulas de integración básica (integrales tabulares)

4.

5.

7.

9. = - ctgx + C

12. = arcosen + C

Al aplicar las fórmulas (3), (10). (11) el signo del valor absoluto se escribe solo en aquellos casos en que la expresión bajo el signo del logaritmo puede tener un valor negativo.

Cada una de las fórmulas es fácil de comprobar. Como resultado de diferenciar el lado derecho, se obtiene un integrando.

Integración directa.

La integración directa se basa en el uso directo de la tabla de integrales. Los siguientes casos pueden aparecer aquí:

1) esta integral se encuentra directamente a partir de la integral tabular correspondiente;

2) esta integral, después de aplicar las propiedades 3 0 y 4 0, se reduce a una o más integrales tabulares;

3) esta integral, después de transformaciones de identidad elementales sobre el integrando y la aplicación de las propiedades 3 0 y 4 0, se reduce a una o más integrales tabulares.

Ejemplos.

Con base en la propiedad 3 0, el factor constante 5 se saca del signo integral y, usando la fórmula 1, obtenemos

Solución. Usando la propiedad 3 0 y la fórmula 2, obtenemos

6

Solución. Usando las propiedades 3 0 y 4 0 y las fórmulas 1 y 2, tenemos

X + 3) = 4 + 12 = 4-4 + 12x + C = + 12x + C

La constante de integración C es igual a la suma algebraica de tres constantes de integración, ya que cada integral tiene su propia constante arbitraria (C 1 - C 2 + C 3 = C)

Solución. Cuadrando e integrando cada término, tenemos

Usando la fórmula trigonométrica 1 + ctg 2 x =

= = - ctgx - x + C

Solución. Restando y sumando el número 9 en el numerador del integrando, obtenemos

= = + = - =

X + 9 + C = - x +

Ejemplos de solución independiente

Calcule las integrales usando integración directa:

Control del conocimiento de los estudiantes:

comprobar el trabajo práctico;

Requisitos para el diseño de trabajos prácticos:

La tarea debe completarse en un cuaderno para trabajo practico

Entregar el trabajo después de clase