Operaciones aritméticas con números racionales. Acciones con números racionales: reglas, ejemplos, soluciones.
NÚMEROS REALES II
§ 36 Acciones sobre números racionales
Como sabes, dos fracciones metro / norte y k / yo son iguales, es decir, representan el mismo número racional si y sólo si ml = nk .
Por ejemplo, 1/3 = 2/6 ya que 1 6 = 3 2; -5 / 7 = 10 / - 14 porque (-5) (- 14) = 7 10; 0/1 = 0/5 ya que 0 5 = 1 0 etc.
Obviamente, para cualquier número entero r , distinto de 0,
: metro / norte = metro r / norte r
Esto se sigue de la igualdad obvia T (PAGS r ) = PAGS (T r ). Por lo tanto, cualquier número racional se puede representar como una razón de dos números en un número infinito de formas. Por ejemplo,
5 \u003d 5 / 1 \u003d -10 / -2 \u003d 15 / 3, etc.,
1/7 = 2/-14 = -3/21 = -100/700, etc.
0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 etc
En el conjunto de todos los números racionales, las operaciones de suma, multiplicación, resta y división (excepto la división por cero) son factibles. Recuerde cómo se definen estas acciones.
Suma de dos números racionales metro / norte y k / yo está determinada por la fórmula:
Producto de dos números racionales metro / norte y k / yo está determinada por la fórmula:
metro / norte k / yo = mk / nl (2)
Dado que un mismo número racional admite varias entradas (por ejemplo, 1 / 3 = 2 / 6 = 3 / 9 = ...) sería necesario demostrar que la suma y el producto de números racionales no dependen de cómo los términos o se escriben los factores. Por ejemplo,
1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6
etc. Sin embargo, la consideración de estas preguntas está más allá del alcance de nuestro programa.
Al sumar y multiplicar números racionales, se observan las siguientes leyes básicas:
1) conmutativo(o conmutativa) ley de la suma
metro / norte + k / yo = k / yo + metro / norte
2) de asociación(o asociativa) ley de la suma:
( metro / norte + k / yo ) + pags / q = metro / norte + ( k / yo + pags / q )
3) conmutativo(o conmutativa) ley de la multiplicación:
metro / norte k / yo = k / yo metro / norte
4) de asociación(o asociativa) ley de la multiplicación:
( metro / norte k / yo ) pags / q = metro / norte ( k / yo pags / q )
5) distributivo(o distributiva) ley de la multiplicación con respecto a la suma:
( metro / norte + k / yo ) pags / q = metro / norte pags / q + k / yo pags / q
La suma y la multiplicación son operaciones algebraicas básicas. En cuanto a la resta y la división, estas operaciones se definen como la inversa de la suma y la multiplicación.
La diferencia entre dos números racionales. metro / norte y k / yo este numero se llama X , que junto con k / yo da metro / norte . En otras palabras, la diferencia metro / norte - k / yo
k / yo + X = metro / norte
Se puede demostrar que tal ecuación siempre tiene una raíz y, además, solo una:
Entonces la diferencia entre dos números metro / norte y k / yo se encuentra de acuerdo con la fórmula:
si los números metro / norte y k / yo son iguales entre sí, entonces su diferencia se desvanece; si estos números no son iguales entre sí, entonces su diferencia es positiva o negativa. En metro / norte - k / yo > 0 decir número metro / norte más número k / yo ; Si metro / norte - k / yo < 0, то говорят, что число metro / norte menos que número k / yo .
El cociente de dividir un número racional m/ norte a un número racional k / yo este numero se llama X, que en el producto con k / yo da m/ norte . En otras palabras, privado. m/ norte : k / yo definido como la raíz de la ecuación
k / yo X = m/ norte .
Si k / yo =/= 0, entonces esta ecuación tiene una sola raíz
X = ml / nk
Si k / yo = 0, entonces esta ecuación no tiene ninguna raíz (por m/ norte =/= 0), o tiene infinitas raíces (por m/ norte = 0). Deseando hacer que la operación de división sea únicamente factible, acordamos no considerar la división por cero en absoluto. Por lo tanto, dividir un número racional m/ norte a un número racional k / yo siempre definido a menos k / yo =/= 0. En este caso
m/ norte : k / yo = ml / nk
Ejercicios
295. Calcular de la manera más racional e indicar qué leyes de acción se han de utilizar en este caso;
a) (5 1/12 - 3 1/4) 24; c) (333 1/3 4) (3/125 1/16).
b) (1/10 - 3 1/2) + 9/10
Este artículo proporciona una descripción general propiedades de las acciones con números racionales. Primero, se expresan las propiedades principales, en las que se basan todas las demás propiedades. A esto le siguen algunas otras propiedades de uso común de las operaciones con números racionales.
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Hagamos una lista propiedades básicas de las acciones con números racionales(a, b y c son números racionales arbitrarios):
- Propiedad conmutativa de la suma a+b=b+a.
- Propiedad asociativa de la suma (a+b)+c=a+(b+c) .
- La existencia de un elemento neutro por suma - cero, cuya suma con cualquier número no cambia este número, es decir, a+0=a .
- Para cada número racional a, hay un número opuesto −a tal que a+(−a)=0 .
- Propiedad conmutativa de la multiplicación de números racionales a b=b a .
- Propiedad asociativa de la multiplicación (a b) c=a (b c) .
- La existencia de un elemento neutro por multiplicación es una unidad, la multiplicación por la cual de cualquier número no cambia este número, es decir, a·1=a.
- Para todo número racional distinto de cero a, existe un inverso a −1 tal que a · a −1 =1 .
- Finalmente, la suma y la multiplicación de números racionales están relacionadas por la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma: a·(b+c)=a·b+a·c .
Las propiedades enumeradas de acciones con números racionales son básicas, ya que todas las demás propiedades se pueden obtener de ellas.
Otras propiedades importantes
Además de las nueve propiedades básicas enumeradas de operaciones con números racionales, hay una serie de propiedades muy utilizadas. Vamos a dar una breve descripción de ellos.
Comencemos con la propiedad, que se escribe usando letras como a (−b)=−(a b) o por la propiedad conmutativa de la multiplicación como (−a) b=−(a b). De esta propiedad se sigue directamente la regla de la multiplicación de números racionales con diferentes signos, y su demostración también se da en este artículo. Esta propiedad explica la regla "más por menos es menos, y menos por más es menos".
Aquí está la siguiente propiedad: (−a) (−b)=a b. De ahí se sigue la regla de la multiplicación de números racionales negativos, en este artículo encontrarás la prueba de la igualdad anterior. Esta propiedad corresponde a la regla de multiplicación “menos por menos es más”.
Sin duda, vale la pena detenerse en la multiplicación de un número racional arbitrario a por cero: un 0=0 o 0 un=0. Probemos esta propiedad. Sabemos que 0=d+(−d) para cualquier d racional, entonces a 0=a (d+(−d)) . La propiedad distributiva permite que la expresión resultante se reescriba como d+a (−d) , y dado que a (−d)=−(a d) , entonces un re+un (−d)=un re+(−(un re)). Entonces llegamos a la suma de dos números opuestos iguales a a d y −(a d) , su suma da cero, lo que prueba la igualdad a 0=0 .
Es fácil ver que arriba hemos enumerado solo las propiedades de la suma y la multiplicación, sin decir una palabra sobre las propiedades de la resta y la división. Esto se debe a que en el conjunto de los números racionales, la resta y la división se definen como el inverso de la suma y la multiplicación, respectivamente. Es decir, la diferencia a−b es la suma a+(−b) , y el cociente a:b es el producto a b −1 (b≠0 ).
Dadas estas definiciones de resta y división, así como las propiedades básicas de suma y multiplicación, se puede demostrar cualquier propiedad de las operaciones con números racionales.
Por ejemplo, probemos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la resta: a·(b−c)=a·b−a·c . La siguiente cadena de igualdades tiene a (b−c)=a (b+(−c))= a b+a (−c)=a b+(−(a c))=a b−a c, que es la prueba.
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Entonces a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c.
Sumar cero no cambia el número, y la suma de los números opuestos es cero.
Por lo tanto, para cualquier número racional tenemos: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
La multiplicación de números racionales también tiene propiedades conmutativas y asociativas. En otras palabras, si a, b y c son números racionales, entonces ab - ba, a(bc) - (ab)c.
La multiplicación por 1 no cambia un número racional, pero el producto de un número y su recíproco es 1.
Así que para cualquier número racional a tenemos:
a) x + 8 - x - 22; c) a-m + 7-8+m;
b) -x-a + 12 + a -12; d) 6.1 -k + 2.8 + p - 8.8 + k - p.
1190. Habiendo elegido un orden conveniente de cálculos, encuentre el valor de la expresión:
1191. Formule en palabras la propiedad conmutativa de la multiplicación ab = ba y compruébelo:
1192. Formule en palabras la propiedad asociativa de la multiplicación a(bc)=(ab)c y compruébela:
1193. Eligiendo un orden conveniente de cálculos, encuentre el valor de la expresión:
1194. ¿Cuál será el número (positivo o negativo) si multiplicas:
a) un número negativo y dos números positivos;
b) dos números negativos y uno positivo;
c) 7 números negativos y varios positivos;
d) 20 negativos y algunos positivos? Haz una conclusión.
1195. Determinar el signo del producto:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a) segundo Gimnasio Vitya, Kolya, Petya, Seryozha y Maxim se reunieron (Fig. 91, a). Resultó que cada uno de los chicos conocía solo a otros dos. ¿Quién sabe quién? (El borde del gráfico significa "nos conocemos").
b) Hermanos y hermanas de la misma familia pasean por el patio. ¿Cuáles de estos niños son niños y cuáles son niñas (Fig. 91, b)? (Los bordes punteados del gráfico significan - "Soy una hermana" y los sólidos - "Soy un hermano").
1205. Calcula:
1206. Comparar:
a) 2 3 y 3 2 ; b) (-2) 3 y (-3) 2; c) 1 3 y 1 2 ; d) (-1) 3 y (-1) 2.
1207. Redondea 5,2853 a milésimas; antes de centésimas; hasta décimas; hasta unidades.
1208. Resuelve el problema:
1) El motociclista alcanza al ciclista. Ahora entre ellos 23,4 km. La velocidad de un motociclista es 3,6 veces la de un ciclista. Encuentre las velocidades del ciclista y del motociclista si se sabe que el motociclista alcanzará al ciclista en horas.
2) Un automóvil está alcanzando a un autobús. Ahora entre ellos 18 km. La velocidad del autobús es la velocidad de un automóvil. Encuentre las velocidades del autobús y del automóvil si se sabe que el automóvil alcanzará al autobús en horas.
1209. Encuentra el valor de la expresión:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Verifique sus cálculos con calculadora.
1210. Habiendo elegido un orden conveniente de cálculos, encuentre el valor de la expresión: 
1211. Simplifica la expresión:
1212. Encuentra el valor de la expresión:
1213. Haz lo siguiente:
1214. Los estudiantes se dieron a la tarea de recoger 2,5 toneladas de chatarra. Recogieron 3,2 toneladas de chatarra. ¿En qué porcentaje completaron los estudiantes la tarea y en qué porcentaje la cumplieron en exceso?
1215. El coche recorrió 240 km. De estos, 180 km caminó por un camino rural, y el resto del camino, por la carretera. El consumo de gasolina por cada 10 km de una carretera rural fue de 1,6 litros, y en la carretera, un 25% menos. ¿Cuántos litros de gasolina se consumieron en promedio por cada 10 km de recorrido?
1216. Al salir del pueblo, el ciclista notó que un peatón caminaba en la misma dirección en el puente y lo alcanzó en 12 minutos. Encuentre la velocidad del peatón si la velocidad del ciclista es de 15 km/h y la distancia del pueblo al puente es de 1 km 800 m.
1217. Haz lo siguiente:
a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
Como saben, la gente se familiarizó gradualmente con los números racionales. Al principio, al contar objetos, surgieron los números naturales. Al principio, había pocos de ellos. Así, hasta hace poco, entre los nativos de las islas del Estrecho de Torres (separando Nueva Guinea de Australia) estaban en el idioma los nombres de solo dos números: "urapun" (uno) y "okaza" (dos). Así lo creían los isleños: “okaza-urapun” (tres), “okaza-okaza” (cuatro), etc. Todos los números, a partir del siete, los nativos llamaban a la palabra que significa “muchos”.
Los científicos creen que la palabra para cien apareció hace más de 7,000 años, para mil, hace 6,000 años y hace 5,000 años en Antiguo Egipto y en la antigua Babilonia aparecen nombres para números enormes, hasta un millón. Pero durante mucho tiempo, la serie natural de los números se consideró finita: la gente pensaba que era la más Número grande.
Arquímedes (287-212 a. C.), el mayor matemático y físico de la Grecia antigua, ideó una forma de describir números enormes. El mayor número que Arquímedes supo nombrar era tan grande que se necesitaría una cinta dos mil veces más larga que la distancia de la Tierra al Sol para registrarlo digitalmente.
Pero todavía no sabían cómo escribir números tan grandes. Esto fue posible solo después de los matemáticos indios en el siglo VI. se inventó el número cero y se empezó a denotar la ausencia de unidades en los dígitos de la notación decimal de un número.
Al dividir el botín y luego al medir valores, y en otros casos similares, la gente se encontró con la necesidad de introducir "números quebrados" - fracciones comunes. Las acciones sobre fracciones se consideraban el área más difícil de las matemáticas en la Edad Media. Hasta ahora, los alemanes dicen de una persona que se encuentra en una situación difícil, que "cayó en fracciones".
Para facilitar el trabajo con fracciones, se inventaron los decimales. fracciones. En Europa, fueron introducidos en X585 por el matemático e ingeniero holandés Simon Stevin.
Los números negativos aparecieron más tarde que las fracciones. Durante mucho tiempo, tales números se consideraron "inexistentes", "falsos", principalmente debido al hecho de que la interpretación aceptada de números positivos y negativos "propiedad - deuda" llevó a la confusión: se puede sumar o restar "propiedad" o “deudas”, pero ¿cómo entender el trabajo o la “propiedad” privada y la “deuda”?
Sin embargo, a pesar de tales dudas y perplejidades, las reglas para multiplicar y dividir números positivos y negativos fueron propuestas en el siglo III. por el matemático griego Diofanto (en la forma: “Lo restado, multiplicado por lo sumado, da el sustraendo; lo sustraído por lo sustraído da el sumado”, etc.), y más tarde el matemático indio Bhaskara (siglo XII) expresó lo mismo reglas en los conceptos de “propiedad”, “deuda” (“El producto de dos propiedades o dos deudas es propiedad; el producto de propiedad y deuda es deuda”. La misma regla se aplica a la división).
Se encontró que las propiedades de las acciones sobre números negativos son las mismas que sobre los positivos (por ejemplo, la suma y la multiplicación tienen una propiedad conmutativa). Y finalmente, desde principios del siglo pasado, los números negativos se han igualado con los positivos.
Más tarde, aparecieron nuevos números en matemáticas: irracionales, complejos y otros. Aprenderás sobre ellos en la escuela secundaria.
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S. I. Schwarzburd, VI Zhokhov, Matemáticas para el grado 6, Libro de texto para la escuela secundaria
Libros y libros de texto según el plan de calendario para la descarga de matemáticas de grado 6, ayuda al estudiante en línea
Badamshinskaya escuela secundaria №2
matemáticas
en sexto grado
"Acciones con números racionales"
preparado
profesor de matematicas
Babenko Larisa Grigorievna
Con. Badamsha
2014
Tema de la lección:« Operaciones con números racionales».
tipo de lección :
Lección de generalización y sistematización del conocimiento.
Objetivos de la lección:
educativo:
Generalizar y sistematizar los conocimientos de los alumnos sobre las reglas de actuación de los números positivos y negativos;
Para consolidar la capacidad de aplicar las reglas en el proceso de realización de ejercicios;
Desarrollar habilidades para el trabajo independiente;
desarrollando:
Desarrollar pensamiento lógico, discurso matemático, habilidades computacionales; - desarrollar la capacidad de aplicar los conocimientos adquiridos a la resolución de problemas aplicados; - expandiendo Horizontes;
educadores:
Educación interés cognitivo al sujeto
Equipo:
Hojas con textos de tareas, asignaciones para cada estudiante;
Matemáticas. Libro de texto para instituciones educativas de grado 6 /
N. Ya. Vilenkin, VI. Zhojov, A.S. Chesnokov, S. I. Shvartburd. - M., 2010.
Plan de estudios:
Organizando el tiempo.
trabajar oralmente
Repetición de las reglas de suma y resta de números con diferentes signos. Actualización de conocimientos.
Resolver tareas en el libro de texto.
Ejecución de pruebas
Resumiendo la lección. Establecer la tarea
Reflexión
durante las clases
Organizando el tiempo.
Saludo profesor y alumnos.
Presentación del tema de la lección, el plan de trabajo en la lección.
Hoy tenemos una lección inusual. En esta lección, recordaremos todas las reglas de las operaciones con números racionales y la capacidad de realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división.
El lema de nuestra lección será una parábola china:
“Dime y lo olvidaré;
Muéstrame y lo recordaré;
Déjame hacerlo y lo entenderé"
Quiero invitarte a un viaje.
En el medio del espacio donde el amanecer era claramente visible, se extendía un país angosto y deshabitado: una línea numérica. Nadie sabe dónde comenzó y nadie sabe dónde termina. Y los primeros que poblaron este país fueron números naturales. ¿Qué son los números naturales y cómo se representan?
Respuesta:
Los números 1, 2, 3, 4,….. utilizados para contar objetos o para indicar el número de serie de un objeto entre objetos homogéneos, se denominan naturales (norte ).
conteo verbal
88-19 72:8 200-60
Respuestas: 134; 61; 2180.
Había infinitos de ellos, pero el país, aunque pequeño en ancho, era infinito en largo, de modo que todo cabía de uno a infinito y formaba el primer estado, un conjunto de números naturales.
Trabajando en una tarea.
El país era extraordinariamente hermoso. Magníficos jardines se ubicaron a lo largo de su territorio. Estos son cereza, manzana, melocotón. Uno de los cuales vamos a echar un vistazo ahora.
En la cereza cada tres días hay un 20 por ciento más de cerezas maduras. ¿Cuántos frutos maduros tendrá esta cereza en 9 días si tenía 250 cerezas maduras al comienzo de la observación?
Respuesta: Esta cereza tendrá 432 frutos maduros en 9 días (300; 360; 432).
Algunos números nuevos comenzaron a asentarse en el territorio del primer estado, y estos números, junto con los números naturales, formaron un nuevo estado, descubriremos cuál al resolver la tarea.
Hay dos hojas en las mesas de los estudiantes:
1. Calcula:
1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7.5:(-0.5) 4)-4x(-15)
1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12
1) 48-54 2) 37-(-37) 3) -52,7+42,7 4) -6x1/3
1) -12x (-6) 2) -90: (-15) 3) -25 + 45 4) 6 - (-10)
Ejercicio: conecte consecutivamente sin quitar las manos de todos los números naturales y nombre la letra resultante.
Respuestas a la prueba:
5 68 15 60
72 6 20 16
Pregunta:¿Qué significa este símbolo? ¿Qué números se llaman enteros?
Respuestas: 1) A la izquierda, desde el territorio del primer estado, se instaló el número 0, a la izquierda -1, incluso a la izquierda -2, etc. hasta el infinito. Junto con los números naturales, estos números formaron un nuevo estado extendido, el conjunto de los enteros.
2) Los números naturales, sus opuestos y el cero se llaman números enteros ( Z ).
Repetición de lo aprendido..
1) La siguiente página de nuestro cuento de hadas está encantada. Lo desencantaremos, corrigiendo errores.
27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0
63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124
50 · 8 27 -18: (-2)
Respuestas:
-27 4 27 0 (-27) = 0
-50 8 4 -36: 6
2) Seguimos escuchando la historia.
En lugares libres en la recta numérica, se les agregaron fracciones 2/5; −4/5; 3,6; −2,2;… Las fracciones, junto con los primeros colonos, formaron otro estado ampliado del conjunto de los números racionales. ( q)
1) ¿Qué números se llaman racionales?
2) ¿Es cualquier número entero, fracción decimal, un número racional?
3) Demuestra que cualquier número entero, cualquier fracción decimal es un número racional.
Tarea en la pizarra: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .
Respuestas:
1) Un número que se puede escribir como una razón , donde a es un número entero y p es un número natural, se llama número racional .
2) Sí.
3) .
Ahora sabes números enteros y fraccionarios, positivos y negativos, e incluso el número cero. Todos estos números se llaman racionales, lo que en traducción al ruso significa " subordinado a la mente".
positivo cero negativo
fraccionario entero fraccionario entero
Para poder estudiar matemáticas con éxito (y no solo matemáticas) en el futuro, uno debe conocer bien las reglas de las operaciones aritméticas con números racionales, incluidas las reglas de los signos. ¡Y son tan diferentes! Confundirse por un tiempo.
Fizkultminutka.
Pausa dinámica.
Profesor: Todo trabajo necesita un descanso. ¡Vamos a tomar un descanso!
Hagamos algunos ejercicios de recuperación:
1) Uno, dos, tres, cuatro, cinco -
¡Una vez! Levántate, levántate
¡Dos! agacharse, agacharse,
¡Tres! Tres palmadas en las manos
Tres asentimientos de cabeza.
Cuatro - brazos más anchos.
Cinco: mueve las manos. Seis: siéntate en silencio en el escritorio.
(Los niños siguen al maestro según el contenido del texto).
2) Parpadea rápidamente, cierra los ojos y siéntate así mientras cuentas hasta cinco. Repita 5 veces.
3) Cierra bien los ojos, cuenta hasta tres, ábrelos y mira a lo lejos, contando hasta cinco. Repita 5 veces.
página histórica.
En la vida, como en un cuento de hadas, la gente "descubrió" los números racionales gradualmente. Al principio, al contar objetos, surgieron los números naturales. Al principio, había pocos de ellos. Al principio, solo surgieron los números 1 y 2. Las palabras "solista", "sol", "solidaridad" provienen del latín "solus" (uno). En muchas tribus no había otros números. En lugar de "3" dijeron "uno-dos", en lugar de "4" - "dos-dos". Y así hasta las seis. Y luego hubo mucho. La gente encontró fracciones al dividir el botín, al medir cantidades. Para facilitar las operaciones con fracciones, se inventaron decimales. En Europa, fueron introducidos en 1585 por un matemático holandés.
trabajo de ecuacion
Aprenderás el nombre del matemático resolviendo las ecuaciones y encontrando la letra correspondiente a la coordenada dada a lo largo de la línea de coordenadas.
1) -2.5 + x \u003d 3.5 2) -0.3 x \u003d 0.6 3) y - 3.4 \u003d -7.4
4) - 0.8: x \u003d -0.4 5) a (-8) \u003d 0 6)metro + (- )=
E A T M I O V R N U S
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Respuestas:
6 (C) 4)2 (B)
-2 (T) 5) 0 (Yo)
-4(E) 6)4(H)
STEVIN - matemático e ingeniero holandés (Simon Stevin)
página histórica.
Profesor:
Sin conocer el pasado en el desarrollo de la ciencia, es imposible comprender su presente. La gente aprendió a realizar acciones con números negativos incluso antes de nuestra era. Los matemáticos indios consideraban los números positivos como "propiedades" y los números negativos como "deudas". Así es como el matemático indio Brahmagupta (siglo VII) describió algunas reglas para realizar operaciones con números positivos y negativos:
"La suma de dos propiedades es propiedad"
"La suma de dos deudas es una deuda"
"La suma de la propiedad y la deuda es igual a su diferencia",
“El producto de dos bienes o dos deudas es propiedad”, “El producto de propiedad y deuda es deuda”.
Chicos, traduzcan las antiguas reglas indias al lenguaje moderno.
Mensaje del maestro:
Como no hay calor en el mundo sin el sol,
Sin la nieve del invierno y sin las hojas de las flores,
¡Así que no hay acciones en matemáticas sin signos!
Se pide a los niños que adivinen qué signo de acción falta.
Ejercicio. Inserta el carácter que falta.
− 1,2 1,4 = − 2,6
3,2 (− 8) = − 0,4
1 (− 1,7) = 2,7
− 4,5 (− 0,5) = 9
− 1,3 2,8 = 1,5
Respuestas: 1) + 2) ∙ 3) - 4) : 5) - 6) :
Trabajo independiente(en la hoja escriba las respuestas a las tareas):
comparar números
encontrar sus módulos
comparar con cero
encontrar su suma
encontrar su diferencia
encontrar un trabajo
encontrar un privado
escribir los números opuestos
encuentra la distancia entre estos numeros
10) cuantos enteros hay entre ellos
11) encuentre la suma de todos los números enteros ubicados entre ellos.
Criterios de evaluación: todo se decidió correctamente - "5"
1-2 errores - "4"
3-4 errores - "3"
más de 4 errores - "2"
trabajo de cartas individuales(Adicionalmente).
Tarjeta 1. Resuelve la ecuación: 8.4 - (x - 3.6) \u003d 18
Tarjeta 2. Resuelve la ecuación: -0.2x · (-4) = -0,8
Tarjeta 3. Resuelve la ecuación: =
respuestas a cartas :
1) 6; 2) -1; 3) 4/15.
Juego "Examen".
Los habitantes del país vivieron felices, jugaron, resolvieron problemas, ecuaciones y nos ofrecen jugar para resumir.
Los estudiantes se acercan a la pizarra, toman una tarjeta y responden la pregunta escrita en el reverso.
Preguntas:
1. ¿Cuál de los dos números negativos se considera grande?
2. Formula la regla para dividir números negativos.
3. Formular la regla para multiplicar números negativos.
4. Formular una regla para multiplicar números con diferentes signos.
5. Formular una regla para dividir números con diferentes signos.
6. Formula la regla para sumar números negativos.
7. Formula una regla para sumar números con diferentes signos.
8. ¿Cómo encontrar la longitud de un segmento en una línea de coordenadas?
9. ¿Qué números se llaman enteros?
10. ¿Qué números se llaman racionales?
Resumiendo.
Profesor: Hoy dia tarea será creativo:
Prepare un mensaje "Números positivos y negativos que nos rodean" o componga un cuento de hadas.
« ¡¡¡Gracias por la leccion!!!"
De vuelta atras
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Tipo de lección: una lección sobre la generalización y sistematización del conocimiento utilizando tecnología informática.
Objetivos de la lección:
- Educativo:
- mejorar las habilidades para resolver ejemplos y ecuaciones sobre el tema "Propiedades de acciones con números racionales";
- consolidar la capacidad de realizar operaciones aritméticas con números racionales;
- comprobar la capacidad de utilizar las propiedades de las operaciones aritméticas para simplificar expresiones con números racionales;
- generalizar y sistematizar el material teórico.
- Educativo:
- desarrollar habilidades de conteo oral;
- desarrollar el pensamiento lógico;
- desarrollar la capacidad de expresar clara y claramente sus pensamientos;
- desarrollar el discurso matemático de los estudiantes en el proceso de realización de trabajos orales sobre la reproducción de material teórico;
- ampliar los horizontes de los estudiantes.
- Educativo:
- educar la capacidad de trabajar con la información disponible;
- cultivar el respeto por el tema;
- cultivar la capacidad de escuchar a su amigo, un sentido de asistencia mutua y apoyo mutuo;
- promover la educación del autocontrol y el control mutuo de los alumnos.
Equipamiento y visibilidad: computadora, proyector multimedia, pantalla, presentación interactiva, tarjetas de señales para conteo verbal, crayones de colores .
Estructura de la lección:
DURANTE LAS CLASES
I. Momento organizacional
II. Informar sobre el tema y los objetivos de la lección.
Comprobación de la preparación de los estudiantes para la lección. Comunicar objetivos y planes de lecciones a los estudiantes.
- El tema de nuestra lección es "Propiedades de las acciones con números racionales", y les pido que lean el lema de la lección al unísono:
Sí, el camino del conocimiento no es fácil.
Pero sabemos de los años escolares
Más misterios que acertijos
¡Y no hay límite para la búsqueda!
Y hoy en la lección crearemos un periódico matemático juntos y activamente. Yo seré el editor en jefe y ustedes serán los correctores. ¿Cómo entiendes el significado de esta palabra?
Para probar a otros, necesitamos sistematizar nuestro conocimiento sobre el tema "Propiedades de las acciones con números racionales".
Y nuestro periódico se llama Números Racionales. ¿Qué pasa con la traducción tártara?
Escuché que también hablas bien inglés, pero ¿cómo llamarán los británicos a este periódico?
Les presento la maquetación del periódico, que consta de los siguientes encabezamientos: lectura a coro: “ Pregunta - respondemos», « noticias diarias», « Subasta de proyectos», « Informe actual»,
« Lo sabías…?".
tercero Actualización de conocimientos básicos.
Trabajo oral:
En el primer encabezado "Pregunta - respondemos" necesitamos verificar la exactitud de la información que nuestros corresponsales nos enviaron en las cartas. Mire cuidadosamente y díganos qué reglas debemos recordar para verificar esta información.
1. La regla para sumar números negativos:
"Para sumar dos números negativos, debes: 1) sumar sus módulos, 2) poner un signo menos delante del número resultante".
2. La regla para dividir números con diferentes signos:
“Al dividir números con diferentes signos, debes: 1) dividir el módulo del dividendo por el módulo del divisor, 2) anteponer un signo menos al número resultante”.
3. Regla para multiplicar dos números negativos:
"Para multiplicar dos números negativos, necesitas multiplicar su módulo".
4. La regla para multiplicar números con diferentes signos:
“Para multiplicar dos números con signos diferentes, necesitas multiplicar los módulos de estos números y colocar un signo menos delante del número resultante”.
5. Regla para dividir un número negativo entre un número negativo:
"Para dividir un número negativo por un número negativo, debes dividir el módulo del dividendo por el módulo del divisor".
6. La regla para sumar números con diferentes signos:
“Para sumar dos números con diferente signo, se debe 1) restar el menor del módulo de términos mayor, 2) anteponer el signo del término cuyo módulo es mayor al número resultante.
1) – 8,4 + (– 8,4) = 0; (– 16,8)
2) (– 6,7) . (– 10) = – 67; (67)
3) (– 2,2) + 3,5 = 1,3;
4) – 13 – 8 = – 5; (– 21)
5) 15 – 18 = – 13; (– 3)
6) 7,4 – (– 3,2) = – 10,6; (10,6)
7) – 9 . 6 = – 54;
8) – 3,6 . 1 = –1; (– 3,6)
9) – 18: (– 0,3) = 60;
10) – 3,7 . 0 = – 3,7. (0)
- Bien hecho, bien hecho.
IV. Consolidación del material cubierto
- Y ahora pasamos a la rúbrica. "Noticias diarias". Para llenar esta rúbrica, necesitamos sistematizar el conocimiento sobre los números.
- ¿Qué números conoces? (Natural, fraccionario, racional)
¿Qué son los números racionales? (positivo, negativo y 0)
¿Qué propiedades de los números racionales conoces? (Conmutativa, asociativa y distributiva, multiplicación por 1, multiplicación por 0)
Ahora pasemos a escribir. Abrimos cuadernos, anotamos el número, trabajo de clase, el tema era "Propiedades de las acciones con números racionales".
Usando estas propiedades, simplificamos las expresiones:
A) x + 32 - 16 \u003d x + 16
B) - x - 18 - 23 \u003d - x - 41
C) - 1,5 + x - 20 = - 21,5 + x
D) 12 - 26 + x \u003d x - 14
E) 1.7 + 3.6 - x \u003d 5.3 - x
E) - x + a + 6,1 - a + 2,8 - 8,8 = - x + 0,1
– Y los siguientes ejemplos nos exigen aún más decision racional con una explicación.
– 98 + 85 + 45 – 55 – 28 + 63 = 12
– 6,56 + 2,4 – 3,2 + 6,56 + 4 + 3,2 – 2,4 = 4
– 19,61 * 20 + 19,61 * 120 = 1961
12/04/1961 - ¿Te dicen algo las respuestas que has recibido?
Hace 50 años, el 12 de abril de 1961, Yuri Gagarin voló al espacio. La ciudad de Zainsk también tiene su propia historia espacial: el 9 de marzo de 1961, el vehículo de descenso No. 1 astronave VOSTOK-4 realizó un aterrizaje suave cerca de la aldea de Stary Tokmak, distrito de Zainsky, con un muñeco humano, un perro y otros animales pequeños a bordo. Y en honor a este evento, se erigirá un monumento en nuestro distrito. Ahora la comisión de competencia está trabajando en la ciudad. 3 proyectos participan en el concurso, están frente a ti en la pantalla. Y ahora realizaremos una subasta de proyectos.
Les pido que voten por su proyecto favorito. Tu voto puede ser decisivo.
V. Educación física
- Expresas tu opinión con aplausos y pisotones. ¡Vamos a ensayar! Tres palmadas y tres pisotones.
- Intentemoslo de nuevo. Así comienza la votación:
– Emitimos nuestros votos para el Diseño No. 1
– Emitimos nuestros votos para el Diseño No. 2
– Emitimos nuestros votos para el Diseño No. 3
- Y ahora para todos los diseños juntos.
- Layout No. obtuvo la victoria... Gracias, registré sus votos (levanta el celular y se lo muestra a los niños) y lo paso a la comisión de escrutinio.
- Bien hecho, gracias. Y delante de no menos importante - Informe actual.
VI. Preparación para el GIA
Rúbrica "Informe actual" Recibí una carta donde un estudiante pide ayuda para resolver tareas para el examen final en el grado 9. Necesitamos que todos resuelvan tareas, pruebas de forma independiente.<Anexo 1 > en sus mesas:
1. Resuelve ecuaciones:
a) (x + 3) (x - 6) = 0
1) x \u003d 3, x \u003d - 6
2) x \u003d - 3, x \u003d - 6
3) x \u003d - 3, x \u003d 6