Garaje 

El tema de las propiedades de las acciones con números racionales. Propiedades básicas de acciones con números racionales (desarrollo metódico)

Esta lección cubre la suma y resta de números racionales. El tema pertenece a la categoría de complejo. Aquí es necesario utilizar todo el arsenal de conocimientos previamente adquiridos.

Las reglas para sumar y restar números enteros también son válidas para números racionales. Recuerda que los números racionales son aquellos que se pueden representar como una fracción, donde a - este es el numerador de la fracción, B Es el denominador de la fracción. Donde, B no debe ser cero.

En esta lección, llamaremos cada vez más a fracciones y números mixtos por una frase general: numeros racionales.

Navegación de la lección:

Ejemplo 1. Encuentra el valor de una expresión:

Incluimos cada número racional entre paréntesis junto con nuestros signos. Tenemos en cuenta que el más que se da en la expresión es un signo de operación y no se aplica a una fracción. Esta fracción tiene su propio signo más, que es invisible debido a que no está registrado. Pero lo escribiremos para mayor claridad:

Esta es la suma de números racionales con diferentes signos... Para sumar números racionales con diferentes signos, debe restar el módulo más pequeño del módulo más grande y poner el signo de ese número racional, cuyo módulo es mayor, delante de la respuesta. Y para comprender qué módulo es mayor y cuál es menor, debe poder comparar los módulos de estas fracciones antes de calcularlos:

El módulo de un número racional es mayor que el módulo de un número racional. Por lo tanto, restamos de. Tenemos una respuesta. Luego, habiendo reducido esta fracción en 2, obtuvimos la respuesta final.

Algunas acciones primitivas, como números y módulos entre corchetes, se pueden omitir. Este ejemplo se puede escribir más corto:

Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión:

Incluimos cada número racional entre paréntesis junto con nuestros signos. Tenemos en cuenta que el menos entre los números racionales es el signo de la operación y no se aplica a la fracción. Esta fracción tiene su propio signo más, que es invisible debido a que no está registrado. Pero lo escribiremos para mayor claridad:

Reemplacemos la resta por la suma. Recuerda que para esto necesitas sumar el número opuesto al que se va a restar al que se va a restar:

Recibió la suma de números racionales negativos. Para agregar números racionales negativos, debe agregar sus módulos y poner un signo menos delante de la respuesta recibida:

Nota. No es necesario encerrar cada número racional entre paréntesis. Esto se hace por conveniencia, para ver claramente qué signos tienen números racionales.

Ejemplo 3. Encuentra el valor de una expresión:

En esta expresión, las fracciones diferentes denominadores... Para facilitarnos las cosas, llevamos estas fracciones a un denominador común. No nos detendremos en cómo hacer esto. Si tiene dificultades, asegúrese de repetir la lección.

Después de reducir las fracciones a un denominador común, la expresión tomará la siguiente forma:

Esta es la suma de números racionales con diferentes signos. Restamos el módulo más pequeño del módulo más grande, y frente a la respuesta recibida ponemos el signo de ese número racional, cuyo módulo es mayor:

Escribamos la solución a este ejemplo de una manera más corta:

Ejemplo 4. Encuentra el valor de una expresión

Calculemos esta expresión de la siguiente manera: sumemos los números racionales y, luego, restemos el número racional del resultado obtenido.

Primera acción:

Segunda acción:

Ejemplo 5... Encuentra el valor de una expresión:

Representamos el entero -1 como una fracción y convertimos el número mixto en fracción impropia:

Incluimos cada número racional entre paréntesis junto con nuestros signos:

Recibió la suma de números racionales con diferentes signos. Restamos el módulo más pequeño del módulo más grande, y frente a la respuesta recibida ponemos el signo de ese número racional, cuyo módulo es mayor:

Tenemos una respuesta.

También hay una segunda solución. Consiste en plegar partes enteras por separado.

Entonces, volvamos a la expresión original:

Pongamos cada número entre paréntesis. Para hacer esto, el número mixto es temporal:

Calculemos las partes enteras:

(−1) + (+2) = 1

En la expresión principal, en lugar de (−1) + (+2), escribimos la unidad resultante:

La expresión resultante. Para hacer esto, escribe la unidad y la fracción juntas:

Escribamos la solución de esta manera de una manera más corta:

Ejemplo 6. Encuentra el valor de una expresión

Convirtamos el número mixto en una fracción impropia. Reescribiremos el resto de la parte sin cambios:

Incluimos cada número racional entre paréntesis junto con nuestros signos:

Reemplacemos la resta con la suma:

Escribamos la solución a este ejemplo de una manera más corta:

Ejemplo 7. Encontrar expresión de valor

Representemos el entero −5 como una fracción y convierta el número mixto en una fracción impropia:

Llevemos estas fracciones a un denominador común. Después de llevarlos a un denominador común, tomarán la siguiente forma:

Incluimos cada número racional entre paréntesis junto con nuestros signos:

Reemplacemos la resta con la suma:

Recibió la suma de números racionales negativos. Agreguemos los módulos de estos números y coloquemos un signo menos delante de la respuesta:

Por tanto, el valor de la expresión es.

Nosotros resolveremos ejemplo dado de la segunda forma. Volvamos a la expresión original:

Escribamos el número mixto en forma expandida. Reescribamos el resto sin cambios:

Incluimos cada número racional entre paréntesis junto con nuestros propios signos:

Calculemos las partes enteras:

En la expresión principal, en lugar de escribir el número resultante −7

La expresión es una forma expandida de notación para un número mixto. Escribamos el número −7 y la fracción juntos, formando la respuesta final:

Escribamos esta solución más breve:

Ejemplo 8. Encuentra el valor de una expresión

Incluimos cada número racional entre paréntesis junto con nuestros propios signos:

Reemplacemos la resta con la suma:

Recibió la suma de números racionales negativos. Agreguemos los módulos de estos números y coloquemos un signo menos delante de la respuesta:

Por tanto, el valor de la expresión es

Este ejemplo se puede resolver de la segunda forma. Consiste en sumar partes enteras y fraccionarias por separado. Volvamos a la expresión original:

Incluimos cada número racional entre paréntesis junto con nuestros signos:

Reemplacemos la resta con la suma:

Recibió la suma de números racionales negativos. Agreguemos los módulos de estos números y coloquemos un signo menos delante de la respuesta recibida. Pero esta vez trabajaremos por separado las partes enteras (-1 y -2), tanto fraccionarias como

Escribamos esta solución más breve:

Ejemplo 9. Encontrar expresiones de expresión

Convirtamos los números mixtos en fracciones impropias:

Incluyamos el número racional entre paréntesis junto con nuestro signo. No es necesario encerrar el número racional entre paréntesis, ya que ya está entre paréntesis:

Recibió la suma de números racionales negativos. Agreguemos los módulos de estos números y coloquemos un signo menos delante de la respuesta:

Por tanto, el valor de la expresión es

Ahora intentemos resolver el mismo ejemplo de la segunda forma, es decir, sumando partes enteras y fraccionarias por separado.

Esta vez, para obtener una solución breve, intentemos omitir algunos pasos, como: escribir el número mixto en forma expandida y reemplazar la resta con la suma:

Tenga en cuenta que las partes fraccionarias se han llevado a un denominador común.

Ejemplo 10. Encuentra el valor de una expresión

Reemplacemos la resta con la suma:

En la expresión resultante, no hay números negativos, que son la principal razón para cometer errores. Y como no hay números negativos, podemos quitar el más delante del restado, y también quitar el paréntesis:

El resultado es la expresión más simple que se puede calcular fácilmente. Calculémoslo de la forma que nos resulte más conveniente:

Ejemplo 11. Encuentra el valor de una expresión

Esta es la suma de números racionales con diferentes signos. Restemos el módulo más pequeño del módulo más grande, y coloquemos el signo de ese número racional, cuyo módulo es mayor, delante de la respuesta recibida:

Ejemplo 12. Encuentra el valor de una expresión

La expresión consta de varios números racionales. Según, en primer lugar, es necesario realizar las acciones entre paréntesis.

Primero calculamos la expresión, luego la expresión, se combinan los resultados obtenidos.

Primera acción:

Segunda acción:

Tercera acción:

Respuesta: valor de expresión es igual a

Ejemplo 13. Encuentra el valor de una expresión

Convirtamos los números mixtos en fracciones impropias:

Incluimos el número racional entre paréntesis junto con nuestro signo. No es necesario encerrar el número racional entre paréntesis, ya que ya está entre paréntesis:

Damos estas fracciones en un denominador común. Después de llevarlos a un denominador común, tomarán la siguiente forma:

Reemplacemos la resta con la suma:

Recibió la suma de números racionales con diferentes signos. Restemos el módulo más pequeño del módulo más grande, y coloquemos el signo de ese número racional, cuyo módulo es mayor, delante de la respuesta recibida:

Así, el significado de la expresión es igual a

Considere la suma y la resta de fracciones decimales, que también son números racionales y pueden ser tanto positivos como negativos.

Ejemplo 14. Hallar el valor de la expresión −3,2 + 4,3

Incluimos cada número racional entre paréntesis junto con nuestros signos. Tenemos en cuenta que el más que se da en la expresión es el signo de la operación y no se aplica a la fracción decimal 4.3. Esta fracción decimal tiene su propio signo más, que es invisible debido a que no está registrado. Pero lo escribiremos para mayor claridad:

(−3,2) + (+4,3)

Esta es la suma de números racionales con diferentes signos. Para sumar números racionales con diferentes signos, debe restar el módulo más pequeño del módulo más grande y poner el número racional, cuyo módulo es mayor, delante de la respuesta. Y para comprender qué módulo es más y cuál es menos, debe poder comparar los módulos de estas fracciones decimales antes de calcularlos:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

El módulo de 4.3 es mayor que el módulo de −3.2, por lo que restamos 3.2 de 4.3. La respuesta fue 1,1. La respuesta es positiva, ya que la respuesta debe ir precedida del signo de ese número racional, cuyo módulo es mayor. Y el módulo de 4.3 es mayor que el módulo de −3.2

Entonces el valor de la expresión −3.2 + (+4.3) es 1.1

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Ejemplo 15. Hallar el valor de la expresión 3.5 + (−8.3)

Esta es la suma de números racionales con diferentes signos. Como en el ejemplo anterior, restamos el más pequeño del módulo más grande y ponemos el signo de ese número racional delante de la respuesta, cuyo módulo es mayor:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Entonces la expresión 3.5 + (−8.3) es −4.8

Este ejemplo se puede escribir más corto:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Ejemplo 16. Hallar el valor de la expresión −7,2 + (−3,11)

Esta es la suma de números racionales negativos. Para agregar números racionales negativos, debe agregar sus módulos y poner un signo menos delante de la respuesta.

Puede omitir la entrada con módulos para no saturar la expresión:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Por tanto, el valor de la expresión −7,2 + (−3,11) es −10,31

Este ejemplo se puede escribir más corto:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Ejemplo 17. Hallar el valor de la expresión −0,48 + (−2,7)

Esta es la suma de números racionales negativos. Agreguemos sus módulos y pongamos un signo menos delante de la respuesta recibida. Puede omitir la entrada con módulos para no saturar la expresión:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Ejemplo 18. Hallar el valor de la expresión −4,9 - 5,9

Incluimos cada número racional entre paréntesis junto con nuestros signos. Tenemos en cuenta que el menos que se ubica entre los números racionales −4,9 y 5,9 es el signo de la operación y no pertenece al número 5,9. Este número racional tiene su propio signo más, que es invisible debido a que no está escrito. Pero lo escribiremos para mayor claridad:

(−4,9) − (+5,9)

Reemplacemos la resta con la suma:

(−4,9) + (−5,9)

Recibió la suma de números racionales negativos. Agreguemos sus módulos y pongamos un signo menos delante de la respuesta recibida:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Por tanto, el valor de la expresión −4,9 - 5,9 es −10,8

−4,9 − 5,9 = −10,8

Ejemplo 19. Hallar el valor de la expresión 7 - 9,3

Pongamos entre paréntesis cada número junto con sus signos.

(+7) − (+9,3)

Reemplazar resta con suma

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Entonces, el valor de la expresión 7 - 9.3 es igual a −2.3

Escribamos la solución a este ejemplo de una manera más corta:

7 − 9,3 = −2,3

Ejemplo 20. Hallar el valor de la expresión −0,25 - (−1,2)

Reemplacemos la resta con la suma:

−0,25 + (+1,2)

Recibió la suma de números racionales con diferentes signos. Reste el módulo más pequeño del módulo más grande y coloque el signo del número, cuyo módulo es mayor, delante de la respuesta:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Escribamos la solución a este ejemplo de una manera más corta:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Ejemplo 21. Hallar el valor de la expresión −3,5 + (4,1 - 7,1)

Realicemos las acciones entre paréntesis, luego agregaremos la respuesta recibida con el número −3.5

Primera acción:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Segunda acción:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Respuesta: el valor de la expresión −3,5 + (4,1 - 7,1) es −6,5.

Ejemplo 22. Hallar el valor de la expresión (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1)

Realicemos las acciones entre paréntesis. Luego, del número que resultó de la ejecución del primer paréntesis, restamos el número que resultó de la ejecución del segundo paréntesis:

Primera acción:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Segunda acción:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Tercera acción

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Respuesta: el valor de la expresión (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1) es 6.

Ejemplo 23. Encuentra el valor de una expresión −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Pongamos entre paréntesis cada número racional junto con sus signos.

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Reemplace la resta con la suma cuando sea posible:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

La expresión consta de varios términos. De acuerdo con la ley de combinación de la suma, si la expresión consta de varios términos, entonces la suma no dependerá del orden de las acciones. Esto significa que los términos se pueden agregar en cualquier orden.

No reinventaremos la rueda, pero pondremos todos los términos de izquierda a derecha en su orden:

Primera acción:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Segunda acción:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Tercera acción:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Respuesta: el valor de la expresión −3,8 + 17,15 - 6,2 - 6,15 es 1.

Ejemplo 24. Encuentra el valor de una expresión

Convirtamos el decimal -1.8 a un número mixto. Reescribamos el resto sin cambiar:

) son números con signo positivo o negativo (entero y fraccionario) y cero. Un concepto más preciso de números racionales suena así:

Número racional- el número que está representado tiro ordinario m / n donde el numerador metro Son enteros y el denominador norte — enteros, por ejemplo 2/3.

Las fracciones infinitas no periódicas NO están incluidas en el conjunto de números racionales.

a / b, donde a∈ Z (a pertenece a enteros), B∈ norte (B pertenece a los números naturales).

Usando números racionales en la vida real.

V vida real el conjunto de números racionales se usa para contar las partes de algunos objetos enteros divisibles, Por ejemplo, pasteles u otros productos que se cortan en pedazos antes de su uso, o para una estimación aproximada de las relaciones espaciales de los objetos extendidos.

Propiedades de los números racionales.

Propiedades básicas de los números racionales.

1. Orden a y B existe una regla que permite identificar inequívocamente entre ellos 1-pero y solo una de 3 relaciones: “<», «>"O" = ". Esta regla es ... regla de pedido y formularlo así:

  • 2 números positivos a = m a / n a y b = m b / n b relacionado por la misma relación que 2 enteros soy un⋅ n b y m b⋅ n / A;
  • 2 números negativos a y B están relacionados por la misma relación que 2 números positivos | b | y | a |;
  • Cuándo a positivamente, y B- negativo, entonces a> b.

∀ a, b∈ Q (a ∨ a> b∨ a = b)

2. Operación de adición... Para todos los números racionales a y B hay regla de suma, que los pone en correspondencia con un cierto número racional C... Además, el número en sí C- eso suma números a y B y se denota como (a + b) suma.

Regla de suma tiene este aspecto:

soy un/n a + m b/n b = (m a⋅ n b + m b⋅ n / A)/(n / A⋅ n b).

∀ a, b∈ Q∃ ! (a + b)∈ Q

3. Operación de multiplicación... Para todos los números racionales a y B hay regla de multiplicacion, los asocia con un cierto número racional C... El número c se llama producto números a y B y denotar (a⋅b), y el proceso de encontrar este número se llama multiplicación.

Regla de multiplicación tiene este aspecto: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a, b∈Q ∃ (a⋅b) ∈Q

4. Transitividad de la relación de orden. Para tres números racionales cualesquiera a, B y C Si a menos B y B menos C, entonces a menos C, y si a es igual a B y B es igual a C, entonces a es igual a C.

∀ a B C∈ Q (a ∧ B ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Conmutatividad de la adición... La suma no cambia por un cambio en los lugares de los términos racionales.

∀ a, b∈ Q a + b = b + a

6. Asociatividad de adición... El orden de suma de los 3 números racionales no afecta el resultado.

∀ a B C∈ Q (a + b) + c = a + (b + c)

7. La presencia de cero... Hay un número racional 0, conserva todos los demás números racionales cuando se suma.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Q a + 0 = a

8. Tener números opuestos... Cualquier número racional tiene un número racional opuesto; cuando se suman, resulta ser 0.

∀ a∈ Q∃ (−a)∈ Q a + (- a) = 0

9. Conmutatividad de la multiplicación... El producto no cambia por un cambio en los lugares de los factores racionales.

∀ a, b∈ Q a⋅ b = b⋅ a

10. Asociatividad de la multiplicación... El orden de multiplicación de 3 números racionales no tiene ningún efecto sobre el total.

∀ a B C∈ Q (a⋅ B)⋅ c = a⋅ (B⋅ C)

11. Disponibilidad de la unidad... Hay un número racional 1, retiene todos los demás números racionales en el proceso de multiplicación.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Q a⋅ 1 = a

12. Números inversos... Cualquier número racional que no sea cero tiene un número racional inverso, al multiplicarlo obtenemos 1 .

∀ a∈ Q∃ a - 1∈ Q a⋅ a - 1 = 1

13. Distribución de la multiplicación relativa a la suma... La operación de multiplicación está relacionada con la suma mediante la ley de distribución:

∀ a B C∈ Q (a + b)⋅ c = a⋅ c + b⋅ C

14. Relación de un pedido con una operación de suma... A los lados izquierdo y derecho desigualdad racional suma el mismo número racional.

∀ a B C∈ Q a ⇒ a + c

15. Relación del orden con la operación de multiplicación... Los lados izquierdo y derecho de una desigualdad racional se pueden multiplicar por el mismo número racional no negativo.

∀ a B C∈ Q c> 0∧ a ⇒ a⋅ C ⋅ C

16. Axioma de Arquímedes... Cualquiera que sea el número racional a, es fácil tomar tantas unidades que su suma será mayor a.

En esta lección, recordaremos las propiedades básicas de las acciones con números. No solo repetiremos las propiedades básicas, sino que también aprenderemos a aplicarlas a números racionales. Consolidaremos todos los conocimientos adquiridos resolviendo ejemplos.

Propiedades básicas de las acciones con números:

Las dos primeras propiedades son propiedades de suma, las dos siguientes son propiedades de multiplicación. La quinta propiedad se aplica a ambas operaciones.

No hay nada nuevo en estas propiedades. Fueron verdaderas tanto para números naturales como para números enteros. También son válidas para los números racionales y lo serán para los números que estudiaremos a continuación (por ejemplo, irracional).

Propiedades de permutación:

La permutación de términos o factores no cambia el resultado.

Propiedades combinadas:, .

La suma o multiplicación de varios números se puede realizar en cualquier orden.

Propiedad de distribución:.

La propiedad conecta ambas operaciones: suma y multiplicación. Además, si lo lee de izquierda a derecha, entonces se llama la regla de abrir corchetes, y si está en la dirección opuesta, la regla de poner el factor común fuera de los corchetes.

Las siguientes dos propiedades describen elementos neutros para sumar y multiplicar: sumar cero y multiplicar por uno no cambia el número original.

Dos propiedades más que describen elementos simétricos para la suma y la multiplicación, la suma de los números opuestos es cero; el producto de números recíprocos es igual a uno.

La siguiente propiedad :. Si un número se multiplica por cero, el resultado siempre será cero.

La última propiedad que consideraremos :.

Multiplicando el número por, obtenemos el número opuesto. Esta propiedad tiene una peculiaridad. Todas las demás propiedades consideradas no pudieron probarse utilizando las otras. La misma propiedad se puede demostrar utilizando las anteriores.

Multiplicación por

Demostremos que si multiplicamos el número por, obtenemos el número opuesto. Usamos la propiedad de distribución para esto :.

Es cierto para cualquier número. Sustituya en lugar del número y:

A la izquierda, entre paréntesis, está la suma de números opuestos entre sí. Su suma es igual a cero (tenemos esa propiedad). Izquierda ahora. A la derecha, obtenemos: .

Ahora tenemos cero a la izquierda y la suma de dos números a la derecha. Pero si la suma de dos números es cero, entonces estos números son opuestos entre sí. Pero el número tiene solo un número opuesto :. Esto significa que esto es :.

La propiedad está probada.

Tal propiedad que puede demostrarse usando las propiedades anteriores se llama teorema

¿Por qué no hay propiedades de resta y división aquí? Por ejemplo, se podría escribir la propiedad de distribución para restar :.

Pero desde:

  • la resta de cualquier número se puede escribir de manera equivalente como suma, reemplazando el número con su opuesto:

  • La división se puede escribir como una multiplicación por el recíproco:

Esto significa que las propiedades de la suma y la multiplicación se pueden utilizar para la resta y la división. Como resultado, la lista de propiedades para recordar es más corta.

Todas las propiedades que hemos considerado no son exclusivamente propiedades de los números racionales. Todas estas reglas están sujetas a otros números, por ejemplo, los irracionales. Por ejemplo, la suma de y el número opuesto es cero :.

Ahora pasaremos a la parte práctica, resolveremos algunos ejemplos.

Números racionales en la vida

Aquellas propiedades de los objetos que podemos describir cuantitativamente, designar algún número, se llaman cantidades: longitud, peso, temperatura, cantidad.

Un mismo valor se puede denotar tanto por un número entero como por un número fraccionario, positivo o negativo.

Por ejemplo, su altura m es un número fraccionario. Pero podemos decir que es igual a cm; esto ya es un número entero (Fig. 1).


Arroz. 1. Ilustración por ejemplo

Un ejemplo más. Una temperatura negativa en la escala Celsius será positiva en la escala Kelvin (Fig. 2).


Arroz. 2. Ilustración, por ejemplo

Al construir la pared de una casa, una persona puede medir el ancho y la altura en metros. Obtiene valores fraccionarios. Llevará a cabo todos los cálculos con números fraccionarios (racionales). Otra persona puede medir todo en la cantidad de ladrillos en ancho y alto. Habiendo recibido solo valores enteros, realizará cálculos con números enteros.

Las cantidades en sí mismas no son ni enteras ni fraccionarias, ni negativas ni positivas. Pero el número con el que describimos el valor de una cantidad ya es bastante específico (por ejemplo, negativo y fraccionario). Depende de la escala de medición. Y cuando pasamos de valores reales a un modelo matemático, trabajamos con un tipo específico de números.

Empecemos por la suma. Los términos se pueden reorganizar según nos convenga, y las acciones se pueden realizar en cualquier orden. Si los términos de diferentes signos terminan en un dígito, entonces es conveniente realizar primero acciones con ellos. Para hacer esto, intercambiaremos los términos. Por ejemplo:

Fracciones ordinarias con los mismos denominadores fácil de doblar.

Los números opuestos suman cero. Los números con las mismas "colas" decimales se restan fácilmente. Usando estas propiedades, así como la ley de desplazamiento de la suma, puede facilitar el cálculo de un valor, por ejemplo, la siguiente expresión:

Los números con "colas" decimales complementarias son fáciles de sumar. Con partes enteras y fraccionadas Numeros mezclados conviene trabajar por separado. Usamos estas propiedades al calcular el valor de la siguiente expresión:

Pasemos a la multiplicación. Hay pares de números que son fáciles de multiplicar. Con la propiedad de desplazamiento, puede reorganizar los factores para que estén uno al lado del otro. El número de desventajas en el producto se puede calcular inmediatamente y se puede sacar una conclusión sobre el signo del resultado.

Considere este ejemplo:

Si uno de los factores es cero, entonces el producto es cero, por ejemplo :.

El producto de números recíprocos es igual a uno y la multiplicación por uno no cambia el valor del producto. Considere este ejemplo:

Veamos un ejemplo usando una propiedad de distribución. Si expande los paréntesis, entonces cada multiplicación es fácil.

Lección 4
GRADO CON INDICADOR NATURAL

Objetivos: promover la formación de habilidades y conocimientos computacionales, la acumulación de conocimientos sobre títulos basados ​​en la experiencia computacional; Presentarle la escritura de números grandes y pequeños usando potencias de 10.

Durante las clases

I. Actualización de conocimientos básicos.

El docente analiza los resultados del trabajo de prueba, cada alumno recibe recomendaciones para desarrollar un plan individual para corregir las habilidades computacionales.

Luego, se anima a los estudiantes a realizar cálculos y leer los nombres de matemáticos famosos que contribuyeron a la construcción de la teoría de títulos:

0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .

Llave:

Con la ayuda de una computadora o un epiproyector, los retratos de los científicos Diofanto, René Descartes, Simon Stevin se proyectan en la pantalla. Se anima a los estudiantes a preparar, si lo desean, información histórica sobre la vida y obra de estos matemáticos.

II. Formación de nuevos conceptos y métodos de acción.

Los estudiantes escriben las siguientes expresiones en un cuaderno:

1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;

2. 2 + 2 + 2 + … + 2;

a condiciones

3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;

4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;

norte multiplicadores

5. a∙ a∙ … ∙ a;

norte multiplicadores

Se anima a los estudiantes a responder la pregunta: "¿Cómo se pueden presentar estos registros de manera más compacta para que sean" visibles "?"

Luego, el maestro lleva a cabo una conversación sobre nuevo tema, presenta a los estudiantes el concepto de primer grado de un número. Los estudiantes pueden preparar una recreación de una antigua leyenda india sobre el inventor del ajedrez, Seth y el rey Sheram. Es necesario terminar la conversación con una historia sobre el uso de poderes del número 10 al registrar cantidades grandes y pequeñas y, habiendo invitado a los estudiantes a considerar varios libros de referencia sobre física, tecnología, astronomía, darles la oportunidad de encontrar ejemplos de tales cantidades en libros.

III. Formación de habilidades y habilidades.

1. Solución de los ejercicios No. 40 d), e), f); 51.

Durante la decisión, los estudiantes concluyen que es útil recordar: una potencia con una base negativa es positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es impar.

2. Solución de los ejercicios No. 41, 47.

IV. Resumiendo.

El profesor comenta y evalúa el trabajo de los estudiantes en la lección.

Tarea: pág. 1.3, núm. 42, 43, 52; opcional: preparar mensajes sobre Diofanto, Descartes, Stevin.

Referencia histórica

Diofanto- Matemático griego antiguo de Alejandría (siglo III). Ha sobrevivido una parte de su tratado matemático "Aritmética" (6 libros de 13), donde se da la solución de problemas, la mayoría de los cuales se reducen a las llamadas "Ecuaciones diofánticas", cuya solución se busca en números positivos (Diofanto no tiene números negativos).

Para designar lo desconocido y sus grados (hasta el sexto), el signo igual, Diofanto utilizó una notación abreviada de las palabras correspondientes. Los científicos también descubrieron el texto árabe de 4 libros más de "Aritmética" de Diofanto. Las obras de Diofanto fueron el punto de partida para la investigación de P. Fermat, L. Euler, K. Gauss y otros.

Descartes René (31.03.159 6 –11. 02. 1650) - Filósofo y matemático francés, provenía de una antigua familia noble. Educado en el colegio jesuita La Flèche de Anjou. Al comienzo de la Guerra de los Treinta Años, sirvió en el ejército, que abandonó en 1621; después de varios años de viaje, se trasladó a los Países Bajos (1629), donde pasó veinte años en apartadas actividades científicas. En 1649, por invitación de la reina sueca, se trasladó a Estocolmo, pero pronto murió.

Descartes sentó las bases de la geometría analítica, introdujo muchas notación algebraica moderna. Descartes mejoró significativamente el sistema de notación al introducir los signos generalmente aceptados para las variables.
(X, en,z...) y coeficientes ( a, B, Con...), así como los símbolos de grado ( X 4 , a 5…). La escritura de fórmulas de Descartes casi no es diferente de la moderna.

En geometría analítica, el principal logro de Descartes fue el método de coordenadas que creó.

Stevin Simon (1548-1620) - Científico e ingeniero holandés. A partir de 1583 enseñó en la Universidad de Leiden, en 1600 organizó una escuela de ingeniería en la Universidad de Leiden, donde impartió clases de matemáticas. La obra de Stevin "Diezmo" (1585) está dedicada al sistema decimal de medidas y fracciones decimales, que Simon Stevin introdujo en Europa.

Badamshinskaya escuela secundaria №2

Desarrollo metódico

matemáticas
en sexto grado

"Acciones con números racionales"

preparado

profesor de matematicas

Babenko Larisa Grigorievna

Con. Badamsha
2014

Tema de la lección:« Acciones con números racionales».

Tipo de lección :

Lección en generalización y sistematización del conocimiento.

Objetivos de la lección:

educativo:

Generalizar y sistematizar el conocimiento de los estudiantes sobre las reglas de acción sobre números positivos y negativos;

Fortalecer la capacidad de aplicar las reglas en el proceso de ejercicio;

Desarrollar habilidades de trabajo independiente;

desarrollando:

Desarrollar pensamiento lógico, habla matemática, habilidades computacionales; - desarrollar la capacidad de aplicar los conocimientos adquiridos a la resolución de problemas aplicados; - ampliar los propios horizontes;

educar:

Educación interés cognitivo al sujeto.

Equipo:

Fichas con textos de problemas, trabajos para cada alumno;

Matemáticas. Libro de texto para el 6 ° grado de instituciones educativas /

N. Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I.Schvartsburd. - M., 2010.

Plan de estudios:

    Organizar el tiempo.

    Trabajando oralmente

    Repetición de las reglas de suma y resta de números con diferentes signos. Actualización de conocimientos.

    Resolver tareas según el libro de texto.

    Ejecución de pruebas

    Resumiendo la lección. Entorno de tarea

Reflexión

Durante las clases

    Organizar el tiempo.

Saludos de profesores y alumnos.

Comunicación del tema de la lección, el plan de trabajo de la lección.

Hoy tenemos una lección inusual. En esta lección, recordaremos todas las reglas de acción con números racionales y la capacidad de realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

El lema de nuestra lección será una parábola china:

“Dime - y lo olvidaré;

Muéstrame y lo recordaré;

Que se haga, y lo entenderé "

Quiero invitarte a un viaje.

Entre el espacio donde la salida del sol es claramente visible, se extendía un país estrecho y deshabitado: la recta numérica. No se sabe dónde comenzó y no se sabe dónde terminó. Y los primeros en poblar este país fueron los números naturales. ¿Qué números se llaman naturales y cómo se designan?

Respuesta:

Los números 1, 2, 3, 4, ... ... utilizados para contar objetos o para indicar el número de serie de un objeto entre objetos similares se denominan naturales (norte ).

Conteo verbal

88-19 72:8 200-60

Respuestas: 134; 61; 2180.

Había infinitos de ellos, pero el país era, aunque pequeño de ancho, pero infinito de largo, de modo que todo, desde el uno hasta el infinito, encajaba y formaba el primer estado, un conjunto de números naturales.

Trabaja en la tarea.

El país era extraordinariamente hermoso. Magníficos jardines se ubicaron en todo su territorio. Estos son cereza, manzana, melocotón. Ahora veremos uno de ellos.

En las cerezas, hay un 20 por ciento más de cerezas maduras cada tres días. ¿Cuántas frutas maduras tendrá esta cereza en 9 días si hubiera 250 cerezas maduras al comienzo de la observación?

Respuesta: 432 frutos maduros estarán en esta cereza en 9 días (300; 360; 432).

Trabajo independiente.

Algunos nuevos números comenzaron a asentarse en el territorio del primer estado, y estos números, junto con los números naturales, formaron un nuevo estado, averiguaremos cuál, habiendo resuelto la tarea.

Los estudiantes tienen dos hojas de papel en las mesas:

1. Calcular:

1) -48 + 53 2) 45 - (- 23) 3) -7,5: (- 0,5) 4) -4x (-15)

1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12

1) 48-54 2) 37 - (- 37) 3) -52,7 + 42,7 4) -6x1 / 3

1) -12x (-6) 2) -90: (- 15) 3) -25 + 45 4) 6 - (- 10)

Ejercicio: conecta todos los números naturales en serie sin levantar las manos y nombra la letra resultante.

Respuestas a la prueba:

5 68 15 60

72 6 20 16

Pregunta:¿Qué significa este símbolo? ¿Qué números se llaman enteros?

Respuestas: 1) A la izquierda, desde el territorio del primer estado, se instaló el número 0, a la izquierda de él -1, incluso a la izquierda de -2, etc. hasta el infinito. Estos números, junto con los números naturales, formaron un nuevo estado extendido: un conjunto de números enteros.

2) Los números naturales, sus números opuestos y el cero se llaman enteros ( Z ).

Repetición de lo aprendido.

1) La siguiente página de nuestro cuento está hechizada. Desencantémosla corrigiendo errores.

27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0

63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124

50 · 8 27 -18: (-2)

Respuestas:

-27 4 27 0 (-27) = 0

-50 8 4-36: 6

2) Seguimos escuchando el cuento.

En los espacios vacíos de la recta numérica, se les adjuntaron fracciones 2/5; −4/5; 3,6; −2,2; ... Las fracciones, junto con los primeros pobladores, formaron el siguiente estado expandido, un conjunto de números racionales. ( Q)

1) ¿Qué números se llaman racionales?

2) ¿Es cualquier entero, fracción decimal un número racional?

3) Demuestre que cualquier entero, cualquier fracción decimal es un número racional.

Tarea en el tablero: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .

Respuestas:

1) Un número que se puede escribir como una razón. , donde a es un número entero yn es un número natural, se llama número racional .

2) Sí.

3) .

Ahora sabes números enteros y fraccionarios, positivos y negativos, e incluso el número cero. Todos estos números se llaman racionales, que traducidos al ruso significa " sujeto a la mente ".

Numeros racionales

positivo cero negativo

entero fraccional entero fraccionario

Para estudiar matemáticas con éxito (y no solo matemáticas) en el futuro, necesita conocer bien las reglas operaciones aritmeticas con números racionales, incluidas las reglas de los signos. ¡Y son tan diferentes! Confundirse por un corto tiempo.

Educación Física.

Pausa dinámica.

Profesor: Cualquier trabajo requiere un descanso. ¡Descansemos!

Realicemos ejercicios de recuperación:

1) Uno, dos, tres, cuatro, cinco -

¡Una vez! Levántate, tira hacia arriba

¡Dos! Doblar, desdoblar

¡Tres! Tres palmadas en tus manos

Cabeza tres asentimientos.

Cuatro brazos más anchos.

Cinco: agite las manos. Seis: siéntese tranquilamente en el escritorio.

(Los niños siguen los movimientos del maestro de acuerdo con el contenido del texto).

2) Parpadee rápidamente, cierre los ojos y siéntese allí mientras cuenta hasta cinco. Repite 5 veces.

3) Cierra bien los ojos, cuenta hasta tres, ábrelos y mira a lo lejos, cuenta hasta cinco. Repite 5 veces.

Página histórica.

En la vida, como en un cuento de hadas, la gente "descubrió" los números racionales gradualmente. Inicialmente, al contar objetos, surgieron los números naturales. Al principio, no eran muchos. Al principio sólo surgieron los números 1 y 2. Las palabras "solista", "sol", "solidaridad" provienen del latín "solus" (uno). Muchas tribus no tenían otros números. En lugar de "3" dijeron "uno-dos", en lugar de "4" - "dos-dos". Y así hasta las seis. Y luego hubo "mucho". La gente encontró fracciones al dividir la producción, al medir cantidades. Para facilitar las operaciones con fracciones, se inventaron las fracciones decimales. En Europa, fueron introducidos en 1585 por un matemático holandés.

Trabajando en ecuaciones

Descubrirás el apellido del matemático resolviendo las ecuaciones y encontrando la letra correspondiente a la coordenada dada a lo largo de la línea de coordenadas.

1) -2,5 + x = 3,5 2) -0,3 x = 0,6 3) y - 3,4 = -7,4

4) - 0,8: x = -0,4 5) a (-8) = 0 6)metro + (- )=

E A T M I O V R N U S

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Respuestas:

    6 (C) 4) 2 (B)

    -2 (T) 5) 0 (H)

    -4 (E) 6) 4 (H)

STEVIN - matemático e ingeniero holandés (Simon Stevin)

Página histórica.

Profesor:

Sin conocer el pasado en el desarrollo de la ciencia, no se puede comprender su presente. La gente aprendió a realizar acciones con números negativos incluso antes de nuestra era. Los matemáticos indios imaginaban los números positivos como "posesiones" y los números negativos como "deudas". Así es como el matemático indio Brahmagupta (siglo VII) delineó algunas reglas para realizar acciones con números positivos y negativos:

"La suma de dos propiedades es propiedad",

"La suma de dos deudas es deuda",

"El monto de la propiedad y la deuda es igual a su diferencia",

"El producto de dos activos o dos deudas es propiedad", "El producto de propiedad y deuda es deuda".

Chicos, traduzcan las antiguas reglas indias a un lenguaje moderno.

Mensaje del maestro:

Como no hay calor en el mundo sin sol,

Sin nieve invernal y sin hojas de flores,

¡Entonces no hay acciones en matemáticas sin signos!

Se invita a los niños a adivinar qué signo de acción falta.

Ejercicio. Inserte el carácter que falta.

    − 1,3 2,8 = 1,5

  1. − 1,2 1,4 = − 2,6

    3,2 (− 8) = − 0,4

    1 (− 1,7) = 2,7

    − 4,5 (− 0,5) = 9

Respuestas: 1) + 2) ∙ 3) - 4): 5) - 6):

Trabajo independiente(en la hoja anote las respuestas a las tareas):

    Comparar números

    encuentra sus módulos

    comparar con cero

    encuentra su suma

    encuentra su diferencia

    encontrar un trabajo

    encontrar privado

    escribir números opuestos

    encuentra la distancia entre estos números

10) cuantos enteros hay en medio

11) encuentra la suma de todos los enteros intermedios.

Criterios de evaluación: todo se decidió correctamente - "5"

1-2 errores - "4"

3-4 errores - "3"

más de 4 errores - "2"

Trabajo individual en cartas(Adicionalmente).

Tarjeta 1. Resuelve la ecuación: 8.4 - (x - 3.6) = 18

Tarjeta 2. Resuelve la ecuación: -0.2x · (-4) = -0,8

Tarjeta 3. Resuelve la ecuación: =

Respuestas a las cartas :

1) 6; 2) -1; 3) 4/15.

Juego "Examen".

Los habitantes del país vivían alegremente, jugaban, resolvían problemas, ecuaciones y nos invitan a jugar para resumir los resultados.

Los estudiantes van al pizarrón, recogen la tarjeta y responden la pregunta al dorso.

Preguntas:

1. ¿Cuál de los dos números negativos se considera grande?

2. Formule una regla para dividir números negativos.

3. Formule una regla para multiplicar números negativos.

4. Formule la regla para multiplicar números con diferentes signos.

5. Formule la regla para dividir números con diferentes signos.

6. Formule una regla para sumar números negativos.

7. Formule la regla para sumar números con diferentes signos.

8.¿Cómo encontrar la longitud de un segmento en una línea de coordenadas?

9. ¿Qué números se llaman enteros?

10. ¿Qué números se llaman racionales?

Resumiendo.

Profesor: Hoy dia tarea será creativo:

Prepare un mensaje "Números positivos y negativos a nuestro alrededor" o redacte un cuento de hadas.

« ¡¡¡Gracias por la leccion!!!"