Resuelve el sistema de cuatro ecuaciones en forma general. Solución de sistemas por método de sustitución. Tareas para componer sistemas de ecuaciones lineales
Ecuaciones lineales en dos variables
Un estudiante tiene 200 rublos para almorzar en la escuela. Un pastel cuesta 25 rublos y una taza de café 10 rublos. ¿Cuántos pasteles y tazas de café puedes comprar por 200 rublos?
Denotemos el número de pasteles por x , y el número de tazas de café después y ... Entonces el costo de los pasteles se indicará con la expresión 25 x y el costo de las tazas de café después de 10 y .
25x -costo Xpasteles
10y -costo ytazas de café
La cantidad total debe ser de 200 rublos. Entonces obtenemos una ecuación con dos variables x y y
25x+ 10y= 200
¿Cuántas raíces tiene esta ecuación?
Todo depende del apetito del alumno. Si compra 6 pasteles y 5 tazas de café, entonces las raíces de la ecuación serán 6 y 5.
Se dice que el par de valores 6 y 5 son las raíces de la ecuación 25 x+ 10y\u003d 200. Se escribe como (6; 5), siendo el primer número el valor de la variable x , y el segundo es el valor de la variable y .
6 y 5 no son las únicas raíces que invierten la ecuación 25 x+ 10y\u003d 200 por identidad. Si lo desea, un estudiante puede comprar 4 pasteles y 10 tazas de café por los mismos 200 rublos:
En este caso, las raíces de la ecuación 25 x+ 10y\u003d 200 es un par de valores (4; 10).
Además, un estudiante no puede comprar café en absoluto, pero comprar pasteles por los 200 rublos. Entonces las raíces de la ecuación 25 x+ 10y\u003d 200 habrá valores 8 y 0
O viceversa, no comprando pasteles, sino comprando café por los 200 rublos. Entonces las raíces de la ecuación 25 x+ 10y\u003d 200 habrá valores 0 y 20
Intentemos enumerar todas las posibles raíces de la ecuación 25 x+ 10y\u003d 200. Acordemos que los valores x y y pertenecen al conjunto de números enteros. Y que estos valores sean mayores o iguales a cero:
x∈ Z, y∈ Z;
x ≥0, y ≥0
Por lo que será conveniente para el propio alumno. Es más conveniente comprar pasteles enteros que, por ejemplo, varios pasteles enteros y medio pastel. También es más conveniente tomar café en tazas enteras que, por ejemplo, varias tazas enteras y media taza.
Tenga en cuenta que por extraño x es imposible lograr la igualdad bajo ninguna y ... Entonces los valores x habrá los siguientes números 0, 2, 4, 6, 8. Y sabiendo x puedes determinar fácilmente y
Por lo tanto, obtuvimos los siguientes pares de valores (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Estos pares son soluciones o raíces de la ecuación 25 x+ 10y\u003d 200. Hacen de esta ecuación una identidad.
Ecuación de la forma ax + por \u003d c llamado ecuación lineal en dos variables... La solución o raíces de esta ecuación se llama par de valores ( x; y ), lo que lo convierte en una identidad.
Tenga en cuenta también que si una ecuación lineal en dos variables se escribe en la forma ax + b y \u003d c, luego dicen que está escrito en canónico forma (normal).
Algunas ecuaciones lineales en dos variables se pueden reducir a forma canónica.
Por ejemplo, la ecuación 2(16x+ 3y -4) = 2(12 + 8x − y) se puede recordar ax + por \u003d c ... Abriendo los corchetes en ambos lados de esta ecuación, obtenemos 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y ... Agrupamos los términos que contienen incógnitas en el lado izquierdo de la ecuación y los términos libres de incógnitas, a la derecha. Entonces tenemos 32x -16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 ... Damos términos similares en ambas partes, obtenemos la ecuación 16 x+ 8y\u003d 32. Esta ecuación se reduce a la forma ax + por \u003d c y es canónico.
La ecuación previamente considerada 25 x+ 10y\u003d 200 también es una ecuación lineal de dos variables en forma canónica. En esta ecuación, los parámetros un , segundo y c son iguales a 25, 10 y 200, respectivamente.
En realidad la ecuación ax + por \u003d c tiene innumerables soluciones. Resolver la ecuación 25x+ 10y= 200, buscamos sus raíces solo en el conjunto de números enteros. Como resultado, se obtuvieron varios pares de valores que convirtieron esta ecuación en una identidad. Pero en el set numeros racionales ecuación 25 x+ 10y\u003d 200 tendrá innumerables soluciones.
Para obtener nuevos pares de valores, debe tomar un valor arbitrario para x luego expresa y ... Por ejemplo, tomemos como variable x valor 7. Luego obtenemos la ecuación con una variable 25 × 7 + 10y= 200 en el que puedes expresarte y
Permitir x \u003d 15. Entonces la ecuación 25x+ 10y\u003d 200 se convertirá en 25 × 15 + 10y= 200. De esto encontramos que y = −17,5
Permitir x \u003d −3. Entonces la ecuación 25x+ 10y\u003d 200 se convierte en 25 × (−3) + 10y= 200. De esto encontramos que y = −27,5
Sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables
Para la ecuación ax + por \u003d c puedes tomar valores arbitrarios para x y encontrar valores para y ... Tomada por separado, tal ecuación tendrá innumerables soluciones.
Pero también sucede que las variables x y y están relacionados no por una, sino por dos ecuaciones. En este caso, forman el llamado sistema ecuaciones lineales con dos variables... Tal sistema de ecuaciones puede tener un par de valores (o en otras palabras: "una solución").
También puede suceder que el sistema no tenga ninguna solución. Un sistema de ecuaciones lineales puede tener un número infinito de soluciones en casos raros y excepcionales.
Dos ecuaciones lineales forman un sistema cuando los valores x y y se incluyen en cada una de estas ecuaciones.
Volvamos a la primera ecuación 25 x+ 10y\u003d 200. Uno de los pares de valores de esta ecuación fue el par (6; 5). Este es un caso en el que podrías comprar 6 pasteles y 5 tazas de café por 200 rublos.
Formulemos el problema de modo que el par (6; 5) se convierta en la única solución para la ecuación 25 x+ 10y\u003d 200. Para hacer esto, compondremos otra ecuación que relacionaría lo mismo x pasteles y y tazas de café.
Establezcamos el texto del problema de la siguiente manera:
“El colegial compró varios pasteles y varias tazas de café por 200 rublos. Un pastel cuesta 25 rublos y una taza de café 10 rublos. ¿Cuántos pasteles y tazas de café compró un estudiante si se sabe que el número de pasteles es uno más que el número de tazas de café? "
Ya tenemos la primera ecuación. Esta ecuación es 25 x+ 10y\u003d 200. Ahora hagamos una ecuación para la condición "El número de pasteles es uno más que el número de tazas de café" .
La cantidad de tortas es x , y el número de tazas de café es y ... Puedes escribir esta frase usando la ecuación x - y \u003d 1. Esta ecuación significaría que la diferencia entre pasteles y café es 1.
x \u003d y + 1. Esta ecuación significa que el número de pasteles es uno más que el número de tazas de café. Por tanto, para obtener la igualdad, se suma uno al número de tazas de café. Esto se puede entender fácilmente si usamos el modelo de pesos, que consideramos al estudiar los problemas más simples:
Tenemos dos ecuaciones: 25 x+ 10y\u003d 200 y x \u003d y + 1. Dado que los valores x y y , es decir, 6 y 5 se incluyen en cada una de estas ecuaciones, luego juntos forman un sistema. Escribamos este sistema. Si las ecuaciones forman un sistema, entonces están enmarcadas por el signo del sistema. El signo del sistema es una llave:
Resolvamos este sistema. Esto nos permitirá ver cómo llegamos a los valores 6 y 5. Existen muchos métodos para resolver este tipo de sistemas. Consideremos los más populares.
Método de sustitución
El nombre de este método habla por sí solo. Su esencia es sustituir una ecuación por otra, habiendo expresado previamente una de las variables.
No es necesario expresar nada en nuestro sistema. En la segunda ecuación x = y + 1 variable x ya expresado. Esta variable es igual a la expresión y+ 1. Luego puede sustituir esta expresión en la primera ecuación en lugar de la variable x
Después de la sustitución de expresiones y + 1 en la primera ecuación en lugar de x , obtenemos la ecuación 25(y+ 1) + 10y= 200 ... Es una ecuación lineal de una variable. Esta ecuación es bastante simple de resolver:
Encontramos el valor de la variable y ... Ahora sustituimos este valor en una de las ecuaciones y encontramos el valor x ... Para ello conviene utilizar la segunda ecuación x = y + 1. En él, sustituimos el valor y
Entonces, el par (6; 5) es una solución al sistema de ecuaciones, como pretendíamos. Comprobamos y nos aseguramos de que el par (6; 5) satisfaga el sistema:
Ejemplo 2
Sustituye la primera ecuación x= 2 + y en la segunda ecuación 3 x -2y\u003d 9. En la primera ecuación, la variable x es igual a 2 + y ... Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación en lugar de x
Ahora encontremos el valor x ... Para hacer esto, sustituya el valor y en la primera ecuación x= 2 + y
Entonces, la solución del sistema es el valor del par (5; 3)
Ejemplo 3... Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de sustitución:
Aquí, a diferencia de los ejemplos anteriores, una de las variables no se expresa explícitamente.
Para sustituir una ecuación por otra, primero debes hacerlo.
Es deseable expresar la variable que tiene un coeficiente de uno. El coeficiente uno tiene una variable x que está contenido en la primera ecuación x+ 2y\u003d 11. Expresaremos esta variable.
Después de expresión variable x , nuestro sistema tomará la siguiente forma:
Ahora sustituimos la primera ecuación por la segunda y encontramos el valor y
Sustituir y x
Entonces, la solución del sistema es un par de valores (3; 4)
Por supuesto, también puedes expresar la variable y ... Las raíces no cambiarán a partir de esto. Pero si expresas y, obtienes una ecuación no muy simple, que llevará más tiempo resolver. Se verá así:
Vemos que en este ejemplo para expresar x mucho más conveniente que expresar y .
Ejemplo 4... Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de sustitución:
En la primera ecuación, expresamos x ... Entonces el sistema tomará la forma:
y
Sustituir y en la primera ecuación y encontrar x ... Puedes usar la ecuación original 7 x+ 9y\u003d 8, o use la ecuación en la que se expresa la variable x ... Usaremos esta ecuación según sea conveniente:
Por lo tanto, la solución del sistema es un par de valores (5; −3)
Método de adición
El método de la suma consiste en sumar las ecuaciones del sistema término por término. Esta adición lleva al hecho de que se forma una nueva ecuación con una variable. Y resolver tal ecuación es bastante simple.
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones:
Suma el lado izquierdo de la primera ecuación al lado izquierdo de la segunda ecuación. Y el lado derecho de la primera ecuación con el lado derecho de la segunda ecuación. Obtenemos la siguiente igualdad:
Aquí hay términos similares:
Como resultado, obtuvimos la ecuación más simple 3 x\u003d 27 cuya raíz es 9. Conociendo el valor x puedes encontrar el valor y ... Sustituir el valor x en la segunda ecuación x - y\u003d 3. Obtenemos 9 - y \u003d 3. De aquí y= 6 .
Entonces, la solución del sistema es un par de valores (9; 6)
Ejemplo 2
Suma el lado izquierdo de la primera ecuación al lado izquierdo de la segunda ecuación. Y el lado derecho de la primera ecuación con el lado derecho de la segunda ecuación. En la igualdad resultante, presentamos términos similares:
Como resultado, obtuvimos la ecuación más simple 5 x\u003d 20, cuya raíz es 4. Conocer el valor x puedes encontrar el valor y ... Sustituir el valor x en la primera ecuación 2 x + y\u003d 11. Obtenemos 8 + y \u003d 11. De aquí y= 3 .
Entonces, la solución del sistema es un par de valores (4; 3)
No se detalla el proceso de adición. Debe hacerse en la mente. Al sumar, ambas ecuaciones deben reducirse a forma canónica. Es decir, a la mente ac + por \u003d c .
De los ejemplos considerados, se puede ver que el propósito principal de sumar ecuaciones es deshacerse de una de las variables. Pero no siempre es posible resolver inmediatamente el sistema de ecuaciones mediante el método de la suma. Muy a menudo, el sistema se lleva preliminarmente a una forma en la que puede agregar las ecuaciones incluidas en este sistema.
Por ejemplo, el sistema 
se puede resolver inmediatamente mediante el método de adición. Al sumar ambas ecuaciones, los términos y y −y desaparecen porque su suma es cero. El resultado es la ecuación más simple 11 x\u003d 22, cuya raíz es 2. Entonces será posible determinar y igual a 5.
Y el sistema de ecuaciones 
el método de la suma no puede resolverse de inmediato, ya que esto no provocará la desaparición de una de las variables. La suma resultará en la ecuación 8 x+ y\u003d 28, que tiene innumerables soluciones.
Si ambos lados de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número, que no es igual a cero, se obtiene una ecuación equivalente a esta. Esta regla también es válida para un sistema de ecuaciones lineales en dos variables. Una de las ecuaciones (o ambas ecuaciones) se puede multiplicar por algún número. El resultado será un sistema equivalente, cuyas raíces coincidirán con el anterior.
Volvamos al primer sistema, que describía cuántos pasteles y tazas de café compró un estudiante. La solución a este sistema fue un par de valores (6; 5).
Multiplicamos ambas ecuaciones en este sistema por algunos números. Digamos que la primera ecuación se multiplica por 2 y la segunda por 3
Como resultado, obtuvimos el sistema 
La solución a este sistema sigue siendo un par de valores (6; 5)
Esto significa que las ecuaciones incluidas en el sistema se pueden reducir a una forma adecuada para aplicar el método de adición.
De vuelta al sistema , que no pudimos resolver con el método de la suma.
Multiplica la primera ecuación por 6 y la segunda por −2.
Entonces obtenemos el siguiente sistema:
Sumamos las ecuaciones incluidas en este sistema. Agregar componentes 12 x y −12 x resultará en 0, suma 18 y y 4 y dará 22 y , y sumando 108 y −20 da 88. Entonces obtenemos la ecuación 22 y \u003d 88, por lo tanto y = 4 .
Si al principio es difícil agregar ecuaciones en su mente, entonces puede escribir cómo se agrega el lado izquierdo de la primera ecuación al lado izquierdo de la segunda ecuación, y el lado derecho de la primera ecuación se suma al lado derecho de la segunda ecuación:
Sabiendo que el valor de una variable y es 4, puedes encontrar el valor x... Sustituir y en una de las ecuaciones, por ejemplo, en la primera ecuación 2 x+ 3y\u003d 18. Entonces obtenemos una ecuación con una variable 2 x+ 12 \u003d 18. Mueve 12 al lado derecho, cambia el signo, obtenemos 2 x\u003d 6, por lo tanto x = 3 .
Ejemplo 4... Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de la suma:
Multiplica la segunda ecuación por −1. Entonces el sistema tomará la siguiente forma:
Agreguemos ambas ecuaciones. Agregar componentes x y −x resultará en 0, suma 5 y y 3 y dará 8 y , y sumando 7 y 1 da 8. El resultado es la ecuación 8 y\u003d 8, cuya raíz es 1. Sabiendo que el valor y es igual a 1, puedes encontrar el valor x .
Sustituir y en la primera ecuación, obtenemos x+ 5 \u003d 7, por lo tanto x= 2
Ejemplo 5... Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de la suma:
Es deseable que los términos que contienen las mismas variables estén ubicados uno debajo del otro. Por lo tanto, en la segunda ecuación, los términos 5 y y -2 x intercambiar lugares. Como resultado, el sistema adoptará la forma:
Multipliquemos la segunda ecuación por 3. Entonces el sistema tomará la forma:
Ahora agreguemos ambas ecuaciones. Como resultado de la suma, obtenemos la ecuación 8 y\u003d 16, cuya raíz es 2.
Sustituir y en la primera ecuación, obtenemos 6 x- 14 \u003d 40. Mover el término −14 al lado derecho, cambiando el signo, obtenemos 6 x\u003d 54. De aquí x= 9.
Ejemplo 6... Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de la suma:
Deshagámonos de las fracciones. Multiplica la primera ecuación por 36 y la segunda por 12.
En el sistema resultante 
la primera ecuación se puede multiplicar por −5 y la segunda por 8
Agreguemos las ecuaciones en el sistema resultante. Entonces obtenemos la ecuación más simple −13 y\u003d −156. De aquí y\u003d 12. Sustituir y en la primera ecuación y encontrar x
Ejemplo 7... Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de la suma:
Llevemos ambas ecuaciones a su forma normal. Es conveniente aplicar aquí la regla de la proporción en ambas ecuaciones. Si en la primera ecuación el lado derecho se representa como, y el lado derecho de la segunda ecuación como, entonces el sistema tomará la forma:
Tenemos la proporción. Multipliquemos sus términos medio y extremo. Entonces el sistema tomará la forma:
Multiplicamos la primera ecuación por −3, y en la segunda expandimos los corchetes:
Ahora agreguemos ambas ecuaciones. Como resultado de sumar estas ecuaciones, obtenemos una igualdad, en ambas partes habrá cero:
Resulta que el sistema tiene innumerables soluciones.
Pero no podemos simplemente tomar valores arbitrarios para x y y ... Podemos especificar uno de los valores, y el otro se determinará en función del valor que especifiquemos. Por ejemplo, deja x\u003d 2. Sustituyamos este valor en el sistema:
Como resultado de resolver una de las ecuaciones, el valor de y que satisfará ambas ecuaciones:
El par de valores resultante (2; −2) satisfará el sistema:
Busquemos otro par de valores. Permitir x\u003d 4. Sustituya este valor en el sistema:
A simple vista, puede determinar que el valor y es igual a cero. Luego obtenemos un par de valores (4; 0), que satisface nuestro sistema:
Ejemplo 8... Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de la suma:
Multiplica la primera ecuación por 6 y la segunda por 12
Reescribamos lo que queda:
Multiplica la primera ecuación por −1. Entonces el sistema tomará la forma:
Ahora agreguemos ambas ecuaciones. Como resultado de la suma, se forma la ecuación 6 segundo\u003d 48, cuya raíz es 8. Sustituir segundo en la primera ecuación y encontrar un
Sistema de ecuaciones lineales en tres variables
Una ecuación lineal con tres variables incluye tres variables con coeficientes, así como una intersección. En su forma canónica, se puede escribir de la siguiente manera:
ax + por + cz \u003d d
Esta ecuación tiene innumerables soluciones. Al dar a dos variables significados diferentes, se puede encontrar un tercer significado. La solución en este caso son tres valores ( x; y; z) que convierte la ecuación en identidad.
Si las variables x, y, z están conectados por tres ecuaciones, luego se forma un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables. Para resolver dicho sistema, puede aplicar los mismos métodos que se aplican a las ecuaciones lineales con dos variables: el método de sustitución y el método de suma.
Ejemplo 1... Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de sustitución:
Expresamos en la tercera ecuación x ... Entonces el sistema tomará la forma:
Ahora hagamos la sustitución. Variable x igual a la expresión 3 − 2y − 2z ... Sustituye esta expresión en la primera y segunda ecuación:
Abramos los corchetes en ambas ecuaciones y demos términos similares:
Llegamos a un sistema de ecuaciones lineales en dos variables. En este caso, es conveniente utilizar el método de adición. Como resultado, la variable y desaparecerá y podemos encontrar el valor de la variable z
Ahora encontremos el valor y ... Para ello, conviene utilizar la ecuación - y+ z\u003d 4. Sustituye en él el valor z
Ahora encontremos el valor x ... Para ello conviene utilizar la ecuación x= 3 − 2y − 2z ... Sustituyamos en él los valores y y z
Por lo tanto, el triple de valores (3; -2; 2) es una solución para nuestro sistema. Comprobando para asegurarse de que estos valores satisfacen el sistema:
Ejemplo 2... Resuelve el sistema agregando
Suma la primera ecuación a la segunda multiplicada por -2.
Si la segunda ecuación se multiplica por -2, entonces toma la forma −6x+ 6y -4z = −4 ... Ahora agréguelo a la primera ecuación:
Vemos que como resultado de transformaciones elementales, se determinó el valor de la variable x ... Es igual a uno.
Volvamos al sistema principal. Suma la segunda ecuación a la tercera multiplicada por -1. Si la tercera ecuación se multiplica por -1, entonces toma la forma −4x + 5y − 2z = −1 ... Ahora agréguelo a la segunda ecuación:
Tenemos la ecuación x -2y\u003d −1. Sustituyamos en él el valor x que encontramos antes. Entonces podemos determinar el valor y
Ahora conocemos los valores x y y ... Esto le permite determinar el valor z ... Usemos una de las ecuaciones incluidas en el sistema:
Así, el triplete de valores (1; 1; 1) es la solución de nuestro sistema. Comprobando para asegurarse de que estos valores satisfacen el sistema:
Tareas para componer sistemas de ecuaciones lineales
El problema de componer sistemas de ecuaciones se resuelve ingresando varias variables. A continuación, se elaboran ecuaciones en función de las condiciones del problema. Forman un sistema a partir de las ecuaciones y lo resuelven. Una vez resuelto el sistema, es necesario verificar si su solución satisface las condiciones del problema.
Problema 1... Un coche del Volga salió de la ciudad hacia la granja colectiva. Regresó por otra carretera, 5 km más corta que la primera. En total, el coche recorrió 35 km en ambos sentidos. ¿Cuántos kilómetros tiene cada camino?
Decisión
Permitir x - longitud del primer camino, y - la duración del segundo. Si el automóvil viajó 35 km hasta ambos extremos, entonces la primera ecuación se puede escribir como x+ y\u003d 35. Esta ecuación describe la suma de las longitudes de ambos caminos.
Se dice que el coche regresó por la carretera que era 5 km más corta que la primera. Entonces la segunda ecuación se puede escribir como x− y\u003d 5. Esta ecuación muestra que la diferencia entre las longitudes de las carreteras es de 5 km.
O la segunda ecuación se puede escribir como x= y+ 5. Usaremos esta ecuación.
Dado que las variables x y y en ambas ecuaciones denotamos el mismo número, entonces podemos formar un sistema a partir de ellas:
Resolvamos este sistema con algunos de los métodos estudiados anteriormente. En este caso conviene utilizar el método de sustitución, ya que en la segunda ecuación la variable x ya expresado.
Sustituya la segunda ecuación en la primera y encuentre y
Sustituir el valor encontrado y en la segunda ecuación x= y+ 5 y encontrar x
La longitud de la primera carretera fue indicada por la variable x ... Ahora hemos encontrado su significado. Variable x es 20. Entonces, la longitud de la primera carretera es de 20 km.
Y la longitud del segundo camino fue indicada por y ... El valor de esta variable es 15. Entonces, la longitud de la segunda carretera es de 15 km.
Vamos a revisar. Primero, asegurémonos de que el sistema se resuelva correctamente:
Ahora comprobemos si la solución (20; 15) satisface las condiciones del problema.
Se dijo que el automóvil recorrió 35 km en ambas direcciones. Sume las longitudes de ambas carreteras y asegúrese de que la solución (20; 15) satisfaga esta condición: 20 km + 15 km \u003d 35 km
Siguiente condición: atrás, el automóvil regresó por otra carretera, que era 5 km más corta que la primera. ... Vemos que la solución (20; 15) también satisface esta condición, ya que 15 km es menos que 20 km por 5 km: 20 km - 15 km \u003d 5 km
Al compilar un sistema, es importante que las variables denoten los mismos números en todas las ecuaciones incluidas en este sistema.
Entonces nuestro sistema contiene dos ecuaciones. Estas ecuaciones, a su vez, contienen las variables x y y , que representan los mismos números en ambas ecuaciones, a saber, longitudes de carreteras iguales a 20 km y 15 km.
Problema 2... Se cargaron en la plataforma traviesas de roble y pino, 300 en total. Se sabe que todas las traviesas de roble pesaron 1 tonelada menos que todas las traviesas de pino. Determine cuántos durmientes de roble y pino había por separado, si cada durmiente de roble pesaba 46 kg y cada durmiente de pino 28 kg.
Decisión
Permitir x roble y y Se cargaron durmientes de pino en la plataforma. Si hubiera 300 durmientes en total, entonces la primera ecuación se puede escribir como x + y = 300 .
Todos los durmientes de roble pesaban 46 x kg, y el pino pesaba 28 y kg. Dado que los durmientes de roble pesaban 1 tonelada menos que los durmientes de pino, la segunda ecuación se puede escribir como 28y -46x= 1000 ... Esta ecuación muestra que la diferencia de masa entre durmientes de roble y pino es de 1000 kg.
Las toneladas se han convertido en kilogramos, ya que el peso de las traviesas de roble y pino se mide en kilogramos.
Como resultado, obtenemos dos ecuaciones que forman el sistema
Resolvamos este sistema. En la primera ecuación, expresamos x ... Entonces el sistema tomará la forma:
Sustituya la primera ecuación en la segunda y encuentre y
Sustituir y en la ecuación x= 300 − y y descubre lo que es igual x
Esto significa que se cargaron 100 traviesas de roble y 200 de pino en la plataforma.
Comprobemos si la solución (100; 200) satisface las condiciones del problema. Primero, asegurémonos de que el sistema se resuelva correctamente:
Se dijo que había 300 durmientes en total. Sume el número de traviesas de roble y pino y asegúrese de que la solución (100; 200) satisfaga esta condición: 100 + 200 = 300.
Siguiente condición: todos los durmientes de roble pesaron 1 tonelada menos que todos los durmientes de pino ... Vemos que la solución (100; 200) también cumple esta condición, ya que 46 × 100 kg de traviesas de roble son más ligeras que 28 × 200 kg de traviesas de pino: 5600 kg - 4600 kg \u003d 1000 kg.
Problema 3... Se tomaron tres piezas de aleación de cobre-níquel en proporciones de 2: 1, 3: 1 y 5: 1 en peso. A partir de ellos se fundió una pieza que pesaba 12 kg con una relación de contenido de cobre y níquel de 4: 1. Encuentre la masa de cada pieza original si la masa de la primera es el doble de la masa de la segunda.
Los sistemas de ecuaciones se utilizan ampliamente en la industria económica para el modelado matemático de varios procesos. Por ejemplo, a la hora de resolver problemas de gestión y planificación de la producción, rutas logísticas (problema de transporte) o colocación de equipos.
Los sistemas de ecuaciones se utilizan no solo en el campo de las matemáticas, sino también en la física, la química y la biología, para resolver problemas de encontrar el tamaño de la población.
Un sistema de ecuaciones lineales se denomina dos o más ecuaciones con varias variables, para lo cual es necesario encontrar una solución general. Una secuencia de números para la cual todas las ecuaciones se convierten en verdaderas igual o demuestran que la secuencia no existe.
Ecuación lineal
Las ecuaciones de la forma ax + by \u003d c se llaman lineales. La notación x, y es la incógnita, cuyo valor debe encontrarse, b, a son los coeficientes de las variables, c es el término libre de la ecuación.
La solución de la ecuación al trazar su gráfica tendrá la forma de una línea recta, cuyos puntos son la solución del polinomio.
Tipos de sistemas de ecuaciones lineales.
Se considera que los ejemplos más simples son sistemas de ecuaciones lineales con dos variables X e Y.
F1 (x, y) \u003d 0 y F2 (x, y) \u003d 0, donde F1,2 son funciones y (x, y) son variables de función.
Resolver sistema de ecuaciones - significa encontrar esos valores (x, y) en los que el sistema se convierte en una verdadera igualdad o establecer que no hay valores adecuados para x e y.
Un par de valores (x, y), escritos como las coordenadas de un punto, se llama solución a un sistema de ecuaciones lineales.
Si los sistemas tienen una solución común o no existen soluciones, se les llama equivalentes.
Los sistemas homogéneos de ecuaciones lineales son sistemas cuyo lado derecho es igual a cero. Si la parte derecha después del signo "igual" tiene un valor o se expresa como una función, dicho sistema es heterogéneo.
El número de variables puede ser mucho más de dos, entonces deberíamos hablar de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales con tres o más variables.
Ante los sistemas, los escolares asumen que el número de ecuaciones debe coincidir necesariamente con el número de incógnitas, pero no es así. El número de ecuaciones en el sistema no depende de variables, puede haber tantas como desee.
Métodos simples y complejos para resolver sistemas de ecuaciones.
No existe un método analítico general para resolver tales sistemas; todos los métodos se basan en soluciones numéricas. A curso escolar Los matemáticos describen en detalle métodos como la permutación, la suma algebraica, la sustitución, así como un método gráfico y matricial, solución gaussiana.
La tarea principal en la enseñanza de soluciones es enseñar cómo analizar correctamente el sistema y encontrar el algoritmo de solución óptimo para cada ejemplo. Lo principal no es memorizar el sistema de reglas y acciones para cada método, sino comprender los principios para aplicar este o aquel método.
Solución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales de la séptima clase del programa escuela comprensiva bastante simple y explicado con gran detalle. En cualquier libro de texto sobre matemáticas, esta sección recibe suficiente atención. La solución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss y Cramer se estudia con más detalle en los primeros años de las instituciones de educación superior.
Solución de sistemas por método de sustitución
Las acciones del método de sustitución tienen como objetivo expresar el valor de una variable a través de la segunda. La expresión se sustituye en la ecuación restante, luego se reduce a una forma con una variable. La acción se repite dependiendo del número de incógnitas en el sistema.
Demos la solución de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales de la séptima clase por el método de sustitución:
Como puede ver en el ejemplo, la variable x se expresó mediante F (X) \u003d 7 + Y. La expresión resultante, sustituida en la segunda ecuación del sistema en lugar de X, ayudó a obtener una variable Y en la segunda ecuación. Decisión este ejemplo no causa dificultades y permite obtener el valor de Y. El último paso es verificar los valores obtenidos.
No siempre es posible resolver un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales por sustitución. Las ecuaciones pueden ser complejas y la expresión de la variable en términos de la segunda incógnita será demasiado engorrosa para cálculos posteriores. Cuando hay más de 3 incógnitas en el sistema, la solución por sustitución tampoco es práctica.
Solución de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneas:
Solución de adición algebraica
Cuando se busca una solución de sistemas mediante el método de la suma, se realiza la suma y la multiplicación término por término de ecuaciones por varios números. El objetivo final de las matemáticas es una ecuación de una variable.
Este método requiere práctica y observación. No es fácil resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de la suma con 3 o más variables. La suma algebraica es conveniente cuando hay fracciones y números decimales en las ecuaciones.
Algoritmo de acción de solución:
- Multiplica ambos lados de la ecuación por algún número. Como resultado operación aritmética uno de los coeficientes de la variable debe ser igual a 1.
- Suma la expresión resultante término por término y encuentra una de las incógnitas.
- Sustituya el valor obtenido en la segunda ecuación del sistema para encontrar la variable restante.
Solución introduciendo una nueva variable
Se puede introducir una nueva variable si el sistema necesita encontrar una solución para no más de dos ecuaciones, el número de incógnitas también debe ser no más de dos.
El método se usa para simplificar una de las ecuaciones ingresando una nueva variable. La nueva ecuación se resuelve con respecto a la incógnita ingresada y el valor resultante se usa para determinar la variable original.
El ejemplo muestra que al introducir una nueva variable t, fue posible reducir la primera ecuación del sistema al trinomio cuadrado estándar. Puedes resolver el polinomio encontrando el discriminante.
Es necesario encontrar el valor del discriminante de acuerdo con la conocida fórmula: D \u003d b2 - 4 * a * c, donde D es el discriminante requerido, b, a, c son los factores del polinomio. En el ejemplo dado, a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d 39, por lo tanto D \u003d 100. Si el discriminante es mayor que cero, entonces hay dos soluciones: t \u003d -b ± √D / 2 * a, si el discriminante menos que cero, entonces solo hay una solución: x \u003d -b / 2 * a.
La solución para los sistemas resultantes se encuentra mediante el método de adición.
Método visual para resolver sistemas
Adecuado para sistemas con 3 ecuaciones. El método consiste en graficar sobre el eje de coordenadas de las gráficas de cada ecuación incluida en el sistema. Las coordenadas de los puntos de intersección de las curvas y serán decisión común sistemas.
El método gráfico tiene varios matices. Consideremos varios ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales de forma visual.
Como puede ver en el ejemplo, para cada línea recta se construyeron dos puntos, los valores de la variable x se eligieron arbitrariamente: 0 y 3. Con base en los valores de x, se encontraron los valores para y: 3 y 0. Puntos con coordenadas (0, 3) y (3, 0) se marcaron en el gráfico y se conectaron con una línea.
Los pasos deben repetirse para la segunda ecuación. El punto de intersección de las líneas es la solución del sistema.
En el siguiente ejemplo, necesita encontrar una solución gráfica para un sistema de ecuaciones lineales: 0.5x-y + 2 \u003d 0 y 0.5x-y-1 \u003d 0.
Como puede ver en el ejemplo, el sistema no tiene solución, porque las gráficas son paralelas y no se cruzan en toda su longitud.
Los sistemas de los ejemplos 2 y 3 son similares, pero al construirlos, resulta obvio que sus soluciones son diferentes. Cabe recordar que no siempre es posible saber si un sistema tiene solución o no, siempre es necesario construir un gráfico.
La matriz y sus variedades
Las matrices se utilizan para nota corta sistemas de ecuaciones lineales. Una matriz se llama tabla de un tipo especial llena de números. n * m tiene n filas y m columnas.
Una matriz es cuadrada cuando el número de columnas y filas es igual entre sí. Una matriz vectorial es una matriz de una columna con un número infinito de filas. Una matriz con unos a lo largo de una de las diagonales y otros elementos cero se llama matriz identidad.
Una matriz inversa es una matriz de este tipo, cuando se multiplica por la cual la original se convierte en una matriz de identidad, dicha matriz existe solo para la matriz cuadrada original.
Reglas para transformar un sistema de ecuaciones en una matriz
Aplicado a los sistemas de ecuaciones, los coeficientes y términos libres de las ecuaciones se escriben como números de matriz, una ecuación es una fila de la matriz.
Se dice que una fila de la matriz es distinta de cero si al menos un elemento de la fila es distinto de cero. Por lo tanto, si en alguna de las ecuaciones el número de variables difiere, entonces es necesario escribir cero en lugar de la incógnita faltante.
Las columnas de la matriz deben coincidir estrictamente con las variables. Esto significa que los coeficientes de la variable x se pueden escribir solo en una columna, por ejemplo, la primera, el coeficiente de la desconocida y, solo en la segunda.
Al multiplicar una matriz, todos los elementos de la matriz se multiplican secuencialmente por un número.
Variantes de encontrar la matriz inversa
La fórmula para encontrar la matriz inversa es bastante simple: K -1 \u003d 1 / | K |, donde K -1 es la matriz inversa, y | K | - determinante de matriz. | K | no debe ser cero, entonces el sistema tiene una solución.
El determinante se calcula fácilmente para una matriz de dos por dos; solo necesita multiplicar los elementos en la diagonal entre sí. Para la opción "tres por tres", hay una fórmula | K | \u003d a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. Puede usar la fórmula, o puede recordar que necesita tomar un elemento de cada fila y cada columna para que el número de columnas y filas de elementos no se repita en el producto.
Solución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales por el método matricial
El método matricial para buscar una solución permite reducir registros engorrosos al resolver sistemas con una gran cantidad de variables y ecuaciones.
En el ejemplo, a nm son los coeficientes de las ecuaciones, la matriz es un vector x n son variables y b n son términos libres.
Solución gaussiana de sistemas
A matemáticas avanzadas el método de Gauss se estudia junto con el método de Cramer, y el proceso de encontrar una solución a los sistemas se denomina método de Gauss-Cramer. Estos métodos se utilizan para encontrar sistemas variables con muchas ecuaciones lineales.
El método de Gauss es muy similar a las soluciones de sustitución y suma algebraicapero más sistemático. En el curso escolar, la solución gaussiana se usa para sistemas de 3 y 4 ecuaciones. El objetivo del método es hacer que el sistema parezca un trapezoide invertido. El valor de una variable en una de las ecuaciones del sistema se encuentra mediante transformaciones y sustituciones algebraicas. La segunda ecuación es una expresión con 2 incógnitas, pero 3 y 4, respectivamente, con 3 y 4 variables.
Después de llevar el sistema a la forma descrita, la solución adicional se reduce a la sustitución secuencial de variables conocidas en las ecuaciones del sistema.
En los libros de texto escolares para el séptimo grado, a continuación se describe un ejemplo de una solución mediante el método de Gauss:
Como puede ver en el ejemplo, en el paso (3) se obtuvieron dos ecuaciones: 3x 3 -2x 4 \u003d 11 y 3x 3 + 2x 4 \u003d 7. La solución de cualquiera de las ecuaciones le permitirá encontrar una de las variables x n.
El teorema 5, que se menciona en el texto, dice que si una de las ecuaciones del sistema es reemplazada por una equivalente, entonces el sistema resultante también será equivalente al original.
El método gaussiano es difícil de percibir para los estudiantes escuela secundariapero es una de las formas más divertidas de desarrollar la inteligencia de los niños en las clases avanzadas de matemáticas y física.
Para facilitar el registro de los cálculos, se acostumbra hacer lo siguiente:
Los coeficientes de ecuaciones y términos libres se escriben en forma de matriz, donde cada fila de la matriz está relacionada con una de las ecuaciones del sistema. separa el lado izquierdo de la ecuación del lado derecho. Los números romanos indican el número de ecuaciones en el sistema.
Primero, anote la matriz con la que trabajar, luego todas las acciones realizadas con una de las líneas. La matriz resultante se escribe después del signo de la flecha y se continúan las acciones algebraicas necesarias hasta que se logra el resultado.
Como resultado, debe obtenerse una matriz en la que una de las diagonales sea 1 y todos los demás coeficientes sean iguales a cero, es decir, la matriz se lleva a una forma única. No olvide hacer cálculos con los números en ambos lados de la ecuación.
Este método de escritura es menos engorroso y le permite no distraerse enumerando las muchas incógnitas.
La aplicación gratuita de cualquier solución requerirá cuidado y cierta experiencia. No todos los métodos son de naturaleza aplicada. Algunas formas de encontrar soluciones son más preferibles en otra área de la actividad humana, mientras que otras existen con fines educativos.
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas llamado sistema de la forma
dónde un ij y b yo (yo=1,…,metro; segundo=1,…,norte) Son algunos números conocidos, y x 1, ..., x n - desconocido. En la designación de los coeficientes un ij primer índice yodenota el número de la ecuación, y el segundo j - el número de incógnitas en el que se encuentra este coeficiente.
Los coeficientes de las incógnitas se escribirán en forma de matriz. 
, que llamaremos matriz del sistema.
Los números en el lado derecho de las ecuaciones. b 1, ..., b m son llamados miembros libres.
El agregado norte números c 1, ..., c n llamado decisión del sistema dado si cada ecuación del sistema se convierte en igualdad después de la sustitución de números c 1, ..., c n en lugar de las incógnitas correspondientes x 1, ..., x n.
Nuestra tarea será encontrar soluciones al sistema. En este caso, pueden surgir tres situaciones:
Un sistema de ecuaciones lineales que tiene al menos una solución se llama articulación... De lo contrario, es decir si el sistema no tiene soluciones, entonces se llama inconsistente.
Considere formas de encontrar soluciones al sistema.
MÉTODO MATRIZ PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Las matrices permiten escribir de forma concisa un sistema de ecuaciones lineales. Sea un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas:
Considere la matriz del sistema 
y columnas de matriz de términos desconocidos y libres 
Encuentra el trabajo
aquellos. como resultado del producto, obtenemos los lados izquierdos de las ecuaciones de este sistema. Luego, usando la definición de igualdad de matrices, este sistema se puede escribir en la forma
o mas corto UN∙X \u003d B.
Aquí matrices UN y segundo son conocidos, y la matriz X desconocido. Ella también necesita ser encontrada, tk. sus elementos son la solución a este sistema. Esta ecuación se llama ecuación matricial.
Sea el determinante de la matriz distinto de cero | UN| ≠ 0. Entonces, la ecuación matricial se resuelve de la siguiente manera. Multiplicamos ambos lados de la ecuación de la izquierda por la matriz A -1, la inversa de la matriz UN:. Porque el A -1 A \u003d E y mi∙X \u003d X, entonces obtenemos la solución de la ecuación matricial en la forma X \u003d A -1 B .
Tenga en cuenta que dado que la matriz inversa se puede encontrar solo para matrices cuadradas, el método de la matriz solo se puede usar para resolver aquellos sistemas en los el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas... Sin embargo, la representación matricial del sistema también es posible en el caso de que el número de ecuaciones no sea igual al número de incógnitas, entonces la matriz UN no será cuadrado y, por lo tanto, es imposible encontrar una solución al sistema en la forma X \u003d A -1 B.
Ejemplos.Resolver sistemas de ecuaciones.
REGLA DE CRAMER
Considere un sistema de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas:
Determinante de tercer orden correspondiente a la matriz del sistema, es decir compuesto por coeficientes con incógnitas,
llamado determinante del sistema.
Compongamos tres determinantes más de la siguiente manera: reemplace en el determinante D sucesivamente 1, 2 y 3 columnas con una columna de miembros libres
Entonces se puede probar el siguiente resultado.
Teorema (regla de Cramer). Si el determinante del sistema es Δ ≠ 0, entonces el sistema en consideración tiene una y solo una solución, y
Evidencia... Entonces, consideremos un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas. Multipliquemos la 1a ecuación del sistema por el complemento algebraico A 11 elemento a 11, 2da ecuación - en A 21 y tercero - en A 31:
Agregamos estas ecuaciones:
Veamos cada uno de los paréntesis y el lado derecho de esta ecuación. Por el teorema de la expansión del determinante en términos de los elementos de la 1a columna
Del mismo modo, se puede demostrar que y.
Finalmente, es fácil ver que 
Así, obtenemos la igualdad :.
En consecuencia,.
Las igualdades y se derivan de forma similar, de donde sigue el enunciado del teorema.
Por lo tanto, observamos que si el determinante del sistema es Δ ≠ 0, entonces el sistema tiene una solución única y viceversa. Si el determinante del sistema es igual a cero, entonces el sistema tiene un conjunto infinito de soluciones o no tiene soluciones, es decir, inconsistente.
Ejemplos.Resolver sistema de ecuaciones
MÉTODO GAUSS
Los métodos considerados anteriormente pueden usarse para resolver solo aquellos sistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas, y el determinante del sistema debe ser diferente de cero. El método de Gauss es más versátil y adecuado para sistemas con cualquier número de ecuaciones. Consiste en la eliminación consistente de incógnitas de las ecuaciones del sistema.
Considere nuevamente un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
.
Dejamos la primera ecuación sin cambios, y de la segunda y la tercera excluimos los términos que contienen x 1... Para ello, dividimos la segunda ecuación por y 21 y multiplicar por - y 11 y luego agréguelo a la primera ecuación. De manera similar, dividimos la tercera ecuación en y 31 y multiplicar por - y 11 y luego agregue al primero. Como resultado, el sistema original tomará la forma:
Ahora excluimos de la última ecuación el término que contiene x 2... Para hacer esto, divida la tercera ecuación por, multiplique por y sume a la segunda. Entonces tendremos un sistema de ecuaciones:
Por lo tanto, a partir de la última ecuación, es fácil encontrar x 3, luego de la segunda ecuación x 2 y finalmente desde el 1 - x 1.
Cuando se usa el método gaussiano, las ecuaciones se pueden intercambiar si es necesario.
A menudo en lugar de escribir nuevo sistema Las ecuaciones se limitan a escribir la matriz extendida del sistema:
y luego llevarlo a una forma triangular o diagonal usando transformaciones elementales.
A transformaciones elementales las matrices incluyen las siguientes transformaciones:
- permutación de filas o columnas;
- multiplicar una cadena por un número que no sea cero;
- agregando otras líneas a una línea.
Ejemplos: Resolver sistemas de ecuaciones por el método de Gauss.
Por tanto, el sistema tiene un número infinito de soluciones.
Consideremos dos tipos de soluciones a sistemas de ecuaciones:
1. Solución del sistema por el método de sustitución.
2. Solución del sistema mediante la suma (resta) término por término de las ecuaciones del sistema.
Para resolver el sistema de ecuaciones método de sustitución necesitas seguir un algoritmo simple:
1. Expresamos. Expresamos una variable de cualquier ecuación.
2. Sustituir. Sustituimos el valor obtenido en otra ecuación en lugar de la variable expresada.
3. Resuelve la ecuación resultante en una variable. Encontramos una solución al sistema.
Resolver sistema por suma de términos (resta) Necesitar:
1. Elija una variable para la que haremos los mismos coeficientes.
2. Sumamos o restamos ecuaciones, al final obtenemos una ecuación con una variable.
3. Resuelva la ecuación lineal resultante. Encontramos una solución al sistema.
La solución del sistema son los puntos de intersección de las gráficas de funciones.
Consideremos en detalle la solución de sistemas usando ejemplos.
Ejemplo 1:
Resolvamos por el método de sustitución
Solución de un sistema de ecuaciones por el método de sustitución2x + 5y \u003d 1 (1 ecuación)
x-10y \u003d 3 (ecuación 2)
1. Expresando
Se puede ver que en la segunda ecuación hay una variable x con un coeficiente de 1, de la cual resulta que es más fácil expresar la variable x a partir de la segunda ecuación.
x \u003d 3 + 10 años
2. Después de haber expresado, sustituimos 3 + 10y en la primera ecuación en lugar de la variable x.
2 (3 + 10 años) + 5 años \u003d 1
3. Resuelve la ecuación resultante en una variable.
2 (3 + 10y) + 5y \u003d 1 (expanda los corchetes)
6 + 20 años + 5 años \u003d 1
25 años \u003d 1-6
25y \u003d -5 |: (25)
y \u003d -5: 25
y \u003d -0,2
La solución al sistema de ecuaciones son los puntos de intersección de las gráficas, por lo tanto necesitamos encontrar xey, porque el punto de intersección consiste en xey. Encuentra x, en el primer párrafo donde expresamos allí sustituimos y.
x \u003d 3 + 10 años
x \u003d 3 + 10 * (- 0,2) \u003d 1
Es costumbre escribir puntos en primer lugar escribimos la variable x, y en el segundo la variable y.
Respuesta: (1; -0,2)
Ejemplo # 2:
Resolvamos mediante la suma (resta) término por término.
Resolver un sistema de ecuaciones por el método de la suma3x-2y \u003d 1 (1 ecuación)
2x-3y \u003d -10 (2 ecuación)
1.Elija una variable, digamos, elija x. En la primera ecuación, la variable x tiene un coeficiente de 3, en la segunda 2. Es necesario igualar los coeficientes, para ello tenemos derecho a multiplicar las ecuaciones o dividir por cualquier número. La primera ecuación se multiplica por 2 y la segunda por 3, y obtenemos un factor total de 6.
3x-2y \u003d 1 | * 2
6x-4y \u003d 2
2x-3y \u003d -10 | * 3
6x-9y \u003d -30
2. Reste el segundo de la primera ecuación para deshacerse de la variable x. Resuelva la ecuación lineal.
__6x-4y \u003d 2
5y \u003d 32 | :cinco
y \u003d 6,4
3. Encuentre x. Sustituimos la y encontrada en cualquiera de las ecuaciones, digamos en la primera ecuación.
3x-2y \u003d 1
3x-2 * 6,4 \u003d 1
3x-12,8 \u003d 1
3 veces \u003d 1 + 12,8
3x \u003d 13,8 |: 3
x \u003d 4,6
El punto de intersección será x \u003d 4.6; y \u003d 6,4
Respuesta: (4.6; 6.4)
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