Función lineal cómo encontrar k. Función lineal y su gráfica
Como muestra la práctica, las tareas para las propiedades y gráficos de una función cuadrática causan serias dificultades. Esto es bastante extraño, porque la función cuadrática se aprueba en el octavo grado, y luego todo el primer trimestre del noveno grado se "saca" las propiedades de la parábola y sus gráficos se trazan para varios parámetros.
Esto se debe a que obligando a los estudiantes a construir parábolas, prácticamente no dedican tiempo a "leer" gráficas, es decir, no practican la comprensión de la información obtenida de la imagen. Aparentemente, se supone que, habiendo construido una docena de gráficos, un estudiante inteligente descubrirá y formulará la relación entre los coeficientes en la fórmula y apariencia gráficos. En la práctica, no funciona de esa manera. Para tal generalización, se requiere una experiencia seria de mini-investigación matemática, que, por supuesto, la mayoría de los estudiantes de noveno grado no tienen. Mientras tanto, el GIA propone determinar los signos de los coeficientes precisamente de acuerdo con el cronograma.
No exigiremos lo imposible a los escolares y simplemente ofreceremos uno de los algoritmos para resolver tales problemas.
Entonces, una función de la forma y = ax 2 + bx + c se llama cuadrática, su gráfica es una parábola. Como sugiere el nombre, el término principal es hacha 2... Es decir a no debe ser cero, otros coeficientes ( B y con) puede ser igual a cero.
Veamos cómo los signos de sus coeficientes afectan la aparición de una parábola.
La relación más simple para el coeficiente a... La mayoría de los escolares responden con seguridad: "si a> 0, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, y si a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.
y = 0.5x 2 - 3x + 1
En este caso a = 0,5
Y ahora para a < 0:
y = - 0.5x2 - 3x + 1
En este caso a = - 0,5
Influencia del coeficiente con también es bastante fácil de rastrear. Imaginemos que queremos encontrar el valor de una función en el punto NS= 0. Sustituye cero en la fórmula:
y = a 0 2 + B 0 + C = C... Resulta que y = c... Es decir con es la ordenada del punto de intersección de la parábola con el eje y. Normalmente, este punto es fácil de encontrar en el gráfico. Y determine si está por encima de cero o por debajo. Es decir con> 0 o con < 0.
con > 0:
y = x 2 + 4x + 3
con < 0
y = x 2 + 4x - 3
En consecuencia, si con= 0, entonces la parábola pasará necesariamente por el origen:
y = x 2 + 4x
Más difícil con el parámetro B... El punto en el que lo encontraremos depende no solo de B pero tambien de a... Este es el vértice de la parábola. Su abscisa (coordenada a lo largo del eje NS) se encuentra mediante la fórmula x pulg = - b / (2a)... Por lo tanto, b = - 2х в... Es decir, actuamos de la siguiente manera: en el gráfico encontramos la parte superior de la parábola, determinamos el signo de su abscisa, es decir, miramos a la derecha del cero ( x en> 0) o hacia la izquierda ( x en < 0) она лежит.
Sin embargo, esto no es todo. También debemos prestar atención al signo del coeficiente a... Es decir, para ver hacia dónde se dirigen las ramas de la parábola. Y solo después de eso, según la fórmula b = - 2х в identificar la señal B.
Consideremos un ejemplo:
Las ramas se dirigen hacia arriba, lo que significa a> 0, la parábola cruza el eje a por debajo de cero significa con < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x en> 0. Por lo tanto b = - 2х в = -++ = -. B < 0. Окончательно имеем: a > 0, B < 0, con < 0.
Una función lineal es una función de la forma
argumento x (variable independiente),
función y (variable dependiente),
k y b son algunos números constantes
La gráfica de la función lineal es derecho.
Para trazar un gráfico, es suficiente dos puntos, porque a través de dos puntos se puede trazar una línea recta y, además, solo una.
Si k˃0, entonces la gráfica se ubica en el primer y tercer cuarto de coordenadas. Si k˂0, entonces la gráfica se ubica en los cuartos de coordenadas segundo y cuarto.
El número k se llama pendiente de la gráfica directa de la función y (x) = kx + b. Si k˃0, entonces el ángulo de inclinación de la línea recta y (x) = kx + b en la dirección positiva Ox es agudo; si k˂0, entonces este ángulo es obtuso.
El coeficiente b muestra el punto de intersección del gráfico con el eje OU (0; b).
y (x) = k ∙ x-- caso especial una función típica se llama proporcionalidad directa. El gráfico es una línea recta que pasa por el origen, por lo que un punto es suficiente para trazar este gráfico.
Gráfico de función lineal
Donde coeficiente k = 3, por lo tanto
La gráfica de la función aumentará y tendrá un ángulo agudo con el eje Ox ya que el coeficiente k tiene un signo más.
OOF de una función lineal
Función lineal OZF
Excepto en el caso en que
También una función lineal de la forma
Es una función vista general.
B) Si k = 0; b ≠ 0,
En este caso, la gráfica es una línea recta paralela al eje del Buey y que pasa por el punto (0; b).
C) Si k ≠ 0; b ≠ 0, entonces la función lineal tiene la forma y (x) = k ∙ x + b.
Ejemplo 1 ... Grafique la función y (x) = -2x + 5
Ejemplo 2 ... Encuentre los ceros de la función y = 3x + 1, y = 0;
- ceros de la función.
Respuesta: o (; 0)
Ejemplo 3 ... Hallar el valor de la función y = -x + 3 para x = 1 y x = -1
y (-1) = - (- 1) + 3 = 1 + 3 = 4
Respuesta: y_1 = 2; y_2 = 4.
Ejemplo 4 ... Determine las coordenadas de su punto de intersección o demuestre que las gráficas no se intersecan. Sean las funciones y 1 = 10 ∙ x-8 e y 2 = -3 ∙ x + 5.
Si las gráficas de las funciones se cruzan, entonces los valores de las funciones en este punto son iguales
Sustituya x = 1, luego y 1 (1) = 10 ∙ 1-8 = 2.
Comentario. Puede sustituir el valor obtenido del argumento en la función y 2 = -3 ∙ x + 5, luego obtenemos la misma respuesta y 2 (1) = - 3 ∙ 1 + 5 = 2.
y = 2 es la ordenada del punto de intersección.
(1; 2) - el punto de intersección de las gráficas de las funciones y = 10x-8 e y = -3x + 5.
Respuesta: (1; 2)
Ejemplo 5 .
Grafique las funciones y 1 (x) = x + 3 y y 2 (x) = x-1.
Se puede ver que el coeficiente k = 1 para ambas funciones.
De lo anterior, se deduce que si los coeficientes de la función lineal son iguales, entonces sus gráficos en el sistema de coordenadas son paralelos.
Ejemplo 6 .
Construyamos dos gráficas de la función.
El primer gráfico tiene la fórmula
El segundo gráfico tiene la fórmula
En este caso, tenemos una gráfica de dos líneas rectas que se cruzan en el punto (0; 4). Esto significa que el coeficiente b, que es responsable de la altura del gráfico, se eleva por encima del eje Ox, si x = 0. Esto significa que podemos asumir que el coeficiente b de ambos gráficos es 4.
Editoras: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
El concepto de función numérica. Métodos para configurar la función. Propiedades de la función.
Una función numérica es una función que actúa de un espacio numérico (conjunto) a otro espacio numérico (conjunto).
Hay tres formas principales de definir una función: analítica, tabular y gráfica.
1. Analítico.
La forma de definir una función mediante una fórmula se llama analítica. Este método es el principal en el tapete. análisis, pero en la práctica no es conveniente.
2. Forma tabular de configurar la función.
Una función se puede especificar mediante una tabla que contiene los valores de los argumentos y sus valores de función correspondientes.
3. Forma gráfica de configurar la función.
La función y = f (x) se llama dada gráficamente si su gráfica está construida. Este método de definir la función permite determinar los valores de la función solo aproximadamente, ya que la construcción del gráfico y la búsqueda de los valores de la función en él están asociados con errores.
Las propiedades de la función que se deben tener en cuenta al trazar su gráfica:
1 Alcance definiciones de funciones.
Área de definición de funciones, es decir, aquellos valores que puede tomar el argumento x de la función F = y (x).
2) Intervalos de funciones crecientes y decrecientes.
La función se llama ascendente en el intervalo considerado, si más significado El argumento corresponde al valor mayor de la función y (x). Esto significa que si se toman dos argumentos arbitrarios x 1 y x 2 del intervalo considerado, con x 1> x 2, entonces y (x 1)> y (x 2).
La función se llama decreciente en el intervalo considerado, si el valor mayor del argumento corresponde al valor menor de la función y (x). Esto significa que si se toman dos argumentos arbitrarios x 1 y x 2 del intervalo considerado, y x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).
3) Ceros de la función.
Los puntos en los que la función F = y (x) intersecta el eje de abscisas (se obtienen resolviendo la ecuación y (x) = 0) y se denominan ceros de la función.
4) Paridad y rareza de la función.
La función se llama par, si para todos los valores del argumento del alcance
y (-x) = y (x).
La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje de ordenadas.
La función se llama impar si para todos los valores del argumento del dominio
y (-x) = -y (x).
La gráfica de una función par es simétrica con respecto al origen.
Muchas funciones no son ni pares ni impares.
5) La frecuencia de la función.
La función se llama periódica, si existe tal número P tal que para todos los valores del argumento del dominio de definición
y (x + P) = y (x).
Función lineal, sus propiedades y gráfico.
Una función lineal es una función de la forma y = kx + b dado en el conjunto de todos los números reales.
k- pendiente (número real)
B- miembro gratuito (número real)
X Es la variable independiente.
En el caso particular, si k = 0, obtenemos una función constante y = b, cuya gráfica es una recta paralela al eje Ox que pasa por un punto de coordenadas (0; b).
· Si b = 0, obtenemos la función y = kx, que es una proporcionalidad directa.
o El significado geométrico del coeficiente b es la longitud del segmento que está cortado por la línea recta a lo largo del eje Oy, contando desde el origen.
o El significado geométrico del coeficiente k - el ángulo de inclinación de la línea recta a la dirección positiva del eje Ox, se cuenta en sentido antihorario.
Propiedades de la función lineal:
1) El dominio de definición de una función lineal es todo el eje real;
2) Si k ≠ 0, entonces el rango de valores de la función lineal es el eje real completo.
Si k = 0, entonces el rango de valores de la función lineal consiste en el número b;
3) La uniformidad y la rareza de una función lineal dependen de los valores de los coeficientes k y b.
a) b ≠ 0, k = 0, por lo tanto, y = b es par;
b) b = 0, k ≠ 0, por lo tanto y = kx es impar;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, por lo tanto y = kx + b es una función general;
d) b = 0, k = 0, por lo tanto y = 0 es una función par e impar.
4) La función lineal no posee la propiedad de periodicidad;
5) Puntos de intersección con los ejes de coordenadas:
Ox: y = kx + b = 0, x = -b / k, por lo tanto (-b / k; 0) es el punto de intersección con el eje de abscisas.
Oy: y = 0k + b = b, por lo tanto (0; b) es el punto de intersección con el eje y.
Comentario. Si b = 0 y k = 0, entonces la función y = 0 desaparece para cualquier valor de la variable x. Si b ≠ 0 y k = 0, entonces la función y = b no desaparece para ningún valor de la variable x.
6) Los intervalos de constancia de signos dependen del coeficiente k.
a) k> 0; kx + b> 0, kx> -b, x> -b / k.
y = kx + b - positivo para x de (-b / k; + ∞),
y = kx + b - negativo para x de (-∞; -b / k).
b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b - es positivo para x de (-∞; -b / k),
y = kx + b - negativo para x de (-b / k; + ∞).
c) k = 0, b> 0; y = kx + b es positivo en todo el dominio,
k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Los intervalos de monotonicidad de la función lineal dependen del coeficiente k.
k> 0, por lo tanto y = kx + b aumenta en todo el dominio,
k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
11. Función y = ax 2 + bx + c, sus propiedades y gráfica.
| La función y = ax 2 + bx + c (a, b, c son constantes y ≠ 0) se llama cuadrático. En el caso más simple, y = ax 2 (b = c = 0), la gráfica es una línea curva que pasa por el origen. La curva que sirve como gráfica de la función y = ax 2 es una parábola. Cada parábola tiene un eje de simetría llamado el eje de la parábola. El punto O de la intersección de una parábola con su eje se llama ápice de una parábola. |
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| El gráfico se puede construir de acuerdo con el siguiente esquema: 1) Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola x 0 = -b / 2a; y 0 = y (x 0). 2) Construimos algunos puntos más que pertenecen a la parábola; en la construcción, podemos usar la simetría de la parábola con respecto a la recta x = -b / 2a. 3) Conecte los puntos marcados con una línea suave. Ejemplo. Grafique la función en = x 2 + 2x - 3. Soluciones. La gráfica de la función es una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia arriba. La abscisa del vértice de la parábola x 0 = 2 / (2 ∙ 1) = -1, sus ordenadas y (-1) = (1) 2 + 2 (-1) - 3 = -4. Entonces, el vértice de la parábola es el punto (-1; -4). Compongamos una tabla de valores para varios puntos, que se encuentran a la derecha del eje de simetría de la parábola, la línea recta x = -1. Propiedades de la función.
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Definición de una función lineal
Introduzcamos la definición de lineal función
Definición
Una función de la forma $ y = kx + b $, donde $ k $ es distinto de cero, se llama función lineal.
Gráfico de función lineal - línea recta. El número $ k $ se llama pendiente de la línea.
Para $ b = 0 $, la función lineal se llama función proporcionalidad directa$ y = kx $.
Considere la Figura 1.
Arroz. 1. Geométrico sentido pendiente de una línea recta
Considere un triángulo ABC. Vemos que $ ВС = kx_0 + b $. Encuentre el punto de intersección de la línea recta $ y = kx + b $ con el eje $ Ox $:
\ \
Por tanto, $ AC = x_0 + \ frac (b) (k) $. Encontremos la proporción de estas partes:
\ [\ frac (BC) (AC) = \ frac (kx_0 + b) (x_0 + \ frac (b) (k)) = \ frac (k (kx_0 + b)) ((kx) _0 + b) = k \]
Por otro lado, $ \ frac (BC) (AC) = tg \ angle A $.
Por tanto, se puede sacar la siguiente conclusión:
Producción
Significado geométrico del coeficiente $ k $. La pendiente de la recta $ k $ es igual a la tangente del ángulo de inclinación de esta recta al eje $ Ox $.
Investigación de la función lineal $ f \ left (x \ right) = kx + b $ y su gráfica
Primero, considere la función $ f \ left (x \ right) = kx + b $, donde $ k> 0 $.
- $ f "\ left (x \ right) = (\ left (kx + b \ right))" = k> 0 $. En consecuencia, esta función aumenta en todo el dominio de definición. No hay puntos extremos.
- $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) kx \) = - \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) kx \) = + \ infty $
- Gráfico (Fig. 2).
Arroz. 2. Gráficas de la función $ y = kx + b $, para $ k> 0 $.
Ahora considere la función $ f \ left (x \ right) = kx $, donde $ k
- El alcance es todo números.
- El rango son todos los números.
- $ f \ left (-x \ right) = - kx + b $. La función no es ni par ni impar.
- Para $ x = 0, f \ left (0 \ right) = b $. Para $ y = 0,0 = kx + b, \ x = - \ frac (b) (k) $.
Puntos de intersección con ejes de coordenadas: $ \ left (- \ frac (b) (k), 0 \ right) $ y $ \ left (0, \ b \ right) $
- $ f "\ left (x \ right) = (\ left (kx \ right))" = k
- $ f ^ ("") \ left (x \ right) = k "= 0 $. Por lo tanto, la función no tiene puntos de inflexión.
- $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) kx \) = + \ infty $, $ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) kx \) = - \ infty $
- Gráfico (Fig. 3).
