காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் நேரடி ஒருங்கிணைப்பு முறைக்கு ஒரு உதாரணம் கொடுங்கள். ஒருங்கிணைப்பு நுட்பம்: நேரடி ஒருங்கிணைப்பு
இந்த தலைப்பில் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகள் மற்றும் குறிப்பிடப்பட்ட பண்புகளைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பது பற்றி விரிவாகப் பேசுவோம். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையுடன் நாங்கள் வேலை செய்வோம். இங்கு வழங்கப்பட்ட பொருள் "காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு. ஆரம்பம்" என்ற தலைப்பின் தொடர்ச்சியாகும். உண்மையைச் சொல்வதென்றால், வழக்கமான அட்டவணைகள் மற்றும்/அல்லது எளிமையான பண்புகளைப் பயன்படுத்தி எடுக்கக்கூடிய ஒருங்கிணைப்புகளை சோதனைத் தாள்கள் அரிதாகவே கொண்டிருக்கும். இந்த பண்புகளை எழுத்துக்கள், அறிவு மற்றும் புரிதல் ஆகியவற்றுடன் ஒப்பிடலாம், மற்ற தலைப்புகளில் ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையைப் புரிந்துகொள்வது அவசியம். பெரும்பாலும் ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணைகள் மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது நேரடி ஒருங்கிணைப்பு.
நான் எதைப் பெறுகிறேன்: செயல்பாடுகள் மாறுகின்றன, ஆனால் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரம் மாறாமல் உள்ளது, ஒருங்கிணைந்ததைப் போலல்லாமல், நாங்கள் ஏற்கனவே இரண்டு முறைகளை பட்டியலிட வேண்டியிருந்தது.
மேலும் செல்வோம். $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ அனைத்து அதே சூத்திரம் $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$ பொருந்தும், இதில் நீங்கள் $u=x^(-\frac(1)(2)) $, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$. ஆனால் ஒருங்கிணைந்த $\int x^(-\frac(1)( 2))\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ க்கு ஒரு புதிய முறையைப் பயன்படுத்த வேண்டும் - செபிஷேவ் மாற்றீடுகள்.
இறுதியாக: $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$ செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய, $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" $ என்பது மீண்டும் பொருந்தும், இதில் $u$ மற்றும் $v$ க்கு பதிலாக முறையே $\sin x$ மற்றும் $\frac(1)(x)$ ஐ மாற்றுவோம். ஆனால் $\int \sin x\cdot\frac(1 )(x) dx$ எடுக்கப்படவில்லை, அல்லது இன்னும் துல்லியமாக, அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையில் வெளிப்படுத்தப்படவில்லை.
சுருக்கமாகச் சொல்வோம்: வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க ஒரு சூத்திரம் தேவைப்பட்டால், ஒருங்கிணைப்புக்கு நான்கு தேவைப்பட்டது (இது வரம்பு அல்ல), பிந்தைய வழக்கில் ஒருங்கிணைப்பு கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை. செயல்பாடு மாற்றப்பட்டது - ஒரு புதிய ஒருங்கிணைப்பு முறை தேவைப்பட்டது. இங்குதான் குறிப்புப் புத்தகங்களில் பல பக்க அட்டவணைகள் உள்ளன. இல்லாமை பொது முறை(“கைமுறையாக” தீர்க்க பொருத்தமானது) ஏராளமான தனிப்பட்ட முறைகளுக்கு வழிவகுக்கிறது, அவை அவற்றின் சொந்த, மிகவும் வரையறுக்கப்பட்ட வகை செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்க மட்டுமே பொருந்தும் (மேலும் தலைப்புகளில் இந்த முறைகளை விரிவாகக் கையாள்வோம்). ரிஷ் அல்காரிதம் இருப்பதை என்னால் கவனிக்க முடியவில்லை என்றாலும் (விக்கிபீடியாவில் உள்ள விளக்கத்தைப் படிக்க நான் உங்களுக்கு அறிவுறுத்துகிறேன்), இது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் நிரல் செயலாக்கத்திற்கு மட்டுமே பொருத்தமானது.
கேள்வி #3
ஆனால் இந்த பண்புகள் பல இருந்தால், நான் எப்படி ஒருங்கிணைப்புகளை எடுக்க கற்றுக்கொள்ள முடியும்? வழித்தோன்றல்களுடன் இது எளிதாக இருந்தது!
ஒரு நபருக்கு, இதுவரை ஒரே ஒரு வழி உள்ளது: முடிந்தவரை பல பயன்பாட்டு எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்க. பல்வேறு நுட்பங்கள்ஒருங்கிணைப்பு, ஒரு புதிய காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு தோன்றும் போது, உங்கள் அனுபவத்தின் அடிப்படையில் அதற்கான தீர்வு முறையை நீங்கள் தேர்வு செய்யலாம். பதில் மிகவும் உறுதியளிக்கவில்லை என்பதை நான் புரிந்துகொள்கிறேன், ஆனால் வேறு வழியில்லை.
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகள்
சொத்து எண். 1
வழித்தோன்றல் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புஒருங்கிணைப்புக்கு சமம், அதாவது. $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.
ஒருங்கிணைந்த மற்றும் வழித்தோன்றல் பரஸ்பர தலைகீழ் செயல்பாடுகள் என்பதால், இந்த சொத்து மிகவும் இயற்கையானது. எடுத்துக்காட்டாக, $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \ right)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ மற்றும் பல.
சொத்து எண். 2
இல்லை திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்தசில செயல்பாட்டின் வேறுபாடு இந்த செயல்பாட்டிற்கு சமம், அதாவது. $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.
பொதுவாக, இந்த சொத்து சற்றே கடினமானதாக கருதப்படுகிறது, ஏனெனில் ஒருங்கிணைப்பின் கீழ் "எதுவும் இல்லை" என்று தோன்றுகிறது. இதைத் தவிர்க்க, குறிப்பிடப்பட்ட சொத்தை பின்வருமாறு எழுதலாம்: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. இந்த சொத்தை பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ அல்லது, நீங்கள் விரும்பினால், இந்த வடிவத்தில்: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.
சொத்து எண். 3
நிலையான காரணியை ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம், அதாவது. $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ ($a\neq 0$ என்று கருதுகிறோம்).
சொத்து மிகவும் எளிமையானது மற்றும், ஒருவேளை, கருத்துகள் தேவையில்லை. எடுத்துக்காட்டுகள்: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).
சொத்து எண். 4
இரண்டு சார்புகளின் கூட்டுத்தொகை (வேறுபாடு) இந்த செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு (வேறுபாடு) சமம்:
$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$
எடுத்துக்காட்டுகள்: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.
நிலையான சோதனைகளில், பண்புகள் எண் 3 மற்றும் எண் 4 ஆகியவை வழக்கமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, எனவே அவற்றை இன்னும் விரிவாகக் கருதுவோம்.
எடுத்துக்காட்டு எண். 3
$\int 3 e^x dx$ ஐக் கண்டறியவும்.
சொத்து எண். 3 ஐப் பயன்படுத்தி மாறிலியை எடுத்துக் கொள்வோம், அதாவது. எண் $3$, ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திற்கு: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. இப்போது ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையைத் திறந்து, சூத்திர எண் 4 இல் $u=x$ ஐ மாற்றுவோம்: $\int e^x dx=e^x+C$. அது $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$. வாசகருக்கு உடனடியாக ஒரு கேள்வி இருக்கும் என்று நான் கருதுகிறேன், எனவே இந்த கேள்வியை நான் தனித்தனியாக உருவாக்குவேன்:
கேள்வி #4
$\int e^x dx=e^x+C$ எனில், $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\right) =3e^x+3C$! $3e^x+3C$ என்பதற்குப் பதிலாக $3e^x+C$ என்று ஏன் எழுதினார்கள்?
கேள்வி முற்றிலும் நியாயமானது. புள்ளி என்னவென்றால், ஒருங்கிணைந்த மாறிலி (அதாவது அதே எண் $C$) எந்த வெளிப்பாட்டின் வடிவத்திலும் குறிப்பிடப்படலாம்: முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், இந்த வெளிப்பாடு உண்மையான எண்களின் முழு தொகுப்பையும் "இயங்கும்", அதாவது. $-\infty$ இலிருந்து $+\infty$ வரை மாறுபடும். எடுத்துக்காட்டாக, $-\infty≤ C ≤ +\infty$ எனில், $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$, எனவே $C$ ஆனது $\ வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படும். frac(C)( 3)$. நாம் $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$ என்று எழுதலாம் பின்னர் $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left (e^x+\frac(C)(3)\right)=3e^x+C$. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இங்கே எந்த முரண்பாடும் இல்லை, ஆனால் ஒருங்கிணைந்த மாறிலியின் வடிவத்தை மாற்றும்போது நீங்கள் கவனமாக இருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, மாறிலி $C$ ஐ $C^2$ ஆகக் குறிப்பிடுவது பிழையாக இருக்கும். புள்ளி என்னவென்றால் $C^2 ≥ 0$, அதாவது. $C^2$ ஆனது $-\infty$ இலிருந்து $+\infty$ ஆக மாறாது மற்றும் அனைத்து உண்மையான எண்களிலும் "இயங்க" இல்லை. அதேபோல், மாறிலியை $\sin C$ எனக் குறிப்பிடுவது தவறாகும், ஏனெனில் $-1≤ \sin C ≤ 1$, அதாவது. $\sin C$ உண்மையான அச்சின் அனைத்து மதிப்புகளிலும் "இயங்குவதில்லை". பின்வருவனவற்றில், இந்த சிக்கலை விரிவாக விவாதிக்க மாட்டோம், ஆனால் ஒவ்வொரு காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புக்கும் நிலையான $C$ ஐ எழுதுவோம்.
எடுத்துக்காட்டு எண். 4
$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx$ஐக் கண்டறியவும்.
சொத்து எண். 4 ஐப் பயன்படுத்துவோம்:
$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$
இப்போது ஒருங்கிணைந்த குறிகளுக்கு வெளியே மாறிலிகளை (எண்கள்) எடுத்துக் கொள்வோம்:
$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^ 2+9)-8\int x^3dx$$
அடுத்து, பெறப்பட்ட ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைப்புடனும் தனித்தனியாக வேலை செய்வோம். முதல் ஒருங்கிணைந்த, அதாவது. $\int \sin x dx$, எண். 5 இன் கீழ் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் எளிதாகக் காணலாம். சூத்திர எண் 5 இல் $u=x$ ஐ மாற்றினால், நமக்கு கிடைக்கும்: $\int \sin x dx=-\cos x+C$.
இரண்டாவது ஒருங்கிணைந்த $\int\frac(dx)(x^2+9)$ ஐக் கண்டறிய, ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து சூத்திர எண். 11ஐப் பயன்படுத்த வேண்டும். அதில் $u=x$ மற்றும் $a=3$ ஆகியவற்றை மாற்றினால், நமக்கு கிடைக்கும்: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x) (3)+C$.
இறுதியாக, $\int x^3dx$ ஐக் கண்டுபிடிக்க, அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரம் எண் 1 ஐப் பயன்படுத்துகிறோம், அதில் $u=x$ மற்றும் $\alpha=3$ ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்: $\int x^3dx=\frac(x^ (3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.
$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$ என்ற வெளிப்பாட்டில் உள்ள அனைத்து ஒருங்கிணைப்புகளும் கண்டறியப்பட்டுள்ளன. அவற்றை மாற்றுவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது:
$$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3 )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$
சிக்கல் தீர்க்கப்பட்டது, பதில்: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\ frac(17 )(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$. இந்த சிக்கலுக்கு நான் ஒரு சிறிய குறிப்பைச் சேர்க்கிறேன்:
ஒரு சிறு குறிப்பு
இந்தச் செருகல் யாருக்கும் தேவைப்படாமல் இருக்கலாம், ஆனால் நான் $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$ என்று குறிப்பிடுகிறேன். அந்த. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2 +9)$.
பகுத்தறிவின்மைகளை (வேர்கள், வேறுவிதமாகக் கூறினால்) இடையீடு செய்ய ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரம் எண் 1 ஐப் பயன்படுத்துவதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு எண். 5
$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$ஐக் கண்டறியவும்.
தொடங்குவதற்கு, எடுத்துக்காட்டு எண். 3 இல் உள்ள அதே செயல்களைச் செய்வோம், அதாவது: ஒருங்கிணைப்பை இரண்டாகச் சிதைத்து, மாறிலிகளை ஒருங்கிணைப்புகளின் அறிகுறிகளுக்கு அப்பால் நகர்த்துவோம்:
$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^ 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$
$\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$ என்பதால், $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7 ) )dx$. இந்த ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிய, நாங்கள் சூத்திர எண். 1 ஐப் பயன்படுத்துகிறோம், அதில் $u=x$ மற்றும் $\alpha=\frac(4)(7)$ ஆகியவற்றை மாற்றுகிறோம்: $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\ frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11)))(11)+C$. நீங்கள் விரும்பினால், $\sqrt(x^(11))$ ஐ $x\cdot\sqrt(x^(4))$ என குறிப்பிடலாம், ஆனால் இது தேவையில்லை.
இப்போது இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்புக்கு வருவோம், அதாவது. $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11) ) $, பின்னர் பரிசீலனையில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பை பின்வரும் வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம்: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$ . இதன் விளைவாக வரும் ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிய, ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து சூத்திர எண். 1ஐப் பயன்படுத்துகிறோம், அதில் $u=x$ மற்றும் $\alpha=-\frac(6)(11)$ ஐ மாற்றுவோம்: $\int x^(-\ frac(6)(11) ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x ^(\frac(5) (11)))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.
பெறப்பட்ட முடிவுகளை மாற்றுவதன் மூலம், நாங்கள் பதிலைப் பெறுகிறோம்:
$$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^( 11)))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11)))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C. $$
பதில்: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11) )))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.
இறுதியாக, ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையின் சூத்திர எண் 9 இன் கீழ் வரும் ஒருங்கிணைப்பை எடுத்துக் கொள்வோம். உதாரணம் எண். 6, நாம் இப்போது செல்லப் போகிறோம், இது வேறு வழியில் தீர்க்கப்படலாம், ஆனால் இது அடுத்தடுத்த தலைப்புகளில் விவாதிக்கப்படும். இப்போதைக்கு, நாங்கள் அட்டவணையைப் பயன்படுத்துவதற்கான கட்டமைப்பிற்குள் இருப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு எண். 6
$\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$ஐக் கண்டறியவும்.
முதலில், முன்பு இருந்த அதே செயல்பாட்டைச் செய்வோம்: ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திற்கு வெளியே மாறிலியை ($12$) நகர்த்தவும்:
$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$
இதன் விளைவாக வரும் ஒருங்கிணைந்த $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ ஏற்கனவே அட்டவணை ஒன்றிற்கு அருகில் $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2) )$ (சூத்திர எண். 9 ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை). எங்கள் ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள வேறுபாடு என்னவென்றால், ரூட்டின் கீழ் $x^2$ க்கு முன் ஒரு குணகம் $7$ உள்ளது, இது அட்டவணை ஒருங்கிணைப்பு அனுமதிக்காது. எனவே, இந்த ஏழரை மூல அடையாளத்திற்கு அப்பால் நகர்த்துவதன் மூலம் நாம் விடுபட வேண்டும்:
$$ 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15))( ) 7)-x^2\right)))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\ frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$
ஒருங்கிணைந்த அட்டவணையை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால் $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ மற்றும் $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)- x^ 2))$ அவர்கள் ஒரே அமைப்பைக் கொண்டிருப்பது தெளிவாகிறது. ஒருங்கிணைந்த $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ இல் மட்டும் $u$க்கு பதிலாக $x$ உள்ளது, மற்றும் $a^2$க்கு பதிலாக $\frac (15)(7)$ உள்ளது. சரி, $a^2=\frac(15)(7)$ எனில், $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin சூத்திரத்தில் $u=x$ மற்றும் $a=\sqrt(\frac(15)(7))$ ஐ மாற்றுதல் \ frac(u)(a)+C$, பின்வரும் முடிவைப் பெறுகிறோம்:
$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$
$\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$ என்று கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், முடிவை “மூன்று கதை இல்லாமல் மாற்றி எழுதலாம். "பின்னங்கள்:
$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7) ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$
பிரச்சனை தீர்ந்தது, பதில் கிடைத்தது.
பதில்: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.
எடுத்துக்காட்டு எண். 7
$\int\tg^2xdx$ஐக் கண்டறியவும்.
முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்கும் முறைகள் உள்ளன. இருப்பினும், இந்த விஷயத்தில், நீங்கள் எளிய முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பற்றிய அறிவைப் பெறலாம். $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$ என்பதால், $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ வலது)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. $\sin^2x=1-\cos^2x$ கருத்தில், நாம் பெறுவது:
$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$
எனவே, $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$. இதன் விளைவாக வரும் ஒருங்கிணைப்பை ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக விரிவுபடுத்தி விண்ணப்பிக்கவும் அட்டவணை சூத்திரங்கள், கொண்டிருக்கும்:
$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$
பதில்: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.
இப்போது நாம் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைப் பற்றி மட்டுமே பேசுவோம், சுருக்கத்திற்காக "காலவரையற்ற" என்ற சொல்லைத் தவிர்ப்போம்.
ஒருங்கிணைப்புகளை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதை அறிய (அல்லது, அவர்கள் சொல்வது போல், செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைப்பது), நீங்கள் முதலில் ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையைக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும்:
அட்டவணை 1. ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை
|
2.
2a. 2b. 2c. 3.
3a. 4.
5.
5a) 6a. 7.
7a. |
8.
9.
10.
10அ. 11.
11அ. 12.
13.
13அ. |
(
),u>0.
(α=0);
(α=1);
(α= 
).
கூடுதலாக, கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடும் திறன் உங்களுக்குத் தேவைப்படும், அதாவது நீங்கள் வேறுபாட்டின் விதிகள் மற்றும் அடிப்படை அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்:
அட்டவணை 2. வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் வேறுபாடு விதிகளின் அட்டவணை:
 6.a .
|
(பாவம் மற்றும்) = விலை மற்றும் மற்றும் (காஸ் u) = – பாவம் மற்றும் மற்றும் |
|
ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டைக் கண்டறியும் திறனும் நமக்குத் தேவை. செயல்பாட்டின் வேறுபாடு என்பதை நினைவில் கொள்க 
சூத்திரம் மூலம் கண்டுபிடிக்க 
, அதாவது ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாடு இந்தச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மற்றும் அதன் வாதத்தின் வேறுபாட்டின் தயாரிப்புக்கு சமம். பின்வரும் அறியப்பட்ட உறவுகளை மனதில் வைத்திருப்பது பயனுள்ளது:
அட்டவணை 3. வேறுபட்ட அட்டவணை
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
|
10.
11.
12.
14.
15.
16.
17.
|
(பி=
கான்ஸ்ட்)
(
)
(பி=
கான்ஸ்ட்)
மேலும், இந்த சூத்திரங்களை இடமிருந்து வலமாக அல்லது வலமிருந்து இடமாக வாசிப்பதன் மூலம் பயன்படுத்தலாம்.
ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான மூன்று முக்கிய முறைகளை வரிசையாகக் கருதுவோம். அவற்றில் முதலாவது அழைக்கப்படுகிறது முறை நேரடி ஒருங்கிணைப்பு. இது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகளின் பயன்பாட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டது மற்றும் இரண்டு முக்கிய நுட்பங்களை உள்ளடக்கியது: ஒரு இயற்கணிதத் தொகையாக ஒரு ஒருங்கிணைப்பின் விரிவாக்கம்எளிமையான மற்றும் வேறுபட்ட அடையாளத்திற்கு குழுசேர்கிறது, மற்றும் இந்த நுட்பங்கள் சுயாதீனமாகவும் கலவையாகவும் பயன்படுத்தப்படலாம்.
A)கருத்தில் கொள்வோம் இயற்கணித தொகை விரிவாக்கம்- இந்த நுட்பம் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் ஒருங்கிணைந்த மற்றும் நேரியல் பண்புகளின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களைப் பயன்படுத்துவதை உள்ளடக்கியது: 
மற்றும்.
எடுத்துக்காட்டு 1. ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்:
A)
;
b)
;
V)
ஜி)
ஈ) 
.
தீர்வு.
A)எண் காலத்தை காலத்தால் வகுப்பதன் மூலம் ஒருங்கிணைப்பை மாற்றுவோம்:
அதிகாரங்களின் சொத்து இங்கே பயன்படுத்தப்படுகிறது: 
.
b) முதலில், நாம் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை மாற்றுகிறோம், பின்னர் நாம் எண் காலத்தை வகுப்பால் வகுக்கிறோம்:
டிகிரிகளின் சொத்து இங்கே பயன்படுத்தப்படுகிறது: 
.
இங்கே பயன்படுத்தப்படும் சொத்து: 
,
.
.
அட்டவணை 1 இன் 2 மற்றும் 5 சூத்திரங்கள் இங்கே பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
எடுத்துக்காட்டு 2. ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்:
A)
;
b)
;
V)
ஜி)
ஈ) 
.
தீர்வு.
A)முக்கோணவியல் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்பை மாற்றுவோம்:
.
அட்டவணை 1 இன் வகுத்தல் மற்றும் சூத்திரங்கள் 8 மற்றும் 9 ஆகியவற்றால் எண்ணின் கால-படி-காலப் பிரிவை இங்கே மீண்டும் பயன்படுத்துகிறோம்.
b) அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் இதேபோல் மாற்றுகிறோம் 
:
.
c) முதலில், எண்கணிதச் சொல்லை வகுப்பால் வகுத்து, ஒருங்கிணைந்த குறியிலிருந்து மாறிலிகளை எடுத்துக் கொண்டு, முக்கோணவியல் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தவும். 
:
ஈ) பட்டத்தைக் குறைப்பதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:
,
இ) முக்கோணவியல் அடையாளங்களைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் மாற்றுகிறோம்:
B)ஒருங்கிணைப்பு நுட்பத்தை கருத்தில் கொள்வோம், இது n என்று அழைக்கப்படுகிறது வித்தியாசமான அடையாளத்தின் கீழ் வைப்பதன் மூலம். இந்த நுட்பம் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் மாறாத தன்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டது:
என்றால் 
, பின்னர் எந்த வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டிற்கும் மற்றும்=மற்றும்(எக்ஸ்) ஏற்படுகிறது: 
.
இந்த சொத்து, எளிய ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையை கணிசமாக விரிவுபடுத்த அனுமதிக்கிறது, ஏனெனில் இந்த சொத்து காரணமாக அட்டவணை 1 இல் உள்ள சூத்திரங்கள் சுயாதீன மாறிக்கு மட்டும் செல்லுபடியாகும். மற்றும், ஆனால் வழக்கில் போது மற்றும்வேறு சில மாறிகளின் வேறுபட்ட செயல்பாடு ஆகும்.
உதாரணத்திற்கு, 
, ஆனால் 
, மற்றும் 
, மற்றும் 
.
அல்லது 
மற்றும் 
, மற்றும் 
.
இந்த முறையின் சாராம்சம் கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பில் ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டை தனிமைப்படுத்துவதாகும், இதனால் இந்த தனிமைப்படுத்தப்பட்ட வேறுபாடு, மீதமுள்ள வெளிப்பாட்டுடன் சேர்ந்து, இந்த செயல்பாட்டிற்கான அட்டவணை சூத்திரத்தை உருவாக்குகிறது. தேவைப்பட்டால், அத்தகைய மாற்றத்தின் போது, அதற்கேற்ப மாறிலிகள் சேர்க்கப்படலாம். உதாரணத்திற்கு:
(கடைசி உதாரணத்தில் எழுதப்பட்ட ln(3 + எக்ஸ் 2) ln|3 + க்கு பதிலாக எக்ஸ் 2 | , வெளிப்பாடு 3 + என்பதால் எக்ஸ் 2 எப்போதும் நேர்மறையானது).
எடுத்துக்காட்டு 3.
ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்:
A)
;
b)
; V)
;
ஜி)
; ஈ)
; இ)
;
மற்றும்)
; h)
.
தீர்வு.
A).
அட்டவணை 1 இன் 2a, 5a மற்றும் 7a சூத்திரங்கள் இங்கே பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவற்றில் கடைசி இரண்டு வேறுபட்ட அடையாளத்தை உட்படுத்துவதன் மூலம் துல்லியமாக பெறப்படுகின்றன:
பார்வை செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்கவும் 
மிகவும் சிக்கலான செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடும் கட்டமைப்பிற்குள் அடிக்கடி நிகழ்கிறது. ஒவ்வொரு முறையும் மேலே விவரிக்கப்பட்ட படிகளை மீண்டும் செய்யாமல் இருக்க, அட்டவணை 1 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள தொடர்புடைய சூத்திரங்களை நினைவில் வைத்துக் கொள்ளுமாறு பரிந்துரைக்கிறோம்.
.
அட்டவணை 1 இன் ஃபார்முலா 3 இங்கே பயன்படுத்தப்படுகிறது.
c) இதேபோல், அதைக் கருத்தில் கொண்டு, நாங்கள் மாற்றுகிறோம்:
.
அட்டவணை 1 இல் உள்ள ஃபார்முலா 2c இங்கே பயன்படுத்தப்படுகிறது.
ஜி)
.
ஈ) ;
இ)
.
மற்றும்) ;
h)
.
எடுத்துக்காட்டு 4. ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்:
A)
b)
V) 
.
தீர்வு.
a) மாற்றுவோம்:
அட்டவணை 1 இன் ஃபார்முலா 3 இங்கேயும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
b) பட்டத்தைக் குறைப்பதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் 
:
அட்டவணை 1 இன் 2a மற்றும் 7a சூத்திரங்கள் இங்கே பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
இங்கே, அட்டவணை 1 இன் சூத்திரங்கள் 2 மற்றும் 8 உடன், அட்டவணை 3 இன் சூத்திரங்களும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: 
,
.
எடுத்துக்காட்டு 5. ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்:
A) 
;
b) 
V) 
; ஜி) 
.
தீர்வு.
அ) வேலை 
செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டிற்கு கூடுதலாக வழங்கப்படலாம் (அட்டவணை 3 இன் சூத்திரங்கள் 4 மற்றும் 5 ஐப் பார்க்கவும்) 
, எங்கே ஏமற்றும் பி- ஏதேனும் மாறிலிகள், 
. உண்மையில், எங்கிருந்து 
.
பின்னர் எங்களிடம் உள்ளது:
.
b) அட்டவணை 3 இன் சூத்திரம் 6 ஐப் பயன்படுத்துகிறோம் 
, மற்றும் 
, அதாவது உற்பத்தியின் ஒருங்கிணைப்பில் இருப்பது 
ஒரு குறிப்பைக் குறிக்கிறது: வேறுபட்ட அடையாளத்தின் கீழ் நீங்கள் வெளிப்பாட்டை உள்ளிட வேண்டும் 
. எனவே நாம் பெறுகிறோம்
c) புள்ளி b இல் உள்ளதைப் போலவே), தயாரிப்பு 
வேறுபட்ட செயல்பாடுகளுக்கு நீட்டிக்க முடியும் 
. பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்:
.
ஈ) முதலில் நாம் ஒருங்கிணைப்பின் நேரியல் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
எடுத்துக்காட்டு 6. ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்:
A)
;
b)
;
V)
; ஜி)
.
தீர்வு.
A)என்று கருதி
(அட்டவணை 3 இன் சூத்திரம் 9), நாங்கள் மாற்றுகிறோம்:
b) அட்டவணை 3 இன் சூத்திரம் 12 ஐப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்
c) அட்டவணை 3 இன் சூத்திரம் 11ஐ கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, மாற்றுகிறோம்
ஈ) அட்டவணை 3 இன் சூத்திரம் 16 ஐப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:
.
எடுத்துக்காட்டு 7. ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்:
A)
;
b)
;
V)
;
ஜி)
.
தீர்வு.
A)இந்த எடுத்துக்காட்டில் வழங்கப்பட்ட அனைத்து ஒருங்கிணைப்புகளும் பொதுவான அம்சத்தைக் கொண்டுள்ளன: ஒருங்கிணைப்பு ஒரு இருபடி முக்கோணத்தைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, இந்த ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடும் முறை அதே மாற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது - இந்த இருபடி முக்கோணத்தில் முழுமையான சதுரத்தை தனிமைப்படுத்துகிறது.
.
b)
.
V)
ஜி)
ஒரு வித்தியாசமான அடையாளத்தை மாற்றும் முறையானது, மாற்று முறை அல்லது மாறியின் மாற்றம் எனப்படும் ஒரு ஒருங்கிணைந்த கணக்கீட்டு முறையின் வாய்வழி செயலாக்கமாகும். உண்மையில், ஒவ்வொரு முறையும், செயல்பாட்டு வேறுபாட்டின் அடையாளத்தை உட்படுத்துவதன் விளைவாக பெறப்பட்ட ஒரு பொருத்தமான சூத்திரத்தை அட்டவணை 1 இல் தேர்ந்தெடுத்து, கடிதத்தை மனதளவில் மாற்றினோம். மற்றும்வேறுபாடு அடையாளத்தின் கீழ் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாடு. எனவே, வேறுபட்ட அடையாளத்தை உட்படுத்துவதன் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு சரியாக வேலை செய்யவில்லை என்றால், நீங்கள் நேரடியாக மாறியை மாற்றலாம். இதைப் பற்றிய கூடுதல் விவரங்கள் அடுத்த பத்தியில்.
நேரடி ஒருங்கிணைப்பு முறையானது ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டை மாற்றுதல், காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துதல் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த வெளிப்பாட்டை அட்டவணை வடிவத்திற்குக் குறைத்தல் ஆகியவற்றை அடிப்படையாகக் கொண்டது.
உதாரணத்திற்கு:
பரீட்சை
பரீட்சை
2. மாற்று முறை (மாறி மாற்று)
இந்த முறை ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ஒருங்கிணைப்பில் மாற்றீடு செய்வோம்:
;
எனவே, நாம் பெறுகிறோம்:
உதாரணத்திற்கு:
1)
தேர்வு:
2)
பரீட்சை(காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் சொத்து எண். 2ஐ அடிப்படையாகக் கொண்டது):
துண்டு துண்டாக ஒருங்கிணைக்கப்பட்டது
விடுங்கள் u மற்றும் v - வேறுபட்ட செயல்பாடுகள். இந்த செயல்பாடுகளின் உற்பத்தியின் வேறுபாட்டை வெளிப்படுத்துவோம்:
,
எங்கே 
இதன் விளைவாக வெளிப்பாட்டை ஒருங்கிணைப்போம்:
உதாரணத்திற்கு:
பரீட்சை(காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் சொத்து எண். 1ஐ அடிப்படையாகக் கொண்டது):
2)
முடிவு செய்வோம் 
பரீட்சை(காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் சொத்து எண். 1ஐ அடிப்படையாகக் கொண்டது):
நடைமுறை பகுதி
வீட்டிலேயே தீர்க்க வேண்டிய பிரச்சனைகள்
ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்:
A) 
; இ) 
;
V) 
; h) 
ஜி) 
; மற்றும்) 
ஈ) ; செய்ய) 
A) ; இ) 
;
வி) ; h) 
;
ஈ) ; செய்ய) 
.
A) ; வி) ; ஈ)
b) ; ஜி) ; இ)
நடைமுறை வகுப்புகளின் போது தீர்க்கப்பட வேண்டிய சிக்கல்கள்:
I. நேரடி ஒருங்கிணைப்பு முறை
A) 
; மற்றும்) ;
b) 
; h) ;
V) 
; மற்றும்)
ஜி) 
; செய்ய)
இ) 
; மீ) 
II. மாற்று முறை (மாறி மாற்று)
ஜி) ; செய்ய) 
;
ஈ) 
; l) ;
III. பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைக்கும் முறை
தலைப்பு எண் 4
திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த
கணிதக் கணக்கீடுகளில், அதிகரிப்பைக் கண்டறிவது பெரும்பாலும் அவசியம் ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகுறிப்பிட்ட வரம்புகளுக்குள் அதன் வாதம் மாறும்போது. பல்வேறு புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகள் மற்றும் தொகுதிகளை கணக்கிடும் போது, ஒரு செயல்பாட்டின் சராசரி மதிப்பை நிர்ணயிக்கும் போது, மாறி விசையின் வேலையை கணக்கிடும் போது இந்த பிரச்சனை தீர்க்கப்பட வேண்டும். தொடர்புடைய திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடுவதன் மூலம் இந்த சிக்கல்களை தீர்க்க முடியும்.
பாடத்தின் நோக்கம்:
1. நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிட கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.
2. பயன்படுத்தப்படும் சிக்கல்களைத் தீர்க்க ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் கருத்தைப் பயன்படுத்த முடியும்.
தத்துவார்த்த பகுதி
தீர்மானிக்கப்பட்ட ஒருமைப்பாட்டின் கருத்து மற்றும் அதன் வடிவியல் பொருள்
பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலைக் கவனியுங்கள் வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு.
சில செயல்பாடு கொடுக்கப்படட்டும் y=f(x), இதன் வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.
படம் 1. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்.
அச்சில் 0x புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் “ஒரு" மற்றும் "வி" மேலும் அவை வளைவுடன் வெட்டும் வரை அவற்றிலிருந்து செங்குத்துகளை மீட்டெடுக்கவும். ஒரு வளைவு, செங்குத்தாக மற்றும் ஒரு அச்சினால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு உருவம் 0x வளைந்த ட்ரேப்சாய்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இடைவெளியை பல சிறிய பகுதிகளாகப் பிரிப்போம். ஒரு தன்னிச்சையான பிரிவைத் தேர்ந்தெடுப்போம். ஒரு செவ்வகத்திற்கு இந்த பிரிவுக்கு தொடர்புடைய வளைந்த ட்ரேப்சாய்டை உருவாக்குவோம். அத்தகைய செவ்வகத்தின் பரப்பளவு பின்வருமாறு தீர்மானிக்கப்படுகிறது:
பின்னர் இடைவெளியில் முடிக்கப்பட்ட அனைத்து செவ்வகங்களின் பரப்பளவு சமமாக இருக்கும்:
;
ஒவ்வொரு பிரிவும் போதுமான அளவு சிறியதாக இருந்தால் மற்றும் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், செவ்வகங்களின் மொத்த பரப்பளவு வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவைக் குறிக்கும்:
;
எனவே, ஒரு வளைவு ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதில் சிக்கல் தொகையின் வரம்பை தீர்மானிக்கிறது.
ஒருங்கிணைந்த தொகை என்பது வாதத்தின் அதிகரிப்பு மற்றும் செயல்பாட்டின் மதிப்பின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை ஆகும் f(x) , வாதம் மாறும் எல்லைகளுக்குள் இடைவெளியில் சில புள்ளியில் எடுக்கப்பட்டது. கணித ரீதியாக, சுயாதீன மாறியின் அதிகரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், ஒருங்கிணைந்த கூட்டுத்தொகையின் வரம்பைக் கண்டறிவதில் சிக்கல் ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் கருத்துக்கு வழிவகுக்கிறது.
செயல்பாடு f(x ) இருந்து சில இடைவெளியில் x=a முன் x=b ஒரு எண் இருந்தால், ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய தொகையானது Dx®0 . இந்த வழக்கில் எண் ஜே அழைக்கப்பட்டது திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகள் f(x) இடைவெளியில்:
;
எங்கே ] a, c[ - ஒருங்கிணைப்பு பகுதி,
ஏ- ஒருங்கிணைப்பின் குறைந்த வரம்பு,
வி- ஒருங்கிணைப்பின் மேல் வரம்பு.
எனவே, வடிவவியலின் பார்வையில், ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உருவத்தின் பரப்பளவு ஆகும். a, c [மற்றும் x-அச்சு.
பாட உபகரணங்கள்: விரிவுரை குறிப்புகள்.
மதிப்பீட்டு அளவுகோல்கள்
பணி ஆணை
உடற்பயிற்சி 1.
விரிவுரை எண். 9ஐப் படிக்கவும்
பணி 2.
விரிவுரை 9.
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு இந்த செயல்பாட்டிலிருந்து:
10 .
( dx)" = d ( dx) =f(x) dx
20. ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது இந்தச் சார்பு மற்றும் தன்னிச்சையான மாறிலிக்கு சமம்:
30. நிலையான காரணி காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்.
40. சார்புகளின் இயற்கணிதத் தொகையின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது, செயல்பாடுகளின் விதிமுறைகளின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்:
50. a மாறிலியாக இருந்தால், சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்
ஆவண உள்ளடக்கங்களைக் காண்க
"ஒருங்கிணைப்பு நேரடி ஒருங்கிணைப்பின் நுட்பம்"
செய்முறை வேலைப்பாடு№ 7
தலைப்பு: ஒருங்கிணைப்பு நுட்பம். நேரடி ஒருங்கிணைப்பு
இலக்குகள்:
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் மற்றும் விதிகளைப் படிக்கவும்
நேரடி ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள்
பாட உபகரணங்கள்: விரிவுரை குறிப்புகள்.
மதிப்பீட்டு அளவுகோல்கள்
அனைத்து வேலைப் பணிகளையும் சரியாக முடிப்பதற்கு "5" தரம் வழங்கப்படுகிறது
பணி 1 ஐ முடிக்க "4" தரம் வழங்கப்படுகிறது சரியான முடிவுபணி 2 இலிருந்து ஏதேனும் பத்து எடுத்துக்காட்டுகள்.
பணி 1 ஐ முடிப்பதற்கும், பணி 2 இலிருந்து ஏதேனும் ஏழு உதாரணங்களைச் சரியாகத் தீர்ப்பதற்கும் "3" தரம் வழங்கப்படுகிறது.
பணி ஆணை
உடற்பயிற்சி 1.
விரிவுரை எண். 9ஐப் படிக்கவும்
விரிவுரைகளைப் பயன்படுத்தி, கேள்விகளுக்குப் பதிலளிக்கவும் மற்றும் உங்கள் நோட்புக்கில் பதில்களை எழுதவும்:
1. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் என்ன பண்புகள் உங்களுக்குத் தெரியும்?
2. அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரங்களில் எழுதவும்
3. நேரடி ஒருங்கிணைப்புடன் என்ன வழக்குகள் சாத்தியமாகும்?
பணி 2.
சுயாதீன தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கவும்
விரிவுரை 9.
தலைப்பு: “காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு. நேரடி ஒருங்கிணைப்பு"
F"(x) = f(x) எனில் F(x) சார்பு f(x) செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேடிவ் எனப்படும்.
எந்தவொரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடும் f(x) ஆனது எண்ணற்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கொண்டுள்ளது, அவை ஒரு நிலையான காலத்தால் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன.
F(x) செயல்பாட்டிற்கான அனைத்து ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பின் பொதுவான வெளிப்பாடு F(x) +C என அழைக்கப்படுகிறது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு இந்த செயல்பாட்டிலிருந்து:
dx = F(x) +С, என்றால் d(F(x) +С) = dx
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகள்
1 0 .காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம் மற்றும் அதன் வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்:
( dx)" = d ( dx) =f(x) dx
2 0 . ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது இந்தச் சார்பு மற்றும் தன்னிச்சையான மாறிலிக்கு சமம்:
3 0 . நிலையான காரணி காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்.
4 0 .செயல்பாடுகளின் இயற்கணிதத் தொகையின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது, சார்புகளின் விதிமுறைகளின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்:
+dx
5 0 . a மாறிலியாக இருந்தால், சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்
அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரங்கள் (அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள்)
4. 
5. 
7. 
9. = - ctgx + C
12. = ஆர்க்சின் + சி
சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தும்போது (3), (10). (11) மடக்கை குறியின் கீழ் வெளிப்பாடு எதிர்மறை மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் மட்டுமே முழுமையான மதிப்பு குறி எழுதப்படுகிறது.
ஒவ்வொரு சூத்திரமும் சரிபார்க்க எளிதானது. வலது பக்கத்தை வேறுபடுத்துவதன் விளைவாக, ஒரு ஒருங்கிணைப்பு பெறப்படுகிறது.
நேரடி ஒருங்கிணைப்பு.
நேரடி ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையின் நேரடி பயன்பாட்டின் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது. பின்வரும் வழக்குகள் இங்கே ஏற்படலாம்:
1) இந்த ஒருங்கிணைப்பை தொடர்புடைய அட்டவணை ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து நேரடியாகக் காணலாம்;
2) இந்த ஒருங்கிணைப்பு, 3 0 மற்றும் 4 0 பண்புகளைப் பயன்படுத்திய பிறகு, ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகளாகக் குறைக்கப்படுகிறது;
3) இந்த ஒருங்கிணைப்பு, 3 0 மற்றும் 4 0 பண்புகளின் ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் பயன்பாட்டின் அடிப்படை அடையாள மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகளாகக் குறைக்கப்படுகிறது.
எடுத்துக்காட்டுகள்.
சொத்து 3 0 அடிப்படையில், நிலையான காரணி 5 ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்டு, சூத்திரம் 1 ஐப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்
தீர்வு. சொத்து 3 0 மற்றும் சூத்திரம் 2 ஐப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்
6 
தீர்வு. பண்புகள் 3 0 மற்றும் 4 0 மற்றும் சூத்திரங்கள் 1 மற்றும் 2 ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்துகிறோம்
X + 3) = 4 
+ 12 = 4 - 4 + 12x + C = + 12x + C
ஒருங்கிணைப்பு மாறிலி C என்பது மூன்று ஒருங்கிணைப்பு மாறிலிகளின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம், ஏனெனில் ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைப்புக்கும் அதன் சொந்த தன்னிச்சை மாறிலி (C 1 – C 2 + C 3 = C) உள்ளது.
தீர்வு. ஒவ்வொரு சொற்றொடரையும் ஒருங்கிணைத்து, எங்களிடம் உள்ளது
1 + கட்டில் 2 x = முக்கோணவியல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல்
= = - ctgx – x + C
தீர்வு. ஒருங்கிணைப்பின் எண் 9 ஐக் கழித்து, கூட்டினால் நமக்குக் கிடைக்கும்
= = + = - =
X + 9 + C = - x +
சுய தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்
நேரடி ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்புகளை மதிப்பிடவும்:
மாணவர்களின் அறிவைக் கண்காணித்தல்:
நடைமுறை வேலைகளை சரிபார்க்கவும்;
நடைமுறை வேலைகளை முடிப்பதற்கான தேவைகள்:
பணி ஒரு குறிப்பேட்டில் முடிக்கப்பட வேண்டும் செய்முறை வேலைப்பாடு
வகுப்புக்குப் பிறகு வேலையைச் சமர்ப்பிக்கவும்