universidad Estatal de Belgorod

SILLA álgebra, teoría de números y geometría

Tema de trabajo: Ecuaciones y desigualdades de potencia exponencial.

Tesis estudiante de la Facultad de Física y Matemáticas

Consejero científico:

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Revisor: _______________________________

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Belgorod. 2006 año

Introducción			3
Tema I.	Análisis de la literatura sobre el tema de investigación.
Tema II.	Funciones y sus propiedades utilizadas en la resolución de ecuaciones y desigualdades exponenciales.
	I.1.	Función de potencia y sus propiedades.
	I.2.	Función exponencial y sus propiedades.
Tema III.	Solución de ecuaciones exponenciales, algoritmo y ejemplos.
Tema IV.	Solución de desigualdades exponenciales, plan de solución y ejemplos.
Tema V.	Experiencia en la realización de clases con escolares sobre el tema: "Solución de ecuaciones y desigualdades de potencia exponencial".
V. 1.	Material de enseñanza.
V. 2.	Tareas para solución independiente.
Conclusión.	Conclusiones y ofertas.
Bibliografía.
Aplicaciones

Introducción.

"... alegría de ver y comprender ..."

A. Einstein.

En este trabajo, traté de transmitir mi experiencia de trabajo como profesor de matemáticas, para transmitir al menos en cierta medida mi actitud hacia la enseñanza, un negocio humano en el que las matemáticas, la pedagogía, la didáctica, la psicología e incluso la filosofía están sorprendentemente entrelazadas.

Trabajé con niños pequeños y graduados, con niños en los polos del desarrollo intelectual: aquellos que estaban registrados con un psiquiatra y que estaban realmente interesados \u200b\u200ben las matemáticas.

Tuve la oportunidad de resolver muchos problemas metodológicos. Intentaré contarte sobre los que logré resolver. Pero aún más, no fue posible, y en las que parecen estar resueltas, surgen nuevas preguntas.

Pero aún más importante que la experiencia misma son las reflexiones y dudas del profesor: ¿por qué es exactamente esta, esta experiencia?

Y el verano es diferente ahora, y la difusión de la educación se ha vuelto más interesante. “Bajo Júpiter” hoy no es la búsqueda de un mítico sistema óptimo de enseñanza de “todos y todo”, sino el niño mismo. Pero luego, con necesidad, y el maestro.

EN curso escolar álgebra y el comienzo del análisis, grados 10 - 11, al aprobar el examen del curso escuela secundaria y en los exámenes de ingreso a las universidades, se encuentran ecuaciones y desigualdades, que contienen una incógnita en la base y los exponentes, que son ecuaciones y desigualdades de potencia exponencial.

Se les presta poca atención en la escuela, prácticamente no hay tareas sobre este tema en los libros de texto. Sin embargo, dominar la técnica para resolverlos, me parece, es muy útil: aumenta la capacidad mental y habilidades creativas estudiantes, se abren ante nosotros horizontes completamente nuevos. Al resolver problemas, los estudiantes adquieren las primeras habilidades del trabajo de investigación, su cultura matemática se enriquece y se desarrolla la capacidad de pensar lógicamente. Los escolares desarrollan rasgos de personalidad como determinación, fijación de metas e independencia, que les serán útiles en la vida posterior. Y también hay una repetición, expansión y asimilación profunda del material educativo.

Comencé a trabajar en este tema de la investigación de mi tesis escribiendo un trabajo final. En el curso del cual estudié y analicé la literatura matemática sobre este tema en mayor profundidad, identifiqué el método más adecuado para resolver ecuaciones y desigualdades exponenciales.

Radica en que además del enfoque generalmente aceptado al resolver ecuaciones exponenciales (la base se toma mayor que 0) y al resolver las mismas desigualdades (la base se toma mayor que 1 o mayor que 0, pero menor que 1) , los casos también se consideran cuando las bases son negativas, son 0 y 1.

Un análisis de los exámenes escritos de los estudiantes muestra que la falta de cobertura de la cuestión del significado negativo del argumento de la función exponencial en los libros de texto escolares les causa una serie de dificultades y conduce a errores. Y también tienen problemas en la etapa de sistematización de los resultados obtenidos, donde, debido a la transición a una ecuación - una consecuencia o una desigualdad - una consecuencia, pueden aparecer raíces extrañas. Para eliminar errores, usamos una verificación con la ecuación o desigualdad original y un algoritmo para resolver ecuaciones de potencia exponencial, o un plan para resolver desigualdades de potencia exponencial.

Para que los estudiantes puedan aprobar con éxito la graduación y exámenes de admisiónCreo que es necesario prestar más atención a la solución de ecuaciones de potencia exponencial y desigualdades en el aula, o adicionalmente en electivas y círculos.

Por lo tanto tema , mi tesis se define como sigue: "Ecuaciones y desigualdades de potencia exponencial".

Objetivos de este trabajo son:

1. Analizar la literatura sobre este tema.

2. Dar análisis completo soluciones de ecuaciones exponenciales y desigualdades.

3. Dar un número suficiente de ejemplos sobre este tema de varios tipos.

4. Verifique en la lección, clases optativas y en círculo cómo se percibirán los métodos propuestos para resolver ecuaciones de potencia exponencial y desigualdades. Dar recomendaciones adecuadas para el estudio de este tema.

Sujeto nuestra investigación es el desarrollo de una metodología para resolver ecuaciones exponenciales y desigualdades.

El propósito y tema de la investigación requirió la solución de las siguientes tareas:

1. Estudiar la literatura sobre el tema: "Ecuaciones y desigualdades de potencia exponencial".

2. Dominar las técnicas para resolver ecuaciones y desigualdades de potencia exponencial.

3. Seleccionar material didáctico y desarrollar un sistema de ejercicios de diferentes niveles sobre el tema: "Resolver ecuaciones y desigualdades de potencia exponencial".

En el transcurso del estudio del diploma, se analizaron más de 20 trabajos sobre el uso de diferentes métodos soluciones de ecuaciones exponenciales y desigualdades. De aquí salimos.

Plan de tesis:

Introducción.

Capítulo I. Análisis de la literatura sobre el tema de investigación.

Capitulo dos. Funciones y sus propiedades utilizadas para resolver ecuaciones y desigualdades de potencia exponencial.

II.1. Función de potencia y sus propiedades.

II.2. Función exponencial y sus propiedades.

Capítulo III. Solución de ecuaciones exponenciales, algoritmo y ejemplos.

Capítulo IV. Solución de desigualdades exponenciales, plan de solución y ejemplos.

Capítulo V. Experiencia de realización de clases con escolares sobre este tema.

1. Material educativo.

2. Tareas de solución independiente.

Conclusión. Conclusiones y ofertas.

Lista de literatura usada.

El capítulo I analiza la literatura

Primer nivel

Ecuaciones exponenciales. Una guía completa (2019)

¡Oye! Hoy vamos a comentar contigo cómo resolver ecuaciones, que pueden ser tanto elementales (y espero que después de leer este artículo, casi todas sean para ti), como las que se suelen dar "para rellenar". Al parecer para quedarse dormido por completo. Pero intentaré hacer lo mejor que pueda para que ahora no te arruines ante este tipo de ecuaciones. Ya no me andaré por las ramas, pero abriré de inmediato. pequeño secreto: hoy estaremos comprometidos ecuaciones exponenciales.

Antes de proceder al análisis de las formas de resolverlos, de inmediato esbozaré frente a ustedes un círculo de preguntas (bastante pequeñas), que deben repetir antes de apresurarse a asaltar este tema. Entonces, para obtener el mejor resultado, por favor repetir:

1. Propiedades y
2. Solución y ecuaciones

¿Repetido? ¡Genial! Entonces no será difícil notar que la raíz de la ecuación es un número. ¿Entiendes exactamente cómo lo hice? ¿Cierto? Entonces continuemos. Ahora respóndeme la pregunta, ¿qué es el tercer grado? Estás absolutamente en lo correcto: . ¿Y ocho es una potencia de dos? Así es, ¡el tercero! Porque. Bueno, ahora intentemos resolver el siguiente problema: Supongamos que multiplico el número por mí mismo una vez y obtengo el resultado. La pregunta es, ¿cuántas veces me he multiplicado por mí mismo? Por supuesto, puede verificar esto directamente:

\\ begin (align) & 2 \u003d 2 \\\\ & 2 \\ cdot 2 \u003d 4 \\\\ & 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d 8 \\\\ & 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d 16 \\\\ \\ end ( alinear)

Entonces puedes concluir que me he multiplicado por mí mismo. ¿De qué otra manera puedes comprobar? Y así es cómo: directamente por definición del título :. Pero, debes admitir, si te preguntara cuántas veces dos deben multiplicarse por sí mismo para obtener, digamos, me habrías dicho: no me engañaré y multiplicaré por mí mismo hasta que me quede azul la cara. Y tendría toda la razón. Porque como puedes escribe todas las acciones brevemente (y la brevedad es hermana del talento)

donde - estos son los mismos "Veces"cuando te multiplicas por ti mismo.

Creo que ya sabes (y si no lo sabes, ¡con urgencia, con mucha urgencia repite las titulaciones!) Que entonces mi problema estará escrito en la forma:

¿Dónde puede llegar a una conclusión plenamente justificada de que:

Entonces, imperceptiblemente, escribí el más simple ecuación exponencial:

E incluso lo encontré raíz ... ¿No crees que todo es completamente trivial? Entonces pienso exactamente lo mismo. Aquí tienes otro ejemplo:

Pero, ¿qué hacer? No puede escribirlo como una potencia de un número (razonable). No nos desesperemos y observemos que ambos números están perfectamente expresados \u200b\u200ben términos de la potencia del mismo número. ¿Cuál? Derecha: . Luego, la ecuación original se transforma a la forma:

Donde, como ya entendiste,. No tiremos más y escribamos definición:

En nuestro caso contigo :.

Estas ecuaciones se resuelven reduciéndolas a la forma:

seguido de resolver la ecuación

Nosotros, de hecho, hicimos esto en el ejemplo anterior: lo conseguimos. Y resolvimos la ecuación más simple contigo.

Nada complicado, ¿verdad? Practiquemos primero con lo más simple ejemplos:

Nuevamente vemos que los lados derecho e izquierdo de la ecuación deben representarse como una potencia de un número. Es cierto que esto ya se hizo a la izquierda, pero a la derecha hay un número. Pero está bien, porque mi ecuación se transformará milagrosamente en esto:

¿Qué tuve que usar aquí? Cual es la regla Regla de grado a gradoque dice:

Y si:

Antes de responder esta pregunta, completemos la siguiente placa:

No es difícil para nosotros notar que cuanto menor, menor es el valor, pero sin embargo, todos estos valores son mayores que cero. Y SIEMPRE SERÁ ASÍ !!! La misma propiedad es válida PARA CUALQUIER BASE CON CUALQUIER INDICADOR !! (para cualquiera y). Entonces, ¿qué podemos concluir sobre la ecuación? Pero que: es no tiene raíces! Como no tiene raíces ni ecuación alguna. Ahora practiquemos y resolvamos ejemplos simples:

Vamos a revisar:

1. Aquí no se requiere nada de ti excepto el conocimiento de las propiedades de los grados (¡que, por cierto, te pedí que repitas!) Como regla, todo conduce a la menor razón:,. Entonces la ecuación original es equivalente a lo siguiente: Todo lo que necesito es usar las propiedades de las potencias: al multiplicar números con las mismas bases, se suman las potencias, y al dividirlas, se restan. Entonces obtengo: Bueno, ahora, con la conciencia tranquila, pasaré de una ecuación exponencial a una lineal: \\ begin (align)
Y 2x + 1 + 2 (x + 2) -3x \u003d 5 \\\\
Y 2x + 1 + 2x + 4-3x \u003d 5 \\\\
& x \u003d 0. \\\\
\\ end (alinear)

2. En el segundo ejemplo hay que tener más cuidado: el problema es que en el lado izquierdo no podremos presentarlo como una potencia del mismo número. En este caso, a veces es útil representan números como producto de grados con diferentes bases, pero los mismos indicadores:

El lado izquierdo de la ecuación se verá así: ¿Qué nos dio esto? Esto es lo que: Números con diferentes bases, pero los mismos indicadores se pueden multiplicar.En este caso, las bases se multiplican y el indicador no cambia:

Aplicado a mi situación, esto dará:

\\ begin (alinear)
& 4 \\ cdot ((64) ^ (x)) ((25) ^ (x)) \u003d 6400, \\\\
& 4 \\ cdot (((64 \\ cdot 25)) ^ (x)) \u003d 6400, \\\\
& ((1600) ^ (x)) \u003d \\ frac (6400) (4), \\\\
& ((1600) ^ (x)) \u003d 1600, \\\\
& x \u003d 1. \\\\
\\ end (alinear)

Nada mal, ¿verdad?

3. No me gusta cuando, innecesariamente, en un lado de la ecuación hay dos términos y en el otro, ninguno (a veces, por supuesto, esto está justificado, pero ahora no es así). Mueva el término menos a la derecha:

Ahora, como antes, escribiré todo en términos de potencias de tres:

Agrego las potencias a la izquierda y obtengo la ecuación equivalente

Puedes encontrar fácilmente su raíz:

4. Como en el ejemplo tres, ¡el término con menos es un lugar en el lado derecho!

A la izquierda, estoy casi bien, excepto ¿por qué? Sí, el "grado equivocado" en el diablo me molesta. Pero puedo solucionarlo fácilmente escribiendo :. Eureka: a la izquierda, todas las bases son diferentes, ¡pero todos los grados son iguales! ¡Multiplica urgentemente!

Aquí de nuevo, todo está claro: (si no entendiste cómo por arte de magia Obtuve la última igualdad, aparté la mirada por un minuto, tomo un descanso y volví a leer las propiedades del título con mucha atención. ¿Quién dijo que puedes saltarte una calificación negativa? Bueno, aquí estoy yo sobre lo mismo que nadie). Ahora obtendré:

\\ begin (alinear)
& ((2) ^ (4 \\ left ((x) -9 \\ right))) \u003d ((2) ^ (- 1)) \\\\
& 4 ((x) -9) \u003d - 1 \\\\
& x \u003d \\ frac (35) (4). \\\\
\\ end (alinear)

Aquí están las tareas para la formación, a las que solo daré las respuestas (pero de forma "mixta"). ¡Córtelos, revíselos y usted y yo continuaremos nuestra investigación!

¿Estás listo? Respuestas como estos:

1. cualquier número

Está bien, está bien, ¡estaba bromeando! Aquí hay un resumen de las soluciones (¡algunas son muy breves!)

¿No crees que no es coincidencia que una fracción de la izquierda sea otra "invertida"? Sería un pecado no aprovechar esto:

Esta regla se usa muy a menudo al resolver ecuaciones exponenciales, ¡recuérdalo bien!

Entonces la ecuación original será así:

Habiendo resuelto esto ecuación cuadrática, obtendrás estas raíces:

2. Otra solución: dividir ambos lados de la ecuación por la expresión de la izquierda (o la derecha). Divido por lo que está a la derecha, luego obtengo:

Donde porque ?!)

3. No quiero ni repetirme, todo ya está "masticado" tanto.

4.igual a una ecuación cuadrática, raíces

5. Necesita usar la fórmula dada en el primer problema, entonces obtendrá eso:

La ecuación se ha convertido en una identidad trivial, lo que es cierto para cualquiera. Entonces la respuesta es cualquier número real.

Bueno, entonces has practicado resolviendo las ecuaciones exponenciales más simples. Ahora quiero darte algunas ejemplos de vida, lo que le ayudará a comprender por qué son necesarios en principio. A continuación se muestran dos ejemplos. Uno de ellos es bastante cotidiano, pero el otro tiene un interés más científico que práctico.

Ejemplo 1 (mercantil) Suponga que tiene rublos y quiere convertirlos en rublos. El banco le ofrece tomar este dinero a una tasa anual con capitalización mensual de intereses (devengo mensual). La pregunta es, ¿durante cuántos meses necesita abrir un depósito para cobrar el monto final requerido? Una tarea bastante mundana, ¿no? Sin embargo, su solución está asociada con la construcción de la ecuación exponencial correspondiente: Sea - el monto inicial, - el monto final, - la tasa de interés del período, - el número de períodos. Entonces:

En nuestro caso (si la tarifa es anual, se cobra por mes). ¿Por qué está dividido por? Si no conoce la respuesta a esta pregunta, ¡recuerde el tema ""! Entonces obtenemos la siguiente ecuación:

Esta ecuación exponencial ya se puede resolver solo con la ayuda de una calculadora (su apariencia insinúa esto, y esto requiere conocimiento de logaritmos, que nos familiarizaremos un poco más adelante), que haré: ... Por lo tanto, para obtener un millón necesitamos hacer una contribución durante un mes (no muy rápido, ¿Lo es?).

Ejemplo 2 (bastante científico). A pesar de su cierto "aislamiento", te recomiendo que le prestes atención: ¡¡regularmente "se desliza en el examen !! (el problema se toma de la versión "real") Durante la desintegración de un isótopo radiactivo, su masa disminuye según la ley, donde (mg) es la masa inicial del isótopo, (min.) es el tiempo transcurrido desde el momento inicial, (min.) es la vida media. En el momento inicial, la masa del isótopo es mg. Su vida media es min. ¿En cuántos minutos la masa del isótopo será igual a mg? Está bien: simplemente tomamos y sustituimos todos los datos en la fórmula que se nos propone:

Divida ambas partes en, "con la esperanza" de que a la izquierda obtengamos algo digerible:

Bueno, ¡tenemos mucha suerte! Se encuentra a la izquierda, luego pasamos a la ecuación equivalente:

¿Dónde está el min.

Como puede ver, las ecuaciones exponenciales tienen una aplicación muy real en la práctica. Ahora quiero analizar contigo otra forma (simple) de resolver ecuaciones exponenciales, que se basa en sacar el factor común del paréntesis, seguido de agrupar los términos. No se deje intimidar por mis palabras, ya se encontró con este método en el séptimo grado cuando estudiaba polinomios. Por ejemplo, si necesita factorizar la expresión:

Agrupémoslo: el primer y tercer términos, así como el segundo y el cuarto. Está claro que el primero y el tercero son la diferencia de los cuadrados:

y el segundo y el cuarto tienen un factor común de tres:

Entonces la expresión original es equivalente a esto:

Dónde sacar el factor común ya no es difícil:

Como consecuencia,

Así es aproximadamente como actuaremos al resolver ecuaciones exponenciales: busque "puntos en común" entre los términos y colóquelos fuera de los corchetes, bueno, pase lo que pase, creo que tendremos suerte \u003d)) Por ejemplo:

A la derecha está lejos de una potencia de siete (¡lo verifiqué!) Y a la izquierda, un poco mejor, puede, por supuesto, "cortar" el factor a del segundo del primer término y luego tratar con el resultado, pero hagámoslo mejor contigo. No quiero lidiar con fracciones, que inevitablemente provienen de la "selección", así que ¿no sería mejor para mí soportarlo? Entonces no tendré fracciones: como dicen, tanto los lobos están alimentados como las ovejas están a salvo:

Cuente la expresión entre paréntesis. De una forma mágica, mágica, resulta que (sorprendente, aunque ¿qué más podemos esperar?).

Luego cancelamos ambos lados de la ecuación por este factor. Obtenemos :, de donde.

Aquí hay un ejemplo más complicado (bastante, en realidad):

¡Qué problema! ¡No tenemos un terreno común aquí! No está del todo claro qué hacer ahora. Hagamos lo que podamos: primero, movamos los "cuatro" a un lado y los "cinco" al otro:

Ahora movamos el "común" a la izquierda y a la derecha:

¿Y ahora qué? ¿Cuál es el beneficio de un grupo tan estúpido? A primera vista, no es visible en absoluto, pero veamos más a fondo:

Bueno, ahora hagámoslo de modo que a la izquierda solo tengamos la expresión con, ya la derecha, todo lo demás. Cómo hacemos esto? He aquí cómo: Divida ambos lados de la ecuación primero por (de esta manera nos deshacemos de la potencia de la derecha), y luego dividimos ambos lados por (de esta forma nos deshacemos del factor numérico de la izquierda). Finalmente obtenemos:

¡Increíble! A la izquierda tenemos una expresión y a la derecha tenemos una simple. Entonces inmediatamente concluimos que

Aquí hay otro ejemplo para que lo consolide:

Daré su solución corta (sin molestarme demasiado con las explicaciones), trataré de descubrir todas las "sutilezas" de la solución usted mismo.

Ahora la consolidación final del material pasado. Intente resolver los siguientes problemas usted mismo. Solo daré breves recomendaciones y consejos para solucionarlos:

1. Saquemos el factor común de los corchetes:
2. Representamos la primera expresión en la forma :, dividimos ambas partes en y obtenemos que
3. , luego la ecuación original se transforma a la forma: Bueno, ahora una pista: ¡mira dónde tú y yo ya hemos resuelto esta ecuación!
4. Imagina cómo, cómo y, bueno, luego divide ambas partes entre, para obtener la ecuación exponencial más simple.
5. Saque los soportes.
6. Saque los soportes.

ECUACIONES EXPLICATIVAS. NIVEL PROMEDIO

Supongo que después de leer el primer artículo, que decía que son las ecuaciones exponenciales y como resolverlas, ha dominado el mínimo de conocimientos necesarios para resolver los ejemplos más simples.

Ahora analizaré otro método para resolver ecuaciones exponenciales, este es

"Método de introducción de una nueva variable" (o sustitución). Resuelve la mayoría de los problemas "difíciles" sobre el tema de ecuaciones exponenciales (y no solo ecuaciones). Este método es uno de los más utilizados en la práctica. Primero, le recomiendo que se familiarice con el tema.

Como ya entendió por el nombre, la esencia de este método es introducir un cambio de variable tal que su ecuación exponencial se transforme milagrosamente en una que pueda resolver fácilmente. Todo lo que te queda después de resolver esta “ecuación simplificada” es hacer un “reemplazo inverso”: es decir, volver del reemplazado al reemplazado. Ilustremos lo que acabamos de decir con un ejemplo muy simple:

Ejemplo 1:

Esta ecuación se resuelve mediante la "sustitución simple", como la llaman con desdén los matemáticos. De hecho, el reemplazo es el más obvio aquí. Uno solo tiene que ver eso

Entonces la ecuación original se convertirá en esto:

Si además presentamos cómo, entonces está bastante claro qué necesita ser reemplazado: por supuesto. Entonces, ¿en qué se convertirá la ecuación original? Y esto es lo que:

Puede encontrar fácilmente sus raíces usted mismo :. ¿Qué debemos hacer ahora? Es hora de volver a la variable original. ¿Qué me olvidé de indicar? A saber: al reemplazar algún grado con una nueva variable (es decir, al reemplazar la vista), me interesará ¡Solo raíces positivas! Usted mismo puede responder fácilmente por qué. Por lo tanto, usted y yo no estamos interesados, pero la segunda raíz es bastante adecuada para nosotros:

Entonces dónde.

Responder:

Como puede ver, en el ejemplo anterior, el reemplazo pedía nuestras manos. Por desgracia, este no es siempre el caso. Sin embargo, no vayamos directamente a lo triste, sino practiquemos con un ejemplo más con un reemplazo bastante simple.

Ejemplo 2.

Está claro que lo más probable es que sea necesario reemplazar (este es el menor de los grados incluidos en nuestra ecuación), sin embargo, antes de introducir el reemplazo, nuestra ecuación debe estar "preparada" para ello, a saber:,. Entonces puedes reemplazar, como resultado obtengo la siguiente expresión:

Oh horror: una ecuación cúbica con fórmulas completamente espeluznantes para su solución (bueno, si hablamos en vista general). Pero no nos desesperemos de inmediato, sino que pensemos en qué hacer. Propongo hacer trampa: sabemos que para obtener una respuesta “agradable”, necesitamos obtenerla en forma de algún poder de triple (¿por qué sería eso, eh?). Intentemos adivinar al menos una raíz de nuestra ecuación (empezaré a adivinar con potencias de tres).

Primera suposición. No es una raíz. Ay y ah ...

.
El lado izquierdo es igual.
Parte derecha:!
¡Hay! Adivinaste la primera raíz. ¡Ahora las cosas serán más fáciles!

¿Conoce el esquema de división de "esquina"? Por supuesto, ya sabe, lo usa cuando divide un número por otro. Pero pocas personas saben que se puede hacer lo mismo con polinomios. Hay un gran teorema:

Aplicado a mi situación, esto me dice entre qué es divisible. ¿Cómo se realiza la división? Así es como:

Miro qué monomio tengo que multiplicar para obtener claramente lo que está encendido, luego:

Reste la expresión resultante de, obtenga:

Ahora, ¿por qué necesito multiplicar para obtener? Está claro que en, entonces obtendré:

y de nuevo reste la expresión resultante de la restante:

Bueno, el último paso, multiplicaré y restaré de la expresión restante:

¡Hurra, se acabó la división! ¿Qué hemos guardado en privado? Por sí mismo: .

Luego obtuvimos la siguiente descomposición del polinomio original:

Resolvamos la segunda ecuación:

Tiene raíces:

Entonces la ecuación original:

tiene tres raíces:

Por supuesto, descartaremos la última raíz, ya que menos que cero... Y los dos primeros después del reemplazo inverso nos darán dos raíces:

Responder: ..

No quería asustarlos con este ejemplo, sino que mi objetivo era mostrar que, aunque teníamos un reemplazo bastante simple, sin embargo, condujo a una ecuación bastante compleja, cuya solución requirió algunas habilidades especiales de nuestra parte. Bueno, nadie es inmune a esto. Pero el reemplazo en este caso fue bastante obvio.

Aquí hay un ejemplo con un reemplazo un poco menos obvio:

No está del todo claro qué debemos hacer: el problema es que en nuestra ecuación hay dos bases diferentes y una base no se puede obtener de la otra elevando a ningún grado (razonable, naturalmente). Sin embargo, ¿qué vemos? Ambas bases difieren solo en signo, y su producto es la diferencia de cuadrados igual a uno:

Definición:

Por lo tanto, los números que son las bases en nuestro ejemplo están conjugados.

En este caso, un movimiento inteligente sería multiplica ambos lados de la ecuación por el número conjugado.

Por ejemplo, en, entonces el lado izquierdo de la ecuación será igual y el lado derecho. Si hacemos una sustitución, entonces nuestra ecuación original será así:

sus raíces, entonces, y recordando eso, lo conseguimos.

Responder:,.

Como regla, el método de reemplazo es suficiente para resolver la mayoría de las ecuaciones exponenciales "escolares". Las siguientes tareas se toman del examen C1 ( nivel elevado dificultades). Ya eres lo suficientemente competente como para resolver estos ejemplos de forma independiente. Solo daré el reemplazo requerido.

1. Resuelve la ecuación:
2. Encuentra las raíces de la ecuación:
3. Resuelve la ecuación:. Encuentra todas las raíces de esta ecuación que pertenecen al segmento:

Y ahora una breve explicación y respuestas:

1. Aquí nos basta con señalar que y. Entonces la ecuación original será equivalente a esta: Esta ecuación se resuelve reemplazando Otros cálculos hágalo usted mismo. Al final, tu tarea se reducirá a resolver el trigonométrico más simple (dependiendo del seno o coseno). Analizaremos la solución de tales ejemplos en otras secciones.
2. Aquí incluso puede prescindir del reemplazo: simplemente mueva lo restado a la derecha y represente ambas bases mediante potencias de dos: y luego vaya directamente a la ecuación cuadrática.
3. La tercera ecuación también se resuelve de una manera bastante estándar: imaginemos cómo. Luego, reemplazando obtenemos una ecuación cuadrática: entonces,

   ¿Ya sabes qué es un logaritmo? ¿No? ¡Entonces lee el tema con urgencia!

   ¡La primera raíz obviamente no pertenece al segmento y la segunda es incomprensible! ¡Pero lo sabremos muy pronto! Ya que, entonces (¡esta es una propiedad del logaritmo!) Compare:

   Reste de ambas partes, entonces obtenemos:

   El lado izquierdo se puede representar como:

   multiplicamos ambas partes por:

   se puede multiplicar por, entonces

   Entonces comparemos:

   desde entonces:

   Entonces la segunda raíz pertenece al intervalo requerido

   Responder:

Como ves, la selección de raíces de ecuaciones exponenciales requiere un conocimiento suficientemente profundo de las propiedades de los logaritmosasí que te aconsejo que tengas el mayor cuidado posible al resolver las ecuaciones exponenciales. Como puedes imaginar, en matemáticas, ¡todo está interconectado! Como decía mi profesor de matemáticas: "las matemáticas, como la historia, no se puede leer de la noche a la mañana".

Como regla, todos la dificultad para resolver los problemas C1 es precisamente la selección de las raíces de la ecuación. Practiquemos con un ejemplo más:

Está claro que la ecuación en sí es bastante sencilla de resolver. Al hacer la sustitución, reduciremos nuestra ecuación original a lo siguiente:

Veamos primero la primera raíz. Comparemos y: desde entonces. (propiedad de la función logarítmica, en). Entonces está claro que la primera raíz tampoco pertenece a nuestro intervalo. Ahora la segunda raíz :. Está claro que (dado que la función en está aumentando). Queda por comparar y.

desde entonces, al mismo tiempo. De esta manera, puedo colocar una clavija entre y. Esta clavija es un número. La primera expresión es más pequeña y la segunda es más grande. Entonces la segunda expresión mas que el primero y la raíz pertenece al tramo.

Responder:.

Para terminar, veamos otro ejemplo de una ecuación donde el reemplazo no es estándar:

Comencemos de inmediato con lo que puede hacer y lo que puede hacer, pero es mejor no hacerlo. Puedes representar todo a través de potencias de tres, dos y seis. ¿A dónde lleva? Sí, no conducirá a nada: una mezcolanza de grados, y algunos serán bastante difíciles de eliminar. ¿Y entonces qué se necesita? Notemos eso ¿Y qué nos dará? ¡Y el hecho de que podemos reducir la solución de este ejemplo a la solución de una ecuación exponencial bastante simple! Primero, reescribamos nuestra ecuación como:

Ahora dividimos ambos lados de la ecuación resultante por:

¡Eureka! Ahora podemos reemplazar, obtenemos:

Bueno, ahora es su turno de resolver problemas con fines de demostración, y solo les daré breves comentarios para que no se pierda con el camino correcto! ¡Buena suerte!

1. ¡Lo más difícil! ¡No es fácil encontrar un reemplazo aquí! Sin embargo, este ejemplo se puede resolver completamente usando selección de un cuadrado completo... Para solucionarlo basta con señalar que:

Entonces aquí tienes un reemplazo para ti:

(¡Tenga en cuenta que aquí, durante nuestro reemplazo, no podemos eliminar la raíz negativa! ¿Y por qué cree?)

Ahora, para resolver el ejemplo, necesitas resolver dos ecuaciones:

Ambos se resuelven con el "reemplazo estándar" (¡pero el segundo en un ejemplo!)

2. Tenga en cuenta eso y realice un reemplazo.

3. Descomponga el número en factores coprimos y simplifique la expresión resultante.

4. Divida el numerador y el denominador de la fracción por (o, si lo prefiere) y reemplace o.

5. Note que los números y son conjugados.

ECUACIONES EXPLICATIVAS. NIVEL AVANZADO

Además, consideremos otra forma: solución de ecuaciones exponenciales por el método del logaritmo... No puedo decir que la solución de ecuaciones exponenciales por este método sea muy popular, pero en algunos casos solo puede llevarnos a la solución correcta de nuestra ecuación. Se utiliza especialmente para resolver el llamado " ecuaciones mixtas": Es decir, aquellos en los que se encuentran funciones de diferente tipo.

Por ejemplo, una ecuación de la forma:

en el caso general, solo se puede resolver tomando el logaritmo de ambos lados (por ejemplo, por la base), en el que la ecuación original se convierte en lo siguiente:

Consideremos el siguiente ejemplo:

Está claro que según la ODZ de la función logarítmica, solo nos interesa. Sin embargo, esto se deriva no solo de la ODZ del logaritmo, sino por otra razón. Creo que no te resultará difícil adivinar cuál.

Registremos ambos lados de nuestra ecuación en la base:

Como puede ver, tomar el logaritmo de nuestra ecuación original lo suficientemente rápido nos llevó a la respuesta correcta (¡y hermosa!). Practiquemos con un ejemplo más:

Aquí tampoco hay nada de malo: logaritmos ambos lados de la ecuación por la base, luego obtenemos:

Hagamos un reemplazo:

Sin embargo, ¡nos falta algo! ¿Has notado dónde me equivoqué? Después de todo, entonces:

que no cumple con el requisito (¡piense de dónde vino!)

Responder:

Intente escribir la solución de las ecuaciones exponenciales a continuación:

Ahora verifique su decisión con esto:

1. Logaritmo a ambos lados de la base, teniendo en cuenta que:

(la segunda raíz no nos conviene debido al reemplazo)

2. Logaritmos a la base:

Transformamos la expresión resultante a la siguiente forma:

ECUACIONES EXPLICATIVAS. BREVE DESCRIPCIÓN Y FÓRMULAS BÁSICAS

Ecuación exponencial

Ecuación de la forma:

llamado la ecuación exponencial más simple.

Propiedades de poder

Enfoques de solución

• Reducción a la misma base
• Conversión al mismo exponente
• Reemplazo variable
• Simplificación de expresión y aplicación de uno de los anteriores.

En el canal de youtube de nuestro sitio, para estar al tanto de todas las nuevas lecciones en video.

Para empezar, recordemos las fórmulas básicas de los grados y sus propiedades.

Producto de número a sucede a sí mismo n veces, podemos escribir esta expresión como a ... a \u003d a n

1.a 0 \u003d 1 (a ≠ 0)

3.a norte una m \u003d una norte + m

4. (a n) m \u003d a nm

5.a n b n \u003d (ab) n

7.a n / a m \u003d a n - m

Ecuaciones de potencia o exponenciales - estas son ecuaciones en las que las variables están en potencias (o exponentes) y la base es un número.

Ejemplos de ecuaciones exponenciales:

EN este ejemplo el número 6 es la base, siempre está en la parte inferior, y la variable x grado o indicador.

Aquí hay algunos ejemplos más de ecuaciones exponenciales.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0

Ahora veamos cómo se resuelven las ecuaciones exponenciales.

Tomemos una ecuación simple:

2 x \u003d 2 3

Un ejemplo así puede resolverse incluso mentalmente. Se ve que x \u003d 3. Después de todo, para que los lados izquierdo y derecho sean iguales, debes poner el número 3 en lugar de x.
Ahora veamos cómo debe formalizarse esta solución:

2 x \u003d 2 3
x \u003d 3

Para resolver tal ecuación, eliminamos motivos idénticos (es decir, deuces) y anotó lo que quedó, estos son grados. Obtuvimos la respuesta deseada.

Ahora resumamos nuestra decisión.

Algoritmo para resolver la ecuación exponencial:
1. Necesito comprobar lo mismo si la ecuación tiene bases a la derecha ya la izquierda. Si los motivos no son los mismos, buscamos opciones para solucionar este ejemplo.
2. Una vez que las bases son iguales, equiparar grado y resuelva la nueva ecuación resultante.

Ahora solucionemos algunos ejemplos:

Empecemos de forma sencilla.

Las bases de los lados izquierdo y derecho son iguales al número 2, lo que significa que podemos descartar la base e igualar sus grados.

x + 2 \u003d 4 Esta es la ecuación más simple.
x \u003d 4 - 2
x \u003d 2
Respuesta: x \u003d 2

En el siguiente ejemplo, puede ver que las bases son diferentes: 3 y 9.

3 3x - 9x + 8 \u003d 0

Primero, movemos el nueve hacia el lado derecho, obtenemos:

Ahora necesitas hacer las mismas bases. Sabemos que 9 \u003d 3 2. Usemos la fórmula de grados (a n) m \u003d a nm.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Obtenemos 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 ahora puedes ver que las bases de los lados izquierdo y derecho son iguales e iguales a tres, por lo que podemos descartarlas e igualar los grados.

3x \u003d 2x + 16 obtuvo la ecuación más simple
3x - 2x \u003d 16
x \u003d 16
Respuesta: x \u003d 16.

Vea el siguiente ejemplo:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

En primer lugar, miramos las bases, las bases son dos y cuatro diferentes. Y tenemos que ser lo mismo. Transformamos el cuatro por la fórmula (a n) m \u003d a nm.

4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x

Y también usamos una fórmula a n a m \u003d a n + m:

2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4

Suma a la ecuación:

2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24

Hemos llevado el ejemplo a los mismos motivos. Pero nos obstaculizan otros números 10 y 24. ¿Qué hacer con ellos? Si miras de cerca, puedes ver que en el lado izquierdo repetimos 2 2x, aquí está la respuesta - 2 2x que podemos sacar de los corchetes:

2 2x (2 4 - 10) \u003d 24

Calculemos la expresión entre paréntesis:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Divide toda la ecuación por 6:

Imaginemos 4 \u003d 2 2:

2 2x \u003d 2 2 bases son iguales, deséchalas y equipara las potencias.
2x \u003d 2 obtenemos la ecuación más simple. Lo dividimos por 2 obtenemos
x \u003d 1
Respuesta: x \u003d 1.

Resolvamos la ecuación:

9 x - 12 * 3 x + 27 \u003d 0

Vamos a transformar:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x

Obtenemos la ecuación:
3 2x - 12 3x +27 \u003d 0

Nuestras bases son iguales igual a 3. En este ejemplo, puede ver que los primeros tres tienen un grado dos veces (2x) que el segundo (solo x). En este caso, puede resolver método de reemplazo... Reemplazamos el número con el grado más pequeño:

Entonces 3 2x \u003d (3x) 2 \u003d t 2

Reemplaza todas las potencias con x en la ecuación con t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Obtenemos una ecuación cuadrática. Resolvemos mediante el discriminante, obtenemos:
D \u003d 144-108 \u003d 36
t 1 \u003d 9
t 2 \u003d 3

De vuelta a la variable x.

Tomamos t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Eso es,

3 x \u003d 9
3 x \u003d 3 2
x 1 \u003d 2

Encontré una raíz. Buscamos el segundo, de t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x \u003d 3 1
x 2 \u003d 1
Respuesta: x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 1.

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¿Qué es una ecuación exponencial? Ejemplos.

Entonces, una ecuación exponencial ... ¡Una nueva exhibición única en nuestra exhibición común de una amplia variedad de ecuaciones!) Como casi siempre sucede, la palabra clave de cualquier nueva término matemático es el adjetivo apropiado que lo caracteriza. Así que está aquí. La palabra clave en el término "ecuación exponencial" es la palabra "Indicativo"... Qué significa eso? Esta palabra significa que lo desconocido (x) es en términos de cualquier grado. ¡Y solo ahí! Esto es muy importante.

Por ejemplo, ecuaciones tan simples:

3 x +1 \u003d 81

5 x + 5 x +2 \u003d 130

4 2 2 x -17 2 x +4 \u003d 0

O incluso monstruos como este:

2 sin x \u003d 0,5

Les pido que presten atención de inmediato a una cosa importante: en jardines grados (abajo) - sólo números... Pero en indicadores grados (arriba): una amplia variedad de expresiones con una x. Absolutamente cualquiera.) Todo depende de la ecuación específica. Si, de repente, x aparece en la ecuación en otro lugar, además del indicador (digamos, 3 x \u003d 18 + x 2), entonces dicha ecuación ya será una ecuación tipo mixto... Estas ecuaciones no tienen reglas claras para su resolución. Por lo tanto, no los consideraremos en esta lección. Para deleite de los estudiantes.) Aquí consideraremos solo las ecuaciones exponenciales en una forma "pura".

En términos generales, incluso las ecuaciones exponenciales puras están lejos de estar claramente resueltas y no siempre. Pero entre toda la rica variedad de ecuaciones exponenciales, hay ciertos tipos que pueden y deben resolverse. Son estos tipos de ecuaciones las que consideraremos. Y definitivamente resolveremos ejemplos.) Así que pongámonos cómodos y - ¡vamos! Al igual que en los juegos de disparos por ordenador, nuestro viaje se llevará a cabo a través de los niveles. De elemental a simple, de simple a intermedio y de intermedio a complejo. En el camino, también encontrará un nivel secreto: técnicas y métodos para resolver ejemplos no estándar. Aquellos sobre los que no leerá en la mayoría de los libros de texto escolares ... Bueno, al final, por supuesto, hay un jefe final en forma de tarea).

Nivel 0. ¿Cuál es la ecuación exponencial más simple? Solución de las ecuaciones exponenciales más simples.

Para empezar, considere un elementaryismo franco. Tienes que empezar por algún lado, ¿verdad? Por ejemplo, una ecuación como esta:

2 x \u003d 2 2

Incluso sin ninguna teoría, está claro por la lógica simple y el sentido común que x \u003d 2. No hay otra manera, ¿verdad? Ningún otro significado de x servirá ... Ahora dirijamos nuestra atención a registro de decisiones esta genial ecuación exponencial:

2 x \u003d 2 2

X \u003d 2

Que paso con nosotros Y sucedió lo siguiente. Nosotros, de hecho, tomamos y ... ¡simplemente tiramos las mismas bases (deuces)! Desechado por completo. Y, lo que agrada, ¡dar en el blanco!

Sí, de hecho, si la ecuación exponencial de la izquierda y la derecha contiene lo mismonúmeros en cualquier potencia, estos números se pueden descartar y simplemente igualar los exponentes. Las matemáticas resuelven.) Y luego puedes trabajar por separado con los indicadores y resolver una ecuación mucho más simple. Genial, ¿no?

Esta es la idea clave para resolver cualquier (sí, ¡exactamente cualquiera!) Ecuación exponencial: usando transformaciones idénticas, es necesario asegurarse de que la izquierda y la derecha en la ecuación sean lo mismo números base en diversos grados. Y luego puede eliminar de forma segura las mismas bases e igualar los exponentes. Y trabaja con una ecuación más simple.

Y ahora recordamos la regla de hierro: es posible eliminar bases idénticas si y solo si en la ecuación a la izquierda y derecha de los números de base están en orgullosa soledad.

¿Qué significa, en espléndido aislamiento? Esto significa, sin vecinos ni coeficientes. Dejame explicar.

Por ejemplo, en la ecuación

3 3 x-5 \u003d 3 2 x +1

¡No puedes quitar los trillizos! ¿Por qué? Porque a la izquierda no solo tenemos un solitario tres en grado, sino composición 3 3 x-5. Tres más se interponen en el camino: el coeficiente, ya sabes).

Lo mismo puede decirse de la ecuación

5 3 x \u003d 5 2 x +5 x

Aquí también todas las bases son iguales: cinco. Pero a la derecha no tenemos un solo grado de cinco: ¡está la suma de los grados!

En resumen, tenemos el derecho de eliminar las mismas bases solo cuando nuestra ecuación exponencial se ve así y solo de esta manera:

a F ( X) = una g ( X)

Este tipo de ecuación exponencial se llama lo más simple... O científicamente canónico ... Y cualquier ecuación retorcida que tengamos frente a nosotros, de una forma u otra, la reduciremos a esta forma más simple (canónica). O, en algunos casos, para totalidad ecuaciones de este tipo. Entonces, nuestra ecuación más simple se puede reescribir en forma general como esta:

F (x) \u003d g (x)

Y eso es todo. Esta será la conversión equivalente. En este caso, cualquier expresión con una x puede usarse como f (x) y g (x). Cualquier cosa.

Quizás un estudiante particularmente curioso preguntará: ¿por qué demonios descartamos tan fácil y simplemente las mismas bases a la izquierda y a la derecha y equiparamos los indicadores de grado? ¿Intuición por intuición, pero de repente, en alguna ecuación y por alguna razón, este enfoque resulta ser incorrecto? ¿Es siempre legal descartar los mismos motivos? Desafortunadamente, para obtener una respuesta matemática rigurosa a esta interesante pregunta, es necesario sumergirse profunda y seriamente en la teoría general de la estructura y el comportamiento de las funciones. Y un poco más específicamente, en un fenómeno estricta monotonía. En particular, la estricta monotonicidad funcion exponencialy= una x... Ya que es funcion exponencial y sus propiedades subyacen a la solución de ecuaciones exponenciales, sí.) Se dará una respuesta detallada a esta pregunta en una lección especial separada dedicada a resolver ecuaciones complejas no estándar usando la monotonicidad de diferentes funciones).

Explicar este momento en detalle ahora es solo para sacar el cerebro del escolar promedio y asustarlo prematuramente con una teoría seca y pesada. No haré esto.) Porque nuestra tarea principal en este momento es ¡aprende a resolver ecuaciones exponenciales! ¡Lo más, lo más simple! Por lo tanto, hasta que tomemos un baño de vapor y arrojemos con valentía las mismas bases. eso lata, créame!) Y luego resolvemos la ecuación equivalente f (x) \u003d g (x). Generalmente más simple que el indicativo original.

Se supone, por supuesto, que las personas pueden al menos resolver las ecuaciones, ya sin x en los indicadores, en este momento.) Quién todavía no sabe cómo: no dude en cerrar esta página, seguir los enlaces correspondientes y completar la viejas lagunas. De lo contrario, lo pasarás mal, sí ...

Ya guardo silencio sobre ecuaciones irracionales, trigonométricas y otras ecuaciones brutales, que también pueden surgir en el proceso de eliminar los motivos. Pero no te alarmes estaño puro en términos de grados, aún no lo consideraremos: es demasiado pronto. Entrenaremos solo en las ecuaciones más simples).

Ahora consideremos ecuaciones que requieren un esfuerzo adicional para reducirlas a las más simples. En aras de la distinción, llamémoslos ecuaciones exponenciales simples... Entonces, ¡pasemos al siguiente nivel!

Nivel 1. Ecuaciones exponenciales simples. ¡Reconocemos los grados! Indicadores naturales.

Las reglas clave para resolver cualquier ecuación exponencial son reglas de poder... Sin estos conocimientos y habilidades, nada funcionará. Pobre de mí. Entonces, si con los grados del problema, primero eres bienvenido. Además, necesitaremos más. Estas transformaciones (¡hasta dos!) Son la base para resolver todas las ecuaciones de las matemáticas en general. Y no solo indicativo. Entonces, que lo hayan olvidado, también den un paseo por el enlace: los puse por una razón.

Pero las acciones con grados y transformaciones idénticas por sí solas no son suficientes. También necesita observación e ingenio personales. Necesitamos las mismas razones, ¿no es así? ¡Así que examinamos el ejemplo y los buscamos de forma explícita o disfrazada!

Por ejemplo, una ecuación como esta:

3 2 x - 27 x +2 \u003d 0

Primer vistazo a jardines... ¡Ellos son diferentes! Tres veintisiete. Pero es demasiado pronto para el pánico y la desesperación. Es hora de recordar eso

27 = 3 3

¡Los números 3 y 27 son parientes en grado! Y parientes.) Por lo tanto, tenemos todo el derecho a escribir:

27 x +2 \u003d (3 3) x + 2

Y ahora conectamos nuestro conocimiento sobre acciones con grados (¡y yo advertí!). Allí hay una fórmula muy útil:

(una m) n \u003d una mn

Si lo inicia ahora, en general resulta genial:

27 x +2 \u003d (3 3) x + 2 \u003d 3 3 (x +2)

El ejemplo original ahora se ve así:

3 2 x - 3 3 (x +2) \u003d 0

Genial, los bajos de los grados alineados. Que es lo que queríamos. Se ha hecho la mitad de la batalla.) Ahora lanzamos la transformación de identidad básica: mover 3 3 (x +2) hacia la derecha. Nadie canceló las acciones elementales de las matemáticas, sí.) Obtenemos:

3 2 x \u003d 3 3 (x +2)

¿Qué nos da este tipo de ecuación? Y el hecho de que ahora nuestra ecuación se reduzca a la forma canónica: a la izquierda y a la derecha están los mismos números (triples) en potencias. Además, ambos trillizos se encuentran en un espléndido aislamiento. Siéntase libre de quitar los trillizos y obtener:

2x \u003d 3 (x + 2)

Resolvemos esto y obtenemos:

X \u003d -6

Eso es todo al respecto. Esta es la respuesta correcta.)

Y ahora comprendemos el curso de la decisión. ¿Qué nos salvó en este ejemplo? Fuimos salvados por el conocimiento de los grados de los tres. ¿Cómo exactamente? nosotros identificado entre 27 cifrados tres! Este truco (cifrar la misma base con números diferentes) es uno de los más populares en ecuaciones exponenciales. Si no es el más popular. Y en, también, por cierto. ¡Es por eso que la observación y la capacidad de reconocer las potencias de otros números en números son tan importantes en las ecuaciones exponenciales!

Consejo practico:

Necesita conocer los grados de los números populares. ¡En la cara!

Por supuesto, todos pueden subir un dos al séptimo o un tres al quinto. No en mi mente, al menos en un borrador. Pero en las ecuaciones exponenciales es mucho más necesario no elevar a una potencia, sino todo lo contrario: averiguar qué número y en qué medida se esconde detrás de un número, digamos 128 o 243. Y esto es más complicado que simple construcción, debes estar de acuerdo. ¡Sienta la diferencia, como dicen!

Dado que la capacidad de reconocer grados en la cara será útil no solo en este nivel, sino también en el siguiente, aquí hay una pequeña tarea para usted:

Determina qué potencias y qué números son números:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Respuestas (al azar, naturalmente):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

¡Sí Sí! No se sorprenda de que haya más respuestas que tareas. Por ejemplo, 2 8, 4 4 y 16 2 son 256.

Nivel 2. Ecuaciones exponenciales simples. ¡Reconocemos los grados! Indicadores negativos y fraccionarios.

En este nivel, ya estamos utilizando al máximo nuestro conocimiento de títulos. Es decir, ¡involucramos indicadores negativos y fraccionarios en este fascinante proceso! ¡Sí Sí! Necesitamos acumular poder, ¿verdad?

Por ejemplo, esta aterradora ecuación:

Nuevamente, primer vistazo: los cimientos. ¡Los jardines son diferentes! ¡Y esta vez incluso remotamente diferentes entre sí! 5 y 0.04 ... Y para eliminar los posos, necesitas lo mismo ... ¿Qué hacer?

¡Nada mal! De hecho, todo es igual, solo la conexión entre el cinco y 0.04 es visualmente mal visible. ¿Cómo salimos? ¡Y avancemos en el número 0.04 a la fracción habitual! Y allí, verá, todo se formará).

0,04 = 4/100 = 1/25

¡Guau! ¡Resulta que 0.04 es 1/25! Bueno, ¡quién lo hubiera pensado!)

¿Cómo es? ¿Es más fácil ver ahora la relación entre 5 y 1/25? Eso es ...

Y ahora, de acuerdo con las reglas de acción con poderes con indicador negativolata mano firme anote:

Eso es grandioso. Así que llegamos a la misma base: cinco. Ahora reemplazamos el inconveniente número 0.04 en la ecuación con 5-2 y obtenemos:

Nuevamente, de acuerdo con las reglas para tratar con poderes, ahora puede escribir:

(5-2) x -1 \u003d 5-2 (x -1)

Por si acaso, les recuerdo (de repente, quién no lo sabe) que las reglas básicas para tratar con títulos son válidas para alguna indicadores! Incluso para los negativos.) Así que siéntase libre de tomar y multiplicar los indicadores (-2) y (x-1) de acuerdo con la regla correspondiente. Nuestra ecuación sigue mejorando cada vez más:

¡Todos! Aparte de los cinco solitarios en los grados de la izquierda y la derecha, no hay nada más. La ecuación se reduce a la forma canónica. Y luego, a lo largo de la pista estriada. Eliminamos los cinco y equiparamos los indicadores:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

El ejemplo está casi resuelto. Las matemáticas elementales de las clases medias permanecen: abrimos (¡derecha!) Los corchetes y recopilamos todo lo que está a la izquierda:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Resolvemos esto y obtenemos dos raíces:

x 1 = 1; x 2 = 3

Eso es todo.)

Ahora pensemos de nuevo. En este ejemplo, nuevamente tuvimos que reconocer el mismo número en diversos grados. Es decir, para ver los cinco cifrados en el número 0.04. Y esta vez - en grado negativo!¿Cómo lo hicimos? En movimiento, nada. Pero después de la transición de fracción decimal 0.04 a la fracción común 1/25 y todo se resaltó. Y luego toda la decisión fue como un reloj).

Por tanto, otro consejo práctico verde.

Si las fracciones decimales están presentes en la ecuación exponencial, entonces pasamos de las fracciones decimales a las ordinarias. EN fracciones ordinarias ¡Es mucho más fácil reconocer los poderes de muchos números populares! Tras el reconocimiento, pasamos de fracciones a potencias con exponentes negativos.

¡Tenga en cuenta que este truco en ecuaciones exponenciales ocurre muy, muy a menudo! Y la persona no está en el sujeto. Mira, por ejemplo, los números 32 y 0.125 y está molesto. Sin que él lo sepa, este es el mismo deuce, solo que en diferentes grados ... ¡Pero ya estás en el tema!)

Resuelve la ecuación:

¡En! Parece un horror silencioso ... Sin embargo, las apariencias engañan. Esta es la ecuación exponencial más simple, a pesar de su apariencia intimidante. Y ahora te mostraré esto.)

Primero, tratamos con todos los números en las bases y en los coeficientes. Son, por supuesto, diferentes, sí. Pero todavía nos arriesgamos y tratamos de hacerlos lo mismo! Intentemos llegar a el mismo número en diferentes grados... Y, preferiblemente, el número de los más pequeños posible. Entonces, ¡comencemos a descifrar!

Bueno, con un cuatro, todo está claro a la vez: es 2 2. Entonces, ya algo.)

Con una fracción de 0,25, todavía no está claro. Es necesario comprobar. Usamos un consejo práctico: pasamos de la fracción decimal a la ordinaria:

0,25 = 25/100 = 1/4

Mucho mejor. Por ahora ya se ve claramente que 1/4 es 2 -2. Genial, y 0.25 también era similar a un 2.)

Hasta ahora tan bueno. Pero el peor número de todos permanece: raíz cuadrada de dos! ¿Y qué hacer con este pimiento? ¿También se puede representar como una potencia de dos? Y quien sabe ...

Bueno, volvamos a nuestro tesoro de conocimientos sobre títulos. Esta vez conectamos adicionalmente nuestro conocimiento sobre las raíces... Desde el curso de noveno grado, usted y yo deberíamos haber aprendido que cualquier raíz, si lo desea, siempre se puede convertir en un grado. con un exponente fraccionario.

Como esto:

En nuestro caso:

¡Cómo! Resulta que la raíz cuadrada de dos es 2 1/2. ¡Eso es!

¡Esta bien! Todos nuestros números inconvenientes en realidad resultaron ser dos cifrados.) No discuto, en algún lugar de un cifrado muy sofisticado. ¡Pero también estamos mejorando nuestra profesionalidad en la resolución de estos cifrados! Y luego todo ya es obvio. Reemplazamos en nuestra ecuación los números 4, 0.25 y la raíz de dos por potencias de dos:

¡Todos! Las bases de todos los grados en el ejemplo se convirtieron en las mismas: dos. Y ahora se utilizan las acciones estándar con poderes:

soyun = soy + norte

una m: una n \u003d una m-n

(una m) n \u003d una mn

Para el lado izquierdo, obtienes:

2 -2 (2 2) 5 x -16 \u003d 2-2 + 2 (5 x -16)

Para el lado derecho será:

Y ahora nuestra ecuación malvada se ve así:

Quién no entendió exactamente cómo resultó esta ecuación, entonces la pregunta no se trata de ecuaciones exponenciales. La pregunta es sobre acciones con grados. ¡Pedí repetir urgentemente a los que tienen problemas!

¡Aquí está la recta final! ¡Se obtiene la forma canónica de la ecuación exponencial! ¿Cómo es? ¿Te he convencido de que no todo da tanto miedo? ;) Eliminamos los dos y equiparamos los indicadores:

Todo lo que queda es resolverlo ecuación lineal... ¿Cómo? Con la ayuda de transformaciones idénticas, obviamente.) ¡Inventa lo que ya está ahí! Multiplica ambas partes por dos (para eliminar la fracción 3/2), mueve los términos con x hacia la izquierda, sin x hacia la derecha, trae otros similares, cuenta, ¡y serás feliz!

Todo debería salir maravillosamente:

X \u003d 4

Y ahora comprendemos nuevamente el curso de la decisión. En este ejemplo, la transición de raíz cuadrada a grado con exponente 1/2... Además, solo una transformación tan astuta nos ayudó en todas partes a llegar a la misma base (dos), ¡lo que salvó la situación! Y, si no fuera por eso, entonces tendríamos todas las posibilidades de congelarnos para siempre y nunca hacer frente a este ejemplo, sí ...

Por eso, no descuidamos otro consejo práctico:

Si la ecuación exponencial contiene raíces, pasamos de las raíces a las potencias con exponentes fraccionarios. Muy a menudo, solo tal transformación aclara la situación adicional.

Por supuesto, los grados negativos y fraccionarios ya son mucho más complicados que los grados naturales. ¡Al menos desde el punto de vista de la percepción visual y, sobre todo, del reconocimiento de derecha a izquierda!

Está claro que elevar directamente, por ejemplo, dos a la potencia -3 o cuatro a la potencia -3/2 no es un problema tan grande. Para los que saben.)

Pero ve, por ejemplo, averigua de inmediato que

0,125 = 2 -3

O

Aquí solo la práctica y la rica experiencia gobiernan, sí. Y, por supuesto, una idea clara lo que es grado negativo y fraccionario. Y - consejo practico! Si si esos verde .) Espero que aún te ayuden a navegar mejor en toda la variada variedad de grados y que aumenten significativamente tus posibilidades de éxito. Así que no los descuides. No es por nada que a veces escribo en verde).

Pero si se familiariza incluso con grados tan exóticos como el negativo y el fraccionario, sus posibilidades para resolver ecuaciones exponenciales se expandirán enormemente y ya podrá manejar casi cualquier tipo de ecuaciones exponenciales. Bueno, si no hay ninguna, entonces el 80 por ciento de todas las ecuaciones exponenciales, ¡seguro! ¡Sí, no bromeo!

Entonces, nuestra primera parte de la introducción a las ecuaciones exponenciales ha llegado a su conclusión lógica. Y, como entrenamiento intermedio, tradicionalmente sugiero hacer un poco por su cuenta).

Ejercicio 1.

Para que mis palabras sobre la decodificación de grados negativos y fraccionarios no sean en vano, ¡sugiero jugar un pequeño juego!

Representa como potencia de dos números:

Respuestas (en desorden):

¿Sucedió? ¡Multa! Luego hacemos una misión de combate: ¡resolvemos las ecuaciones exponenciales más simples y simples!

Tarea 2.

Resuelva ecuaciones (¡todas las respuestas están desordenadas!):

5 2x-8 \u003d 25

2 5x-4 - 16 x + 3 \u003d 0

Respuestas:

x \u003d 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

¿Sucedió? De hecho, ¡es mucho más fácil!

Luego resolvemos el siguiente juego:

(2 x +4) x -3 \u003d 0,5 x 4 x -4

35 1-x \u003d 0,2 - x 7 x

Respuestas:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

¿Y estos ejemplos se quedan? ¡Multa! ¡Estás creciendo! Entonces aquí hay algunos ejemplos más para un refrigerio:

Respuestas:

X = 6

X = 13/31

X = -0,75

X 1 = 1; x 2 = 8/3

¿Y está resuelto? ¡Bien, respeto! Me quito el sombrero.) Por lo tanto, la lección no fue en vano, y el nivel inicial de resolución de ecuaciones exponenciales puede considerarse dominado con éxito. ¡Más niveles y ecuaciones más desafiantes están por venir! Y nuevas técnicas y enfoques. Y ejemplos no estándar. Y nuevas sorpresas.) Todo esto, ¡en la próxima lección!

¿Algo salió mal? Esto significa, muy probablemente, problemas en. O en. O ambos a la vez. Aquí estoy impotente. Una vez más, puedo ofrecer solo una cosa: no sea perezoso y camine por los enlaces).

Continuará.)

En la etapa de preparación para la prueba final, los estudiantes de último año deben mejorar sus conocimientos sobre el tema "Ecuaciones exponenciales". La experiencia de los últimos años muestra que tales tareas causan ciertas dificultades a los escolares. Por lo tanto, los estudiantes de secundaria, independientemente de su nivel de capacitación, deben aprender cuidadosamente la teoría, memorizar fórmulas y comprender el principio de resolución de tales ecuaciones. Habiendo aprendido a afrontar este tipo de problemas, los egresados \u200b\u200bpodrán contar con puntuaciones altas al aprobar el examen de matemáticas.

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