Tareas de interés: consideramos intereses utilizando la proporción. Tareas de interés: Cálculo estándar usando proporciones.

20.10.2019

(de lat. Rhoro.rTIO. - "Medición").

Si la proporción pero: b. igual a la proporción de:d., luego identidad pero:b. \u003d C:d. Llamada proporción.

Si, la igualdad continuará en los siguientes casos:

(aumento de la proporción),

(Reduciendo la proporción).

(elaborando la proporción agregando),

(Dibujando la proporción de resta).

Observamos que la preparación de proporciones es otra forma de resolver las tareas de interés.

Por ejemplo:

El estaño está hecho de un mineral llamado casiterita. ¿Cuántas toneladas de lata obtendrán de 25 toneladas de casiterita si contiene 78% TIN?

Decisión. Deja que se hagan una lata. Tomando una masa mineral para el 100%, escribimos:

Decidiendo 25.78 \u003d 100x Encontramos que x \u003d 19.5t.

El concepto de proporción está estrechamente interconectado con la proporcionalidad. Proporcionalidad - Esta es la relación constante de dos magnitudes entre sí. Por ejemplo, cuanto más atravesamos el pedal de gas en el automóvil, más fuerte será.

La proporcionalidad puede ser directa y reversa.

La proporcionalidad directa de un tamaño implica el crecimiento de la otra.

La proporcionalidad inversa existe cuando el crecimiento de un valor varias veces, reduce al otro al mismo tiempo. Continuando previo ejemplo- Proporcionalidad inversa entre presionar el pedal del freno y la velocidad del vehículo, más le damos el freno, menor velocidad.

La proporción es expresión matemáticaen el que se comparan dos o más números entre sí. Los valores absolutos y las cantidades se pueden comparar en proporciones. o Partes de todo más grandes. Las proporciones se pueden registrar y calcular de varias maneras diferentes, pero el mismo principio general se basa en el mismo.

Pasos

Parte 1

Que es proporción

Averigüe cuál es la proporción. Las proporciones se utilizan como en investigación científicay en la vida cotidiana para comparar diferentes cantidades y cantidades. En el caso más sencillo, se comparan dos números, pero la proporción puede incluir cualquier número de valores. Al comparar dos o más valores, siempre puede aplicar proporción. El conocimiento de cómo las magnitudes se correlacionan entre sí, por ejemplo, escribe fórmulas químicas o recetas de varios platos. Las proporciones serán útiles para usted para una variedad de objetivos.

Echa un vistazo a lo que significa la proporción. Como se señaló anteriormente, las proporciones le permiten determinar la proporción entre dos o más valores. Por ejemplo, si se necesitan 2 tazas de harina y 1 taza de azúcar para cocinar las cookies, decimos que hay una proporción (proporción) de 2 a 1 entre la cantidad de harina y azúcar.
- Con la ayuda de proporciones, puede mostrar cómo se pertenecen a los diferentes valores, incluso si no están interconectados directamente (a diferencia de la receta). Por ejemplo, si hay cinco niñas y diez niños en la clase, la proporción del número de niñas a la cantidad de niños es de 5 a 10. En este caso, un número no depende del otro y no está asociado con él. directamente: la proporción puede cambiar si alguien deja la clase o viceversa, los nuevos estudiantes llegarán a él. La proporción simplemente le permite comparar dos valores.
prestar atención a varios métodos Expresiones de proporciones. Las proporciones se pueden escribir con palabras o usar símbolos matemáticos.
- En la vida cotidiana, la proporción se expresa más a menudo por palabras (como se describe anteriormente). Las proporciones se utilizan en las áreas más diferentes, y si su profesión no está relacionada con las matemáticas u otras ciencias, la mayoría de las veces encontrará este método de grabación de proporciones.
- Las proporciones a menudo son registradas por un colon. Al comparar dos números utilizando la proporción, se pueden grabar a través de un colon, por ejemplo, 7:13. Si se comparan más de dos números, el colon se coloca constantemente entre cada dos números, por ejemplo, 10: 2: 23. En el ejemplo anterior, para clase, comparamos el número de niñas y niños, y 5 niñas: 10 niños. Por lo tanto, en este caso, la proporción se puede escribir en el Formulario 5:10.
- A veces, al grabar proporciones, el signo de la fracción usa. En nuestro ejemplo, con una clase, la proporción de 5 niñas a 10 niños se registrará como 5/10. En este caso, no debe leer el signo "Compartir" y debe recordarse que esto no es una fracción, sino la proporción de dos números diferentes.
Parte 2
Operaciones con proporciones.
1. Dar la proporción a la forma más sencilla. Las proporciones se pueden simplificar, así como la fracción, debido a la reducción de los miembros del divisor general incluido en ellos. Para simplificar la proporción, divida todos los números incluidos en él en divisores comunes. Sin embargo, no debe olvidarse sobre los valores iniciales que llevaron a esta proporción.
  - En el ejemplo anterior, un ejemplo con una clase de 5 niñas y 10 niños (5:10), ambos lados de la proporción tienen un divisor común 5. Objectivamente ambas cantidades en 5 (el divisor común más grande), obtenemos la proporción de 1 Chica en 2 niños (es decir, 1: 2). Sin embargo, cuando se utiliza una proporción simplificada, debe recordarse en los números iniciales: en la clase no 3 estudiante, y 15. La proporción abreviada solo muestra la relación entre el número de niñas y niños. Cada chica representa a dos niños, pero esto no significa que en Clase 1 niña y 2 niños.
  - Algunas proporciones no son para simplificar. Por ejemplo, la proporción de 3:56 no se puede reducir, ya que los valores entrantes no tienen divisor general: 3 es número simpleY 56 no se divide en 3.
2. Para las proporciones de "escalamiento" se pueden multiplicar o dividir. Las proporciones a menudo utilizan para aumentar o disminuir los números en la proporción entre sí. La multiplicación o la división de todos los incluidos en la proporción de valores por y el mismo número conservan la relación entre ellos. Por lo tanto, las proporciones pueden multiplicarse o dividirse en un factor de "gran escala".
  - Supongamos que la panadería necesita triplicar la cantidad de galletas horneadas. Si la harina y el azúcar se toman en la proporción de 2 a 1 (2: 1), para aumentar la cantidad de cookies, tres veces la proporción debe multiplicarse por 3. Como resultado, 6 tazas de harina en 3 vasos de azúcar se obtendrá (6: 3).
  - Puedes hacer lo contrario. Si el panadero necesita reducir la cantidad de cookies dos veces, ambas partes de la proporción deben dividirse en 2 (o multiplicadas por 1/2). El resultado es 1 taza de harina en una media mesa (1/2, o 0,5 vasos) de azúcar.
3. Aprenda de dos proporciones equivalentes para encontrar un valor desconocido. Otra tarea común es resolver cuáles son ampliamente utilizadas las proporciones, es encontrar un valor desconocido en una de las proporciones si se le da la segunda proporción. La regla de multiplicación de fracciones simplifica en gran medida esta tarea. Anote cada proporción en forma de una fracción, luego equipara a estas fracciones entre sí y encuentre el valor deseado.
  - Supongamos que tenemos un pequeño grupo de estudiantes de 2 niños y 5 niñas. Si queremos mantener la relación entre niños y niñas, ¿cuántos niños deberían estar en la clase, en los que se incluyen 20 chicas? Para empezar, haremos ambas proporciones, una de las cuales contiene un valor desconocido: 2 niños: 5 niñas \u003d x niños: 20 chicas. Si escribimos las proporciones en forma de fracciones, tendremos éxito 2/5 y X / 20. Después de multiplicar ambas partes de la igualdad a los denominadores, obtenemos la ecuación 5x \u003d 40; Dividimos 40 a 5 y al final encontramos x \u003d 8.
Parte 3.
Detección de errores
1. En las operaciones con proporciones, evite la adición y la resta. Muchas tareas con proporciones suenan como lo siguiente: "Para la preparación del plato, se requieren 4 patatas y 5 zanahorias. Si quieres usar 8 papas, ¿cuántas zanahorias necesitas? " Muchos cometen un error e intentan simplemente doblar los valores correspondientes. Sin embargo, para preservar la proporción anterior, debe multiplicarse y no doblar. Aquí está la solución incorrecta y correcta de esta tarea:
  - Método incorrecto: "8 - 4 \u003d 4, es decir, 4 patatas se agregaron en la receta. Por lo tanto, es necesario tomar las 5 zanahorias anteriores y agregarlas 4 a ... ¡algo está mal! Las proporciones actúan de manera diferente. Intentemoslo de nuevo".
  - El método correcto: "8/4 \u003d 2, es decir, la cantidad de papas aumentó en 2 veces. Esto significa que el número de zanahorias debe multiplicarse por 2. 5 x 2 \u003d 10, es decir, en una nueva receta que necesita usar 10 zanahorias ".
2. Traduzca todos los valores en las mismas unidades de medición. A veces, el problema surge debido al hecho de que los valores tienen diferentes unidades de medición. Antes de escribir la proporción, transfiera todos los valores a las mismas unidades de dimensión. Por ejemplo:
  - El dragón tiene 500 gramos de oro y 10 kilogramos de plata. ¿Cuál es la relación de oro a plata en las acciones de Dragon?
  - Los gramos y los kilogramos son diferentes unidades de medición, por lo que deben ser unificadas. 1 kilogramo \u003d 1,000 gramos, es decir, 10 kilogramos \u003d 10 kilogramos x 1 000 gramos / 1 kilogramo \u003d 10 x 1 000 gramos \u003d 10,000 gramos.
  - Entonces, el dragón tiene 500 gramos de oro y 10.000 gramos de plata.
  - La proporción de la masa de oro a la masa de plata es de 500 gramos de oro / 10,000 gramos de plata \u003d 5/100 \u003d 1/20.
3. Registre en la solución de la tarea de una unidad de medida. En las tareas con proporciones, es mucho más fácil encontrar un error si se registra después de cada valor de su unidad de medición. Recuerde que si en el numerador y el denominador están las mismas unidades de medición, se reducen. Después de todas las posibles abreviaturas en la respuesta, se deben obtener las unidades correctas de medición.
  - Por ejemplo: se administran 6 cajas, y en cada tres cajas hay 9 bolas; ¿Cuantas pelotas?
  - Método incorrecto: 6 cajas x 3 cajas / 9 bolas \u003d ... hmm, nada se reduce, y en respuesta, sale "x cajas / bolas". Esto no tiene sentido.
  - Método derecho: 6 cajas x 9 bolas / 3 cajas \u003d 6 cajas x 3 bolas / 1 caja \u003d 6 x 3 bolas / 1 \u003d 18 bolas.

Proporción -igualdad de dos relaciones, es decir, igualdad de la forma. A: b \u003d c: d , o, en otros símbolos, igualdad.

Si un uNA. : b. = c. : d.T. uNA. y d. Llamada extremo , pero b. y c. - medio Miembros dimensiones.

De la "proporción" que no va a ninguna parte, sin ella, no lo haga en muchos desafíos. La salida es solo una: para lidiar con esta actitud y usar la proporción como un corte de varitas.

Antes de continuar con la consideración de las tareas de proporción, es importante recordar la regla básica de la proporción:

En proporción

el trabajo de los miembros extremos es igual al producto del promedio.

Si se desconoce algún valor en proporción, será fácil encontrar, según esta regla.

Por ejemplo,

Es decir, un valor desconocido de proporción: el valor de la fracción, en denominador cuál es el número que se encuentra frente a un valor desconocido , en un numerador, el trabajo de los miembros restantes de la proporción. (Independientemente de dónde valga este valor desconocido ).

Tarea 1.

5.1 kg de aceite obtenido de 21 kg de semilla de algodón. ¿Cuántos petróleo saldrán de 7 kg de semilla de algodón?

Decisión:

Entendemos que la disminución en el peso de la semilla en algún momento, conlleva una disminución en el peso del aceite resultante al mismo tiempo. Es decir, los valores están asociados con la dependencia directa.

Tabla de llenado:

Valor desconocido: el valor de la fracción, en el denominador de los cuales - 21: el valor opuesto a lo desconocido en la tabla en el numerador es el producto de los miembros restantes de la tabla de proporciones.

Por lo tanto, obtenemos que 1.7 kg de aceite saldrá de 7 kg de semillas.

A derecho Rellene la tabla, es importante recordar la regla:

Los mismos nombres necesitan grabarse entre sí. Los porcentajes escriben bajo interés, kilogramos bajo kilogramos, etc.

Tarea 2.

Traducir a radianes.

Decisión:

Lo sabemos . Tabla de llenado:

Tarea 3.

En el papel a cuadros hay un círculo. ¿Cuál es el área del círculo, si el área del sector sombreado es 27?

Decisión:

Se ve claramente que el sector inacabado corresponde al ángulo en (por ejemplo, porque las partes del sector están formadas por los bisectorios de dos rincones rectos adyacentes). Y dado que todo el círculo es, entonces el sector tiene que ser pintado.

Hacer una mesa:

Desde donde está el área del círculo.

Tarea 4. Después del 82% de todo el campo arado, se mantuvieron otras 9 hectáreas. ¿Cuál es el área de todo el campo?

Decisión:

Todo el campo es del 100%, y desde el 82% arado, luego se mantuvo 100% -82% \u003d 18% del campo.

Rellena la tabla:

¿Dónde conseguimos que todo el campo es (ha)?

Y la siguiente tarea es para la emboscada.

Tarea 5.

La distancia entre los dos ciudades del tren de pasajeros pasó a una velocidad de 80 km / h en 3 horas. ¿Cuántas horas se mantendrá un tren de tren a la misma distancia a la velocidad 60? Km / c.?

Si decide esta tarea de manera similar a la anterior, obtendrá lo siguiente:

el tiempo que se requerirá para obtener un tren comercial para pasar por la misma distancia que el pasajero, hay una hora. Es decir, resulta que eso va a una velocidad menor, supera (por el mismo tiempo), la distancia es más rápida que el tren con mayor velocidad.

¿Cuál es el error del razonamiento?

Hasta ahora, hemos considerado las tareas donde los valores fueron amigo mudando directamente , es decir alturauna magnitud en algún tiempo da altura El segundo valor asociado con él es tanto tiempo (similar a la disminución, por supuesto). Y aquí tenemos otra situación: la velocidad del tren de pasajeros. más velocidades comerciales en algún momento, pero el tiempo requerido para superar la misma distancia es requerido por el tren de pasajeros menorpor el mismo tiempo que el tren comercial. Es decir, los valores entre sí. inversamente proporcional .

El esquema que utilizamos hasta ahora necesita ser un pequeño cambio en este caso.

Decisión:

Argumentamos así:

El tren de pasajeros a una velocidad de 80 km / h estaba conduciendo 3 horas, por lo tanto, condujo km. Y luego un tren de productos básicos se supera por h.

Es decir, si constituimos la proporción, deberíamos haberlo cambiado en lugares de columnas de derecha celular. Obtendría: h.

Por lo tanto, por favor, tenga cuidado al elaborar proporciones. Observe primero, con qué adicción están tratando con: directo o reversa.

En el último idioma de video, consideramos la solución de tareas de interés utilizando proporciones. Luego, por la condición del problema, necesitábamos encontrar el significado de uno u otro valor.

Esta vez, los valores iniciales y finales ya nos están dados. Por lo tanto, se requerirá interés en las tareas. Más precisamente, uno u otro valor cambió a cuánto por ciento. Intentemos.

Una tarea. Zapatillas de deporte cuesta 3200 rublos. Después de elevar el precio, comenzaron a costar 4.000 rublos. ¿Cuánto porcentaje fue criado por el precio de las zapatillas?

Entonces, decidimos a través de la proporción. El primer paso es el precio inicial fue de 3200 rublos. En consecuencia, 3200 rublos es del 100%.

Además, nos dan el precio máximo: 4000 rublos. Este es un número desconocido de interés, por lo que lo denotamos para X. Obtenemos el siguiente diseño:

3200 — 100%
4000 - x%

Bueno, se registra la condición de la tarea. Recopilamos proporción:

La fracción a la izquierda se reduce perfectamente con 100: 3200: 100 \u003d 32; 4000: 100 \u003d 40. Además, se puede reducir los 4: 32: 4 \u003d 8; 40: 4 \u003d 10. Obtenemos la siguiente proporción:

Utilizamos la propiedad básica de la proporción: el producto de miembros extremos es igual al producto del promedio. Obtenemos:

8 · x \u003d 100 · 10;
8x \u003d 1000.

Esto es habitual ecuación lineal. Desde aquí encontramos x:

x \u003d 1000: 8 \u003d 125

Entonces, obtuvimos el porcentaje final X \u003d 125. ¿Pero es el número 125 resolviendo el problema? ¡De ninguna manera! Debido a que las tareas deben saber cuánto por ciento se elevó el precio de las zapatillas de deporte.

Para cuántos por ciento, esto significa que necesitamos encontrar un cambio:

∆ = 125 − 100 = 25

Recibió un 25%: fue que el precio inicial se incrementó tanto. Esta es la respuesta: 25.

Tarea B2 por interés número 2

Ir a la segunda tarea.

Una tarea. La camisa valía 1,800 rublos. Después de los precios más bajos, comenzó a costar 1530 rublos. ¿Cuánto porcentaje fue el precio de una camisa?

Traducimos la condición de lenguaje matemático. El precio inicial de 1800 rublos es del 100%. Y el precio final es 1530 rublos, es conocido por nosotros, pero no se sabe cuánto por ciento oscila desde el valor inicial. Por lo tanto, lo denotamos para x. Obtenemos el siguiente diseño:

1800 — 100%
1530 - x%

Basado en el registro recibido, constituimos una proporción:

Dividamos ambas partes de esta ecuación a 100. En otras palabras, en la fracción izquierda y derecha, cruzaremos dos cero. Obtenemos:

Ahora utilizaremos la propiedad básica de la proporción: el producto de miembros extremos es igual al producto del promedio.

18 · x \u003d 1530 · 1;
18x \u003d 1530.

Queda por encontrar x:

x \u003d 1530: 18 \u003d (765 · 2): (9 · 2) \u003d 765: 9 \u003d (720 + 45): 9 \u003d 720: 9 + 45: 9 \u003d 80 + 5 \u003d 85

Tenemos ese X \u003d 85. Pero, como en la última tarea, este número en sí mismo no es una respuesta. Volvamos a nuestra condición. Ahora sabemos que el nuevo precio obtenido después de la disminución es el 85% del anterior. Y para encontrar cambios, necesitas desde el precio anterior, es decir, 100%, reste un nuevo precio, es decir, 85%. Obtenemos:

∆ = 100 − 85 = 15

Este número será la respuesta: Tenga en cuenta: es 15, y en ningún caso 85. ¡Eso es todo! La tarea se resuelve.

Los discípulos atentos seguramente preguntarán: por qué en la primera tarea, cuando nos restarán en la primera tarea, el número inicial se restó del número final, y en la segunda tarea ingresaron exactamente lo contrario: desde el 100% inicial de la final. 85%?

Vamos a aclarar este momento. Formalmente, en matemáticas, el cambio en el valor siempre se llama la diferencia entre el valor final y la inicial. En otras palabras, en la segunda tarea, deberíamos haber ocurrido no 15, y -15.

Sin embargo, esto menos de ninguna manera debe ser en respuesta, ya que ya se tiene en cuenta en la condición de la tarea original. Se cuenta directamente sobre los precios más bajos. Y la reducción de los precios en un 15% es la misma que el aumento de los precios es a -15%. Es por eso que para resolver y responder a la tarea, es suficiente para escribir solo 15, sin menos.

Todo, espero, con este momento lo descubrimos. En esta lección de hoy se completa. A nuevas reuniones!

En la sección sobre la pregunta, ¿recuerda a calcular el interés de la proporción? Publicado por el autor silia La mejor respuesta es En un papel, multiplicando los datos famosos y realizando el tercer número. Como eso:
500=100%
200=??? %
Total 200 * 100/500 \u003d 40%
Algo como eso...))

Responder de Eergei Orlov[Maestro]
Los problemas complejos en matemáticas en% de los estudiantes débiles son mejores para encontrar con la ayuda de proporciones.
Interés por el número que pueden encontrar sin proporciones.
Se multiplica en la calculadora el número en la cantidad de% dividida por 100.
Para encontrar el 13% de los 70 que necesitas 70 * 0.13
Esencial 2 más tipos de tareas en%.
Para encontrar SC-CO. El% es parte del conjunto. Aunque aquí sin proporciones puede hacer fácilmente.
Pero cuando se conoce el% del número. Ya hay muchas dificultades aquí.
Si la tarea está en%, para "X" acepta lo que necesita para encontrar.
Pones un guión y escribes lo que coincide.
A continuación, escribe los siguientes datos.
Por ejemplo, como el último tipo de tarea.
Muchos 4-shni son difíciles de resolverlo.
El 5% de algún número es igual a permitir 12.
Encuentra el número. Aplicar esto a la química. Dan 5% ácido. La masa de la mayoría K, (Pure In-VA, concentrada) en el distrito de 12 g. Encuentra la masa de todos los RR.
Escribimos la proporción.
x ------ 100%
12 g ------- 5%
Multiplica transversalmente.
x * 5 \u003d 12 * 100
Resolvemos la UR-E resultante.
x \u003d (12 * 100) 5 \u003d 240 (g.)

Responder de Agatakristi.[gurú]
De hecho, los porcentajes en el quinto grado están estudiando, y enséñales a calcular la proporción de proporciones. Enseño en la universidad facultad Económica, Y más de la mitad de mis estudiantes experimentan dificultades en las operaciones porcentuales, lo que me sorprende sinceramente. Después de todo, estas son cosas simples! ¡Qué fueron los estudiantes! ¡Si en la universidad hay que explicar el programa de 5º grado!

Responder de caña[gurú]
5% de 68
68 - 100%
X - 5%
X \u003d (5 * 68) / 100 \u003d 3.4
o
68 * 0.05 \u003d 3.4 toneladas. El porcentaje es 1/100

Cuadrado Wikipedia igual
Ecuación cuadrática

Proporción Matemáticas en Wikipedia
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