Reducción de expresiones trigonométricas en línea. Simplificando expresiones booleanas

A menudo, las tareas requieren una respuesta simplificada. Aunque tanto las respuestas simplificadas como las no simplificadas son correctas, su instructor puede reducir su calificación si no simplifica su respuesta. Además, es mucho más fácil trabajar con la expresión matemática simplificada. Por eso, es muy importante aprender a simplificar expresiones.

Pasos

Orden correcto de las operaciones matemáticas.

1. Recuerde el orden correcto para realizar operaciones matemáticas. A la hora de simplificar una expresión matemática se debe seguir un determinado orden de operaciones, ya que algunas operaciones matemáticas tienen prioridad sobre otras y deben realizarse primero (de hecho, no seguir el orden correcto de las operaciones te llevará a un resultado incorrecto). Recuerda el siguiente orden de las operaciones matemáticas: expresión entre paréntesis, exponenciación, multiplicación, división, suma, resta.

   • Tenga en cuenta que conocer el orden correcto de las operaciones le permitirá simplificar la mayoría de las expresiones simples, pero para simplificar un polinomio (una expresión con una variable) necesita conocer trucos especiales (consulte la siguiente sección).

2. Comienza resolviendo la expresión entre paréntesis. En matemáticas, los paréntesis indican que la expresión dentro de ellos debe evaluarse primero. Por lo tanto, al simplificar cualquier expresión matemática, comience resolviendo la expresión entre paréntesis (no importa qué operaciones deba realizar dentro de los paréntesis). Pero recuerda que cuando trabajes con una expresión entre paréntesis, debes seguir el orden de las operaciones, es decir, los términos entre paréntesis primero se multiplican, dividen, suman, restan, etc.

   • Por ejemplo, simplifiquemos la expresión. 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Aquí comenzamos con las expresiones entre paréntesis: 5 + 2 = 7 y 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • La expresión en el segundo par de paréntesis se simplifica a 5 porque primero se debe dividir 4/2 (según el orden correcto de las operaciones). Si no sigues este orden, obtendrás la respuesta incorrecta: 3 + 4 = 7 y 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Si hay otro par de paréntesis entre paréntesis, comience a simplificar resolviendo la expresión entre paréntesis internos y luego continúe resolviendo la expresión entre paréntesis externos.

3. Exponenciar. Habiendo resuelto las expresiones entre paréntesis, pasamos a la exponenciación (recordemos que una potencia tiene un exponente y una base). Eleva la expresión (o número) correspondiente a una potencia y sustituye el resultado en la expresión que te dieron.

   • En nuestro ejemplo, la única expresión (número) elevado a la potencia es 3 2: 3 2 = 9. En la expresión que te dieron, reemplaza 3 2 con 9 y obtendrás: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Multiplicar. Recuerda que la operación de multiplicación se puede representar con los siguientes símbolos: "x", "∙" o "*". Pero si no hay símbolos entre el número y la variable (por ejemplo, 2x) o entre el número y el número entre paréntesis (por ejemplo, 4(7)), entonces esto también es una operación de multiplicación.

   • En nuestro ejemplo, hay dos operaciones de multiplicación: 2x (dos multiplicados por la variable “x”) y 4(7) (cuatro multiplicado por siete). No conocemos el valor de x, así que dejaremos la expresión 2x ​​como está. 4(7) = 4 x 7 = 28. Ahora puedes reescribir la expresión que te dieron de la siguiente manera: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Dividir. Recuerda que la operación de división se puede representar con los siguientes símbolos: “/”, “÷” o “–” (puedes ver este último carácter en fracciones). Por ejemplo, 3/4 es tres dividido por cuatro.

   • En nuestro ejemplo, ya no hay una operación de división, ya que ya dividiste 4 entre 2 (4/2) al resolver la expresión entre paréntesis. Para que puedas pasar al siguiente paso. Recuerda que la mayoría de las expresiones no contienen todas las operaciones matemáticas (sólo algunas de ellas).

6. Doblar. Al agregar términos de una expresión, puede comenzar con el término más alejado (a la izquierda) o puede agregar los términos que se suman fácilmente primero. Por ejemplo, en la expresión 49 + 29 + 51 +71, primero es más fácil sumar 49 + 51 = 100, luego 29 + 71 = 100 y finalmente 100 + 100 = 200. Es mucho más difícil sumar así: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • En nuestro ejemplo 2x + 28 + 9 + 5 hay dos operaciones de suma. Comencemos con el término más externo (izquierdo): 2x + 28; no puedes sumar 2x y 28 porque no conoces el valor de la variable "x". Por lo tanto, suma 28 + 9 = 37. Ahora la expresión se puede reescribir de la siguiente manera: 2x + 37 - 5.

7. Sustraer. Esta es la última operación en el orden correcto de realización de operaciones matemáticas. En esta etapa, también puede sumar números negativos o hacerlo en la etapa de sumar términos; esto no afectará el resultado final de ninguna manera.

   • En nuestro ejemplo 2x + 37 - 5 solo hay una operación de resta: 37 - 5 = 32.

8. En esta etapa, después de realizar todas las operaciones matemáticas, deberías obtener una expresión simplificada. Pero si la expresión que se le dio contiene una o más variables, recuerde que el término con la variable permanecerá como está. Resolver (no simplificar) una expresión con una variable implica encontrar el valor de esa variable. A veces, las expresiones variables se pueden simplificar utilizando métodos especiales (consulte la siguiente sección).

   • En nuestro ejemplo, la respuesta final es 2x + 32. No puedes sumar los dos términos hasta que conozcas el valor de la variable "x". Una vez que conozcas el valor de la variable, podrás simplificar fácilmente este binomio.

   Simplificar expresiones complejas

   1. Adición de términos similares. Recuerda que sólo puedes restar y sumar términos semejantes, es decir, términos con la misma variable y el mismo exponente. Por ejemplo, puedes sumar 7x y 5x, pero no puedes sumar 7x y 5x 2 (ya que los exponentes son diferentes).

      • Esta regla también se aplica a miembros con múltiples variables. Por ejemplo, puedes sumar 2xy 2 y -3xy 2, pero no puedes sumar 2xy 2 y -3x 2 y o 2xy 2 y -3y 2.
      • Veamos un ejemplo: x 2 + 3x + 6 - 8x. Aquí los términos semejantes son 3x y 8x, por lo que se pueden sumar. Una expresión simplificada se ve así: x 2 - 5x + 6.

   2. Simplifica la fracción numérica. En tal fracción, tanto el numerador como el denominador contienen números (sin variable). fracción numérica simplificado de varias maneras. Primero, simplemente divide el denominador por el numerador. En segundo lugar, factoriza el numerador y el denominador y cancela los factores iguales (ya que dividir un número por sí mismo te dará 1). En otras palabras, si tanto el numerador como el denominador tienen el mismo factor, puedes eliminarlo y obtener una fracción simplificada.

      • Por ejemplo, considere la fracción 36/60. Usando una calculadora, divide 36 entre 60 para obtener 0,6. Pero puedes simplificar esta fracción de otra manera factorizando el numerador y el denominador: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Como 6/6 = 1, la fracción simplificada es: 1 x 6/10 = 6/10. Pero esta fracción también se puede simplificar: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Si una fracción contiene una variable, puedes cancelar factores similares con la variable. Factoriza tanto el numerador como el denominador y cancela los factores similares, incluso si contienen la variable (recuerda que los factores similares aquí pueden contener o no la variable).

      • Veamos un ejemplo: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Esta expresión se puede reescribir (factorizar) en la forma: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Dado que el término 3x está tanto en el numerador como en el denominador, puedes cancelarlo para obtener una expresión simplificada: (x + 1)/(5 - x). Veamos otro ejemplo: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Tenga en cuenta que no puede cancelar ningún término; solo se cancelan los factores idénticos que están presentes tanto en el numerador como en el denominador. Por ejemplo, en la expresión (x(x + 2))/x, la variable (factor) “x” está tanto en el numerador como en el denominador, por lo que “x” se puede reducir para obtener una expresión simplificada: (x + 2)/1 = x + 2. Sin embargo, en la expresión (x + 2)/x, la variable “x” no se puede reducir (ya que “x” no es un factor en el numerador).

   4. Abrir paréntesis. Para hacer esto, multiplica el término fuera de los corchetes por cada término entre corchetes. A veces esto ayuda a simplificar una expresión compleja. Esto se aplica tanto a los miembros que son números primos y a los miembros que contienen la variable.

      • Por ejemplo, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 y 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Tenga en cuenta que en expresiones fraccionarias no es necesario abrir paréntesis si tanto el numerador como el denominador tienen el mismo factor. Por ejemplo, en la expresión (3(x 2 + 8))/3x no es necesario ampliar los paréntesis, ya que aquí puedes cancelar el factor de 3 y obtener la expresión simplificada (x 2 + 8)/x. Es más fácil trabajar con esta expresión; si abrieras los paréntesis, obtendrías la siguiente expresión compleja: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Factorizar polinomios. Con este método, puedes simplificar algunas expresiones y polinomios. Factorizar es la operación opuesta a abrir paréntesis, es decir, una expresión se escribe como el producto de dos expresiones, cada una de ellas encerrada entre paréntesis. En algunos casos, la factorización te permite reducir la misma expresión. En casos especiales (generalmente con ecuaciones cuadráticas) la factorización te permitirá resolver la ecuación.

      • Considere la expresión x 2 - 5x + 6. Está factorizada: (x - 3)(x - 2). Así, si, por ejemplo, la expresión está dada (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), entonces puedes reescribirla como (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), reduce la expresión (x - 2) y obtiene una expresión simplificada (x - 3)/2.
      • La factorización de polinomios se utiliza para resolver (encontrar raíces) ecuaciones (una ecuación es un polinomio igual a 0). Por ejemplo, considere la ecuación x 2 - 5x + 6 = 0. Al factorizarla, se obtiene (x - 3)(x - 2) = 0. Como cualquier expresión multiplicada por 0 es igual a 0, podemos escribirla como esto: x - 3 = 0 y x - 2 = 0. Por lo tanto, x = 3 y x = 2, es decir, has encontrado dos raíces de la ecuación que te dieron.

Se sabe que en matemáticas no se puede prescindir de simplificar expresiones. Esto es necesario para resolver correcta y rápidamente una amplia variedad de problemas, así como varios tipos de ecuaciones. La simplificación aquí discutida implica una reducción en el número de acciones necesarias para lograr un objetivo. Como resultado, los cálculos se simplifican notablemente y se ahorra mucho tiempo. ¿Pero cómo simplificar la expresión? Para ello se utilizan relaciones matemáticas establecidas, muchas veces llamadas fórmulas, o leyes, que permiten acortar mucho las expresiones, simplificando así los cálculos.

No es ningún secreto que hoy en día no es difícil simplificar la expresión en línea. Aquí hay enlaces a algunos de los más populares:

Sin embargo, esto no es posible con todas las expresiones. Por tanto, echemos un vistazo más de cerca a los métodos más tradicionales.

sacando el divisor común

En el caso de que una expresión contenga monomios que tengan los mismos factores, puedes encontrar la suma de sus coeficientes y luego multiplicarlos por el factor común. Esta operación también se llama "eliminar el divisor común". Al utilizar este método de forma secuencial, a veces es posible simplificar significativamente la expresión. Después de todo, el álgebra en general, en su conjunto, se basa en agrupar y reordenar factores y divisores.

Las fórmulas más simples para la multiplicación abreviada.

Una de las consecuencias del método descrito anteriormente son las fórmulas de multiplicación abreviadas. Cómo simplificar expresiones con su ayuda es mucho más claro para aquellos que ni siquiera han memorizado estas fórmulas de memoria, pero saben cómo se derivan, es decir, de dónde provienen y, en consecuencia, su naturaleza matemática. En principio, la afirmación anterior sigue siendo válida en todas las matemáticas modernas, desde el primer grado hasta los cursos superiores de las facultades de mecánica y matemáticas. Diferencia de cuadrados, cuadrado de diferencia y suma, suma y diferencia de cubos: todas estas fórmulas se utilizan ampliamente en primaria, así como en Matemáticas avanzadas en los casos en los que sea necesario simplificar la expresión para resolver los problemas. Se pueden encontrar fácilmente ejemplos de tales transformaciones en cualquier libro de texto de álgebra escolar o, aún más fácil, en la World Wide Web.

raíces de grado

Las matemáticas elementales, si las miramos en su conjunto, no tienen muchas formas de simplificar una expresión. Los títulos y las operaciones con ellos, por regla general, son relativamente fáciles para la mayoría de los estudiantes. Pero muchos escolares y estudiantes modernos tienen dificultades considerables cuando es necesario simplificar una expresión con raíces. Y esto es completamente infundado. Porque la naturaleza matemática de las raíces no se diferencia de la naturaleza de los mismos grados, con los que, por regla general, surgen muchas menos dificultades. Se sabe que Raíz cuadrada de un número, variable o expresión no es más que el mismo número, variable o expresión elevado a un medio, la raíz cúbica es lo mismo elevado a un tercio, y así sucesivamente según correspondencia.

Simplificar expresiones con fracciones

Veamos también un ejemplo común de cómo simplificar una expresión con fracciones. En los casos en que las expresiones sean fracciones naturales, debes aislar el factor común del denominador y el numerador y luego reducir la fracción en él. Cuando los monomios tienen factores idénticos elevados a potencias, es necesario procurar que las potencias sean iguales al sumarlas.

Simplificar expresiones trigonométricas básicas

Lo que destaca para algunos es la conversación sobre cómo simplificar una expresión trigonométrica. La rama más amplia de la trigonometría es quizás la primera etapa en la que los estudiantes de matemáticas encontrarán conceptos, problemas y métodos algo abstractos para resolverlos. Aquí hay fórmulas correspondientes, la primera de las cuales es la identidad trigonométrica básica. Teniendo una mente matemática suficiente, se puede rastrear la derivación sistemática de esta identidad de todas las identidades y fórmulas trigonométricas básicas, incluidas fórmulas de diferencias y sumas de argumentos, argumentos dobles, triples, fórmulas de reducción y muchas otras. Por supuesto, no debemos olvidar aquí los primeros métodos, como la suma de un factor común, que se utilizan plenamente junto con nuevos métodos y fórmulas.

En resumen, proporcionaremos al lector algunos consejos generales:

• Los polinomios deben factorizarse, es decir, deben representarse como producto de un cierto número de factores: monomios y polinomios. Si tal posibilidad existe, es necesario eliminar el factor común entre paréntesis.
• Es mejor memorizar todas las fórmulas de multiplicación abreviadas sin excepción. No hay tantos, pero son la base para simplificar expresiones matemáticas. Tampoco debemos olvidarnos del método de aislar cuadrados perfectos en trinomios, que es acción inversa a una de las fórmulas de multiplicación abreviadas.
• Todas las fracciones presentes en la expresión deben reducirse con la mayor frecuencia posible. Sin embargo, no olvides que sólo se reducen los multiplicadores. Cuando el denominador y el numerador de fracciones algebraicas se multiplican por el mismo número distinto de cero, los significados de las fracciones no cambian.
• En general, todas las expresiones pueden transformarse mediante acciones o en cadena. El primer método es más preferible porque los resultados de las acciones intermedias son más fáciles de verificar.
• Muy a menudo en expresiones matemáticas tenemos que extraer raíces. Debe recordarse que las raíces de potencias pares solo se pueden extraer de un número o expresión no negativa, y las raíces de potencias impares se pueden extraer de absolutamente cualquier expresión o número.

Esperamos que nuestro artículo le ayude en el futuro a comprender las fórmulas matemáticas y le enseñe cómo aplicarlas en la práctica.

Una expresión algebraica en la que, junto con las operaciones de suma, resta y multiplicación, la división por expresiones literales, se llama expresión algebraica fraccionaria. Éstas son, por ejemplo, las expresiones

Llamamos fracción algebraica a una expresión algebraica que tiene la forma de cociente de la división de dos expresiones algebraicas enteras (por ejemplo, monomios o polinomios). Éstas son, por ejemplo, las expresiones

La tercera de las expresiones).

Las transformaciones idénticas de expresiones algebraicas fraccionarias están destinadas en su mayor parte a representarlas en la forma fracción algebraica. Para encontrar el denominador común, se utiliza la factorización de los denominadores de fracciones, términos para encontrar su mínimo común múltiplo. Al reducir fracciones algebraicas, se puede violar la estricta identidad de las expresiones: es necesario excluir valores de cantidades en las que el factor por el cual se realiza la reducción se vuelve cero.

Demos ejemplos de transformaciones idénticas de expresiones algebraicas fraccionarias.

Ejemplo 1: simplificar una expresión

Todos los términos se pueden reducir a un denominador común (es conveniente cambiar el signo en el denominador del último término y el signo delante de él):

Nuestra expresión es igual a uno para todos los valores excepto estos valores; no está definida y reducir la fracción es ilegal).

Ejemplo 2. Representar la expresión como una fracción algebraica.

Solución. La expresión se puede tomar como denominador común. Encontramos secuencialmente:

Ejercicios

1. Encuentre los valores de expresiones algebraicas para los valores de parámetros especificados:

2. Factorizar.

Algunos ejemplos algebraicos por sí solos pueden aterrorizar a los escolares. Las expresiones largas no sólo intimidan, sino que también dificultan mucho los cálculos. Al intentar comprender de inmediato lo que sigue a qué, no tardará en confundirse. Es por esta razón que los matemáticos siempre intentan simplificar al máximo un problema "terrible" y sólo entonces comienzan a resolverlo. Curiosamente, este truco acelera significativamente el proceso de trabajo.

La simplificación es uno de los puntos fundamentales del álgebra. Si aún puede prescindir de él en problemas simples, entonces los ejemplos más difíciles de calcular pueden resultar demasiado complicados. ¡Aquí es donde estas habilidades resultan útiles! Además, no se requieren conocimientos matemáticos complejos: bastará con recordar y aprender a aplicar en la práctica algunas técnicas y fórmulas básicas.

Independientemente de la complejidad de los cálculos, a la hora de resolver cualquier expresión es importante seguir el orden de realización de operaciones con números:

1. soportes;
2. exponenciación;
3. multiplicación;
4. división;
5. suma;
6. sustracción.

Los dos últimos puntos se pueden intercambiar fácilmente y esto no afectará el resultado de ninguna manera. ¡Pero sumar dos números adyacentes cuando hay un signo de multiplicación al lado de uno de ellos está absolutamente prohibido! La respuesta, si la hay, es incorrecta. Por lo tanto, es necesario recordar la secuencia.

El uso de tales

Dichos elementos incluyen números con una variable del mismo orden o del mismo grado. También existen los llamados miembros gratuitos que no tienen al lado designación de letra desconocido.

La cuestión es que a falta de paréntesis Puedes simplificar la expresión sumando o restando expresiones similares..

Algunos ejemplos ilustrativos:

• 8x 2 y 3x 2 - ambos números tienen la misma variable de segundo orden, por lo que son similares y cuando se suman se simplifican a (8+3)x 2 =11x 2, mientras que cuando se restan obtienen (8-3)x 2 = 5x2;
• 4x 3 y 6x - y aquí "x" tiene diferentes grados;
• 2y 7 y 33x 7 - contienen variables diferentes, por lo que, como en el caso anterior, no son similares.

Factorizar un número

Este pequeño truco matemático, si aprendes a utilizarlo correctamente, te ayudará más de una vez a afrontar un problema complicado en el futuro. Y no es difícil entender cómo funciona el “sistema”: La descomposición es el producto de varios elementos, cuyo cálculo da el valor original.. Entonces 20 se puede representar como 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 o de alguna otra forma.

en una nota: Los factores son siempre iguales que los divisores. Por lo tanto, es necesario buscar un "par" que funcione para la descomposición entre los números en los que el original es divisible sin resto.

Esta operación se puede realizar tanto con términos libres como con números en una variable. Lo principal es no perder este último durante los cálculos, incluso después de la descomposición, lo desconocido no puede simplemente “ir a ninguna parte”. Se queda en uno de los multiplicadores.:

• 15x=3(5x);
• 60 años 2 = (15 años 2)4.

Los números primos que sólo se pueden dividir por sí mismos o por 1 nunca se expanden; no tiene sentido.

Métodos básicos de simplificación.

Lo primero que te llama la atención:

• la presencia de paréntesis;
• fracciones;
• raíces.

Los ejemplos algebraicos en el plan de estudios escolar a menudo se escriben con la idea de que se pueden simplificar maravillosamente.

Cálculos entre paréntesis

¡Presta mucha atención al cartel delante de los soportes! Se aplica multiplicación o división a cada elemento del interior y un signo menos invierte los signos “+” o “-” existentes.

Los paréntesis se calculan de acuerdo con las reglas o mediante fórmulas de multiplicación abreviadas, después de lo cual se dan otras similares.

Reducir fracciones

Reducir fracciones También es fácil. Ellos mismos “huin voluntariamente” de vez en cuando, tan pronto como se llevan a cabo operaciones para traer a esos miembros. Pero puedes simplificar el ejemplo incluso antes de eso: presta atención al numerador y denominador. A menudo contienen elementos explícitos u ocultos que pueden reducirse mutuamente. Es cierto que si en el primer caso solo necesitas tachar lo innecesario, en el segundo tendrás que pensar, dando forma a parte de la expresión para simplificarla. Métodos utilizados:

• buscar y poner entre paréntesis el máximo común divisor del numerador y denominador;
• dividiendo cada elemento superior por el denominador.

Cuando una expresión o parte de ella está bajo la raíz, la tarea principal de la simplificación es casi similar al caso de las fracciones. Es necesario buscar formas de deshacerse completamente de él o, si esto no es posible, minimizar el signo que interfiere con los cálculos. Por ejemplo, hasta el discreto √(3) o √(7).

Una forma segura de simplificar una expresión radical es intentar factorizarla., algunos de los cuales se extienden más allá del signo. Un ejemplo ilustrativo: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Otros pequeños trucos y matices:

• esta operación de simplificación se puede realizar con fracciones, sacándola del signo tanto en su conjunto como por separado como numerador o denominador;
• Parte de la suma o diferencia no se puede ampliar ni llevar más allá de la raíz.;
• al trabajar con variables asegúrese de tener en cuenta su grado, debe ser igual o múltiplo de la raíz para poder sacarlo: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3 )=√(x 2 ×x)=x√( x);
• a veces es posible deshacerse de la variable radical elevándola a una potencia fraccionaria: √(y 3)=y 3/2.

Simplificando una expresión de poder

Si en el caso de cálculos simples con menos o más, los ejemplos se simplifican citando otros similares, ¿qué pasa cuando se multiplican o dividen variables con diferentes potencias? Se pueden simplificar fácilmente recordando dos puntos principales:

1. Si hay un signo de multiplicación entre las variables, las potencias se suman.
2. Cuando se dividen entre sí, se resta la misma potencia del denominador a la potencia del numerador.

La única condición para tal simplificación es que ambos términos tengan la misma base. Ejemplos para mayor claridad:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Observamos que las operaciones con valores numéricos delante de variables se producen según las reglas matemáticas habituales. Y si miras de cerca, queda claro que los elementos de poder de la expresión "funcionan" de manera similar:

• elevar un término a una potencia significa multiplicarlo por sí mismo un cierto número de veces, es decir, x 2 =x×x;
• La división es similar: si expandes las potencias del numerador y del denominador, algunas de las variables se cancelarán, mientras que las restantes se “recopilarán”, lo que equivale a una resta.

Como ocurre con todo, simplificar expresiones algebraicas requiere no sólo conocimientos básicos, sino también práctica. Después de unas pocas lecciones, los ejemplos que antes parecían complejos se reducirán sin mucha dificultad, convirtiéndose en ejemplos breves y de fácil solución.

Video

Este video te ayudará a comprender y recordar cómo se simplifican las expresiones.

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La simplificación de expresiones algebraicas es una de las puntos clave aprender álgebra y una habilidad extremadamente útil para todos los matemáticos. La simplificación le permite reducir una expresión compleja o larga a una expresión simple con la que es fácil trabajar. Las habilidades básicas de simplificación son buenas incluso para aquellos que no están entusiasmados con las matemáticas. Siguiendo algunas reglas simples, puedes simplificar muchos de los tipos más comunes de expresiones algebraicas sin ningún conocimiento matemático especial.

Pasos

Definiciones importantes

1. Miembros similares. Estos son miembros con una variable del mismo orden, miembros con las mismas variables o miembros libres (miembros que no contienen una variable). En otras palabras, términos similares incluyen la misma variable en el mismo grado, incluyen varias de las mismas variables o no incluyen ninguna variable. No importa el orden de los términos en la expresión.

   • Por ejemplo, 3x 2 y 4x 2 son términos similares porque contienen una variable "x" de segundo orden (a la segunda potencia). Sin embargo, x y x2 no son términos similares, ya que contienen la variable “x” de diferente orden (primero y segundo). Asimismo, -3yx y 5xz no son términos similares porque contienen variables diferentes.

2. Factorización. Se trata de encontrar números cuyo producto conduzca al número original. Cualquier número original puede tener varios factores. Por ejemplo, el número 12 se puede factorizar en la siguiente serie de factores: 1×12, 2×6 y 3×4, por lo que podemos decir que los números 1, 2, 3, 4, 6 y 12 son factores del número 12. Los factores son los mismos que los factores, es decir, los números por los que se divide el número original.

   • Por ejemplo, si quieres factorizar el número 20, escríbelo así: 4×5.
   • Tenga en cuenta que al factorizar, se tiene en cuenta la variable. Por ejemplo, 20x = 4(5x).
   • Los números primos no se pueden factorizar porque sólo son divisibles por sí mismos y por 1.

3. Recuerda y sigue el orden de las operaciones para evitar errores.

   • Soportes
   • Grado
   • Multiplicación
   • División
   • Suma
   • Sustracción

   Trayendo miembros similares

   1. Escribe la expresión. Las expresiones algebraicas simples (aquellas que no contienen fracciones, raíces, etc.) se pueden resolver (simplificar) en tan solo unos pocos pasos.

      • Por ejemplo, simplifique la expresión. 1+2x - 3+4x.

   2. Definir términos similares (términos con una variable del mismo orden, términos con las mismas variables o términos libres).

      • Encuentra términos similares en esta expresión. Los términos 2x y 4x contienen una variable del mismo orden (primero). Además, 1 y -3 son términos libres (no contienen una variable). Así, en esta expresión los términos 2x y 4x son similares y los miembros 1 y -3 también son similares.

   3. Dar miembros similares. Esto significa sumarlos o restarlos y simplificar la expresión.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Reescribe la expresión teniendo en cuenta los términos dados. Obtendrá una expresión simple con menos términos. La nueva expresión es igual a la original.

      • En nuestro ejemplo: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, es decir, la expresión original se simplifica y es más fácil trabajar con ella.

   5. Siga el orden de operaciones al traer miembros similares. En nuestro ejemplo, fue fácil proporcionar términos similares. Sin embargo, en el caso de expresiones complejas en las que los términos están entre paréntesis y hay fracciones y raíces, no es tan fácil reunir dichos términos. En estos casos, siga el orden de las operaciones.

      • Por ejemplo, considere la expresión 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Aquí sería un error definir inmediatamente 3x y 2x como términos similares y presentarlos, porque primero es necesario abrir los paréntesis. Por tanto, realice las operaciones según su orden.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Ahora, cuando la expresión contiene solo operaciones de suma y resta, puede traer términos similares.
        • x2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x2 + 12x + 3

   Sacando el multiplicador de paréntesis

   1. Encuentra el máximo común divisor (MCD) de todos los coeficientes de la expresión. MCD es mayor numero, por el cual se dividen todos los coeficientes de la expresión.

      • Por ejemplo, considere la ecuación 9x 2 + 27x - 3. En este caso, MCD = 3, ya que cualquier coeficiente de esta expresión es divisible por 3.

   2. Divide cada término de la expresión por mcd. Los términos resultantes contendrán coeficientes más pequeños que en la expresión original.

      • En nuestro ejemplo, divide cada término de la expresión entre 3.
        • 9x2/3 = 3x2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • El resultado fue una expresión. 3x 2 + 9x - 1. No es igual a la expresión original.

   3. Escribe la expresión original como igual al producto de mcd y la expresión resultante. Es decir, incluya la expresión resultante entre corchetes y elimine el mcd de los corchetes.

      • En nuestro ejemplo: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Simplificar expresiones fraccionarias poniendo el factor entre paréntesis.¿Por qué simplemente sacar el multiplicador de entre paréntesis, como se hizo antes? Luego, aprender a simplificar expresiones complejas, como expresiones fraccionarias. En este caso, quitar el factor entre paréntesis puede ayudar a eliminar la fracción (del denominador).

      • Por ejemplo, considere la expresión fraccionaria (9x 2 + 27x - 3)/3. Usa la factorización para simplificar esta expresión.
        • Saque el factor de 3 entre paréntesis (como hizo antes): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Observe que ahora hay un 3 tanto en el numerador como en el denominador. Esto se puede reducir para dar la expresión: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Dado que cualquier fracción que tiene el número 1 en el denominador es simplemente igual al numerador, la expresión de la fracción original se simplifica a: 3x 2 + 9x - 1.

   Métodos de simplificación adicionales

4. Veamos un ejemplo sencillo: √(90). El número 90 se puede descomponer en los siguientes factores: 9 y 10, y del 9 podemos sacar la raíz cuadrada (3) y sacar 3 de debajo de la raíz.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Simplificar expresiones con potencias. Algunas expresiones contienen operaciones de multiplicación o división de términos con potencias. En el caso de multiplicar términos con la misma base, se suman sus potencias; en el caso de dividir términos con la misma base, se restan sus potencias.

   • Por ejemplo, considere la expresión 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). En el caso de la multiplicación, se suman las potencias, y en el caso de la división, se restan.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • La siguiente es una explicación de las reglas para multiplicar y dividir términos con potencias.
     • Multiplicar términos con potencias equivale a multiplicar términos por sí mismos. Por ejemplo, dado que x 3 = x × x × x y x 5 = x × x × x × x × x, entonces x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), o x 8 .
     • Asimismo, dividir términos con grados equivale a dividir términos por sí mismos. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Dado que los términos similares que se encuentran tanto en el numerador como en el denominador se pueden reducir, el producto de dos “x”, o x 2, permanece en el numerador.

• Recuerde siempre los signos (más o menos) que preceden a los términos de la expresión, ya que muchas personas tienen dificultades para elegir el signo correcto.
• ¡Pide ayuda si es necesario!
• Simplificar expresiones algebraicas no es fácil, pero una vez que lo dominas, es una habilidad que puedes usar por el resto de tu vida.