எண் இடைவெளிகள். எண் பிரிவுகள், இடைவெளிகள், அரை இடைவெளிகள் மற்றும் கதிர்கள் எண் இடைவெளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

மேலும், சமத்துவமின்மை அமைப்புகளுக்கு பொதுவான தீர்வுகள் இருந்தால் சமமானதாக வகைப்படுத்தலாம். இங்கிருந்து (மேலே காணக்கூடியது) மிகவும் சிக்கலான அமைப்புகளை எளிமைப்படுத்தலாம் (உதாரணமாக, வடிவியல் தீர்வைப் பயன்படுத்தி).

சுருள் பிரேஸ் தோராயமாக பேசும், தோராயமாக பேசும், இணைப்பிற்கு சமமானதாக அழைக்கப்படும் " மற்றும்"சமத்துவமின்மைகளுக்கு

ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தொகுப்பு

இருப்பினும், மற்ற வழக்குகள் உள்ளன. எனவே, தீர்வுகளின் தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டுக்கு கூடுதலாக, அவற்றின் தொழிற்சங்கம் உள்ளது: ஒரு மாறியின் அத்தகைய அனைத்து மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டுபிடிப்பதே பணி என்றால், ஒவ்வொன்றும் கொடுக்கப்பட்ட ஏற்றத்தாழ்வுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒரு தீர்வாகும், பின்னர் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தொகுப்பைத் தீர்ப்பது அவசியம் என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள்.

ஆக, மொத்தத்தில் உள்ள அனைத்து ஏற்றத்தாழ்வுகளும் "[" என்ற மொத்த அடைப்புக்குறியால் ஒன்றிணைக்கப்படுகின்றன. ஒரு மாறியின் மதிப்பு மக்கள்தொகையிலிருந்து குறைந்தபட்சம் ஒரு சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்தினால், அது முழு மக்கள்தொகையின் தீர்வுகளின் தொகுப்பிற்கு சொந்தமானது. சமன்பாடுகளுக்கும் இதுவே செல்கிறது (மீண்டும், அவற்றை ஒரு சிறப்பு வழக்கு என்று அழைக்கலாம்).

சுருள் பிரேஸ் என்றால் மற்றும், பின்னர் மொத்த அடைப்புக்குறி, நிபந்தனையுடன், எளிமையான சொற்களில், தொழிற்சங்கத்திற்கு சமம் " அல்லது" ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு (இது நிச்சயமாக ஒரு தர்க்கரீதியானதாக இருக்கும் அல்லது இரண்டு நிபந்தனைகளையும் பூர்த்தி செய்யும் வழக்கு உட்பட).

எனவே, ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தொகுப்பிற்கான தீர்வு என்பது மாறியின் மதிப்பாகும், அதில் குறைந்தது ஒரு சமத்துவமின்மை உண்மையாகிறது.

தீர்வுகளின் தொகுப்பு, சேகரிப்புகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்புகள் ஆகிய இரண்டையும், செட்களுடன் பணிபுரியும் இரண்டு அடிப்படை பைனரி செயல்பாடுகள் மூலம் வரையறுக்கலாம் - குறுக்குவெட்டு மற்றும் ஒன்றியம். சமத்துவமின்மை அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு குறுக்குவெட்டுஅதை உருவாக்கும் சமத்துவமின்மைகளுக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு. சமத்துவமின்மைகளின் தொகுப்பிற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு ஆகும் ஒன்றியம்அதை உருவாக்கும் சமத்துவமின்மைகளுக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு. இதையும் விளக்கலாம். எங்களிடம் ஒரு அமைப்பு மற்றும் இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தொகுப்பு உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். முதல் தீர்வுகளின் தொகுப்பை நாங்கள் குறிக்கிறோம் ஏ, மற்றும் இரண்டாவது தீர்வுகளின் தொகுப்பைக் குறிக்கவும் பி. ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு ஆய்லர்-வென் வரைபடம்.

எண் இடைவெளிகளில் கதிர்கள், பிரிவுகள், இடைவெளிகள் மற்றும் அரை இடைவெளிகள் ஆகியவை அடங்கும்.

எண் இடைவெளிகளின் வகைகள்

அட்டவணையில் அமற்றும் பிஎல்லைப் புள்ளிகள், மற்றும் எக்ஸ்- ஒரு எண் இடைவெளியைச் சேர்ந்த எந்தப் புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பையும் எடுக்கக்கூடிய ஒரு மாறி.

எல்லைப் புள்ளி- இது எண் இடைவெளியின் எல்லையை வரையறுக்கும் புள்ளி. ஒரு எல்லைப் புள்ளி எண் இடைவெளியைச் சார்ந்ததாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம். வரைபடங்களில், பரிசீலனையில் உள்ள எண் இடைவெளியில் சேராத எல்லைப் புள்ளிகள் ஒரு திறந்த வட்டத்தால் குறிக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவற்றிற்கு சொந்தமானவை நிரப்பப்பட்ட வட்டத்தால் குறிக்கப்படுகின்றன.

திறந்த மற்றும் மூடிய கற்றை

திறந்த கற்றைஇந்த தொகுப்பில் சேர்க்கப்படாத ஒரு எல்லைப் புள்ளியின் ஒரு பக்கத்தில் இருக்கும் ஒரு கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும். கதிர் அதற்குச் சொந்தமில்லாத எல்லைப் புள்ளியின் காரணமாக துல்லியமாக திறந்தது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஆயக் கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம், அவை 2 ஐ விட அதிகமான ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளன, எனவே புள்ளி 2 இன் வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ளன:

அத்தகைய தொகுப்பை சமத்துவமின்மையால் வரையறுக்கலாம் எக்ஸ்> 2. திறந்த கதிர்கள் அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்திக் குறிக்கப்படுகின்றன - (2; +∞), இந்த உள்ளீடு இதைப் போன்றது: திறந்த எண் கதிர் இரண்டிலிருந்து கூட்டல் முடிவிலி.

சமத்துவமின்மை பொருந்திய தொகுப்பு எக்ஸ் < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

மூடிய கற்றைகொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்குச் சொந்தமான ஒரு எல்லைப் புள்ளியின் ஒரு பக்கத்தில் இருக்கும் ஒரு கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும். வரைபடங்களில், பரிசீலனையில் உள்ள தொகுப்பிற்குச் சொந்தமான எல்லைப் புள்ளிகள் நிரப்பப்பட்ட வட்டத்தால் குறிக்கப்படுகின்றன.

மூடிய எண் கதிர்கள் கடுமையான ஏற்றத்தாழ்வுகளால் வரையறுக்கப்படுகின்றன. உதாரணமாக, ஏற்றத்தாழ்வுகள் எக்ஸ் 2 மற்றும் எக்ஸ் 2 ஐ இவ்வாறு சித்தரிக்கலாம்:

தரவு நியமிக்கப்பட்டுள்ளது மூடிய கதிர்கள் so: , இது இவ்வாறு கூறுகிறது: இரண்டிலிருந்து கூட்டல் முடிவிலி வரையிலான ஒரு எண் கதிர் மற்றும் மைனஸ் முடிவிலியிலிருந்து இரண்டு வரையிலான எண் கதிர். குறியீட்டில் உள்ள சதுர அடைப்புக்குறி புள்ளி 2 எண் இடைவெளிக்கு சொந்தமானது என்பதைக் குறிக்கிறது.

கோட்டு பகுதி

கோட்டு பகுதிகொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிற்குச் சொந்தமான இரண்டு எல்லைப் புள்ளிகளுக்கு இடையில் அமைந்துள்ள ஒரு கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும். இத்தகைய தொகுப்புகள் இரட்டை அல்லாத கடுமையான ஏற்றத்தாழ்வுகளால் வரையறுக்கப்படுகின்றன.

புள்ளிகள் -2 மற்றும் 3 இல் முனைகளைக் கொண்ட ஒரு ஆயக் கோட்டின் ஒரு பகுதியைக் கவனியுங்கள்:

கொடுக்கப்பட்ட பிரிவை உருவாக்கும் புள்ளிகளின் தொகுப்பை இரட்டை சமத்துவமின்மை -2 மூலம் குறிப்பிடலாம் எக்ஸ் 3 அல்லது நியமிக்கவும் [-2; 3], அத்தகைய பதிவு இப்படி உள்ளது: மைனஸ் இரண்டு முதல் மூன்று வரை ஒரு பிரிவு.

இடைவெளி மற்றும் அரை இடைவெளி

இடைவெளி- இது இந்தத் தொகுப்பிற்குச் சொந்தமில்லாத இரண்டு எல்லைப் புள்ளிகளுக்கு இடையில் அமைந்துள்ள ஒரு கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும். இத்தகைய தொகுப்புகள் இரட்டை கடுமையான ஏற்றத்தாழ்வுகளால் வரையறுக்கப்படுகின்றன.

புள்ளிகள் -2 மற்றும் 3 இல் முனைகளைக் கொண்ட ஒரு ஆயக் கோட்டின் ஒரு பகுதியைக் கவனியுங்கள்:

கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியை உருவாக்கும் புள்ளிகளின் தொகுப்பை இரட்டை சமத்துவமின்மை -2 மூலம் குறிப்பிடலாம்< எக்ஸ் < 3 или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

அரை இடைவெளிஇரண்டு எல்லைப் புள்ளிகளுக்கு இடையில் அமைந்துள்ள ஒரு கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், அதில் ஒன்று தொகுப்பிற்கு சொந்தமானது மற்றொன்று இல்லை. இத்தகைய தொகுப்புகள் இரட்டை ஏற்றத்தாழ்வுகளால் வரையறுக்கப்படுகின்றன:

இந்த அரை-இடைவெளிகள் பின்வருமாறு குறிப்பிடப்படுகின்றன: (-2; 3] மற்றும் [-2; 3), இது இவ்வாறு படிக்கப்படுகிறது: மைனஸ் இரண்டிலிருந்து மூன்று, 3 உட்பட அரை-இடைவெளி, மற்றும் மைனஸ் இரண்டிலிருந்து மூன்று , மைனஸ் இரண்டு உட்பட.

எண் தொகுப்புகளில், அதாவது அமைக்கிறது, பொருள்கள் எண்கள், என்று அழைக்கப்படும் உள்ளன எண் இடைவெளிகள். அவற்றின் மதிப்பு என்னவென்றால், ஒரு குறிப்பிட்ட எண் இடைவெளியுடன் தொடர்புடைய ஒரு தொகுப்பை கற்பனை செய்வது மிகவும் எளிதானது, மற்றும் நேர்மாறாகவும். எனவே, அவர்களின் உதவியுடன் சமத்துவமின்மைக்கு பல தீர்வுகளை எழுதுவது வசதியானது.

இந்த கட்டுரையில் அனைத்து வகையான எண் இடைவெளிகளையும் பார்ப்போம். இங்கே நாம் அவர்களின் பெயர்களைக் கொடுப்போம், குறியீடுகளை அறிமுகப்படுத்துவோம், ஒருங்கிணைப்பு வரிசையில் எண் இடைவெளிகளை சித்தரிப்போம், மேலும் அவற்றுடன் என்ன எளிய ஏற்றத்தாழ்வுகள் ஒத்துப்போகின்றன என்பதைக் காண்பிப்போம். முடிவில், எண் இடைவெளிகளின் அட்டவணையின் வடிவத்தில் அனைத்து தகவல்களையும் பார்வைக்கு வழங்குவோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

எண் இடைவெளிகளின் வகைகள்

ஒவ்வொரு எண் இடைவெளியும் பிரிக்கமுடியாத வகையில் இணைக்கப்பட்ட நான்கு விஷயங்களைக் கொண்டுள்ளது:

• எண் இடைவெளியின் பெயர்,
• தொடர்புடைய சமத்துவமின்மை அல்லது இரட்டை சமத்துவமின்மை,
• பதவி,
• மற்றும் அதன் வடிவியல் படம் ஒரு ஆயக் கோட்டில் ஒரு படத்தின் வடிவத்தில்.

எந்தவொரு எண் இடைவெளியும் பட்டியலில் உள்ள கடைசி மூன்று முறைகளில் ஏதேனும் ஒன்றைக் குறிப்பிடலாம்: ஒரு சமத்துவமின்மை, அல்லது ஒரு குறிப்பீடு அல்லது ஒரு ஒருங்கிணைப்பு வரியில் அதன் படம். மேலும், படி இந்த முறைபணிகள், எடுத்துக்காட்டாக, சமத்துவமின்மையில், மற்றவற்றை எளிதாக மீட்டெடுக்க முடியும் (எங்கள் விஷயத்தில், குறியீடு மற்றும் வடிவியல் படம்).

விவரங்களுக்கு வருவோம். மேலே சுட்டிக்காட்டப்பட்ட நான்கு பக்கங்களிலிருந்தும் அனைத்து எண் இடைவெளிகளையும் விவரிப்போம்.

என்று அழைக்கப்படும் எண் இடைவெளியின் விளக்கத்துடன் ஆரம்பிக்கலாம் திறந்த எண் கற்றை. "திறந்த" என்ற பெயரடை பெரும்பாலும் தவிர்க்கப்பட்டு, திறந்த கற்றை என்ற பெயரை விட்டுவிடும் என்பதை நினைவில் கொள்க.

இந்த எண் இடைவெளியானது x படிவத்தின் ஒரு மாறியின் எளிமையான ஏற்றத்தாழ்வுகளுடன் ஒத்துள்ளது. a , இங்கு a என்பது சில உண்மையான எண். அதாவது, எழுதப்பட்ட ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அர்த்தத்தின்படி, திறந்த எண் கதிர் அனைத்தையும் கொண்டுள்ளது குறைவான எண்ணிக்கை a (சமத்துவமின்மையின் போது x a)

சமத்துவமின்மையைத் திருப்திப்படுத்தும் எண்களின் தொகுப்பு x a ஆக (a, +∞) .

திறந்த கதிரின் வடிவியல் படத்தைக் காட்ட இது உள்ளது; கேள்விக்குரிய எண் இடைவெளி தற்செயலாக அத்தகைய பெயரைப் பெறவில்லை என்பது தெளிவாகிறது. திரும்புவோம். அதன் புள்ளிகள் மற்றும் உண்மையான எண்களுக்கு இடையே ஒருவருக்கு ஒரு கடித தொடர்பு இருப்பதாக அறியப்படுகிறது, இது ஒருங்கிணைப்பு வரியை எண் கோடு என்று அழைக்க அனுமதிக்கிறது. மற்றும் பற்றி பேசும் போது எண்களின் ஒப்பீடுபெரிய எண் சிறிய ஒன்றின் வலதுபுறத்தில் ஆயக் கோட்டிலும், சிறிய எண் பெரிய ஒன்றின் இடதுபுறத்திலும் அமைந்திருப்பதைக் குறிப்பிட்டோம். இந்தக் கருத்தாய்வுகளின் அடிப்படையில், சமத்துவமின்மை x a - புள்ளியின் வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ள புள்ளிகள் a. எண் a தானே இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளை பூர்த்தி செய்யாது; இதை வலியுறுத்த, இது ஒரு வெற்று மையத்துடன் ஒரு புள்ளியாக வரைபடத்தில் சித்தரிக்கப்பட்டுள்ளது. சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்யும் எண்களுடன் தொடர்புடைய புள்ளிகளுக்கு மேலே, சாய்ந்த நிழல் சித்தரிக்கப்படுகிறது:

கொடுக்கப்பட்ட வரைபடங்களிலிருந்து, இந்த எண் இடைவெளிகள் எண் கோட்டின் பகுதிகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன என்பது தெளிவாகிறது கதிர்கள்புள்ளி a இல் தொடங்கி, ஆனால் புள்ளி a ஐத் தவிர்த்து. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இவை ஆரம்பம் இல்லாத கதிர்கள். எனவே பெயர் - திறந்த எண் கற்றை.

இதோ ஒரு சில குறிப்பிட்ட உதாரணங்கள்திறந்த எண் கதிர்கள். எனவே, கடுமையான சமத்துவமின்மை x>−3 ஒரு திறந்த எண் கதிரை வரையறுக்கிறது. இது (−3, ∞) என்ற குறிப்பால் வழங்கப்படுகிறது. மேலும் ஆயக் கோட்டில், இந்த எண் இடைவெளி என்பது புள்ளியின் வலதுபுறத்தில் ஆய −3 உடன் இருக்கும் புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், இந்த புள்ளியையே சேர்க்கவில்லை. மற்றொரு உதாரணம்: சமத்துவமின்மை x<2,3 , как и запись (−∞, 2,3) , задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой


பின்வரும் வகையின் எண் இடைவெளிகளுக்கு செல்லலாம் - எண் கதிர்கள். வடிவியல் அடிப்படையில், திறந்த விட்டங்களிலிருந்து அவற்றின் வேறுபாடு என்னவென்றால், பீமின் ஆரம்பம் நிராகரிக்கப்படவில்லை. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த வகை எண் இடைவெளிகளின் வடிவியல் படம் ஒரு முழு நீள கதிர்.

ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பயன்படுத்தி எண் கதிர்களைக் குறிப்பிடுவதற்கு, அவை கடுமையான சமத்துவமின்மைகளான x≤a அல்லது x≥a மூலம் பதிலளிக்கப்படுகின்றன. பின்வரும் குறிப்புகள் அவற்றிற்கு ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகின்றன: (-∞, a] மற்றும் . மற்றும் எண் பிரிவின் வடிவியல் படம் அதன் முனைகளுடன் ஒரு பிரிவாகும்:


எடுத்துக்காட்டாக, இரட்டை சமத்துவமின்மையால் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு எண் பிரிவை, ஆயக் கோட்டில், இரண்டின் மூலமும் மூன்றின் மூலமும் கொண்ட புள்ளிகளில் முனைகளைக் கொண்ட ஒரு பகுதிக்கு ஒத்ததாகக் குறிக்கலாம்.

எனப்படும் எண் இடைவெளிகளைப் பற்றிச் சொல்வதுதான் எஞ்சியுள்ளது அரை இடைவெளிகள். அவை எல்லைப் புள்ளிகளில் ஒன்றை உள்ளடக்கியிருப்பதால், ஒரு இடைவெளிக்கும் ஒரு பிரிவிற்கும் இடையே ஒரு இடைநிலை விருப்பத்தைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகின்றன. அரை இடைவெளிகள் இரட்டை ஏற்றத்தாழ்வுகளால் குறிப்பிடப்படுகின்றன a

எண் இடைவெளிகளின் அட்டவணை

எனவே, முந்தைய பத்தியில் பின்வரும் எண் இடைவெளிகளை வரையறுத்து விவரித்தோம்:

• திறந்த எண் கற்றை;
• எண் கற்றை;
• இடைவெளி;
• அரை இடைவெளி

வசதிக்காக, அட்டவணையில் எண் இடைவெளியில் எல்லா தரவையும் சுருக்கமாகக் கூறுகிறோம். எண் இடைவெளியின் பெயர், அதனுடன் தொடர்புடைய சமத்துவமின்மை, பதவி மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு வரிசையில் படத்தை உள்ளிடுவோம். பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம் எண் இடைவெளி அட்டவணை:

நூல் பட்டியல்.

• இயற்கணிதம்:பாடநூல் 8 ஆம் வகுப்புக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; திருத்தியவர் எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2008. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி.இயற்கணிதம். 9 ஆம் வகுப்பு. 2 மணி நேரத்தில். பகுதி 1. பொது கல்வி நிறுவனங்களின் மாணவர்களுக்கான பாடநூல் / ஏ.ஜி. மோர்ட்கோவிச், பி.வி. செமனோவ். - 13வது பதிப்பு, அழிக்கப்பட்டது. - எம்.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: உடம்பு. ISBN 978-5-346-01752-3.

B) எண் வரி

எண் வரியைக் கவனியுங்கள் (படம் 6):

பகுத்தறிவு எண்களின் தொகுப்பைக் கவனியுங்கள்

ஒவ்வொரு பகுத்தறிவு எண்ணும் எண் அச்சில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியால் குறிக்கப்படுகிறது. எனவே, எண்கள் படத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன.

அதை நிரூபிப்போம்.

ஆதாரம்.ஒரு பின்னம் இருக்கட்டும்: . இந்த பகுதியை குறைக்க முடியாததாக கருத எங்களுக்கு உரிமை உள்ளது. , பின்னர் - எண் சமமானது: - ஒற்றைப்படை. அதன் வெளிப்பாட்டிற்கு பதிலாக, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்: , இது ஒரு இரட்டை எண் என்பதைக் குறிக்கிறது. அறிக்கையை நிரூபிக்கும் முரண்பாட்டை நாங்கள் பெற்றுள்ளோம்.

எனவே, எண் அச்சில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளும் பகுத்தறிவு எண்களைக் குறிக்காது. பகுத்தறிவு எண்களைக் குறிக்காத புள்ளிகள் அழைக்கப்படும் எண்களைக் குறிக்கின்றன பகுத்தறிவற்ற.

படிவத்தின் எந்த எண்ணும் , ஒரு முழு எண் அல்லது விகிதாசார எண்.

எண் இடைவெளிகள்

எண் பிரிவுகள், இடைவெளிகள், அரை இடைவெளிகள் மற்றும் கதிர்கள் எண் இடைவெளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

ஆயக் கோட்டில் உள்ள எண்களைக் குறிப்பிடுவோம் அமற்றும் பி, அத்துடன் எண் எக்ஸ்அவர்களுக்கு மத்தியில்.

நிபந்தனையை சந்திக்கும் அனைத்து எண்களின் தொகுப்பு a ≤ x ≤ b, அழைக்கப்பட்டது எண் பிரிவுஅல்லது ஒரு பிரிவு. இது பின்வருமாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: [ ஒரு; பி] - இது இவ்வாறு உள்ளது: a முதல் b வரையிலான பிரிவு.

நிபந்தனையை சந்திக்கும் எண்களின் தொகுப்பு அ< x < b , அழைக்கப்பட்டது இடைவெளி. இது பின்வருமாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: ( ஒரு; பி)

இது பின்வருமாறு: a முதல் b வரையிலான இடைவெளி.

நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் எண்களின் தொகுப்புகள் a ≤ x< b или அ<x ≤ b, அழைக்கப்படுகின்றன அரை இடைவெளிகள். பதவிகள்:

ஒரு ≤ x ஐ அமைக்கவும்< b обозначается так:[ஒரு; பி), இதைப் போன்றது: அரை இடைவெளியில் இருந்து அமுன் பி, உட்பட அ.

ஒரு கொத்து அ<x ≤ bபின்வருமாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது:( ஒரு; பி], இப்படிப் படிக்கிறது: அரை இடைவெளியில் இருந்து அமுன் பி, உட்பட பி.

இப்போது கற்பனை செய்யலாம் ரேஒரு புள்ளியுடன் அ, வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் எண்களின் தொகுப்பு உள்ளது.

அ, நிபந்தனையை சந்திப்பது x ≥ a, அழைக்கப்பட்டது எண் கற்றை.

இது பின்வருமாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: [ ஒரு; +∞)-இவ்வாறு படிக்கிறது: இருந்து ஒரு எண் கதிர் அடூ பிளஸ் முடிவிலி.

ஒரு புள்ளியின் வலதுபுறத்தில் உள்ள எண்களின் தொகுப்பு அ, சமத்துவமின்மைக்கு தொடர்புடையது x>a, அழைக்கப்பட்டது திறந்த எண் கற்றை.

இது பின்வருமாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: ( ஒரு; +∞)-இவ்வாறு படிக்கிறது: ஒரு திறந்த எண் கதிர் அடூ பிளஸ் முடிவிலி.

அ, நிபந்தனையை சந்திப்பது x ≤ a, அழைக்கப்பட்டது மைனஸ் முடிவிலியிலிருந்து எண் கதிர்அ .

இது பின்வருமாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது:( - ∞; அ]-இப்படிப் படிக்கிறது: மைனஸ் முடிவிலியிலிருந்து ஒரு எண் கதிர் அ.

புள்ளியின் இடதுபுறத்தில் உள்ள எண்களின் தொகுப்பு அ, சமத்துவமின்மைக்கு தொடர்புடையது எக்ஸ்< a , அழைக்கப்பட்டது மைனஸ் முடிவிலியிலிருந்து திறந்த எண் கதிர்அ .

இது பின்வருமாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: ( - ∞; அ)-இப்படிப் படிக்கிறது: மைனஸ் முடிவிலியிலிருந்து ஒரு திறந்த எண் கதிர் அ.

உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு முழு ஆயக் கோட்டால் குறிக்கப்படுகிறது. அவன் அழைக்கப்பட்டான் எண் வரி. இது பின்வருமாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது: ( - ∞; + ∞ )

3) ஒரு மாறியுடன் நேரியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள், அவற்றின் தீர்வுகள்:

ஒரு மாறியைக் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு ஒரு மாறியுடன் ஒரு சமன்பாடு அல்லது அறியப்படாத ஒரு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மாறியுடன் கூடிய சமன்பாடு 3(2x+7)=4x-1 ஆகும்.

ஒரு சமன்பாட்டின் வேர் அல்லது தீர்வு என்பது ஒரு மாறியின் மதிப்பாகும், இதில் சமன்பாடு உண்மையான எண் சமத்துவமாக மாறும். எடுத்துக்காட்டாக, எண் 1 என்பது 2x+5=8x-1 என்ற சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகும். சமன்பாடு x2+1=0 தீர்வு இல்லை, ஏனெனில் சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் எப்போதும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும். சமன்பாடு (x+3)(x-4) =0 இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது: x1= -3, x2=4.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது என்பது அதன் அனைத்து வேர்களையும் கண்டுபிடிப்பது அல்லது வேர்கள் இல்லை என்பதை நிரூபிப்பது.

முதல் சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் வேர்கள் மற்றும் நேர்மாறாக இருந்தால், இரண்டாவது சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களும் முதல் சமன்பாட்டின் வேர்கள் அல்லது இரண்டு சமன்பாடுகளுக்கும் வேர்கள் இல்லை என்றால் சமன்பாடுகள் சமமானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, x-8=2 மற்றும் x+10=20 சமன்பாடுகள் சமமானவை, ஏனெனில் முதல் சமன்பாட்டின் வேர் x=10 இரண்டாவது சமன்பாட்டின் மூலமும் ஆகும், மேலும் இரண்டு சமன்பாடுகளும் ஒரே மூலத்தைக் கொண்டுள்ளன.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​பின்வரும் பண்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

நீங்கள் ஒரு சமன்பாட்டில் ஒரு சொல்லை ஒரு பகுதியிலிருந்து மற்றொரு பகுதிக்கு நகர்த்தினால், அதன் அடையாளத்தை மாற்றினால், கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு சமமான சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள்.

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் ஒரே பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் பெருக்கப்பட்டாலோ அல்லது வகுக்கப்பட்டாலோ, கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்குச் சமமான சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள்.

ax=b என்ற சமன்பாடு, x என்பது ஒரு மாறி மற்றும் a மற்றும் b ஆகியவை சில எண்கள் ஆகும், இது ஒரு மாறியுடன் கூடிய நேரியல் சமன்பாடு எனப்படும்.

a¹0 எனில், சமன்பாடு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது.

a=0, b=0 எனில், சமன்பாடு x இன் எந்த மதிப்பிலும் திருப்தி அடையும்.

a=0, b¹0 எனில், சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை, ஏனெனில் மாறியின் எந்த மதிப்புக்கும் 0x=b செயல்படுத்தப்படவில்லை.
எடுத்துக்காட்டு 1. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

சமன்பாட்டின் இருபுறமும் உள்ள அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்திற்கு x உடன் உள்ள அனைத்து சொற்களையும், வலது பக்கம் x இல்லாத சொற்களையும் நகர்த்துவோம், நாம் பெறுகிறோம்:

16x-15x=88-40-12

எடுத்துக்காட்டு 2. சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்:

x3-2x2-98x+18=0;

இந்த சமன்பாடுகள் நேரியல் அல்ல, ஆனால் அத்தகைய சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்க்க முடியும் என்பதைக் காண்பிப்போம்.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், காரணிகளில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், நமக்கு x1=0 கிடைக்கும்; x2= .

பதில்: 0; .

சமன்பாட்டின் இடது பக்க காரணி:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), i.e. (x-2)(x-3)(x+3)=0. இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் x1=2, x2=3, x3=-3 எண்கள் என்பதை இது காட்டுகிறது.

c) 7x ஐ 3x+4x என கற்பனை செய்து பாருங்கள், பின் நம்மிடம் உள்ளது: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, எனவே x1=-3, x2=- 4.

பதில்: -3; - 4.
எடுத்துக்காட்டு 3. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: ½x+1ç+½x-1ç=3.

ஒரு எண்ணின் மாடுலஸின் வரையறையை நினைவுபடுத்துவோம்:

எடுத்துக்காட்டாக: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

இந்த சமன்பாட்டில், மாடுலஸ் அடையாளத்தின் கீழ் x-1 மற்றும் x+1 எண்கள் உள்ளன. x –1 ஐ விடக் குறைவாக இருந்தால், x+1 எண் எதிர்மறையாக இருக்கும், பிறகு ½x+1½=-x-1. மேலும் x>-1 எனில், ½x+1½=x+1. x=-1 ½x+1½=0 இல்.

இதனால்,

அதேபோல்

a) x £-1க்கான இந்த சமன்பாட்டை½x+1½+½x-1½=3 என்று கருதுங்கள், இது -x-1-x+1=3, -2x=3, x= என்ற சமன்பாட்டிற்குச் சமம், இந்த எண் தொகுப்பைச் சேர்ந்தது. x £-1.

b) நாம் -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) x>1 வழக்கைக் கவனியுங்கள்.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . இந்த எண் x>1 தொகுப்பைச் சேர்ந்தது.

பதில்: x1=-1.5; x2=1.5.
எடுத்துக்காட்டு 4. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: ½x+2½+3½x½=2½x-1½.

சமன்பாட்டிற்கான தீர்வின் சுருக்கமான பதிவைக் காண்பிப்போம், இது "இடைவெளிகளுக்கு மேல்" மாடுலஸின் அடையாளத்தை வெளிப்படுத்துகிறது.

x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)

பதில்: [-2; 0]
எடுத்துக்காட்டு 5. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), அளவுரு a இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும்.

இந்த சமன்பாட்டில் உண்மையில் இரண்டு மாறிகள் உள்ளன, ஆனால் x ஐ அறியப்படாததாகவும், a அளவுருவாகவும் கருதுங்கள். a அளவுருவின் எந்த மதிப்பிற்கும் x மாறிக்கான சமன்பாட்டைத் தீர்க்க இது தேவைப்படுகிறது.

a=1 எனில், சமன்பாடு 0×x=0 வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது; எந்த எண்ணும் இந்த சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்யும்.

a=-1 எனில், சமன்பாடு 0×x=-2 போல் தெரிகிறது; ஒரு எண் கூட இந்த சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்யாது.

a¹1, a¹-1 எனில், சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது.

பதில்: a=1 எனில், x என்பது ஏதேனும் ஒரு எண்;

a=-1 எனில், தீர்வுகள் இல்லை;

a¹±1 என்றால், .

B) ஒரு மாறியுடன் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள்.

மாறி x க்கு ஏதேனும் எண் மதிப்பு கொடுக்கப்பட்டால், உண்மை அல்லது தவறான அறிக்கையை வெளிப்படுத்தும் எண் சமத்துவமின்மையைப் பெறுவோம். எடுத்துக்காட்டாக, சமத்துவமின்மை 5x-1>3x+2 கொடுக்கலாம். x=2 க்கு 5·2-1>3·2+2 - ஒரு உண்மை அறிக்கை (உண்மையான எண் அறிக்கை); x=0க்கு 5·0-1>3·0+2 கிடைக்கும் - ஒரு தவறான அறிக்கை. ஒரு மாறியின் எந்த மதிப்பும், ஒரு மாறியுடன் கொடுக்கப்பட்ட சமத்துவமின்மை உண்மையான எண் சமத்துவமின்மையாக மாறும் சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு மாறி மூலம் சமத்துவமின்மையை தீர்ப்பது என்பது அதன் அனைத்து தீர்வுகளின் தொகுப்பையும் கண்டறிவதாகும்.

இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கான தீர்வுகளின் தொகுப்புகள் ஒன்றிணைந்தால், ஒரே மாறி x உடன் இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகள் சமமானவை என்று கூறப்படுகிறது.

சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய யோசனை பின்வருமாறு: கொடுக்கப்பட்ட சமத்துவமின்மையை மற்றொரு, எளிமையான, ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு சமமானதாக மாற்றுகிறோம்; விளைந்த சமத்துவமின்மையை, அதற்குச் சமமான எளிமையான சமத்துவமின்மை போன்றவற்றுடன் மீண்டும் மாற்றுகிறோம்.

அத்தகைய மாற்றீடுகள் பின்வரும் அறிக்கைகளின் அடிப்படையில் செய்யப்படுகின்றன.

தேற்றம் 1. ஒரு மாறியுடன் கூடிய சமத்துவமின்மையின் ஏதேனும் ஒரு சொல் சமத்துவமின்மையின் ஒரு பகுதியிலிருந்து மற்றொரு பகுதிக்கு எதிர் அடையாளத்துடன் மாற்றப்பட்டால், சமத்துவமின்மையின் அடையாளத்தை மாற்றாமல் விட்டுவிட்டால், கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு சமமான சமத்துவமின்மை பெறப்படும்.

தேற்றம் 2. ஒரு மாறியுடன் கூடிய சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களும் ஒரே நேர்மறை எண்ணால் பெருக்கப்பட்டாலோ அல்லது வகுக்கப்பட்டாலோ, சமத்துவமின்மையின் அடையாளத்தை மாற்றாமல் விட்டுவிட்டால், கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்குச் சமமான சமத்துவமின்மை பெறப்படும்.

தேற்றம்.

ax+b>0 வடிவத்தின் சமத்துவமின்மை நேரியல் எனப்படும் (முறையே, ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

எடுத்துக்காட்டு 1. சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கவும்: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).

அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கும்போது, ​​2x-6+5-5x³6x-15 கிடைக்கும்,

எண்களின் தொகுப்புகளில், பொருள்கள் எண் இடைவெளிகளாக இருக்கும் தொகுப்புகள் உள்ளன. ஒரு தொகுப்பைக் குறிக்கும் போது, ​​இடைவெளியால் தீர்மானிக்க எளிதானது. எனவே, எண் இடைவெளிகளைப் பயன்படுத்தி தீர்வுகளின் தொகுப்புகளை எழுதுகிறோம்.

இந்த கட்டுரை எண் இடைவெளிகள், பெயர்கள், குறிப்புகள், ஒரு ஒருங்கிணைப்பு வரியில் இடைவெளிகளின் படங்கள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் கடிதங்கள் பற்றிய கேள்விகளுக்கான பதில்களை வழங்குகிறது. இறுதியாக, இடைவெளி அட்டவணை விவாதிக்கப்படும்.

ஒவ்வொரு எண் இடைவெளியும் வகைப்படுத்தப்படுகிறது:

• பெயர்;
• சாதாரண அல்லது இரட்டை சமத்துவமின்மை இருப்பது;
• பதவி;
• ஒரு நேர்கோட்டு ஒருங்கிணைப்பில் வடிவியல் படம்.

மேலே உள்ள பட்டியலிலிருந்து ஏதேனும் 3 முறைகளைப் பயன்படுத்தி எண் இடைவெளி குறிப்பிடப்படுகிறது. அதாவது, சமத்துவமின்மை, குறியீடு, ஒருங்கிணைப்பு வரிசையில் படத்தைப் பயன்படுத்தும் போது. இந்த முறை மிகவும் பொருத்தமானது.

மேலே குறிப்பிடப்பட்ட பக்கங்களுடன் எண் இடைவெளிகளை விவரிப்போம்:

வரையறை 2

• திறந்த எண் கற்றை.அதைத் திறந்து விட்டு, விடுபட்டதால் இந்தப் பெயர் வந்தது.

இந்த இடைவெளியில் தொடர்புடைய ஏற்றத்தாழ்வுகள் x உள்ளது< a или x >a , இங்கு a என்பது சில உண்மையான எண். அதாவது, அத்தகைய கதிரில் ஒரு - (x.) ஐ விட குறைவான அனைத்து உண்மையான எண்களும் உள்ளன< a) или больше a - (x >அ)

x படிவத்தின் சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்யும் எண்களின் தொகுப்பு< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a என (a , + ∞) .

ஒரு திறந்த கதிரின் வடிவியல் பொருள் எண் இடைவெளி இருப்பதைக் கருதுகிறது. ஒரு ஆயக் கோட்டின் புள்ளிகளுக்கும் அதன் எண்களுக்கும் இடையே ஒரு கடித தொடர்பு உள்ளது, இதன் காரணமாக கோடு ஒரு ஆயக் கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. நீங்கள் எண்களை ஒப்பிட வேண்டும் என்றால், ஒருங்கிணைப்பு வரிசையில் பெரிய எண் வலதுபுறம் உள்ளது. பின்னர் x வடிவத்தின் சமத்துவமின்மை< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >a - வலதுபுறத்தில் இருக்கும் புள்ளிகள். எண் தானே தீர்வுக்கு பொருந்தாது, எனவே இது ஒரு துளையிடப்பட்ட புள்ளியால் வரைபடத்தில் குறிக்கப்படுகிறது. தேவைப்படும் இடைவெளி நிழலைப் பயன்படுத்தி முன்னிலைப்படுத்தப்படுகிறது. கீழே உள்ள படத்தைக் கவனியுங்கள்.

மேலே உள்ள படத்தில் இருந்து எண் இடைவெளிகள் கோட்டின் பகுதிகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது என்பது தெளிவாகிறது, அதாவது, a இல் தொடக்கத்துடன் கூடிய கதிர்கள். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அவை ஆரம்பம் இல்லாத கதிர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அதனால்தான் இதற்கு திறந்த எண் கற்றை என்று பெயர் வந்தது.

ஒரு சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

கொடுக்கப்பட்ட கடுமையான சமத்துவமின்மைக்கு x > - 3, ஒரு திறந்த கற்றை குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. இந்த நுழைவு ஆய வடிவில் குறிப்பிடப்படலாம் (-3, ∞). அதாவது, இவை அனைத்தும் - 3 ஐ விட வலதுபுறத்தில் இருக்கும் புள்ளிகள்.

எடுத்துக்காட்டு 2

x படிவத்தில் சமத்துவமின்மை இருந்தால்< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

வரையறை 3

• எண் கற்றை.வடிவியல் பொருள் என்னவென்றால், ஆரம்பம் நிராகரிக்கப்படவில்லை, வேறுவிதமாகக் கூறினால், கதிர் அதன் பயனைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது.

x ≤ a அல்லது x ≥ a வடிவத்தின் கடுமையான சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்தி அதன் பணி மேற்கொள்ளப்படுகிறது. இந்த வகைக்கு, படிவத்தின் சிறப்பு குறியீடுகள் (− ∞, a ] மற்றும் [ a , + ∞) ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகின்றன, மேலும் ஒரு சதுர அடைப்புக்குறி இருப்பதால் புள்ளி தீர்வு அல்லது தொகுப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. கீழே உள்ள படத்தைக் கவனியுங்கள்.

ஒரு தெளிவான உதாரணத்திற்கு, ஒரு எண் கதிர் வரையறுப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 3

x ≥ 5 படிவத்தின் சமத்துவமின்மை [ 5 , + ∞ ) குறிப்பிற்கு ஒத்திருக்கிறது, பின்னர் பின்வரும் படிவத்தின் கதிரை நாம் பெறுகிறோம்:

வரையறை 4

• இடைவெளி.இடைவெளிகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு அறிக்கை இரட்டை ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பயன்படுத்தி எழுதப்படுகிறது a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

கீழே உள்ள படத்தைக் கவனியுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 4

இடைவெளி உதாரணம் - 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

வரையறை 5

• எண் பிரிவு.இந்த இடைவெளியானது எல்லைப் புள்ளிகளை உள்ளடக்கியதில் வேறுபடுகிறது, பின்னர் அது ≤ x ≤ b வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. இத்தகைய கண்டிப்பான சமத்துவமின்மை எண் பிரிவு வடிவத்தில் எழுதும் போது, ​​சதுர அடைப்புக்குறிகள் [a, b] பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அதாவது புள்ளிகள் தொகுப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன மற்றும் நிழல்களாக சித்தரிக்கப்படுகின்றன.

உதாரணம் 5

பிரிவை ஆராய்ந்த பின்னர், அதன் வரையறை இரட்டை சமத்துவமின்மை 2 ≤ x ≤ 3 ஐப் பயன்படுத்தி சாத்தியமாகும் என்பதைக் காண்கிறோம், இது நாம் படிவம் 2, 3 இல் பிரதிபலிக்கிறது. ஒருங்கிணைப்பு வரியில், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் தீர்வு மற்றும் நிழல் சேர்க்கப்படும்.

வரையறை 6 எடுத்துக்காட்டு 6

அரை இடைவெளி (1, 3] இருந்தால், அதன் பதவி இரட்டை சமத்துவமின்மை 1 வடிவத்தில் இருக்கலாம்.< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

இடைவெளிகளை இவ்வாறு சித்தரிக்கலாம்:

• திறந்த எண் கற்றை;
• எண் கற்றை;
• இடைவெளி;
• எண் வரி;
• அரை இடைவெளி

கணக்கீடு செயல்முறையை எளிதாக்க, நீங்கள் ஒரு வரியின் அனைத்து வகையான எண் இடைவெளிகளுக்கும் பெயர்களைக் கொண்ட ஒரு சிறப்பு அட்டவணையைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

பெயர்	சமத்துவமின்மை	பதவி	படம்
திறந்த எண் கற்றை	எக்ஸ்< a	- ∞ , ஏ
	x>a	a , + ∞
எண் கற்றை	x ≤ a	(- ∞ , a ]
	x ≥ a	[a, + ∞)
இடைவெளி	அ< x < b	a, b
எண் பிரிவு	a ≤ x ≤ b	a, b
அரை இடைவெளி